北师大版数学必修二课件：1.4.1空间图形的基本关系与公理
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高中数学北师大版必修2配套课件：1.4空间图形的基本关系与公理
A在b上
D．任意两条直线不能确定一个平面 [答案] D
[解析]
由公理3得，两个不重合的平面有一个公共点，则
它们相交于过这一点的一条直线，因此有无数个公共点；若两 个平面重合，亦知也有无数个公共点，A正确；如果任意三点 共线，则四点共面，因此B正确；C满足公理3，正确；两条平
行或相交直线，可以确定一个平面，D是错误的．
[答案] ② [解析] 由已知得a与α相交，
空间点、线、面的位置关系
已知长方体 ABCD－A1B1C1D1， 如图所示， AC 与 BD 相交于点 M，则下列说法中正确的是( )
①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；
②直线AC与BD相交，直线AC与A1D1相交； ③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行； ④直线AC与平面A1B1C1D1异面； ⑤直线BC与A1B1异面．
作异面直线．
2．空间直线与平面的位置关系
无数个公共点 ，我们称这条直线在这个 (1)直线与平面有______________ 平面内；
一个公共点 ，称这条直线与这个平 (2)直线和平面只有______________
面相交． 没有公共点 ，称这条直线和这个平面平 (3) 直线和平面 ____________ 行．
要学习的内容．
1．空间两条直线的位置关系 没有公共点 ，这样的两 (1) 直线 a与b 在同一平面内，但 _____________ 条直线叫作平行直线； 只有一个公共点 ，这样的两条直线叫作相交 (2)直线a与b________________ 直线； 不同在任何一个平面内 ，这样的两条直线叫 (3)直线a与b______________________
[答案] (1)A∈a，B∈a (2)a α C∈α (3)D∉α b α
高中数学北师大版必修二课件：空间图形的基本关系与公理
理论迁移
知识点三 直线与平面的位置关系 例 3 已知下列命题：
①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α； ②若直线 a 在平面α外，则 a∥α； ③若直线 a∥直线 b，直线 b 平面α，则 a∥α； 无数条直线． 其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 ( A )
B
（2）点在平面外
记作： 点B 面线的位置关系有三种：
①平行直线：在同一个平面内，没有公共点的两条直线. ②相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线.
记作：直线a//直线b a b α
b 记作： 直线a 直线b 点O β
a O b b a
不同在任何一个平面内 ③异面直线：
l
A
a
a A B l
理论迁移
知识点二 直线与直线位置关系的判定
例 2 如图所示的正方体 ABCD－A1B1C1D1， 判断下 列直线的位置关系．
平行 ； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_______ 相交 ； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_________
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
解析
①错．因为 l 可能在平面α内．
②错．因为直线 a 在平面α外有两种情形：a∥α和 a 与α相交． ③错．因为 a 可能在平面α内． ④正确．无论 a 在平面α内或 a∥α，在α内都有无 数条直线与 a 平行．
答案
A
变式训练 4 下面命题中正确的个数是 b 的任何一个平面；
2018学年高中数学北师大版必修2课件：1.4.1 空间图形的公理公理1、2、3 精品
[基础·初探]
教材整理 1 空间图形的基本关系
阅读教材 P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题．
位置关系
图形表示 符号表示
点与线的位 点 A 不在直线 a 上
A∉a
置关系 点 B 在直线 a 上
B∈a
点与面的位 点 A 在平面 α 内
A∈α
置关系 点 B 在平面 α 外
B∉α
直线与直线 的位置关系
[构建·体系]
Hale Waihona Puke 1．下列图形中不一定是平面图形的是( )
A．三角形
B．菱形
C．梯形
D．四边相等的四边形
【解析】 四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形． 【答案】 D
2．若点 Q 在直线 b 上，b 在平面 β 内，则 Q，b，β 之间的关系可记作( )
A．Q∈b∈β
B．Q∈b β
证明点、线共面问题的理论依据是公理 1 和公理 2，常用方法有： (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用 “纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面 α，其余点、线确定另一个平面 β， 再证平面 α 与 β 重合，即用“同一法”； (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．
【精彩点拨】 先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直 线也在该平面内．或利用公理 1 的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面 α， β，然后证明 α，β 重合．
【自主解答】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线 l1，l2，l3 在同一平面内． 法一：∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2 又 l2 α，∴B∈α. 同理可证 C∈α，又 B∈l3，C∈l3，∴l3 α. ∴直线 l1，l2，l3 在同一平面内．
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 2-优质公开课-北师大必修2精品
公理等多以文字语言叙述.
