新高一上册数学指数函数的图像与性质知识点梳理与经典例题讲解及答案解析
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理单选题1、若函数f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，则a的值为（）A．1B．－1C．±1D．0答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0恒成立，所以ln[(1−a2)x2+1]=0，即(1−a2)x2=0恒成立，所以1−a2=0，即a=±1．当a=1时，f(x)=ln(x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；当a=−1时，f(x)=ln(−x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；故选：C.2、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I 1I 2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍. 故选：B.3、设a =log 2π，b =log 6π，则（ ） A ．a −b <0<ab B ．ab <0<a −b C ．0<ab <a −b D ．0<a −b <ab 答案：D分析：根据对数函数的性质可得a −b >0，ab >0， 1b−1a <1，由此可判断得选项.解：因为a =log 2π>log 22=1，0=log 61<b =log 6π<log 66=1，所以a >1,0<b <1，所以a −b >0，ab >0，故排除A 、B 选项； 又1b −1a =a−b ab=log π6−log π2=log π3<log ππ<1，且ab >0，所以0<a −b <ab ，故选：D.4、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x−2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0.5、已知a=log20.6,b=log20.8,c=log21.2，则（）A．c>b>a B．c>a>bC．b>c>a D．a>b>c答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果.∵y=log2x在定义域上单调递增，∴log20.6<log20.8<log21.2，即c>b>a.故选：A.6、若n<m<0，则√m2+2mn+n2−√m2−2mn+n2等于（）A．2m B．2n C．−2m D．−2n答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|，∵n<m<0，∴m+n<0，m−n>0，∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.7、已知a=ln1，b=30.3，c=1og54，则a,b,c的大小关系是（）3A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b答案：C解析：分别将a,b,c与0,1比较大小，从而得到a,b,c的大小关系.<ln1=0，b=30.3>30=1，0=log51<c=1og54<log55=1，所以可知b>c>a 因为a=ln13故选：C8、方程log2x=log4(2x+3)的解为（）C．3D．−1或3答案：C分析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.∵log2x=log4(2x+3)=12log2(2x+3)=log2√2x+3，∴{x>02x+3>0x=√2x+3，解得：x=3.故选：C.多选题9、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A．甲每分钟加工的零件数量是5个B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C．D点的横坐标是200D．y的最大值是216答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；设D的坐标为(t,0)，由题得△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200，所以选项C正确；当x=128时，y=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确，设D 的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB 和CD 的斜率相等， 则有∠ABO =∠CDB ，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB =∠CBD ， 则△AOB ∽△CBD ， 则有1220=128−20t−20，解可得t =200；即点D 的坐标是(200,0)，所以选项C 正确； 由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误； 当x =128时，y =(128−20)×2=216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选：ACD10、(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（ ） A ．(-1)13和(−1)26B ．343和13-43C ．212和414D ．4−32和(12)−3答案：BC分析：根据分数指数幂的定义以及运算法则逐个验证与化简，即可判断选择.A 不符合题意，(-1)13和(−1)26不符合分数指数幂的定义，但(-1)13=√-13=-1，(-1)26=√(-1)26=1; B 符合题意，13-43=343.C 符合题意，414=√224=212;D 不符合题意，4−32和(12)−3均符合分数指数幂的定义，但4-32=1432=18，(12)−3 =23=8.故选：BC小提示：本题考查分数指数幂的定义以及运算法则，考查基本分析判断与化简能力，属基础题.11、已知a+a−1=3，则下列选项中正确的有（）A．a2+a−2=7B．a3+a−3=16C．a12+a−12=±√5D．a32+a−32=2√5答案：AD分析：由a+1a =3(a>0)，可得：a2+a−2=(a+1a)2−2；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)；(a12+a−12)2=a+a−1+2；a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)，即可判断出正误．解：∵a+1a=3，∴a2+a−2=(a+1a)2−2=32−2=7，因此A正确；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)=3×(7−1)=18，因此B不正确；∵(a12+a−12)2=a+a−1+2=3+2=5，a>0，解得a12+a−12=√5，因此C不正确；∵a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)=3√5−√5=2√5，因此D正确．故选：AD．填空题12、已知函数f(x)=ln(√1+x2−x)−1，若f(2x−1)+f(4−x2)+2>0，则实数x的取值范围为______. 答案：x<−1或x>3分析：令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，分析出函数g(x)为R上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为g(x2−4)<g(2x−1)，可得出关于x的不等式，解之即可.令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，对任意的x∈R，√x2+1−x>|x|−x≥0，故函数g(x)的定义域为R，因为g(x)+g(−x)=ln(√x2+1−x)+ln(√x2+1+x)=ln(x2+1−x2)=0，则g(−x)=−g(x)，所以，函数g(x)为奇函数，当x≤0时，令u=√1+x2−x，由于函数u1=√1+x2和u2=−x在(−∞,0]上均为减函数，故函数u=√1+x2−x在(−∞,0]上也为减函数，因为函数y=lnu在(0,+∞)上为增函数，故函数g(x)在(−∞,0]上为减函数，所以，函数g(x)在[0,+∞)上也为减函数，因为函数g(x)在R上连续，则g(x)在R上为减函数，由f(2x−1)+f(4−x2)+2>0可得g(2x−1)+g(4−x2)>0，即g(x2−4)<g(2x−1)，所以，x2−4>2x−1，即x2−2x−3>0，解得x<−1或x>3.所以答案是：x<−1或x>3.13、若函数f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1在(−∞,a]上的最大值为4，则a的取值范围为________．答案：[1,17]分析：根据函数解析式画出函数图象，再根据指数函数、对数函数的性质判断函数的单调性，再求出f(x)= 4时x的值，即可得解.解：因为f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1，当x∈(−∞,1]时，易知f(x)=2x+2在(−∞,1]上单调递增，当x∈(1,+∞)时，f(x)=log2(x−1)在(1,+∞)上单调递增．作出f(x)的大致图象，如图所示．由图可知，f(1)=4，f(17)=log2(17−1)=4，因为f(x)在(−∞,a]上的最大值为4，所以a的取值范围为[1,17]．所以答案是：[1,17]14、函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点_________ 答案：(2,4)分析：令对数的真数为1，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；解：因为函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)，令x−1=1，解得x=2，所以f(2)=4+log a1=4，即函数f(x)恒过点(2,4)；所以答案是：(2,4)解答题15、已知函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图象过点(1,0)，g(x)=x2−2e f(x).（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，求整数k的值；（3）设m>0，若对于任意x∈[1m,m]，都有g(x)<−ln(m−1)，求m的取值范围.答案：（1）f(x)=lnx；（2）k的取值为2或3；（3）(1,2).解析：（1）根据题意，得到ln(1+a)=0，求得a的值，即可求解；（2）由（1）可得y=ln(2x2−kx)，得到2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，根据题意转化为函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得g(x)的最大值g(m)，得出g(x)max<−ln(m−1)，得到m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，结合ℎ(m)单调性和最值，即可求解.（1）函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图像过点(1,0)，所以ln(1+a)=0，解得a=0，所以函数f(x)的解析式为f(x)=lnx.（2）由（1）可知y=lnx+ln(2x−k)=ln(2x2−kx)，x∈(1,2)，令ln(2x2−kx)=0，得2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，则函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，等价于函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，所以{ℎ(1)=1−k<0ℎ(2)=7−2k>0，解得1<k<72，因为k∈Z，所以k的取值为2或3.（3）因为m>0且m>1m ，所以m>1且0<1m<1，因为g(x)=x2−2e f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，所以g(x)的最大值可能是g(m)或g(1m)，因为g(m)−g(1m )=m2−2m−(1m2−2m)=m2−1m2−(2m−2m)=(m−1m )(m+1m−2)=(m−1m)⋅(m−1)2m>0所以g(x)max=g(m)=m2−2m，只需g(x)max<−ln(m−1)，即m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，ℎ(m)在(1,+∞)上单调递增，又ℎ(2)=0，∴m2−2m+ln(m−1)<0，即ℎ(m)<ℎ(2)，所以1<m<2，所以m的取值范围是(1,2).小提示：已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1 、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2 、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
第2课时 指数函数及其图象、性质(二) 高一数学
答案:(-∞,0] (0,+∞)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
(1)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1),则g(x)与f(x)的定义域与值域
相同.( × )
(2)函数y=4-|x|的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
-
=
+3x=f(x),所以 f(x)是偶函数.
