1振动作业答案(三学时)

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《大学物理（下）》作业 No.1 机械振动

班级学号姓名成绩

一选择题

1. 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时．若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为

(A) π． (B) π/2． (C) 0 ． (D) θ．

［ C ］

[参考解答] 开始计时时，位移达到最大值。

2. 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简谐振动的振动方程为：

(A) )3

232cos(2π+π=t x ． (B) )3232cos(2π-π=t x ．

234cos(2π+π=t x ． (D) )3

234cos(2π-π=t x ． (E) )4

134cos(2π-π=t x ．

［ C ］

[参考解答] A=2 cm ，由旋转矢量法（如下图）可得：

3/20π?==t ，π?21==t ， 4/34/13

rad s t φππ

ω?=

==?，旋转矢量图：

3．一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的

（A ）7/16 （B ）9/16

（C ）11/16 （D ）13/16 （E ）15/16

[ E ]

[参考解答] 4

/)cos(A t A x =+=?ω，

2211111

22416216

p A E kx k kA E ????==== ???????， 1516k P E E E E =-=

4．图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为：

（A ）

2π

（B ）π （C ）23π （D ）0

[ B ]

[参考解答] t=0时刻的旋转矢量图：

二填空题

1.一竖直悬挂的弹簧振子，自然平衡时弹簧的伸长量为x 0，此振子自由振动的周期T =

g x /20π．

A/2

-A A 合

[参考解答] 受力分析如右图，以平衡位置为原点，向下为x 轴正方向，

有：2

2/22)/(dt

d m kX k mg x k mg kx dt

d m k

mg x X =-=--=+-=-=令对坐标X ，其运动为简谐运动，其角频率满足：，m

2ω g x T /2/20πωπ==

2. 一质点作简谐振动，速度最大值v m = 5 cm/s ，振幅A = 2 cm ．若令速度具有正最大值的那

一时刻为t = 0，则振动表达式为 )()2

325cos(2cm t x π

+=．

[参考解答] s rad cm A A v m /5.2,2,=∴==ωω

t =0时，质点通过平衡位置向正方向运动，初相为：2

30π?=

3．一弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移为零，速度为－ωA ，加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的 b, f 点，振子处在位移的绝

对值为A 、速度为零、加速度为－ω2A 和弹性力为－KA 的状态，则对应于曲线上的 a, e 点。

4．两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：

x 1=6×10－2cos(5t+

2π

) （SI ）

x 2=2×10－

2sin(π－5t) （SI ）

它们的合振动的振幅为 4×10－2 m ，初相位为

。

F k

1A 合A

[参考解答] 第二个振动的振动方程可以写为：

)()2

5cos(10222SI t x π

?=-

两个振动在t=0时刻的旋转矢量图为：三计算题

1. 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当第一个物体经过位移为2/A 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动．试利用旋转矢量法求它们的相位差．

[参考解答] 两个振动的旋转矢量图如下：

相位差(如果限定在(ππ,-]之间)为:

12π

??-

2. 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为 x 1 =5×10-2cos(4t + π/3) (SI) , x 2 =3×10-2sin(4t - π/6） (SI) 画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程．

[参考解答] 第二个振动的振动方程可以写为: x 2 =3×10-2

cos(4t - 2π/3) (SI)

两个振动初始时刻的旋转矢量图如下:

从旋转矢量图可以看出对于合振动:

