范文函数模型的应用实例练习题及答案解析
专题3.4 函数的应用(解析版)
专题3.4函数的应用1．一次函数模型的应用一次函数模型：f (x )=kx +b (k ,b 为常数，k ≠0).一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.2．二次函数模型的应用二次函数模型：f (x )=+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0).二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型.3．幂函数模型的应用幂函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.4．分段函数模型的应用由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.5．“对勾”函数模型的应用对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y =ax +(a >0,b >0)，当x >0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运一、单选题1．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B ()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．2．设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．()1,+∞C ．[)1,+∞D ．(),1-∞【答案】D 因为()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时，()2xf x -=显然单调递减；当0x >时，()2f x x =-也是单调递减；且()002101f ==-=，即函数图像连续不断，所以()f x 在其定义域上单调递减，由()()12f x f x +<可得12x x +>，解得1x <.故选：D.3．根据表格中的数据，可以断定方程(2)0( 2.72)x e x e -+=≈的一个根所在的区间是（）x －10123ex 0.371 2.727.4020.12x ＋212345A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)【答案】C【解析】设函数()(2)0x f x e x =-+=，(1)0.3710,(0)120,(1) 2.7230f f f -=-<=-<=-<，(2)7.4040f =->，∴(1)(2)0f f <，又()(2)x f x e x =-+在区间(1，2)连续，∴函数()f x 在区间(1，2)存在零点，∴方程根所在的区间为(1，2)，故选：C.4．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩,若实数(0,1)m ∈,则函数()()g x f x m =-的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】令()()0g x f x m =-=，得()f x m =，根据分段函数()f x 的解析式，做出函数()f x 的图象，如下图所示，因为(0,1)m ∈，由图象可得出函数()()g x f x m =-的零点个数为3个，故选：D.5．某地一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：h ）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则()C t 与t 之间的函数图像大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题图看出，0=t 时，()0C t =，排除B ；在[]0,4上，()C t 不断增大，在[]4,8上，()C t 先是一个定值，然后增大，在[]812，上，()C t 不断增大，在[]1220，上，()C t 是个定值，在[]20,24上，()C t 不断增大，故选D.6．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．若每人离开甲地的距离S与所用时间t的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是A．甲是(1)，乙是(2)B．甲是(1)，乙是(4)C．甲是(3)，乙是(2)D．甲是(3)，乙是(4)【答案】B【解析】由甲先骑自行车后跑步，故图象斜率先大后小，则甲图象为(1)或(3)，由乙先跑步后骑自行车，故图象斜率先小后大，则乙图象为(2)或(4)，又甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中y随x的变化比乙后一半路程y随x的变化要快，所以甲为(1)，乙为(4)．故选：B．7．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是A．413.7元B．513.7元C．546.6元D．548.7元【答案】C【解析】依题意可得，因为168200<，所以购买A商品没有优惠，则A商品的价格为168元．当购买价值500元的物品时实际付款为5000.9450423⨯=>，所以购买B商品享受了9折优惠，则B商品的原价为4234700.9=元．若一次性购买两件商品则付款总额为168+470=638元，则应付款(638500)0.75000.9546.6-⨯+⨯=元，故选C8．给下图的容器甲注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系：（）．A ．B ．B ．C ．D ．【答案】B 试题分析：容器下端较窄，上端较宽，当均匀的注入水时，刚开始的一段时间高度变化较大，随时时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化不太明显，四个图像中只有B 项符合特点二、解答题9．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价()P x （元/套）与时间x （被调查的一个月内的第x 天）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k 为正常数）．该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：x 10202530()Q x 110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k 的值；(2)给出两种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入()f x （130x ≤≤，*N x ∈）（元）的最小值．【答案】(1)1k =(2)选择②，()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)121元【解析】(1)因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，解得1k =；(2)由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:()|25|Q x a x b=-+代入数据可得：11010251202025a b a b ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得1a =-，125b =，所以()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)由（2）可得，()**100,125,N 12525150,2530,N x x x Q x x x x x ⎧+≤<∈=--=⎨-≤≤∈⎩，所以，()()()**10010125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x ⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩，所以当125x ≤<，*N x ∈时，100()101f x x x=++在区间[1,10]上单调递减，在区间[10,25)上单调递增，所以当10x =时，()f x 有最小值，且为121；当2530x ≤≤，*N x ∈时，150()149f x x x=+-为单调递减函数，所以当30x =时，()f x 有最小值，且为124，综上，当10x =时，()f x 有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒【答案】(1)()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+，由已知得2000,2060,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故函数()v x 的表达式为()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)依题意并由(1)可得()260,020,()1200,202003x x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩，当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20＝1200；当20200x <≤时，()21()100100003f x x ⎡⎤=---⎣⎦，∴当100x =时，()f x 在区间(20，200]上取得最大值1000033333≈，∵3333＞1200，∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．