机械振动基础作业(有答案-全版)

1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度？

解：前轴或后轴垂直振动的振动模型简图为图1.2所示，此时汽车振动简化为二自由度振动系统。

2m 为非悬架质量，1m 为悬架质量

1. 3设有两个刚度分别为21,k k 的线性弹簧如图T-1.3所示， 试证明：1）它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=

2）它们串联时的总刚度eq k 为：

2

1111k k k eq +=

证明：1) 如图T-1.3(a)所示，21,k k 两个弹簧受到力的作用，变形相同， 即

2

211k F k F k F eq ==, 而F F F =+21，故有 F F k k

F k k eq eq =+21, 从而 21k k k eq +=

2）如图T-1.3(b)所示，21,k k 两个弹簧受到相同的力作用 即∆=∆=∆=eq k k k F 2211 （1）

且21∆+∆=∆ （2）

由（1）和（2）有：)(

2

1k F

k F k F eq += （3） 由（3）得:

2

11

11k k k eq += 1.8证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，即

)cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A ，并讨论ϕ=0，ππ

,2

三种特例。

证明：因t B t B t B ωϕωϕ

ϕωsin sin cos cos )cos(+=-

从而有t B t B A t B t A ωϕωϕϕωωsin sin cos )cos ()cos(cos ++=-+

令 ()

ϕ

ϕϕ

θ2

22

sin cos sin sin B B A B ++=

则()[]t t B B A t B t A ωθωθϕϕϕωωsin sin cos cos sin cos )cos(cos 222+++=

-+

=

())cos(sin cos 222θωϕϕ-++t B B A

令C=

()ϕϕ222sin cos B B A ++，则有 )cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A

当ϕ=0时，C=A+B ；当ϕ=

2π时，22B A C +=，22B

A arcsin +=

B θ ；当ϕ=π时，B A -=

C ，0=θ

1.13汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图T-1.13所示。其激振器为曲柄滑块机构，在导轨下面垂向连接被试减振器。试分析减振器试验力学的基本规律（位移，速度，加速度，阻尼力）。

解：

t

CA F t A x

t A x

t

A x d ωωωωωωcos sin cos sin 2

=-===ω

2.1弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ，设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：设静平衡位置为原点，向下坐标为正方向，则系统的微分方程为0=+x k x

m

由题意知，0,200==x

x δ，且由mg k =δ，得δ

mg

k =，从而δ

ωg

n

=

设方程的解为)cos(ϕω+=

t A x n ，由初始条件有)cos(

2t g

x δ

δ=

2.2弹簧不受力时长度为65cm,下端挂上1kg 物体后，弹簧长85cm 。设用手拖住物体使弹簧回到原长后，无初速度地释放，试求物体的运动方程，振幅，周期及弹簧力的最大值。 解：由题意有，mg k =δ，得δ

mg

k =

，δ

ωg m k n

=

=

，因δ=0.2 (m) , g=9.8 (m/2

s )，故)/(7s rad n =ω 以平衡位置为原点，向下为正，可得运动微分方程和初始条件如下：⎪⎩⎪⎨

⎧=-=-==+0,

2.00002x

x x x n

δω

故运动方程为

t t x n 7sin 2.0)cos(2.0-=-=ω，振幅：0.2m, 周期：

πωπ

7

2

2=n 弹簧力的最大值：（)(6.19)8.91492.0N =⨯+⨯

2.3重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上，并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上无弹跳，如图T-2.3所示，求其后的运动。

解：根据题意，取M=1m +2m 所处的平衡位置为原点，向下为正，得系统运动的微分方程为：

⎪⎩

⎪

⎨

⎧+=-==+2120202,0m m gh m x k g m x kx x M ， 解得t x

t x x n n

n ωωωsin cos 00 +

= =)sin(2)cos(2

12212t m m k

k gh m t m m k k g m +++-

2.6求如图T-2.6所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且122k k =，13k k =。

解：等效刚度=

132

135

)1

1(1k k k k =

++，由n ω=m

k m

k 351

=，故系统的周期为15322k m T n πωπ== 2.9求如图T-2.9所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴1O ，2O 转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径1O A 与2O B 在同一水平线上），弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为1m ,2m 。