Ａ=2×10-2 (SI)；

)(4SI =ω；

3π?=．

所以合振动的振动方程为：

4cos(1022π

+?=-t x m

3. 一简谐振动的振动曲线如图所示．求振动方程．

O 合A

[参考解答] 分别画出ｔ＝０ｓ，ｔ＝２ｓ的旋转矢量图：

从振动曲线可以看出从ｔ＝０ｓ到ｔ＝２ｓ没有到一个周期，所以

,/12

5s rad t π

?ω=??=

从旋转矢量图可知3

20π?=。所以振动方程为：

2125cos(10π

π+=t x cm

机械振动和机械波知识点总结与典型例题

高三物理第一轮复习《机械振动和机械波》一、机械振动：（一）夯实基础： 1、简谐运动、振幅、周期和频率：（1）简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。特征是：F=-kx,a=-kx/m （2）简谐运动的规律： ①在平衡位置：速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。 ②在离开平衡位置最远时：速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大。 ③振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位置间的直线距离。加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。 ④当质点向远离平衡位置的方向运动时，质点的速度减小、动量减小、动能减小，但位移增大、回复力增大、加速度增大、势能增大，质点做加速度增大减速运动；当质点向平衡位置靠近时，质点的速度增大、动量增大、动能增大，但位移减小、回复力减小、加速度减小、势能减小，质点做加速度减小的加速运动。 ④弹簧振子周期：T= 2 (与振子质量有关,与振幅无关) （3）振幅A ：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。它是描述振动强弱的物理量, 是标量。（4）周期T 和频率f ：振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T,它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为频率，单位是赫兹（Hz ）。周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f. 2、单摆：（1）单摆的概念：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，线的伸缩和质量可忽略，线长远大于球的直径，这样的装置叫单摆。（2）单摆的特点： ○ 1单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型; ○ 2单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关; ○3单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供，当最大摆角α<100 时，单摆的振动是简谐运动，其振动周期T= g L π 2。（3）单摆的应用：○1计时器；○2测定重力加速度g=2 24T L π. 3、受迫振动和共振：（1）受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动，其振动频率和固有频率无关，等于驱动力的频率；受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。（2）共振：○1共振现象：在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象称为共振。 ○ 2产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率。○3共振的应用：转速计、共振筛。 4、简谐运动图象：（1）特点：用演示实验证明简谐运动的图象是一条正弦（或余弦）曲线。（2）简谐运动图象的应用： ①可求出任一时刻振动质点的位移。 ②可求振幅A ：位移的正负最大值。 ③可求周期T ：两相邻的位移和速度完全相同的状态的时间间隔。 ④可确定任一时刻加速度的方向。 ⑤可求任一时刻速度的方向。 ⑥可判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。 πm K

(整理)合情推理和演绎推理》.

第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系

难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性问题1<；…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为．点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 0 20202=++； 23165sin 105sin 45sin 020202=++；23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明：左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

(完整版)机械振动习题答案

机械振动测验一、填空题 1、所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的①平均值附近不停地经过②极大值和③极小值而往复变化。 2、一般来说，任何具有④弹性和⑤惯性的力学系统均可能产生机械振动。 3、 XXXX 在机械振动中，把外界对振动系统的激励或作用，①激励或输入；而系统对外界影响的反应，称为振动系统的⑦响应或输出。 4、常见的振动问题可以分成下面几种基本课题：1、振动设计2、系统识别3、环境预测 5、按激励情况分类，振动分为：①自由振动和②强迫振动；按响应情况分类，振动分为：③简谐振动、④周期振动和⑤瞬态振动。 6、 ①惯性元件、②弹性元件和③阻尼元件是离散振动系统三个最基本的元件。 7、在系统振动过程中惯性元件储存和释放①动能，弹性元件储存和释放②势能，阻尼元件③耗散振动能量。 8、如果振动时系统的物理量随时间的变化为简谐函数，称此振动为①简谐振动。 9、常用的度量振动幅值的参数有：1、峰值2、平均值3、均方值4、均方根值。 10、系统的固有频率只与系统的①质量和②刚度有关，与系统受到的激励无关。二、试证明：对数衰减率也可以用下式表示，式中n x 是经过n 个循环后的振幅。 1 ln n x x n δ=

三、求图示振动系统的固有频率和振型。已知12m m m ==，123k k k k ===。

北京理工大学1996年研究生入学考试理论力学（含振动理论基础）试题自己去查双（二）自由度振动 J，在平面上在弹簧k的限制下作纯滚动，如图所示，四、圆筒质量m。质量惯性矩 o 求其固有频率。

五、物块M质量为m1。滑轮A与滚子B的半径相等，可看作质量均为m2、半径均为r的匀质圆盘。斜面和弹簧的轴线均与水平面夹角为β，弹簧的刚度系数为k。又m1 g>m2 g sinβ , 滚子B作纯滚动。试用能量法求：（1）系统的微分方程；（2）系统的振动周期。

