最优化方法,分解
最优化理论与方法
最优化理论与方法什么是最优化？最优化是一种以最佳结果为目标的技术。
它的主要任务是寻找最佳的解决方案，以最小的代价来实现目标。
本文将从定义、方法、应用等几个方面来探讨最优化理论与方法。
一、简介最优化是一种研究变量空间中满足限制条件下实现最大和最小化的解决问题的科学。
它是一种数学理论，用于求解多变量最优化问题的数学模型，包括线性规划、非线性规划、动态规划等。
它的思想是：希望能够将一个复杂的解决问题分解成若干简单的子问题，以便更好地求解。
最优化理论是一种科学，它涉及到多重条件下的变量求值，以实现最大化或最小化某个系统的特定性能或目标。
最优化理论可以应用于各种工程领域，如机械、航空、船舶、结构、动力、电力能源、汽车等。
二、原理最优化方法基于一组影响结果的变量，以及它们的限制条件。
主要的最优化方法可以分为精确法和近似法。
精确法求解非线性规划问题，其最终结果非常精确，但求解它的计算代价更高。
而近似法的最终结果仅大致最优，但求解计算代价较低，广泛用于工程优化设计。
最优化方法解决的问题可以分为有约束和无约束两大类。
有约束优化问题指系统内各变量受到某些限制条件的制约。
而无约束优化问题不需要考虑任何限制条件，只要达到优化目标即可。
三、应用最优化方法在工程和科学领域中有着广泛的应用，并且日益增多。
在机械设计领域，可以采用最优化方法优化设计结构的参数和性能，以更好地满足设计要求；在空间控制领域，可以采用最优化方法优化机械系统的控制参数；在机器人规划领域，可以采用最优化方法解决运动规划问题；在多异构系统优化设计领域，可以采用最优化方法综合优化系统的性能等。
最优化的应用不仅仅限于以上领域，还广泛应用于其他领域，如计算机图形学、信号处理、投资组合管理、生物学、医学、金融、科学计算等。
四、结论最优化理论与方法是一种研究变量空间中满足限制条件下实现最大和最小化的解决问题的科学，它的主要目标是寻找最佳的解决方案，以最小的代价来实现目标。
最优化方法讲稿
最优化方法讲稿一、啥是最优化方法呀。
同学们！今天咱来唠唠这最优化方法。
简单来说呢，最优化方法就是在给定的条件下，找到最好的方案或者结果的一套方法。
比如说，你要规划一次旅行，你得考虑时间、费用、想去的景点这些条件，然后找出一个最让你满意的旅行计划，这就是在运用最优化方法啦。
再举个例子哈，工厂生产产品，要考虑成本、产量、质量等各种因素，通过最优化方法，就能找到一种生产方式，既能保证产品质量，又能降低成本，还能提高产量，是不是很厉害呀？二、最优化方法的常见类型。
1. 线性规划。
这个线性规划呢，就是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或者最小值。
比如说，一家工厂生产两种产品，每种产品需要不同的原材料和工时，而原材料和工时都是有限的，那怎么安排生产，才能让利润最大呢？这时候就可以用线性规划来解决啦。
它就像是给你画了一个范围，然后在这个范围内找那个最优的点。
2. 非线性规划。
和线性规划不同哈，非线性规划的目标函数或者约束条件里至少有一个是非线性的。
现实生活中很多问题都是非线性的哦。
比如说，设计一个汽车的外形，要考虑空气动力学、美观度等多种因素，这些因素之间的关系往往是非线性的，这时候就需要非线性规划来帮忙找最优解啦。
3. 动态规划。
动态规划就像是走楼梯，一步一步来，把一个大问题分解成一个个小问题，然后依次解决这些小问题，最后得到大问题的最优解。
比如说，计算斐波那契数列，用动态规划的方法就可以避免重复计算，提高效率。
在资源分配、生产计划等很多领域都能用到动态规划哦。
三、最优化方法的求解步骤。
一般来说哈，用最优化方法解决问题有这么几个步骤。
第一步呢，就是要明确问题，确定目标函数和约束条件。
比如说，你要做一个投资计划，目标函数可能就是收益最大化，约束条件可能包括你的资金量、投资风险承受能力等。
第二步呀，要选择合适的最优化方法。
这得根据问题的特点来选，像刚才说的线性问题就选线性规划，非线性问题就选非线性规划。
基于分解的多目标优化算法
基于分解的多目标优化算法多目标优化问题（MOP）的目标函数有两个或两个以上，其解通常是一组Pareto最优解。
采用传统的优化算法处理多目标优化问题时不能达到令人满意的效果。
文字研究基于分解的多目标进化算法（MOEA/D），该算法将一个多目标优化问题分解为一组单目标优化问题并对它们同时优化，通过利用与每一个子问题相邻的子问题的优化信息来优化它本身，比其他同类的优化算法具有更低的计算复杂度。
