高三数学复习考试中档题7
江苏省高三数学复习中档题满分练习(含答案)
江苏省高三数学复习中档题满分练习（含答案）所以OA=OC1.又因为F为AC的中点，所以OF∥CC1且OF=CC1.因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE=CC1，所以BE∥OF且BE=OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.又BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF∥平面A1EC. (2)由(1)知BF∥OE，因为AB=CB，F为AC的中点，所以BFAC，所以OEAC.又因为AA1底面ABC，而BF底面ABC，所以AA1BF.由BF∥OE得OEAA1，而AA1，AC平面ACC1A1，且AA1AC=A，所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1.3.(1)解由题意可知A1(-，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e=.设椭圆C2的方程为+=1(a0)，则b=.因为==，所以a=2.所以椭圆C2的方程为+=1.(2)证明设P(x0，y0)，y00，则+=1，从而y=12-2x.将x=x0代入+=1得+=1，从而y2=3-=，即y=.因为P，H在x轴的同侧，所以取y=，即H(x0，).所以kA1PkA2H====-1，从而A1PA2H.又因为PHA1A2，所以H为△PA1A2的垂心.4.解 (1)S1=asin acos =a2sin 2，设正方形边长为x，则BQ=，RC=xtan ，+xtan +x=a，x==，S2==.(2)当a固定，变化时，令sin 2=t，则=(0利用单调性求得t=1时，=.2019届江苏省高三数学复习中档题满分练习的内容就是这些，希望对考生提高成绩有帮助。
适合高三刷的数学中档试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，则函数的值域为（）。
A. $[1,+\infty)$B. $[1,\sqrt{2}]$C. $[0,+\infty)$D. $[1,2]$2. 若$y=2\sin(2x-\frac{\pi}{4})+1$，则函数的周期为（）。
A. $\pi$B. $\frac{\pi}{2}$C. $\frac{\pi}{4}$D. $2\pi$3. 在三角形ABC中，若$\angle A=\frac{\pi}{3}$，$\angle B=\frac{\pi}{4}$，则$\angle C$的度数为（）。
A. $45^\circ$B. $60^\circ$C. $75^\circ$D. $90^\circ$4. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=4n^2+5n$，则$a_1$的值为（）。
A. $-1$B. $0$C. $1$D. $2$5. 已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$，则双曲线的离心率为（）。
A. $\frac{a}{b}$B. $\frac{b}{a}$C. $\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$D. $\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}$6. 函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$的图像在区间$(-1,0)$上的变化趋势为（）。
A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增7. 在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$a_4=32$，则该数列的公比为（）。
A. $2$B. $4$C. $8$D. $16$8. 若不等式$|x-1|<3$的解集为（）。
A. $(-2,4)$B. $(-4,2)$C. $(-2,2)$D. $(-4,1)$9. 已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，则函数的对称轴方程为（）。
山西省朔州市重点中学2024届高三高考数学试题系列模拟卷(7)
山西省朔州市重点中学2024届高三高考数学试题系列模拟卷（7）注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A ．2B 1CD ．1 3．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -= C ．22123x y -= D ．22132y x -= 5．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2π C ．76π D ．π6．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．2037．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ）A ．10B ．16C ．20D ．248．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．49- B ．23 C ．32或49- D ．32 9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．28210．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -11．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin 3）＜f （cos 3） C ．4433f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）12．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1 B ．23- C ．13- D ．34- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学中档题冲刺训练
中档题训练1 姓名1．从原点出发的某质点M ，按向量a →=()0,1移动的概率为23，按向量b →=()0,2移动的概率为13，设M 可到达点()0,n 的概率为n P 。
（1）求1P 和2P 的值；（2）求证()21113n n n n P P P P +++-=--；（3）求n P 的表达式2．18．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1， AA 1=2，E 是BB 1的中点. （1）求证：AE ⊥平面A 1D 1E ； （2）求二面角E —AD 1—A 1的正切值； （3）求顶点A 到平面C 1D 1E 的距离.3．已知平面向量a )1,3(-=，b )23,21(=。
（Ⅰ）证明a ⊥ b ； （Ⅱ）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a )3(2-+t b ，y k -=a t +b ，且x ⊥y ，试求函数关系式)(t f k =；（Ⅲ）据（Ⅱ）的结论，讨论关于t 的方程0)(=-k t f 的解的情况。
4．已知函数11log )(--=x mxx f a是奇函数)1,0(≠>a a 。