解：坐标原点取为静平衡位置，故可不计重力势能，A 盘转动θ角，则B 盘转动θθB

A

B r r =

。 A 盘的惯性矩424A A A r I πρ=, B 盘的惯性矩4

24B

B B r I πρ= (A ρ,B ρ分别为A 盘和B 盘的单位面积的质量。)

因2

1A

A r m π

ρ= ，2

2B

B r m π

ρ=，故221A A r m I =， 2

2

2B

B r m I = 系统的势能为2

2212221)(2

1)(21)(21θθθA B B A r k k r k r k U

+=+=

动能为

222122)(4

12121θθθ A B B A A T r m m I I E +=+=

故由0)(=+T E U d ，得0)()2

(

2121=+++θθk k m m

， 2

1212

121)(22,

)(2m m k k T m m k k n ++=++=

π

ω

2.14一台电机重470N ，转速为1430 r/min,固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图T-2.14所示。每根槽钢长1.2m, 重65.28N, 弯曲刚度为EI=1.66×5

10N.m 2

。

(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率

(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率 (c)计算说明如何避开电机和系统的共振区

解：a) 不考虑槽钢质量，每一根槽钢中点的静绕度为:4533

1051.010

66.1482.1)2470

(

48-⨯≈⨯⨯⨯==∆EI pl

从而每一根槽钢的刚度为：)2470(∆=∆=

p k ，得)/(35.4388

.947022470

2s rad m

k

n ≈⨯∆==ω b) 考虑槽钢质量分布对系统动能的影响，不考虑它对静绕度的影响。（分布载荷的静变形曲线为)43(4832x x L EI

p

y

-=

） 设梁的振动速度分布为3

3

243)

()

(L

x x L t v t v x -=，v(t)为梁中点的速度，

故整段梁的动能为⎰⎰-=202

326222

0)43()()(212L x L x d x x L L

t v x d t v ρρ =)3517)((212t v L ρ 故每一根槽钢的等效质量为钢

等

m m '='35

17

此时)/(5.4118

.928.65351728.9470122470

35

17

22s rad m m k

n

≈⨯⨯+⨯∆

=

'⨯+=

）（ω钢

c)电机的激励频率ω=1430602π

⨯=149.926（rad/s ）故激励频率远离系统的共振区。

2.15一质量m 固定于长L ，弯曲刚度为EI ，密度为ρ的弹性梁的一端，如图T-2.15所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。

解：梁的自由端的绕度为 EI pl 33

=∆，则等效刚度为 3

3l

EI

而其静变形曲线为EI x pl EI pl EI x l p y 26)(6233+--= (由 )(22x l p x

d y

d EI --=及0,

000====x x dx

dy

y 求积分得到)

从而可假设端

v v y =∆，端v y v ∆=， 即梁系统的动能为2

0)(21v x d E L ρ⎰=梁x d v y L 2端22

021∆=⎰ρ

=09911.02121232端2L 022端2⨯⨯∆≈∆⎰L EI

pl v x d y v ）（ρρ=端2

)892.0(21V L ρ 从而梁的等效质量为L ρ892.0；

系统的固有频率可近似为

)

892.0(33

L m l EI

ρ+ 2.19试证明：对数衰减率也可用下式表示

n

n

x x l n

1=δ （式中n x 是经过n 个循环后的振幅）。 并给出在阻尼比ξ为0.01，0.1，0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。 证明：因

10t n Xe x ωξ-=，)1(d nT t n n Xe x +-=ωξ

故d T n n n

e x x

ωξ=0

，d n n T n x x ωξ=0ln

， δn x x n =0ln ，故n

x x

n 0ln 1=δ ξ为0.01，0.1，0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数分别为12. , 2. ,1。(这里设ωn d ω≈，从而π2≈d n T ω，由

πξ22ln n =近似计算）

2.24试指出在简谐激励下系统的复频率响应，放大因子和品质因子之间的关系，并计算当ξ=0.2，n ω=5rad/s 时系统的品质因子和带宽。

解：简谐激励下，系统复频率响应为：）

（）（n n i H ωωξωωω/2/-11

)(2

+=

放大因子

[]2

2

2)