在0—1背包问题和连续的多目标优化问题上，利用一些简单的分解方法本算法就可以比MOGLS和NSGA-Ⅱ表现得更加出色或者表现相近，未来该算法具有较大的发展空间。
一、多目标优化问题溯源多目标优化问题首先由法国经济学家V.Pareto在研究经济平衡时提出，并且引进和推广了Pareto最优解。
多目标优化问题中的每个目标称为子目标。
各个子目标之间的相互影响和作用，使得对多目标优化时不仅仅是满足每个子目标的最优化条件，而且要满足子目标间相互关系的约束条件。
因为子目标间的关系也就是子目标约束条件往往是复杂的，有时甚至是相互矛盾的，所以多目标优化问题实质上是处理这种不确定的子目标约束条件。
Pareto最优解，也就是说找不到比这个更好的解了，使得至少有一个目标函数有提升。
也即找不到一个解使得每一个目标函数都比它更不糟糕的解。
而弱Pareto最优解是指不存在一个点使得每一个目标函数相对于现在这个点都有提升，即找不到一个解使得每个目标函数值都比它好。
所谓的目标优化问题，一般就是指通过一定的优化算法获得目标函数的最优化解。
当优化的目标函数为一个时称之为单目标优化，当优化的目标函数有两个或两个以上时称为多目标优化。
不同于单目标优化的解为有限解，多目标优化的解通常是一组均衡解。
显而易见，多目标优化问题比单目标优化问题更接近工程实践，同时更加复杂。
很多工程实践中的优化问题最后都可以转化为多目标优化问题，因此，对多目标优化问题的深入研究对于实践应用更具价值。
最优化理论与方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton Newton’’s s method method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
收敛。
牛顿法的几何解释：牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：x-d gk k×Gg sks×GGd 101x x x -（1）令k k G v I k G -=+，其中：，其中：0k v =，如果k G 正定；0,k v >否则。
否则。
（2）计算_k G 的Cholesky 分解，_T k k k k G L D L =。
（3）解_k k G d g =-得k d 。
（4）令1k k k x x d +=+牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算()()'k k f x f x 及，计算量较大且有时()'k fx 计算较困难，二是初始近似值0x 只在根*x附近才能保证收敛，如0x 给的不合适可能不收敛。
最优化 分裂法
最优化分裂法最优化分裂法最优化问题是一类重要的问题，其目标是在给定的约束条件下，找到一个能够使目标函数达到最大或最小值的决策变量。
分裂法是一种常用的求解最优化问题的方法，它将原问题分解成若干个子问题，然后通过求解子问题来得到原问题的解。
本文将详细介绍最优化分裂法。
一、基本概念1. 最优化问题最优化问题是指在给定的约束条件下，求解一个能够使目标函数达到最大或最小值的决策变量。
它可以用数学形式表示为：$$\begin{aligned}&\max_{x} f(x)\\&s.t.\ g_i(x) \leq 0,\ i=1,2,...,m\\&h_j(x) = 0,\ j=1,2,...,n\end{aligned}$$其中，$x$ 是决策变量向量，$f(x)$ 是目标函数，$g_i(x)$ 和$h_j(x)$ 是约束条件。
2. 分裂法分裂法是一种求解最优化问题的方法。
它将原问题分解成若干个子问题，并通过求解子问题来得到原问题的解。
具体来说，在每次迭代中，分裂法将原始区域划分为若干个互不重叠的子区域，然后在每个子区域内求解一个局部最优解，最后将所有局部最优解合并起来得到原问题的解。
二、分裂法的基本思想分裂法的基本思想是将原问题分解成若干个子问题，并通过求解子问题来得到原问题的解。
具体来说，分裂法将原始区域划分为若干个互不重叠的子区域，然后在每个子区域内求解一个局部最优解，最后将所有局部最优解合并起来得到原问题的解。
三、分裂法的步骤分裂法的具体步骤如下：1. 初始区间首先需要确定初始区间 $[a,b]$。
这可以通过一些启发式方法或者根据经验来选择。
2. 区间划分将初始区间 $[a,b]$ 划分成若干个互不重叠的子区间$[a_1,b_1],[a_2,b_2],...,[a_k,b_k]$。
这可以通过一些启发式方法或者根据经验来选择。
3. 子问题求解在每个子区间 $[a_i,b_i]$ 内求解一个局部最优解。
最优控制与最优化问题中的动态规划方法
