模式识别-马氏距离论证
模式识别试题及总结
一、填空与选择填空（本题答案写在此试卷上，30分）1、模式识别系统的基本构成单元包括：模式采集、特征提取与选择和模式分类。
2、统计模式识别中描述模式的方法一般使用特真矢量；句法模式识别中模式描述方法一般有串、树、网。
3、聚类分析算法属于（1）；判别域代数界面方程法属于（3）。
（1）无监督分类 (2)有监督分类（3）统计模式识别方法（4）句法模式识别方法4、若描述模式的特征量为0-1二值特征量，则一般采用（4）进行相似性度量。
（1）距离测度（2）模糊测度（3）相似测度（4）匹配测度5、下列函数可以作为聚类分析中的准则函数的有（1）（3）（4）。
（1）（2） (3)(4)6、Fisher线性判别函数的求解过程是将N维特征矢量投影在（2）中进行。
（1）二维空间（2）一维空间（3）N-1维空间7、下列判别域界面方程法中只适用于线性可分情况的算法有（1）；线性可分、不可分都适用的有（3）。
（1）感知器算法（2）H-K算法（3）积累位势函数法8、下列四元组中满足文法定义的有（1）（2）（4）。
（1）({A, B}, {0, 1}, {A→01, A→ 0A1 , A→ 1A0 , B→BA , B→ 0}, A) （2）({A}, {0, 1}, {A→0, A→ 0A}, A)（3）({S}, {a, b}, {S → 00S, S → 11S, S → 00, S → 11}, S)（4）({A}, {0, 1}, {A→01, A→ 0A1, A→ 1A0}, A)9、影响层次聚类算法结果的主要因素有（计算模式距离的测度、（聚类准则、类间距离门限、预定的类别数目））。
10、欧式距离具有（ 1、2 ）；马式距离具有（1、2、3、4 ）。
（1）平移不变性（2）旋转不变性（3）尺度缩放不变性（4）不受量纲影响的特性11、线性判别函数的正负和数值大小的几何意义是（正（负）表示样本点位于判别界面法向量指向的正（负）半空间中；绝对值正比于样本点到判别界面的距离。
大学模式识别考试题及答案详解
大学模式识别考试题及答案详解Last revision on 21 December 2020一、填空与选择填空（本题答案写在此试卷上，30分）1、模式识别系统的基本构成单元包括：模式采集、特征提取与选择和模式分类。
2、统计模式识别中描述模式的方法一般使用特真矢量；句法模式识别中模式描述方法一般有串、树、网。
3、聚类分析算法属于（1）；判别域代数界面方程法属于（3）。
（1）无监督分类 (2)有监督分类（3）统计模式识别方法（4）句法模式识别方法4、若描述模式的特征量为0-1二值特征量，则一般采用（4）进行相似性度量。
（1）距离测度（2）模糊测度（3）相似测度（4）匹配测度5、下列函数可以作为聚类分析中的准则函数的有（1）（3）（4）。
（1）（2） (3)(4)6、Fisher线性判别函数的求解过程是将N维特征矢量投影在（2）中进行。
（1）二维空间（2）一维空间（3）N-1维空间7、下列判别域界面方程法中只适用于线性可分情况的算法有（1）；线性可分、不可分都适用的有（3）。
（1）感知器算法（2）H-K算法（3）积累位势函数法8、下列四元组中满足文法定义的有（1）（2）（4）。
（1）({A, B}, {0, 1}, {A01, A 0A1 , A 1A0 , B BA , B 0}, A)（2）({A}, {0, 1}, {A0, A 0A}, A)（3）({S}, {a, b}, {S 00S, S 11S, S 00, S 11}, S)（4）({A}, {0, 1}, {A01, A 0A1, A 1A0}, A)二、(15分)简答及证明题（1）影响聚类结果的主要因素有那些（2）证明马氏距离是平移不变的、非奇异线性变换不变的。
答：（1）分类准则，模式相似性测度，特征量的选择，量纲。
（2）证明：(2分)(2分)(1分)设，有非奇异线性变换：(1分)(4分)三、(8分)说明线性判别函数的正负和数值大小在分类中的意义并证明之。
马氏距离平移不变
马氏距离平移不变马氏距离是一种用于测量两个随机向量之间的相似度的方法。
它通过考虑随机向量之间的协方差矩阵来消除不同分量之间的尺度差异。
马氏距离具有平移不变性，即对于任意的两个向量a和b，它们之间的马氏距离与它们之间的平移无关。
