第七章 直线和圆的方程 阶段质量检测
高三数学一轮复习高考总复习测评卷 直线和圆的方程 章末质量检测 文 试题
·创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日金版新学案?高考总复习配套测评卷——高三一轮数学『文科』卷(七)直线和圆的方程————————————————————————————————————— 【说明】 本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷 (选择题 一共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．下面各组方程中，表示一样曲线的是( )A ．y ＝x 与yx＝1 B ．|y |＝|x |与y 2＝x 2C ．|y |＝2x ＋4与y ＝2|x |＋4D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ(θ为参数)y ＝cos 2θ与y ＝－x 2＋12．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )A ．－x ＋2y －4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝03．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直〞的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．过点P (5，－2)，且与直线x －y ＋5＝0相交成45°角的直线l 的方程是( )A ．y ＝－2B ．y ＝2，x ＝5C ．x ＝5D ．y ＝－2，x ＝55．假设PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，那么直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝06．假设k ，－1，b 三个数成等差数列，那么直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)7．D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0，所确定的平面区域，那么圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为( )A.π4B.π2C.3π4D.3π28．A (－3,8)和B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，那么点M 的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎪⎫225，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，2259．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，假设目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，那么2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．410．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (3,1)，B (－1,3)，假设点C 满足|＋|＝|－|，那么C 点的轨迹方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x －y ＝0C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 D ．3x －2y －11＝011．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝012．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向挪动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城B 在A 的正东40千米处，那么B 城处于危险区内的时间是为( )A ．小时B ．1小时C ．小时D ．2小时第二卷 (非选择题 一共90分)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上) 13．将直线y ＝x ＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，那么所得直线的方程为________．14．在坐标平面内，与点A (1,3)的间隔 为2，且与点B (3,1)的间隔 为32的直线一共有__________条．15．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，那么△EOF (O 为坐标原点)的面积等于________．16．在直角坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6y ＋4≤0，|x －2|＋|y －3|≥3表示的平面区域的面积是________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17．(本小题满分是10分)△ABC 的两条高所在直线的方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．18．(本小题满分是12分)如图，直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(－2,0)，直角顶点B 的坐标为(0，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求BC 边所在直线的方程．(2)圆M 是△ABC 的外接圆，求圆M 的方程．19.(本小题满分是12分)△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0.AC 边上的高BH 所在直线为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．20．(本小题满分是12分)甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元/吨和元/吨．要使总运费最少，煤矿应怎样编制调运方案？21.(本小题满分是12分)圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)经过点(1，3)． (1)求圆C 的方程；(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l ，它与圆C 相交于A ，B 两个不同点，且满足＝12＋32(O 为坐标原点)关系的点M 也在圆C 上？假如存在，求出直线l 的方程；假如不存在，请说明理由．22．(本小题满分是12分)圆M 的方程为：x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．(1)求圆N 的方程；(2)圆N 与x 轴交于E 、F 两点，圆内的动点D 使得|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，求·的取值范围；(3)过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A 、B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行？请说明理由． 答案：卷(七)一、选择题1．B 用排除法做．A 、C 易排除，∵点坐标范围明显不一致．D 中前者x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]，后者x ∈R ，y ∈(－∞，1]，故排除D.2．D 选D.由题意知所求直线与2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)． 故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0.3．C 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立；当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1.