(1) 求m 的值；（2）判断）（x f 在区间),1(+∞上的单调性并加以证明； （3）当)2,(,1-∈>a r x a 时，)(x f 的值域是),1(+∞，求r a 与的值. （1）m=－1…………3分 （2）由（1），).1,0(11log )(≠>-+=a a x x x f a任取11)(,11)(,11)(,),,1(2221112121-+=-+=-+=<+∞∈⋅x x x t x x x t x x x t x x x x 则令设，)1)(1()(21111)()(2112221121---=-+--+=-∴x x x x x x x x x t x t . ,,1,12121x x x x <>> ,0,01,011221>->->-∴x x x x1111),()(221121-+>-+>∴x x x x x t x t 即.……………………………………6分),1()(,11log 11log ,12211+∞-+>-+>∴在时当x f x x x x a a a上是减函数；……7分 当0<a <1时，),1()(+∞在x f 上是增函数.……………………8分（2）当a >1时，要使)(x f 的值域是),1(+∞，则111log >-+x x a ，011)1(,11>-++->-+∴x a x a a x x 即 而a >1，∴上式化为0111<--+-x a a x ①………………………………10分 又),121(log 11log )(-+=-+=x x x x f a a∴当x >1时，0)(>x f . 当0)(,1<-<x f x 时.因而，欲使)(x f 的值域是),1(+∞，必须1>x ，所以对不等式①，当且仅当111-+<<a a x 时成立.………………12分32,1,1,1121+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+=-=∴a r a a a a r 得解之.…………………………14分中档题冲刺2 姓名1．设a 、b是两个不共线的非零向量（t ∈R ）①若a与b 起点相同，t 为何值时，a，t b，31（a +b）三向量的终点在一直线上？ ②若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时|a －t b |的值最小？解：①设a －t b =m[a －31(a +b )](m ∈R) 化简得 )132(-m a =)3(t m-b ∵a 与b 不共线 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=-0321230132t mt m m ∴t=21时，a、t b 、31(a +b )终点在一直线上②|a －t b |2=（a －t b ）2=|a |2+t 2|b |－2t|a | |b |cos 60°=（1+t 2－t ）|a |2, ∴t=21时，|a－t b |有最小值||23a2．已知曲线轴与y d cx bx ax y L +++=23:相交于点A ，以其上一动点P （x 0,y 0）为切点的直线l 与y 轴相交于Q 点.（Ⅰ）求直线l 的方程，并用x 0表示Q 点的坐标；（Ⅱ）求.sin sin lim0AQPAPQx ∠∠+∞→Ⅰ）解：c bx ax k c bx ax y d A ++=++='020223,23),,0(0002000200))(23(0),)(23(y x c bx ax y x x x c bx ax y y Q +-++==-++=-∴得令 )))(23(,0(00020y x c bx ax Q +-++∴（Ⅱ）由正弦定理得：2|||2|)(|2|lim sin sin lim )(|2|)(|23|sin sin 20203020203020203020203020200020300==++++=∠∠∴+++--=-+-+---==∠∠+∞→+∞→a a cx bx ax x bx ax AQP APQ cx bx ax x bx ax d y x d y cx bx ax AP AQ AQP APQ x x3．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是以ABC ∠为直角的等腰三角形，12,3,AC a BB a D ==是11A C 的中点，E 是1B C 的中点。
高三数学中档题训练(7-9)
高三数学中档题训练（7）班 级 姓 名1．34sin (cos )55i θθ-+-（）是纯虚数，则=θ2tan2、等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则}{n a 的公比为3、记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+， 若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为4、已知不等式2210ax x +->的解集是A ，若⊆（3，4）A ,则实数a 的取值范围是5、已知不等式222xy ax y ≤+,若对任意[1,2]x ∈及[2,3]y ∈该不等式恒成立，则实 数a 的取值范围是6、已知)3,3(A ，O 是原点，点),(y x P 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+-≥030230y x y x x ，求（1）OP OA ⋅的最大值 （2OP OA ⋅的取值范围.7、已知函数321()33f x x x x a =-+++．若()f x 在区间[]3,4-上的最小值为73，求a 的值．8、已知向量)20,0))(cos(,1(),2),(sin(πϕωϕωϕω<<>+=+=→→x b x a ，函数)(),)(()(x f y b a b a x f =-+=→→→→的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点.)27,1(M .（1）求)(x f 的表达式；（2）求)2011()3()2()1()0(f f f f f +⋅⋅⋅++++高三数学中档题训练（8）班 级 姓 名1、x t x y cos sin +=在0=x 处的切线方程为1+=x y ，则=t .2、已知无论k 取任何实数，直线0)142()32()41(=-+--+k y k x k 必经过一定点，则该定点坐标为 ．3、面积为S 的ABC ∆的三边c b a ,,成等差数列，4,60==∠︒b B ，设ABC ∆外接圆的面积为'S ，则=S S :'4已知：圆M ：0222=-+y y x ，直线l 的倾斜角为︒120，与圆M 交于P 、Q 两点，若0=⋅→→OQ OP (O 为原点)，则l 在x 轴上的截距为 .5已知)1(-x f 为奇函数, )1(+x f 为偶函数, 1)2011(=f ,=)4(f .6设函数]3,4[,sin 2)(ππω-∈=x x x f ，其中ω是非零常数.（1）若)(x f 是增函数，则ϖ的取值范围是 ；（2）若)(x f 的最大值为2，则ϖ的最大值等于7已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >的解集为(1,3)-. （1）若函数()()g x xf x =在区间(,)3a-∞内单调递减，求a 的取值范围；（2）当1a =-时，证明方程3()21f x x =-仅有一个实数根.8已知ABC ∆中，5||,10||==AD AC ,0,115=∙=AB CD DB AD(1)求||AC AB -(2)设θ=∠BAC ,且已知54)cos(=+x θ，02<<-x π，求x sin9如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界 的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要 求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的 半径O M R = ，45MOP ∠= ，O B 与O M 之间的夹角为θ.（1）将图书馆底面矩形A B C D 的面积S 表示成θ的函数.（2）若45R m =，求当θ为何值时，矩形A B C D 的面积S 有最大值？ 其最大值是多少？(精确到0.01m 2)ABCDMOPQ F高三数学中档题训练（9）班 级 姓 名1．不等式2(1)2x x --<的解集是2、函数()tan 42y x ππ=-的部分图像如图所示，则=∙+AB OB OA )(3、已知两个点(2,1)A -和(1,3)B -分布在直线320x y a -++=的 两侧，则a 的取值范围为4．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,53sin ，则cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为5、对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项公式为n 2，则数列{n a }的前n6、函数)32sin(lg π+=x y 的单调递减区间为7、设A B C ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且(2)cos cos b A C -=．（1）求角A 的大小；（2）若角6B π=，B C 边上的中线A M ABC ∆的面积．8、已知圆C 的圆心坐标为（2，-1），且与x 轴相切（1）求圆C 的方程； （2）求过点P(3,2)且与圆C 相切的直线方程； （3）若直线过点P(3,2)且与圆C 相切于点Q ，求线段PQ 的长。