/2(/-11

|)(|n

n H ωξωωω+=

）（ω ，品质因子

ξ

ωω21

=∆n

在小阻尼时，当频率比

2

2-1/ξωω=n 时，放大因子达到最大值max |)(|ωH ，而m a x |)(|ωH 为Q ，即

ξξ

ξ21

2-121|)(|Q 2

max ≈

=

=ωH ，ξ=0.2，n ω=5rad/s 时，252.022,5.22

.021=⨯⨯==∆=⨯=n Q ξωω

2.29若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即⎪⎩⎪⎨

⎧-=≤=0022＞x

x

a F x x

a F d d 求其等效阻尼系数和共振时的振幅

解：粘性阻尼力在一个周期内做的功为dt t c dx x

c W c )(sin X 22/202ϕωωω

π-==⎰⎰ =2X c πω

(这里设)cos(ϕω-=

t X x )，

而上述一周内所做的功为：⎰⎰==dt x

F dx F W d d d =[]⎰⎰++-=ω

ϕωπωϕω

ϕωπωϕϕωω//2///2/)(in X -dt t s F dt x

F d d

令ω

ϕ

-

=*t t ，原式=[]**⎰dt t s F d )in(X -/20

ωωω

π

=[][]**++**⎰⎰dt t s a dt t s a 3/2/3/0

)in(X -)()in(X -)(-ωωωωω

πωπω

π

=3

23232X 3

8X 34X 34ωωωa a a =+

由c d W =W ，故有π

ωX

38a C =

等效

其简谐强迫振动方程为：t i e F x k x

a x m ω0)X

38(=++

π

ω

设)(ϕω-=

t i Xe x ，故有 0)(2)X 38(F e x k X i a X m i =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++--ϕωπωω

当在共振时，可设m k n

=≈2

2ωω

，则有0)(2

≈-X m k ω，0)(22

38F ie X a n =-ϕπ

ω 故 X=

a

F a F n

n

2321830

2

πωωπ=

2.33如图T-2.33所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求W 的振幅与行进速度的关系，并确定最不利的行进速度。

解：路面的不平度可表示为：L

vt

Y y

π2sin

= 汽车沿路面走，由于路面的不平度引起汽车垂直方向的振动，其运动微分方程为：

0)(=-+y x k x g

W

则有L

vt Y W kg

x W kg x

π2sin

=+ 系统的稳态响应为：),2(sin 22

22

W

kg

L v t Y

x n n n ==

-=ωπωωω

ωω 故汽车的振幅为：

2

22

)2(

L

v

Y n n πωω-

最不利的行进速度为W

kg

L v π2=

2.36试从式（2.95）（ 即 )()/2(12ωωωξH A

X

n +=） 证明：

1).无论阻尼比ξ取何值，在频率比n ωω/=2时，恒有A X = 2).在n ωω/＜2，X/A 随ξ增大而减小，而在n ωω/＞2 ，A X /随ξ增大而增大

证明：1). 因

)()/2(12ωωξωH A

X

n +=，[]2

2

2)

/2(/-11

|)(|n

n H ωξωωωω+=）（

故当n ωω/=2时，2)

22(11

|)(|ξ+=ωH 所以，1)22(1)22(122=++=ξξA X

，故无论阻尼比ξ取何值恒有A X /

2). 因

[]{}

[

]

2

3

2

2222

22)/2())/(1()/2(1)/(2)/()/2()(

n n n n n n d A X

d ωξωωωωξωωωωωωωξξ

+-+-=

故当n ωω/＜2时，

ξd A X d )

(

＜0，从而A X /随ξ增大而减小 而当n ωω/＞2时，

ξ

d A X d )

(

＞0，故 A X /

随ξ增大而增大。

2.40求单自由度无阻尼系统对图T-2.40所示激励的响应，设初始条件为零。 解：利用杜哈梅积分 1).

τττd t F h t x t

)()()(0-=⎰=ττττττd F t m d t F m n t

n

n t

n )()(sin 1)(sin 100

-=-⎰⎰ωωωω

当0≤t ≤1t 时，x(t)=)cos 1()(sin 2

1

1t m F d t m F n n

n t

n ωωωω-=-⎰ττ

1t ＜t ≤2t 时，x(t) =ττττd t m F d t m F n t t n n t

n )(sin )(sin 12

1

01--+-⎰⎰ωωωω

=

[][])(cos 1cos )(cos 12

212

1

t t m F t t t m F n n

n n n

---

--ωωωωω

t ＞2t 时，x(t) =ττττd t m F d t m F n t t n n t

n )(sin )(sin 212

1

01--+-⎰⎰ωωωω

=

[][])(cos )(cos cos )(cos 122

212

1

t t t t m F t t t m F n n n

n n n

----

--ωωωωωω

2).