高中物理选修3-4机械振动练习题典型题带答案

高中物理机械振动练习题一．选择题（共25小题） 1．如图所示，PQ为一竖直弹簧振子振动路径上的两点，振子经过P点时的加速度大小为6m/s2，方向指向Q点；当振子经过Q点时，加速度的大小为8m/s2，方向指向P点。若PQ之间的距离为14cm，已知振子的质量为1kg，则以下说法正确的是（） A．振子经过P点时所受的合力比经过Q点时所受的合力大B．该弹簧振子的平衡位置在P点正下方7cm处C．振子经过P点时的速度比经过Q点时的速度大D．该弹簧振子的振幅一定为8cm 2．如图甲所示，在升降机的顶部安装了一个能够显示拉力大小的传感器，传感器下方挂上一轻质弹簧，弹簧下端挂一质量为m的小球，若升降机在匀速运行过程中突然停止，并以此时为零时刻，在后面一段时间内传感器显示弹簧弹力F随时间t变化的图象如图乙所示，g为重力加速度，忽略一切阻力，则（） A．升降机停止前在向上运动B．0～t1和时间内小球处于失重状态，t1～t2时间内小球处于超重状态 C．t2～t3的时间内弹簧弹性势能变化量等于重力势能变化量D．t3～t4时间内小球向下运动，加速度减小 3．如图所示图线Ⅰ、图线Ⅱ为两单摆分别做受迫振动的共振曲线，下列判断正确的是（）A．若摆长为1m的单摆在地球上做受迫振动，则其共振曲线为图线Ⅰ B．若图线Ⅱ是单摆在地球上做受迫振动的共振曲线，则该单摆摆长约为0.5m C．若两单摆分别在月球上和地球上做受迫振动，则图线Ⅰ一定是在月球上的单摆的共振曲线 D．若两单摆是在地球上同一地点做受迫振动，则两单摆摆长之比h1：h2＝25：4 4．如图所示，水平弹簧振子以坐标原点O为水平位置，沿x轴在M、N之间做简谐运动，其运动方程为x＝5sin（2πt+）cm，则（） A．t＝0.5s时，振子的位移最小B．t＝1.5s时，振子的加速度最小 C．t＝2.25s时，振子的速度沿x轴负方向D．t＝0到t＝1.5s的时间内，振子通过的路程为15cm 5．甲、乙两位同学分别使用图中左图所示的同一套装置，观察单摆做简谐运动时的振动图象，已知两人实验时所用的摆长相同，落在同一木板上的细砂分别形成的曲线如图N1、N2所示。下面关于两图线相关的分析，正确的是（）

(完整版)合情推理教案

合情推理教案一、教学目标：（1）结合已学过的数学事例实例和生活中的实例，了解合情推理的含义。（2）能利用归纳进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用二、教学重点、难点 1.重点：归纳推理和类比推理的理解和应用. 2.难点：合情推理的应用，尤其是类比推理的应用，能根据已知类比出一些数学结论. 三、教学方法：启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的课堂教学方法。一、归纳推理 1. 导入新课：1.举一些日常生活中常常用到的推理：如走到家门口闻到菜香，猜想已经做好饭了等。 2.介绍数学史（预习）简单介绍课本出现的歌德巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜想”、歌尼斯堡七桥猜想， 2.分析特例：问题1：你了解哥德巴赫是怎么提出猜想的吗？歌德巴赫猜想的提出过程：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， · ····· 改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3， 8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11, 18 =7+11, …，1000＝29+971， 1002=139+863, ······ 歌德巴赫猜想:“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和” 即:偶数＝奇质数＋奇质数 3.得出结论：归纳推理定义：这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的特点 1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理. 2.人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行。 3.归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段。归纳推理的一般步骤⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理 ⑵ 在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想 (3）检验猜想说明: 由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠,（如：费马猜想）但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识性能,对于提供科学的发现方法,确实是非常有用的 4.例题例题1：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n n a a n a += =+L ，试归纳出通项公式. 分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a =1n 。 5.反馈练习1 ?L *11135f(n)=1+ +++(n N )算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,23n 22

