2.1《空间点,直线,平面之间的位置关系--平面》解析
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
Байду номын сангаас空间图形
文字叙述
符号表示
平
第二课时
面
复习巩固： 1.公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内 作用 ：判定直线是否在平面内 2：公理2： 经过不在同一条直线上的三点,有且 只有一个平面 经过一条直线和这条直线外一点（两 推论： 条相交直线，两条平行直线）,有且只 有一个平面 作用 确定平面的依据 如果两个不重合的平面有一个公共点，那 3.公理3： 么它们有且只有一条过该点的公共直线 作用 ①判断两个平面相交的依据．②判断点在直线上． ：
B C F E H G
A
D
E , E 点E在面与的交线上， 同理，G, H , F也在面与的交线上 点E, G, H , F四点共线。
4.已知：正方体ABCD ABCD, E是C1C的中点， F是B1C 的中点，
D
C
求证：DE, D1C1 , A1 F必交于一点 .A 证明： A1 D // EF , 且EF A1 D
小结
1.平面的概念； 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画 法； 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言,图 形语言和符号语言之间关系的转换
A 4.三条公理 公理1. AB B
王新敞
奎屯
新疆
公理2. A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
公理3.P , P , l P l
C、空间不同的三点可以确定一个平面
D、两条相交直线可以确定一个平面
3、在空间中，下列命题错误的是（
A、圆上三点可以确定一个平面
）
B、圆心和圆上两点可确定一个平面
C、四条平行直线不能确定五个平面
D、空间四点中，若四点不共面，则任意三点不共线
4、若给定空间三条直线共面的条件，这四个条
件中不正确的是（ ）
B
平面公理
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
平面公理
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l , 且P l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
l
直线a在平面 内 直线a与平面 平行 直线a与平面 交于点 平面 与 相交于直线 l
注：一条直线把平面分成两部分. 一个平面把空间分成两部分.
例2. 将下列文字语言转化为符号语言：
内，但不在平面 内 (1)点A在平面
(2)直线a经过平面 外一点M
(3)直线 l 在平面 内,又在平面 内 （即平面和平面相交于直线）
A
A l , B l , A , B l
作用： 判定直线是否在平面内．
平面公理
生活中经常看到用三角架支撑照相机．
平面公理
存在性 公理2 平面． 过不在一条直线上的三点，有且只有一个 唯一性
B
A
C
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面， 可以记成“平面ABC”． 作用： 确定平面的主要依据．
1.已知：直线 a, b, c, d , 其中a, b, c交于点P，d与 a, b, c交于点A, B, C 求证：直线 a, b, c, d共面
c b
P
A
a
d
B C
证明： P l ,点P和直线l确定一个平面 , A d , 且d , A , P 又 A a, P a a ,同理b , c , 直线a, b, c, d共面。
C O
，
B A
D
正确
C1 D1 O1
A1
B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： ③由点A，O，C可以确定一个平面； 错误
C
B
O
D
A
C1 D1
A1
B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否正 确，并说明理由： ④由 A, C1 , B1 确定的平面是 ADC1B1 ； 正确 ⑤由 A, C1 , B1 确定的平面与由 A, C1 , D 确定的平面 是同一个平面． 正确
B
D1
B1
E
C1
四边形A1 FED为梯形，
A1 F与DE相交，设A1 F DE G 同理G 面A1 B1C1 D1 , 面DD1C1C 面A1 B1C1 D1 D1C1 G D1C1 , DE, A1 F , D1C1必交于一点
A1
F
G
G DE, DE 面DD1C1C G 面DD1C1C
①三条直线两两相交 ③三条直线中有两条平行 ② 三条直线两两平行 ④三条直线共点
5、根据下列条件画出图形：平面α∩平面β=AB 直线a∈α,直线b∈β,a∥AB,b∥AB 6、如图、A∈α,直线AB和AC不在α内，画出AB和 AC所确定的平面β，并画出直线BC和平面α的交 点.