(3)图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、 公理、定理的本质及相互关系，在抽象的数学思维面前起 着具体化和加深理解的作用.
【例1】依据下列数学符号语言画出图形：
(1)α∩β=l， m α ，n β ， m∥l， n∥l；
(2)α∩β=l，直线PO
α，直线PO∩直线l=O，直线
【例3】如图，空间四边形ABCD中，
E、H分别是AB、AD的中点，F、G分
CF CG 2 . 别是BC、CD上的点，且 CB CD 3
求证：三条直线EF、GH、AC交于一 点. 【审题指导】要证三条直线EF、GH、AC交于一点，可先 证直线EF与GH交于一点P，然后再证该交点P在直线AC上.
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空 间图形的公理(公理1、2、3)》课件
文字语言、图形语言、符号语 言的相互转化 文字语言、图形语言、符号语言的特点及相互关系 (1)符号语言简洁，层次感强，应用方便. (2)文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的 含义更加明白地叙述出来，因此教科书中的概念、定理、
【规范解答】(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一 个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内.因为 B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在 平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面. (2)如果B、C、D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A、B、
C、D、E五点一定共面.若A，E有且只有一个在l上，则A、
【解析】(1)α∩β=m，n∩α=A，n∩β=B，A m，B (2)α∩β=l，a α，b β，a∩l=P，b∩l=P.
m.
共面问题
1.证明共面问题的依据
第1章 §4 第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)-2020秋北师大版高中数学必修二课件(共52张PPT)
[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探
提
新
素
知
养
合
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．
课
作
时
探
分
究
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
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·
自
课
主
堂
预
三种语言的转换方法
小
习
结
·
探 新
1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形
堂
预
小
习
结
探
【例 2】 证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． 提
·
新
素
知
[思路探究] 先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外 养
合 作
一条直线也在该平面内．或利用公理 1 的推论，说明三条相交直线分
课 时
探
究 别确定两个平面 α，β，然后证明 α，β 重合．
分 层
释
作
疑
业
难
返 首 页
小 结
·
探 新
1先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平
提 素
知
养
面内，即用“纳入法”；
合
课
作 探
2先由其中一部分点、线确定一个平面 α，其余点、线确定另一 时 分
究
释 个平面 β，再证平面 α 与 β 重合，即用“同一法”；
层 作
疑
业
难
3假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.
高中数学课件-北师大版高中数学必修二1.4《空间图形的基本关系与公理》课件1 最新
∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E、F、G、H 四点共面．
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
高中数学北师大版必修二《1.4.2空间图形的公理1》课件
∴E»Q五级B1C1，
B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.
11/14/2024
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又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
• 单击此∴处QD编辑C1母F. 版文本样式
– 二级 ∴四边形DQC1F为平行四边形，
• 三级
– ∴四C级1Q DF. 又»∵B五1级E C1Q，
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E.
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单击此求异处面直编线所辑成的母角版标题样式
利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
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• 三级而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
– 四级
则F»1五M级 C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
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同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N
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• 单击此“等处角编定理辑”母的应版用文本样式
– 二级 对“等角定理”的理解
•
三级
–(四1)级本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)»作五用级：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条
边对应平行的两个角的大小关系.
B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.
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又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
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– 二级 ∴四边形DQC1F为平行四边形，
• 三级
– ∴四C级1Q DF. 又»∵B五1级E C1Q，
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E.
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• 三级而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
– 四级
则F»1五M级 C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
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– 二级 对“等角定理”的理解
•
三级
–(四1)级本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)»作五用级：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条
边对应平行的两个角的大小关系.