最优控制与最优化问题中的动态规划方法动态规划方法是一种在最优控制和最优化问题中常用的方法。
它通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
本文将介绍动态规划方法的基本原理和应用，以及其在最优控制和最优化问题中的具体应用案例。
一、动态规划方法的基本原理动态规划方法的基本原理是将原问题分解为若干个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
具体来说，动态规划方法有以下几个基本步骤：1. 定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。
2. 确定状态转移方程：根据问题的特点和约束条件，确定状态之间的转移关系。
3. 确定边界条件：确定问题的边界条件，即最简单的情况下的解。
4. 递推求解：利用状态转移方程和边界条件，递推求解问题的最优解。
二、动态规划方法在最优控制中的应用动态规划方法在最优控制中有广泛的应用。
最优控制问题的目标是找到一种控制策略，使得系统在给定的约束条件下达到最优性能。
动态规划方法可以用来求解最优控制问题的控制策略。
以倒立摆控制为例，倒立摆是一种常见的控制系统，其目标是使摆杆保持竖直位置。
动态规划方法可以将倒立摆控制问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的控制动作。
通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个控制过程的最优策略。
三、动态规划方法在最优化问题中的应用动态规划方法在最优化问题中也有广泛的应用。
最优化问题的目标是找到一组变量的最优取值，使得目标函数达到最小或最大值。
动态规划方法可以用来求解最优化问题的最优解。
以旅行商问题为例，旅行商问题是一个经典的最优化问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商能够经过所有城市并且总路程最短。
动态规划方法可以将旅行商问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的下一个城市。
通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个旅行路径的最优解。
四、动态规划方法的优缺点动态规划方法有以下几个优点：1. 可以求解复杂的最优控制和最优化问题，具有较高的求解效率。
五种最优化方法范文
五种最优化方法范文最优化方法是指为了在给定的条件和约束下，找到一个最优解或者接近最优解的问题求解方法。
这些方法可以用于解决各种实际问题，例如优化生产计划、项目管理、机器学习、数据分析等。
下面将介绍五种常见的最优化方法。
1. 线性规划（Linear Programming）：线性规划是一种数学优化技术，用于解决线性目标函数和线性约束条件下的问题。
线性规划方法可以用于优化生产计划、资源分配、供应链管理等问题。
它的基本思想是将问题转化为一个线性目标函数和线性约束条件的标准形式，然后使用线性规划算法求解最优解。
2. 非线性规划（Nonlinear Programming）：与线性规划不同，非线性规划处理非线性目标函数和约束条件。
非线性规划方法适用于一些复杂的问题，例如优化机器学习模型、最优化投资组合配置等。
非线性规划方法通常使用梯度下降、牛顿法等迭代算法来逐步优化目标函数，找到最优解。
3. 整数规划（Integer Programming）：整数规划是一种数学优化技术，用于求解在决策变量为整数的情况下的优化问题。
整数规划方法通常用于优化工程排程、选址和布局问题等。
整数规划在求解时需要考虑变量取值范围的整数要求，使用分支定界、割平面等方法求解，保证最优解是整数。
4. 动态规划（Dynamic Programming）：动态规划是一种将复杂问题分解为一系列子问题来求解的最优化方法。
它通常用于处理具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，例如最优路径问题、背包问题等。
动态规划方法通过记忆化或者状态转移的方式来求解最优解，可以有效避免重复计算，提高求解效率。
5. 元启发式算法（Metaheuristic Algorithm）：元启发式算法是一类基于启发式的最优化方法。
与传统的优化方法不同，元启发式算法通常不需要依赖目标函数的导数信息，适用于处理复杂问题和无法建立数学模型的情况。
