函数y=Asin(ωx+φ)的图象
5π 3
-π
π
2π
x
-1
y sin x
向右平移
3
个单位
y sin( x
3
)
纵坐标不变
y
y s in ( x
3
π 3
1
)
o
-1
2π 3
y sin x
5π 3
-π
π
2π
x
思考：
函数 y sin( x 之间的关系。
3
) 与 y sin x 两个图象
向右平移
y sin ( x )
1
倍
y sin( x )
纵坐标不变
归纳：
y sin x
沿x轴平行移动||个单位
y sin( x )
y sin ( x )
所有点的横坐标变为原来的
1
先平移后伸缩
练习
y sin x
y sin ( x
3
)
1.5 函数 y=Asin(x+) 的图象
回顾“五点法”作函数 y=sinx 简图， 其中“五点”是指什么？
(0, 0), (
2
,1), ( , 0), (
3 2
, 1), (2 , 0)
下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象
y A sin ( x )
平移 个单位长度
y sin( x )
纵坐标不变
探索（二）：
( 0 ) 对 函 数 y sin ( x )图 象 的 影 响 。
函 数 y s in ( x
3
)图 象 s in ( 2 x
在同一直角坐标系中画出函数 y
3
)
图象，并找出两个图象之间的关系。
y
6 4 2
y
6
4 2
o
-2 -4 -6
2
4
6
8
x
o
-2 -4 -6
0.01
0.02
0.03
0.04
x
从解析式看 y= sinx就是函数y=Asin(ω x+) A=1，ω=1，=0的特殊情况。
参数、ω 、A对y=Asin(ω x+)的
图象有怎样的影响？
，ω（ω>0）
探索（一）:
对 函 数 y sin ( x )的 图 象 的 影 响 。
y sin ( 2 x
3
)
2、(口答)由正弦曲线怎样得到下列函数图象： 1 (1) y s in x 2
( 2 ) y s in 3 x (3 ) y s in ( x 2 5 (3 ) y s in (3 x ) )
2
根据正弦函数图象作出第（4）函数图象
C
y sin ( x
y
1
3
原来的
1 2
倍
)
y sin ( 2 x
3
)
纵坐标不变
2π 3
5π 3
-12 x y 3s in ( ) 3
π
o
π
y s in ( x
3
2π
)
x
思考：
函数 y sin ( x
)与 y s in (
1 2
x
3
)
3 两个图象之间的关系。
x
2x
s in ( 2 x
6
12
2
3
7 12
3 2
5 6
3
3
0
)
20Biblioteka 1010
y
1
2π 3
5π 3
π 3
o
-1
π
2π
x
y sin ( x
y
1
3
)
y sin ( 2 x
3
)
2π 3
5π 3
-12 x y 3s in ( ) 3
π
)
作业： P55，1、(4) P57,1(1)(2)(3)
所有点的横坐标伸长
y sin ( x
3
到 原 来 的 2倍
)
y sin (
1 2
x
3
)
纵坐标不变
思考：
如何从函数y=sin(x+)的图象出发，经过图
象变换得到函数 y sin ( x ) 的图象？
伸缩变换
伸 长 (0 1) 或 者 缩 短 （ 1） 到 原 来 的
3
个单位
y sin( x
y sin x
y
3
)
纵坐标不变
4π 3
1
7π 3
o
-1
π 3
π
2π
x
y sin ( x
3
)
归纳：
如何从函数y=sinx的图象出发，经过图象 变换得到函数y=sin(x+)的图象？
平移变换
向 左 ( 0 ) 或 者 向 右 （ 0）
y sin x
o
π
y s in ( x
3
2π
)
x
(1)
2 3
7 6
3 2
5 3
2
x
x
3
3
6
0
3 )
2
y sin ( x
0
1
0
1
0
(2)
x
2x
6
12
2
3
7 12
3 2
5 6
2
3
3
0
) 0
y s in ( 2 x
1
0
1
0
所有点的横坐标缩短到
3
在同一坐标系中画出函数 y s in ( x
y sin x
)
与
的图象，并找出两个图象的关系。
列表
x
x
2 3
7 6
3 2
5 3
3
3
0
3 )
6
2
2
y sin ( x
0
1
0
1
0
描点连线
y
y s in ( x
3
1
)
π 3
y sin x
o
2π 3
A
归纳：
y sin x
沿x轴平行移动||个单位
y sin( x )
y sin ( x )
所有点的横坐标变为原来的
1
先平移后伸缩（在x轴上）
发散思维：先伸缩后平移
所有点的横坐标变为原来的
1 2
y sin x
3
y sin 2 x
y s in ( 2 x
合集下载
函数y=Asin(ωx+φ)图像(北师大版)
法一：
y sin x
22
图像上各点纵坐标
缩短为本来的一半
y
1 2
sin
图像上各点横坐标
x
y
伸长为本来的2倍
1 2
sin
1 2
x
法二：
图像上各点横坐标
y sin x
伸长为本来的2倍
y
sin
1 2
x
图像上各点纵坐标 缩短为本来的一半
y
1 sin 2
1 2
x
y
1
O
2
3
4
x
1
例4 作函数y sin(2x ) 及y sin(2x )的图像。
最小值为-A.