11．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y =161,04815,4102x xx x ⎧-≤≤⎪⎪-⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.(精确到0.11.4)【答案】(1)8天(2)1.6【解析】(1)解：∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜，则当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥，∴此时04x ≤≤．当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，∴此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．(2)解：设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，浓度()()()1161625114428614a g x x a x a x x =-+-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=-+-----⎝⎭⎣⎦，∵[]1448x -∈，，而14a ≤≤，∴8[]4,，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a -．令44a -≥，解得244a -≤，∴y a的最小值为24 1.6-．12．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()f x 与投资额x 成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】(1)()()108f x x x =≥，())0g x x =≥(2)投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大为3万元【解析】(1)依题意：可设()()10f x k x x =≥，())0g x k x =≥，∵()1118f k ==，()2112g k ==，∴()()108f x x x =≥，())0g x x =≥.(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元，年收益为y 万元，依题意得：()()20y f x g x =+-，即)0208x y x =+≤≤，令t =则220x t =-，0,t ⎡∈⎣，则22082t t y -=+，0,t ⎡∈⎣()21238t =--+，所以当2t =，即16x =万元时，收益最大，max 3y =万元.13．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （[]0,10x ∈）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭（万件），其中k 为工厂工人的复工率（[]0.5,1k ∈），A 公司生产t 万件防护服还需投入成本20950x t ++（万元）．(1)将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；(2)当复工率0.8k =时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．【答案】(1)3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈(2)当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元【解析】(1)由题意得()802095030820y x t x t t x =+-+-=--1236030682018082044k k x k x x x ⎛⎫=---=--- ⎪++⎝⎭，即3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈.(2)由0.8k =，得288288144820812444y x x x x =---=--+++，因()28828888432248326444x x x x +=++-≥⨯-=++，当且仅当2x =时取等号，所以6412460y ≤-+=.故当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元.14．已知函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数.(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性,并证明你的结论.【答案】(1)()2f x x -=;(2)函数()f x 为偶函数;(3)()f x 在()0,∞+上单调递减,证明见解析.（1）因为函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数，则2221m m -+=，解得1m =，故()2f x x -=．（2）函数()2f x x -=为偶函数．证明如下：由（1）知()2f x x -=，其定义域为{}0x x ≠关于原点对称，因为对于定义域内的任意x ，都有()()()()222211f x x x f x xx ---=-====-，故函数()2f x x -=为偶函数．（3）()f x 在()0,∞+上单调递减．证明如下：在()0,∞+上任取1x ，2x ，不妨设120x x <<，则()()221212221211f x f x x xx x ---=-=-()()2221212122221212x x x x x x x x x x -+-===，()12,0,x x ∈+∞且12x x <，222121120,0,0x x x x x x ∴-<+>>，()()12f x f x >()f x ∴在()0,∞+上单调递减.。
(10)函数模型及其应用 Word版含答案
寒假作业（10）函数模型及其应用1、根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M N 最接近的是( )(参考数据:lg30.48≈) A.3310 B.5310 C.7310 D.93102、一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽 车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么（ ）A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追t 汽车C.人追不上汽车，其间距最少为5米D.人追不上汽车，其间距最少为7米3、某市原来的民用电价为0.52元()/kW h ⋅,换装分时电表后,峰时段的电价为0.55元()/kW h ⋅,谷时段的电价为0.30元()/kW h ⋅.对于一个平均每天用电量为15kW h ⋅的家庭,要使节省的电费不少于原来电费的20%,则这个家庭每天在峰时段的平均用电量至多为( )A. 6.5kW h ⋅B. 6.96kW h ⋅C. 7.5kW h ⋅D. 8kW h ⋅4、据调査，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普 通车存车数为x 辆次，存车费总收人为y 元，则y 关于的x 函数关系式为( )A.0.1800(04000)y x x =+≤≤B.0.11200(04000)y x x =+≤≤C.0.1800(04000)y x x =-+≤≤D.0.11200(04000)y x x =-+≤≤5、生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为1()2202C x x x 2=++ (万元).