0≤t ≤1t 时， x(t)=⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=

-⎰t t m t F d t m t

F n n n n

n t n ωωωωωωsin 1)(sin 210010τττ

t>1t 时，x(t)=[]⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+-=-⎰t t t t t t m t F d t m t F n n n n n n

n t n ωωωωωωωωsin )(sin 1)(cos 1)(sin 12111010

1

0τττ

=

t m t F t t m t F t t m F n n

n n

n n

ωωωωωωsin )(sin )(cos 3

1013

1012

0--+

-

3) .

0≤t ≤1t 时，x(t)=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+--=--⎰t t t t t m t F d t F t m t n n n n n t

n ωωωωωωsin 1

cos )(sin 11

21000

11τττ

t>1t 时，x(t)==--⎰τττd t F t m t n t

n )(sin 01

011ωω⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+---=t t t t t m t F n n n n n n

ωωωωωωsin 1

)(sin 1cos 112

10

=

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+---t t t t t t m F n n n n n n ωωωωωωsin 1)(sin 1cos 11120 2.43一个高0F ，宽0T 的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上，把这个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和，如图T-2.43

所示，用叠加原理求t>0t 后的响应。

解：设0,

)(01≥=t F t f

⎩⎨

⎧>-<=0

020)(t t F t t t f

则由叠加原理可得，0t t >时，x(t) =[]t t t m F n n n

ωωωcos )(cos 02

0--

2.45证明式（2.136），即卷积积分满足交换律)(*)()(*)(t h t F t F t h = 证明：因 )(*)(t h t F =

τττd t h F t

⎰-0

)()(

令ττ-=*t ， 故)(*)(t h t F =)()()(0

*-**-⎰

τττt d h t F t

再令ττ=*， 上式=τττd h t F t

⎰

--

)()(=τττd h t F t ⎰-0

)()(=)(*)(t F t h

3.1如图T-3.1所示的扭振系统，设,221I I =12t t K K =

1).写出系统的刚度矩阵和质量矩阵。

2).写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图

解：设21θθ，为21I I ，的转角

1). 系统的动能和势能可以表示为：2222112121θθI I E T +=，21222

11)(2

121θθθ-+=t t K K U 求导可得，[]⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡=22

2100200I I I I M ，[]⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡--+=22

22

1t t t t t K K K K K K 2). 由[][]{}0u )M K (=-2ω，可得频率方程如下：00

02-222

222

22

=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡--I I K K K K t t t t ω

求解得 22

22122)22(2

2

-2I K I K t t -==

ω，2

2222)22(I K t +=ω，{}[

]

T

u 211

=，{}[]

T

u 212

-=

其振型图如下：

{}[]

T

u 21

1=，{}[]

T

u 212

-=

3.2求图T-3.2所示系统的固有频率和振型，设1232133,3k k k m m ===，并画出振型图

解：采用牛顿第二定律可建立系统的无载荷运动方程如下：⎩⎨⎧=++-=-++0

)(0)(23212222212111x k k x k x m x k x k k x m

从而

[]⎥

⎦

⎤

⎢

⎣⎡=21

00m m M ，[]⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡+--+=32222

1k k k k k k K 系统特征方程为：⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+--+000

02121

232222

1u u m m k k k

k k k ω

由

02

2322

2

2

121=-+---+ω

ωm k k k k m k k 以及1232133,3k k k m m ===，

有21

1

3

)

727(3m k -=

ω， 2

1

23)727(3m k +=ω 振型分别为：

2915.072531121=+=u u ，2915.107

253

2122-=-=u u

其振型图如下：

3.4如图T-3.4所示，由一弹簧k 连接两个质量21,m m 构成的系统以速度v 撞击制动器1k ，求其传到基础上力的最大值。设v 为常数，且弹簧无初始变形，并设k k m m 2,121==。

解：由题意知，主要了解由,,1k k 21,m m 构成的振动系统，在撞击一瞬间的初始条件下，系统的响应情况。

系统的运动微分方程可表示为：（21,x x 坐标原点为系统弹簧无变形时的21,m m 的位置）

⎩⎨

⎧=-+=-++00)(122221111x k x k x m x k x k k x m

， 0002112121=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x k k k k k x x m m

