保险精算之三生命表
保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）
保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）第⼀章：利息理论基础第⼀节：利息的度量⼀、利息的定义利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。
⼆、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累⽅式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。
所以长期业务⼀般复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。
所以短期业务⼀般单利计息。
3、按照利息转换频率划分：（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒特别，恒定利息效⼒场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第⼆节：利息问题求解原则⼀、利息问题求解四要素1、原始投资本⾦2、投资时期的长度3、利率及计息⽅式4、本⾦在投资期末的积累值⼆、利息问题求解的原则1、本质任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。
2、⼯具现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。
3、⽅法建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）4、原则在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。
第三节：年⾦⼀、年⾦的定义与分类1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。
原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。
2、年⾦的分类：（1）基本年⾦约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率⼀致每次付款⾦额恒定（2）⼀般年⾦不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。
保险精算第3章(3)
s(x t)
t px
1 ty px t px
1
pxt y pxt
1
p
y x
y p xt pxy
26
例：在常数死力下求： q5 75.25
l75 56799 l76 54239 l80 43180 l81 40208
p 5 75.25 p 0.75 75.25 4 p76 0.25 p80
5 p20 0.2 p25 (10.8 p25.2 2 p26 0.6 p28 )
l25 l20
(1
0.2q25 )[1
(1
0.8q25 1 0.2q25
)
l28 l26
(1
0.6q28 )
0.00248
24
二、年龄内常数死力假设(几何插值法)
还可以怎么写？
• 令： s(x t) s(x)1t s(x 1)t 0 t 1
p0.75 75
l80 l76
p 0.25 80
0.75545
q5 75.25 0.24455
27
三、调和插值法（Balducci假设）
• 令： 1 1 t t
s(x t) s(x) s(x 1)
0t 1
• 生存函数：
t
px
s(x t) s(x)
1 1t t s(x) s(x 1)
0 t 1
1.t qx
lx
lxt lx
td x lx
tqx
2.t px
lxt lx
lx tdx lx
1 tqx
3. y qxt
lxt
lxt y lxt
yd x lx tdx
yqx 1 tqx
21
保险精算学笔记：生命表函数与生命表构造
《保险精算学》笔记：生命表函数与生命表构造第一节生命表函数一、生存函数1、定义：2、概率意义：新生儿能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：二、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年去世的概率，简记3、剩余寿命的生存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与方差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的方差：6、整值剩余寿命的期望与方差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的方差：2三、死亡效力1、定义：的人瞬时死亡率，记作2、死亡效力与生存函数的关系3、死亡效力与密度函数的关系4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）二、生命表的起源1、参数模型的缺点（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差（3）寿险常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
2、生命表的起源（1）生命表的定义根据已往一定时期各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡,写过《生命表的自然和政治观察》。
保险精算学生命表基本函数
生命表的通常函数
1.x : 年龄，在生命表中的范围，0 1岁。x取整数值。
2.lx : 存活到确切整数年龄x岁的人数。x 0,1, , 1。
l0 100000,1000000,
1 l0 l1 l2
2 l 0
3.dx : x岁的存活人在x岁这一整年内的死亡人数。
(1)lx lx1 dx
0
ex
1
lx
lx1 lx2
l1
1 2
1 lx
x 1 t0
t
1 2
d x t
0
平均寿命为: e0
1 l0
l1
l2
l1
1 2
1 l0
1 t0
t
1 2
dt
证明: 记Lx表示x岁的人在一年内存活的总人年数.
Lx
lx
lx1 2
lx1
1 2
d
x
记Tx表示x岁的在未来存活的总人年数.
第3章 生命表
生命表是研究人口死亡规律的有力工具， 它用表格的形式简单清楚地表述了同时 出生的一组人以怎样的死亡率陆续死亡
的全部过程。
本章主要内容
• 生命表基本函数 • 生存分析 • 非整数年龄存活函数的估计 • 几个死亡时间的解析分布 • 生命表的编制
3.1 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。
所以,
0 t pxxt dt 1.