高中数学北师大版必修二 §4.1 空间图形基本关系的认识 课件(38张)
自学导引 1．空间点与直线的位置关系 空间点与直线的位置关系有两种： (1)如果点 P 在直线 a 上 ，记作 P∈a，如图①所示． (2)如果点 P 在直线 a 外 ，记作 P∉a，如图②所示．
2．空间点与平面的位置关系 空间点与平面的位置关系有两种： (1)如果点 P 在平面 α 内 ，记作 P∈α，如图①所示． (2)如果点 P 在平面 α 外 ，记作 P∉α，如图②所示．
8．公理 3 文字语言：如果两个不重合的平面有一个 公共点 ，那么它们 有且只有一条通过这个点的公共直线． 图形语言：如图所示． 符号语言：P∈α∩β⇒α∩β＝l 且 P∈l. 作用：它是判定两个平面是否相交的依据，是证明点共线和线 共点的依据．
名师点睛 1．三个公理的作用： 公理 1——判定直线在平面内的依据． 公理 2——判定点共面、线共面的依据． 公理 3——判定点共线、线共点的依据．
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在 任何一个 平面内，这样 的两条直线叫作异面直线，如图①②③所示．
画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的 特点，即不共面的特点，通常采用平面衬托法，以加强立体感， 常见的画法如图①②③所示．
4．空间直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系有三种： (1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 无数 个公共点，我 们称直线 a 在平面 α 内，记作 a α，如图①所示．
想一想：如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？ 提示 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关 系是元素与集合的关系；用“∈”或“∉”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的 关系，用“∈”或“∉”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的 关系，故用“ ”或“ ”表示．
北师大版高中数学必修2课件1.4空间图形基本关系的认识课件(北师大版)
图形分别如图(1)(2)(3)所示
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内； (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于 点A，且点A不在直线l上；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。
课堂小结
1.空间基本图形的关系及符号语言的描述 2.熟练用图形语言表示空间点线面之间的关系
作业
课本28页习题1-4A组4题
解：
例2 如图，在正方体 ABCD A' B'C ' D' 中，哪几条棱所在 的直线与直线BC′是异面直线？
解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，
A′D′所在的直线与直线BC′是异面
直线。
变式训练
3.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： (1)α ，B∉ α ；(2)l α ，m∩α ＝A，A∉ l；(3)P∈l，P∉ α ；Q∈l，Q∈α
北京师范大学出版社 | 必修二
第一章 · 立体几何初步
空间图形基本关系的认识
新课导入
观察：长方体模型认识空间图形基本元素。
探索新知
空间图形的基本关系
阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题。
位置关系 点A不在直线a上 点B在直线a上
图形表示
符号表示
点与线的位置关系
A∉a B∈a
点A 在平面α 内 点与面的位置关系 点B 在平面α 外 平行 直线与直线的位置关系 相交 异面
(3)直线l 在平面α 内，可以表示为“l
)
α ”( ) )
(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线 (
【答案】
(1)× (2)×
(3)√
(4)×
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内； (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于 点A，且点A不在直线l上；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。
课堂小结
1.空间基本图形的关系及符号语言的描述 2.熟练用图形语言表示空间点线面之间的关系
作业
课本28页习题1-4A组4题
解：
例2 如图，在正方体 ABCD A' B'C ' D' 中，哪几条棱所在 的直线与直线BC′是异面直线？
解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，
A′D′所在的直线与直线BC′是异面
直线。
变式训练
3.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： (1)α ，B∉ α ；(2)l α ，m∩α ＝A，A∉ l；(3)P∈l，P∉ α ；Q∈l，Q∈α
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第一章 · 立体几何初步
空间图形基本关系的认识
新课导入
观察：长方体模型认识空间图形基本元素。
探索新知
空间图形的基本关系
阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题。
位置关系 点A不在直线a上 点B在直线a上
图形表示
符号表示
点与线的位置关系
A∉a B∈a
点A 在平面α 内 点与面的位置关系 点B 在平面α 外 平行 直线与直线的位置关系 相交 异面
(3)直线l 在平面α 内，可以表示为“l
)
α ”( ) )
(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线 (
【答案】
(1)× (2)×
(3)√
(4)×