(2)由 4x-1≠0 得 x≠0,即函数的定义域为{x|x≠0},∀x∈{x|x≠0},
- +
都有-x∈{x|x≠0},且 f(-x)=
所以函数 f(x)是奇函数.
- -
=
+
-
+
=- - =-f(x),
√
;
(2)f(x)=9x+3x+1.
解:(1)要使函数有意义,应满足 x≥0,故函数的定义域为[0,+∞).
当 x≥0 时,√≥0,所以 0<
√
≤1,故函数的值域为(0,1].
(2)由题意可知函数的定义域为 R.
令 3 =t(t>0),则
x
y=t2+3t=
+
因为 t>0,所以 y= +
(1)当a>1时,y=af(x)的单调区间与y1=f(x)的单调区间完全相同;
(2)当0<a<1时,y=af(x)的单调区间与y1=f(x)的单调区间完全相
反.
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
高一数学人必修件指数函数的图象和性质
在生物学领域，指数函数用于描述生物种群的繁殖速度。某 些生物种群的增长符合指数函数的规律，如细菌繁殖、昆虫 数量增长等。
其他领域应用案例
放射性衰变
在物理学中，指数函数用于描述放射性物质的衰变过程。放射性元 素的原子数量随时间呈指数减少。
化学反应速率
化学领域中，指数函数可用于描述某些化学反应的速率。反应速率 与反应物浓度的关系可以用指数函数表示。
同底数幂相乘
幂的乘方
底数不变，指数相加。即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
底数不变，指数相乘。即$(a^m)^n = a^{m times n}$。
同底数幂相除
底数不变，指数相减。即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
幂的乘方法则
1 2
正整数指数幂的乘法
$(a^m)^n = a^{m times n}$，其中$m, n$为 正整数。
指数函数图像与坐标轴交点
指数函数的图像与x轴没有交点，与y轴的交点是(0,1)。
指数函数性质总结
指数函数的单调性
当a>1时，指数函数在定义域 内单调递增；当0<a<1时，指 数函数在定义域内单调递减。
指数函数的奇偶性
指数函数既不是奇函数也不是 偶函数。
指数函数的值域
指数函数的值域是(0, +∞)。
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数叫做指数函数。
指数函数表达式
y=a^x，其中a是自变量，x是指 数，y是因变量。
指数函数图像特征
指数函数图像形状
指数函数的图像是一条从坐标原点出发，向右上方或右下方无限 延伸的曲线。
指数函数图像位置
当a>1时，图像位于第一象限和第二象限；当0<a<1时，图像位于 第一象限和第四象限。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结(超全)(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结(超全)单选题1、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.2、在同一平面直角坐标系中，一次函数y =x +a 与对数函数y =log a x （a >0且a ≠1）的图象关系可能是（ ）A ．B ．C．D．答案：C分析：根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．A．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距a>1，矛盾，B．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距0<a<1，矛盾，C．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距0<a<1，保持一致，D．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距a<0，矛盾，故选：C．3、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0⋅ln Mm计算火箭的最大速度v(m/s)，其中v0(m/s)是喷流相对速度，m(kg)是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（）（附：lge≈0.434,lg2≈0.301）A．5790m/s B．6219m/s C．6442m/s D．6689m/s答案：C分析：根据对数的换底公式运算可得结果.v=v0ln Mm =1000×ln625=1000×4lg5lg e=1000×4(1−lg2)lg e≈6442m/s.故选：C．4、已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b答案：A分析：由题意可得a、b、c∈(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系，由b=log85，得8b=5，结合55<84可得出b<45，由c=log138，得13c=8，结合134<85，可得出c>45，综合可得出a、b、c的大小关系.由题意可知a、b、c∈(0,1)，ab =log53log85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a<b；由b=log85，得8b=5，由55<84，得85b<84，∴5b<4，可得b<45；由c=log138，得13c=8，由134<85，得134<135c，∴5c>4，可得c>45.综上所述，a<b<c.故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.5、方程log2x=log4(2x+3)的解为（）A．−1B．1C．3D．−1或3答案：C分析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.∵log2x=log4(2x+3)=12log2(2x+3)=log2√2x+3，∴{x>02x+3>0x=√2x+3，解得：x=3.故选：C.6、已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3，则A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a答案：B分析：运用中间量0比较a , c，运用中间量1比较b , ca=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则0<c<1,a<c<b．故选B．小提示：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．7、已知函数f (x )={2,x >m x 2+4x +2,x ≤m ，若方程f (x )−x =0恰有三个根，那么实数m 的取值范围是（ ） A ．[−1,2)B ．[−1,2]C ．[2,+∞)D ．(−∞,−1] 答案：A分析：由题意得，函数y =f (x )与函数y =x 有三个不同的交点，结合图象可得出结果. 解：由题意可得，直线y =x 与函数f (x )=2(x >m )至多有一个交点， 而直线y =x 与函数f (x )=x 2+4x +2(x ≤m )至多两个交点， 函数y =f (x )与函数y =x 有三个不同的交点，则只需要满足直线y =x 与函数f (x )=2(x >m )有一个交点 直线y =x 与函数f (x )=x 2+4x +2(x ≤m )有两个交点即可，如图所示，y =x 与函数f (x )=x 2+4x +2的图象交点为A (−2,−2)，B (−1,−1)， 故有m ≥−1.而当m ≥2时，直线y =x 和射线y =2(x >m )无交点， 故实数m 的取值范围是[−1,2). 故选：A.8、定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（ ）A ．(0,1100)B ．(1100,+∞)C ．(0,100)D ．(100,+∞) 答案：D分析：利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解.因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f(lg1x)>4，可化为2f(lgx)>4=2f(2)，即f(lgx)>f(2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，所以lgx>2，解得x>100.故选：D.多选题9、已知函数f(x)=log2(mx2+2x+m−1)，m∈R，则下列说法正确的是（）A．若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是(1+√52,+∞)B．若函数f(x)的值域为[−1,+∞)，则实数m=12C．若函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数，则实数m的取值范围是[0,+∞)D．若m=0，则不等式f(x)<1的解集为{x|x<32}答案：AC分析：函数f(x)的定义域为R等价于mx2+2x+m−1>0恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数m 的取值范围；若函数f(x)的值域为[−1,+∞)等价于y=mx2+2x+m−1的最小值为12，由此可列出方程，即可求出实数m 的值；若函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数等价于函数y=mx2+2x+m−1在区间[2,+∞)上为增函数且mx2+ 2x+m−1>0恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数m的取值范围；若m=0，f(x)=log2(2x−1)，即可解出不等式f(x)<1；即可选出答案.对于A，因为f(x)的定义域为R，所以mx2+2x+m−1>0恒成立，则{m>0Δ=4−4m(m−1)<0，解得m>1+√52，故A 正确；对于B ，因为f(x)的值域为[−1,+∞)，所以y =mx 2+2x +m −1的最小值为12，所以{m >0m(−1m)2+2(−1m)+m −1=12，解得m =2，故B 错误；对于C ，因为函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数， 所以当m =0时，f(x)=log 2(2x −1)，符合题意；当m ≠0时，{m >0−1m ≤24m +4+m −1>0，解得m >0；所以m ≥0，故C 正确； 对于D ，当m =0时，f(x)=log 2(2x −1)，由f(x)<1，可得0<2x −1<2，解得12<x <32，故D 错误. 故选：AC.10、已知函数f (x )={kx +1,x ≤0log 2x,x >0，下列是关于函数y =f [f (x )]+1的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当k >0时，有3个零点B ．当k <0时，有2个零点C ．当k >0时，有4个零点D ．当k <0时，有1个零点 答案：CD解析：令y ＝0得f [f (x )]=−1，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．令y =f [f (x )]+1=0，得f [f (x )]=−1，设f （x ）＝t ，则方程f [f (x )]=−1等价为f （t ）＝﹣1， ①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解， 由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．小提示：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．11、下列说法正确的是（）在定义域上是减函数A．函数f(x)=1xB．函数f(x)=2x−x2有且只有两个零点C．函数y=2|x|的最小值是1D．在同一坐标系中函数y=2x与y=2−x的图象关于y轴对称答案：CD分析：利用熟知函数的图象与性质逐一判断即可.在定义域上不具有单调性，故命题错误；对于A，f(x)=1x对于B，函数f(x)=2x−x2有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，命题正确.故选CD小提示：本题考查函数的性质，涉及到单调性、最值、对称性、零点等知识点，考查数形结合能力，属于中档题. 填空题12、已知函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0，若f (a 2−2a )≤f (a −1)，则实数a 的取值范围是_________．答案：[3−√52,+∞)分析：根据函数单调性分段处理即可得解.由题函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0在(−∞,0]单调递增，在(0,+∞)为常数函数，且f (0)=2若f (a 2−2a )≤f (a −1)则a 2−2a ≤a −1≤0或a 2−2a ≤0≤a −1或{a 2−2a ≥0a −1≥0则{a 2−3a +1≤0a ≤1 或{a 2−2a ≤00≤a −1 或{a 2−2a ≥0a −1≥0解得：3−√52≤a ≤1或1≤a ≤2或a ≥2，综上所述：a ∈[3−√52,+∞)所以答案是：[3−√52,+∞)13、设x >0，y >0，若e x 、e y 的几何平均值为e （e 是自然对数的底数），则x 2、y 2的算术平均值的最小值为__________. 