所以“a ＝1〞是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直〞的充要条件． 4．D (1)假设直线l 的斜率存在，设为k ，由题意，tan 45°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －11＋k ，得k ＝0，所求l 的直线方程为y ＝－2.(2)假设直线l 的斜率不存在，那么直线l 的方程为x ＝5，且与直线x －y ＋5＝0相交成45°角．应选D.5．B 结合圆的几何性质易知直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.6．A ∵k ，－1，b 成等差数列， ∴k ＋b ＝－2.∴当x ＝1时，y ＝k ＋b ＝－2. 即直线过定点(1，－2)．7．B 如图阴影局部表示⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0，确定的平面区域，所以劣弧AB 的弧长即为所求．∵k OB ＝－13，k OA ＝12，∴tan ∠BOA ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－131＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1，∴∠BOA ＝π4.∴劣弧A B 的长度为2×π4＝π2.8．B 点B (2,2)关于x 轴的对称点为B ′(2，－2)，连接AB ′，易求得直线AB ′的方程为2x ＋y －2＝0，它与x 轴交点M (1,0)即为所求．9．A 不等式组表示的平面区域如下图阴影局部，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)获得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6 ＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2 ＝256， 应选A10．C 由|＋|＝|－|知⊥，所以C 点的轨迹是以两个端点A 、B 为直径的圆，圆心坐标为线段AB 的中点(1,2)，半径等于5，所以C 点的轨迹方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5.11．D 由条件知M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与M 点的连线垂直， 设圆心为O ，那么O (2,0)， ∴K OM ＝2－01－2＝－2.∴直线l 的斜率k ＝12，∴l 的方程为y －2＝12(x －1)．即x －2y ＋3＝0.12．B 如图，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，那么B (40,0)，台风中心挪动的轨迹为射线y ＝x (x ≥0)，而点B 到射线y ＝x 的间隔 d ＝402＝202＜30，故l ＝2302－(202)2＝20，故B 城处于危险区内的时间是为1小时． 二、填空题13．【解析】 直线y ＝x ＋3－1的斜率为1，故倾斜角为45°，旋转后的直线的倾斜角为60°，斜率为3，故所求直线方程为y －3＝3(x －1)，即3x －y ＝0.【答案】3x －y ＝014．【解析】 以A (1,3)为圆心，以2为半径作圆A ，以B (3,1)为圆心，以32为半径作圆B .∵|AB |＝(1－3)2＋(3－1)2＝22＝32－2， ∴两圆内切， 公切线只有一条． 【答案】 1 15．【解析】 如图圆心O 1(2，－3)到直线l ：x －2y －3＝0的间隔 为5，那么|EF |＝29－5＝4，O 到l 的间隔 d ＝35，故S △OEF ＝12d |EF |＝655.【答案】65516．【解析】 区域为圆面(x －2)2＋(y －3)2＝9内挖去了一个内接正方形． 【答案】 9π－18三、解答题17．【解析】 可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，那么可设AB ，AC 边上的高所在的直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，那么可求得AB ，AC 所在的直线方程为y－2＝－32(x －1)，y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，y －x －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0得B (7，－7)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －x －1＝02x －3y ＋1＝0得C (－2，－1)，所以直线BC 的方程为2x ＋3y ＋7＝0. 18．【解析】 (1)设C (x 0,0)， 那么k AB ＝－220－(－2)＝－ 2.k BC ＝0＋22x 0－0＝22x 0. ∵AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1， 即－2×22x 0＝－1，∴x 0＝4，∴C (4,0)，∴k BC ＝22， ∴直线BC 的方程为y －0＝22(x －4)，即y ＝22x －2 2. (2)圆M 以线段AC 为直径，AC 的中点M 的坐标为(1,0)，半径为3， ∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －8＝0. 19．【解析】 直线AC 的方程为：y －1＝－2(x －5)，即2x ＋y －11＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝3，那么C 点坐标为(4,3)．设B (m ，n )，那么M (m ＋52，n ＋12)，⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋52－n ＋12－5＝0m －2n －5＝0， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －n －1＝0m －2n －5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1n ＝－3那么B 点坐标为(－1，－3)直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.20．【解析】 设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－x )＋y ＋1.6(300－y )(万元)，即z ＝780－x －y . x 、y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，200－x ≥0，300－y ≥0，x ＋y ≤280，200－x ＋(300－y )≤360， 作出上面的不等式组所表示的平面区域如下图．设直线x ＋y ＝280与y 轴的交点为M ，那么M (0,280)，把直线l ：x ＋y ＝0向上平移至经过点M 时，z 的值最小． ∵点M 的坐标为(0,280)，∴甲煤矿消费的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少． 21．