B C
α
A
知识小结
平面公理
如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否 在平面α内？ 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边 缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个 边缘就落在了桌面上．
平面公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． l B
在生产、生活中， 人们经过长期观察与实 践，总结出关于平面的 一些基本性质，我们把 它作为公理．这些公理 是进一步推理的基础．
说明：画图的顺序:先画大件(平面),再画 小件(点、线)
平面公理
观察长方体，你能发现长方体的两个相交 平面有没有公共直线吗？
D
A
C
B
D
A B
C
这条公共直线B’C’叫做这 两个平面A’B’C’D’和平面 BB’C’C的交线． 另一方面，相邻两个平面有 一个公共点，如平面 A’B’C’D’和平面BB’C’C 有一个公共点B’，经过点B有且 只有一条过该点的公共直线 B’C’.
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由：
①直线 AC1在平面 CC1B1B 内；错误
C
B A
D
C1 D1
A1
B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否 正确，并说明理由：
O ②设正方形ABCD与 A1B1C1D1 的中心分别为O ， 1 AA1C1C BB1D1D 则平面 与平面 的交线为 ； OO1
C
B A
D
C1 D1
A1
B1
课堂练习：课本P44 练习1、2、3、4 补练： 1、下列命题中，正确的命题是( )
①有三个公共点的两个平面重合
②梯形的四个顶点在同一个平面内
③三条互相平行的直线必共面
④ 四条线段顺次首尾连接，构成平面图形
2、下列命题正确的是 （
）
A、两条直线可以确定一个平面 B、一条直线和一个点可以确定一个平面
面， 均过l , l1 又 l l1 A， 过l , l1的平面有且只有一个， 面， 重合， l , l1 , l2 , l3四条直线共面。
A B
l1
C
l2 l3
3.已知：四边形 ABCD中，AB // CD, AB, CD, BC, AD 或其延长线分别与面 交于E, H , G, F 求证：E, H , G, F四点共线 . 证明： AB // CD, AB，CD确定一个平面 ， 且A AB, AB , A ,同理D , AD ,同理BC ,
A.0 B.1 C.2
)
D.０或无数 )
(4)三个平面两两相交,则它们交线的条数 ( A.最多4条最少3条 C.最多3条最少2条 B.最多3条最少1条 D.最多2条最少1条
（5）已知空间四点中，无三点共线，则可确定 A．一个平面 B．四个平面 C．一个或四个平面 D．无法确定平面的个数
练习
①为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？ ②三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？ ③四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？ 为什么？ ④用符号表示下列语句，并画出图形： ⑴点A在平面α内，点B在平面α外； ⑵直线 l 在平面α内，直线m不在平面α内；
一、证明点，线共面的方法：
1.先确定一个平面，后证其余的点和线在该平面内. 2.作多个平面后证重合.（同一法）
二、证明点共线的方法： 1.先找出两个平面，后证点都是两平面的公共 点，则点都在交线上。 2.先选择两点确定两平面的交线，后证其余点 是两平面的公共点，也在该直线上。 三、证明线共点的方法： 先确定两直线交于一点，再证该点在第 三条线上。
（2）集合关系：
图形 符号语言
A a, A , a ,
文字语言(读法)
A
A
a
a
A a A a
点在直线上
点不在直线上
点在平面内 点不在平面内 直线a、b交于点A
A
A
A
b a
A A
a b A
图形
符号语言
a
a
a
a //
文字语言(读法)
a
A
a A
2.1.1 平面
实例引入
一、平面 1.平面无大小，无边界，无厚薄，无面积，无限 延展。 2.、平面的表示方法 (1)、图形表示(画法)： 常用平行四边形
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》827PPT课件
11
1
1
1
已知正方体ABCD A B C D的棱长为a， 111 1
求平面A BC 和平面ACD 的距离。
1
1
1
三.两个平面相交
提问： 请同学们观察下面两个图形，有何不同？
提问： 我们如何刻画直线和平面的这种相对位置关系呢？
1.半平面
平面内的一条直线把这 个平面分成两部分，
其中的每一部分都叫做 半平面。
AB AD 1, AA 2,点P为DD的中点。
1
1
求证：（1）平面PAC 平面BDD ; 1
(2)平面PB C 平面PAC. 11
★★★7.平面与平面垂直的性质 定理
文字语言
如果两个平面互相垂直 ，
那么在其中一个平面内
垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。
图形语言
符号语言
AB
AB l
(4)斜高相等
★注意：正棱锥中的有关计算：
都在高、侧棱、侧棱在 底面上的射影（底面正 多变形的半径）、
斜高、斜高在底面上的 射影底面正多边形的边心距 、
底面边的一半，所组成 的三棱锥P OEC的四个直角三角形 中进行。
正棱台
正棱锥被平行于底面的 平面所截，
截面和底面之间的部分 ，叫做正棱台。
底面正多变形的半径
那么它也垂直于另一个 平面。
图形语言
符号语言
∥ m
m
5.定理
文字语言 垂直于同一条直线的两 个平面平行。
图形语言
符号语言
a a
∥
6.定理
文字语言 平行于同一个平面的两 个平面平行
图形语言
符号语言
∥ ∥
∥
7.两个平行平面间的距离
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件
C D
B A
C1 D1
B1 A1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置 关系
平面有知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上
的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平