一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月生产该商品数量应为( ) A.18万件 B.20万件 C.16万件 D.8万件6、某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (双)的函数解析式为540000y x =+,而手套出厂价格为每双10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( )A.2000双B.4000双C.6000双D.8000双7、某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位:万元)分别为21 5.06 1.5L x x =-，22L x =， 其中x 为销售量（单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）A.45. 606万元B.45. 6万元C.46. 8 万元D.46. 806 万元8、某乡镇企业有一个蔬菜生产基地共有8位工人，过去每人年薪为1万元，从今年起，计划每人每年的工资比上一年增加20%，并且每年新招3位工人，每位新工人第一年年薪为8千元，第二年开始拿与老工人一样数额的年薪，那么第n 年付给工人的工资总额y (万元)表示成n 的函数为( )A.(35) 1.2 2.4n y n =+⨯+B.8 1.2 2.4n y n =⨯+C.(38) 1.2 2.4n y n =+⨯+D.1(35) 1.2 2.4n y n -=+⨯+9、乙从A 地到B 地，途中前一半时间的行驶速度为1v ，后一半时间的行驶速度是2v （12v v <），则乙从A 地到B 地所走过的路程s 与时间t 的关系图示为( )A. B. C. D.10、某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购苹果，并以每千克2.5元买进，如果购买的苹果为x 千克，小王付款后的剩余现金为y 元，则y 与x 之间的函数解析式为( )A.3000 2.5(1001200)y x x =-≤≤B.3000 2.5(1001200)y x x =-<<C.3000 2.5(01200)y x x =-<<D.3000 2.5(01200)y x x =-≤≤11、已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份x 满足关系()0.5x y a b =⋅+,现已知该厂今年1月2月生产该产品分别为1万件、1.5万件,则此厂3 月份该产品产量为__________。
2020年九年级数学中考复习专题专题：函数模型的应用(含答案)
专题：函数模型的应用1.超市以每千克40元的价格购进夏威夷果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种夏威夷果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价多少元？2.如图①，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h(单位：m)与下行时间x(单位：s)之间具有函数关系h＝－310x＋6，乙离一楼地面的高度y(单位：m)与下行时间x(单位：s)的函数关系如图②所示．(1)求y关于x的函数解析式；(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．3.某智能品牌店，在销售某型号运动手环时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号运动手环8个与将标价直降100元销售7个获利相同.（1）求该型号运动手环的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号运动手环的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出38个；若每个运动手环每降价20元，每月可多售出2辆，求该型号运动手环降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？4.一水果店以进价为每千克16元购进万荣苹果，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（千克），每天获利为w（元）.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；该苹果售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果商家规定这种苹果每天的销售量不低于40千克，求商家每天销售利润的最大值是多少元？5.挂灯笼成为我国的一种传统文化. 小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元.①求出y与x之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？6.甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg.在乙批发店，一次购买数量不超过50 kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50 kg时，其中有50 kg的价格仍为7元/kg，超出50 kg部分的价格为5元/kg.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x kg(x＞0)．(Ⅰ)根据题意填表：(Ⅱ)设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；(Ⅲ)根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为________kg；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买数量多．7.某工厂计划生产甲乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元，设该工厂生产了甲产品x(吨)，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y(万元)．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．8.某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可销售出100件，根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每月少销售出2件，设每件商品的售价为x元．每个月的销售为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；(3)当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？9.某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化，设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元，y与x 之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的关系式；(2)设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p (万台)，p 与x 的关系可以用p ＝12x ＋12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？10. 某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y (件)是售价x (元/件)的一次函数，其售价，周销售量，周销售利润w (元)的三组对应值如下表：(1)①求y 关于x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；②该商品进价是________元/件；当售价是____元/件时，周销售利润最大，最大利润是______元；(2)由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件(m >0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m 的值．参考答案1. 解：(1)设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ， ∵当x ＝2，y ＝120；当x ＝4，y ＝140；∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝120，4k ＋b ＝140， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝100.