常见的元启发式算法包括遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等，它们通过模拟自然界中的生物群体行为来最优解。
离散最佳化
离散最佳化离散最优化是一种数学方法，用于解决离散决策问题。
在离散最优化中，我们需要在给定的约束条件下，找到最优的决策方案。
离散最优化可以应用于各种领域，如物流规划、资源分配、网络设计等。
离散最优化的目标是寻找最优解，即使得目标函数取得最大或最小值的解。
在实际应用中，目标函数往往与一些变量相关，我们需要通过调整这些变量的取值来使目标函数达到最优值。
离散最优化的难点在于，变量的取值只能是离散的，而不是连续的。
这就要求我们通过合理的搜索算法来找到最优解。
离散最优化的方法有很多种，其中一种常用的方法是穷举法。
穷举法通过枚举所有可能的解，并计算每个解的目标函数值，然后找到最优解。
然而，穷举法的计算量往往非常大，特别是当问题规模较大时。
因此，我们需要寻找更加高效的算法来解决离散最优化问题。
另一种常用的方法是动态规划。
动态规划是一种将问题分解为子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
动态规划算法通常需要建立一个状态转移方程，通过递推关系来计算最优解。
动态规划算法的优点是可以避免重复计算，提高计算效率。
除了穷举法和动态规划，离散最优化还可以使用贪心算法、分支定界法、遗传算法等等。
每种方法都有其适用的场景和特点，我们需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
离散最优化的应用非常广泛。
在物流规划中，我们需要在给定的仓库、配送中心、客户之间，找到最优的路径和配送方案，以降低物流成本。
在资源分配中，我们需要合理地分配有限的资源，以最大限度地满足需求。
在网络设计中，我们需要设计一个高效的网络拓扑结构，以提高网络的传输速度和稳定性。
离散最优化在实际应用中面临一些挑战。
首先，离散最优化问题往往具有多个约束条件和目标函数，需要考虑多个因素的权衡。
其次，离散最优化问题的解空间往往非常大，需要通过高效的搜索算法来找到最优解。
此外，离散最优化问题的求解往往需要考虑实际的约束和限制，如资源的有限性、时效性等。
在实际应用中，离散最优化可以帮助我们做出更加科学和合理的决策。
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最优化方法结课作业年级数学121班学号201200144209 姓名李强1、几种方法比较无约束优化：不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解目标函数的最小值。
这是因为实际应用中，许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值。
（直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，单纯型法等。
间接法：又称解析法，是应用数学极值理论的解析方法。
首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造何种算法，从而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。
）在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。
根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。
一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。
一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。
由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。
在多变量函数的最优化中,迭代格式Xk+1=Xk+akdk其关键就是构造搜索方向dk和步长因子ak设Φ(a)=f(xk+adk)这样从凡出发,沿搜索方向dk,确定步长因子ak,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a 的一维搜索问题。
其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间，然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进行搜索求解。