电磁航天器地面实验

3.航天器地面实验研究现状航天器地面实验作为验证航天器关键技术可行性的关键技术手段一直受到研究人员的重点关注错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。。可以说航天器地面实验技术是伴随航天器发展同步发展的，早在1959年美国Army Ballistic Missile Agency 成功研制三自由度气浮平台用以模拟空间航天器姿态变化，标志着航天器地面实验成为航天器研制过程中的有效手段，由于该气浮平台最早用于航天器地面实验故其具有里程碑式的重要意义。目前几乎所有的航天器在发射之前都需要进行大量的地面实验用以确保其任务的顺利完成。下面将从航天器地面实验发展以及电磁航天器地面实验两方面介绍航天器地面实验的发展。 3.1 航天器地面实验在航天器地面实验的开展过程中，所面临最大的问题为抵消地面实验环境中的重力影响，为此研究人员提出落塔实验、失重飞机实验、气浮平台实验以及液浮平台实验等多种地面实验方法错误！未找到引用源。。下面将分别介绍上述地面实验方法及其在航天器实验中的应用情况。 (1)落塔实验落塔实验通过在微重力塔（井）中执行自由落体运动从而产生微重力实验环境。目前美国、日本、德国、中国等都建立了自己的落塔实验系统，并纷纷开展了大量的微重力实验用以开展微重力环境下理化科学、材料科学、生命科学等基础学科的研究。 A.美国落塔实验系统美国国家航天局拥有多套落塔、落井实验系统，其中具有代表性的包括路易斯研究中心145m落井以及马歇尔飞行中心的100m微重力落塔。易斯研究中心145m落井总高度155m，有效实验高度143m，1966年建成。最初用于太空组件和流体系统在微重力环境下的研究与开发，该落井系统目前依然正在为世界各地的研究服务，并用于开发和测试飞行实物硬件，设计航天飞机或国际空间站等任务。马歇尔飞行中心的100m微重力落塔总高度101.7m，有效实验高度89m，曾用于开展微重力环境下流体自由液面变化的相关研究错误！未找到引用源。。

大学机械振动课后习题和答案

试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?

设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —所示，试证明： 1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq += 2)它们串联时的总刚度eq k 满足： 2 1111k k k eq += 解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为： 1122P k x P k x =?? =? 由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+ 故等效刚度为：12eq P k k k x = =+ 2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 11 22P x k P x k ?=??? ?=?? ，弹簧的总变形为：1212 11()x x x P k k =+=+ 故等效刚度为：122112 111 eq k k P k x k k k k ===++

求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 11 22t t T k T k θθ?=??? ?=?? 系统的总转角为： 1212 11 ( )t t T k k θθθ=+=+， 12111()eq t t k T k k θ==+ 故等效刚度为： 12 111 eq t t k k k =+

两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c 1)在两只减振器并联时， 2)在两只减振器串联时。解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为： 1122 P c x P c x =?? =?&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+& 故等效刚度为：12eq P c c c x = =+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 11 22P x c P x c ? =????=?? &&，系统的总速度为：12 12 11()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：12 11 eq P c x c c = =+&

第五章作业————振动作业及答案

第五章作业 5-1写出本章你认为重要的知识点。 5-2质量为 kg 10103-?的小球与轻弹簧组成的系统，按)SI ()328cos(1.0ππ+=x 的规律作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)s 52=t 与s 11=t 两个时刻的位相差；解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：又πω8.0==A v m 1s m -?51.2=1s m -? (2)N 63.0==m m a F 当p k E E =时，有p E E 2=，即)2 1(212122kA kx ?= ∴m 20222±=± =A x (3)ππωφ32)15(8)(12=-=-=?t t 5-3一个沿x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示．如果0=t 时质点的状态分别是： (1)A x -=0； (2)过平衡位置向正向运动； (3)过2 A x =处向负向运动； (4)过2A x - =处向正向运动．试求出相应的初位相，并写出振动方程．解：因为???-==00 00sin cos φωφA v A x 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有 5-4一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。

解：∵πππφ =--=?)65(6 ∴m 1.021=-=A A A 合 ∴6π φ= 其振动方程为 5-5图为两个谐振动的t x -曲线，试分别写出其谐振动方程．题图解：由题图(a)，∵0=t 时，s 2,cm 10,,23,0,0000===∴>=T A v x 又πφ 即1s rad 2-?==ππω T 故m )2 3cos(1.0ππ+=t x a 由题图(b)∵0=t 时，3 5,0,2000πφ=∴>=v A x 01=t 时，22,0,0111ππφ+ =∴<=v x 又ππωφ2 53511=+?= ∴πω6 5= 故m t x b )3 565cos(1.0ππ+= 5-6一轻弹簧的倔强系数为k ，其下端悬有一质量为M 的盘子．现有一质量为m 的物体从离盘底h 高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动． (1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大? (3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．解：(1)空盘的振动周期为k M π2，落下重物后振动周期为k m M +π2，即增大． (2)按(3)所设坐标原点及计时起点，0=t 时，则k mg x -=0．碰撞时，以M m ,为一系统动量守恒，即则有M m gh m v += 20 于是（3）g m M kh x v )(2tan 000+=-=ωφ(第三象限)，所以振动方程为

