生命表新
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1-4
二、剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能 继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。 特别的，T(0)=X
FT (t ) ：
剩余寿命的分布函数
FT (t ) P r(T t ), (t 0) P r(X x t | X x)
T的概率密度 ) 函数为 fT (t ：
F ( x t ) F ( x ) 1 F ( x )
s ( x ) s ( x t ) s( x)
s( x t ) fT (t ) FT (t ) s ( x)
1-5
精算学符号
剩余寿命的分布函数 t
t
qx ：
qx Pr(T ( X ) t ) pr ( x X x t X x) s ( x) s ( x t ) s ( x)
定义： S ( x) Pr(X x) 意义：新生儿能活到 x岁的概率。 与分布函数的关系：S ( x) 1 F ( x)
特别F(0)=0，S(0)=1
与密度函数的关系：f ( x) S ( x)
新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr( x X z) s( x) s( z)
px exp{ s ds}
x
1-14
x t
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
0 x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数fT (t )：
s ( x)
s ( x) s ( x t ) FT G (t() t ) 1 t px d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g t ) FT G (t t) t px x t ( fT ( t() ) dt dt s ( x) s ( x)
K ( x) [T ( x)] k , k T ( x) k 1, k 0,1,......
概率函数（重要公式！）
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k px qx k k qx
k 0
1-13
四、死亡效力（简称死力，P6）
定义：( x ) 的瞬时死亡率，简记 x 。
s( x) f ( x) x ln[ s( x)] s ( x) s ( x)
死亡效力与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ存函数的关系
s ( x) exp{ s ds}
0 t x
与利息 力类似
p x 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx ：x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁
t|u
qx 1 qx
tu
之间死亡的概率
qx Pr[t T ( x) t u | X x]
q q q p p x t u x t x t x t u x tu
1-11
剩余寿命的期望与方差（P22）
期望剩余寿命：( x ) 剩余寿命的期望值(均值)， o 简记 。 ex
e
0
x
E (T ( x))
t f
0
T
(t )dt
t d (1
0
t
px )
0
t
p x dt
剩余寿命的方差
Var (T ( x)) E (T ( x) ) E (T ( x)) 2 t t px dt ex
表示x岁的人在x+t岁以前死亡的概率。
1-6
剩余寿命
剩余寿命的生存函数 t px ：
t
px Pr(T ( x) t ) Pr( X x t X >x t) s( x t ) s ( x)
特别：
x
p0 s( x)
1-7
剩余寿命
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
1-8
剩余寿命
tu
qx：x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间
t |u
死亡的概率
q x t p x t u p x
说明x岁的人将在 x+t岁至x+t+u岁 之间死亡的概率等 于这个人活过t年 的概率与其活过t 年后在往后u年内 死亡的概率之积。
s( x t ) s( x t u ) s( x) s ( x) s( x t ) s( x t ) s( x t u ) s( x) s( x t ) t p x u q x t
2 2 0 o 2
1-12
整值剩余寿命的期望与方差（P15-）
期望整值剩余寿命：( x) 整值剩余寿命的 期望值(均值)，简记 e x 。
ex E ( K ( x)) k k px qx k k 1 px
k 0 k 0
整值剩余寿命的方差
Var ( K ( x)) E ( K 2 ) E ( K )2 (2k 1) k 1 px ex 2
记
1-9
t u
px t px
S ( x t u ) s ( x t )
S ( x)
s( x)
s( x t u ) u p x t s( x t )
t u
px t px u pxt
1-10
三、整值剩余寿命（P6）
( x ) 未来存活的完整年数，简记 K ( x) 。 定义：
本章重点
生命表函数
生存函数 剩余寿命 死亡效力 有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
生命表的构造
有关分数年龄的三种假定
1-1
本章中英文单词对照
死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命
死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表
Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-futurelifetime Force of mortality Limiting age Select-and-ultimate tables