一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。
如果求得ak使目标函数沿方向dk达到极小,即使得f (xk+akdk)=min f (xk+ adk) ( a>0)则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,ak叫最优步长因子;如果选取ak使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (xk)一f (xk+akdk)>0是用户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维搜索。
由于在实际计算中,一般做不到精确的一维搜索,实际上也没有必要做到这一点,因为精确的一维搜索需要付出较高的代价,而对加速收敛作用不大,因此花费计算量较少的不精确一维搜索方法受到了广泛的重视和欢迎。
精确一维搜索,作为一种理想的状态,虽然在实际计算中被采用的概率较之不精确一维搜索要小,但有关精确一维搜索技术的研究历史悠久成果相当丰富,方法众多,其理论体系也相对比较完备,对其进行进一步的研究仍有着重要的理论意义和现实意义。
通常我们根据算法中有无使用导数的情况,将精确一维搜索算法分为两大类:一类是不用函数导数的方法,这其中就包括二分法(又称作对分法或中点法)、0.618法(黄金分割脚、Fibonacci法(分数法)、割线法、成功一失败法等;另一类是使用函数导数的方法,包括经典的Newton法、抛物线法以及各种插值类方法等。
（1）在不用导数的方法中,二分法、0.618法(黄金分割法)以及Fibonacci法均是分割方法,其基本思想就是通过取试探点和进行函数值比较,使包含极小点的搜索区间不断缩短,当区间长度缩短到一定程度时,区间上各点的函数值均接近函数的极小值,从而各点均可看作极小点的近似。
分割类方法仅需计算函数值,因此使用的范围较广,尤其适用于非光滑及导数表达式复杂或写不出等情形。
二分法是一种最简单的分割方法,每次迭代都将搜索区间缩短一半,故二分法的收敛速度是线性的,收敛比为0.5,收敛速度较慢。
其优势就是每一步迭代的计算量都相对较小,程序简单,而且总能收敛到一个局部极小点。
黄金分割法是一种针对目标函数是单峰函数亦即目标函数为凸的情形的分割类方法,因其不要求函数可微,且每次迭代只需计算一个函数值,程序简单容易实现而被广泛采用。
由于黄金分割法是以等比例τ=0.618分割缩小区间的,因此它是一种近似最优方法。
针对在实际中遇到的目标函数往往不是单峰函数的情况,HPonfiger(1976)提出了.0618法的改进形式,即在缩小区间时,不只是比较两个内点处的函数值,而是对两内点及其两端点处的函数值进行综合比较,以避免搜索得到的函数值反而比初始区间端点处的函数值大的情况。
经过这样的修改,算法比.0618法要更加可靠。
Fibonacci法是另一种与.0618法相类似的分割类方法,两者的主要区别在于Fibonacci法搜索区间的缩短比率不是采用黄金分割数τ,而是采用Fibonacci数列。
在使用Fibonacci法时,通常是由用户给定最终区间长度的上限,从而确定探索点的个数,逐步进行搜索。
通过对Fibonacci数列进行分析表明,在迭代次数n趋于无穷的情形。
Fibonacci法与.0618法的区间缩短率相同,因而Fibonacci法的收敛速度也是线性的,收敛比也是黄金分割数τ。
可以证明,Fibonacci法是分割方法求解一维极小化问题的最优策略,而0.618法只是近似最优的,但因0.618法不必预先知道探索点的个数,程序实现更加容易,因而应用也更加广泛。
抛物线法也可称作三点二次插值法,其基本思想与下面要叙述的牛顿法相同,也是用二次函数近似目标函数,并以其极小点去近似目标函数的极小点,不同之处是牛顿法是利用目标函数fx()在x0处的二阶Tyalor展式来逼近f(x),而抛物线法则是利用目标函数fx()在三个点x0,xl,xZ处的函数值构造一个二次函数作为其近似。
一般地,抛物线法并不能保证算法一定收敛,在迭代过程中有可能会出现相邻迭代点xk，xk+1充分接近且xk+1并非函数近似极小点的退化情况。
但在己知迭代点列收敛到目标函数极小点的情况,可以证明:在一定的条件下,抛物线法是超线性收敛的,收敛的阶约为1.3。
割线法与分割法类似,也是通过取试探点和进行函数值比较,使包含所求点的搜索区间缩小,但试探点的取法与分割法不同,它是选取连接两个端点的线段与横轴的交点作为试探点。
割线法不能保证每次都使搜索区间缩小一定的比例,因而不具有全局线性收敛性,但是它却利用了函数的一些性质。