答案：1分析：利用指数的运算性质可得出x +y =2，再利用基本不等式可求得结果. 由已知条件可得e x ⋅e y =e x+y =e 2，所以，x +y =2， 因为x >0，y >0，由基本不等式可得x 2+y 2≥2xy ， 即2(x 2+y2)≥x 2+y 2+2xy =(x +y)2=4，所以，x 2+y 22≥1，当且仅当x =y =1时，等号成立. 因此，x 2、y 2的算术平均值的最小值为1. 所以答案是：1.14、计算：2√3×√126×√323=___________．答案：6分析：根据根式指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，准确运算，即可求解. 根据根式指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，可得2√3×√126×√323=2⋅312⋅(22⋅3)16⋅(32)13=21+13−13⋅312+16+13=2×3=6．所以答案是：6 解答题15、已知a ∈R ，函数f (x )=log 2(12x+a).(1)若关于x 的方程f (x )+2x =0的解集中恰有两个元素，求a 的取值范围；(2)设a >0，若对任意t ∈[−1, 0]，函数f (x )在区间[t, t +1]上的最大值与最小值的和不大于log 26，求a 的取值范围.答案：(1)(−14,0) (2)(0,1]分析：（1）化简方程f (x )+2x =0，分离常数a ，利用换元法，结合二次函数的性质求得a 的取值范围. （2）利用函数的单调性求得f (x )在区间[t, t +1]上的最大值与最小值，根据最大值与最小值的和不大于log 26列不等式，利用换元法，结合二次函数的性质来求得a 的取值范围. （1）f (x )+2x =0，log 2(12x +a)+2x =0， log 2(12x +a)+log 222x=log 21，(12x+a)⋅22x =1，a =1−2x 22x =122x−12x，令t =12x ∈(0,+∞)，则a =t 2−t =(t −12)2−14，02−0=0,t 2−t =0⇒t =0或t =1，(t −12)2−14≥−14（t =12时，等号成立）要使y =a 与y =(t −12)2−14在区间(0,+∞)有两个交点，结合二次函数的性质可知a∈(−14,0). （2）因为函数y=12x+a在R上递减，所以函数f(x)=log2(12x+a)在定义域内递减.所以f(x)在区间[t,t+1]上的最大值为f(t)=log2(12t+a)，最小值为f(t+1)=log2(12t+1+a)，f(t)+f(t+1)=log2(12t+a)+log2(12t+1+a)=log2[(12t+a)(12t+1+a)]≤log26，所以(12t +a)(12t+1+a)≤6对t∈[−1,0]恒成立，令ℎ=12t+1(12≤ℎ≤1)，(2ℎ+a)(ℎ+a)=2ℎ2+3aℎ+a2≤6对ℎ∈[12,1]恒成立，y=2ℎ2+3aℎ+a2在[12,1]上递增，所以y max=2+3a+a2≤6,a2+3a−4=(a+4)(a−1)≤0，解得−4≤a≤1，由于a>0，所以0<a≤1，所以a的取值范围是(0,1].。
2024-2025年北师大版数学必修第一册指数函数的图象和性质的应用(带答案)
第2课时 指数函数的图象和性质的应用必备知识基础练知识点一 指数函数的定义域和值域 1．函数y ＝2x－1 的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 2．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝35x －1；(2)y ＝(12)x2－2x －3；(3)y ＝4x －2x＋1.知识点二 指数型不等式的解法 3．若0.72x －1≤0.7x2－4，则x 的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 4．(1)解不等式：(12 )3x －1≤2；(2)已知x x2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．知识点三 指数型函数的单调性5．若函数f (x )＝(13 )|x －2|，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 6．若函数y ＝2－x2＋xx －1在区间(－∞，3)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．7．已知定义域为R 的函数f (x )＝a －23x ＋1 (a ∈R )是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )在R 上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数f (x )在R 上的值域．关键能力综合练1．函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3，0]B ．(－3，1]C.(－∞，－3)∪(－3，0] D ．(－∞，－3)∪(－3，1]2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 －x 2＋4x 的值域为( ) A ．[81，＋∞) B．⎣⎢⎡⎭⎪⎫181，＋∞ C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－181 D ．(－∞，－81]3．函数f (x )＝(15)x2＋xx在区间[1，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－4B ．a ≤－2C ．a ≥－2D ．a >－44．已知集合A ＝{}x |y ＝3＋2x －x 2 ，B ＝{}y |y ＝e x＋a (a ∈R )，若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)5．函数f (x )＝(18)|x ＋2|的部分图象大致为( )6．(易错题)函数y ＝(14 )x ＋(12)x＋1的值域为( )A ．[34 ，＋∞) B．(34 ，＋∞)C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞)7．不等式(13)x －4>3－2x的解集是________．8．若函数y ＝|2x－1|在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________． 9．(探究题)已知函数f (x )＝(13)xx2－4x ＋3(a ∈R ).(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最大值为3，求a 的值； (3)若f (x )的值域为(0，＋∞)，求a 的值．核心素养升级练1．(多选题)已知函数f (x )＝3x－(13 )x ，则f (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在R 上是增函数D ．在R 上是减函数2．(学科素养—逻辑推理与数学运算)已知函数f (x )＝4x－a ·2x＋4. (1)当a ＝5时，解关于x 的不等式f (x )>0； (2)当x ∈[0，1]时，求f (x )的最小值g (a ).第2课时 指数函数的图象和性质的应用必备知识基础练1．答案：C解析：由2x－1≥0，得2x≥1，∴x ≥0.选C. 2．解析：(1)由5x －1≥0，得x ≥15 ，所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥15 . 由5x －1 ≥0，得y ≥1，所以所求函数的值域为[1，＋∞). (2)定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴(12)x2－2x －3≤(12 )－4＝16. 又∵(12)x2－2x －3>0，∴函数y ＝(12)x2－2x －3的值域为(0，16].(3)函数的定义域为R .y ＝(2x )2－2x ＋1＝(2x －12 )2＋34，∵2x >0，∴当2x＝12 ，即x ＝－1时，y 取最小值34 ，∴函数的值域为[34 ，＋∞).3．答案：A解析：∵函数y ＝0.7x在R 上为减函数， 且0.72x －1≤0.7x2－4，∴2x －1≥x 2－4，即x 2－2x －3≤0. 解得－1≤x ≤3，故选A.4．解析：(1)∵2＝(12)－1，∴原不等式可以转化为(12 )3x －1≤(12 )－1.∵y ＝(12 )x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0. 故原不等式的解集是{x |x ≥0}． (2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在R 上是减函数，∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x2－4x －5>0，解得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在R 上是增函数，∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，解得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.5．答案：B解析：因为f (x )＝(13 )|x －2|为复合函数，则f (u )＝(13 )u，u (x )＝|x －2|，f (u )对u 是减函数，u (x )在[2，＋∞)为增函数，在(－∞，2]为减函数，由复合函数知，f (x )的单调递减区间是[2，＋∞).6．答案：a ≥6 解析：y ＝2－x2＋xx －1在(－∞，3)上单调递增，即二次函数y ＝－x 2＋ax －1在(－∞，3)上单调递增，因此需要对称轴x ＝a2≥3，解得a ≥6.7．解析：(1)若存在实数a 使函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，得a ＝1. 当a ＝1时，f (x )＝1－23x ＋1.∵f (－x )＝1－23－x ＋1 ＝1－2·3x1＋3x ＝1－2（3x＋1）－21＋3x ＝－1＋21＋3x ＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．∴存在实数a ＝1，使函数f (x )为R 上的奇函数． (2)f (x )在R 上是增函数．证明如下：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝23x 2＋1－23x 1＋1＝2(3x 1−3x 2)(3x 1+1)(3x 2+1)∵y ＝3x在R 上是增函数，且x 1<x 2， ∴3x 1<3x 2且(3x 1＋1)( 3x 2＋1)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )是R 上的增函数．(3)f (x )＝1－23x ＋1 中，3x＋1∈(1，＋∞)，∴23x＋1∈(0，2). ∴f (x )的值域为(－1，1).关键能力综合练1．答案：A解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0， 解得－3<x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3，0].故选A.2．答案：B解析：二次函数y ＝－x 2＋4x 开口向下， 当x ＝2时，最大值为4，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 t是单调递减函数，所以f (x )＝(13)－x 2+4x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫181，＋∞ .故选B.3．答案：C解析：记u (x )＝x 2＋ax ＝(x ＋a2 )2－a 24，其图象为抛物线，开口向上，对称轴为直线x＝－a 2.∵函数f (x )＝(15)x 2+xx 在区间[1，2]上是减函数，∴函数u (x )在区间[1，2]上是增函数． 而u (x )在[－a2 ，＋∞)上单调递增，∴－a2 ≤1，解得a ≥－2，故选C.4．答案：D解析：由已知，集合A 即函数y ＝3＋2x －x 2的定义域， 由不等式3＋2x －x 2≥0，即x 2－2x －3≤0，解得－1≤x ≤3，∴A ＝{}x |y ＝3＋2x －x 2 ＝{x |－1≤x ≤3}＝[－1，3]，集合B 即函数y ＝e x ＋a 的值域，因为指数函数y ＝e x的值域为(0，＋∞)，所以函数y ＝e x＋a 的值域为(a ，＋∞)，∴B ＝{}y |y ＝e x＋a ＝(a ，＋∞)，∵A ∩B ＝∅，∴a 的取值范围是[3，＋∞).故选D. 5．答案：B解析：令x ＝－2，得f (－2)＝1，排除C 、D ；令x ＝0，得f (0)＝164 ，排除A.故选B.6．答案：C解析：令t ＝(12 )x ，t ∈(0，＋∞)，则原函数可化为y ＝t 2＋t ＋1＝(t ＋12 )2＋34 .因为函数y ＝(t ＋12 )2＋34 在(0，＋∞)上是增函数，所以y >(0＋12 )2＋34＝1，即原函数的值域是(1，＋∞).故选C. 7．答案：(－4，＋∞) 解析：∵3－2x＝(13 )2x ，∴(13 )x －4>(13 )2x .又函数y ＝(13)x 是单调递减函数，∴x －4<2x ，∴x >－4.故不等式的解集为(－4，＋∞).8．