自动控制原理第三节2_高阶系统

例如：(s)
(s2
n2(s z) 2 ns n2 )(s
p)
如果： z 5以及 p 5
n
n
z p
则：
(s)
p(s2
z n 2 2 ns n2 )
n
j d jd
说明：假设输入为单位阶跃函数，则化简前后的稳态值如下
lim s 1 s (s2
s0
n2(s z) 2 ns n2 )(s
[例如]： p1,2 1 n1 jn1
1
2 1
jd
为某高阶系统
的主导极点，则单位阶跃响应近似为：
c(t) a0 et (1 cosdt 1 sin dt)
利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析。高阶系统近似简化原则：在近似前后，确保输出稳态值不变；
在近似前后，瞬态过程基本相差不大。
阶系统的单位阶跃响应取决于闭环系统的零、极点分布。
[定性分析]：
对于闭环极点全部位于s左半平面的高阶系统（否则系统不稳定），极点为实数（指数衰减项）和共轭复数（衰减正弦项）的衰减快慢取决于极点离虚轴的距离。远，衰减的快；近，衰减的慢。所以，近极点对瞬态响应影响大。
高阶系统分析，主导极点
系数 a j , l , l 取决于零、极点分布。有以下几种情况：若极点远离原点，则系数小；极点靠近一个零点，远离其他极点和零点，系数小；极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。
C(s)
(s)
1 s
(s2
n2 p3 2 ns n2 )(s
p3 )
1 s
1 s
s2
A1s A2
2 ns n2
s
A3 p3
式中：A1, A2 , A3 系）有关。
与
,n,
p3
n
（实极点与共轭极点的位置关
c(t) 1 A1ent sin(n 1 2 t )
1 2
A2ent sin n n 1
nt 加了。
1.4 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
二、高阶系统分析
高阶系统分析
高阶系统的传递函数为：(s)
bm s m an s n
bm1sm1 ... b0 an1sn1 ... a0
,
m
n
写成零极点形式： m kg (s zi )
高阶系统分析，单位阶跃响应
c(t) a0 n1 a je p jt j 1
n2
n2
e lnlt l
c os nl
1l2t
e lnlt
l
sin nl
l 1
l 1
1l2t
可见，c(t)不仅与 p j , l ,nl （闭环极点）有关，而且与系数
a j , l , l有关（这些系数都与闭环零、极点有关）。所以，高
呈二阶系统的特性。反之，当 1 时，表示
p1, p2 离虚轴远，系统的瞬态特性主要由
p3p决3 离定虚，轴呈近一，阶
系统的特性。第二个因素是阻尼系数，同前。如下图所示：
c(t ) 2
1
0.1
0
图中，表示无 p3 极点，由图可见，加入极点 p3 后，当不变时，超调量下降了，但调节时间增
高阶系统分析(了解)
一、典型三阶系统的瞬态响应
传递函数：(s) 点分布如下：
(s2
2
n2 ns n2
)(Ts
1)
，当 0 1时，极
p1 n jn
1 2 , p2 n jn
1
2
,
p3
1 T
p2
p3
n
p1
n 1 2
0
n 1 2
三阶系统单位阶跃响应
单位阶跃响应的表达式和曲线：
1
2
2t
A3e p3t
式中： tg1 1 2
三阶系统单位阶跃响应
[分析]：三阶系统的单位阶跃响应由三部分组成：稳态项，共轭复极点形成的振荡分量，实极点构成的衰减指数项分量。
影响瞬态特性的有两个因素：第一是 p3和 p1, p2 的相对位置。当 1
时p3n，，表它示表示
p3
离虚轴
远， p1, p2 离虚轴近，系统的瞬态特性主要由 p1, p2 决定，
(s) n1
i 1 n2
, n1 2n2 n, m n
(s p j )
(s2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l nl
s
2 nl
)
j 1
l 1
其单位阶跃响应函数为：
C(s) (s) 1 s
a0 s
n1 j 1
aj s pj
n2 l 1
l (s lnl ) lnl 1 l 2 s2 2 lnl s nl 2
p)
z p
而 lim s 1 s (s2
s0
n2z 2 ns n2 ) p
z p
小结
零、极点位置对高阶系统单位阶跃响应曲线的影响情况。极点位置决定衰减快慢，零点和极点同时决定各项系数的大小
主导极点高阶系统简化为二阶系统的原则
衰减慢且系数大的项在瞬态过程中起主导作用。
[主导极点]：满足下列条件的极点称为主导极点。存在一对离虚轴最近的共轭极点；附近无零点；其他极点距虚轴的距离是它的5倍以上。
主导极点及应用
主导极点在c(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬态性能指标主要由它决定。具有主导极点的高阶系统可近似为二阶系统。