直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
(1)
m
β
m
l
α
l
直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所
成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示为:
P l, Pl.
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系一、知识要点：1.平面的基本性质：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2.空间中直线与直线之间的位置关系：空间两条直线的位置关系有且只有三种：如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′平行，AB与B′C′异面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
3.空间中直线与平面之间的位置关系：（1）直线在平面内……有无数个公共点；（2）直线与平面相交……有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行……没有公共点。
其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
注意，我们不提倡如下画法．4.平面与平面之间的位置关系：（1）两个平面平行……没有公共点；（2）两个平面相交……有一条公共直线。
二、例题讲解：例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．图1可以用几何符号表示为：___________________________________________．图2可以用几何符号表示为：___________________________________________．分析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出．解：图1可以用几何符号表示为：即：平面与平面相交于直线AB，直线a在平面内，直线b在平面内，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB．图2可以用几何符号表示为：，△ABC的三个顶点满足条件即：平面与平面相交于直线MN，△ABC的顶点A在直线MN上，点B在内但不在直线MN上，点C在平面内但不在直线MN上．例2、观察下面的三个图形，说出它们有何异同．分析：图1既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图2、图3均用了一条直线衬托，它们都是空间图形的直观图．解：图1可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图2是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图．点评：（1）本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法．而这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习．（2）与本题类似的其它变形还有：用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱，完成图形．例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）DD1和A1B1的位置关系如何？D1B和AC的位置关系如何？A1C和D1B的位置关系如何？（2）和AD成异面直线的棱所在直线有几条？（3）和BD1成异面直线的棱所在直线有几条？（4）六个面的正方形对角线共12条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对？解析：我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。
必修二空间点、直线、平面之间的位置关系讲义
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面的基本知识1、平面的概念：具有无限延展性，它是理想的、绝对的平且无大小，无厚薄，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．不可度量。
．．．．．2、平面的表示：平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线。
点与平面平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A 在平面α内，记作：A ∈α 点B 在平面α外，记作：B ∉α二、平面的基本性质1、公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
三、平行公理：平行于同一直线的两条直线平行。
四、等角定理定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
推论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
五、异面直线1、空间直线位置关系（1）在同一平面内⎩⎨⎧平行直线相交直线 （2）不同在任何一平面内：异面直线2、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
3、两条异面直线所成的角：已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线 a ˊ∥a 、b ˊ∥b ，我们把a ˊ与b ˊ所成的锐角．．（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。
注意：① a ˊ与b ˊ所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈⎥⎦⎤⎝⎛2,0π ； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．a ．⊥．b ．； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2