高三数学中档练习题推荐
高三数学中档练习题推荐高三是学生们最为紧张和重要的一年，而数学作为一门重要的学科，占据着整个高考的很大比重。
为了帮助高三学生们更好地备考数学，我精心挑选了一些中档练习题，希望能给同学们提供有针对性的练习，提高数学解题能力。
1. 函数（1）已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(3)的值。
（2）已知函数g(x) = 2^x，求g(0)的值。
2. 三角函数（1）已知直角三角形中的一条锐角的正弦值为1/2，求该角的大小。
（2）已知sin(a) = 3/5，cos(b) = 4/5，且a和b为锐角，求sin(a+b)的值。
3. 数列与数列求和（1）已知等差数列的首项为3，公差为4，求该数列的第5项。
（2）已知等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前6项的和。
4. 三角函数与解析几何（1）已知平面直角坐标系中有一条直线L，其斜率为-2，经过点(3, 4)，求直线L的方程。
（2）已知平面直角坐标系中有一个圆心在原点，半径为3的圆，求该圆上的一点P(x, y)，使得点P与直线y = 2x之间的距离最短。
5. 概率与统计（1）甲、乙、丙三个人依次从一副扑克牌中抽取一张纸牌，不放回，求出甲乙丙三个人抽到的纸牌分别为黑桃、红心、梅花的概率。
（2）某班级60名同学中，有20人擅长数学，30人擅长英语，并且既擅长数学又擅长英语的有10人。
从该班级中任意选出一名学生，求他既不擅长数学也不擅长英语的概率。
这些练习题涵盖了高三数学中的各个知识点，通过解答这些题目，可以加深对数学知识的理解和掌握，提高解题能力和应试水平。
希望同学们在备考中能够认真对待每一道题目，多思考、多总结，相信付出努力一定会有收获。
祝愿大家高考顺利！。
高三数学复习中档题7
中档题7一、填空题1．设集合{}2120A x x x =+-=，集合{}10B x kx =+=，如果A B A ⋃=，则由实数k 组成的集合中所有元素的积等于 . 2．假设复数()3,12a ia R i i-∈+为虚数单位是纯虚数，则实数a 的值为 . 3．已知向量()2,1,10,52=+==a b a b a ，则=b .4．假设命题“,x R ∃∈使2(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为 .5.在数列{}n a 中，假设对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值()*n N ∈，且79982,3,4a a a ===，则此数列{}n a 的前100项的和100S = .6．已知函数()()[]432,0,1f x a x b a x =-+-∈，假设()2f x ≤恒成立，则a b +的最大值为 .7．过点()3,4C 且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为12,r r ，则12r r = . 8．如图，已知三棱锥A BCD -的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且30BAC ∠=，,M N 分别在棱AC AD 和上，则BM MN NB ++的最小值为 .二、解答题9．在ABC ∆中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，不等式2cos 4sin 60x C x C ++≥对一切实数x 恒成立.〔1〕求角C 的最大值〔2〕假设角C 取得最大值，且2a b =，求角B 的大小.10．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA PD =,且PD 与底面ABCD 所成的角为45.〔1〕求证：PA ⊥平面PCD〔2〕已知E 为棱AB 的中点，问在棱PD 上是否存在一点Q ，使//EQ 平面PBC ？假设存在，证明你的结论；假设不存在，试，说明理由.11．某医药公司经销某种品牌药品，每件药品的成本为6元，预计当每件药品的售价为x 元()911x ≤≤时，一年的销售量为485x -万件，并且全年该药品需支付2x 万元的宣传及管理费.〔1〕求该医药公司一年的利润L 〔万元〕与每件药品的售价x 的函数关系式；〔2〕当每件药品的售价为多少元时，该公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值.12．已知曲线221:14y C x +=与曲线22:1C y x =-，设点()()000,0P x y y >是曲线1C 上任意一点，直线0014y yx x +=与曲线2C 交于,A B 两点. 〔1〕判断直线0014y yx x +=与曲线1C 的位置关系；〔2〕以,A B 两点为切点分别作曲线2C 的切线，设两切线的交点为M ，求证：点M 到直线1:220l x y --=与2:220l x y ++=距离的乘积为定值.13．设函数)(x f 的定义域为M ，具有性质P ：对任意M x ∈，都有)1(2)2()(+≤++x f x f x f .〔1〕假设M 为实数集R ，是否存在函数),1,0()(R x a a a x f x∈≠>= 具有性质P ，并说明理由；〔2〕假设M 为自然数集N ，并满足对任意M x ∈，都有N x f ∈)(. 记)()1()(x f x f x d -+=.求证：对任意M x ∈，都有)()1(x d x d ≤+.14．设非常数数列{a n }满足βαβα++=++n n n a a a 12，*∈N n ，其中常数βα,均为非零实数，且 0≠+βα.〔1〕证明：数列{}n a 为等差数列的充要条件是02=+βα；〔2〕已知25,141121====a a ，，βα，求证：数列{}11-+-n n a a()2,≥∈*n N n 与数列()*∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧+N n n 21中没有相同数值的项.中档题7答案1、02、63、54、13a -≤≤5、2996、1747、25 89、〔1〕由条件知，当cos 0C =cos 0C ≠时，2cos 016sin 24cos 0C C C >⎧⎨∆=-≤⎩，即2cos 02cos 3cos 20C C C >⎧⎨+-≥⎩，1cos 2C ∴≥. C ABC ∆为的内角， 03C π∴<≤，∴角C 的最大值为3π. (2)有〔1〕知3C π=， 23A B π∴+=，由2a b =，得sin 2sin A B =.2sin 2sin 3B B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,即13sin 2sin 2sin 22B B B B B +==，即2tan 0,,36B B B ππ⎛⎫=∈∴= ⎪⎝⎭. 10、证明〔1〕过点P PH AD ⊥作交于H .