答案：(－∞，0]解析：在平面直角坐标系中作出y ＝2x的图象，把图象沿y 轴向下平移1个单位得到y ＝2x－1的图象，再把y ＝2x－1的图象在x 轴下方的部分关于x 轴翻折，其余部分不变，如图实线部分，得到y ＝|2x－1|的图象．由图可知y ＝|2x－1|在(－∞，0]上单调递减，∴m ∈(－∞，0].9．解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝(13)－x2－4x ＋3，令h (x )＝－x 2－4x ＋3，由于h (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝(13 )t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2). (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝(13 )g (x )，由于f (x )的最大值为3，所以g (x )的最小值为－1，当a ＝0时，f (x )＝(13)－4x ＋3，无最大值；当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞03a －4a＝－1 ，解得a ＝1，所以当f (x )的最大值为3时，a 的值为1.(3)由指数函数的性质，知要使y ＝(13 )g (x )的值域为(0，＋∞).应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，当a ＝0时，g (x )＝－4x ＋3，值域为R ，符合题意． 当a ≠0时，g (x )为二次函数，其值域不为R ，不符合题意． 故f (x )的值域是(0，＋∞)时，a 的值为0.核心素养升级练1．答案：AC解析：∵f (x )＝3x－(13)x ，x ∈R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数．又y 1＝3x，y 2＝－(13 )x 均为R上的增函数，∴函数f (x )＝3x－(13)x 在R 上是增函数．故选AC.2．解析：(1)当a ＝5时，f (x )＝4x －5·2x ＋4，令t ＝2x >0，h (t )＝t 2－5t ＋4. 由t 2－5t ＋4>0，可得t >4或t <1，即x >2或x <0，故解集为(－∞，0)∪(2，＋∞). (2)令2x＝t ∈[1，2]，φ(t )＝t 2－at ＋4，对称轴：t ＝a2 .①当a2<1，即a <2时，g (a )＝φ(1)＝5－a ；②当1≤a 2≤2，即2≤a ≤4时，g (a )＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2 ＝－a 24＋4；③当a2>2，即a >4时，g (a )＝φ(2)＝8－2a ；综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧5－a ，a <2－a24＋4，2≤a ≤48－2a ，a >4.。
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼
第四章指数函数与对数函数4.1.1根式 (1)4.1.2指数幂及其运算 (4)4.2.1指数函数及其图象性质 (8)4.2.2指数函数的性质及其应用 (11)4.3.1对数的概念 (16)4.3.2对数的运算 (18)4.4.1对数函数及其图象 (22)4.4.2对数函数的性质及其应用 (26)4.4.3不同函数增长的差异 (30)4.5.1函数的零点与方程的解 (34)4.5.2用二分法求方程的近似解 (38)4.5.3函数模型的应用 (42)4.1.1根式要点整理1．根式的概念一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号na表示．(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±na，负数没有偶次方根．(3)0的任何次方根都是0，记作n0＝0.式子na叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质根据n次方根的意义，可以得到：(1)(na)n＝a.(2)当n是奇数时，na n＝a；当n是偶数时，na n＝|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，－a，a<0.温馨提示：(n a )n 中当n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，而(na n )中a ∈R .题型一根式的意义【典例1】 下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102B ．－102 C.210D ．±102[思路导引] 利用n 次方根的概念求解．[解析] (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④. (2)∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根． ∴m ＝±102.[答案] (1)B (2)Dn (n >1)次方根的个数及符号的确定(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式na 的符号由根指数n 的奇偶性及被开方数a 的符号共同确定： ①当n 为偶数时，n a 为非负实数；②当n 为奇数时，na 的符号与a 的符号一致． 题型二简单根式的化简与求值【典例2】化简下列各式：(1) 5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(－9)2；(4) 4(a－b)4.[思路导引] 利用na n的性质进行化简．[解] (1) 5(－2)5＝－2.(2) 4(－10)4＝|－10|＝10.(3) 4(－9)2＝434＝3.(4) 4(a－b)4＝|a－b|＝⎩⎨⎧a－b(a≥b)，b－a(a<b).根式的化简求值注意以下2点(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．题型三有限制条件的根式化简【典例3】设x∈[1,2]，化简(4x－1)4＋6(x2－4x＋4)3.[思路导引] 借助根式的性质去掉根号并化简．[解] (4x－1)4＋6(x2－4x＋4)3＝(4x－1)4＋6(x－2)6∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.[变式] 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件不变，化简求值．[解] (4(x－1))4＋6(x2－4x＋4)3＝(4x－1)4＋6(x－2)6∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0，∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.有限制条件根式的化简策略(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．4.1.2指数幂及其运算要点整理1．分数指数幂的意义温馨提示：(1)分数指数幂a mn不可以理解为mn个a相乘．(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．2．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．(2)a －b ＝1ab (a >0，b 是正无理数)．(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．题型一根式与分数指数幂的互化【典例1】 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1)13a 2；(2)a 3·3a 2；(3)3b －a 2.根式与分数指数幂互化的规律(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．题型二指数幂的运算【典例2】 计算：[思路导引] 利用指数幂的运算性质化简求值．利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．题型三条件求值问题[变式] (1)若本例条件不变，则a2－a－2＝________.[答案] (1)±3 5 (2)－3 3解决条件求值问题的一般方法——整体代入法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：4.2.1指数函数及其图象性质要点整理1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1. 2．指数函数的图象和性质温馨提示：(1)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a >1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a <1时，指数函数的图象是“下降”的．(2)指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a ，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的大致图象．题型一指数函数的概念 【典例1】 (1)下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[思路导引] 形如“y ＝a x (a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数．[解析] (1)形如“y ＝a x(a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B.(2)由指数函数的概念可知，⎩⎨⎧(a －2)2＝1，a >0，a ≠1，得a ＝3.[答案] (1)B (2)C判断一个函数是指数函数的方法(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．题型二指数函数的图象【典例2】 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析] (1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝a x(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0.(2)因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．[答案] (1)D (2)(3,4)处理指数函数图象问题的3个策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势．题型三指数函数的定义域与值域【典例3】求下列函数的定义域和值域：[思路导引] 利用整体换元的方法求解．[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝1－3x的定义域为(－∞，0]．因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，所以1－3x∈[0,1)，即函数y＝1－3x的值域为[0,1)．“y＝a f(x)”型函数定义域、值域的求法(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围，即函数y＝a f(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝a u的单调性求得此函数的值域．4.2.2指数函数的性质及其应用要点整理1．指数函数值与1的大小关系(1)a>1时，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1.(2)0<a<1时，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1.2．对称关系函数y＝a－x与y＝a x的图象关于y轴对称．3．图象位置关系底数a的大小决定了图象相对位置的高低．(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线x＝1，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．(2)在y轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为0<d<c<1<b<a.题型一利用指数函数的单调性比较大小【典例1】比较下列各组数的大小：(1)0.7－0.3与0.7－0.4；(2)2.51.4与1.21.4；(3)1.90.4与0.92.4.[思路导引] (1)利用指数函数的单调性比较；(2)利用指数函数的图象比较；(3)借助中间量1进行比较．[解] (1)∵y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(2)在同一坐标系中作出函数y＝2.5x与y＝1.2x的图象，如图所示．由图象可知2.51.4>1.21.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1，0．92.4<0.90＝1， ∴1.90.4>0.92.4.比较幂的大小的3种类型及方法(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如0或1)来比较．