合集下载

自动控制原理第三章控制系统的时域分析—3高阶系统时域分析

ct 1 a1 exp nt cos d t a2 exp nt sind t a3 exp Pt
其中： d n 1 2
2
ct 1 a1 exp ntcosdt a2 exp ntsin dt a3 exp Pt
三阶系统
ct
1
e
xp
n
t
cosd
t
1
2
s
ind
t
二阶系统
从以上分析中看出，极点的类型决定了输出情况 ❖系统稳定所有极点在s-p左半面（全为“左根”）
两者相比，仅仅是多了一项由新增极点确定的衰减项
1
a3 b 2 b 21
a3 0 a3 exp Pt 0
b 2 b 21 2 b 12 1 2 0
新增极点引发的自由运动模态项对过渡过程的影响是：
使最大超调减小，使调节时间增加
3
1.闭环极点对过渡过程的影响 s1,2 n jn 1 2
首先讨论典型三阶系统的瞬态响应，然后进行更具一般形式的高阶系统的瞬态响应分析。从下面的讨论中，可以看到:
高阶系统的瞬态响应是由若干个一阶系统和二阶系统的瞬态响应线性叠加而成。
1
1.三阶系统的单位阶跃响应
典型三阶系统的闭环传函可表示成：
(s)
C(s) R(s)
(s
P)(s2
Pn 2 2ns
n2 )
3-4 高阶系统的时域分析
由二阶以上微分方程描述的控制系统称为高阶系统。工程上，高阶系统是普遍存在的。本节的目的不在于研究高阶系统的过渡过程本身，而在于通过对三阶系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程讨论，引出闭环主导极点的概念。以便将高阶系统在一定条件下转化为具有一对闭环主导极点的二阶系统进行分析研究。

自动控制原理第三章(二,三)

非单位反馈系统图非单位反馈系统图偏差 e(t) ： e(t)= r(t)-b(t)，其确定，的关系为的关系为： E ( s ) 终值定理 1
R( s )
=
lim f (t ) = lim sF ( s ) t → ∞ s → H(s) 0
1 + G( s ) H ( s )
稳态误差的一般计算式
k =1
r
+ ∑Ck e−ζ kωnkt sin( ωnk 1 − ζ 2 × t)
(t ≥ 0)
由此可见，由此可见，高阶系统的时域响应是由稳态值和一些惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量所组成。惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量所组成。
C(s) =
C(t) = Α0 + ∑Αi e Α q Α
k nk
各瞬态分量在过渡过程中所起作用的大小，各瞬态分量在过渡过程中所起作用的大小，将取决于它们的指数 P 、 ζ kωnk的值和相应项的系 i 的大小。如果系统所有极点都分布在S 数 Αi 、 Bk 、 Ck 的大小。如果系统所有极点都分布在S 平面的左半部分，即所有极点均具有负实部，那么，平面的左半部分，即所有极点均具有负实部，那么，趋于无穷大时，式中的指数项都趋于零，当t趋于无穷大时，式中的指数项都趋于零，系统的响应达到稳态值。应达到稳态值。由式可以看出，在瞬态过程中，由式可以看出，在瞬态过程中，某衰减项的指的值越大，则该项衰减越快，反之亦然。数 P 或 ζ kωnk的值越大，则该项衰减越快，反之亦然。 i 就是系统的极点到虚轴的距离，因此，而 P 和 ζ kωnk就是系统的极点到虚轴的距离，因此， i 如果分布在S平面左半部分的极点离虚轴越远，如果分布在S平面左半部分的极点离虚轴越远，则它对应的分量衰减越快。显然，应的分量衰减越快。显然，对系统过渡过程影响最大的，是那些离虚轴最近的极点。是那些离虚轴最近的极点。