为了更好地理解马氏距离的平移不变性，我们先来了解一下马氏距离的定义。
给定两个d维随机向量a和b，它们的马氏距离可以通过以下公式来计算：马氏距离= √((a - b)T * C^(-1) * (a - b))其中，a和b分别表示两个d维随机向量，C表示它们的协方差矩阵，^(-1)表示C的逆矩阵。
马氏距离的平移不变性可以通过以下证明来说明。
设a' = a + c和b' = b + c，其中c是一个d维向量。
首先，我们需要证明(a' - b')T * C^(-1) * (a' - b')等于(a - b)T * C^(-1) * (a - b)。
展开这两个式子，我们可以得到：(a' - b')T = (a + c - b - c)T = (a - b)T(a' - b') = (a + c - b - c) = (a - b)因此，(a' - b')T * C^(-1) * (a' - b') 等于(a - b)T * C^(-1) * (a - b)。
其次，我们需要证明(a' - b')T * C^(-1) * (a' - b')的平方根等于(a - b)T * C^(-1) * (a - b)的平方根。
首先，我们展开平方根：√((a' - b')T * C^(-1) * (a' - b')) = √((a - b)T * C^(-1) * (a - b))接下来，我们可以通过对两边的平方进行展开，得到：(a' - b')T * C^(-1) * (a' - b') = (a - b)T * C^(-1) * (a - b)因此，我们可以得出结论，(a' - b')T * C^(-1) * (a' - b')的平方根等于(a - b)T * C^(-1) * (a - b)的平方根。
马氏距离计算roc曲线
马氏距离计算roc曲线全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：马氏距离是一种基于概率模型的距离度量方法，常用于度量样本数据间的相似性或差异性。
在机器学习和数据挖掘领域，马氏距离被广泛应用于分类、聚类、异常检测等任务中。
而ROC曲线（Receiver Operating Characteristic curve）则是评价分类器性能的一种常用方法，通过比较分类器的灵敏度和特异度来评估其准确性。
在一些情况下，我们需要使用马氏距离来计算分类器的ROC曲线，以进一步评估其性能。
马氏距离可以帮助我们在多维空间中度量样本点的距离和相似度，从而更好地判断分类器的效果。
下面我们就来详细讨论一下如何使用马氏距离计算ROC曲线。
需要明确的是，ROC曲线是一个二维坐标图，横轴表示1-特异度（False Positive Rate，FPR），纵轴表示召回率（Recall），也称为真正率（True Positive Rate，TPR）。
在计算ROC曲线时，我们一般会使用不同的阈值（Threshold）对分类器进行多次判定，然后根据不同的阈值计算出对应的TPR和FPR，最终得到ROC曲线。
马氏距离的计算公式如下：D_M = \sqrt{(x-\mu)^T S^{-1} (x-\mu)}x代表输入样本点，\mu代表样本数据的均值向量，S代表样本数据的协方差矩阵。
在计算ROC曲线时，我们可以通过马氏距离来度量样本点在分类器输出空间中的距离，进而将不同样本点根据其距离分类成正类或负类。
具体来说，我们可以按照以下步骤使用马氏距离计算ROC曲线：1. 我们需要准备样本数据集和对应的标签，将其分为训练集和测试集。
2. 在训练集上，我们可以使用样本数据的均值向量和协方差矩阵计算得到马氏距离。
3. 然后，在测试集上，我们可以通过马氏距离将样本点分为正类和负类，并计算其对应的TPR和FPR。
4. 不断调整阈值，重复上述步骤，最终可以得到一系列TPR和FPR组成的点集。
近红外光谱的主成分分析-马氏距离聚类判别用于卷烟的真伪鉴别
中 图分 类 号 ： Ｓ ７ Ｔ ４４
样 品倒 出重 新 装 样 ，以保 证样 品 的 代 表 性 。扫 描 完 样 品后 采
等众多领域 。在烟草行业里 ， 近红外光谱 技术被广泛应 用于 烟草水分和常规化学成分的定量检测『 ］ 】 。除此之外 ， ” 在烤 烟烟叶的产地 、 部位 、等级 的模式识别 以及 卷烟配方研究 等
