北京市东城区2002届高三文科数学一模试题
北京市东城区2002年高三总复习练习一数学（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至8页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷 （选择题共60分） 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ， 2sin2cos 2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ-θ， 2cos2cos 2cos cos ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ， 2sin2sin 2cos cos ϕ-θϕ+θ-=ϕ-θ， 正棱台、圆台的侧面积公式l )c 'c (21S +=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式h )S S 'S 'S (31V ++=台体其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数轴上三点A 、B 、C 的坐标分别为2、3、5，则点C 分有向线段AB 所成的比为 A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．函数1x 2y +=的反函数为A ．)1x (log y 2-=（x>1）B ．)1x (log y 2+=（x>-1）C ．1x log y 2-=（x>0）D ．1x log y 2+=（x>0） 3．若数列}a {n 的前n 项和公式为)1n (log S 3n +=，则5a 等于 A ．6log 5 B ．56log 3C ．6log 3D ．5log 3 4．设3x 4)1x (6)1x (4)1x (S 234-+-+-+-=，则S 等于 A ．4x B ．1x 4+ C ．4)2x (- D ．4x 4+ 5．函数y=cos(x-1)图象的一个对称中心的坐标是（ ） A ．)0 12(，+πB ．)0 12(，-πC ．（π+1，0） D ．（π-1，0） 6．两圆04y x 0y 2y x 2222=-+=-+与的位置关系是A ．相交B ．内切C ．外切D ．内含7．已知圆台的轴截面是上、下底边长分别为2和4，底角为60°的等腰梯形，则圆台侧面展开图的面积为A ．24πB ．8πC ．6πD ．3π8．已知图①中的图象对应的函数为y=f(x)，则图②中的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是A ．y=f(|x|)B ．y=|f(x)|C ．y=f(-|x|)D ．y=-f(|x|)9．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为2，则它的一条侧棱1AA 与截面B B DD 11所成角的正弦值为 A ．21B ．22C ．23 D ．26 10．已知)23(41sin ππ∈α-=α，，，)223(54cos ππ∈β=β，，，则α+β是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 11．如图，已知多面体ABC-DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，平面ABC//平面DEFG ，平面BEF//平面ADGC ，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．812．椭圆1by a x 2222=+（a>b>0）的半焦距为c ，若直线y=2x 与椭圆一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为 A ．222- B ．2122- C ．13- D ．12-第II 卷（非选择题共90分） 注意事项：1．第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上。
13．设复数i 3z i 1z 21+=-=，，则21z z z =在复平面内对应的点位于第__________象限。
14．将抛物线x 4y 2=绕其焦点按逆时针方向旋转90°后，所得抛物线的方程为____________________。
15．空间内五个点中的任意三点都不共线且仅有四个点共面，则这五个点最多可以确定__________个平面。
16．已知集合A 、B 、C ，A={直线}，B={平面}，C=A ∪B ，若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，在下列命题中①c //a b c b a ⇒⎩⎨⎧⊥⊥ ②c a b //c b a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥ ③c //a b //c b //a ⇒⎩⎨⎧ ④c a b c b //a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥正确命题的序号是__________________。
（注：把你认为正确的序号都填上）。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列， 求证：2CA cos2C A cos2-=+。
18．（本小题满分12分）已知函数)1x (log )x (f 2+=，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g(x)的图象。
（I ）求y=g(x)的解析式及定义域；（II ）求函数F(x)=f(x-1)-g(x)的最大值。
19．（本小题满分12分）在直三棱柱111C B A ABC -中，∠ABC=90°，BC=2，1EB 4CC 11==，。
D 、F 、G 分别为11111C A C B CC 、、的中点，EF 与D B 1相交于H 。
（I ）求证：ABD D B 1平面⊥；（II ）求证：平面EGF//平面ABD ；（III ）求平面EGF 与平面ABD 的距离。
20．（本小题满分12分）已知数列}a {n 是首项为a （a ≠0）的等差数列，其前n 项的和为n S ，数列}b {n 的通项nS b nn =，其前n 项的和为n T 。
（I ）用等差数列定义证明数列}b {n 是等差数列； （II ）若78T S n n =，求)b a n (lim nn n -∞→的值。
21．（本小题满分12分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择。
它们的速度分别为50千米/小时，100千米/小时，500千米/小时，每千米的运费分别为a 元、b 元、c 元，且b<a<c 。
又这批海鲜在运输过程中的损耗为500元/小时。
若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等。
试确定使用哪种运输工具总费用最省。
（题中字母均为正的已知量） 22．（本小题满分14分） 已知（0，5-）是中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的一个顶点，离心率为23。
（I ）求椭圆方程； （II ）直线m x 21y +=与椭圆相交于A 、B 两点，椭圆的左右焦点分别为21F F 和，求以21F F 和AB 为对角线的四边形B AF F 21面积的最大值。
参考答案：一、1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．C 8．C 9．B 10．B 11．B 12．D 二、 13．四14．)1y (4)1x (2+=-15．7 16．② 三、17．证明：由已知，2b=a+c ………………………………………………………2分 由正弦定理，得4RsinB=2RsinA+2RsinC ………………………………………………………4分 即 2sinB=sinA+sinC2CA cos2C A sin 22B cos 2B sin4-+= 2CA cos2C A sin 22C A sin 2C A cos 4-+=++ ……………………………………10分 02C A sin ≠+2CA cos2C A cos 2-=+∴ …………………………………………………………12分 18．解：（I ）由已知，将函数)1x (log y 2+=进行坐标变换⎪⎩⎪⎨⎧→+→2y y 1x x 得)11x (log 2y2++=，)2x (log 2y 2+= )2x (log 2)x (g 2+=∴。
（x>-2） ………………………………………………4分（II ）)2x (log 2x log )x (g )1x (f )x (F 22+-=--= （x>0）4x4x 1log )2x (1log 222++=+= …………………………………………6分 ∵x>0， 381log 4x4x 21log )x (F 22-==+⋅≤∴ ……………………………………10分 当且仅当x4x =，即x=2时取等号。
3)2(F )x (F max -==∴。
…………………………………………………………………12分19．（I ）证：由直三棱柱的性质，得平面ABC ⊥平面C C BB 11，又由已知，AB ⊥BC ， ∴AB ⊥平面C C BB 11。
又C C BB D B 111平面⊂，D B AB 1⊥∴ ……………………………………………………2分由已知，111C B DC CD BC ===在Rt △BCD 与11B DC Rt ∆中可求得︒=∠=∠45DC B BDC 11 则︒=∠90BDB 1，即BD D B 1⊥。
又AB ∩BD=B ，ABD D B 1平面⊥∴。
……………………………………………………4分（II ）证：由F B EB 11=，在F EB Rt 1∆中，求得︒=∠︒=∠45DBB 45FEB 11又。
∴EF//BD …………………………………………………………………………………5分 而ABD BD 平面⊂，ABD EF 平面⊄，∴EF ∥平面ABD 。
……………………………………………………………………6分 ∵G 、F 分别为1111C B C A 、的中点，∴AB //GF ,AB //B A ,B A //GF 1111则又………………………………………………7分 而ABD AB 平面⊂，ABD GF 平面⊄，∴GF//平面ABD ………………………………………………8分 ∵EGF EF 平面⊂，F GF EF EGF GF =⊂ ，平面，∴平面EGF//平面ABD ……………………………………………………9分 （III ）解：∵ABD D B 1平面⊥，平面EGF//平面ABD 。
2002年全国高考文科数学试题(北京卷)
«« ★启用前2002年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)(溜(卷)本试卷分第I卷(选样題)和第11卷(非选择題)两部分c第I卷丨至2页。
第U卷3 至9员，共150分.考试时间120分钟<第丨卷(迭择眩共60分)注意事项；I .衿第I卷前•号生务必将自己的姓名.准考证号•考试科目用铅笔涂写在答題卡上r 2•侮小題选出咨案百•用铅笔把答越K上对应题日的裕案标号涂黑■如需改动•用橡皮擦干净后•冉选涂其它答案•不ft|答It试題卷上3.号试结東•监占人将本试卷和答题卡一并收同：巧是符合■目要求的.(1)満足条件WU-ll = M,2.3i的集合M的个数是(A) 4 (B) 3 (C) 2 (0) I(2)任平面直角坐标系中•已知两点4(ca^.sin8(r),B(eo62(r,Mn2(y).则.4BI的值是(A)寺(B)亨(O (D) 1(3)下列四个旳数中•以穴为最小正周期•且在区间(歩“上为城函数的是•才公式：已角旳散怖枳化和彫公戌恋a心戶=t 7“ O ♦ /J) ♦ FW1< 口■ B)• g own p = *1iin( a ♦月)■ *m( a - .rt> aco 0 ■ g・I<Y*( o ♦ 3> ♦•*«(a■ P〉! >in own^3 ■ £、a * >?)- 2(o ■ 3)J一・迭择《L匸大题共12小題•毎小聽5疋棱台・叫台的僻血枳公式= 1 (r* ♦ r)/<* 上.下敲历聘来M友示餅高球体的休机公式V jt 二—吊Kt 的半栓共60分在每小■绐出的四个送项中•只有一(4)(D) r = - c*r(A) y = c<»x在下列四个止方体中.能得岀AB L(A)(B)(C)(D)(5) 64个直轻都为亍的球，记它们的体枳之和为心•我面积之和为.5 —个直径为。