解析：根据探究知道直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填 “平行”；点 A1、B、B1 在平面 A1BB1 内，而 C 不在平 面 A1BB1 内，则直线 A1B 与直线 B1C 异面．同理，直线 AB 与直线 B1C 异面．所以②④应该填“异面”；直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点，所以③应该填“相交”．
2．平行公理(公理 4)与等角定理
(1)公理 4. 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平 行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 符号表述： ab∥∥bc，⇒a∥c． (2)等角定理． 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两 个角相等或互补．
3．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，则异面直线 a 与 b 所成的角就 是直线 a′与 b′所成的锐角(或直角)．
2．求异面直线所成角，可通过以下多种方式平移产 生：
(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)； (2)中位线平移法； (3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何 体，以便找到平行线)．
[变式训练] 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E， F，G，H 分别为 AA1，AB，BB1，B1C1 的中点，则异面 直线 EF 与 GH 所成的角为( )
1．空间直线的位置关系 (1)异面直线． ①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异 面直线． ②画法：(通常用平面衬托)
(2)空间两条直线的位置关系．
温馨提示 不能误认为分别在不同平面内的两条直 线为异面直线．
如图所示，虽然有 a⊂α，b⊂β，即 a，b 分别在两个 不同的平面内，但是因为 a∩b＝O，所以 a 与 b 不是异面 直线．
课件2：空间点、直线、平面之间的位置关系
与 M′重合，从而 FE 与 DC 相交证得四点共面．
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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【尝试解答】 (1)由已知 FG＝GA，FH＝HD，
高
自
主 落 实
得 GH 綊12AD.
考 体 验 ·
·
明
固 基 础
又 BC 綊12AD，∴GH 綊 BC，
考 情
∴四边形 BCHG 是平行四边形．
CC1共面的棱的条数为(
)
体 验 ·
· 固
A．3
B．4
C．5
D．6
明 考
基
情
础
【解析】 与AB平行，CC1相交的直线是CD、C1D1；
与CC1平行、AB相交的直线是BB1，AA1；与AB、CC1都相
交的直线是BC，故选C.
典
例 探
【答案】 C
课 后
究
作
·
业
提
知
能
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4．(2013·宁波模拟)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则
考 情
础 且 CG＝13BC，CH＝13DC.求证：
(1)E、F、G、H 四点共面；
(2)三直线 FH、EG、AC 共点．
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
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【证明】 (1)连接 中点，
落
∴EF∥BD.
考 体 验
实
· 固 基
又∵CG＝13BC，CH＝13DC，
立体几何3空间点、直线和平面之间的位置关系.
空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求1理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3；如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.知巩梳理"T"平面的基本性质名称内容图形衣示谄R表不作用公理1如果一条自线上的两点Ae/.be住一个/ILAG G,平而内•册么/〉《?■—/ B e U =>这条n纟戈在lUa此¥面内①判定直线住rifti A ；②判足点在平血内过不在—勒工线I-的三点・右-R只有一个平曲•B•C若A、”、「-：点不同住一条立线L.则A、”、「三点的定一个 fifiJa① a >iz平而；②ill：明点、线共而如果则个不重合的平向冇一个公典点•那么它们冇M貝仃一条过该点的公共宜线P W a • li "j =>a 「14 Z. H.He/①判定两亍半向是杏相交；©ill-明点在（!£线I .；③UF明三点、兵线* ①旺明三线共点S⑤iBlj两个相交平而的交线(3) 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平 行，则这两个角相等或者互补.(4) 两异面直线所成的角：两条异面直线a, b,经过空 间任一点0作直线a' 〃d,方'lib 、把o' , H 所成的锐角 (或直角)叫异面直线a, 〃所成的角(或夹角).心，Z 所成 的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异 两直裁的一条上；异,如果两条异面直线所成异面直线垂直，记作心 • 2 •空间直线(1)空间两直线的位置关系；相交直线：有且只有一个公共点; 平行直线：没有公共点：. .. (2)公理4： 空间中的直线4, b, C,如果4〃力，b//c.则0〃0问誠思考►问题1平面的基本性质（1）若点A在直线/上，直线/在平面G内，则点A在平面伉内；（）（2）—条直线与一个点确定一个平面；（）（3）三点确定一个平面；（）（4）两个相交平面只有有限个公共点.（）［答案］⑴对（2）错⑶错（4）错►问题2设平面仅与4UG直线比卩,则点M—定不在直线/上.（）［答案］错［解析1因为《rU=M, uUa, bup,所以』1/在《内，M在〃内.又因为平面a与平面/栩交于人所以M在/上.►问题4 若O4〃0iAi，0B〃0右且Z4O〃=60。
高一数学人教A版必修2课件：2.1.1平面 教学课件
定一个平面，设为α.