系统初始条件为：v x x

x x ====2121

,0 ， 求解系统频率方程

322

=----ωωm k k

k m k 得m

k m k )

22(,)22(2

22

1+=-=ωω, 其相应振型分别为：{}

[]

{}[]

T

T

u u 211

,

1

1

221

-=-=

令 [][]⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2121,211

112q q x x U U

则有

[][][]⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡=224002240

0m m m

T U U M

[][][]⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡--=2221)224(00

)224(3ωωm k k

k k

T

U U K [][][]()

[][]00

211-0

21=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧x x q q M U U M U T

T

[][][]()

[][]⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧12120

211-0

21v x x q q M U U M U T

T 由此可得，

⎪⎩⎪

⎨⎧+===+v q

q q q 2

21,00111211 ω 及⎪⎩⎪⎨⎧===+v q q q q 21,00

222222 ω 求解上述两方程得：⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=+=t v q t v q 22

2111

sin 2sin 22

1ωωωω

故t v

t v x 22

111

sin 2sin 21ωωωω+=

， t v t v x 22112s i n 221s i n 221ωωωω-++=

故弹簧1k 的受力为

)s i n 21s i n 21(

22

111弹t t kv kx F ωωωω+==，最大值不超过 )21

21(21ωω+kv

3.7如图T-3.7所示，由弹簧耦合的双摆，杆长为l ，

1).写出系统的刚度矩阵，质量矩阵和频率方程 2).求出固有频率和振型

3).讨论k 值改变对固有频率的影响 解：1).建立二个独立坐标21,θθ

系统的动能为：2

222122

121θθ ml ml E T

+=

系统的势能为： [])cos 1()cos 1()(2

1

21221θθθθ-+-+-=

mgl a a k U 由j i T ij j i ij E m U

k θθθθ ∂∂∂=∂∂∂=22,可得[]⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡=2200ml ml M ，

[]⎥⎦

⎤⎢

⎣

⎡+--+=22

22

1

2cos cos θθmgl ka ka ka mgl ka K 因21,θθ很小，故可得1cos ,1cos 21≈≈θθ，[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡=2200m l m l M ，[]⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+--+=mgl ka ka ka mgl ka 2222K 其频率方程为：

02222

2

222=-+---+ml

mgl ka ka ka ml mgl ka ωω

2). 2

2222

22

1

22,ml

ka l g ml mgl ka l g +=+==ωω 相应振型分别为：{}[]{}[]T T

u u 11,

11

21

-==

3) . 当k 变化时，2

1ω没有变化，2

2ω产生变化。

当k 变小时，2ω将变小，且2ω与1ω接近。 当k 变大时，2ω将变大，且2ω与1ω间距变大。

4.1按定义求如图T-4.1所示三自由度弹簧质量系统的刚度矩阵，并用能量法检验

解：取321,,x x x 为描述系统运动的广义坐标，即{}{}T

x x x x 321,,=

各自由度的坐标原点均取静平衡位置，向右为正方向。 （1） 求

[]K 的第一列，设1x 沿坐标正方向有一单位位移，其余广义坐标位移为零，则只有21,k k 弹簧有变化，因此有

0,,312212111=-=+=k k k k k k

（2） 求

[]K 的第二列，设2x 沿坐标正方向有一单位位移，其余广义坐标位移为零，则只有6532,,,k k k k 弹簧有变化，

因此有332653222212

,,k k k k k k k k k -=+++=-=

（3） 求

[]K 的第三列，设3x 沿坐标正方向有一单位位移，其余广义坐标位移为零，则只有43,k k 弹簧有变化，因此

有43333

2313

0k k k k k k +=-== 故可得[]⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+++--+=433