侧面PAD ABCD ⊥底面，PH ABCD ∴⊥平面.PD ∴与平面ABCD 所成的角为45PDH ∠=.,45.PA PD PAD =∴∠=则90APD ∠=..,PA PD CD AD ∴⊥⊥平面PAD ABCD ⊥底面，.,CD PAD PA PAD ∴⊥⊂平面平面.CD PA ∴⊥,PD CD D ⋂=PA PDC ∴⊥平面. Q 为PD 的中点时，//EQ 平面PBC .证明如下：取PC 的中点F ，连,FQ FB .则1//,.//,2FQ CD FQ CD BE CD =12BE CD =，∴四边形BEQF 为平行四边形.//.BF EQ BF ∴⊂平面,PBC EQ ⊄平面PBC ，//EQ ∴平面PBC .11、〔1〕该公司一年的利润L 〔万元〕与售价x 的函数关系式为：()48625L x x x =-•--， []9,11x ∈.〔2〕()48625L x x x =-•--，令[]()4815,4,6,210t x t t L t t --=∈∴=--=483823838t t ⎛⎫-+≤-=- ⎪⎝⎭当且仅当482t t =，即5x =+L 取得最大值38-.则当每件售价为5+元时，该公司一年的利润L最大，最大值为38-.12、〔1〕直线直线0014y y x x +=与曲线1C 相切00221444y yx x y x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，22004840x x x y ⇒-+-= ()()222220000816416440x y x y ⇒∆=--=+-=.〔2〕设()()1122,,,A x y B x y002441y y x x y x =-⎧⎨=-⎩，()2000012120044440,1x y x x x y x x x x y y ⎛⎫⇒+-+=⇒+=-=-+ ⎪⎝⎭ 22:12C y x y x '=-⇒=，切线()()2111:12AM y x x x x --=-,即：()21121y x x x =-+①同理切线()222:21BM y x x x =-+②联立①②得012002242x x x x y y y +⎧==-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，即00024,2x M y y ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 设点M 到直线12,l l 距离分别为12,d d，1d ==2d ==20201222001161644555y x d d y y --===.13、证明：〔1〕因f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以a x ≠a x +2，即f (x )≠f (x ＋2).由题设以及算术平均与几何平均不等式，得f (x )＋f (x ＋2)＝a x ＋a x +2＞2a x a x +2＝2 a x +1＝2 f (x ＋1)， 这与f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)矛盾.故不存在函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)满足性质P . 〔2〕(ⅰ)由题设对任意x ∈N ，f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)，所以f (x ＋2)－f (x ＋1)≤f (x ＋1)－f (x ).于是对任意x ∈N ，d (x ＋1)≤d (x ).14、〔1〕解：已知数列}{n a ，12n nn a a a αβαβ+++=+.①充分性：假设βα2-=，则有12122n nn n n a a a a a βββ+++-+==--，得n n n n a a a a -=-+++112，所以}{n a 为等差数列.②必要性：假设}{n a 为非常数等差数列，可令b kn a n +=(k ≠0). 代入12n n n a a a αβαβ+++=+，得[(1)]()(2)k n b kn b k n b αβαβ++++++=+.化简得2k k ααβ=+，即02=+βα.因此，数列{a n }为等差数列的充要条件是α＋2β＝0. 〔2〕由已知得2111[]5n n n n a a a a +++--=-.又因为21302a a -=≠，可知数列}{1n n a a -+(n ∈N *)为等比数列，所以11121131()()()552n n n n a a a a --+---=-=⋅ (n ∈N *).从而有n ≥2时， 1131()52n n n a a -+--=⋅，2131()52n n n a a ----=⋅.于是由上述两式，得 2111(556|)|n n n a a -+-⋅-=〔2n ≥〕.由指数函数的单调性可知，对于任意n ≥2，| a n ＋1－a n －1|＝65·2)51(-n ≤65·22)51(-＝65. 所以，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 中项均小于等于65.而对于任意的n ≥1时，n ＋12≥1＋12＞65，所以数列{n ＋12}(n ∈N*)中项均大于65.因此，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 与数列{n ＋12}(n ∈N*)中没有相同数值的项.。
高三数学中档题+详细答案(全)
高三数学中档题+详细答案〔全〕班级 姓名1.如图所示，在直三棱柱中，平面为的中点．〔1〕求证：平面；〔2〕求证：平面； 〔3〕在上是否存在一点，使得∠=45°，若存在，试确定的位置，并判断平面与平面是否垂直？若不存在，请说明理由．2. 设、分别是椭圆的左、右焦点，．1F 2F 1422=+y x )1,0(-B 〔Ⅰ〕若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;〔Ⅱ〕若C 为椭圆上异于B 一点，且，求的值；〔Ⅲ〕设P 是该椭圆上的一个动点，求的周长的最大值.3． 已知定义在上的奇函数 〔〕，当 时，取极小值〔1〕求的值；〔2〕当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.〔3〕求证:对,都有4．设数列的前项和为，为常数，已知对，当时，总有.⑴ 求证：数列｛｝是等差数列；{}n a n n S d *∈∀N m n ,m n >d m n m S S S m n mn )(-+=--na⑵ 若正整数n, m, k 成等差数列，比较与的大小，并说明理由！k n S S +mS 2高三数学中档题训练27班级 姓名1. 在平面直角坐标系中，已知圆心在直线上，半径为的圆C 经过坐标原点O ，椭圆与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.xoy 4y x =+()222109x y a a +=>〔1〕求圆C 的方程；〔2〕若F 为椭圆的右焦点，点P 在圆C 上，且满足，求点P 的坐标.18.某厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进先进设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：〔1〕引进该设备多少年后，开始盈利？〔2〕引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，哪种方案较为合算？请说明理由′3.设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是M、m，集合.〔1〕若，且，求M和m的值；〔2〕若，且，记，求的最小值.4.设数列满足，若是等差数列，是等比数列.〔1〕分别求出数列的通项公式；〔2〕求数列中最小项及最小项的值；〔3〕是否存在，使，若存在，求满足条件的所有值；若不存在，请说明理由.高三数学中档题训练28班级姓名1、已知分别是正三棱柱的侧面和侧面的对角线的交点,是棱的中点. 