【解析】 (1)由圆C ：x 2＋y 2＝r 2，再由点(1，3)在圆C 上，得r 2＝12＋(3)2＝4所以圆C 的方程为 x 2＋y 2＝4；(2)假设直线l 存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)①假设直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y －1＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)＋1x 2＋y 2－4＝0消去y 得，(1＋k 2)x 2＋2k (k ＋1)x ＋k 2＋2k －3＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－2k (k ＋1)1＋k 2＝－2＋2－2k 1＋k 2，x 1x 2＝k 2＋2k －31＋k 2＝1＋2k －41＋k 2， y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (k ＋1)(x 1＋x 2)＋(k ＋1)2＝2k ＋41＋k 2－3， 因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在圆C 上，因此，得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4， 由＝12＋32得x 0 ＝x 1＋3x 22，y 0＝y 1＋3y 22，由于点M 也在圆C 上，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋3x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 222 ＝4，整理得，x 21＋y 214＋3x 22＋y 224＋32x 1x 2＋123y 1y 2＝4， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以1＋2k －41＋k 2＋(2k ＋41＋k2－3)＝0， 从而得，k 2－2k ＋1＝0，即k ＝1，因此，直线l 的方程为 y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0，②假设直线l 的斜率不存在，那么A (－1，3)，B (－1，－3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，3－32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322 ＝4－3≠4，故点M 不在圆上与题设矛盾综上所知：k ＝1，直线方程为x －y ＋2＝022．【解析】 圆M 的方程可整理为：(x －1)2＋(y －1)2＝8，故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2.(1)圆N 的圆心为(0,0)，因为|MN |＝2＜22，所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M .设其半径为r .因为圆N 内切于圆M ，所以有：|MN |＝R －r ， 即2＝22－r ，解得r ＝ 2.所以圆N 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意可知：E (－2，0)，F (2，0)．设D (x ，y )，由|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，得|DO |2＝|DE |×|DF |， 即：(x ＋2)2＋y 2×(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，整理得：x 2－y 2＝1.而＝(－2－x ，－y )，＝(2－x ，－y )，·＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y )＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1，由于点D 在圆N 内，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＜2x 2－y 2＝1，由此得y 2＜12，所以·∈[－1,0)． (3)因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，那么直线MB 的斜率为－k .故直线MA 的方程为y －1＝k (x －1)，直线MB 的方程为 y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k (x －1)x 2＋y 2＝2， 得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点M 在圆N 上，故其横坐标x ＝1一定是该方程的解，可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2， 同理可得：x B ＝k 2＋2k －11＋k 2， 所以k AB ＝y B －y A x B －x A＝ －k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝ 2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k MN . 所以，直线AB 和MN 一定平行．。
中职教育数学《直线与圆的方程》测试卷
直线与圆的方程检测一．选择题：（每小题5分，共50分）1.若直线L 经过原点和点（-3，2），则L 的斜率是( ) A.1 B.32 C.-32 D.-232.直线083=-+y x 的倾斜角是( )A.6πB. 3πC. 32πD. 65π3.已知直线L ：2x-3y+1=0和点P(1,1),Q(0,1),则有( ) A.点P,Q 都在直线L 上 B.点P 在直线L 上,Q 不在直线L 上C.点P 不在直线L 上，点Q 在直线L 上D.点P,Q 都不在直线L 上 4.经过点（0，-7），与直线6x+5y+1=0垂直的直线方程为( ) A.5x-6y-42=0 B.5x+6y-42=0 C.5x-6y+42=0 D.5x+6y+42=0 5.下列各组中两个方程表示两条直线，其中互相平行的组数有 （ ） ①y=31x ，y=3x ； ②6x-2y+1=0，y=3x;③2x-3y=0,4x-6y+1=0; ④2x=1,2y=-1 A.1 B.2 C.3 D.46．圆222460x y x y ++--=的圆心和半径分别是（ ）A.(1,-(1,(1,--(1,-7.直线3x-4y-2=0与圆（x-2）2+y 2=1的位置关系是 （ ） A.相交不过圆心 B.相交且过圆心 C.相切 D.相离 8.下列方程中圆心在点(2,3)P -，并且与y 轴相切的圆是 ( )Ａ.22(2)(3)4x y -++= Ｂ.22(2)(3)4x y ++-= Ｃ.22(2)(3)9x y -++= Ｄ.22(2)(3)9x y ++-=9.0422>-+F E D 是方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．随a 值变化而变化二.填空题（每小题5分,共25分）11.若直线x+ay-a=0与直线ax-(2a-3)y-1=0垂直,则a 的值为12.过点)5,2(-,且与圆012222=+-++y x y x 相切的直线方程为13.圆心在（-1，1），且过点（3，0）的圆的方程14.圆心直线2x-y+1=0上且与两坐标轴都相切的圆的方程是 15.若方程k k y x y x 82224222-=+-+表示一个圆，则实数k 的取值范围是三．解答题(本大题共6小题,共75分)16.(12分)已知△ABC 的三个顶点A(4,-6),B(-4,0),C(-1,4),求:(1)AC 边上的高BD 所在直线的方程;(2)BC 的垂直平分线EF 所在直线的方程;(3)AB 边的中线的方程.17.(12分)求过圆的05622=+++y y x 的圆心且与直线2x+4y-1=0垂直的直线方程。
第七章 直线与圆的方程7.1～7.4单元检测题(A)卷
第七章 直线与圆的方程7.1～7.4单元检测题（A ）卷一、 选择题（每小题6分，共48分）1、 已知直线l 过)2,1(A 和)6,4(B 两点，则直线l 的斜率为（ ）（A ）43 （B ）43-（C ）34 （D ）34-2、 直线0632=-+y x 的斜率为k ，在x 轴上的截距为a ，则（ ）（A ）2,32=-=a k （B ）3,32=-=a k （C ）2,23=-=a k （D ）3,23=-=a k3、 如果0>AC ，0<BC ，那么直线0=++C By Ax 不经过（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 4、 若直线022=-+y ax 与直线023=--y x 平行，那么a 等于（ ）（A ）－3 （B ）－6 （C ）23-（D ）325、 到直线0143=+-y x 的距离为3，且与此直线平行的直线方程为（ ）（A ）0443=+-y x （B ）02430443=--=+-y x y x 或 （C ）01643=+-y x （D ）0144301643=--=+-y x y x 或 6、 原点和点（1，1）在直线a y x =+的两侧，则a 的取值范围是（ ）（A ）20><a a 或 （B ）02==a a 或（C ）20<<a （D ）20≤≤a7、 若直线025=++y ax 和直线032=++y x 互相垂直，那么a 等于（ ）（A ）－6 （B ）－8 （C ）－10 （D ）108、 直线0),(:=y x f C 关于直线0=-y x 的对称直线/C 的方程为（ ）（A ）0),(=-x y f （B ）0),(=-x y f（C ）0),(=x y f （D ）0),(=--x y f二、 填空题（每小题6分，共24分）9、 直线032=+-y x 到直线023=-+y x 的角为_______________。