n qx 0n t px xt dt
n m qx nm t px xt dt
0
而且 ex E T x
0 t t px xt dt
E T
x2
t2
0
《保险精算》之--生命表课件 (一)
《保险精算》之--生命表课件 (一)随着社会的发展，人们越来越重视保险的作用。
传统的保险行业一直以来都是以高保费的形式吸引保险人购买保险，但相对保费来说，一些人却不是很清晰地了解保险真正的运作方式，特别是保险精算方面的知识。
保险精算的核心是生命表，也是保险公司的核心竞争力。
下面将会着重讲述一下“《保险精算》之--生命表课件”。
一、什么是生命表？生命表（Mortality Table）是保险精算中的一种表格，用于衡量人群在不同年龄段内的死亡风险。
由于生命表是一种单独的表格，因此可以根据不同的人群和健康状况进行分类，以便保险公司对人寿保险的风险进行计算。
二、生命表的种类1、一般生命表：是以全国人民的整体死亡率数据作为依据的生命表，通常用于人寿保险的计算。
2、职业生命表：是以某个特定职业的人群死亡率数据作为依据的生命表，通常用于企业职工的保险计算。
3、后期生命表：是针对某一代人的死亡率加以推算所得到的稳定寿命数据。
后期生命表的意义是为了比较在一定时期内因某些原因死亡概率的变化情况。
三、生命表的重要性生命表是保险精算核心竞争力之一。
在人生的不同阶段，保险公司需要根据不同的人口统计学数据来计算保险费的价格。
根据保险人的年龄、健康状况等多个指标来计算风险。
而生命表则是这个计算模型中最关键的指标之一，也是最容易被人们理解和接受的。
四、生命表课件的相关内容生命表课件主要分为以下几个内容：1、生命表的定义：对生命表的基本概念进行了详细的介绍。
2、生命表的种类：详细的介绍了一般生命表、职业生命表以及后期生命表的含义和使用场景。
3、生命表的基本术语：解释了生命表中的一些专业术语，如x、n、d、qx等。
4、生命表的计算方法：介绍了如何计算年龄、期限和期际的风险率和死亡率。
5、生命表的运用：以具体的案例为例，阐述了生命表在保险精算中的应用，进而引出了保险精算以及如何使用生命表计算的知识，这样才能更好地为企业提供保险解决方案。
《保险精算》之--生命表课件 (二)
《保险精算》之--生命表课件 (二)
- 生命表的定义：生命表是一种用于描述人口死亡情况的统计表格，通常用于保险精算中的寿险计算。
- 生命表的种类：主要有期间生命表和世代生命表两种，其中期间生命表是以某一时期内的人口死亡率为基础，而世代生命表则是以某一代人的生命经历为基础。
- 生命表的构成：生命表通常由年龄、死亡率、生存人数、累计死亡人数、年度死亡人数等指标构成，其中年龄是生命表的基本单位。
- 生命表的应用：生命表在保险精算中的应用主要是用于计算寿险保险的风险和费率，同时也可以用于研究人口死亡规律和趋势。
- 生命表的局限性：生命表的构建需要大量的人口统计数据，而且只能反映历史死亡情况，无法预测未来死亡率的变化，因此在实际应用中需要结合其他因素进行综合分析。
- 生命表的发展：随着社会经济和医疗水平的提高，人口死亡率逐渐下降，生命表也在不断发展和完善，例如引入了人口分布、健康状况等因素来构建更加准确的生命表模型。
- 生命表的重要性：生命表是保险精算中不可或缺的重要工具，通过生命表可以更加准确地评估寿险风险和费率，从而为保险公司提供更加稳健的经营基础。
保险精算1-5章答案(第二版)李秀芳
第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
保监会发布第三套生命表
财 政 部 有 关 负责 人 表 示 ， 自２ ０ １ ４究 推进 个
备 金评 估 、现 金价 值计 算等 各 个方 面 。
目前 行业 使 用 的第 二 套 生 命 表是 ２ ０ ０ ５
年 底 发 布 ，十 年 多来 人 １ ： ３ 死亡率发生 了明
当前 中国跨 境资本 流动 风险可 控 ，支撑 外 汇市 场稳定 的根本 性 因素仍 然长期 存在 。
文章 称 ．事 实 上 ．我 国 宏 观 税 负 近 些
年来 一直 稳 中有 降 ．特别 是一 系列 减税 降 负 措施 的 陆续 出 台 ．企 业 的税 负大大 减轻 ．但 同 期 经 济 增 长 却 出现 了较 大 幅 度 的波 动 ， 由最 初 的 两位 数 的 高 增长 到 目前６ ７ ％ 的增
ＦＯＲ Ｅｌ ＧＮ Ｉ ＮＶＥ ＳＴ Ｍ ＥＮＴ ｌ Ｎ ＣＨ Ｉ ＮＡ
Ｉ ｓ ｓ ｕ ｅ １ ２ ０ １ ７翻亘 嘲
国
财政部 ：个税 改革方案建议 已形成 增值税 法适时 启动
２ Ｏ １ ６ 年１ ２ 月２ ６ 日 财政部公布的 《 关
于 ” 完善 营业 税改 征增 值税 全 面落地 政 策 ” 提 案 的答 复 （ 摘要 ）》 提 出 ．将 适 时 启动 增
上 述三 家 银 行均 需 自批 复 之 日起 ６ 个月 内完 成筹 建工 作 ，筹建 期 间接 受当地 银监 局 的监督 指 导 ．不得 从事 金融 业务 活动 。
生命 表是 人 身保 险 业 的基 石 和 核 心 基 础 设 施 ，是 一 个 国 家或 地 区保 险 精 算 技 术 水 平 高低 的重 要 标 志 ，广 泛 用于 产 品定 价 、准
国 家 税务 总局 官 网于 ２ Ｏ １ ６ 年１ ２ 月２ １ 日
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11
生存分布
一、新生儿的生存函数 二、x岁余寿的生存函数 三、死亡力 四、整值平均余寿与中值余寿
12
新生儿的生存函数
F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。
F ( x) Pr(X x)
( x 0)
f x F ' x , x 0
s(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。
s( x) 1 F ( x) Pr(X x)