求证:〔1〕平面;〔2〕平面平面.2．在平面区域内有一个圆,向该区域内随机投点,当点落在圆内的概率最大时的圆记为⊙M．〔1〕试求出⊙M的方程；〔2〕过点P〔0，3〕作⊙M的两条切线，切点分别记为A，B；又过P作⊙N：x2+y2-4x+y+4=0的两条切线，切点分别记为C，D．试确定的值，使AB⊥CD．3.已知函数．〔1〕当a=1时，证明函数只有一个零点；〔2〕若函数在区间〔1，+∞〕上是减函数，求实数a 的取值范围．4. 已知函数，是方程的两个根，是的导数．设，．〔1〕求的值；〔2〕已知对任意的正整数有，记．求数列的前项和．高三数学中档题训练29班级姓名1．已知函数，．〔1〕求的最大值和最小值；〔2〕若不等式在上恒成立，求实数的取值范围2、已知椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕若直线过圆的圆心，交椭圆于，两点，且，关于点对称，求直线的方程．3．已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立．〔1〕函数是否属于集合？说明理由；〔2〕若函数属于集合，试求实数和的取值范围；〔3〕设函数属于集合，求实数的取值范围．4．设常数，函数.0a ≥2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞ 〔1〕令，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；〔2〕求证：在上是增函数； 〔3〕求证：当时，恒有．高三数学中档题训练30班级 姓名1．若函数的图象与直线y=m 相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.〔Ⅰ〕求m 的值；〔Ⅱ〕若点图象的对称中心，且，求点A 的坐标.2．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M 〔1,〕, N 〔 －,〕两点.〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕在椭圆上是否存在点P 〔x,y 〕，使P 到定点A 〔a,0〕〔其中0＜a ＜3〕的距离的最小值为１？若存在，求出a 的值及P 点的坐标；若不存在，请给予证明．3.设A 〔x1 , y1〕,B 〔x2 ,y2〕是函数f 〔x 〕=+log2图象上任意两点，且=〔+〕,点M 的横坐标为.⑴求M 点的纵坐标；⑵若Sn==f 〔〕+f 〔〕+…+f 〔〕,n ∈N*,且n≥2，求Sn; ⑶已知an=n ∈N*,Tn 为数列{an}的前n 项和，若Tn<λ〔Sn+1+1〕 对一切n>1且n ∈N*都成立，求λ的取值范围.4.已知函数f 〔x 〕= +lnx 的图像在点P 〔m,f 〔m 〕〕处的切线方程为y=x ,设． ()2ln ng x mx xx =--〔1〕求证：当恒成立；〔2〕试讨论关于的方程： 根的个数．高三数学中档题训练261.证明：〔1〕连接与相交于，则为的中点.连结，又为的中点，MD C B //1∴，又平面，平面⊄C B 1BD A 1MD ⊂BD A 1//1C B ∴平面 . …………………………………………4′BD A 1〔2〕，∴平行四边形为菱形，， 又面⊥1AC BD A 1B A AC 11⊥∴，面 …………………………7′⊥∴B A 111C AB 111C B B A ⊥∴.又在直棱柱中，， 111C B A ABC -111C B BB ⊥⊥∴11C B 平面. ……………………………………9′A ABB 1〔3〕当点为的中点时，∠=45°，且平面平面. 设AB=a ，CE=x，∴，，111A B AC =1C E a x =-∴，1A E ==BE∴在中，由余弦定理得1A BE 22211112cos 45BE A B A E A B A E =+-⋅⋅︒即222222322a x a x a ax +=++--⋅2a x =-∴x=a ，即E 是的中点. ………………………………………13′12C C 1 D 、分别为、的中点，.E AC C C 11//AC DE ∴1AC 平面，平面.BD A 1⊥∴DE BD A 1又平面，∴平面平面. …………………………15′⊂DE BDE ⊥BD A 1BDE 2．解：〔Ⅰ〕易知所以，设，则())12,F F (),P x y())2212,,,3PF PF x y x y x y⋅=---=+-()2221133844x x x =+--=-因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值[]2,2x ∈-0x =P 12PF PF ⋅2-当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 2x =±P 12PF PF ⋅1〔Ⅱ〕设C 〔〕， 由得，又 所以有解得． 220014x y +=2670λλ+-=舍去）01(7>=-=λλ〔Ⅲ〕 因为|P|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，∴的周长≤4＋|BF2|＋|B|≤8．1PBF ∆1F所以当P 点位于直线BF2与椭圆的交点处时，周长最大，最大值为8．3．解〔1〕∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数，∴，即恒成立 ∴ …………4分 32322424ax bx cx d ax bx cx d ---+=-+--220bx d -=0,0b d ==∴，,3)(',)(23c ax x f cx ax x f +=+= ∵时，取极小值,∴，1x =()f x 23-2303a c a c +=+=-且解得 ………8分1,31-==c a〔2〕当时，图象上不存在这样的两点使结论成立. …………10分假设图象上存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直，),(),,(2211y x B y x A则由知两点处的切线斜率分别为,1)('2-=x x f ,1211-=x k ,1222-=x k 且…………〔*〕 …………13分1x 、，2[1,1]x ∈-2222121210,10,(1)(1)0x x x x ∴-≤-≤∴-⋅-≥此与〔*〕相矛盾，故假设不成立. ………………16分4〔本小题满分18分〕 ⑴证明：∵当时，总有m n >d m n m S S S m n m n )(-+=--∴ 当时，即 2分2≥n d n S S S n n )1(11-+=--,)1(1d n a a n -+=且也成立 ………3分1=n∴ 当时，2≥n dd n a d n a a a n n =----+=--)2()1(111∴数列｛｝是等差数列 …………5分na⑵解： ∵正整数n, m, k 成等差数列，∴,2m k n =+ ∴)2)1((22)1(2)1(2111d m m ma d k k ka d n n na S S S m k n -+--++-+=-+ ))2(2(2)2(2222222k n k n d m k n d +-+=-+=……9分2)(4k n d-=∴ ① 当时，0>d k n S S +mS 2>② 当时， 0<d k n S S +mS 2<③ 当时， ……10分 高三数学中档题训练270=d k n S S +mS 2= 1. 解：〔1〕由已知可设圆心坐标为， …………………………∴得，∴圆心坐标为， …………………………()2248t t ++=2t =-()2,2-4'所以圆的方程为 ……………………………()()22228x x ++-=6'〔2〕由题意，椭圆中，即29b =，∴，∴ …………………………216c =()4,0F 8'设，则，(),P m n ()()224016m n -+-=()()22228m n ++-= ……………………………11'解之得：4050125m m n n ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或即 …………………………………………()4120,0,55P P ⎛⎫⎪⎝⎭或14' 2. 