高一物理机械运动、位移典型例题

高一物理机械运动、位移典型例题 [例1]甲、乙、丙三架观光电梯，甲中乘客看一高楼在向下运动；乙中乘客看甲在向下运动；丙中乘客看甲、乙都在向上运动.这三架电梯相对地面的运动情况是[] A.甲向上、乙向下、丙不动 B.甲向上、乙向上、丙不动 C.甲向上、乙向上、丙向下 D.甲向上、乙向上、丙也向上，但比甲、乙都慢 [分析]电梯中的乘客观看其他物体的运动情况时，是以自己所乘的电梯为参照物.甲中乘客看高楼向下运动，说明甲相对于地面一定在向上运动.同理，乙相对甲在向上运动，说明乙对地面也是向上运动，且运动得比甲更快.丙电梯无论是静止，还是在向下运动，或以比甲、乙都慢的速度在向上运动，丙中乘客看甲、乙两电梯都会感到是在向上运动. [答] B、C、D. [例2]下列关于质点的说法中，正确的是[] A.体积很小的物体都可看成质点 B.质量很小的物体都可看成质点 C.不论物体的质量多大，只要物体的尺寸跟物体间距相比甚小时，就可以看成质点 D.只有低速运动的物体才可看成质点，高速运动的物体不可看作质点 [分析] 一个实际物体能否看成质点，跟它体积的绝对大小、质量的多少以及运动速度的高低无关，决定于物体的尺寸与物体间距相比的相对大小.例如，地球可称得上是个庞然大物，其直径约为1.28×107 m，质量达到6×1024kg，在太空中绕太阳运动的速度每秒几百米.由于其直径与地球离太阳的距离（约1.5×1011m）相比甚小，因此在研究地球的公转运动时，完全可以忽略地球的形状、大小及地球自身的运动，把它看成一个质点. [答] C.

[例3]下列各种情况，可以把研究对象（黑体者）看作质点的是[] A. 研究小木块的翻倒过程 B. 讨论地球的公转 C. 解释微粒的布朗运动 D. 计算整列列车通过某一路标的时间 [误解一] 小木块体积小，远看可视为一点；作布朗运动的微粒体积极小，当然是质点，故选（A）、（C）。 [误解二] 列车作平动，车上各点运动规律相同，可视为质点，故选（D）。 [正确解答] 讨论地球的公转时，地球的直径（约1.3×104km）和公转的轨道半径（约1.5×108km）相比要小得多，因而地球上各点相对于太阳的运动差别极小，即地球的大小和形状可以忽略不计，可把地球视为质点，故选（B）。 [错因分析与解题指导] 物理研究中常建立起一些理想化的模型，它是物理学对实际问题的简化，也叫科学抽象。它撇开与当前观察无关的因素和对当前考察影响很小的次要因素，抓住与考察有关的主要因素进行研究、分析、解决问题，质点就是一个理想化的模型。[误解一] 以为质点是指一个很小的点。但在小木块的翻倒过程中，木块各点绕一固定点转动，各点运动情况不同，不可看作质点。至于作布朗运动的粒子，尽管体积极小，仍受到来自各个方向上的液体分子（具有更小体积）的撞击，正是这种撞击作用的不平衡性使之作无规则运动，也不可把布朗运动粒子视为质点。[误解二]以为火车在铁道上的运动为平动，可视为质点。而本题实际考察的是经过某路标的时间，就不能不考察它的长度，在这情况中不能视其为质点。 [例4]关于质点的位移和路程的下列说法中正确的是[] A. 位移是矢量，位移的方向即质点运动的方向 B. 路程是标量，即位移的大小 C. 质点沿直线向某一方向运动，通过的路程等于位移的大小 D. 物体通过的路程不等，位移可能相同 [误解]选（A），（B）。

高中数学之合情推理与演绎推理含答案

专题08 合情推理与演绎推理 1．在中，若则外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得到的正确结论是在四面体中，若两两互相垂直，，则四面体的外接球半径（ ) A．B．C．D． 2．电脑上显示，按这种规律往下排，那么第个图形应该是（）A．三角形B．圆形 C．三角形可能性大D．圆形可能性大 3．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是归纳出所有三角形的内角和都是;③由,满足,推出是奇函数;④三角形内角和是,四边形内角和是,五边形内角和是,由此得凸多边形内角和是. A．①②B．①③④C．①②④D．②④ 4．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第39颗珠子的颜色是( ) A．白色B．黑色C．白色的可能性大D．黑色的可能性大 5．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是归纳出所有三角形的内角和都是;③由 ,满足,推出是奇函数; ④三角形内角和是,四边形内角和是,五边形内角和是,由此得凸多边形内角和是 . A．①②B．①③④C．②④D．①②④ 6．如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点.第n个图形是由正n+2边形扩展而来，则第n+1个图形的顶点个数是 ( )