A叫振幅，这种 变换叫振幅变换
思考：函数y f (x)与函数y Af (x)的图像有何关系？
练习：作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
(1)
y
3 2
sin
x
(2)
y
1 3
sin
x
例2 作函数y sin(x ) 及y sin(x )的图像。
3
4
x
5
34 64
43
移|φ|个单位而得到的。
相位变换, φ叫初
相, x+φ叫相位
思考：函数y f (x）与y f (x b)的图像有何关系？
课堂练习
1、为得到ｙ＝４sin(2x+ )，x∈ R，的
图像，只需将函数ｙ＝2s3in(2x+ )，
3
x∈ R的图像上所有点( C ) (A)横坐标变为本来的２倍，纵坐标不变
3 (3) y 1 sin 1 x
22
(3) y 1 sin 1 x的图像与y sin x的图像的关系：
y=asin(ωxφ)的图象变换PPT课件
则
由
韦
达
定
理：xx11
x2
x2
4k 4(ak
b),
又 过S、R点的切线方程分别为：
4 y 2 x1 x x12 ,4 y 2 x2 x x22 ,
联立
并
解 之 得
x y
x1 x2 k
22
1 4
x1 x2
ak
(k为 常 数) b
消 去k, 得 : ax 2 y 2b 0,
c)2
a 2b2 .
即(b2
a4 b2
)x2
2
a4 b2
cx
(
a4c b2
2
a2b2 )
0,
x1
x2
(
a4c b2
2
a2b2 )
b2
a4 b2
0,
b4 a4.
即b2 a2 , c2 a2 a2 .
e2 2. 即e 2.
[例3] 已 知 点H (0,3),点P在x轴 上,点Q
在y轴 正 半 轴 上,点M在 直 线PQ上, 且 满 足
进y=而A得sin到0（五ω个x关+φ键）2点大作致出图函像数的方法，32
2
是作此类函数图像的主要方法.
78《圆锥曲线背景下的 最值与定值问题》
【考点搜索】
1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从 两个途径思考，一是建立函数，用求值 域的方法求范围；二是建立不等式，通 过解不等式求范围.
2. 注意利用某些代数式故B点 在 直 线2ax y b 0上.
[例4] 设 双 曲 线x2 y2 1上 两 点A、B, AB
2 中点M (1,2).
(1) 求直线AB的方程; (2) 如果线段AB的垂直平分线与双曲 线 交 于C、D两 点, 那 么A、B、C、D是 否 共 圆, 为 什 么 ？
5.6 第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换(课件)
第一步：列表.
ωx＋φ 0
π 2
π
3π 2
x
－ωφ 2πω－ωφ
ωπ －ωφ
23ωπ －ωφ
f(x)
0
A
0
－A
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
2π 2ωπ－ωφ
0
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
[跟踪训练 1] 作出函数 y＝ 2sin2x－π4在 x∈π8， 34π上的图象． 解 令 X＝2x－π4，列表如下：
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第五章 三角函数
探究三 三角函数图象的伸缩变换 如何由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝12sin 2x 的图象？
解 方法一：y＝sin x横坐标变为―原―来的→12纵坐标不变 y＝sin 2x纵坐标变为―原―来的→12横坐标不变y＝12sin 2x. 方法二：y＝sin x纵坐标变为―原―来的→12横坐标不变y＝12sin x横坐标变为―原―来的→21纵坐标不变y＝12sin 2x.