在函数接近线性时,它是非常快的。
如果函数本身是线性函数时,它可以一步找到解。
(ii)一般地,使用导数的方法通常包括牛顿法、插值法等,其中插值法又有一点二次插值法(牛顿法)、二点二次插值法)、三点二次插值法以及三次插值法、有理插植法等常用方法。
求一维无约束极小化问题的牛顿法是从计算方法中方程求根的牛顿法演化而来的,其基本思想是用目标函数f (x)在己知点x0处的二阶Tylor展式g (x)来近似代替目标函数,用g (x)的极小点作为f (x)的近似极小点,迭代公式是牛顿法的优点是收敛速度快,具有局部二阶收敛速度;缺点是要在每个迭代点处计算函数的二阶导数值,增加了每次迭代的工作量,而且它要求迭代初始点要选的好,也就是说初始点不能离极小值太远,在极小点未知的情况下,做到这一点是很困难的,这就限制了算法的应用范围,导致算法不实用。
事实上,牛顿法也是插值类方法的一种。
插值法是一类重要的一维搜索方法,其基本思想是在搜索区间内不断用低次(通常不超过三次)多项式来逼近目标函数,并用插值多项式的极小点去近似目标函数的极小点。
实践表明,在目标函数具有较好的解析性质时,插值方法比直接方法(如.0618或Fibonacci法)效果更好。
所谓不精确一维搜索方法是指应用各种可接受的步长选择律的线性搜索方法。
常用的不精确一维搜索算法包括利用简单准则的后退方法、经典的Armijo-Goldstein方法、Wolfe-Powell 方法和强Wolfe-Powell方法、以及其后发展起来的利用Curry-Altman步长律、改进的Curry-Altman步长律、Danilin-Pshenichuyi步长律、De Leone-Grippo步长律、Backtracking步长律等的各种方法坐标轮换法：可靠性较高，算法效率太低，操作方便，一般只用于低维问题，n<10 鲍威尔法：可靠性高，算法效率较高，操作较复杂，一般适用于n<10~20的问题梯度法：可靠性较高，算法效率低，操作方便用于低维、低精度的问题。
牛顿法：可靠性低，算法效率高，操作不方便，很少用。
变尺度法：可靠性高(BFGS比DFP更高)，算法效率高,使用较复杂,适用于高维问题2、牛顿法如前面所提到的，最速下降法在最初几步迭代中函数值下降很快外，总的说来下降的并不快，且愈接近极值点下降的愈慢。
因此，应寻找使目标函数下降更快的方法。
牛顿法就是一种收敛很快的方法，其基本思路是利用二次曲线来逐点近似原目标函数，以二次曲线的极小值点来近似原目标函数的极小值点并逐渐逼近改点。
一维目标函数()f x 在()k x 点逼近用的二次曲线（即泰勒二次多项式）为()()()()()()21()()()()()()2k k k k k k x f x f x x x f x x x ϕ'''=+-+- 此二次函数的极小点可由()()0k xϕ'=求得。
对于n 维问题，n 为目标函数()f X 在()k X点逼近用的二次曲线为：()()()()()2()()1()()().[][].().[]2k k k k k T k k X f x f X X X X X f X X X ϕ⎡⎤=+∇-+-∇-⎣⎦令式中的Hessian 2()()()()k k f XH X ∇=，则上式可改写为：()()()()()()()1()()().[][].().[]2()k k k k k T k k X f x f X X X X X H X X X f X ϕ⎡⎤=+∇-+--⎣⎦≈当()0X ϕ∇=时可求得二次曲线()X ϕ的极值点，且当且仅当改点处的Hessian 矩阵为正定时有极小值点。
由上式得：()()()()()()[]k k k X f X H X X X ϕ∇=∇+-令()0X ϕ∇=，则()()()()()[]0k k k f X H X X X ∇+-=若()()k H X为可逆矩阵，将上式等号两边左乘1()()k H X -⎡⎤⎣⎦，则得1()()()()()[]0k k k n H X f X I X X -⎡⎤∇+-=⎣⎦整理后得1()()()()()k k k X XH X f X -⎡⎤=-∇⎣⎦当目标函数()f X 是二次函数时，牛顿法变得极为简单、有效，这时()()k H X 是一个常数矩阵，式()()()()()()()1()()().[][].().[]2()k k k k k T k k X f x f X X X X X H X X X f X ϕ⎡⎤=+∇-+--⎣⎦≈变成精确表达式，而利用式1()()()()()k k k X X H X f X -⎡⎤=-∇⎣⎦作一次迭代计算所得的X 就是最优点*X 。