因为 l∩a ＝ A ， l∩b ＝ B ，所以 A∈a ， B∈b ，则 A∈α ， B∈α. 又因为 A∈l ， B∈l，所以由公理1可知l⊂α. 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β. 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2知：经过两条
“∈”或“∉”表示．
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用 “⊂”或“⊄”表示．
3．公理1
文字语言 如果一条直线上的________ 两点 在一个平面内，那么这条直线在 此平面内
图形语言
l⊂α 符号语言 A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒_______
判断点在平面内 作用 判断直线在平面内 用直线检验平面
记法
用三角形、圆或其他平面图形表示平面．
2．点、线、面的位置关系的表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面.
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 符号语言 图形语言
A∈l ____________ A∉l ____________ A∈α ____________ A∉α ____________
又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C， ∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线．
命题方向3 ⇨点线共面问题
求证： 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交， 那么这四条 直线共面. 导学号 09024243
[解析] 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线a、b、c和l共面． 证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确
第二章 2.1.1空间点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平 面学习目标 1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.知识点一 平面 1.平面的概念(1)平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义. (2)几何中的平面的特征：⎩⎪⎨⎪⎧绝对的平无限延展不计大小不计厚薄2.平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来3.平面的表示方法(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD .(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.知识点二点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法1.直线在平面内的概念如果直线l 上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l外A∉lA在l上A∈lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于A l∩m＝Al，α相交于A l∩α＝Aα，β相交于l α∩β＝l知识点三平面的基本性质公理文字语言图形语言符号语言作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α①确定平面的依据②判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(×)2.两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(×)3.空间不同三点确定一个平面.(×)4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(√)题型一图形语言、文字语言、符号语言的相互转换例1用符号表示下列语句，并画出图形.(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化解(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图.反思感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作()A.A∈b∈βB.A∈b⊂βC.A⊂b⊂βD.A⊂b∈β(2)如图所示，用符号语言可表述为()A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案(1)B(2)A题型二点、线共面问题例2如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.考点平面的基本性质题点点线共面问题证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b ⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.证明已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面.证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.反思感悟证明点、线共面问题的理论及常用方法(1)依据：公理1和公理2.(2)常用方法.①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；②先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”.跟踪训练2如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.考点平面的基本性质题点点线共面问题证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.证明点共线、线共点问题典例(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点.证明∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB与CD必交于一点，设AB交CD于M.则M∈AB，M∈CD，又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点.(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线.证明∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，∴E∈β，∴E在α与β的交线l上.同理，F，G，H也在α与β的交线l上，∴E，F，G，H四点必定共线.[素养评析](1)点共线与线共点的证明方法①点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.(2)通过证明题的学习，掌握推理的基本形式和规则，形成重论据，有条理，合乎逻辑的思维品质，培养逻辑推理的数学核心素养.1.有以下结论：①平面是处处平的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001 cm.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4考点平面的概念、面法及表示题点平面概念的应用答案 B解析平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的.