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第五章 三角函数
[微体验] 把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得到________的图象． 答案 y＝6sin32x
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
课堂互动探究
探究一 “五点法”作函数图象及相关问题
的关系．
作出函数 y＝3sin2x＋π3，x∈R 的简图，并说明它与 y＝sin x 的图象之间
第五章 三角函数
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
第五章 三角函数
函数y=Asin(ωx φ)的图像(第二课时)课件-2022-2023学年高一上学期数学必修第一册
2
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y Asin(x )图像与性质的应用
4.对称性：利用函数y=sinx的对称中心为（k，0）， k Z，函数y=sinx的对称轴为x= k(k Z)，
2 （1）令x =k，k Z，解得x的解为函数
y A sin(x )对称中心的横坐标； （2）令x = k（k Z）解得x的解为函数
y
1 2
sin
x
图象上各点横坐标 伸长为原来的2倍
y 1 sin 1 x 22
1 y 1 sin x 2
2
3
4
O
x
y 1 sin 1 x
1
y sin x
22
法二：
图象上各点横坐标
y sin x 伸长为原来的2倍
y sin 1 x 图象上各点纵坐标 2 缩短为原来的一半
y 1 sin 1 x 22
2
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y A sin(x )图像与性质的应用
2.周期：正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻
两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与 对称轴之间的距离是 1 个周期．
4 3.奇偶性：若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
（1）当=k（k Z)时， 函数y A sin(x )= A sin x为奇函数；
A 如图所示，则( )
A.y＝2sin 2x－π6
B.y＝2sin 2x－π3
x＋π C.y＝2sin 6
x＋π D.y＝2sin 3
以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的最高点)为ωx＋φ＝ ；
2
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y Asin(x )图像与性质的应用
4.对称性：利用函数y=sinx的对称中心为（k，0）， k Z，函数y=sinx的对称轴为x= k(k Z)，
2 （1）令x =k，k Z，解得x的解为函数
y A sin(x )对称中心的横坐标； （2）令x = k（k Z）解得x的解为函数
y
1 2
sin
x
图象上各点横坐标 伸长为原来的2倍
y 1 sin 1 x 22
1 y 1 sin x 2
2
3
4
O
x
y 1 sin 1 x
1
y sin x
22
法二：
图象上各点横坐标
y sin x 伸长为原来的2倍
y sin 1 x 图象上各点纵坐标 2 缩短为原来的一半
y 1 sin 1 x 22
2
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y A sin(x )图像与性质的应用
2.周期：正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻
两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与 对称轴之间的距离是 1 个周期．
4 3.奇偶性：若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
（1）当=k（k Z)时， 函数y A sin(x )= A sin x为奇函数；
A 如图所示，则( )
A.y＝2sin 2x－π6
B.y＝2sin 2x－π3
x＋π C.y＝2sin 6
x＋π D.y＝2sin 3
以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的最高点)为ωx＋φ＝ ；
2
正弦型函数y=A sin(ωx+φ)的图像 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
y
2
1
0
π
2π
3π
4π x
-1
ω的作用：使正弦函数的周期发生变化。
你能得到y=sin （ x)与y=sinx 图象的关系吗？
函数 y sin(x) 的图象，可以看作
是把 y sin( x) 的图象上所有点的横坐
标* 1 倍（纵坐标不变）而得到的. 0
T 2
练习：求下列函数的最大值、最小值、 周期
先观察y=2sinx、y= 1 sinx与y=sinx的图象间的关系
y
2
2
1
0
π
2π x
-1
-2
你能得到y=Asinx与y=sinx 图象的关系吗？
1.y=Asinx（A>0)的图象是由y=sinx的图象上所 有点的横坐标不变，纵坐标*A倍而成. 2.值域 [ -A, A]最大值A,最小值-A
正弦型函数y =Asin(ωx + )的图象
5、 3 2
1
5
y sin( x ) 1
2 2
ymax 2
ymin
2
T 2
正弦型函数y =Asin(ωx + )的图象和性质
3、 的作用：研究 y=sin(x+ )与y=sinx 图象的关系
先观察y = sin（x+ ）、y = sin（x － ）
2
2
与 y=sinx 的图象间的关系
y
2
1
0
π
2π
3π
4π x
-1
作y=sin
1 2
x的图象
1x
0
2
x
0
sin 12x 0
1、列表
函数y=Asin(ωx φ)的图象
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
所有的点横坐标缩短(>1)
y=sinx
或伸长(0< <1) 1/倍 纵坐标不变
y=sinx
决定函数的周期:T 2
探究： A 对函数图象的影响
D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变.