题型二解简单的指数不等式【典例2】 (1)解不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．[思路导引] (1)化为同底的指数不等式，再利用单调性求解；(2)分a >1与0<a <1两种情况解不等式．[解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0. 故原不等式的解集是{x |x ≥0}． (2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x 2－4x －5>0，解得x <－1或x >5； ②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是增函数， ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，解得－1<x <5. 综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5； 当a >1时，－1<x <5.指数不等式的求解策略(1)形如a x >a y 的不等式：可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况讨论．(2)形如a x >b 的不等式：注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．题型三指数型函数的单调性【典例3】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x.(1)判断函数f (x )的单调性； (2)求函数f (x )的值域．[思路导引] 由函数u ＝x 2－2x 和函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 的单调性判断．[解] (1)令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u .∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上单调递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．(2)∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．[变式] 若本例“f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ”改为“f (x )＝2|2x －1|”，其他条件不变，如何求解？[解] (1)设u ＝|2x －1|，由函数y ＝2u 和u ＝|2x －1|的定义域为R ，故函数y ＝2|2x －1|的定义域为R .∵u ＝|2x －1|在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，而y ＝2u 是增函数，∴y ＝2|2x －1|在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．(2)∵u ＝|2x －1|≥0，∴2u ≥1. ∴原函数的值域为[1，＋∞)．指数型函数单调性的解题技巧(1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过f (u )和φ(x )的单调性，利用“同增异减”的原则，求出y ＝f [φ(x )]的单调性，即若y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相同(同增或同减)，则y ＝f [φ(x )]为增函数，若y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相反(一增一减)，则y ＝f [φ(x )]为减函数．题型四指数函数的实际应用【典例4】 某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x 年后，该林区的木材蓄积量为y 万立方米，求y ＝f (x )的表达式，并写出此函数的定义域．[解] 现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；…经过x 年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x 万立方米． 故y ＝f (x )＝200×(1＋5%)x ，x ∈N *.解决指数函数应用题的流程(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题．(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．4.3.1对数的概念要点整理 1．对数的定义一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．常用对数与自然对数通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lg N .在科学技术中常使用以无理数e ＝2.71828…为底的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并记为ln N .3．指数与对数的互化当a >0，a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N . 4．对数的性质 (1)log a 1＝0； (2)log a a ＝1；(3)零和负数没有对数． 题型一指数式与对数式的互化【典例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16；(3)log 1327＝－3；(4)log x64＝－6.[思路导引] 借助a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)转化． [解] (1)∵3－2＝19，∴log 319＝－2.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2.(3)∵log13 27＝－3，∴⎝⎛⎭⎪⎫13－3＝27.(4)∵logx64＝－6，∴(x)－6＝64.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．题型二对数的计算【典例2】求下列各式中的x的值：(1)log64x＝－23；(2)log x8＝6；(3)lg100＝x；(4)－lne2＝x.[思路导引] 把对数式化为指数式求解．求对数值的3个步骤(1)设出所求对数值．(2)把对数式转化为指数式．(3)解有关方程，求得结果．题型三对数的性质[思路导引] 首先利用对数的基本性质化“繁”为“简”，再求值． [解] (1)由log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1得⎩⎨⎧3x 2＋2x －1＝2x 2－1，3x 2＋2x －1>0，2x 2－1>0且2x 2－1≠1，解得x ＝－2.(2)由log 2[log 3(log 4x )]＝0可得log 3(log 4x )＝1，故log 4x ＝3，所以x ＝43＝64.对数性质的应用要点(1)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式a log a N ＝N 及其格式．4.3.2对数的运算要点整理 1．对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)log a (M·N)＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝nlog a M(n ∈R )．温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．2．对数换底公式若c>0，且c≠1，则loga b＝logcblogca(a>0，且a≠1，b>0)．3．由换底公式推导的重要结论(1)logan b n＝logab.(2)logan b m＝mnlogab.(3)loga b·logba＝1.(4)loga b·logbc·logcd＝logad.题型一对数运算性质的应用【典例1】求下列各式的值：(1)log345－log35；(2)log24·log28；(3)lg14－2lg 73＋lg7－lg18；(4)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[思路导引] 解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中的哪种形式对应．[解](1)log345－log35＝log3455＝log39＝log332＝2.(2)log24·log28＝log222·log223＝2×3＝6.(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9) ＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0.(4)原式＝2lg5＋23lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 题型二对数换底公式的应用【典例2】 (1)计算：①log 29·log 34； ②log 52×log 79log 513×log 734.(2)证明：①log a b·log b a ＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)； ②log an b n ＝log a b(a>0，且a≠1，n≠0)． [思路导引] 利用换底公式计算、证明． [解] (1)①原式＝lg9lg2·lg4lg3＝lg32·lg22lg2·lg3＝2lg3·2lg2lg2·lg3＝4.②原式＝log 52log 513·log 79log 734＝log 132·log 349 ＝lg 2lg 13·lg9lg 34＝12lg2·2lg3－lg3·23lg2＝－32.(2)证明：①log a b·log b a ＝lgb lga ·lgalgb＝1. ②log an b n ＝lgb nlga n ＝nlgb nlga ＝lgblga＝log a b.[变式] (1)若本例(2)①改为“loga b·logbc·logcd＝logad”如何证明？(2)若本例(2)②改为“logan b m＝mnlogab”如何证明？[证明](1)loga b·logbc·logcd＝lgblga·lgclgb·lgdlgc＝lgdlga＝logad.(2)logan b m＝lgb mlga n＝mlgbnlga＝mnlogab.应用换底公式应注意的2个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．题型三对数的综合应用【典例3】(1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)(2)已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645.[思路导引] 应用换底公式化简求值．[解](1)设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：经过1年，剩余量是y＝0.75；经过2年，剩余量是y＝0.752；…经过x年，剩余量是y＝0.75x；由题意得0.75x＝1 3，∴x＝log0.7513＝lg13lg34＝－lg3lg3－lg4≈4.∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的1 3 .(2)解法一：由18b＝5，得log185＝b，又log189＝a，所以log3645＝log1845log1836＝log18(9×5)log1818×2×99＝log189＋log185log18182－log189＝a＋b2－a.解法二：设log3645＝x，则36x＝45，即62x＝5×9，从而有182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，得2x＝log185＋(x＋1)log189，又18b＝5，所以b＝log185. 所以2x＝b＋(x＋1)a，解得x＝a＋b2－a，即log3645＝a＋b2－a.解对数综合应用问题的3条策略(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式．(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．4.4.1对数函数及其图象要点整理1．对数函数的概念函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．温馨提示：(1)对数函数y＝logax是由指数函数y＝a x反解后将x、y互换得到的．(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1.2．对数函数的图象及性质温馨提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．3．当底数不同时对数函数图象的变化规律作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.题型一对数函数的概念【典例1】指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx 3；(4)y＝log2x＋1.[思路导引] 紧扣对数函数的定义判断．[解](1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．