（1）（2）（3）（4） A．(2n+1)(2n+2)B．3(2n+2)C．(n+2)(n+3)D．(n+3)(n+4) 7．斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，，在数学上，斐波纳契数列定义为：，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据可得，所以，类比这一方法，可得 A．714B．1870C．4895D．4896 8．下面几种推理过程是演绎推理的是（） A．某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人 B．根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质 C．平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分 D．在数列中，，计算由此归纳出的通项公式 9．“所有4的倍数都是2的倍数，某数是4的倍数，故该数是2的倍数”上述推理（） A．小前提错误B．结论错误C．大前提错误D．正确 10．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1…….记作数列，若数列的前项和为，则（）

05 机械振动作业及参考答案 2015

一. 选择题: 【 D 】1 （基础训练2）一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m 的物体，如图13-15 所示。则振动系统的频率为： (A) m k 32π1． (B) m k 2π1 ． (C) m k 32π1． (D) m k 62π1．提示：劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，每份的劲度系数为变为3k ，取出其中2份并联，系统的劲度系数为6k . 【 C 】 2 （基础训练4）一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角位移为1 3 π，对应的时间为T/6. [ B ] 3、（基础训练8）图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 (A) π2 3． (B) π． (C) π2 1． (D) 0．提示：使用谐振动的矢量图示法，合振动的初始状态为初相位为π [ D ] 4、（自测提高4）质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻质弹簧串联后连接到固定端，在光滑水平轨道上作微小振动，则振动频率为： (A) m k k v 212+=π． (B) m k k v 2 121 +=π ． (C) 212121k mk k k v +=π ． (D) ) (21 212 1k k m k k v +=π ．提示：两根劲度系数分别为k1和k2的两个轻质弹簧串联后，可看成一根弹簧，其弹 A/ -图13-15

第10章振动与波动(习题与答案)

第10章振动与波动一. 基本要求 1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。 2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。 3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。 4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。 5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。 6. 理解机械波产生的条件。 7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。 8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。 9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。二. 内容提要 1. 简谐振动的动力学特征作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即 kx F -= 取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为 x t x 222d d ω-= 2. 简谐振动的运动学特征作谐振动的物体的位置坐标x 与时间t 成余弦（或正弦）函数关系，即 )cos(?+ω=t A x 由它可导出物体的振动速度 )sin(?+ωω-=t A v 物体的振动加速度 )cos(?+ωω-=t A a 2 3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即 2v ω+=2020x A 4. 周期与频率作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。周期与频率互为倒数，即 ν=1T 或 T 1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ω π=2T 或 πν=ω2

高考复习——《机械振动》典型例题复习

九、机械振动一、知识网络二、画龙点睛概念 1、机械振动 (1)平衡位置：物体振动时的中心位置，振动物体未开始振动时相对于参考系静止的位置，或沿振动方向所受合力等于零时所处的位置叫平衡位置。 (2)机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。 (3)振动特点：振动是一种往复运动，具有周期性和重复性 2、简谐运动 (1)弹簧振子：一个轻质弹簧联接一个质点，弹簧的另一端固定，就构成了一个弹簧振子。 (2)振动形成的原因 ①回复力：振动物体受到的总能使振动物体回到平衡位置，且始终指向平衡位置的力，叫回复力。振动物体的平衡位置也可说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。

②形成原因：振子离开平衡位置后，回复力的作用使振了回到平衡位置，振子的惯性使振子离开平衡位置；系统的阻力足够小。 (4)简谐运动的力学特征 ①简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动。 ②动力学特征：回复力F与位移x之间的关系为 F＝－kx 式中F为回复力，x为偏离平衡位置的位移，k是常数。简谐运动的动力学特征是判断物体是否为简谐运动的依据。 ③简谐运动的运动学特征 a＝－k m x 加速度的大小与振动物体相对平衡位置的位移成正比，方向始终与位移方向相反，总指向平衡位置。简谐运动加速度的大小和方向都在变化，是一种变加速运动。简谐运动的运动学特征也可用来判断物体是否为简谐运动。例题：试证明在竖直方向的弹簧振子做的也是简谐振运动。证明：设O为振子的平衡位置，向下方向为正方向，此时弹簧形变量为ｘ0，根据胡克定律得ｘ0＝mg/k 当振子向下偏离平衡位置ｘ时，回复力为 F＝mg－ｋ(ｘ＋ｘ0) 则Ｆ＝－kx 所以此振动为简谐运动。 3、振幅、周期和频率 ⑴振幅 ①物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。 ②定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。 ③单位：在国际单位制中，振幅的单位是米(m)。