直线与圆的方程 解答题(八大题型,均为不同类型题)(学生版)24-25学年高二数学期中(人教选修一)
特训06 直线与圆的方程 解答题（八大题型，均为不同类型题）目录：题型1：直线的倾斜角、斜率，方程题型2：交点、距离问题题型3：对称，将军饮马问题题型4：求圆的方程（含轨迹）题型5：直线与圆综合题型6：直线与圆的实际应用题型7：圆与圆综合题型8：难点分析题型1：直线的倾斜角、斜率，方程1．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）已知直线1:(31)(3)300l a x a y ++-+=，直线2:(1)390l a x y -++=．(1)若12//l l ，求实数a 的值；(2)若12l l ^，求实数a 的值．2．（22-23高二上·甘肃武威·期中）已知坐标平面内两点()()3,25,2,1M m m N m ++-.(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？3．（23-24高二上·四川·期中）已知()4,0A ，()1,2B ，(),C m m ，()7,1D -.(1)若直线AB 与CD 平行，求m 的值；(2)若ABC V 为直角三角形，求m 的值.4．（20-21高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为()3,8A ，()3,2B -，()3,0C -.（1）求AB 边上中线CM 所在直线的方程；（2）求BC 边上高AD 所在直线的方程.5．（23-24高二上·浙江·期中）已知()2,3A ，()4,1B -，()0,3C -．(1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段BC （包括端点）上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．6．（23-24高二上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：()()()121740R k x k y k k -+--+=Î．(1)求证：直线l 经过第一象限；(2)当原点O 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．7．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线:210l x y +-=和点()1,2A (1)请写出过点A 且与直线l 平行的直线；(2)求点A 关于直线l 的对称点的坐标.8．（21-22高二上·云南·期中）已知直线l ：()12(3)(4)0x y l l l ++--+=，()()1,3,3,2A B -(1)证明无论l 取何值，直线l 恒过一定点，并求出该定点坐标；(2)若l 与线段AB 有公共点，求l 斜率k 的取值范围．题型2：交点、距离问题9．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线2310x y --=和直线30x y +-=的交点为P .(1)求过点P 且与直线210x y --=平行的直线1l 的方程；(2)求线段OP （O 为原点）的垂直平分线2l 的方程.10．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知直线1l ：23180x y ++=，2l ：2380x y +-=，在1l 上任取点A ，在2l 上任取点B ，过线段AB 的中点作2l 的平行线3l .(1)求直线1l 与2l 之间的距离；(2)求直线3l 的方程.11．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知直线1l 的方程为240x y +-=，若直线2l 在x 轴上的截距为32，且12l l ^.(1)求直线1l 和直线2l 的交点坐标；(2)已知不过原点的直线3l 经过直线1l 与直线2l 的交点，且在y 轴上截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线3l 的方程.12．（23-24高二上·河南开封·期中）已知ABC V 的顶点()2,0A ，()0,4B ，且重心G 的坐标为24,33æö-ç÷èø.(1)求C 点坐标：(2)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.求ABC V 的欧拉线的一般式方程.题型3：对称，将军饮马问题13．（2020高三·全国·专题练习）已知直线:2310l x y -+=，点()1,2--A ．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ¢的坐标；(2)直线:3260m x y --=关于直线l 的对称直线m ¢的方程；(3)直线l 关于点()1,2--A 对称的直线l ¢的方程．14．（21-22高一下·江西宜春·阶段练习）已知直线1:30l x y -+=及点(4,7)A -和点(1,8)B ，Q 为1l 上一动点．(1)求AQ BQ +的最小值并求出此时点Q 的坐标；(2)在（1）的条件下，直线2l 经过点Q 且与x 轴正半轴､y 轴正半轴分别交于C ､D 两点，当直线2l 与两坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求直线2l 的方程．题型4：求圆的方程（含轨迹）15．（23-24高二上·辽宁·期中）分别求满足下列条件的圆的标准方程：(1)经过点()()3,2,2,3A B ，圆心在x 轴上；(2)经过直线230x y ++=与230x y -+=的交点，圆心为点()2,1C -.16．（23-24高二上·河北保定·期中）已知()()2,0,2,0A B -，动点M 与点A 的距离是它与点B 倍.(1)求点M 的轨迹方程；(2)倍改成(0)k k >倍，求点M 的轨迹.17．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知ABC V 的三个顶点分别是(5,1)A ，(7,3)B -，(8,2)C -．(1)求BC 边上的高所在的直线方程；(2)求ABC V 的外接圆的标准方程．18．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）已知线段AB 的端点B 的坐标为()1,3，端点A 在圆()22:14C x y ++=上运动.(1)求线段AB 的中点M 的轨迹方程；(2)已知点(),P x y 为（1）所求轨迹上任意一点，求22x y +的最大值.19．（22-23高二上·四川成都·期中）已知直线l 的倾斜角为135o ，且过点（3，3），直线l 分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，圆C 是以AB 为直径的圆.(1)求圆C 的标准方程；(2)分别判断点M （6，4），点N （-1，1）与圆C 的位置关系.20．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）设()3,0A -，()3,0B 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值2.(1)求P 点的轨迹E 方程；(2)求ABP △面积的最大值.21．（22-23高二上·北京怀柔·期中）在平面直角坐标系中，已知点(0,3)A ，(4,0)B ，(1,0)M -，(1,0)N ，O 为原点，以MN 为直径作圆C ．(1)求圆C 的方程；(2)设P 是圆C 上的动点，求22S PA PB =+的最大值和最小值．题型5：直线与圆综合22．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．23．（23-24高二下·四川·阶段练习）已知圆C 和直线12:240,:20l x y l x y --=--=，若圆C 的圆心为(0,0)，且圆C 经过直线1l 和2l 的交点．