依据3个形式特点判断对数函数判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x.题型二对数型函数的定义域 【典例2】 求下列函数的定义域． (1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log 0.5(4x －3)－1；(4)y ＝log (x ＋1)(2－x)． [解] (1)定义域为(0，＋∞)． (2)由⎩⎨⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34<x≤1，∴定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1.(3)由⎩⎨⎧4x －3>0，4x －3≤12，解得34<x≤78，∴定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，78.(4)由⎩⎨⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，2－x>0，解得－1<x<0或0<x<2，∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．求对数函数定义域的注意事项求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.题型三对数函数的图象【典例3】(1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝a x与y＝loga(－x)的图象只能是( )(2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．[思路导引] 利用对数函数的图象特征求解．[解析](1)解法一：若0<a<1，则函数y＝a x的图象下降且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象上升且过点(－1,0)，以上图象均不符合．若a>1，则函数y＝a x的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．解法二：首先指数函数y＝a x的图象只可能在上半平面，函数y＝loga(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A、C；再看单调性，y＝a x与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．(2)因为函数y＝logax (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga (x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．[答案](1)B (2)(0，－2)[变式] 若本例(2)的函数改为“y＝loga 2x＋1x－1＋2”，则图象恒过定点坐标是________．[解析]令2x＋1x－1＝1，得x＝－2，此时y＝2，∴函数y ＝log a2x ＋1x －1＋2过定点(－2,2)． [答案] (－2,2)处理对数函数图象问题的3个注意点(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a>1，还是0<a<1.(3)牢记特殊点．对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.4.4.2对数函数的性质及其应用要点整理1．对数函数值的符号规律(1)a>1时，当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0. (2)0<a<1时，当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<0.可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于1或同小于1，“异”指一个大于1一个小于1.2．对称关系 (1)函数y ＝与y ＝log a x 的图象关于x 轴对称．(2)函数y ＝a x 与y ＝log a x 的图象关于直线y ＝x 对称． 3．反函数指数函数y ＝a x (a>0，且a≠1)和对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．题型一比较对数值的大小【典例1】 比较下列各组中两个值的大小：(1)ln0.3，ln2；(2)log30.2，log40.2；(3)log3π，logπ3；(4)loga 3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)．[思路导引] 利用对数单调性比较大小．[解](1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.3<2，所以ln0.3<ln2.(2)解法一：因为0>log0.23>log0.24，所以1log0.23<1log0.24，即log30.2<log40.2.解法二：如图所示，由图可知log40.2>log30.2.(3)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1.因为函数y＝logπx是增函数，且π>3，所以logπ3<logππ＝1.所以log3π>logπ3.(4)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga 3.1<loga5.2；当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1<5.2，所以loga 3.1>loga5.2.比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性，如典例1(1)．(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化，如典例1(2)．(3)底数和真数都不同，找中间量，如典例1(3)．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论，如典例1(4)．题型二求解对数不等式【典例2】 (1)已知log a 12>1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x)<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． [解] (1)由log a 12>1得log a 12>log a a.①当a>1时，有a<12，此时无解．②当0<a<1时，有12<a ，从而12<a<1.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x<log 0.7(x －1)得⎩⎨⎧2x>0，x －1>0，2x>x －1，解得x>1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)．常见对数不等式的2种解法(1)形如log a x>log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论．(2)形如log a x>b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解.题型三形如y ＝log a f(x)的函数的单调性【典例3】 求函数y ＝log 0.7(x 2－3x ＋2)的单调区间． [思路导引] 先求定义域，再根据复合函数的单调性求解．[解] 因为x 2－3x ＋2>0，所以x<1或x>2.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)，令t ＝x 2－3x ＋2，则y ＝log 0.7t ，显然y ＝log 0.7t 在(0，＋∞)上是单调递减的，而t ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)，(2，＋∞)上分别是单调递减和单调递增的，所以函数y ＝log 0.7(x 2－3x ＋2)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(2，＋∞)．求对数型函数单调区间的方法(1)求形如y ＝log a f(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)>0，先求定义域．(2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数t ＝f(x)和y ＝log a t 在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定y ＝log a f(x)的单调性．题型四与对数函数有关的值域问题 【典例4】 求下列函数的值域： (1)y ＝log 2(|x|＋4)；(2)f(x)＝log 2(－x 2－4x ＋12)．[思路导引] 求出真数的范围，利用对数函数的单调性求解．[解] (1)因为|x|＋4≥4，所以log 2(|x|＋4)≥log 24＝2，所以函数的值域为[2，＋∞)．(2)因为－x 2－4x ＋12＝－(x ＋2)2＋16≤16，所以0<－x 2－4x ＋12≤16，故log 2(－x 2－4x ＋12)≤log 216＝4，函数的值域为(－∞，4]．[变式] 若本例(2)函数改为“f(x)＝－3x ，x ∈[2,4]”，如何求解？[解] 令t ＝x ，则y ＝t 2－3t ＝⎝⎛⎭⎪⎫t －322－94， ∵2≤x≤4，即－2≤t≤－1.可知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－94在[－2，－1]上单调递减．∴当t ＝－2时，y 取最大值为10； 当t ＝－1时，y 取最小值为4. ∴原函数的值域为[4,10]．对数型函数值域的求解技巧(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．(2)形如y ＝log a f(x)，y ＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c 型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧．4.4.3不同函数增长的差异要点整理1．指数函数、对数函数、一次函数的性质2.指数函数、对数函数、一次函数的增长差异(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和y ＝kx(k>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x (a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝kx(k>0)的增长速度，而y ＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个x 0，使得当x>x 0时，有log a x<kx<a x (a>1，k>0)．题型一不同函数增长的差异【典例1】 (1)当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A ．y ＝10000x B ．y ＝log 2x C ．y ＝x 1000 D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x(2)四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：关于x 呈指数函数变化的变量是________．[思路导引] 借助指数函数、对数函数、一次函数的增长差异作出判断． [解析] (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x 增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化．[答案] (1)D (2)y 2常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型指数函数模型y ＝a x (a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y ＝x n (n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．题型2函数模型的选择问题【典例2】 芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效．某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系的函数式：①Q ＝at ＋b ，②Q ＝at 2＋bt ＋c ，③Q ＝a·b t ，④Q ＝alog b t ；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本． [思路导引] 要选择最能反映芦荟种植成本与上市时间之间的变化关系的函数式，应该分析各函数的变化情况，通过研究这些函数的变化趋势与表格提供的实际数据是否相符来判断哪个函数是最优函数模型．[解] (1)由表中所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常数函数，故用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a·b t ，Q ＝alog b t 中的任意一个来反映时都应有a≠0，而上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，得⎩⎨⎧15.0＝2500a ＋50b ＋c ，10.8＝12100a ＋110b ＋c ，15.0＝62500a ＋250b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12000，b ＝－320，c ＝854.所以反映芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的。