2001年北京市东城区高三第一次模拟试题数学(文史类)
2001年北京市东城区高三第一次模拟试题数学（文史类）参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin φθφθφθ-+=+ 2sin2cos2sin sin φθφθφθ-+=- 2cos2cos2cos cos φθφθφθ-+=+ 2sin2sin2cos cos φθφθφθ-+-=-正棱台、圆台的侧面积公式 l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式：h S S S S V )(31+'+'=台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若)1,0()(≠>=a a a x f x 的定义域为M ，)1,0(log )(≠>=a a x x g a 的定义域为N ，令全集R I =，则=N M（A ）M （B ）N （C ）M （D ）N（2）已知数列{}n a 中，11=a ，),3,2,1(21 ==+n a a n n ，则这个数列前n 项和的极限是（A ）2 （B ）21 （C ）3 （D ）31 （3）已知函数13)(-=x x f ，则它的反函数)(1x fy -=的图象是（4）如图，圆柱的高为8，点A 和点B 分别在上下底面的圆周上，且AB =10，则直线AB 与圆柱的轴O O '所成角的正切值为（A ）34 （B ）43 （C ）54 （D ）53 （5）函数)43sin(2π-=x y 图象的两条相邻对称轴之间的距离是（A ）3π （B ）32π （C ）π （D ）34π（6）点（–2，3）关于直线1+=x y 对称的点的坐标是（A ）（2，–1） （B ）（3，0） （C ）（3，–1） （D ）（2，0）（7）圆台的侧面展开图是一个内外半径分别为3和6，中心角为34π的扇环，则此圆台的全面积是（A ）36π （B ）38π （C ）48π （D ）54π（8）定义在),(+∞-∞上的函数)(x f y =在)2,(-∞上是增函数，且函数)2(+=x f y 图象的对称轴是x =0，则（A ）)3()1(f f <- （B ）)3()0(f f > （C ）)3()1(-=-f f （D ）)3()2(f f <（9）若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有两个点到直线1134=+y x 的距离等于1，则半径R 的取值范围是（A ）R >1 （B ）R <3 （C ）1<R <3 (D)2≠R(10)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花（A ）3360元 （B ）6720元 （C ）4320元 （D ）8640元（11）图中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的点A 作截面111D C AB 而截得的，且D D B B 11=.已知截面111D C AB 与底面ABCD 成30°的二面角，AB =1，则这个多面体的体积为（A ）26 （B ）36 （C ）46 （D ）66 （12）已知双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的离心率[]2,2∈e ，则双曲线一条渐近线与实轴所成锐角θ的取值范围是（A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,4ππ （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ (C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16.把答案填在题中横线上.（13）若n x x )2(+开展式中的第5项为常数，则n = .（14）抛物线5)1(22--=y y x 的准线方程是 .（15）已知31)3(,53)(=-=+πββαtg tg ，则)3(π+a tg 的值是 .（16）已知如图，正方体ABCD –1111D C B A ，过点A 作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试写出满足这样条件的一个截面 .（注：只需任意写出一个.）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解关于x 的不等式：2log log )1(log 2a a a x x >-+ 1,0(≠>a a ）.（18）（本小题满分12分）已知：复数i z z i z i z 5354 ,sin cos ,sin cos 2121+=++=+=ββαα求：)(βα+tg 的值.（19）（本小题满分12分）已知：如图，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，AD ∥BC ，2:1:1::=BC DC PD .（Ⅰ）求PB 与平面PDC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角D -PB -C 的正切值； （Ⅲ）若BC AD 1=，E 为PC 中点，求证DE ∥平面P AB .（20）（本小题满分12分）把椭圆12)1()1(22=-+-y x 绕它的中心旋转90°后，再沿x 轴方向平行移动，使变换后的椭圆截直线x y 2=所得的线段长为3，试写出变换后的椭圆方程.12分）用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段.漂洗阶段由多次漂洗和甩干组成，每次漂洗后可使残留物均匀分布，每次甩干后（包括洗涤后的甩干）衣物中的残留水份（含有残留物）的重量相同，设计时，将漂洗的总用水量定为a 千克，漂洗并甩干的次数定为3次.为使漂洗后衣物中的残留物最少，怎样确定每次漂洗的用水量？并写出你的数学依据.【注：为了便于解决问题，可参考以下各量的字母表示.设每次甩干后衣物中的残留水份（含有残留物）的重量为m ，洗涤并甩干后衣物中的残留物（不含水份）为0n ，三次漂洗并甩干后衣物中的残留物（不含水份）分别为321,,n n n ，三次用水量分别为321,,a a a .（以上各量单位皆为千（22）（本小题满分14分）已知数列{}n a 是等差数列，11=a ，前n 项和为n S ；数列{}n b 是等比数列，前n 项和为n T ，若24b a =，1226-=T S ，8lim =∞→n n T .（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）判断是否存在最小的自然数0n ，使得大于0n 的一切自然数n ，总有na nb n n 123<-成立，并给出你的证明.高三数学（文史类）（一）参考答案及评分标准一、（1）B （2）A （3）D （4）B （5）A （6）A （7）B （8）A （9）C （10）D （11）D （12）C. 二、（13）12 （14）841-=x （15）92.(16)截面11D AB ，或截面1ACD ，或截面C AB 1.（注：未写截面二字不扣分） 三、（17）解：2log log )1(log 2a a a x x +>+)2(log )1(log 2x x a a >+…………………………………………………………2分当10<<a 时，121112112100122>-<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-<->⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+>>+x x x x x x x x x 或或…………………………………7分 当a >1时，1002112102100122<<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<-≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧>+>>+x x x x x x x x 或 综上：当10<<a 时，不等式的解为211-<<-x 或1>x ， 当a >1时，不等式的解为10021<<<<-x x 或.………………………………12分 （18）解：由已知i i i 5354)s i n (c o s )s i n (c o s +=+++ββαα 即i i 5354)sin (sin )cos (cos +=+++βαβα ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+53sin sin 54cos cos ②①βαβα……………………………………………………………4分由①得 542c o s 2c o s 2=-+βαβα…………………………………………………………6分由②得 532c o s 2s i n2=-+βαβα……………………………………………………………8分两式相除，得432=+βαtg……………………………………………………………………10分∴ 724)43(14322122)(22=-⨯=+-+=+βαβαβαtg tgtg ………………………………………………12分 评分标准说明：由复数相等的充要条件转化为两个三角等式各2分.两次和差化积各2分.求出432=+βαtg 占2分.用正切倍角公式计算正确占2分.两个复数的三角形式写对可各给1分 （19）（I ）解：由⊥PD 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，得BC PD ⊥. 由DC AD ⊥，AD ∥BC ，得DC BC ⊥.又D DC PD = ，则⊥BC 平面PDC .…………………………………………2分 所以BPC ∠为直线PB 与平面PDC 所成的角令PD =1，则DC =1，2=BC ，可求出2=PC .……………………………3分由⊥BC 平面PDC ，⊂PC 平面PDC ，得PC BC ⊥. 在PBC Rt ∆中，由BC PC =得︒=∠45BPC即直线PB 与平面PDC 所成的角为︒45……………………………………………4分（II ）解法（一）：取PC 中点E ，连DE ，则PC DE ⊥.由⊥BC 平面PDC ，⊂BC 平面PBC ，得平面⊥PDC 平面PBC .则⊥DE 平面PBC .……………………………………………………………………5分作PB EF ⊥于F ，连DF ，由三垂线定理，得PB DF ⊥.则DFE ∠为二面角D —PB —C 的平面角………………………………………………7分 在PDC Rt ∆中，求得22=DE 在PFE Rt ∆中，求得21=EF . 在DEF Rt ∆中，2==∠EFDEDFE tg . 即二面角D —PB —C 的正切值为2……………………………………………………8分解法（二）：由⊥PD 平面ABCD ，⊂PD 平面PDB 得平面⊥PDB 平面ABCD作BD CH ⊥于H ，则⊥CH 平面PDB .…………………………………………………5分 作PB HF ⊥于F ，连CF ，由三垂线定理得PB CF ⊥，则CFH ∠为二面角D —PB —C 的平面角…………………………………………………7分 在等腰PBC Rt ∆中，求出斜边上的中线CF =1.在DBC Rt ∆中，求出321=+=DB .可进一步求出斜边上的高32=CH .在FHC Rt ∆中，求出31=HF .∴2==∠HFHC HFC tg . 即二面角D —PB —C 的正切值为2………………………………………………………8分 （Ⅲ）证：取PB 中点G ，连AG 和EG . 