汽车振动分析作业习题与参考答案更新

1、 方波振动信号的谐波分析，。绘制频谱图。

解：()x t 的数学表达式可写为： 计算三要素：

()a n =0

=1

2sin n n n t b T π∞

=∑=

0142sin n x n t n

T ππ∞

=∑,n=1,3,5, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，02T

t <<或2

T

t T << 振幅频谱图 相位频谱图

2、 求周期性矩形脉冲波的复数形式的傅立叶级数，绘频谱图。

解： 数学表达式：

计算三要素：

傅立叶级数复数形式： 频谱图 2.1解： （1）能量法 （2）能量法

()⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤--≤≤-=2

202222000

00

T t t t t t x t t T t x 偶函数

()⎩⎨⎧≤≤-≤≤-=0

2/2/00

t T T t x x

t x

（3）固有频率 2.3解：

平衡位置系统受力如图 则122,2F G F G == 弹簧1k 变形112G x k =

，弹簧变形22

2G

x k =，且m 静位移1222x x x =+ ∴

固有圆频率

p =

=2.5解

对数衰减率：111110ln ln 0.06920 2.5

j A j

A δ+===

相对阻尼系数：0.011ζ=

=

=

衰减系数：0.314n n ζωζ

ζ===== 阻尼系数：220.3149 5.652(/)c nm N s m ==⨯⨯= 临界阻尼： 5.652

513.8(/)0.011

c c

c N s m ζ

==

= 2.7解

受力分析如图

-xs ’)

单自由度振动系统振动微分方程 设iwt cs x e =，则()c cs x H x ω=

()H ω=

，相位差角：12

2tan (

)12

ζλπ

ϕλ-=--

其中，n ωλ

ω=

=，ζ= 2.8 解：

1、 系统的振动微分方程为：0=⎪⎭

⎫

⎝⎛-+++•

•

•s x x k kx x c x m

即：s kx kx x c x m =++2

激励函数为：()T t t T

d

k kx s ≤≤=0 傅立叶级数三要素：

所以，激励函数的前四项为： 系统稳态响应的前三项为：

]

)

6()91(3)3sin()4()41(2)2sin()2()1()sin([24)2()1(2)sin(42

2

232

22222213

12222ζλλψζλλψζλλψπλζλψ+--+

+--+

+---=+--+=∑=wt wt wt d

d n n k nwt b d x n n n 其中3,2,1,12arctan

2

2=-=n n n n λ

λ

ζψ 2.9 解：运用杜哈美积分法 4.1解 直接法

其中，12

22

23k k k K k k k +-⎡⎤

=⎢

⎥-+⎣⎦

拉格朗日法

系统为无阻尼自由振动系统，拉格朗日方程形式为：

0i i i

d T T U

dt q q q δδδδδδ⎛⎫-

+= ⎪⎝⎭ 广义坐标为：12,x x 影响系数法 令121,0x x == 令120,1x x == 4.2解：直接法 4.3解

a ，12

3

4m m M m m ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12

2223

333444

4k k k k

k k k K k k k k k k +-⎡⎤⎢⎥-+-⎢

⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ b ，12

3

4m m M m m ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2

222333

3444

4k k k k k k K k k k k k k -⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ c ，123

4m m M m m ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎣

⎦，12222333

344443k k k k k k k K k k k k k k k +-⎡⎤

⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥

-+-⎢⎥-+⎢⎥⎣

⎦

4.4解：

质心位于距左端34l 处0324l m xdx ml l x l m ⎛⎫

+ ⎪==

⎪ ⎪

⎝⎭

⎰ 令1,0x θ== 令0x =，1θ=

∴刚度矩阵为，22252

8kl k

K kl kl ⎡⎤

-

⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

令1,0x θ== 令0,1x θ==

∴质量矩阵为，2

20

5024m

M ml ⎡⎤⎢

⎥=⎢⎥⎣

⎦ 特征矩阵为，2

2

222222552824n n n

kl k m H K M kl kl ml ωωω⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦

将20n H K M ω=-=整理为，22422221

440335

n n m l l km k l ωω-+=

求得特征值为，

2120.735k k m m ω⎛

=-≈ ⎝

，2

22 3.265k k m

m ω⎛=+≈ ⎝ 2

n H K M ω=-的伴随阵，222

2

558242

222n n kl kl ml adjH kl k m ωω⎡⎤

-⎢⎥=⎢

⎥⎢

⎥

-⎢⎥⎣⎦

将22120.735, 3.265k

k m m

ωω==代入

得对应特征向量，1211,1.0599.06A A l l ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

则主振型矩阵为，1

1

1.059

9.06A l l ⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣

⎦ 模态质量矩阵为 模态刚度矩阵为

归一化因子为，i α=

=

∴

归一化因子方阵，0.669

000.229R ⎤=⎥⎦ ∴正则振型矩阵为，