几何中添加辅助线的一般原则

添线原则：

一把分散的几何元素转化为相对集中的几何元素（如把分散的元素集中在一个三角形或两个全等的三角形中，以使定理能够针对应用）二把不规则的图形转化为规则的图形，把复杂图形转化为简单的基本图形。

常见方法：

1.遇到等腰三角形时，添底边中线，或已知底边中线添两腰，应用等腰三角形三线合一性质；

2.遇到直角三角形时，添斜边中线，应用直角三角形性质解题；

3.遇到三角形中线时，将中线延长一倍；

4.遇到两条线段的和等于第三条线段，可在长的线段上截取，也可延长短的线段；

5.遇到证明圆中的弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系时，常添半径或弦心距；

6.遇到一些常见的几何基本图形残缺不全时，利用添线补全基本图形。

例题：如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，

延长BE交AC于点F。求证：AF=EF

（4）本阶段涉及的证明类型及方法：

①证明两线段相等方法

1.利用全等三角形性质证明；

2.利用等腰三角形性质及判定证明；

3.利用直角三角形性质及度量关系证明；

4.利用平行四边形性质证明；

5.利用线段的中垂线、角平分线性质证明；

6.利用图形翻折证明；

7.通过计算线段证明；

8.利用第三线段过渡证明。

例1：如图，已知RT△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，AM=AN,

MN∥AC. 求证：MN=AC ②证明两角相等方法

1.利用全等三角形性质证明；

2.利用平行四边形性质证明；

3.利用等腰三角形性质证明；

4.利用平行线性质证明；

5.利用计算角度证明；

6.利用常用定理证明（如对顶角相等、同角或等角的余角或补角相等、圆的性质等）

例2：如图：已知在△ABC中，AB=AC, E是AB的中点，以点E为圆心，EB 为半径画弧，交BC于D, 连结ED并延长ED到点F, 使DF=DE，连FC. 求证：

③证明两直线平行方法

1.利用平行线的判定证明；

2.利用平行四边形性质证明；

3.利用平行线的传递性证明；

例3：如图：已知∠1与∠2互补，∠A=∠ D

求证：AB ∥CD ④证明两直线垂直方法 1.利用垂直定义证明；

2.利用邻补角的两角的平分线互相垂直证明；

3.利用三角形内角和证明；

4.利用等腰三角形性质证明；

5.利用垂径定理证明；

例4：如图：已知在△ABC 中，AD ⊥BC,M 为BC 的中点， 且∠BAD=∠DAM=∠MAC 求证：∠BAC=90°

⑤证明线段的和差倍分方法 1.通过代数方法证明；

2.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明；

3.利用在直角三角形中，如果有一个锐

角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半证明； 4.利用截长补短法证明； 5.利用延短等长法证明；

例5：如图：已知在△ABC 中，AD 是BC 上的高，∠B=2∠C, 求证：

AB+BD=DC

⑥证明角的和差倍分方法

1.利用三角形外角等于不相邻的两个内角和证明；

2.利用平行线性质证明；

3.通过代数方法证明；

4.通过题中的平行线、垂线中隐含的角与角间的联系证明。

例6：如图：已知MN ∥PQ, AC ⊥PQ, BD 和AC 交于点E ，且 DE=2AB. 求证：∠ABC=3∠DBC