解：〔1〕设引进设备几年后开始盈利，利润为y 万元则y=50n-[12n+×4]-98=-2n2+40n-98n(n -1)2由y>0可得10n <10+ ∵n ∈N*，∴3 ≤n ≤17，即第3年开始盈利 …………………… 5′〔2〕方案一：年平均盈利当且仅当即n=7时取“＝”982n =n共盈利12×7+26=110万元 …………………………………………9′ 方案二：盈利总额y=-2n2+40n-98=-2〔n-10〕2+102 当n=10时，ymax=102共盈利102+8=110万元………………………………………13′方案一与方案二盈利客相同，但方案二时间长，∴方案一合算…………153. 〔1〕由 ……………………1′ 又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=，，故，是方程的两实根1-b 1+2=a ,c 2=a ⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩ ……………………………………………3′1,2a b ==-解得 ………………………………………4′ []22()22(1)1,2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即 ………………………5′ max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即 ……………………6′〔2〕,4ca ⎧⎪⎧⎪∴⎨⎨⎩⎪=⎪⎩1-b 2+2=b=1-4a a 即c=4a ………………………8′[]2()(14)4,2,2f x ax a x a x ∴=+-+∈-4112,22a a a -==-其对称轴方程为x131,2,222a a ⎡⎫≥-∈⎪⎢⎣⎭又故 ……………………………10′(2)162,M f a ∴=-=- ………………………11′ 4181,24a a m f a a --⎛⎫==⎪⎝⎭ ………………………12′1()164g a M m a a ∴=+=-…………………………13′[)min 63()1,1().4g a a g a +∞∴==又在区间上为单调递增的，当时， ……15′4.解：〔1〕由成等差数列知其公差为1， 故 ……………………()12113n n a a n n +-=-+-⋅=-3'21322,1,b b b b -=--=-由等比数列知，其公比为，{}1n n b b +-12故 …………11122n n n b b -+⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭6' 11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=()()()12(1)212n n n ---⋅-+⋅+6== ………232282n n n -+-+27182n n -+8' 11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+＝+6=2+ …………………………………………………2121()2112n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭-42n -10' 〔2〕由〔1〕题知,= ,所以当或时，取最小项，其值为3…〔3〕假设存在，使-2-=-则- 即 …………0<27142n n -+42n -12<2527132714n n n n n --+<<-+15' ∵是相邻整数22713714n n n n -+-+与∴，这与矛盾，所以满足条件的不存在 (52)nZ -∉52n Z -∈k 17'高三数学中档题训练282、证明：〔1〕连结，因为分别是侧面和侧面的对角线的交点，所以分别是的中点…………………………………………4分所以，且在平面中，而不在平面中，故平面…………………7分//EF BC BC ABC EF ABC //EF ABC〔2〕因为三棱柱为正三棱柱，所以平面，，故由得……9分又因为是棱的中点，且为正三角形，，故由得， (11)分D BC ABC ∆∴BC AD ⊥//EF BC EF AD ⊥ 而，平面，所以平面，又平面，故平面平面.……………………………………14分1A AAD A =1,A A AD ⊂1A AD EF ⊥1A AD EF ⊂AEF AEF ⊥1A AD2. 〔1〕设⊙M 的方程为〔x-a 〕2+〔y-b 〕2=r2〔r ＞0〕，则点〔a ，b 〕在所给区域的内部．2分于是有,,.r r r ==⎪= ………………………………………………8分〔未能去掉绝对值，每个方程给1分〕解得 a=3，b=4，r=，所求方程为〔x-3〕2+〔y-4〕2=5． …………………10分〔2〕当且仅当PM ⊥PN 时，AB ⊥CD ． ………………………………14分因，故，解得=6． …………………………18分13PM k =λ3232PN k --==-λ当=6时，P 点在圆N 外，故=6即为所求的满足条件的解．〔本验证不写不扣分〕3.解：〔1〕当a=1时，，其定义域是，2121()21x x f x x x x --'∴=-+=-令，即，解得或．()0f x '=2210x x x ---=12x =-1x = ，舍去．x >12x ∴=-当时，；当时，．01x <<()0f x '>1x >()0f x '<∴函数在区间〔0，1〕上单调递增，在区间〔1，+∞〕上单调递减∴当x=1时，函数取得最大值，其值为．()f x 2(1)ln1110f =-+= 当时，，即．1x ≠()(1)f x f <()0f x < ∴函数只有一个零点． ()f x 〔2〕法一：因为其定义域为，所以222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x -++-+-'=-+==①当a=0时，在区间上为增函数，不合题意1()0,()f x f x x'=>∴(0,)+∞ ②当a>0时，等价于，即．()0(0)f x x '<>(21)(1)0(0)ax ax x +->>1x a >此时的单调递减区间为．()f x 1(,)a +∞依题意，得解之得．11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩1a ≥③当a<0时，等价于，即·()0(0)f x x '<>(21)(1)(0)ax ax x +->>12x a >-此时的单调递减区间为，得()f x 1(,)2a -+∞11,0.a a ⎧-≤⎪∴⎨⎪<⎩12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞法二：22()ln ,(0,)f x x a x ax x =-+∈+∞2221()a x ax f x x -++'∴=由在区间上是减函数，可得()f x (1,)+∞在区间上恒成立．22210a x ax -++≤(1,)+∞① 当时，不合题意0a =10≤② 当时，可得即0a ≠11,4(1)0a f ⎧<⎪⎨⎪≤⎩210,4210a a a a ⎧><⎪⎨⎪-++≤⎩或10,4112a a a a ⎧><⎪⎪∴⎨⎪≥≤-⎪⎩或或 1(,][1,)2a ∴∈-∞-+∞4. 〔1〕 由 得α∴=β=〔2〕(221122111n n n n n n n nn a a a a a a a a βαβα++++++++-==-⎛⎫ ⎪⎛⎫-== ⎪-⎝⎭又 ∴12n nb b +=1111ln4ln2a b a βα-===- ∴数列是一个首项为 ，公比为2的等比数列；{}n b 4ln∴)()1212421ln 122n n n S -+==--高三数学中档题训练291．解：〔1〕．又，，即，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵ππ2π2633x -∴≤≤π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤max min ()3,()2f x f x ==∴．