36

53222

2

10

0k k k k k k k k k k k k K

系统的势能为226225234223321222112

1

2121)(21)(2121x k x k x k x x k x x k x k U

+++-+-+=

由j

i ij x x U k ∂∂∂=2

可知[]⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+--+++--+=433

36

5322

2

2

10

0k k k k k k k k k k k k K 4.4求如图T-4.4所示三自由度弹簧质量系统的固有频率和振型，质量只能沿铅垂方向运动

解：取321,,x x x 为描述系统运动的广义坐标，即{}{}T

x x x x 321,,=

各自由度的坐标原点均取静平衡位置，向上为正方向

系统的动能为：222

123)4(2

1)2(2121x m x m x m E T ++= 系统的势能为：（不考虑重力）2232122221)(2

1

))(21(2)221(221x x k x x k kx kx U

-+-++=

故由j i T ij j

i ij x x

E m x x U

k ∂∂∂=

∂∂∂=

2

2

得[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m m m 00040002M ，[]⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=k k

k k k k

k

72023K

求解特征方程0=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎣

⎡-------32122

2

04720

223u u u m k k

k m k k k

m k ωωω

得频率方程 0144134822

23

2=-⎪⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m k m k m k ωωω m

k m k m k 449.2,211.1,590

.0232221≈≈≈ωωω 相应的振型分别为⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=655.0949.01,1211.0730.0,1410.045055.03

21u u u

4.5如图T-4.5所示系统两个圆盘的半径为r ，设,3,,32121

k k k k k I I I =====求系统的固有频率和振型

解：取21,θθ为系统的广义坐标，

系统的动能为

)(2

121212*********θθθθ +=+=I I I E T 系统的势能为

2232212211)(2

1

)(21)(21θθθθr k r r k r k U +++=

从而可得[]⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=I I 00M ，

[]⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=22

2223222

22

22

22142kr kr kr kr r k r k r k r k r k r k K 系统的特征方程为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-00I -4I 2212222

22u u kr kr kr kr ωω 得I

kr I kr 22

222

1

)23(,)23(+=-=ωω

其振型分别为：⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=112,1212

1

u u

4.7如图T-4.7所示系统，求出系统的全部固有频率和振型

解：取321,,x x x 为描述系统运动的广义坐标，即{}{}T

x x x x 321,,=

各自由度的坐标原点均取静平衡位置，向右为正方向

系统的动能为：23222121

)2(21421x m x m x m E T ++=

系统的势能为：2

2321221)(2

1)(21)3(21x x k x x k x k U -+-+=

故 []⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=m m m 00020004M ，

[]⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=k k

k k k

k

k

204K 系统的特征方程为0=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎣

⎡-------32122

2

0220

44u u u m k k

k m k k k m k ωωω

m

k m k m k )4101(,,)4101(2

3222

1+==-

=ωωω

相应的振型为：⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=1791.025.0,101,1791.025.03

21u u u

4.8设图T-4.4中质量4m 上作用有铅垂力t F ωcos ，试求各个质量的振幅。

解：按题意及4.4的运动方程可得简谐激励下系统的运动方程

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0cos 00

720230004000232

1321t F x x x k k

k k k k k x x x m m m ω （1）

令[]⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=655.011949.0211.0410.01730

.045055.0U 及{}[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=321q q q U x 并代入（1）式有

[][][][]⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡==0314.60002439.200007839

.2m T U M U M

⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3212322213210314.60002439.200007839.20314.60002439.200007839

.2q q q m m m q q q m ωωω t F ωcos 949.0211.0410.0⎪⎭

⎪

⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧--=

（2）

由（2）可得，t m F q q q q q q

ωωωωcos 0314.6949.02439.2211.007839.2410.000

0000321232221321⎪⎪

⎪⎭

⎪⎪⎪

⎬⎫

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ （3）

故可解得⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎭⎫ ⎝⎛=t m t m q t m t m q t m t m q ωωωωωωωωωωωωωωωωωωcos F -1573.0cos F 0314.6949.0-1cos F -094.0cos F

2439.2211.0-1cos F -1973.0cos F

0784.2410.0-122322312

2222222

212211 从

而

[]{}t m x x x ωωωωωωωc F -1.0-0.0-1.06

.0119.02.04.017

.04

.02232222

21321⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧q U =t m ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωcos F -103.0-094

.0-1973.0-1493.0-0198.0-0809.0-1573.0-0686.0-0889.02232

2222122322222122

3222221⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--++-

+

故2m,4m,m 质量的振幅为：m F

-103.0-094.0-1973.0-1493.0-0198.0-0809.0-1573.0-0686.0-0889.0223222221223222221223222221⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎬

⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--++-+ωωωωωωωωωωωωωωωωωω 4.9试讨论动力吸振器吸振的频率范围，要求主系统的振幅k