作正弦型函数y=Asin(x+) 的图象的方法： （1）用“五点法”作图 （2）利用变换关系作图
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 平移伸缩变化欣赏
想一想?
问题:把y=sin2x的图象经过怎样的变换就得到
y=sin(2x+ 3
)的图象?
)的图象
(横坐标不变)
y=3sin(
1 2
x
-
4
)的图象
练习2. 为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数
y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)y=sinx与y=sin(x+)的图象关系; (2)y=sinx与y=sinx的图象关系; (3)y=sinx与y=Asinx的图象关系; (4)y=sinx与y=Asin(x+)的图象关系.
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
关键点: (0,0),( ,1),( ,0),( 3 ,1),(2 ,0)
人教高中数学必修四1.5函数y=Asin(ωxφ)的图像课件
横向
y=f(x)
y=f(ax)
【智勇大冲关-----初级】
合作探究
【智勇大冲关-----中级】
1.已知函数y 3sin(x )的图象为C.
5
为了得到函数y 3sin(2x )的图象, 只要
5
把C上所有的点 B
( A)横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的1 倍, 纵坐标不变
解：可逆向思考如下
y 1 sin x 2
向右平移 个单位
y
1 2
s
in(x
2
)
横坐标变为本来的一半 即得解析式为y 1 sin(2x )
2
2
3、已知函数y 1 cos(2x )的图像为C，为了得到
5
3
B 函数y 1 sin(2x 2 )的图像， 只需把C上所有点( )
5
3
(A)向左平移 个单位长度 分析：
沿x轴
平移
φ
ω
个单位
y sin(x )
y sin(x )
纵坐标 变为本来的A倍
纵坐标 变为本来的A倍
得y A sin(x )图象,再由周期性扩充到 R上
【智勇大冲关-----高级】
2、函数f(x)的横坐标伸长到本来的两倍，再向左平
移 个单位，所得到的曲线是
的图象，试
求函数y=f(x)的解析式.
3
(B)向右平移 个单位长度 12
(C)向左平移 个单位长度 12
(D)向右平移 个单位长度 6
课堂感悟
➢ 1、“五点法”作函数图象 ——注意取好关键点；
➢ 2、正弦曲线变换得到函数的图象 ——顺序可任意，平移要注意；
➢ 3、余弦曲线变换得到函数的图象 ——作法全相同.
函数y=Asin(ωx φ)的图象
列表
x 0
π
2
π
3π 2
2π
sinx 0 1 0 -1 0
y
1
y=sinx (x∈[0,2π])
O －1 π/2 π 3π/2 2π
例1 作函数y = sin( x + )及y = sin( x − ) 在一个周期 4 3 内的图象。
π
π
x
x+
−
π
3
π
6
π 2
1 y
π
6
π
3 π
3
0
2π 3
π
0
分析：画函数的图像，经常采用“五点 法”。并且这两个函数都是周期函数，且 周期均为2π。所以我们先画出它们在[0,2π] 上的简图。 即列表、描点、连线。
1 例2、作函数 作函数y=sin2x及y=sin x 作函数 及 2
(x∈R)的简图 ∈ 的简图 的简图.
2π 分析:函数y=sin2x的周期T= =π, 2 故作x∈[0, π]时的简图. 1 函数y=sin x的周期T=4 π,故 2 作x ∈[0, 4π]时的简图.
π
7π 6
3π 2
-1
5π 3
2π
0
sin( x +
)
0 1
π O
y = sin( x + ) 3 5π 7π
π 2π
2 3
π6
−
−1
3
3π 2
3
2π x
例1 作函数y = sin( x + )及y = sin( x − ) 在一个周期 4 3 内的图象。
π
π
x
x−
π
0
π
函数y=Asin(ωx φ)的图象 课件
4
3
3
π
4
π
D.关于直线 x= 对称
3
π
π
f(x)的解析式→由 ωx+ =kπ+ (k∈Z)
3
2
π
ωx+ =kπ(k∈Z)
3
得对称中心→选出正确选项
B.关于直线 x= 对称
2π
解析:由 T= =π,解得 ω=2,
则 f(x)=sin 2 +
π
3
π
2
π
3
,
令 2x+ =kπ+ ,k∈Z,得 x=
∈Z.
确定此函数解析式.