合情推理与演绎推理习题附答案

1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( ) A ．121 B.123 C ．231 D ．211 解析：选B .法一：令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123. 法二：由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123. 2．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为( ) A ．21 B.34 C ．52 D ．55 解析：选D .因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55. 3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3， 1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( ) A ．(7，5) B.(5，7) C ．(2，10) D ．(10，2) 解析：选B .依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n （n ＋1）2 个“整数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2 ，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)． 4．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m ∶n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nb m ＋n ，用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，分别延长梯形的两腰AD 和BC 交于O 点，设△OAB ，△ODC 的面积分别为S 1，S 2，则△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是( )

微小卫星的发展

微星之光微小卫星的发展石卫平　潘坚 (中国航天信息中心) 1　定义 □□国际上对小卫星的叫法有很多,如小卫星(Sm allSat),廉价的卫星(Cheap sat),微卫星(M icroSat),超小卫星(M in iSat),纳卫星(N anoSat),皮卫星(P icoSat),等等。美国国防高级研究计划局(DA R PA)则把这些卫星统称之为轻卫星(L igh tSats),美国海军航天司令部称之为SP I N Sat’s(Sin2 gle Pu rpo se Inexpen sive Satellite Sys2 tem s——用途单一的廉价卫星系统),美国空军称之为TA CSat’s(T actical Satel2 lites——战术卫星)。实际上小卫星在航天事业的早期就有了,卫星发展最初就是从简单小卫星起步的。即使在20世纪70年代和80年代大型航天器占主导地位的时代,亦可发现小卫星的身影。从20世纪80年代中期开始,世界航天界兴起了发展小卫星的热潮。随着对小卫星认识的不断加深,人们意识到仅仅以重量作为划分小卫星的依据是不够的,必须引入“功能密度”的概念。功能密度是指卫星每千克重量所能提供的功能。例如,每千克太阳电池提供100W功率,就比每千克太阳电池提供20W功率提高了4倍功能密度。按照功能密度划分,小卫星可分为简单小卫星和现代小卫星两种。我们现在通常说的小卫星是指现代小卫星。对于小卫星的分类有许多版本,比较典型的有以下两种。美国航空航天公司(A ero sp ace)在1993年对小卫星、微卫星和纳卫星做了以下定义:小卫星是一种可用常规运载器发射的航天器,质量为10～500kg;微卫星定义为所有的系统和子系统都全面体现了微型制造技术,并可实现一种实用功能,质量为011～10kg;纳卫星是一种尺寸减小到最低限度的微卫星,其功能有赖于一种分布式星座结构来实现,质量小于011kg。不过目前更流行的卫星分类方法是英国萨瑞大学提出来的(如表1),本文将采用这种分类方法。表1　卫星的分类名　称质量(含燃料) kg 大卫星(L argeSat)>1000 中卫星(M ediSat)500～1000 超小卫星(M iniSat)100～500 微卫星(M icroSat)10～100 纳卫星(N anoSat)1～10皮卫星(P icoSat)011～1飞卫星(Fem toSat)<011 小卫星(Sm allSat)

机械振动习题及答案

机械振动一、选择题 1. 下列4种运动（忽略阻力）中哪一种是简谐运动（ C ） ()A 小球在地面上作完全弹性的上下运动 ()B 细线悬挂一小球在竖直平面上做大角度的来回摆动 ()C 浮在水里的一均匀矩形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 ()D 浮在水里的一均匀球形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动解析：A 小球不是做往复运动，故A 不是简谐振动。B 做大角度的来回摆动显然错误。D 由于球形是非线性形体，故D 错误。 2．如图1所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动。若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相位应为图一（ D ） ()0A ()2 πB

()2 π-C ()πD 解析： 3.一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻质弹簧下面，其振动周期为T 。若将此轻质弹簧分割成3等份，将一质量为2m 的物体挂在分割后的一根弹簧上，则此弹簧振子的周期为（ B ） ()63T A ()36T B ()T C 2 ()T D 6 解析：有题可知：分割后的弹簧的劲度系数变为k 3，且分割后的物体质量变为m 2。故由公式k m T π2=，可得此弹簧振子的周期为3 6T 4．两相同的轻质弹簧各系一物体（质量分别为21,m m ）做简谐运动（振幅分别为21,A A ）,问下列哪一种情况两振动周期不同（ B ） ()21m m A =，21A A =,一个在光滑水平面上振动，另一个在竖直方向上振动 ()B 212m m =，212A A =,两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()C 21m m =，212A A =，两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()D 21m m =，21A A =，一个在地球上作竖直振动，另一个在月球上作竖直振动