由三角形中位线定理得GE ∥BC ，BC GE 21=. 由已知，AD ∥BC ，BC AD 21=. ∴AD =GE ，AD ∥GE .则四边形AGED 为平行四边形，∴AG ∥DE …………………………………………………………………………………10分又⊂AG 平面P AB ，DE ⊄平面P AB ，∴DE ∥平面P AB .…………………………………………………………………………12 （20）解：旋转后的椭圆方程为12)1()1(22=-+-x y .………………………………3分 设平移后的椭圆方程为12)()1(22=-+-a x y .…………………………………………4分解解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-②① 22 12)()1(22x y a x y将②代入①后，得12)()122(22=-+-a x x .化简后，得 0)2(2222=++-a x a x ③…………………………………………………………7分由椭圆截直线所得线段长为3有328)2(4)22(1222=-+⋅+a a ……………9分解得a =0或22=a ，并且都使方程③有实根.∴变换后的椭圆方程为：1)1(222=-+y x ………………………………………………11分 或1)1(2)22(22=-+-y x ………………………………………………………………12分 （21）解：由已知，得mna m n 110=+…………………………………………………………………4分 解得ma n a m mn n 10111+=+=……………………………………………………………………5分同样可得)1)(1(1210212ma m a n m a n n ++=+=……………………………………………………6分 )1)(1)(1(13210323ma m a m a n m a n n +++=+=……………………………………………………7分 由a a a a =++321及平均值定理，得33213213111)1)(1)(1(⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤+++m a m a m a m a m a m a =3)31(m a +. 当且仅当3321aa a a ===时等号成立.…………………………………………………10分 ∴303)31(ma n n +≥，当且仅当3321aa a a ===时等号成立.……………………………11分 则将a 千克的水平均分成三次使用可使衣物上的残留物最少.………………………12分 （22）解：（I ）设{}n a 的公差为d ，{}nb 的公比为q 由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+=⨯+=+811)(22566311111q b q b b d qb d 化简后，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=③②① )1(8 72215 131111q b q b b d q b d ……………………2分 将①③代入②并化简后，得0720122=+-q q .解得21=q 或67=q （舍） 将21=q 代入①③分别求出31=d ，41=b .………………………………………………5分 则)2(31+=n a n ，3)21(-=n n b .……………………………………………………………7分（Ⅱ）3)21(23-=-n n n a nb ………………………………………………………………………8分 考查不等式nn 1)21(3<-，当5=n 时不成立，n =6时成立，猜想取50=n .…………10分用数学归纳法证明如下：①当n =6时，6181)21(36<=-，不等式成立.②假设),6(N k k k n ∈≥=时，不等式成立，即k k 1)21(3<-.则当1+=k n 时，1121121)21(21)21(33)1(+<=⋅<⋅=--+k k k k k .不等式也成立.综合①②，对任意6≥n 的自然数n ，不等式nn 1)21(3<-成立.………………………12分评分标准说明：列方程组正确，2分，解方程组每个解正确各1分，通项公式写对各1分，代入计算23-n n a nb 正确占1分.猜想50=n 占2分，用数学归纳法证明占4分.。
北京市东城区2002年高三总复习综合练习(二)
北京市东城区2002年高三总复习综合练习（二）文科综合能力测试第Ⅰ卷（选择题共140分）一、本卷共35小题，每小题4分，共计140分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
图1、图2分别是某大洲大陆的地形剖面图，读图回答1一2题。
1．图中表示落基山脉的字母是A.①B.②C.③D.④2．流经山脉③西侧的洋流是A.加利福尼亚寒流B.北太平洋暖流C.秘鲁寒流D.本格拉寒流《京都议定书》是1997年12月在日本京都召开的联合国气候大会通过的。
该议定书规定，在2008年至2012年期间，发达国家的温室气体排放量要在1990年的基础上平均削减5.2％。
然而，美国政府于200l年3月28日宣布不实行《京都议定书》。
据此回答3-8题。
3．温室气体主要指A.二氧化硫B.可吸入颗粒物C.二氧化碳D.氧化氮4.世界上温室气体排放量最多的国家是A.意大利B.美国C.日本D.中国5．美国决定放弃实施《京都议定书》，温室气体的排放量居高不下，将对世界气候产生的主要影响是A.出现厄尔尼诺现象B.出现酸雨现象C.全球进入冰期D.全球气候变暖6．为了减少温室气体的排放，人类应该采取的措施是A.植树造林B.开发和使用清洁能源C．建立污水处理厂D.发展煤铁复合体型工业7．美国布什政府放弃实施《京都议定书》的根本原因是A.坚持推行单边主义外交政策B.温室气体对美国环境影响不大C.经济发达国家承担的义务过多D.美国国内部分利益集团的影响8.联合国在世界环境保护方面所做的积极努力，体现了联合国的宗旨是A.维护国家独立与主权，促进世界和平与发展B.成员国主权平等，以和平的方式解决国际争端C.维护国际和平与安全，促进国际合作与发展D.协调国际关系，促进各国经济和社会发展在山西某矿区，工人们发现夹在页岩地层中的巨厚煤层乌黑发亮，仔细辨认，还能看出苏铁、银杏等裸子植物粗大的树干。
读图3，回答9-12题。
9．若苏铁、银杏等裸子植物化石出现在图中岩层③处，则A.在甲处向下可采到煤炭B.在乙处向下可采到煤炭C.岩层①中可能有三叶虫化石D.岩层②中可能有鱼类化石10．该煤层形成的地质年代是A.太古代B.元古代C.新生代D.中生代11．煤炭属于①来自地球内部的能源②来自太阳辐射的能源③一次能源④二次能源⑤常规能源⑥非可再生能源A.①③⑥B.②④⑤C.②③⑤⑥D.①③⑤⑥12．山西省煤炭储量很大，解决山西煤炭外运能力不足的措施是A.修建神府—黄骅铁路线B.修建大同一连云港铁路线C.建立坑口电站D.限制煤炭的开采民族融合是中国古代历史发展的重要内容。
2002年全国统一高考文科数学试卷
第1页（共14页） 2002年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线(1)10a x y +++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为( )A ．1-B ．2-C ．1 D2．（5分）复数31()2的值是( ) A ．1- B ．1 C ．i - D ．i3．（5分）不等式(1)(1||)0x x +->的解集是( )A ．{|01}x x <„B ．{|0x x <且1}x ≠-C ．{|11}x x -<<D ．{|1x x <且1}x ≠-4．（5分）函数x y a =在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则(a = )A ．12B ．2C ．4D ．145．（5分）在(0,2)π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围是( )A ．(4π，)(2ππ⋃，5)4π B ．(4π，)π C ．(4π，5)4π D ．(4π，5)(4ππ⋃，3)2π 6．（5分）设集合1{|24k M x x ==+，}k Z ∈，1{|42k N x x ==+，}k Z ∈，则( ) A ．M N = B ．M N ⊂ C ．M N ⊃ D ．M N =ΦI 7．（5分）椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( )A ．1-B ．1 CD．8．（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是( )A ．34B ．43C ．35-D ．359．（5分）已知01x y a <<<<，则有( )A ．log ()0a xy <B ．0log ()1a xy <<C ．1log ()2a xy <<D ．log ()2a xy >10．（5分）函数2([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是( )A ．0b …B ．0b „C ．0b >D ．0b <。
北京市东城区高考数学一模试卷( 文科 )(解析版)
北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．如果A={x∈R|x＞0}，B={0，1，2，3}，那么集合A∩B=（）A．空集B．{0}C．{0，1}D．{1，2，3}2．某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为（）A．200 B．100 C．80 D．753．如果a=log41，b=log23，c=log2π，那么三个数的大小关系是（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a4．如果过原点的直线l与圆x2+（y﹣4）2=4切于第二象限，那么直线l的方程是（）A．B． C．y=2x D．y=﹣2x5．设函数若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（0，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）6．“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件7．如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有（）A．1 B．2 C．3 D．48．如果函数y=f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称f（x）为“倍增函数”．若函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，0）D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．如果（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，那么实数x=．10．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k=_________．11．如果直线l：y=kx﹣1（k＞0）与双曲线的一条渐近线平行，那么k=__________．12．“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空．“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信．量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度．如图所示编码方式1编码方式2码元0码元1信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息．如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是．