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100； (2)由题意得(60－40－x )(10x ＋100)＝2090， 整理得x 2－10x ＋9＝0， 解得x 1＝1，x 2＝9. ∵让顾客得到更大的实惠， ∴x ＝9，答：超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价9元．2. 解：(1)设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把点(0，6)(15，3)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧6＝b ，3＝15k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－15，b ＝6，∴y 关于x 的函数解析式为y ＝－15x ＋6；(2)甲：当h ＝0时，得x ＝20.乙：当y＝0时，得x＝30.∵20＜30，∴甲先到达一楼地面．3.解：(1)设该型号运动手环的进价为x元，根据题意得[(1＋50%)x×0.9－x]×8＝[(1＋50%)x－100－x]×7，∴x＝1000，∴(1＋50%)x＝1500元，∴该型号运动手环的进价为1000元，标价为1500元；(4分) (2)设该型号运动手环降价y元，利润为w元．根据题意得w＝(38＋y20×2)(1500－1000－y)＝(38＋0.1y)(500－y)＝－0.1(y－60)2＋19360，当y＝60时，w有最大值19360.∴降价60元，每月获利最大，最大利润为19360元．4.解：(1)根据题意得y＝50－5(x－20)＝－5x＋150；(2)根据题意得w＝(x－16)(－5x＋150)＝－5x2＋230x－2400，∴w与x的函数关系式为：w＝－5x2＋230x－2400＝－5(x－23)2＋245.∵－5 <0，∴当x＝23时，w有最大值，最大值为245.(5分)答：w与x之间的函数关系式为w＝－5x2＋230x－2400.该苹果售价定为每千克23元时，每天销售利润最大，最大利润是245元；(3)根据题意得－5x＋150≥40，解得x≤22.∵w＝－5(x－23)2＋245.∵－5＜0，w≤23时，w随x增大而增大，∴当x＝22时w有最大值，其最大值为－5×(22－23)2＋245＝240(元)．答：商家每天销售利润的最大值是240元．5.解：(1)设甲种灯笼进价为x元/对，则乙种灯笼的进价为(x＋9)元/对，由题意得3120 x＝4200 x＋9，解得x＝26，经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，∴x＋9＝26＋9＝35，答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；(2)①y＝(50＋x－35)(98－2x)＝－2x2＋68x＋1470，答：y与x之间的函数解析式为：y＝－2x2＋68x＋1470；②∵a＝－2<0，∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x＝－b2a＝17，物价部门规定其销售单价不高于每对65元，∴x＋50≤65，∴x≤15，∵x<17时，y随x的增大而增大，∴当x＝15时，y最大＝2040.∴15＋50＝65.答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．6.解：(Ⅰ)180，900，210，850；【解法提示】甲批发店花费：当x＝30时，花费为30×6＝180；当x＝150时，花费为150×6＝900.乙批发店花费：当x ＝30时，花费为30×7＝210；当x ＝150时，花费为50×7＋(150－50)×5＝850.(Ⅱ)y 1＝6x (x >0)， 当0<x ≤50时，y 2＝7x ；当x >50时，y 2＝7×50＋5(x －50)，即y 2＝5x ＋100；即y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧7x （0＜x ≤50），5x ＋100（x ＞50）.(Ⅲ)①100；②乙；③甲．【解法提示】①当0＜x ≤50时，甲批发店和乙批发店花费不可能相同，则x ＞50时，令y 1＝y 2，则6x ＝5x ＋100，解得x ＝100；②当x ＝120时，y 1＝6×120＝720，y 2＝5×120＋100＝700，∵720＞700，∴在乙批发店购买花费少；③对甲批发店而言：令y 1＝360，则6x ＝360，解得x ＝60.对乙批发店而言：当x ＝50时，花费为350＜360，则令5x ＋100＝360，解得x ＝52，∵60＞52，∴小王花费360元时，在甲批发店购买数量多．7. 解：(1)y ＝x ·0.3＋(2500－x )·0.4＝－0.1x ＋1000； (2)由题意得x ·0.25＋(2500－x )·0.5≤1000，解得x ≥1000. 又∵x ≤2500， ∴1000≤x ≤2500. 由(1)可知，－0.1<0，∴y 的值随着x 的增加而减小，∴当x ＝1000时，y 取最大值，此时生产乙种产品2500－1000＝1500(吨) 答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润． 8. 解：(1)根据题意得y ＝ 100－2(x －60)＝－2x ＋220(60≤x ≤110)；(2)由题意可得：(－2x ＋220)(x －40)＝2250. x 2－150x ＋5525＝0， 解得x 1＝65，x 2＝85.答：当每件商品的售价定为65元或85元时，利润恰好是2250元； (3)设利润为W 元，∴W ＝(x －40)(－2x ＋220)＝－2x 2＋300x －8800＝－2(x －75)2＋2450. ∵a ＝－2<0， ∴抛物线开口向下． ∵60≤x ≤110，∴当x ＝75时，W 有最大值，W 最大＝2450(元)．答：当售价定为75元时，获得最大利润，最大利润是2450元． 9. 解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由图象可知，将点(1，7000)，(5，5000)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝7000，5k ＋b ＝5000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－500，b ＝7500，∴y 关于x 的函数关系式为y ＝－500x ＋7500； (2)设销售收入为W ，根据题意得 W ＝yp ＝(－500x ＋7500)·(12x ＋12)，整理得W ＝－250(x －7)2＋16000，∵－250＜0，∴W 在x ＝7时取得最大值，最大值为16000元， 此时该产品每台的销售价格为－500×7＋7500＝4000元．答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格为4000元．10. 解：(1)①y ＝－2x ＋200； ②40，70，1800；(2)由题意可知w ＝(－2x ＋200)×(x －40－m )＝－2x 2＋(280＋2m )x －8000－200m ，对称轴为直线x ＝140＋m2，∵m ＞0，∴对称轴x ＝140＋m2＞70，∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝65时，y max ＝1400，代入表达式解得m ＝5.。
函数模型及其应用Word版含答案