故选B.2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是()考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 A解析B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.3.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为()A.A⊂a，a⊂α，B∈αB.A∈a，a⊂α，B∈αC.A⊂a，a∈α，B⊂αD.A∈a，a∈α，B∈α考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 B解析点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.4.能确定一个平面的条件是()A.空间三个点B.一个点和一条直线C.无数个点D.两条相交直线答案 D解析A项，三个点可能共线，B项，点可能在直线上，C项，无数个点也可能在同一条直线上.5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.一、选择题1.经过同一条直线上的3个点的平面()A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数个D.不存在答案 C2.满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a⊂α，直线b⊂β且a∥AB，b∥AB的图形是()答案 D3.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α＝MD.l∩α＝N答案 A解析∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，又∵N∈b，b⊂α，∴N∈α，又M，N∈l，∴l⊂α.4.下列说法中正确的是()A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点考点平面的基本性质题点确定平面问题答案 C解析不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确.故选C.5.下列图形中不一定是平面图形的是()A.三角形B.菱形C.梯形D.四边相等的四边形答案 D解析四边相等的四边形可能四边不共面.6.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A.A，B，C，D四点中必有三点共线B.A，B，C，D四点中不存在三点共线C.直线AB与CD相交D.直线AB与CD平行考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.7.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则()A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D.M不在直线AC上，也不在直线BD上答案 A解析由题意得EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，EF与HG交于点M，∴M一定落在平面ABC与平面ACD的交线AC上.8.空间不共线的四点可以确定平面的个数是()A.0B.1C.1或4D.无法确定答案 C解析若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点可以确定平面的个数为1；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点可以确定平面的个数是4，故选C.二、填空题9.如图所示的图形可用符号表示为________.答案α∩β＝AB10.A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有________个.答案1或无数解析当A，B，C不共线时，有一个平面经过三点；当A，B，C共线时，有无数个平面经过这三点.11.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________.答案A∈l，l⊄α三、解答题12.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明∵AC∥BD，∴AC 与BD 确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD .∵l ∩α＝O ，∴O ∈α.又∵O ∈AB ⊂β，∴O ∈直线CD ，∴O ，C ，D 三点共线.13.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 是A 1A 的中点，求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面；(2)直线CE ，D 1F ，DA 三线共点.考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题证明 (1)如图，连接EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B ， 又∵A 1B ∥D 1C ，且A 1B ＝D 1C ，∴EF ∥D 1C ，且EF ＝12D 1C ，∴E，F，D1，C四点共面.(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点.14.已知空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，则由点P和这三条直线最多可以确定的平面个数为________.答案 6解析当三条直线共点但不共面相交时，这三条直线可以确定三个平面，而点P与三条直线又可以确定三个平面，故最多可以确定六个平面.15.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.考点平面的基本性质题点平面基本性质的其他简单应用解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.。
数学《空间点-直线-平面之间的位置关系--平面》课件新人教A版必修2
例2. 将下列文字语言转化为符号语言：
(1)点A在平面 内，但不在平面 内
(2)直线a经过平面 外一点M (3)直线 l 在平面 内,又在平面 内
（即平面和平面相交于直线）
数学《空间点-直线-平面之间的位 置关系--平面》课件新人教A版必
练习
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
2、画法：常用平行四边形
D
C
3、记法：
A
B
①平面α 、平面β 、平面γ （标记在角上）
②平面ABCD ③平面AC 数学《空间点-直线-平面之间的位 或平面BD 置关系--平面》课件新人教A版必
注意： 1、平面的两个特征：
①无限延展 ②平的（没有厚度） 2、一条直线把平面分成两部分.
一个平面把空间分成两部分.
A
B
与面相交，每条棱所在的直
线都可以看成是某个平面内
的直线，等等．
数学《空间点-直线-平面之间的位 置关系--平面》课件新人教A版必
实例引入 观察
观察教室里的桌面、黑板面，它们呈现出怎样的形 象？
数学《空间点-直线-平面之间的位 置关系--平面》课件新人教A版必
实例引入 观察
观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的 一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面 是无限延展的．
数学《空间点-直线-平面之间的位 置关系--平面》课件新人教A版必
1、平面的概念
桌面
黑板面 平静的水面
平面的形象
几何里的平面是无限延展的.
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平面公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，