F X 0

≤

解：用1,x x 描述系统的运动状态，其运动方程为：t F x x k k k k k x x m m ωcos 00001111111⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡

设t X X x x ωcos 11⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧代入上式得⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-∆=⎭⎬⎫⎩⎨⎧112101k m k F X X ω

式中

2112121))((k m k m k k ---+=∆ωω ，即)(1210

m k F X ω-∆

=

如果主系统的振幅k

F X 0

≤，则吸振器只在一定频率范围内起到吸振作用

令 1

1

1211111111124)()(m m m m kk m k k m k m m k k m k m Z -++-++=

1

1

1211111111224)()(m m m m kk m k k m k m m k k m k m Z -+++++=

则))((2212

Z Z --=∆ωω

当22

1Z ＜＜ω

Z 时，⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛+≤1112m k m k ω为吸振器吸振的频率范围

当12

Z ＜ω或12

Z ≥ω时，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≥1112

m k m k ω 有k

F X 0≤ 当12

Z ＜ω

或12Z ≥ω时，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+≥1112m k m k ω 也为吸振器吸振的频率范围

4.11证明：对系统的任一位移{}x ，Rayleigh 商{}[]{}{}[]{}

x M x x K x T T =)(x R 满足2

21)(n x R ωω≤≤

这里[]K 和[]M 分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1ω和n ω分别是系统的最低和最高固有频率。 证明：设[]U 为系统的振型矩阵，且

[][][]E U M U =T

则 [][][][]

2r

ωU K U =⎥⎥

⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2n 2

221ωωω T ， 设

{}[]{}y U x =, 则

{}[]{}{}[]{}{}[]{}{}{}

2

2221212221222221212

22212

222222121)(n n n n n n y y y ωωy ωω

y y ωy y y ωy ωy ωy x R +++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=

++++++=== y y y ωy x M x x K x T 2

r T T T

考虑到n ωωω≤≤≤ 21

，故2

1)(ωx R ≥，

又2

2221222222221212)(n n

n n n y y y y ωωy ωωy ωx R +++⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+++= ，故2)(n ωx R ≤ 即221)(n x R ωω≤≤

5.1求整流正弦波T

t

πA x(t)2sin =

的均值，均方值，方差和自相关函数。 解：因π

ππA

dt T t A T dt T t A T dt t x T T

T

T T

T 22sin 22sin 1)(1202222=

==⎰⎰⎰-- 故 π

μA dt t x T n n dt t x nT T

T

n nT nT n x 2)(1lim )(1lim 2

222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰-

∞→-∞→ 22sin 1lim )(1lim )(1lim 222

2

2

222

2222

A dt T t A T

dt t x T n n dt t x nT T

T n T

T n nT nT n x

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰

⎰⎰-∞→-∞→-∞→πϕ因2

22x x x ϕμσ=+ ，

故2

22

421A x ⎪⎭

⎫

⎝⎛-=πσ 5.2证明式（5.31），即1≤xy ρ

证明：因

[]y

x y

x xy XY E σσμμρ-=

考虑到 02

≥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛--y y

x

x Y X E

σμσμ 而 ()[

]()[

]

()()[]

y

x y x y y x x y y

x x Y X E Y E X E Y X E

σσμμσμσμσμσμ---+-=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--22

222

2

=()()[

][]()xy y

x y

x

y

x y x XY E Y X E ρ

σσμμσσμμ222222

=-=--

从而 ,022≥xy ρ 即 1≤xy ρ 5.3试证自相关函数是偶函数，即)()(ττ-=x x R R

证明：因 )(τx R =[])()(τ+t X t X E ，故[][])()()()()(t X t X E t X t X E R x τττ-=-=- 对于平稳过程而言，相关函数仅仅是单变量时差的函数， 即 [][])()()()()()(*τττττ

x t t x R t X t X E t X t X E R =+**=-=--= 5.10证明式（5.51），ωωd S R x x x ⎰

∞

∞

-==)(21

)0(2

π

ϕ

证明： 因 ωωωd e S R i x x τπ

τ⎰

∞

∞

-=

)(21)(，故ωωd S R x x ⎰

∞

∞

-=

)(21)0(π

，

且[])()()0(t X t X E R x =，故 ωωd S R x x x ⎰

∞

∞

-==)(21)0(2

π

ϕ