(1)求圆C 的标准方程；(2)过定点(1,2)的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且MN =l 的方程．24．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆C 的圆心在直线y x =上，且过点()()3,0,2,1-(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过()0,3，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．25．（23-24高二上·贵州·期中）已知直线l 经过点()2,1A -，且与直线2210x y +-=平行．(1)求直线l 的方程；(2)已知圆C 与y 轴相切，直线l 被圆C 截得的弦长为1y x =-上，求圆C 的方程．26．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知直线:(21)(1)85l m x m y m +++=+，圆22:(1)(2)25C x y -+-=．(1)证明：直线与圆总有两个交点，与m 的取值无关．(2)是否存在m ，使得直线l 被圆C 截得的弦长为m 的值；若不存在，请说明理由．27．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知圆心为C 的圆经过点()1,1A -和()2,2B --，且圆心在直线:10l x y +-=，求：(1)求圆心为C 的圆的标准方程：(2)设点()1,1P 在圆C 内，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，求四边形ABCD 的面积题型6：直线与圆的实际应用28．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时建立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直，保护区的边界为圆心M 在线段OA 上，并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不小于94m .经测量点A 位于点O 正北方向40m 处，点C 位于O 正东方向220m 处（OC 为河岸），3tan 4BCO Ð=.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区面积最大.29．（23-24高二上·四川成都·期中）如图所示，有一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 长为8米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一个行走仪，在距离A 点2米的E 处放置一个机器人，机器人行走速度为v ，行走仪行走速度为2v ，若行走仪和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么行走仪将被机器人捕获，称点M 叫捕获点.(1)求在这个矩形场地内捕获点M 的轨迹方程；(2)若N 为矩形场地AD 边上的一点，若行走仪在线段FN 上都能逃脱，问：N 点的位置应在何处？题型7：圆与圆综合30．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆221:2280C x y x y +++-=与圆222:210240C x y x y +-+-=相交于A ，B 两点．(1)求公共弦AB 的长;(2)求圆心在直线y x =-上，且过A ，B 两点的圆的方程;31．（23-24高二上·江西·期中）已知圆1C ：222210x y x y +--+=，圆2C ：()()22245x y r -+-=（0r >）.(1)若圆1C 与圆2C 相外切，求r 的值；(2)若圆1C 与圆2C 有两个公共点，求r 的取值范围.32．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆22:48120C x y x y +--+=，(2,0)A -，O 为坐标原点.(1)若P 为圆C 上的动点，当PAO Ð最大时，求直线PA 的斜率；(2)若圆M 过点O 及点A ，且与圆C 外切，求圆M 的方程.33．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆22:4O x y +=.(1)直线430x y a -+=截圆O 的弦长为a 的值.(2)记圆O 与x 、y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，动点Q Q 的轨迹与圆O 是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.题型8：难点分析34．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆C 过点()2,6A ，圆心在直线1y x =+上，截y 轴弦长为(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 半径小于10，点D 在该圆上运动，点()3,2B ，记M 为过B 、D 两点的弦的中点，求M 的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，若直线BD 与直线:2l y x =-交于点N ，证明：BM BN ×恒为定值．35．（22-23高二上·湖北武汉·期中）如图，已知圆22:1O x y +=，点P 为直线20x y +-=上一动点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为M 、N ，且两条切线PM 、PN 与x 轴分别交于A 、B 两点．(1)当P 在直线y x =上时，求PA PB -的值；(2)当P 运动时，直线MN 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．36．（22-23高三上·辽宁·阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy 中，(0,1),(0,4),A B 平面内动点P 满足2PA PB =．(1)求点P 的轨迹方程；(2)点P 轨迹记为曲线τ，若C ，D 是曲线τ与x 轴的交点，E 为直线:4l x =上的动点，直线CE ，DE 与曲线τ的另一个交点分别为M ，N ，直线MN 与x 轴交点为Q ，求2211MQ NQ +的最小值．。
2019-2020学年人教A版高中数学必修二检测-圆与圆的位置关系-直线与圆的方程的应用-Word版含解析
圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用 检测题一、题组对点训练对点练一 圆与圆的位置关系1．两圆x2＋y2＝r2，(x －3)2＋(y ＋1)2＝r2外切，则正实数r 的值是________． 解析：由题意得，2r ＝(3－0)2＋(－1－0)2＝10，即r ＝102. 答案：1022．已知圆C ：x2＋y2－8x ＋15＝0，直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最小值是________．解析：将圆C 的方程化为标准方程，得(x －4)2＋y2＝1，故圆心为C(4,0)，半径r ＝1.又直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以点C 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于2，即|4k －0＋2|k2＋1≤2，解得－43≤k ≤0，所以实数k 的最小值是－43. 答案：－433．圆O1：x2＋y2－4y ＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y ＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．内含解析：选D 因为r1＝1，r2＝8，|O1O2|＝(0－0)2＋(2－8)2＝6，则|O1O2|＜r2－r1.所以两圆内含．4．若两圆x2＋y2＝m 和x2＋y2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)解析：选C x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.5．