> 0,|| ≤
π
2
图象的一段,试
分析:可由最高点、最低点确定 A,再由周期确定 ω,然后由图象
的平移变换或由图象过已知点确定 φ.
解:该函数的周期
2π
1
13π π
T=
− =4π,
3
3
∴ω= = 2.
又∵函数的最大值为 3,故 A=3.
∴y=3sin
1
2
+ .
2
π
3
1 π
(1)定义域为 R.
(2)值域为[-|A|,|A|].
2π
| |
(3)周期为 T= .
(4)当 φ=kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;
π
当 φ= +kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
2
(5)对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思
π
π
3
3
π
4
π
D.关于直线 x= 对称
3
π
π
f(x)的解析式→由 ωx+ =kπ+ (k∈Z)
3
2
π
ωx+ =kπ(k∈Z)
3
得对称中心→选出正确选项
B.关于直线 x= 对称
2π
解析:由 T= =π,解得 ω=2,
则 f(x)=sin 2 +
π
3
π
2
π
3
,
令 2x+ =kπ+ ,k∈Z,得 x=
∈Z.
确定此函数解析式.
> 0,|| ≤
π
2
图象的一段,试
分析:可由最高点、最低点确定 A,再由周期确定 ω,然后由图象
的平移变换或由图象过已知点确定 φ.
解:该函数的周期
2π
1
13π π
T=
− =4π,
3
3
∴ω= = 2.
又∵函数的最大值为 3,故 A=3.
∴y=3sin
1
2
+ .
2
π
3
1 π
(1)定义域为 R.
(2)值域为[-|A|,|A|].
2π
| |
(3)周期为 T= .
(4)当 φ=kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;
π
当 φ= +kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
2
(5)对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思
π
π
5.6.2函数y=Asin(ωx+φ)的图像课件高一上学期数学人教A版
Байду номын сангаас
为了得到函数 y 4sin(x )的图象，只要把
y
sin( x
6
)图象上所有的点（
C
）
6
（A）横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变
（B）横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变
4
（C）纵坐标伸长到原来的 4 倍，横坐标不变
（D）纵坐标缩短到原来的 1 倍，横坐标不变
4
讨论并总结函数
的图象的性质
y
3 sin( x
5
5
) 的图象上所有的点（
B
）
（A）横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
1
（B）横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变
（C）纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变
（D）纵坐标缩短到原来的 1 倍，横坐标不变
2
3.为了得到函数 y 4sin(x )的图象，只要把
y
3 sin( x
10
练习2：
1、将y=sinx图象上所有点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象对应
的函数解析式为（ B）
A.y=
1 3
sinx
B.y=sin
x 3
C.y=3sinx
D.y=sin3x
2、将y=sin(x+
π 4
)图象上所有点的横坐标变为原来的
1 3
倍（纵坐标不变），得到的图
象对应的函数解析式为（ C）
（D）向左平行移动 个单位长度
跟踪训练3:
1、说一说由
的图象经过怎样变化
得到
的图象？
图象上所有点的横坐标变为原来的 1 倍，纵坐标不变
3
2、说一说由 y sin(x )的图象经过怎样变化
为了得到函数 y 4sin(x )的图象，只要把
y
sin( x
6
)图象上所有的点（
C
）
6
（A）横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变
（B）横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变
4
（C）纵坐标伸长到原来的 4 倍，横坐标不变
（D）纵坐标缩短到原来的 1 倍，横坐标不变
4
讨论并总结函数
的图象的性质
y
3 sin( x
5
5
) 的图象上所有的点（
B
）
（A）横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
1
（B）横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变
（C）纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变
（D）纵坐标缩短到原来的 1 倍，横坐标不变
2
3.为了得到函数 y 4sin(x )的图象，只要把
y
3 sin( x
10
练习2：
1、将y=sinx图象上所有点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象对应
的函数解析式为（ B）
A.y=
1 3
sinx
B.y=sin
x 3
C.y=3sinx
D.y=sin3x
2、将y=sin(x+
π 4
)图象上所有点的横坐标变为原来的
1 3
倍（纵坐标不变），得到的图
象对应的函数解析式为（ C）
（D）向左平行移动 个单位长度
跟踪训练3:
1、说一说由
的图象经过怎样变化
得到
的图象？
图象上所有点的横坐标变为原来的 1 倍，纵坐标不变
3
2、说一说由 y sin(x )的图象经过怎样变化