13．已知△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，那么BC=，=．14．已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里．三、解答题（共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．已知点（，1）在函数f（x）=2asinxcosx+cos2x的图象上．（Ⅰ）求a的值和f（x）最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在（0，π）上的单调减区间．16．已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，若a1=9，S3=21．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a5，a8，S k成等比数列，求k的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AD⊥BD且AD=BD，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD．（I）E为棱PC的中点，求证：OE∥平面PAB；（II）求证：平面PAD⊥平面PBD；（III）若PD⊥PB，AD=2求四棱锥P﹣ABCD体积．18．某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图（图1）：组号分组频数1[0.5，1）202[1，1.5）403[1.5，2）804[2，2.5）1205[2.5，3）606[3，3.5）407[3.5，4）208[4，4.5）20（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率；（Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”．假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如图2所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由．19．已知椭圆W：=1（a＞b＞0）的左右两个焦点为F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程及离心率；（Ⅱ）如图，过点F1作直线l1与椭圆W交于点A，C，过点F2作直线l2⊥l1，且l2与椭圆W交于点B，D，l1与l2交于点E，试求四边形ABCD面积的最大值．20．设函数，a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）已知函数，若g（x）在区间（0，1）内有零点，求a 的取值范围；（Ⅲ）设f（x）有两个极值点x1，x2，试讨论过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线能否过点（1，1），若能，求a的值；若不能，说明理由．2017年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．如果A={x∈R|x＞0}，B={0，1，2，3}，那么集合A∩B=（）A．空集B．{0}C．{0，1}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵A={x∈R|x＞0}，B={0，1，2，3}，∴集合A∩B={1，2，3}．故选：D．2．某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为（）A．200 B．100 C．80 D．75【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：设大一抽取的人数为n人，则用分层抽样的方法可得=，∴x=80．故选：C．3．如果a=log41，b=log23，c=log2π，那么三个数的大小关系是（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log41=0，1＜b=log23＜c=log2π，∴c＞b＞a．故选：A．4．如果过原点的直线l与圆x2+（y﹣4）2=4切于第二象限，那么直线l的方程是（）A．B． C．y=2x D．y=﹣2x【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆心坐标为（0，4），半径长为2．因为直线斜率存在．设直线方程为y=kx，根据圆心到直线的距离等于半径，确定k的值，从而求出直线方程【解答】解：圆心坐标为（0，4），半径长为2．由直线过原点，当直线斜率不存在时，不合题意，设直线方程为；y=kx，即kx﹣y=0．则圆心到直线的距离d==r=2化简得：k2=3又∵切点在第二象限，∴∴直线方程为；y=﹣x故选：B．5．设函数若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（0，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】分别讨论2a﹣3＞1，与＞1，求出a的范围即可．【解答】解：若2a﹣3＞1，解得：a＞2，与a＜0矛盾，若＞1，解得：a＞0，故a的范围是（0，+∞），故选：B．6．“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】cos2α=0⇔（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0⇔（cosα+sinα）=0或（cosα﹣sinα）=0，即可判断出结论．【解答】解：cos2α=0⇔（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0⇔（cosα+sinα）=0或（cosα﹣sinα）=0，∴“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．7．如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图，可得直观图是四棱锥，底面是正方形，有一侧棱垂直于底面，即可得出结论．【解答】解：由三视图，可得直观图是四棱锥，底面是正方形，有一侧棱垂直于底面，则四棱锥的四个侧面都是直角三角形，故选D．8．如果函数y=f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称f（x）为“倍增函数”．若函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，0）D．【考点】函数的值．【分析】由题意，函数f（x）在[a，b]上的值域且是增函数；可得，可以转化为方程e2x﹣e x﹣m=0有两个不等的实根，且两根都大于0的问题，从而求出t的范围．【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，且满足存在[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即；∴方程e2x﹣e x﹣m=0可化为y2﹣y﹣m=0（其中y=e x），∴该方程有两个不等的实根，且两根都大于0；即，解得﹣＜m＜0；∴满足条件的m的范围是（﹣，0）；故选：D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．如果（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，那么实数x=﹣1．【考点】复数的基本概念．【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，∴，解得：x=﹣1．故答案为：﹣1．10．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k=5．【考点】程序框图．【分析】由程序框图，运行操作，直到条件满足为止，即可得出结论．【解答】解：由程序框图知第一次运行k=2，m=；第二次运行k=3，m=；第三次运行k=4，m=；第四次运行k=5，m=；退出循环．故答案为：5．11．如果直线l：y=kx﹣1（k＞0）与双曲线的一条渐近线平行，那么k=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，即可得到所求k的值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由直线l：y=kx﹣1（k＞0）与双曲线的一条渐近线平行，可得k=．故答案为：．12．“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空．“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信．量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度．如图所示编码方式1编码方式2码元0码元1信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息．如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】发送端发送一个码元，基本事件总数n=2，接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1，由此能求出发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率；进而利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出发送端发送3个码元，恰有两个码元无法获取信息的概率．【解答】解：发送端发送一个码元，基本事件总数n=2，接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1，∴发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率p1==．发送端发送3个码元，恰有两个码元无法获取信息的概率p2==．故答案为：，．13．已知△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，那么BC=2，=﹣6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用余弦定理求出BC的值，根据平面向量数量积的定义求出的值．【解答】解：△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴BC=2，∴=（﹣）•（﹣）=﹣+•=﹣22+2×2×cos120°=﹣6．故答案为：2，﹣6．14．已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠900公里．【考点】进行简单的合情推理．【分析】因为要求最远，所以3人同去耗食物，即只一人去，另2人中途返回，3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的食物返回；甲独自前进18天后返回，甲一共走了30天，他们每天向沙漠深处走30千米，据此解答即可．【解答】解：因为要求最远，所以3人同去耗水和食物，即只一人去，3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的水和食物返回．则甲有的食物：36﹣12+12+12=48（天）甲再走：（48﹣12）÷2=18（天）30×（12+18）=900公里．故答案为900．三、解答题（共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．已知点（，1）在函数f（x）=2asinxcosx+cos2x的图象上．