〔2〕，，max ()2m f x >-∴且，min ()2m f x <+，即的取值范围是．2.〔1〕…………7分 〔2〕…………7分 3．〔本小题满分16分〕解：〔1〕，若，则存在非零实数，使得 ，……〔2分〕即，……〔3分〕因为此方程无实数解，所以函数．……〔4分〕 〔2〕，由，存在实数，使得 ，……〔6分〕 解得，……〔7分〕所以，实数和的取得范围是，．……〔8分〕 〔3〕由题意，，．由，存在实数，使得 ，……〔10分〕所以，，)1(21)1(20220+=++x a x a 化简得，……〔12分〕当时，，符合题意．……〔13分〕当且时，由△得，化简得0>a 2≠a 0≥0))(2(84224≥---a a a a a ，解得．……〔15分〕综上，实数的取值范围是．……〔16分〕4．解〔Ⅰ〕∵，∴112()1[ln (ln )]a f x x x x x x '=-⨯+⨯+2ln 21x ax x =-+，∴，∴，令，得，列表如下：()()2ln 2g x xf x x x a '==-+(0,)x ∈+∞22()1x g x x x-'=-=()0g x '=2x =∴在处取得极小值，(g x 即的最小值为． ()g x (2)22ln 22g a =-+(2)2(1ln 2)2g a=-+，∵，∴，又，∴． ln 21<1ln 20->0a ≥(2)0g >〔Ⅱ〕证明由〔Ⅰ〕知，的最小值是正数，∴对一切，恒有从而当时，恒有，故在上是增函数． 〔Ⅲ〕证明由〔Ⅱ〕知：在上是增函数，∴当时，， 又，1x >()(1)f x f >2(1)1ln 12ln110f a =-+-=∴，即，∴()0f x >21ln 2ln 0x x a x --+>2ln 2ln 1x x a x >-+ 故当时，恒有．高三数学中档题训练301x >2ln 2ln 1x x a x >-+ 1．解析：解：〔1〕 3分由于y=m 与的图象相切， 则； 5分)(x f y =221221-=+=m m 或〔2〕因为切点的横坐标依次成公差为等差数列，所以 2．解：〔Ⅰ〕设椭圆方程为mx+ny=1〔m ＞0,n,＞0且m≠n 〕 ……………2分∵椭圆过M,N 两点，∴m+ …………………4分,1932=n 1229=+n m ∴m= ………………………………………………6分41,91=n ∴椭圆方程为 …………………………………………7分14922=+y x〔Ⅱ〕设存在点P 〔x,y 〕满足题设条件，∴|AP|=〔x-a 〕+y ,又,∴y=4〔1 -〕,∴|AP|=〔x-a 〕+ 4〔1 -〕=〔x-a 〕+4-a 〔|x|≤3〕，…………………10分若|AP|的最小值为4-a ，依题意，时，即350,359≤≤＜a a 5424-a=1 ，∴a=;………………………………………12分542215±⎥⎦⎤ ⎝⎛∉35,0 若即时，当x=3时,,359〉a 335＜a＜|AP|的最小值为〔3-a 〕,〔3-a 〕=1,∴a=2,此时点P 的坐标是〔3，0〕 .…………………………………………15分 故当a=2时，存在这样的点P 满足条件，P 点的坐标是〔3，0〕.…………16分3.解:〔1〕 ∵x1+x2=1,∴yM===； 4分〔2〕 ∵对任意xÎ〔0,1〕都有f 〔x 〕+f 〔1-x 〕=1∴f 〔〕+f 〔1-〕=1,即f 〔〕+f 〔〕=1 而Sn==f 〔〕+f 〔〕+…+f 〔〕, 又Sn==f 〔〕+f 〔〕+…+f 〔〕两式相加得2Sn=n-1,∴Sn=. 10分21-n〔3〕 n≥2时，an==4〔〕,Tn=<,λ>,而≤=，等号成立当且仅当n=2,∴λ>. 16分4．〔本小题满分16分〕〔1〕由k=得m=1∴f 〔m 〕=1=n+0,n=1∴． ———2′()12ln 2ln n g x mx x x xx x =--=--∴，()()222221122110x x x g x x x x x --+'=+-==≥∴在是单调增函数，()g x [)1,+∞∴对于恒成立．———6′()g x ()1112ln10g ≥=--=[)1,x ∈+∞〔2〕方程，∴．∵ ，∴ 方程为．0x >22ln 2xx ex tx =-+令，22ln (),()2xL x H x x ex t x ==-+，当上为增函数；21ln ()2xL x x -'=()()(0,),0,(0,]x e L x L x e ''∈≥∴时在上为减函数，()()[,),0,[0,)x e L x L x e ''∈+∞≤∴时在当时， ———11′ex =max 2()().L x L e e == ()()2222H x x ex t x e t e =-+=-+-，∴、在同一坐标系的大致图象如图所示，()x 函数L ()H x∴①当时，方程无解．2222,t e e e e ->>+即t ②当时，方程有一个根．2222,t e e e e -==+即t ③当时，方程有两个根．—16′15、2222,t e e e e -<<+即t。
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中档题7一、填空题1．设集合{}2120A x x x =+-=，集合{}10B x kx =+=，如果A B A ⋃=，则由实数k 组成的集合中所有元素的积等于 . 2．若复数()3,12a ia R i i-∈+为虚数单位是纯虚数，则实数a 的值为 . 3．已知向量()2,1,10,52=+==a b a b a g ，则=b .4．若命题“,x R ∃∈使2(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为 . 5.在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值()*n N ∈，且79982,3,4a a a ===，则此数列{}n a 的前100项的和100S = .6．已知函数()()[]432,0,1f x a x b a x =-+-∈，若()2f x ≤恒成立，则a b +的最大值为 .7．过点()3,4C 且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为12,r r ，则12r r = . 8．如图，已知三棱锥A BCD -的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且30BAC ∠=o，,M N 分别在棱AC AD 和上，则BM MN NB ++的最小值为 .二、解答题9．在ABC ∆中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，不等式2cos 4sin 60x C x C ++≥对一切实数x 恒成立.（1）求角C 的最大值（2）若角C 取得最大值，且2a b =，求角B 的大小.10．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA PD =,且PD 与底面ABCD 所成的角为45o .（1）求证：PA ⊥平面PCD（2）已知E 为棱AB 的中点，问在棱PD 上是否存在一点Q ，使//EQ 平面PBC ？若存在，证明你的结论；若不存在，试，说明理由.11．某医药公司经销某种品牌药品，每件药品的成本为6元，预计当每件药品的售价为x 元()911x ≤≤时，一年的销售量为485x -万件，并且全年该药品需支付2x 万元的宣传及管理费.（1）求该医药公司一年的利润L （万元）与每件药品的售价x 的函数关系式；（2）当每件药品的售价为多少元时，该公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值.12．已知曲线221:14y C x +=与曲线22:1C y x =-，设点()()000,0P x y y >是曲线1C 上任意一点，直线0014y yx x +=与曲线2C 交于,A B 两点. （1）判断直线0014y yx x +=与曲线1C 的位置关系；（2）以,A B 两点为切点分别作曲线2C 的切线，设两切线的交点为M ，求证：点M 到直线1:220l x y --=与2:220l x y ++=距离的乘积为定值.13．