方 面也 有 相 关 的 报 道 ¨ 】 。但 将 ＮＩ Ｒ技 术 用 于卷 烟 品 种 识 别 和 真伪 鉴 别 方 面 的 研究 则 比较 少 ＿ 】 。因 此 ， 研究 将 近 红 外 本
近 红 外 光 谱 的 主 成 分 分 析 一 氏距 离 聚 类 判 别 用 于 卷 烟 的 真 伪 鉴 别 马
张灵 帅 ，王卫东 ，谷运红 ，邢 军
】 ．郑 州 大 学 离 子束 生 物 工 程省 重 点 实 验 室 ，河 南 郑 州 ２ ．国家 烟 草 质量 监 督 检 验 中心 ，河南 郑 州 ４ ０ ０ ５０１ ４ ０ ５ ５０ ２
基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金项 目（０ ０ ０ ８ 资助 １５ ５ １ ）
作者简介：张灵帅 ，１ ８ 年生 ，郑州大学物理工程学 院博士研究 生 ９１
＊通讯 联 系 人 ｅ ｉ ｉｇ＠ ｚｒ ｃｍ．ｎ － ｌ ｎｊ ｔｉ ｏ ｃ ｍａ ：ｘ ．
ｅｍａｌ ｚ ａｇｓ１ ０ ａ ｏ ．ｎ － ｉ ｈｎ ｌｌ ２ ＠ｙｈ ｏ ｃ ：
中国大学MOOC慕课答案（1）--试题库
《模式识别》试题库一、基本概念题1.1 模式识别的三大核心问题是： 、 、 。
1.2、模式分布为团状时，选用 聚类算法较好。
1.3 欧式距离具有 。
马式距离具有 。
（1）平移不变性 （2）旋转不变性 （3）尺度缩放不变性 （4）不受量纲影响的特性1.4 描述模式相似的测度有： 。
（1）距离测度 （2）模糊测度 （3）相似测度 （4）匹配测度1.5 利用两类方法处理多类问题的技术途径有：（1） ；（2） ；（3） 。
其中最常用的是第 个技术途径。
1.6 判别函数的正负和数值大小在分类中的意义是： ， 。
1.7 感知器算法 。
（1）只适用于线性可分的情况；（2）线性可分、不可分都适用。
1.8 积累位势函数法的判别界面一般为 。
（1）线性界面；（2）非线性界面。
1.9 基于距离的类别可分性判据有： 。
（1）1[]w B Tr S S - （2） BWS S （3） B W B S S S +1.10 作为统计判别问题的模式分类，在（ ）情况下，可使用聂曼-皮尔逊判决准则。
1.11 确定性模式非线形分类的势函数法中，位势函数K(x,x k )与积累位势函数K(x)的关系为（ ）。
1.12 用作确定性模式非线形分类的势函数法，通常，两个n 维向量x 和x k 的函数K(x,x k )若同时满足下列三个条件，都可作为势函数。
①（ ）；②（ ）；③ K(x,x k )是光滑函数，且是x 和x k 之间距离的单调下降函数。
1.13 散度J ij 越大，说明w i 类模式与w j 类模式的分布（ ）。
当w i 类模式与w j 类模式的分布相同时，J ij =（ ）。
1.14 若用Parzen 窗法估计模式的类概率密度函数，窗口尺寸h1过小可能产生的问题是（ ），h1过大可能产生的问题是（ ）。
1.15 信息熵可以作为一种可分性判据的原因是： 。
1.16作为统计判别问题的模式分类，在（ ）条件下，最小损失判决规则与最小错误判决规则是等价的。
马氏距离的应用
马氏距离的应用
马氏距离（Mahalanobis distance）是提出应用于模式识别和统计分析的一类测量，用来衡量两个样本数据间的差异性。
它是一种归一化多维空间中两个点之间的距离，其中距离尺度取决于自变量之间的协方差矩阵。
马氏距离的应用涉及广泛的领域，其中包括机器学习、统计学、模式识别和计算机视觉技术等。
常见的应用有：
- 异常检测：使用马氏距离来检测数据集中是否存在异常值。
马氏距离量化了特征之间的相关性，这使得可以更有效地检测偏离特定形状的数据群。
- 聚类分析：马氏距离用于测量样本之间的相似度，从而可以更准确地分组样本。
- 极限学习机（ELM）：在ELM当中，使用马氏距离来表示输入数据之间的差异性，从而实现更精确的分类。
- 无监督学习：无监督学习应用（如自编码器）可以使用马氏距离来量化输入样本的相似性，从而帮助模型更好地学习数据分布。
马氏距离的概念和计算方法
马氏距离的概念和计算方法一、引言在数据分析、机器学习和模式识别等领域，距离度量是核心概念之一。
马氏距离是一种广泛应用于多维数据集的相似度度量方法。