（Ⅰ）求a的值和f（x）最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在（0，π）上的单调减区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，图象过点（，1），可得a的值．利用周期公式求函数的最小正周期．（Ⅱ）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；根据k的取值，即可得x在（0，π）的减区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2asinxcosx+cos2x．化解可得：f（x）=asin2x+cos2x．∵图象过点（，1），即1=asin+cos可得：a=1．∴f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）∴函数的最小正周期T=．（Ⅱ）由2kπ+2x+，k∈Z．可得：≤x≤，k∈Z．函数f（x）的单调减区间为[，]，k∈Z．∵x∈（0，π）．当k=0时，可得单调减区间为[，]．函数f（x）在（0，π）上的单调减区间为[，]．16．已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，若a1=9，S3=21．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a5，a8，S k成等比数列，求k的值．【考点】等比数列的通项公式；数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列前n项和公式求出d=﹣2，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由a5，a8，S k成等比数列，得，由此能求出k．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，a1=9，S3=21．∴，解得d=﹣2，∴a n=9+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+11．（Ⅱ）∵a5，a8，S k成等比数列，∴，即（﹣2×8+11）2=（﹣2×5+11）•[9k+]，解得k=5．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AD⊥BD且AD=BD，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD．（I）E为棱PC的中点，求证：OE∥平面PAB；（II）求证：平面PAD⊥平面PBD；（III）若PD⊥PB，AD=2求四棱锥P﹣ABCD体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由四边形ABCD是平行四边形，可得O为AC中点，又E为PC中点，由三角形中位线定理可得OE∥PA，再由线面平行的判定可得OE∥平面PAB；（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，再由AD⊥BD，可得AD⊥平面PBD，进一步得到平面PAD⊥平面PBD；（Ⅲ）由已知求出平行四边形ABCD的面积，进一步求出高PO，再由体积公式得答案．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC中点，又E为PC中点，∴OE是△PAC的中位线．∴OE∥PA，而OE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴OE∥平面PAB；（Ⅱ）证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，又AD⊥BD，且BD∩PO=O，∴AD⊥平面PBD，而AD⊂平面PBD，∴平面PAD⊥平面PBD；=2×2=4，（Ⅲ）由AD⊥BD，且AD=BD，AD=2，∴S四边形ABCD又PD⊥PB，PO⊥BD，可得PO=，∴．18．某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图（图1）：组号分组频数1[0.5，1）202[1，1.5）403[1.5，2）804[2，2.5）1205[2.5，3）606[3，3.5）407[3.5，4）208[4，4.5）20（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率；（Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”．假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如图2所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由．【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）由数据分组及频数分布表能求出a，b的值．（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出这名住户一个月用水量小于3立方米的概率．（Ⅲ）由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”，由图求出三个月后的该小区人均用水量，由此得到三个月后，估计小区能达到“节水小区”的标准．【解答】解：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表知：a==0.2，b==0.6．（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，则这名住户一个月用水量小于3立方米的概率P（A）==0.8．（Ⅲ）∵该小区居民月用水量低于这一标准的比例为30%，∴由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”，由图可知，三个月后的该小区人均用水量为：1×0.1+1.5×0.15+2×0.25+2.5×0.3+3×0.1+3.5×0.05+4×0.05=2.25＜2.5，∴三个月后，估计小区能达到“节水小区”的标准．19．已知椭圆W：=1（a＞b＞0）的左右两个焦点为F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程及离心率；（Ⅱ）如图，过点F1作直线l1与椭圆W交于点A，C，过点F2作直线l2⊥l1，且l2与椭圆W交于点B，D，l1与l2交于点E，试求四边形ABCD面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义及焦距|F1F2|=2c=2，求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=2，即可求得椭圆的方程及离心率．（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由S=丨AC丨•丨BD丨=4，当直线斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式分别求得丨AC丨，丨BD 丨根据函数的单调性即可求得四边形ABCD面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：|F1F2|=2c=2，c=1，2a=|PF1|+|PF2|=2，a=，b2=a2﹣c2=2，离心率e==，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）当直线l2⊥l1，当斜率不存在时，EF1⊥EF2，此时求得丨EO丨=丨F1F2丨=1，∴E点轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，显然点E在椭圆W上内部，∴四边形ABCD面积S=S△ABC +S△ADC=丨AC丨•丨BE丨+丨AC丨•丨DE丨=丨AC丨•丨BD丨，将x=﹣1代入椭圆方程，求得y=±，此时丨BD丨=，丨AC丨=2，则四边形ABCD面积S=丨AC丨•丨BD丨=4，当直线l2，l1都存在时，设直线l1，x=my﹣1，（m≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（2m2+3）y2﹣4my﹣4=0，则y1+y2=，y1y2=﹣，则丨AC丨=•=，同理直线l1，x=﹣x+1，同理求得丨BD丨=，∴四边形ABCD面积S=丨AC丨•丨BD丨=××，=，==4×，=4（1﹣）＜4，综上可知四边形ABCD面积的最大值4，此时直线l2，l1一条为椭圆的长轴，一条与x轴垂直．20．设函数，a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）已知函数，若g（x）在区间（0，1）内有零点，求a 的取值范围；（Ⅲ）设f（x）有两个极值点x1，x2，试讨论过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线能否过点（1，1），若能，求a的值；若不能，说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）f′（x）=x2﹣x+a，由x=2是f（x）的极值点，可得f′（2）=0，解得a=﹣2．代入f′（x）进而得出单调性．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．对a与1的大小关系分类讨论可得a的取值范围．（III）不能，原因如下：设f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=x2﹣x+a有两个不同的零点．△＞0，解得a＜，且x1，x2，为方程x2﹣x+a=0的两根．则﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，可得f（x1）=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线方程为：y=x+a．进而判断出结论．【解答】解：（I），a∈R．f′（x）=x2﹣x+a，∵x=2是f（x）的极值点，∴f′（2）=4﹣2+a=0，解得a=﹣2．代入f′（x）=x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2），令f′（x）=0，解得x=﹣1，或x=2．令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴f（x）在x∈（﹣∞，﹣1），（2，+∞）时单调递增；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2，∴f（x）在x∈（﹣1，2）时单调递减．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．①当a≥1时，x∈（0，1）时，g′（x）＞0恒成立，g（x）单调递增，又g（0）=＞0，因此此时函数g（x）在区间（0，1）内没有零点．②当0＜a＜1时，x∈（0，a）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（a，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（0）=＞0，因此要使函数g（x）在区间（0，1）内有零点．必有g（1）＜0，∴（1+a）+a+＜0，解得a＜﹣1．舍去．③当a≤0时，x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（0）=＞0，因此要使函数g（x）在区间（0，1）内有零点．必有g（1）＜0，解得a＜﹣1．满足条件．综上可得：a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．（III）不能，原因如下：设f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=x2﹣x+a有两个不同的零点．∴△=1﹣4a＞0，解得a＜，且x1，x2，为方程x2﹣x+a=0的两根．则﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，∴f（x1）=﹣+ax1=﹣+ax1=+=﹣（x1﹣a）+=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线方程为：y=x+a．若上述直线过点（1，1），则：1=+a．解得a=．上述已知得出：若f（x）有两个极值点x1，x2，则a＜，而a=，不合题意，舍去．因此过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线不能过点（1，1）．2017年4月25日。
