数学选择题的解题方法

【数学选择题的解题方法】 方法一：直接法： 有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的．这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法．一般的选择题我们都采用这种做法

【典例1】在各项均不为零的等差数列na中，若2110nnnaaa(2)n，则

214nSn（ ） Ａ．2 Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2

解析：由2110nnnaaa得2112nnnnaaaa，则2na（0舍去），

2142(21)42nSnnn．答案：A

【技巧点拨】正确掌握等差数列的基本概念，灵活运用数列的基本性质，从而使这类问题简洁而迅速地得以解决． 【典例２】已知ABC的顶点B、C在椭圆2213xy上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（ ） （A）23 （B）6 （C）43 （D）12 解析：熟练掌握圆锥曲线定义基本概念、标准方程及性质,并灵活运用解决问题 由题意知3,1,2.abc A、F为椭圆焦点，由椭圆定义可得： 2ABBFa，2ACCFaABC周长为443a 答案：C

【技巧点拨】直接法涉及数学定理，定义，法则，公式的应用问题，从题干出发，通过严密的推理、计算而最终得到正确的答案.直接法是解客观题最基础的方法，大多数客观题可以采用这种方法来求解.对某些题来说，这可能是唯一的解法.

方法二：筛选法（排除法）： 根据数学选择题的特点：一题只有唯一一个答案，利用题设的条件把不符合条件的选项逐一加以否定，最后剩下一个选项必是正确的．

【典例3】函数211(0)yxx的反函数是（ ）

A.22(0)yxxx B.22(0)yxxx C.22(2)yxxx D.22(2)yxxx 解析：根据互为反函数的两个函数的定义域和值域的关系．所求函数的值域应为,0，故排除A、C，所求函数的定义域应为原函数的值域2,，故排除D. 答案: B 【技巧点拨】本题也可以用直接法求解． 【典例4】已知2sin23A，(0,)A，则sincosAA（ ）

A.153 B．153 C．53 D．53 解析：因为2sin22sincos3AAA，所以sin,cosAA同号，故排除B、D，又sincos2sin()24AAA，故排除C． 答案：A

【技巧点拨】三角函数一般公式及三角函数值的计算，本题也可以用直接法求解．

方法三：特殊化法： 把满足题设条件的特殊值代入结论，从而作出正确选择的方法．特殊化通常指：特殊数值，特殊位置，特殊图形，特殊点，特殊函数，也包括考察极端情况或变化趋势等．常与排除法结合使用．

【典例 5】设),(22222)(1031074Nnnfn则()fn等于 （ ）

A．2(81)7n B．)18(721n C．)18(723n D．)18(724n 解析：令1n，就是一个以２为首项，公比为８的等比数列，项数为5． 答案: D 【典例6】若()fx和()gx都是定义在实数集R上的函数，且方程[()]0xfgx 有实数解，则[()]gfx 不可能是（ ）

A．215xx B. 215xx C. 215x D. 215x

解析：取()fxx，则方程[()]0xfgx即()xgx．当[()]gfx215xx，即 ()gx215xx时，方程215xxx无解． 答案：B．

【技巧点拨】选择特殊函数验证是快速、准确求解范围类选择题的有效途径． 【典例7】在三棱柱111ABCABC的侧棱1AA和1BB上各一动点,PQ满足1APBQ，过

,,PQC三点的截面把棱柱分成两部分则其体积之比为（ ）

A．3∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．5∶1 解析：将,PQ置于特殊位置：1,PAQB，此时仍满足条件1APBQ，则有

1111113CAABAABCABCABCVVV．答案：B

【技巧点拨】从题干或选项出发，通过取特殊值代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数（数列）或图形或特殊位置，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到否定一支或三支的目的，特殊法是“小题小作”的重要策略. 【典例8】已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射解等于反射角），设P4坐标为（44,0),1x2,tanx若则的取x O y x y O 2 1

13(,)

22 1yx

|2|yx

值范围是（ ） （A）)1,31( （B）)32,31( （C）)21,52( （D）)32,52( 解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tan=21，由题设条件知，1＜x4＜2，则tan≠21，排除A、B、D，故选C. 另解：（直接法）注意入射角等于反射角，„„，所以答案：C

方法四：数形结合法： 结合已知条件, 根据题目特点,借助图象或图形，再经过推理判断或必要的计算而选出正确的答案． 【典例 9】设直线过点(0,a)，其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a 的值为 ( ) A．±2 B．±2 C．±22 D．±4 解析：解法1：设直线的方程为y=x+a,此直线和圆相切，根据直线和圆的位置关系有

22211a，得a=±2

解法2：数形结合法,作出大致的图象就可以利用其几何意义 得到a的取值. 答案: B

【典例 10】对,abR，记max{,}aababbab, 那么函数()max{|1|,|2|}()fxxxxR的最小值是( ) A．0 B．12 C．32 D．3

解析：函数()max{|1|,|2|}()fxxxxR的图象如右图所示,由图象可得,其最小值为32 答案: C 【技巧点拨】本题也可以用直接法运算，但对分段函数的要求较高，并且计算量大，易出错

【典例11】在)2,0(内，使xxcossin成立的x的取值范围是（ ）

（A）)45,()2,4( （B）),4( （C）)45,4( （D）)23,45(),4(

解：（图解法）在同一直角坐标系中分别作出y＝sinx与y＝cosx的图象，便可观察选C. 另解：（直接法）由xxcossin得sin（x－4）＞0，即2 kπ＜x－4＜2kπ＋π，取k＝0即知答案：C.

方法五：验证法： 将选择支中给出的答案，代入题干逐一检验，从而确定正确答案的方法为验证法． 【典例12】已知函数()2sin(0)fxx在区间,34上的最小值是2，则的最小值等于（ ） A．23 B．32 C．2 D．3

解析：解法1：存在,34x，使得sin1(0)x2,2xkkZ 8232,,063242,0kkkZkkZ







对kZ恒成立32．

解法2：验证，取23时，()2sin(0)fxx的最小值为22sin29，当32

时，满足题意且是所给选项中的最小的 答案: B 【技巧点拨】该题实际上是有关三角函数、不等式、数列的综合问题，在学科交叉点上的知识点的衔接是否顺畅，也就意味着问题的化归能否顺利实现，该题较好地考察了考生的化归思维意识.如果方法选择恰当，会省去不少时间和运算．

方法六：推理分析法： 根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断；或通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，选出正确支． 【典例13】已知3sin5mm，42cos5mm ()2，则tan2等于（ ）

A．39mm B．39mm C．13 D．5 解析：由于受条件22sincos1的制约，故m为一确定的值，于是sin,cos的值应与m的值无关，进而推知tan的值与m无关，又2，422，∴tan12，答案: D．

方法七：代入法 将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案.

【典例14】函数y=sin(3－2x)＋sin2x的最小正周期是（ ） （A）2 （B）  （C） 2 （D） 4