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则(a－4)2＋(b＋1)2＝1. ①(1)若两圆外切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝1＋2＝3, ②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝|2－1|＝1, ③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.对点练二直线与圆的方程的应用6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h ，则A(0.8，h －3.6)所在圆的方程为： x2＋(y ＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h －3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米)．7．某公园有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A(2，2)，B(0,22)，设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝b2，由A 、B 两点在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．8．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．所以DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km. 二、综合过关训练1．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b)，则b ＝6(b ＝－6舍去)．再由a2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．已知点M 在圆C1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4上，点N 在圆C2：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：选C 由题意知圆C1的圆心C1(－3,1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝[1－(－3)]2＋[(－2)－1]2＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆相离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.3．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析：选D 设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.4．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A．4 B．4 2C．8 D．8 2解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a ＝__________.解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a1＝22－(3)2＝1，解得a＝1.答案：16．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1,0)，半径长为r2＝1，两圆的圆心距d＝(1＋1)2＋(－2－0)2＝22，又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．(2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，即(m＋1)2＜0，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．7．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．。
第七章 直线与圆的方程7.5～7.6单元检测题(A)卷
第七章直线与圆的方程7.5～7.6单元检测题（A ）卷一、 选择题（本大题共8个小题，每小题6分，共48分）1、 若曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解，则（ ）（A ）曲线C 的方程是0),(=y x f（B ）以方程0),(=y x f 的解为坐标的点都在曲线C 上（C ）不在曲线C 上的点的坐标都不是方程0),(=y x f 的解（D ）坐标不是方程0),(=y x f 的解的点都不在曲线C 上2、 到两坐标轴的距离之和为6的点的轨迹方程是（ ）（A ）6=+y x （B ）6=±y x （C ）6||||=+y x （D ）6||=+y x3、 方程0222=++-+k y x y x 是圆的方程，则实数k 的取值范围是（ ）（A ）5<k （B ）45<k （C ）45>k （D ）5>k 4、 圆0744:221=+-++y x y x C 与圆013104:222=+--+y x y x C （ ）（A ）相交 （B ）内切 （C ）外切 （D ）相离5、 动点P 到点（1,－2）的距离为3，则点P 的轨迹方程为（ ）（A ）9)2()1(22=-++y x （B ）9)2()1(22=++-y x（C ）3)2()1(22=-++y x （D ）3)2()1(22=++-y x6、 下列各点中，不在方程0122=++-y xy x 的图形上的是（ ）（A ）（1，－2） （B ）（2，－3） （C ）（3，10） （D ）（－3，－2） 7、 已知圆C ：⎩⎨⎧+=+=θθsin 22cos 2y a x （θ,0>a 为参数）及直线l ：03=+-y x ，若直线l 被圆C 截得的弦长为32，则a 的值为（ ）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+8、 已知曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）（A ）]43,125( （B ）),125(+∞ （C ）]43,31( （D ）)125,0( 二、 填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9、 直线y x y x ==+-2012和曲线的交点坐标为_________________。
2021届高三复习数学名校联考质检卷精编(9)直线和圆的方程
若 ，则 ，直线与圆相切；
若直线与圆相切，则 ，解得 或
所以 是 与圆 相切的充分不必要条件.故选A
3.答案：B
解析：当直线 与直线 垂直时， ，解得 .
故选B.
4.答案：C
解析：圆 的标准方程是 ，
圆心坐标是 ，半径是
∵直线 被圆截得的弦长为4，
∴直线 经过圆心，
12.答案：
解析：∵圆 ，即 ，∴圆心 ，半径 ，
∵ 为等腰直角三角形，所以圆心 到直线 的距离 ，
，解得 .
故答案为： .
13.答案：1
解析：直线 即 ，令 ，解得 ，
∴直线恒过定点 ，
∵点 在直线 上，∴ .
∴ ，解得 ，当且仅当 时取等号。
则 的最大值为1.
14.答案：4
解析：因为 ，且圆的半径为 ，所以圆心 到直线 的距离为 ，则由 ，解得 ，代入直线 的方程，得 ，所以直线 的倾斜角为 ，由平面几何知识知在梯形 中， ．故答案为4
，即 ，
，
当 时， 取得最小值2
综上所述，答案选择：C
5.答案：A
解析：因为过点 作圆 的两条切线，切点分别为A，B，
所以圆的一条切线方程为 ，切点之一为 ，
显然B、D选项不过 ，B、D不满足题意；
另一个切点的坐标在 的右侧，
所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足。
故选：A
6.答案：C
解析：设直线 为直线 ；直线 为直线 .
8.经过点 且圆心在直线 上的圆的方程是_______.
9.圆 上的点到直线 距离的最大值为.
10.已知圆 ，当圆面积最小时，直线 与圆相切，则 ______.
11.圆心在直线 上，并且经过点 ，与直线 相切的圆 的方程是______.