2002年春季高考试数学试卷(北京文、理)及答案
2002年普通高等学校春季招生考试数学试卷(北京文、理)一、选择题（1）不等式组⎩⎨⎧<-<-030122x x x 的解集（ ）（A ）{x|–1<x<1} （B ）{x|0<x,3} （C ）{x|0<x<1} （D ）{x|–1<x<3}（2）已知三条直线m 、n 、l ，三个平面α、β、γ，下列四个命题中，正确的是（ ）（A ）βαγβγα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥ （B ）ββ⊥⇒⎭⎬⎫⊥l m l m //（C ）n m n m //////⇒⎭⎬⎫γγ （D ）n m n m //⇒⎭⎬⎫⊥⊥γγ（3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ|=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线 （4）如果θ∈(π/2,π)那么复数(1+i)(cos θ+isin θ)的辐角的主值是（ ）（A ）θ+9π/4 （B ）θ+π/4 （C ）θ–π/4 （D ）θ+7π/4 （5）若角α满足条件sin2α<0，cos α–sin α<0，则α在（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（6）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）（A ）280种 （B ）240种 （C ）180种 （D ）96种 （7）在∆ABC 中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120︒（如图）．若将∆ABC绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）（A ）9π/2 （B ）7π/2 （C ）5π/2 （D ）3π/2 （8）（理）圆2x 2+2y 2=1与直线xsin θ+y –1=0 (θ∈R, θ≠π/2+k π, k ∈Z)的位置关系是（ ） （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）不能确定 （文）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）（A ）x –y=0 （B ）x+y=0 （C ）|x|–y=0 （D ）|x|–|y|=0 （9）（理）在极坐标系中，如果一个圆的方程ρ=4cos θ+6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）ρsin θ=3 （B ）ρsin θ = –3 （C ）ρcos θ =2 （D ）ρcos θ = –2 （文）函数y=2sinx 的单调增区间是（ ）（A ）[2k π–π/2, 2k π+π/2] (k ∈Z) （B ）[2k π+π/2, 2k π+3π/2] (k ∈Z) （C ）[2k π–π, 2k π] (k ∈Z) （D ）[2k π, 2k π+π] (k ∈Z) （10）（理）对于二项式(1/x+x 3)n ，四位同学作出了四种判断：①存在n ∈N ，展开式中有常数项；②对任意n ∈N ，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N ，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N ，展开式中有x 的一次项．上述判断中正确的是（ ）（A ）①与③ （B ）②与③ （C ）②与④ （D ）④与① （文）在(1/x+x 2)6的展开式中，x 3的系数和常数项依次是（ ）（A ）20，20 （B ）15，20 （C ）20，15 （D ）15，15（11）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） （A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项（12）用一张钢板制作一个容积为4m 3的无盖长方体水箱．可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各项所示，单位均为m ）．若既要够用，又要所剩够用，则应选择钢板的规则是（ ） （A ）2×5 （B ）2×5.5 （C ）2×6.1 （D ）3×5二、填空题（13）若双曲线x 2/4–y 2/m=1的渐近线方程为y=±√3 x/2，则双曲线的焦点坐标是 （14）如果cos θ= –12/13 θ∈(π, 3π/2)，那么cos(θ+π/4)的值等于_____（15）正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图所示）．M 为矩形AEFD 内 的一点，如果∠MBE=∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值 为1/2，那么点M 到直线EF 的距离为________（16）对于任意两个复数z 1=x 1+y 1i ，z 2=x 2+y 2i （x 1、y 1、x 2、y 2为实数），定义运算⊙为：z 1⊙z 2=x 1x 2+y 1y 2．设非零复数w 1、w 2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2，点为O 为坐标原点．如果w 1⊙w 2=0，那么在∆P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为_______ 三、解答题（17）在∆ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求tg(A/2)+3tg(A/2)tg(C/2)+tg(C/2)的值．（18）已知f(x)是偶函数，而且在(0,+∞)上是减函数．判断f(x)在(–∞,0)上是增函数还是减函数，并加以证明（19）在三棱锥S –ABC 中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90︒，AC=2，BC=√13，SB=√29． （Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角大小； （Ⅲ）（理）求异面直线SC 与AB 所成的角的大小（用反三角函数表示）． （文）求三棱锥的体积V S –ABC ．（20）假设A 型进口汽车关税税率在2001年是100﹪，在2006年是25﹪，2001年A 型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．（Ⅰ）已知与A 型车性能相近的B 型国产车，2001年每辆价格为46万元．若A 型车的价格只受关税降低影响，为了保证2006年B 型车的价格不高于A 型车价格的90﹪，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？（Ⅱ）某人在2001年将33万元存入银行，假如该银行扣利息税后的年利率为1.8﹪（五年内不变），且每年按复利计算（例如，第一年的利息记入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按（Ⅰ）中所述降价后的B 型汽车？ （21）（理）已知点的序列A n (x n ,0)，n ∈N ，其中x 1=0，x 2=a (a>0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，···，A n 是线段A n –2A n –1的中点，···．（Ⅰ）写出x n 与x n –1、x n –2之间的关系式 (n ≥3)；（Ⅱ）设a n =x n+1–x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明；（Ⅲ）求n n x ∞→lim .（文）同理（22）（Ⅰ）（Ⅱ） （22）（理）已知某椭圆的焦点是F 1(–4,0)、F 2(4,0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B|+|F 2B|=10，椭圆上不同的两点A(x 1,y 1)、C(x 2,y 2)满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列． （Ⅰ）求该椭圆方程；（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；（Ⅲ）设弦AC 的垂直平分线的方程为y=kx+m ，求m 的取值范围． （文）同理（21）参考答案一、选择题：CDABB BDC (D)A(A)D (C) AC 二、填空题；（13）(±√7, 0)；（14）-7√2/26；（15）√2/2；（16）π/2. 三、解答题：（17）√3；（18）增函数；（19）（Ⅰ）略；（Ⅱ）60︒；（Ⅲ）（理）arccos √17/17，（文）125√3/6； （20）（Ⅰ）2万元；（Ⅱ）5年后本息和为36 .07692>36，可以. （21）（理）（Ⅰ）x n =(x n –1+x n –2)/2；（Ⅱ）a n =(–1/2)n –1 (n ∈N)；（Ⅲ）2a/3； （文）同理（Ⅰ）（Ⅱ）. （22）（理）（Ⅰ）x 2/25+y 2/9=1；（Ⅱ）x 0=4；（Ⅲ）–16<m<16/5；（文）同理 (21).2002年普通高等学校招生全国统一考试数学理参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得 0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α∴01sin 2=-α，即21sin =α∴6πα=∴33=αtg（18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形。
北京市东城区2002届高三文科数学一模试题
A . y =log 2（x -1） （ x>1）B . y =log 2（x 1） （x>-1）北京市东城区2002年高三总复习练习一数学（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第 I 卷1至2页。
第II 卷3至8 页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题共60分） 注意事项：1 •答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2 •每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3 •考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式： 三角函数的和差化积公式c也日+申 e-<psin sin =2sin cos —2 2c 小 0+^P 6-<P sin si n =2 cos sin2 2e e + ^p 日一申COS J cos =2cos cos —2 2小 e + ^p 8 —wcos cos - -2sin sin —2 2正棱台、圆台的侧面积公式1 S台侧 ~~2（c ' c ）l其中c '、c 分别表示上、下底面周长, 台体的体积公式其中S '、S 分别表示上、下底面积， h 表示咼第I 卷（选择题共60 分）、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
