实变函数与泛函分析基础第七章(1-3)

2 2 2 2 xk 2 x . y y k k k k 1 k 1 k 1 k 1
1 2
2 2 xk yk k 1 k 1
时，对任意的 t ∈ [a, b] , 有
| xn ( t ) x( t ) |

2
.
于是，当 n > N 时，有
max xn ( t ) x( t )
at b

2
,
lim max xn ( t ) x( t ) 0,
n a t b
即 lim ( xn , x ) 0.
n 1 2
d( x
(m)
(m) (0) 2 , x ) xk xk k 1
(0) 1
x
( m) 1
x
x
( m) 2
x
(0) 2
x
( m) n
x
(0) n
d ( x ，x ) 0 (m ).
(m) (0)
2.C[a, b] 空间中，函数列{xn} 收敛于函数
lim d ( xn , x ) 0,
n
称点列 {xn} 收敛于 x . x叫作点列{xn}的极 限，记作
lim xn x 或 xn x ( n ).
n
度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性
质有许多共同之处。比如极限的唯一性等等。
定理1 度量空间(X, d) 中的收敛点列{xn}的
如果 (X, d) 为度量空间，Y 是 X 的非空子集，
则 (Y, d) 也是度量空间，称为 (X, d ) 的子空间.
例1 离散度量空间 设 X 是任意非空集合，对 X 中任意两 点 x,y∈X, 令
1 ( x, y ) 0 x y x y
显然，这样定义的 ( , ) 满足距离的全部
都是 R 中的元素，由Cauchy不等式
n n 2 2 x y x y k k k k k 1 k 1 k 1 n 2
n
再令右端 n→∞，即得
xk yk k 1
n
2
2 2 x y k k k 1 k 1

x
(0) 1
, x , , x
(0) 2
(0) n
的充分必要
条件是，对每一个 i ,(1 i n)，有
xi( m) xi(0) (m )，
即按坐标收敛。 证明“必要性”：对任意的 i = 1, 2, ... , n, 由
于
x
(m) i
x
(0) i
n (m ) (0) 2 (m ) (0) xk xk d ( x , x ) k 1

那么， ( , ) 是 S 上的度量，上式通常
称为 Fré chet 组合。
显然， ( , ) 满足度量条件10，下面验证条件 20
事实上，对 ξ, η 及 γ = {cn}∈ S, 由于函数
x ( x) ( x 0) 是单调增函数，因此由 1 x
an bn an cn bn cn
对 M(X) 中的任意两个函数 f, g, 定义
f ( t ) g( t ) d ( f , g) dt X 1 f ( t ) g( t )
与例2同理可证 d(f, g) 是 M(X) 上的度量. 事实上， 对任意两个可测函数 f (t) 及 g(t),
由于
f( t ) g( t ) ， 1 1 f ( t ) g( t )
x∈ C[a, b] 当且仅当{xn}一致收敛到x . 证明“必要性”：
0, 因为lim ( xn , x ) 0,
n
即 lim max xn ( t ) x( t ) 0, 于是， 正整数N ,
n a t b
使得当n N 时, 有max xn (t ) x(t ) ,
a t b
当n N 时, 对所有的t [a , b], 有
xn (t ) x(t ) max xn (t ) x(t ) ,
a t b
即 {xn} 在 [a, b] 上一致收敛到 x .
“充分性”：若{xn} 一致收敛到 x , 则对
任给 ε > 0, 存在正整数 N, 使得当 n > N
2 k
2
定义
2 d ( x , y ) yk xk k 1
2
1 2
则 d 是 l 上的距离。距离条件1 是容易得
出的，现检验条件 2
0
0
对任何正整数 n，
x n x1 , x2 , xn 和 y n y1 , y2 ,, yn
得
an bn 1 an bn

an cn bn cn 1 an cn bn cn

an cn 1 an cn bn cn

bn cn 1 an cn bn cn

a n cn 1 a n cn

bn cn 1 bn cn
(或复值)函数全体，对 C[a, b] 中的任意两点
x, y, 定义
( x , y ) max x ( t ) y( t )
at b
与例3同理可证 ρ(x, y) 是 C[a, b] 上的度量.
例6 l .
2 记 l x xk 2 2 x . 设 x x l , y y l ， k k k 1
n
§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 非空集合 X 引入距离（度量）后，就
可以在其上定义极限概念。
定义1 设 (X, d) 为度量空间，d 是距离，定义
U ( x0 , ) x X d ( x , x0 )
为 x0 的 领域.
定义2 设 (X, d) 为度量空间，{xn} 是 X 中 的点列，如果存在 x∈X, 使得
1 在上面不等式两边同乘 2 n 再求和，便得
( , ) ( , ) ( , )
因此 (S, ρ) 是距离空间。
例3 有界函数空间 B(A).
设 A 是个给定的集合，B(A)表示 A 上有 界实值(或复值)函数全体，对 B(A) 中的任意 两点 x, y, 定义
( x, y ) sup x(t ) y(t )
现代分析学
实变函数论与泛函分析基础
第七章 度量空间和赋范线性空间
§1 度量空间的进一步例子
§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间
§3 连续映射
第七章 度量空间和赋范线性空间
§1 度量空间的进一步例子
定义：设 X 为一非空集合，d : X×X→R+∪{0}
为一映射，且满足 (1) d(x, y) ≥ 0，d(x, y) = 0 当且仅当 x = y（正
1 2 1 2
2
取 k , k , k . 以 xk k k , yk k k 代入上式
即可得条件 2
0
d ( , ) d ( , ) d ( , ).
由上述例子可见，度量空间除了有限维的 欧几里德空间 R 之外，还包括其他的空间.
(m)
1 ,x ) i ( i 1, 2,), (m) (0) 2 1 xi xi
(0)
xi( m ) xi(0)
所以
xi( m ) xi(0) 1 x
(m) i
x
(0) i
2 ( x
i
(m)
, x ) ( i 1, 2,),
n
3. 序列空间 S 中的点列
x x
(m)
，
(m) n


收敛到 x (0)

(0) (0) (0) x , x , , x 的 1 2 n ，
充分必要条件是，
对每一个 i ,(i 1, 2,, n,)，有
定理2 度量空间(X, d) 中的收敛点列{xn}是有 界集.
定理3 M 为度量空间 (X, d) 中的闭集 当且 仅当 M 中的任意收敛点列{xn}的极限均在M 中. 下面讨论某些具体空间中点列收敛的 具体含义。
1. Rn 中的点列 x ( m )
收敛到 x
(0)

(m) (m) (m) x , x , , x 1 2 n
xi( m) xi(0) (m )，
即按坐标收敛。
(m) (0) lim x x ，于是 证明“必要性”：由于 m
( x
(m)
1 ,x ) i 0 ( n ). (m) (0) xi i 1 2 1 xi
(0)

xi( m ) xi(0)
因为 ( x
条件，我们称 ( X , ) 是离散的距离空间.
这种距离是最粗的。它只能区分 X 中 任意两个元素是否相同，不能区分元素间 的远近程度。
此例说明，在任何非空集合上总可以
定义距离，使它成为度量空间。
例2 所有数列组成的集合 S
对 an , bn S , 定义
1 an bn ( , ) n n 1 2 1 an bn
所以这是 X 上的可积函数，如果把 M(X) 中的两个几乎处处相等的函数视为M(X)
中的同一个元，那么利用上面不等式及积分性
质很容易验证d(f, g) 是度量. 因此 M(X) 按上述距离 d(f, g)成为度量空间。