高二数学直线和圆的方程单元测试
高二数学直线和圆的方程单元测试班级 学号 姓名一．选择题(3 ⨯12).1．下列命题正确的是（ ）A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应 ；B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应；C ．直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan k ；D ．直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tanα . 2．过点()2,3P 与()1,5Q 的直线PQ 的倾斜角为（ ） A ．arctan 2 B ．()arctan 2- C ．2πarctan 2- D ．arctan 2π- 3．过点()()2,,,4A m B m -的直线的倾斜角为2πarctan 2+，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．10 C ．－8 D ．0 4．直线023cos =++y x α的倾斜角的范畴是（ ）A ．]65,2()2,6[ππππB ．),65[]6,0[πππC ．]65,0[πD ．]65,6[ππ5．下列说法中不正确的是（ ）A ．点斜式()11y y k x x -=-适用于不垂直于x 轴的任何直线B ．斜截式y kx b =+适用于不垂直于x 轴的任何直线C ．两点式112121y y x x y y x x --=--适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线D ．截距式1x ya b+=适用于只是原点的任何直线 6．过点()2,1M 的直线与x 、y 轴分别交于P 、Q ，若M 为线段PQ 的中点，则这条直线的方程为 A ．230x y --= B ．250x y +-= C ．240x y +-= D ．230x y -+= 7．直线10x y +-=到直线sin cos 10()42x y ππααα⋅+⋅-=<<的角为 （ ）A ．4πα-B ．4πα-C ．34πα-D ．54πα-8．直线012=++y a x 与直线03)1(2=+-+by x a 互相垂直，∈b a ,R ，则||ab 的最小值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知点（2，－1）和（－3,2）在直线20x y a -+=的异侧，则a 的取值范畴是（ ）A ．（4,7）B ．（－4,7）C ．（－7,4）D ．（－4,4） 10．若点A （4，a ）到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则 （ ）A ．－1＜a ＜9B ．0≤a ≤10C ．5＜a ＜8D ．－2≤a ≤6 11．已知点P （－1，1）、Q （2，2），若直线L ：0=++m my x 与线段PQ 的延长线相交，则m 的取值范畴为( )A ．)32,3(--B ．13(,)32C ．)3,32( D ．以上都不对12．若动点),(11y x A 、),(22y x B 分别在直线05:07:21=-+=-+y x l y x l 和上移动，则线段AB 的中点M到原点的距离的最小值为( )A ．32B ．33C ．23D ．2413．过点A （4，1）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程是 14. 一条直线过点()5,4P -，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线的方程为15.已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩则2x y +的最大值是16．不等式组200360x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域的面积是 _____________； 17．已知两直线1l ：y x =,2l ：0ax y -=,当这两条直线的夹角在区间0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变化时, a 的取值范畴是 . 三．解答题：18.(9分) 直线:24l y x =-与x 轴的交点为M ，把直线l 绕点M 逆时针方向旋转045，求得到的直线方程。
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第七章 直线和圆的方程 阶段质量检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．(2009·安徽高考)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：A2．点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．3 2 D ．2 3解析：直线l ：y ＝k (x －2)的方程化为kx －y －2k ＝0， 所以点P (－1,3)到该直线的距离为d ＝3|k ＋1|k 2＋1＝3 k 2＋2k ＋1k 2＋1＝31＋2kk 2＋1， 由于2kk 2＋1≤1，所以d ≤32，即距离的最大值等于3 2. 答案：C3．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程 是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x －y －2＝0，得交点(1,0)，由|1－2||1＋2|＝|1－k ||1＋k |，得k ＝12(k ＝2舍去)．故直线l 2的方程为y ＝12(x －1)．即x －2y －1＝0.法二：由对称轴方程x －y －1＝0，得x ＝y ＋1，y ＝x －1.代入l 1的方程2x －y －2＝0，即得l 2的方程 2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即x －2y －1＝ 0. 答案：B4．直线x ＋3y ＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0的位 置关系是( )A ．直线与圆相切B ．直线与圆相交但不过圆心C ．直线与圆相离D ．直线过圆心解析：直线x ＋3y ＝0的倾斜角为150°，顺时针旋转30°后为120°.方程为y ＝－3x . 圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝3.又圆心(2,0)到直线y ＝－3x 的距离d ＝232＝3＝r ，∴直线与圆相切． 答案：A5．如果直线l 把圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的 取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0，12]C ．[0，12) D ．[0,2]解析：将圆的方程化为(x －1)2＋(y －2)2＝5， 圆心C (1,2)．则过原点O 和点C 的直线的斜率为2，画出图形可得，直线l 的斜率的取值范围是[0,2]． 答案：D6．(2009·海南、宁夏高考)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为 ( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1 解析：设点(x ，y )与圆C 1的圆心(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋1＝－1x －12－y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，从而可知圆C 2的圆心为(2，－2)，又知其半径为1， 故所求圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B7．(2010·厦门模拟)若点(5，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0与3x －4y ＋5＝0之间， 则整数b 的值为( )A ．5B ．－5C ．4D ．－4解析：过点(5，b )且与两直线平行的直线的方程为3x －4y ＋4b －15＝0. 由题意知，18<4b －154<54，∴318<b <5，又b 是整数，∴b ＝4. 答案：C8．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位 置关系是 ( ) A ．点的圆上 B ．点在圆内 C ．点在圆外 D ．不能确定 解析：由题意知d ＝1a 2＋b 2<1，∴a 2＋b 2>1，从而点P (a ，b )在圆外． 答案：C9．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2|y |≤2y ≤kx －2是一个三角形，则k 的取值范围是 ( )A ．(0,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．[－2,2]解析：如图，只有直线y＝kx－2与线段AB相交(不包括点A)或与线段CD相交(不包括点D)，可行域才能构成三角形，故k∈[－2,0)∪(0,2]．答案：C10．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为() A．1 B．2 2C.7 D．3解析：设P(x0，y0)为直线y＝x＋1上一点，圆心C(3,0)到P点的距离为d，切线长为l，则l＝d2－1，当d最小时l最小，当PC垂直直线y＝x＋1时，d最小，此时d＝22，∴l min＝(22)2－1＝7.答案：C11．从原点O引圆(x－m)2＋(y－3)2＝m2＋4的切线y＝kx，当m变化时，切点P的轨迹方程是() A．x2＋y2＝4(x≠0)B．