A 、B 、C 的坐标分别为2、3、5,则点C 分有向线段AB 所成的比为l 表示斜高或母线长 V台体 1 —肓（S ，S'S S ）h3 3 2 2 A.-B .C .D .22331.数轴上三点2•函数y =2x 1的反函数为C . y =log 2 x -1 (x>0)D . log 2 x 1 ( x>0 )26.两圆x 2 y 2 -2y =0与x 2 • y 2 -4 =0的位置关系是A .相交B .内切C .外切D .内含7.已知圆台的轴截面是上、下底边长分别为2和4，底角为 展开图的面积为A . 24 nB . 8 n&已知图①中的图象对应的函数为C . 6 nD . 3 ny=f(x)，则图②中的图象对应的函数3•若数列｛a n ｝的前n 项和公式为 S n =log 3(n 1)，则 a 5等于 log 5 6 6B . log 3 5C . log 3 6D . log 3 54. 设 S=(x_1)4 4(x -1)3 6(x -1)2 4x —3, S 等于 x 4 B . x 4 1 C . (x 一2)4 x 45. 函数y=cos(x-1)图象的一个对称中心的坐标是( (訂,0)B . "0)C .7t+1, 0)D . ( n -1 , 0)在下列给出的四式中, 只可能是 2和4,侧棱长为2,则它的一条侧棱AA 1与截面DD 1B 1B 所成角的正弦值为D . y=-f(|x|)60°的等腰梯形，则圆台侧面二 a//cc//b二 a_ca// b③』 n a 〃 cc//ba// b c_b=a_c3o4 o 3… 口y.三（二，一二）,cos ,-三（一二,2 二），则 a + 3 是 2 5 2B •第二象限角C .第三象限角D •第四象限角ABC-DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两互相垂直， 平面ABC//平面 DEFG , 平面BEF//平面ADGC , AB=AD=DG=2 , AC=EF=1，则该多面体的体积为A . 2B . 4C . 6D . 8=1 （a>b>0）的半焦距为c ,若直线y=2x 与椭圆一个交点的横坐标恰为c ,则椭圆的离心率为A2 -、2A .2D . .2 -1第II 卷（非选择题共90分） 注意事项：1. 第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2002年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（北京）卷
2002年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（北京）卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。
共150分。
考试时间120分钟。
分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案。
不能答在试题卷上。
干净后，再选涂其它答案。
不能答在试题卷上。
干净后，再选涂其它答案。
不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并交回。
．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：参考公式：三角函数的积化和差公式三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin b a b a b a -++=)]sin()[sin(21sin cos b a b a b a --+= )]cos()[cos(21cos cos b a b a b a -++= )]cos()[cos(21sin sin b a b a b a --+-=一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. .1．满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是的个数是 （ ）A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．在平面直角坐标系中，已知两点)20sin ,20(cos ),80sin ,80(cos °°°°B A 则|AB|的值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．1 3．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（p p ,2）上为减函数的是）上为减函数的是 （ ）A ．x y cos =B ．|sin |2x y =C ．2cosxy = D ．ctgx y -=正棱台、圆台的侧面积公式正棱台、圆台的侧面积公式 l c c S )(21+¢=台侧 其中c ¢、c 分别表示上、下底面周长，l 表示表示 斜高或母线长斜高或母线长球体的体积公式球体的体积公式 334R V p =球其中R 表示球的半径表示球的半径4．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是的是 （）5．64个直径都为4a的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则，则 （）A．V甲＞V乙且S甲＞S乙B．V甲＜V乙且S甲＜S乙C．V甲＝V乙且S甲＞S乙D．V甲＝V乙且S甲＝S乙6．若直线3:-=k xyl与直线0632=-+yx的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围的取值范围 （）A．)3,6[pp B．)2,6(pp C．)2,3(pp D．]2,6[pp7．（1+i）8等于等于A．16i B．－16i C．－16 D．16 8．若1121=+-q qctgctg，则q2cos的值为的值为 （）A．53B．－53C．552D．－5529．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为本，不同分法的种数为 （）A．480 B．240 C．120 D．96 10．已知椭圆1532222=+nymx和双曲线1322222=-nymx有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是线方程是 （）A．yx215±=B．xy215±=C．yx43±=D．xy43±=11．已知)(xf的定义在（0，3）上的函数，)(xf的图象如图所示，那么不等式0cos)(<xxf的解集是的解集是A．（0，1）∪（2，3）B．)3,2()2,1(ppC．)3,2()1,0(pD．)3,1()1,0(12．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对“对 [0，1]中任意的x 1和x 2，)]()([21)2(2121x f x f x x f +£+恒成立”的只有恒成立”的只有（ ）A ．)(),(31x f x fB ．)(2x fC ．)(),(32x f x fD ．)(4x f第Ⅱ卷（非选择题（非选择题 共90 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．p p p 57,56cos ,52sin tg 从小到大的顺序是从小到大的顺序是 . 14．等差数列{a n }中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于该等比数列公比的值等于 . 15．关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：内的射影有如下判断：①可能是①可能是0°的角；°的角；②可能是锐角；②可能是锐角；②可能是锐角；③③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是其中正确判断的序号是 （注：把你认为是正确判断的序号都填上）. 16．圆012222=+--+y x y x 的动点Q 到直线0843=++y x 距离的最小值为距离的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）分）解不等式x x >+-212. 18．（本小题满分12分）分）如图，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .. （Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角正切值；所成二面角正切值； （Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式（Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算已知它的体积公式是已知它的体积公式是6h V =（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，（注：与两个底面平行， 且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）A B C D A 1 C 1 B 1 D 1 abcd19．（本小题满分12分）分）数列{x n }由下列条件确定：.),(21,011N n x a x x a x nn n Î+=>=+ （Ⅰ）证明：对n ≥2，总有a x n ³；（Ⅱ）证明：对n ≥2，总有1+³n n x x ；20．（本小题满分12分）分）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n 个不同的数n vv v ,,,21 的和å=++++=ni n i v v v v v 1321 .计算开始前，n 个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作. 为了用尽可能少的单位时间．．．．．．．．．，使各台机器都得到这n 个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n=2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示： 机器号 初始时 第一单位时间第一单位时间第二单位时间第二单位时间第三单位时间第三单位时间被读机号被读机号结 果 被读机号被读机号 结 果被读机号被读机号 结 果1 v 1 2 v 1+ v 2 2 v 21 v 2+v 1（Ⅰ）当n=4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？时，至少需要多少个单位时间可完成计算？ 把你设计的方法填入下表把你设计的方法填入下表 机器号 初始时 第一单位时间第一单位时间 第二单位时间第二单位时间 第三单位时间第三单位时间 被读机号被读机号结 果被读机号被读机号 结 果 被读机号被读机号 结 果1 v 1 2 v 2 3 v 3 4 v 4（Ⅱ）当n=128时，要使所有机器都得到å=ni iv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）论不要求证明）21．（本小题满分13分）分）已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点. （Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G ，F ，H 三点共线；三点共线； （Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹. 22．