函数模型及其应用【课前回顾】1．几类函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：【课前快练】1．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( )答案：B2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：选B 设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A ．减少7.84%B ．增加7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减解析：选A 设某商品原来价格为a ，依题意得： a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ， 所以(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是____________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞1005.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)． 答案：2 500考点一 一次、二次函数模型及分段函数模型的应用1．解题入口——准确构建函数模型(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．2．解题过程——谨防3种失误(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(3)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．【典型例题】牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．[学审题]①空闲率是指“1－xm ”；②利用(1)的函数关系求羊群年增长量的最大值；③构造一个关于k 的含参数m 的不等式，解不等式后即可求出k 的取值范围．解：(1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为xm ，故空闲率为1－xm ，由此可得y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m (0＜x ＜m )． (2)由(1)知y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m ＝－km (x 2－mx ) ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km4. 即当x ＝m 2时，y 取得最大值km4.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0＜x ＋y ＜m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km4，所以0＜m 2＋km4＜m ，解得－2＜k ＜2.又因为k ＞0，所以0＜k ＜2. 故k 的取值范围为(0,2)．【针对训练】为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y 关于x 的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0.解得x ≥2.3，∵x 为整数，∴3≤x ≤6. 当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈Z ). (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z)， 显然当x ＝6时，y max ＝185.对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z)，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．考点二 函数y ＝ax ＋bx 模型的应用1．应用函数y ＝ax ＋bx模型的2个关键点(1)明确对勾函数是由正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝bx 叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋bx 的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f (x )＝ax ＋bx的形式．2．谨防2种失误(1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f (x )＝ax ＋bx 求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．【典型例题】某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．[构建模型]因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )元．从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥2300x ·3x ＋357＝417， 当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【针对训练】某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝__________米．解析：设横段面的高为h ， 根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )·32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)， y ＝18x ＋3x 2≥218x ·3x2＝63，当且仅当18x ＝3x2，即x ＝23时取等号．故所求防洪堤的腰长为23米． 答案：2 3考点三 指数、对数函数模型的应用1．谨记解决这类问题的2个关键(1)准确理解题意(有时为了叙述背景的需要，这类问题的题干有点长，因而认真审题，准确理解题意显得尤为重要)．(2)根据具体情境确定相关解题策略(如解决给出函数图象的实际应用问题，关键在于准确识图；而对于典题领悟这类指数函数、对数函数模型的实际应用问题，关键在于充分利用幂与对数的运算，以及指数函数、对数函数的图象与性质分析、解决问题)．2．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．【典型例题】候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．【针对训练】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a＝4，得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5. 故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)． 【课后演练】1．下列函数中，随x 的增大，y 的增大速度最快的是( ) A ．y ＝0.001e x B ．y ＝1 000ln x C ．y ＝x 1 000D ．y ＝1 000·2x解析：选A 在对数函数，幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B 、C ；指数函数中，底数越大，函数增大速度越快，故选A.2．用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3米B ．4米C ．6米D ．12米解析：选A 设隔墙的长为x (0＜x ＜6)米，矩形的面积为y 平方米，则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，y 取得最大值．故选A.3．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D 将x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；将x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.4．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx ≥2x 10·4 000x －30＝10，当且仅当x 10＝4 000x ，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ，解得0<x ≤503. 因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.6．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析：选D 根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．7．(2018·西安八校联考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．答案：208．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9. 答案：99.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x＝6时，y ＝1909.答案：190910．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，所以2＝e 12k ，所以k ＝2ln 2，所以y ＝e 2t ln 2， 当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024. 答案：1 02411．