它不仅考虑了特征之间的相关性，而且能够更好地衡量多维数据集之间的相似性。
本文将详细介绍马氏距离的概念和计算方法。
二、马氏距离的概念马氏距离是由印度数学家马哈拉诺比斯提出的一种距离度量方法。
它是一种基于总体样本的度量，考虑了特征之间的相关性。
对于两个样本x1和x2，马氏距离定义为：d(x1, x2) = √((x1-x2)T·S^(-1)·(x1-x2))其中，x1和x2是两个样本的特征向量，S是样本的协方差矩阵，^(-1)表示矩阵的逆运算。
三、马氏距离的计算方法1. 协方差矩阵的计算在计算马氏距离之前，需要先计算样本的协方差矩阵。
协方差矩阵是一个n维方阵，其中n是样本特征的数量。
对于样本集X，其协方差矩阵S可以表示为：S = 1/m Σ(xi - μ)(xi - μ)T其中，m是样本数量，xi是第i个样本的特征向量，μ是样本均值向量。
2. 计算逆协方差矩阵由于马氏距离需要用到协方差矩阵的逆矩阵，因此需要先计算逆协方差矩阵S^(-1)。
如果协方差矩阵S是正定矩阵，那么它的逆矩阵S^(-1)存在。
3. 计算马氏距离最后，根据马氏距离的定义，计算两个样本之间的马氏距离。
对于两个样本x1和x2，其马氏距离为：d(x1, x2) = √((x1-x2)T·S^(-1)·(x1-x2))其中，x1和x2是两个样本的特征向量，S是样本的协方差矩阵，^(-1)表示矩阵的逆运算。
四、总结本文介绍了马氏距离的概念和计算方法。
马氏距离是一种基于总体样本的度量方法，考虑了特征之间的相关性，能够更好地衡量多维数据集之间的相似性。
在实际应用中，马氏距离可以用于各种机器学习算法中，如聚类、分类和异常检测等。
通过计算马氏距离，我们可以更准确地评估样本之间的相似度，从而优化算法性能。
马氏距离判别法
马氏距离判别法马氏距离判别法是一种常见的分类算法，其基本思想是利用样本均值和协方差矩阵来计算样本之间的马氏距离，从而将不同类别的样本进行分类。
在实际应用中，马氏距离判别法常被用于模式识别、数据挖掘、图像处理等领域。
一、基本概念1. 马氏距离马氏距离是一种度量两个随机向量之间的距离的方法。
它考虑了各个分量之间的相关性，并且可以被看作是两个随机向量在协方差矩阵下的欧几里得距离。
2. 样本均值样本均值是指一个样本集合中所有数据的平均值。
在马氏距离判别法中，每个类别都有一个对应的样本均值。
3. 协方差矩阵协方差矩阵描述了不同维度之间的相关性。
它可以告诉我们一个变量与其他变量之间如何相互影响，并且可以被用来计算马氏距离。
二、算法流程1. 计算每个类别的样本均值和协方差矩阵首先，需要对每个类别的样本进行统计分析，计算出每个类别的样本均值和协方差矩阵。
这些统计量可以用来描述每个类别的数据分布情况。
2. 计算马氏距离对于一个新的样本，需要计算它与每个类别的样本均值之间的马氏距离。
马氏距离越小，则说明这个新样本越可能属于该类别。
3. 判别分类根据马氏距离大小，将新样本判定为属于其中一个类别。
三、优缺点1. 优点（1）考虑了各个特征之间的相关性，能够更准确地区分不同类别之间的数据；（2）适用于多维度数据处理，并且对异常值具有一定鲁棒性。
2. 缺点（1）需要计算每个类别的协方差矩阵，当特征维度较高时，计算复杂度较高；（2）对于不同类别之间具有相同特征分布情况时，效果不佳；（3）对于非正态分布或者存在噪声影响时，效果也不佳。
四、应用实例1. 图像分类马氏距离判别法可以被用于图像分类领域。
通过计算样本均值和协方差矩阵来描述每个类别的图像特征分布情况，从而实现对不同类别的图像进行分类。
2. 数据挖掘在数据挖掘领域，马氏距离判别法可以被用于异常检测和聚类分析等任务中。
通过计算不同样本之间的马氏距离来识别异常数据，并且可以将相似的数据进行聚类。
距离判别法贝叶斯判别法和费歇尔判别法的异同
距离判别法、贝叶斯判别法和费歇尔判别法的异同引言在模式识别领域，判别分析是一种常用的方法，用于将数据样本划分到不同的类别中。
距离判别法、贝叶斯判别法和费歇尔判别法是判别分析中常见的三种方法。
本文将对这三种方法进行比较，探讨它们的异同。
一、距离判别法距离判别法是一种基于距离度量的判别分析方法。
它的基本思想是通过计算样本点与各个类别中心的距离，将样本划分到距离最近的类别中。