1-2
第一节
寿命分布
3
一、生存函数（X表示寿命）
二、剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能 继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。 特别的，T(0)=X
FT (t ) ：
剩余寿命的分布函数
FT (t ) P r(T t ), (t 0) P r(X x t | X x)
T的概率密度 ) 函数为 fT (t ：
F ( x t ) F ( x ) 1 F ( x )
s ( x ) s ( x t ) s( x)
s( x t ) fT (t ) FT (t ) s ( x)
1-5
精算学符号
剩余寿命的分布函数 t
t
qx ：
qx Pr(T ( X ) t ) pr ( x X x t X x) s ( x) s ( x t ) s ( x)
定义： S ( x) Pr(X x) 意义：新生儿能活到 x岁的概率。 与分布函数的关系：S ( x) 1 F ( x)
特别F(0)=0，S(0)=1
与密度函数的关系：f ( x) S ( x)
新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr( x X z) s( x) s( z)
px exp{ s ds}
x
1-14
x t
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
0 x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数fT (t )：
s ( x)
s ( x) s ( x t ) FT G (t() t ) 1 t px d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g t ) FT G (t t) t px x t ( fT ( t() ) dt dt s ( x) s ( x)
K ( x) [T ( x)] k , k T ( x) k 1, k 0,1,......
概率函数（重要公式！）
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k px qx k k qx
k 0
1-13
四、死亡效力（简称死力，P6）
定义：( x ) 的瞬时死亡率，简记 x 。
s( x) f ( x) x ln[ s( x)] s ( x) s ( x)
死亡效力与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ存函数的关系
s ( x) exp{ s ds}
0 t x
与利息 力类似
p x 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx ：x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁
t|u
qx 1 qx
tu
之间死亡的概率
qx Pr[t T ( x) t u | X x]
q q q p p x t u x t x t x t u x tu
1-11
剩余寿命的期望与方差（P22）
期望剩余寿命：( x ) 剩余寿命的期望值(均值)， o 简记 。 ex
e
0
x
E (T ( x))
t f
0
T
(t )dt
t d (1
0
t
px )
0
t
p x dt
剩余寿命的方差
Var (T ( x)) E (T ( x) ) E (T ( x)) 2 t t px dt ex
表示x岁的人在x+t岁以前死亡的概率。
1-6
剩余寿命
剩余寿命的生存函数 t px ：
t
px Pr(T ( x) t ) Pr( X x t X >x t) s( x t ) s ( x)
特别：
x
p0 s( x)
1-7
剩余寿命
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
1-8
剩余寿命
tu
qx：x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间
t |u
死亡的概率
q x t p x t u p x
说明x岁的人将在 x+t岁至x+t+u岁 之间死亡的概率等 于这个人活过t年 的概率与其活过t 年后在往后u年内 死亡的概率之积。
s( x t ) s( x t u ) s( x) s ( x) s( x t ) s( x t ) s( x t u ) s( x) s( x t ) t p x u q x t
2 2 0 o 2
1-12
整值剩余寿命的期望与方差（P15-）
期望整值剩余寿命：( x) 整值剩余寿命的 期望值(均值)，简记 e x 。
ex E ( K ( x)) k k px qx k k 1 px
k 0 k 0
整值剩余寿命的方差
Var ( K ( x)) E ( K 2 ) E ( K )2 (2k 1) k 1 px ex 2
记
1-9
t u
px t px
S ( x t u ) s ( x t )
S ( x)
s( x)
s( x t u ) u p x t s( x t )
t u
px t px u pxt
1-10
三、整值剩余寿命（P6）
( x ) 未来存活的完整年数，简记 K ( x) 。 定义：
本章重点
生命表函数
生存函数 剩余寿命 死亡效力 有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
生命表的构造
有关分数年龄的三种假定
1-1
本章中英文单词对照
死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命
死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表
Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-futurelifetime Force of mortality Limiting age Select-and-ultimate tables
1-2
第一节
寿命分布
3
一、生存函数（X表示寿命）