高一数学指数函数的概念、图象与性质(解析版)
专题32 指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R. 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域 R 值域(0，＋∞)过定点 (0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性 非奇非偶函数对称性函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x >1；②若x <0，则1>b x >a x >0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x >b x >0；②若x <0，则b x >a x >1. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x 轴上方．(3)当a >1时，x →－∞，y →0；当0<a <1时，x →＋∞，y →0.(其中“x →＋∞”的意义是“x 趋近于正无穷大”)题型一 指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ． y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x [解析]由指数函数的定义知a >0且a ≠1，故选D. 2．下列函数一定是指数函数的是( )A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－x[解析]由指数函数的定义可知D 正确． 3．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案] B 4．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析]形如“y ＝a x (a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B. 5．下列函数中，是指数函数的个数是( )①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] (1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数； ③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D. 6．指出下列哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1. [解析] (2)是四次函数；(3)是－1与4x 的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x 不是常数． 它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数． 7．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．[解析]由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 8．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析]由指数函数的概念可知，⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1，a >0，a ≠1，得a ＝3.9．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________. [解析]∵函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x 是指数函数，∴m 2－m ＋1＝1，解得m ＝0或1. 10．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．1或3C ．3D ．1[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.11．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________. [解析]由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝1.12．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． [解析]由题意知4＝a 2，所以a ＝2，因此f (x )＝2x ，故f (－3)＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．[解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 14．已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2， 所以f (－2)＝3－2＝19.15．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝9，∴a 2＝9，a ＝3，即f (x )＝3x . ∴f (－2)＝3－2＝19，f (1)＝3.16．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( )A. 6 B ．1 C ．2 2D ．0[解析]选A 点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，∴27＝(3)a ， 即33＝3a 2，∴a2＝3，解得a ＝6，∴a ＝ 6.故选A.17．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x－2， 且g (x )＝f (x )，则x ＝________.[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， g (x )＝f (x )可变形为4－x －2－x －2＝0，解得2－x ＝2，所以x ＝－1. 18．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________.[解析]因为f (x )＝2x ＋12x ，f (a )＝5，则f (a )＝2a ＋12a ＝5.所以f (2a )＝22a ＋122a ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝⎝⎛⎭⎫2a ＋12a 2－2＝23. 19．若f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2020)f (2019)＝( )A ．1010B ．2020C ．2019D ．1009[解析]不妨设f (x )＝2x ，则f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2020)f (2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.题型二 指数函数的图象及其应用1．y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )[解析]0<34<1且过点(0,1)，故选C.2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D[解析]∵y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x，∴B 选项正确．3．函数y ＝2－|x |的大致图象是( )[解析]y ＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0.2x ，x <0，画出图象，可知选C. 4．函数y ＝a －|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D[解析]y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x|，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A. 5．函数y ＝－2－x 的图象一定过第________象限．[解析]y ＝－2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 关于x 轴对称，一定过第三、四象限． 6．函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0[解析]从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看， 是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 7．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )[解析]由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交， 交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.8．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限[解析]A,∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．]9．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0[解析]函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象是由函数y ＝a x 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b －1<－1⇒b <0.故选C.10．若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析]选B,y ＝a x (a ＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图象经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B. 11．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )[解析]当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A. 12．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )[解析]二次函数y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，其图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 24a ，由指数函数的图象知0<ba<1， 所以－12<－b 2a <0，再观察四个选项，只有A 中的抛物线的顶点的横坐标在－12和0之间．13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()[解析]由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝a x＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.14．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．[解析]作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.16．函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．17．函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)[解析] 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)．19．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．2[解析]选C,由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1,3)，m ＋n ＝4. 20．函数y ＝a 2x ＋1＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． [解析]令2x ＋1＝0得x ＝－12，y ＝2，所以函数图象恒过点⎝⎛⎭⎫－12，2. 21．