概率统计第三章答案(3)
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概率论与数理统计作业
班级 姓名 学号 任课教师
第三章 多维随机变量及其分布
教学要求：
一、了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的分布函数；
二、了解二维离散型随机变量分布律的概念，理解二维连续型随机变量概率密度的概念； 三、理解二维随机变量的边缘概率分布； 四、理解随机变量的独立性概念；
五、会求两个独立随机变量的简单函数的分布（和、极大、极小）.
重点：二维离散型随机变量的联合分布律及二维连续型随机变量的边缘概率密度，随机变
量的独立性.
难点：边缘分布，随机变量的独立性，随机变量的函数的分布. 练习一 二维随机变量及其分布
1．填空题
(1)设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则
=≤}{a X P ()+∞,a F ； =≥}{d Y P ()d F ,1∞+-； =≤<≤<},{d Y c b X a P ),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--.
(2)设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则其分布函数),(y x F =
⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-dxdy y x f ),(；若G 是xoy 平面上的区域，则点),(Y X 落在G 内的概率，即
}),{(G Y X P ∈⎰⎰=G
dxdy y x f ),(
（3）若二维随机变量),(Y X 的概率密度为
)
1)(1(),(2
2y x A
y x f ++=
)0,0(>>y x ， 则系数A =
,4
2
π=
<}1{X P 2
1. （4）设二维随机变量),(Y X 的分布函数(),3arctan 2arctan
,⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=y C x B A y x F 则常数 A =
2
1
π， B =
2π， C =2
π
.
2.将2个球随机地放入3个盒子，设X 表示第一个盒子内放入的球数，Y 表示有球的 盒子个数.求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布.
解：按古典概型，2个球随机地放入3个盒子中共有91
313=C C 种取法，X 的所有可
能取值为0，1，2，Y 的所有可能取值为1，2，则： 922194}0|1{}0{}1,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ， 92
2194}0|2{}0{}2,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ，
0094
}1|1{}1{}1,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ，
94
194}1|2{}1{}2,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ，
91
191}2|1{}2{}1,2{=⋅=======X Y P X P Y X P ，
009
1
}2|2{}2{}2,2{=⋅=======X Y P X P Y X P ．
分布律为： 3.设盒内产品有2件次品，3件正品，每次从中任取一件产品，不放回X 表示第一次取得次品地取两次。用的件数，用Y 表示第二次取得次品的件数，求X
和Y 的联合分布律.
解:()Y X ,的所有可
能取值为 ()0,0 ；()1,0 ；()0,1 ；()1,1 .由乘法公式可得：
1034253}0|0{}0{}0,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ， 103
4253}0|1{}0{}1,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ，
103
4352}1|0{}1{}0,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ，
10
1
4152}1|1{}1{}1,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ．
所以()Y X ,的分布律为：
维随机变量),(Y X 的概率
4. 设二密
度
为
()()⎩
⎨
⎧>>=+-其它；,0,
0,0,,23y x Ae y x f y x （1）求系数A ；（2）求}20,10{≤<≤ 解：（1）由,1),(=⎰⎰ +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 得 所以 6=A ． （2）()dx e e dy e dx Y X P y x y x 2 021 31 20 23][36}20,10{--+-⎰⎰ ⎰-== ≤<≤< （3）()⎪⎩⎪⎨⎧>>== ⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰ ∞-∞ -+-∞ -∞ -其它；x y y y x x x y dy dx y x dy e dx dy y x f dx y x F ,0,0,0,6),(),(0230 5．设二维随机变量),(Y X 的概率密度(6),02, 24, (,)0,k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩ 其它． (1)求常数k ；(2) 求}3,1{< 解：（1）由 ,1),(=⎰⎰ +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 得 [ ] 18104 2 2==-=k y y k . 所以8/1=k （2）⎰ ⎰--= <<1 03 2)6(81 }3,1{dx y x dy Y X P （3） ⎰⎰=∈=≤G dxdy y x f G Y X P X P ),(}),{(}4Y {＋ 练习二 二维随机变量的边缘分布 1．填空 （1）设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为