设函数)(x f 的定义域为M ，具有性质P ：对任意M x ∈，都有)1(2)2()(+≤++x f x f x f .（1）若M 为实数集R ，是否存在函数),1,0()(R x a a a x f x∈≠>= 具有性质P ，并说明理由；（2）若M 为自然数集N ，并满足对任意M x ∈，都有N x f ∈)(. 记)()1()(x f x f x d -+=.求证：对任意M x ∈，都有)()1(x d x d ≤+.14．设非常数数列{a n }满足βαβα++=++n n n a a a 12，*∈N n ，其中常数βα,均为非零实数，且 0≠+βα.（1）证明：数列{}n a 为等差数列的充要条件是02=+βα；（2）已知25,141121====a a ，，βα，求证：数列{}11-+-n n a a()2,≥∈*n N n 与数列()*∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧+N n n 21中没有相同数值的项.中档题7答案1、02、63、54、13a -≤≤5、2996、1747、25 8、2 9、（1）由条件知，当cos 0C =时，不合题意.当cos 0C ≠时，2cos 016sin 24cos 0C C C >⎧⎨∆=-≤⎩，即2cos 02cos 3cos 20C C C >⎧⎨+-≥⎩，1cos 2C ∴≥. C ABC ∆Q 为的内角， 03C π∴<≤，∴角C 的最大值为3π. (2)有（1）知3C π=， 23A B π∴+=，由2a b =，得sin 2sin A B =.2sin 2sin 3B B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,即3133cos sin 2sin ,cos 2sin 2222B B B B B +==，即32tan .0,,336B B B ππ⎛⎫=∈∴= ⎪⎝⎭Q . 10、证明（1）过点P PH AD ⊥作交于H .Q 侧面PAD ABCD ⊥底面，PH ABCD ∴⊥平面.PD ∴与平面ABCD 所成的角为45PDH ∠=o .,45.PA PD PAD =∴∠=o Q 则90APD ∠=o..,PA PD CD AD ∴⊥⊥Q 平面PAD ABCD ⊥底面，.,CD PAD PA PAD ∴⊥⊂Q 平面平面.CD PA ∴⊥,PD CD D ⋂=Q PA PDC ∴⊥平面.（2）存在.当Q 为PD 的中点时，//EQ 平面PBC . 证明如下：取PC 的中点F ，连,FQ FB .则1//,.//,2FQ CD FQ CD BE CD =Q 12BE CD =，∴四边形BEQF 为平行四边形.//.BF EQ BF ∴⊂Q 平面,PBC EQ ⊄平面PBC ，//EQ ∴平面PBC .11、（1）该公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：()48625L x x x =-•--， []9,11x ∈.（2）()48625L x x x =-•--Q ，令[]()4815,4,6,210t x t t L t t --=∈∴=--=484838238223886t t t t ⎛⎫-+≤-•=- ⎪⎝⎭.当且仅当482t t =，即526x =+时，L 取得最大值3886-.则当每件售价为526+元时，该公司一年的利润L 最大，最大值为3886-（万元）.12、（1）直线直线0014y y x x +=与曲线1C 相切00221444y yx x y x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，22004840x x x y ⇒-+-= ()()222220000816416440x y x y ⇒∆=--=+-=.（2）设()()1122,,,A x y B x y002441y y x x y x =-⎧⎨=-⎩，()2000012120044440,1x y x x x y x x x x y y ⎛⎫⇒+-+=⇒+=-=-+ ⎪⎝⎭22:12C y x y x '=-⇒=，切线()()2111:12AM y x x x x --=-,即：()21121y x x x =-+①同理切线()222:21BM y x x x =-+②联立①②得012002242x x x x y y y +⎧==-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，即00024,2x M y y ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 设点M 到直线12,l l 距离分别为12,d d ，000001241222455x x y y y d ⎛⎫⎛⎫+-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==， 000002241222455x x y y y d ⎛⎫⎛⎫-----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，20201222001161644555y x d d y y --===.13、证明：（1）因f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以a x ≠a x +2，即f (x )≠f (x ＋2).由题设以及算术平均与几何平均不等式，得f (x )＋f (x ＋2)＝a x ＋a x +2＞2a x a x +2＝2 a x +1＝2 f (x ＋1)， 这与f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)矛盾.故不存在函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)满足性质P . （2）(ⅰ)由题设对任意x ∈N ，f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)，所以f (x ＋2)－f (x ＋1)≤f (x ＋1)－f (x ).于是对任意x ∈N ，d (x ＋1)≤d (x ).14、（1）解：已知数列}{n a ，12n nn a a a αβαβ+++=+.①充分性：若βα2-=，则有12122n nn n n a a a a a βββ+++-+==--，得n n n n a a a a -=-+++112，所以}{n a 为等差数列.②必要性：若}{n a 为非常数等差数列，可令b kn a n +=(k ≠0). 代入12n n n a a a αβαβ+++=+，得[(1)]()(2)k n b kn b k n b αβαβ++++++=+.化简得2k k ααβ=+，即02=+βα.因此，数列{a n }为等差数列的充要条件是α＋2β＝0. （2）由已知得2111[]5n n n n a a a a +++--=-.又因为21302a a -=≠，可知数列}{1n n a a -+(n ∈N *)为等比数列，所以11121131()()()552n n n n a a a a --+---=-=⋅ (n ∈N *).从而有n ≥2时， 1131()52n n n a a -+--=⋅，2131()52n n n a a ----=⋅.于是由上述两式，得 2111(556|)|n n n a a -+-⋅-=（2n ≥）.由指数函数的单调性可知，对于任意n ≥2，| a n ＋1－a n －1|＝65·2)51(-n ≤65·22)51(-＝65. 所以，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 中项均小于等于65.而对于任意的n ≥1时，n ＋12≥1＋12＞65，所以数列{n ＋12}(n ∈N*)中项均大于65.因此，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 与数列{n ＋12}(n ∈N*)中没有相同数值的项.。