（本小题满分13分）分）已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足：都满足：)()()(a bf b af b a f +=×. （Ⅰ）求f （0），f （1）的值；）的值；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若))(2(,2)2(N n f u f n n Î==，求证)(1N n u u nn Î>+. y O B(1，0) xC(b ，c) 参考解答说明：说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分. 1.C 2.D 3.B 4.A 5.C 6.B 7.D 8.A 9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13．p p p5752sin 56cos tg << 14．4 15．①②③④⑤．①②③④⑤16．2 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分. 解：解： îíì<-³-ïîïíì->-³-³-Û>+-02012)2(12,02,0122122x x x x x xx x 或 221056,22<£îíì<+-³Ûx x x x 或2215222151,2<£<£Û<£îíì<<³Ûx x x x x 或或 521<£Ûx .所以，原不等式组的解集为}521|{<£x x . 18．本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分12分. （1）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于的垂直平面，交底面于PQ,过B 1作B 1G ⊥PQ,垂足为G.∵平面ABCD ∥平∥平 面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°，∴AB ⊥PQ ，AB ⊥ B 1P . ∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作 C 1H ⊥PQ ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二由于相对侧面与底面所成二 面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形. h G B d b PG =-=1),(21又，),(21d b d b h PG B tg >-=Ð\即所求二面角的正切值为d b h -2. （Ⅲ）V 估＜V.证明： ∵a ＞c ，b ＞d ，∴h d b c a d b c a ab cd h V V 22)224(6+×+-+×+×++=-估 0))((12)])((3))((222[12>--=++-++++=d b c a h d b c a d b c a ab cd h ∴V 估＜V . 19．本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分12分. （Ⅰ）证明：由)(21,011nnn x a x xa x +=>=+及，可归纳证明0>n x （没有证明过程不扣分）. 从而有)()(211N n a x a x x a x x n n n n n Î=׳+=+，所以，当n ≥2时，a xn³成立. （Ⅱ）证法一：当n ≥2时，因为)(21,01n nn n x a x x a x +=>³+，所以，所以 021)(2121£-×=-+=-+nn n n n n n x x a x x a x x x ，故当n ≥2时，1+³n n x x 成立. 证法二：当n ≥2时，因为)(21,01nnn nx a x xa x +=>³+，所以，所以 122)(21222221=+£+=+=+nn n n n n n n nn x x x x a x x x a x x x ，故当n ≥2时，1+³n n x x 成立. 20．本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解：当n=4时，只用2个单位时间即可完成计算. 方法之一如下：方法之一如下： 机器号 初始时 第一单位时间第一单位时间第二单位时间第二单位时间第三单位时间第三单位时间 被读机号被读机号 结 果 被读机号被读机号结 果 被读机号被读机号 结 果1 v 1 2 v 1+ v 2 3 v 1+ v 2+ v 3+ v 4 2 v 2 1 v 2+v 1 4 v 2+ v 1+ v 4+ v 3 3 v 3 4 v 3+ v 4 1 v 3+ v 4+ v 1+ v 2 4 v 43 v 4+ v 32 v 4+ v 3+ v 2+ v 1（Ⅱ）解：当n=128=27时，至少需要7个单位时间才能完成计算. 21．本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分. （Ⅰ）解：由△OBC 三顶点坐标O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）（c ≠0），可求得，可求得 重心)3,31(c b G +，外心F )2,21(22c b c b -+，垂心)3,(2b b b H -.当21=b 时，时，G ，F ，H 三点的横坐标均为21，故三点共线；当21¹b 时，设G,H 所在直线的斜所在直线的斜率为GH k ，F ，G 所在直线的斜率为FG k .因为)21(33313222b c bb c b b c b b c k GH --+=-+--=， )21(332131232222b c b b c b c b c b ck FG--+=-+-+-=，所以FG GH k k =，G ，F ，H 三点共线. 综上可得，G ，F ，H 三点共线. （Ⅱ）解：若FH//OB ，由0)21(3322=--+=b c b b c kFH，得)21,0(0)(322¹¹=+-b c c b b ， 配方得1)23()21()21(,43)21(3222222=+-=+-c b c b 即，即1)23()21()21(2222=+-y x )0,21(¹¹y x . 因此，顶点C 的轨迹是中心在（21，0），长半轴长为23，短半轴长为21，且短，且短 轴在x 轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（21，23），（21，－23）四点. 22．本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分. （Ⅰ）解：)0(0)0(0)00()0(=×+×=×=f f f f . 因为)1(1)1(1)11()1(f f f f ×+×=×=，所以0)1(=f（Ⅱ）)(x f 是奇函数. 证明：因为0)1(0)1()1(])1[()1(2=-=----=-=f f f f f 所以， ),()1()()1()(x f xf x f x f x f -=-+-=×-=-因此，)(x f 为奇函数. （Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明).(0)2(N n f u nn Î>=（1）当n=1时，02)2(1>==f u；（2）假设当n=k时，,0)2(>=k k f u 那么当n=k +1时，)2(2)2(2)2(11f f f u k k k k +==++02)2(21>+=+k kf . 由以上两步可知，对任意0)2(,>=Înnf u N n .因为)(0N n u nÎ>所以)(22)2(2)2(2)2(111N n u u f f f u n n n n n n n Î>+=+==+++。
北京市东城区2002年高三总复习综合练习(一)
北京市东城区2002年高三总复习综合练习（一）理科综合能力测试（物理部分）第Ⅰ卷（选择题共120分）本卷共24题，每题5分，共120分。
在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
16．如图所示，在矩形ABCD 的AD 边和BC 边的中点M 和N 各放一个点电荷，它们分别带等量的正、负电荷。
E 、F 是AB 边和CD 边的中点，P 、Q 两点在MN 的连线上，MP=QN 。
对于E 、F 、P 、Q 四点，其中电场强度相同、电势相等的两点是：A ．E 和FB ．P 和QC ．A 和BD ．C 和D17．氢原子从能级A 跃迁到能级B 时，辐射波长为的λ1光子；若从能级B 跃迁到能级C 时，吸收波长为λ2的光子，已知λ1 >λ2。
则氢原子从能级C 跃迁到能级A 时A ．辐射波长为λ1 -λ2的光子B ．辐射波长为2121λλλλ-的光子 C ．吸收波长为λ1 -λ2的光子D ． 吸收波长为2121λλλλ-的光子18．如图a 、b 所示的两个电路中，电阻R 、电流表、电压表和电池都是相同的，电池的内阻相对于电阻R 的大小可以忽略。
闭合开关后，图a 和b 电路中电压表和电流表的示数V a 、V b 和I a 、I b 的大小不相同，它们的关系：①V a <V b ；②I a <I b ；③bb aa I V I V >；④bb aa I V I V <。
其中正确的是：A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④19．一定质量的理想气体的两条等温线如图所示， a 、b 、c 是等温线上的三个点。
ac 和ab 分别与横轴或纵轴平行。
比较a →c 和a →b 两个状态变化过程中气体对外做功的大小W ac 和W ab 以及内能增加量△E ac 和△E ab 大小的关系：①W ac = W ab ；②W ac >W ab ；O③△E ac =△E ab ；④△E ac >△E ab 。
东城区高三一模文科数学试卷及答案
北京市东城区-第二学期高三综合练习（一）数学 （文科） .4学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合UA 为（A ）{3}（B ）{3,4} （C ）{1,2} （D ）{2,3}（2） “1a =”是“直线20x y +=与直线(1)40x a y +++=平行”的（A ） 充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件（3）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为（A ）-a b （B ）a +b （C ）-b a （D ）--a b（4）执行如图所示的程序框图，输出的结果是56， 则判断框内应填入的条件是 （A ）5?n ≤ （B ）5?n < （C ）5?n > （D ）5?n ≥（5）已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)， 那么这个几何体的侧．面积是 （A ）2(1+2)cm（B ）2(3+2)cm（C ）2(4+2)cm （D ）2(5+2)cm（6）已知点(2,1)A ，抛物线24y x =的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得PA PF +最小，则P 点的坐标为（A ）(2,1)（B ）(1,1)（C ）1(,1)2（D ）1(,1)4（7）对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：x1 2 3 4 5 6 7 8 9 y7 4 5 8 1 3 5 2 6数列n 满足1，且对任意，点1+n n 都在函数的图象上，则201320124321x x x x x x ++++++ 的值为（A ）9394 （B ）9380 （C ）9396 （D ）9400（8）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23xf x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为 （A ）2或7- （B ）2或8- （C ）1或7- （D ）1或8-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。