人教版选修3-4课后作业第十一章机械振动 11.1简谐运动 word版含解析答案

人教版选修3-4课后作业第十一章机械振动简谐运动一、选择题 1.下列说法中正确的是() A.弹簧振子的运动是简谐运动 B.简谐运动就是指弹簧振子的运动 C.简谐运动是匀变速运动 D.简谐运动是最简单、最基本的一种机械运动 2.弹簧振子做简谐运动时,下列说法中不正确的是() A.振子通过平衡位置时,加速度一定为零 B.振子做减速运动,加速度却在增大 C.振子向平衡位置运动时,加速度方向与速度方向相反 D.振子远离平衡位置运动时,加速度方向与速度方向相反 3.(多选)一弹簧振子做简谐运动,t时刻刚好经过平衡位置,则振子在t+Δt和t-Δt时刻一定相同的物理量有() A.速度 B.加速度 C.位移 D.机械能 4.(多选)如图甲所示,一弹簧振子在A、B间振动,取向右为正方向,振子经过O点时开始计时,其振动的x-t图象如图乙所示。则下列说法中正确的是()

A.t2时刻振子在A点 B.t2时刻振子在B点 C.在t1~t2时间内,振子的位移在增大 D.在t3~t4时间内,振子的位移在减小 5.如图为一质点做简谐运动的位移随时间变化的图象,由图可知,在t=4 s时刻,质点的() A.速度为零,位移为正的最大值 B.速度为零,位移为负的最大值 C.速度为正的最大值,位移为零 D.速度为负的最大值,位移为零 6.(多选)如图所示为某物体做简谐运动的图象,下列说法中正确的是() A.由P→Q位移在增大 B.由P→Q速度在增大 C.由M→N位移先减小后增大

D.由M→N位移始终减小 7.某质点做简谐运动的图象如图所示,在0.18 s到0.22 s时间内,质点的() A.速度一定为正,加速度不一定为负 B.速度一定为负,加速度一定为正 C.速度一定为负,加速度也一定为负 D.速度不一定为正,加速度一定为正 8.(多选)如图所示的弹簧振子,O点为它的平衡位置。关于振子的运动,下列说法正确的是() A.振子从A点运动到C点时位移大小为OC,方向向右 B.振子从C点运动到A点时位移大小为CA,方向向右 C.振子从A点运动到C点的过程中,速度在增大,加速度在减小 D.振子从A点运动到O点的过程中,速度先增大后减小,加速度先减小后增大 9. (多选)如图所示,一弹簧振子做简谐运动,下列说法中正确的是() A.若位移为负值,则加速度一定为正值 B.振子通过平衡位置时,速度为零,位移最大 C.振子每次通过平衡位置时,位移相同,速度也一定相同

合情推理演绎推理专题练习及答案

合情推理、演绎推理一、考点梳理：（略）二、命题预测：归纳、类比和演绎推理是高考的热点，归纳与类比推理大多数出现在填空题中，为中、抵挡题，主要考察类比、归纳推理的能力；演绎推理大多出现在解答题中，为中、高档题，在知识的交汇点出命题，考察学生的分析问题，解决问题以及逻辑推理能力。预测2012年仍然如此，重点考察逻辑推理能力。三、题型讲解： 1：与代数式有关的推理问题例1、观察()()()() ()() 223 3 2 2 44 3 223, a b a b a b a b a b a ab b a b a b a a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 例2、观察1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16= -（1+2+3+4）…猜想第n 个等式是：。练习:观察下列等式：3 321 23+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．．等式．．为。。练习：在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：由此得 … 相加，得类比上述方法，请你计算“”，其结果为 . 2：与三角函数有关的推理问题例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2020202020202020202020203 sin 30sin 90sin 150,23 sin 60sin 120sin 18023 sin 45sin 105sin 165, 23 sin 15sin 75sin 1352++= ++=++=++= 练习：观察下列等式： ① cos2α=2 cos 2 α－1； ② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2 α+1； ③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2 α－1； ④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2 α＋1； ⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2 α－1；可以推测，m －n+p= .