常见的距离判别法有欧氏距离判别法和马氏距离判别法。
1. 欧氏距离判别法欧氏距离判别法是一种简单直观的距离判别方法。
它通过计算样本点与各个类别中心之间的欧氏距离，将样本划分到距离最近的类别中。
算法步骤如下： 1. 计算各个类别的中心点，即各个类别样本点的均值向量。
2. 对于给定的待判样本点，计算其与各个类别中心点的欧氏距离。
3. 将待判样本点划分到距离最近的类别中。
2. 马氏距离判别法马氏距离判别法考虑了各个类别的协方差矩阵，相比于欧氏距离判别法更加准确。
它通过计算样本点与各个类别中心之间的马氏距离，将样本划分到距离最近的类别中。
算法步骤如下： 1. 计算各个类别的中心点，即各个类别样本点的均值向量。
2. 计算各个类别的协方差矩阵。
3. 对于给定的待判样本点，计算其与各个类别中心点之间的马氏距离。
4. 将待判样本点划分到距离最近的类别中。
二、贝叶斯判别法贝叶斯判别法是一种基于贝叶斯理论的判别分析方法。
它的基本思想是通过计算后验概率，将样本划分到具有最高后验概率的类别中。
常见的贝叶斯判别法有贝叶斯最小错误率判别法和贝叶斯线性判别法。
1. 贝叶斯最小错误率判别法贝叶斯最小错误率判别法是一种理论上最优的判别方法。
它通过计算后验概率，将样本划分到具有最高后验概率的类别中。
算法步骤如下： 1. 计算各个类别的先验概率。
2. 计算给定样本点在各个类别下的条件概率。
3. 计算给定样本点在各个类别下的后验概率。
4. 将待判样本点划分到具有最高后验概率的类别中。
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马氏距离
一、 马氏距离的定义
马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯（P . C. Mahalanobis ）提出的，表示数据的协方差距离。
它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。
定义1：
两个服从同一分布G 并且其协方差矩阵为Σ的随机变量 x 与 y
的差异程度：。
定义2：
设分布G 均值为()12=,,,T
p µµµµK ，协方差矩阵为Σ的多变量向量为()12x=,,,T p x x x K ，其马氏距离为 。
说到马氏距离，不得不说的就是欧式距离，它是马氏距离的一种特殊情况：
，即协方差矩阵为单位矩阵Σ=I 。
有人形象的解释了“马氏距离”与“欧式距离”的几何区别：欧式距离就好比一个参照值，它表征的是当所有类别等概率出现的情况下，类别之间的距离。
此时决策面中心点的位置就是两个类别中心的连线的中点。
如图1所示。
而当类别先验概率并不相等时，显然，如果仍然用中垂线作为决策线是不合理的，将出现判别错误（绿色类的点被判别为红色类），假设图1中绿色类别的先验概率变大，那么决策线将左移，如图2黄线。
左移的具体位置，就是通过马氏距
离来获得的。
马氏距离中引入的协方差参数，表征的是点的稀密程度。
二、 距离表达式各部分的含义和来历
若用通用的平方表达式表示：
21()()
: : :T D X M C X M X M C −=−−其中，模式向量
均值向量
该类模式总体的协方差矩阵
三、 举例说明马氏距离的意义
欧氏距离是定义在两个点之间的距离，维度的多少，并不会使得欧氏距离的公式更复杂。
它背后的思想，就是认为多维空间是各向同性的，往哪个方向走某一距离，意义都一样。
而马氏距离与欧氏距离的唯一区别，就是它认为空间是各向异性的。
各向异性的具体参数，是由一个协方差矩阵表示的。
把这个协方差矩阵考虑成一个多维正态分布的协方差阵，则这个分布的密度函数的等高线，就是个椭圆。
多维正态分布的密度函数（如下图）：
多维正态分布的密度函数的等高线为椭圆（如下图）：
1)从椭圆中心到椭圆上各点的马氏距离，都是相等的。
2)椭圆的各个轴的方向，是协方差阵的特征向量，各个轴的长度正比于协方差
阵的特征值的平方根。
马氏距离同样是定义在两个点之间的。
维度的增加，只是增大了协方差矩阵的大小。
下面来举例说明
由上，我们知道协方差矩阵的维数等于样本的维数，且为方阵，因此无论是二维还是三维的，只是样本的维数不同，导致的协方差矩阵的维数不同而已。
下面给出二维和三维样本间的马氏距离的推导：
二维模式向量、三维模式向量。