《自动控制原理》习题及解答03

t1
T[ln(
T
T
)
ln
0.9]
则
tr
t2
t1
T
ln
0.9 0.1
2.2T
3) 求 ts
h(ts )
0.95
1
T T
e ts
/T
ts
T[ln
T T
ln 0.05]
T[ln
T T
ln 20]
T[3
ln
T T
]
3-3 一阶系统结构图如题 3-3 图所示。要求系统闭环增益 K 2 ，调节时间 ts 0.4 （s），试确定参数 K1, K 2 的值。
3-15 虚根。
h() lim s (s) 1 2.5
s0
s
已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半 s 平面根的个数及纯
4 1 )(s
1)
T1
T2
T1
T2
1 0.25
C(s) (s)R(s)
4
= C0 C1 C2
s(s 1)(s 4) s s 1 s 4
C0
lim s (s) R(s)
s0
lim
4
s0 (s 1)(s
4)
1
C1
lim (s
s1
1) (s)
R(s)
lim
s0
4 s(s
4)
4 3
考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换
s 2C(s) s c(0) c(0) 5 s C(s) c(0) 62.5C(s) 0 整理得 s 2 5s 62.5 C(s) s 5c(0) c(0)
对单位反馈系统有 e(t) r(t) c(t) ，所以

自动控制原理-第3章-时域分析法

系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进行计算，计算过程相对简单，易于实现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算，计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点

自动控制原理 ch 3-3 快速性分析——高阶系统

电弧焊熔焊直径控制
幸运的是，高阶系统通常都可以近似为一阶和二阶控制系统的形式！
希望 Rs 直径
控制器
焊接过程

K 电弧 s 2 电流
1 0.5s 1s 1
C s
熔焊直径
1 0.005s 1 视觉传感器
K 10
s
0.05s 10 0.0025s 4 0.5125s 3 2.52 s 2 4.01s 3
2 h

1 s
s pi
i 1
n

A Ak 1 0 s s k 1 s pk
n

q r A0 Ai B s Ch 2 h 2 s i 1 s pi h 1 s 2 h h h
A0 s C s |s 0
Ak s pk C s |s pk
m m 1
* 零极点 K s z1 s z 2 s z m s p1 s p2 s pn 形式
对高阶系统的瞬态响应起主导作用！偶极子
—— 如果闭环零点和极点的距离比其模值小一个数量级，则该极点和零点构成一对偶极子，可以对消。
K * s z j
返回
C s
0 .2 5 1 0.0388 s 0.0302 1.0776 s s 0.2 s 2 2 s 5 s s2 2s 5 s 0 .2
n s0
15 8 6 4
呈一阶系统特性！
s0 n
2 1 0.8 0.6 0.4 s0 0.2
前页
距离虚轴近的闭环极点，对应的响应分量衰减得慢，在整个响应中起主导作用，是主导极点。闭环零点只影响各极点处留数的大小，即各个瞬态分量的系数（相对强度）。如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略——偶极子。前页

自动控制原理第三章

5
3-2 一阶系统的时域分析
用一阶微分方程描述的控制系统
3-2-1 一阶系统数学描述 RC电路其微分方程为：电路，例如 RC电路，其微分方程为：
R + r(t) _ I
1 Cs
+ C c(t) _ C(s)
ɺ T c+c = r
其中：c(t) 为电路输出电压，其中：为电路输出电压， R(s) UR r(t) 为电路输入电压，为电路输入电压， T=RC为时间常数为时间常数由原理图得系统结构图。由原理图得系统结构图。 R(s) 当初始条件为零时，其传递函数为: 当初始条件为零时，其传递函数为 C ( s) 1 = Φ ( s) = 一阶惯性环节 R(s) Ts + 1
t − 1 2 c (t ) = t − Tt + T 2 1 − e T 2
误差：误差：