( x 0)
新生儿在x~z岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：
Pr(x X z) F ( z) F ( x) s( x) s( z)
13
新生儿的生存函数
10
(*) (**)
例： 已知l x 1000(1 解： 50 l50 (1) 20 p30 120 77.78% l30 1 30 120 1 l45 l50 (2) 20|5 q 25 l25 (1 45 50 ) (1 ) 120 120 5.26% 25 1 120 x ),计算 20 p30和 20|5 q25 . 120
生命表函数中的存活人数lx 正是生命表基数l0与x岁生存函数之积， 而s(x)曲线形状如下图所示，
lx=l0s(x)
14
x岁余寿的生存函数
x岁的人在t时间内死亡的概率tqx
t
qx Pr[T ( x) t ]
(t 0)
以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示
x岁的人在t时间内存活的概率 tpx
t 0 n 1
n1 qx
4
生命表基本函数
npx：
x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。 当n=1，简记为px 。
dx qx , lx
l x n d x l xn ,
l xn n px lx
n qx n px 1
5
生命表基本函数
当n=1时，
1 Lx (lx lx 1) 2
6
生命表基本函数
Tx：x岁的人群未来累积生存人年数。
Tx Lx Lx 1
在均匀分布假设下，
L 1
x 1
t 0
L
x t
1 Tx lx i lx i 1 i 0 2
：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。 当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生 到死亡平均每人存活的年数。
9
例： 25岁到75岁之间死亡的人群中，其中30% 在50 岁之前死亡。 25岁的人在50岁之前死亡的概率为0.2，计算 25 p50 。 解： 已知 0.3(l 25 -l 75 )=l 25 l50 l25 l50 0.2 l25 由(**) 式可得： 0.8 l 25 l50 代入 (*) 可得： 0.125l50 0.3l75 由此可推知 l75 0.125 p 0.4167 25 50 l50 0.3
ex
l Tx ex t px dt x t dt 0 0 l lx x
7
生命表基本函数
n｜ x
q ：表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率，
或x岁的人在x+n~x+n+1岁死亡的概率。
d x n lx n d x n qx＝ n px qx n n｜ lx lx lx n
nLx：x岁的人在x~x+n生存的人年数。
人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是1人年，2 个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假设下，x~x+n岁的死 亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到lx+n岁的人存活了n年，故
n n n Lx nl x n n d x (l x l x n ) 2 2
第三章 生命表
1
生命表相关定义
生命表：反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统 计表。 封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变 动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出 人口。
2
生命表基本函数
lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。
ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为
n｜m
q x ：表示x岁的人在x+n~x+n+m岁之间死亡的概率。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d x n lx n lx n m n px n m px n px m qx n n｜m qx＝ lx lx
m
当m 0时， ；当m 1时， qx；当m 时， n ｜ 0 qx 0 n ｜m qx n ｜ 1 qx n ｜ n ｜ qx n px。
t
px 1 t qx Pr[T (x) t ]
(t 0)
15
当x=0时，T(0)=X ，正是新生儿未来余寿随机变量。
x岁余寿的生存函数
考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到 了x岁 ，tqx实际是一个条件概率
t
qx Pr[x X t x | X x]
qx
3
生命表基本函数
l x d x l x 1 , x 1, 2, 1 l x n d x l x n , n 1, 2, x 1
(1)
(2) (3)
l0
n
d
x 0
1
x
d x d x d x1 d xn1 n qx lx lx qx 1 qx 2 qx t qx
8
例3.1 利用表 31，计算 (1) 一个新生婴儿存活到3岁的概率。 (2) 一个新生婴儿在1岁和3岁之间死亡的概率。 解： (1) l3 997255 0.997255 l0 1000000
(2) 在1岁和3岁之间的死亡人数为l1 l3 ,故死亡概率为 l1 l3 1165 0.001165 l0 1000000