(x－3)2＋y2＝4(x≠0)C．(x－1)2＋(y－3)2＝5(x≠0)D．x2＋y2＝5(x≠0)解析：圆心为C(m,3)，设点P(x，y)(x≠0)，则|OP|2＋|PC|2＝|OC|2，∴x2＋y2＋m2＋4＝m2＋32，故所求方程为x2＋y2＝5(x≠0)．答案：D12．(2010·广东五校联考)当点M(x，y)在如图所示的三角形ABC区域内(含边界)运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k的取值范围是()A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,1]C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1)解析：由目标函数z ＝kx ＋y 得y ＝－kx ＋z ，结合图形，要使直线的截距z 最大的一 个最优解为(1,2)，则0≤－k ≤k AC ＝1或0≥－k ≥k BC ＝－1，即k ∈[－1,1]． 答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上． 13．已知直线l 1：x ＋3y －5＝0，l 2：3kx －y ＋1＝0.若l 1，l 2与两坐标轴围成的四边形有 一个外接圆，则k ＝________.解析：由题意知，l 1⊥l 2，∴3k －3＝0，k ＝1. 答案：114．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围 为____________．解析：法一：由题意可知当斜率不存在时，直线与圆无交点，所以设直线方程为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0.直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，圆心到直线的 距离小于等于半径，即d ＝|2k －4k |k 2＋1≤1，得4k 2≤k 2＋1，k 2≤13，所以－33≤k ≤33.法二：数形结合，画出图形也可以求出k 的范围．答案：[－33，33] 15．(2009·上海高考改编)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是 ________________．解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 16．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b 且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为________．解析：由约束条件作出可行域(如图)，当平行直线系y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点 A (b 3，2b3)时，z 取得最小值，即2×b 3＋2b 3＝3，解之得b ＝94.答案：94三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤．17．(本小题满分10分)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且 与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，即P (0,2)．∵l ⊥l 3，∴k l ＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0. 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0， ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11， ∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0， 即4x ＋3y －6＝0.18．(本小题满分12分)已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一 个圆．(1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程．解：(1)由4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)>0 得－17<m <1.(2)r ＝12D 2＋E 2－4F ＝12－7m 2＋6m ＋1＝12－7(m －37)2＋167∴0<r ≤277.(3)圆心C 的坐标为(m ＋3,4m 2－1)，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3y ＝4m 2－1，消去m ，得y ＝4(x －3)2－1.又由(1)知，－17<m <1，∴207<x <4，∴圆心C 的轨迹方程是y ＝4(x －3)2－1 (207<x <4)．19．(本小题满分12分)已知以点C (t ，2t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1)证明：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0， 由于圆心C (t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t ，令y ＝0得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A (2t,0)， 令x ＝0得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B (0，4t )，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12·|2t |·|4t|＝4(定值)．(2)∵OM ＝ON ，∴O 在MN 的垂直平分线上， 而MN 的垂直平分线过圆心C ， ∴k OC ＝12，∴2t t ＝12，解得t ＝2或t ＝－2，而当t ＝－2时，直线与圆C 不相交，∴t ＝2， ∴D ＝－4，E ＝－2，∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.20．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)从圆C 外一点P (x ，y )向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝ |PO |，求点P 的轨迹方程．解：(1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2. 由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零， 设直线方程为x ＋y －a ＝0， 由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1，或a ＝3.∴直线方程为x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. (2)由于|PC |2＝|PM |2＋|CM |2＝|PM |2＋r 2， ∴|PM |2＝|PC |2－r 2.又∵|PM |＝|PO |，∴|PC |2－r 2＝|PO |2， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2. ∴2x －4y ＋3＝0即为所求．21．(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少 于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品 1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品 每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只 有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？ 解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15.目标函数为z ＝7x ＋12y ， 作出可行域如图，作出一组平行直线7x ＋12y ＝t ，当直线经过直线4x ＋5y ＝200和直线3x ＋10y ＝300的交点A (20,24)时，利润最大． 即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max ＝7×20＋12×24 ＝428(万元).22．(本小题满分12分)已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋ 4y ＋16＝0.(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4mm 2＋1，直线l 的斜率k ＝mm 2＋1，因为|m |≤12(m 2＋1)，所以|k |＝|m |m 2＋1≤12，当且仅当|m |＝1时等号成立． 所以斜率k 的取值范围是[－12，12]．(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12.圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.由|k |≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r2.从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3.所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．。