若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则( )A ．－1≤m ＜0B ．0≤m ≤1C ．0＜m ≤1D ．m ≥0[解析]易知y ＝2－|x |－m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m .若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则方程⎝⎛⎭⎫12|x |－m ＝0有解， 即m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |有解．∵0＜⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，∴0＜m ≤1. 22．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1；(4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |. [解析] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到．(2)y ＝2x－1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到．(3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象．23．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，又因为a ＞0，且a ≠1，所以a ＝3，b ＝－3.(2)f (x )单调递减，所以0＜a ＜1，又f (0)＜0.即a 0＋b ＜0，所以b ＜－1. 故a 的取值范围为(0,1)，b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)画出|f (x )|＝|(3)x －3|的图象如图所示，要使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根， 则m ＝0或m ≥3.故m 的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．题型三 指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4 ; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x | ; (4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(5)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. [解析] (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1， 所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4. 所以函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4 ≠1，即函数y ＝21x －4 的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0.所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以⎝⎛⎭⎫23－|x | ＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}． (4)定义域为R.∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (5)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R. 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 2．(1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x -的定义域与值域；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，x ∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x 的值． [解析] (1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0， 又因为0＜13＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2的值域为{y |0＜y ≤1}．(2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，∴y ＝4·⎝⎛⎭⎫14x －4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2.令m ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝m 2. 由0≤x ≤2，知14≤m ≤1.∴f (m )＝4m 2－4m ＋2＝4⎝⎛⎭⎫m －122＋1. ∴当m ＝12，即当x ＝1时，f (m )有最小值1；当m ＝1，即x ＝0时，f (m )有最大值2.故函数的最大值是2，此时x ＝0，函数的最小值为1，此时x ＝1. 3．函数y ＝2x －1的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.[答案] C 4．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________．[解析]由1－⎝⎛⎭⎫12x≥0得⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝⎝⎛⎭⎫120，∴x ≥0，∴函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为[0，＋∞)．5．若函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a >0B ．a <1C ．0<a <1D ．a ≠1[解析]由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a <1.6．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(2，＋∞)[解析]∵a x －a ≥0，∴a x ≥a ，∴当a ＞1时，x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a ＞1. 7．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]y ＝2x 在R 上是增函数，且21＝2，故选B. 8．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)[解析]要使函数有意义，须满足16－4x ≥0.又因为4x ＞0，所以0≤16－4x ＜16， 即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥8)的值域是( )A ．R B.⎝⎛⎦⎤0，1256 C.⎝⎛⎦⎤－∞，1256 D.⎣⎡⎭⎫1256，＋∞[解析]因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤⎝⎛⎭⎫128＝1256. 10．函数y ＝1－2x ，x ∈[0,1]的值域是( )A ．[0,1]B ．[－1,0] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 [解析]∵0≤x ≤1，∴1≤2x ≤2，∴－1≤1－2x ≤0，选B.11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．[解析]∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫1222x x －＋的值域是________． [解析]设t ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )＝－(x －1)2＋1≤1，∴t ≤1.∵⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫121＝12，∴函数值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 13．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________．[解析]∵x 2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，又y >0，∴函数值域为(0,2]．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． [解析]由x <0，得0<2x <1；由x >0，∴－x <0,0<2－x <1，∴－1<－2－x <0，∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．15．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解析](1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，∴a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．16．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，则函数f (x )＝3x ⊙3－x 的值域是________． [解析]当x >0时，3x >3－x, f (x )＝3－x ，f (x )∈(0,1)；当x ＝0时，f (x )＝3x ＝3－x ＝1； 当x <0时，3x <3－x ，f (x )＝3x ，f (x )∈(0,1)．综上， f (x )的值域是(0,1]．17．函数f (x )＝3x 3x ＋1的值域是________．[解析]数y ＝f (x )＝3x 3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x ＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)． 18．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[解析]当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝2，a 2－1＝0无解． 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3. 综上，a 的值为 3.19．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]．(1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的最大值与最小值．[解析](1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9， 故t 的最大值为9，t 的最小值为13. (2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9， 故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.。
高一数学必修教学课件第三章指数函数的图像和性质
对于形如$y = a^{bx}$的指数函数，可以通过伸缩基本指数函数的图像得到。具体地，当$b > 1$时，图像在纵 坐标方向上进行压缩，同时在横坐标方向上进行拉伸；当$0 < b < 1$时，图像在纵坐标方向上进行拉伸，同时 在横坐标方向上进行压缩。
图像特点总结与对比分析
指数函数图像特点
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阅读材料
推荐了一些与指数函数相 关的阅读材料，供学生课 后阅读，以拓宽视野。
下节课预习内容提示
下节课内容
简要介绍了下节课将要学 习的内容，包括指数函数 的运算性质和应用等。
预习要求
要求学生提前预习下节课 的内容，了解指数函数的 运算性质和应用场景，为 下节课的学习做好准备。
问题思考
提出了一些与下节课内容 相关的问题，引导学生进 行思考和预习。
解析
考察指数函数$y = 1.7^{x}$的单调性，由于底数大于1，函数在全体实数范围 内单调递增。因此，$1.7^{3} > 1.7^{2.5} > 1.7^{-1.5}$。
例题2
已知函数$f(x) = a^{x}(a > 0$且$a neq 1)$在区间$[-1,2]$上的最大值为4，最 小值为$m$，且函数$g(x) = (1 - 4m)sqrt{x}$在区间$[0, + infty)$上是单调函 数，求$a$和$m$的值。
明确任务要求
教师需要向学生明确任 务的要求，包括任务的 目标、完成时间、提交 方式等。
学生自主查阅资料及整理成果展示
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学生自主查阅资料
学生可以利用图书馆、互联网等资源，自主查阅 与指数函数相关的资料，包括教材、参考书、学 术论文等。