(t ≥ 0)

t − e (t ) = r (t ) − c (t ) = Tt − T 1 − e T 2
(t ≥ 0)
跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能跟踪加速度输入。因此，一阶系统不能跟踪加速度输入。
1 R
-
1 Ts
C(s)
6
3-2-2 一阶系统单位阶跃响应系统输入：系统输入：R(s ) = 1 系统输出：系统输出：C ( s ) = Φ ( s ) R( s ) = 1 ⋅ 1 Ts + 1 s 1 T = − s Ts + 1 变换， Λ−1变换，得：h( t ) = 1 − e ,t ≥ 0 阶跃响应的特点：阶跃响应的特点： 1 1) 在 t=0 时的斜率最大，为：时的斜率最大，

自动控制原理第三章二阶系统PPT

tr t p
ts
t
第一节系统的时域性能指标
2．抗扰性能指标
（1）动态降落如果控制系统在稳态运行中受到扰 c(t) △cmax ±5% 动作用 , 经历一段动态过程后又能达到新系统输出 C∞1 的最大降落的稳态。可用抗扰性能指标来描述系统值。的抗扰性能. 0 t tν （2）恢复时间系统输出恢复到与误差带范围所需的根据系统在负载扰动之后的典型过时间。度过程定义抗扰性能指标: 返回
n n
ωdtr+β=0,π,2π…
第三节二阶系统性能分析
2. 峰值时间tp -ζ ω t t -ωne e ω sin( ωdtp+β)] 2 ζ cos( ω t + β ) [ nβ 1ζ c(t)=1Sin( ω t+ ) = 1-ζ2 d p d 2
n p
n
1-ζ =0 dc(tp) =0 则根据定义有 -ζ ω n sin(ωdtp+β)=0 1-ζ2 cos(ωdtp+β) dt
第三节二阶系统性能分析
1. ζ >1 过阻尼
两个不相等 S1.2 = - ζ ω n ±ω n ζ 2 -1 的负实数根 A1 A2 A3 ωn C(s)= = + S S-S1 S-S2 S(S-S1)(S-S2) 拉氏反变换
c(t)=A1+A2es1t+A3es2t
系统输出随时间单调上升，无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数；根据一种典型信号的响应，就可推知于其它。
第二节一阶系统性能分析

自动控制原理-第3章

响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章线性系统的时域分析法
图 3-2 动态性能指标
第三章线性系统的时域分析法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出, 除简单的一、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼对应的过渡过程时间最短。在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。因此在控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章线性系统的时域分析法

自动控制原理第三章一二阶系统的暂态响应分析

2016年2月8日第三章自动控制系统的时域分析
（2）斜坡信号 (等速度信号）ramp input signal
0，t 0 xr (t ) At，t 0
A=1时称为单位斜坡信号
记为：xr (t ) t ，
1 X r ( s ) L[t ] 2 s
2016年2月8日
特征根：
p1,2 n n 2 1
特征根的性质取决于的大小；二阶系统的时间响应取决于和 n 两个参数，按以下情况来研究二阶系统的时间响应。
1
2016年2月8日
1
0 1
0
0
第三章自动控制系统的时域分析
2 p ( 1)n 特征根（闭环极点）： 1,2
4T，当 2%时 ts 3T，当 5%时
上升时间
t r 2.20T
稳态性能指标
ess=输出期望值-输出实际值 =1-xc(∞)=1-1=0
结论：T （惯性）越小，调节时间ts越小，响应过程的快速性越好。
2016年2月8日第三章自动控制系统的时域分析
例3.1、一阶系统的结构如下图所示。试求该系统
（5）正弦函数
xr (t ) Asint
Xr s A 2 s 2
0
t
2016年2月8日
第三章自动控制系统的时域分析
本章主要以单位阶跃函数作为系统的输入量来
分析系统的暂态响应。
2016年2月8日
第三章自动控制系统的时域分析
3、系统响应过程
当输入信号突然跳变时，输出量还处在原有的平衡状态，这样就出现了偏差，这个偏差控制输出量达到新的平衡，这就是一个调节过程。