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：选C 如x ＝1时，应付费2元， 此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.12．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝⎛⎭⎫12n ，由⎝⎛⎭⎫12n ＜11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.13.如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x2＝4－x ， 所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分， 且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D.14．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________； (2)最低种植成本是________(元/100 kg)．解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120， 代入数据⎩⎪⎨⎪⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80. 答案：(1)120 (2)8015．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套公寓房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．解析：由题意，设利润为y 元，每套房月租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N)．则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22＝204 800，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故当每套房月租金定为3 000＋50×6＝3 300元时，可使公司获得最大利润．答案：3 30016．某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7，假设该产品产销平衡，根据上述统计数据规律求：(1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？ 解：依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，(1)要使工厂有盈利，则有f (x )＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0，解得3＜x ＜10.5. 所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内． (2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5， 故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. 而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．17．某厂为巴西奥运会生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )(万元)．当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450.每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)由题意可得，当0＜x ＜80时，L (x )＝0.05×1 000x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x ＋250，当x ≥80时，L (x )＝0.05×1 000x －⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450＋250， 即L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，为950.当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000，∴当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值，为1 000.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．18. (2017 ·辽宁抚顺一模)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？ 解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， 故f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)．(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．。
第3章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例 word版含答案
3.2.2函数模型的应用实例学习目标：1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2.能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)3.了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．(重点)[自主预习·探新知]1．常见函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模拟y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)(6)分段函数y＝⎩⎨⎧ax＋b(x<m)，cx＋d(x≥m)思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？[提示]利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：[基础自测]1．思考辨析(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．()(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．()(3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．()[-=-=-=-=答案=-=-=-=-](1)√(2)√(3)√2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A．300只B．400只C．600只D．700只A[将x＝1，y＝100代入y＝a log2(x＋1)得，100＝a log2(1＋1)，解得a＝100.所以x ＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()【导学号：37102385】A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)D[由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)．]4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图3-2-5)，则客车有营运利润的时间不超过________年．图3-2-510[设二次函数y＝a(x－6)2＋11，又过点(4,7)，所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.解y≥0，得6－11≤x≤6＋11，∴0<x<10.][合作探究·攻重难]利用已知函数模型解决实际问题物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－T a＝(T0－T a)×⎝⎛⎭⎪⎫12th其中T a表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min，那么降温到32℃时，需要多长时间？【导学号：37102386】[解]先设定半衰期h，由题意知40－24＝(88－24)×⎝⎛⎭⎪⎫1220h，即14＝⎝⎛⎭⎪⎫1220h，解之，得h＝10，故原式可化简为，T－24＝(88－24)×⎝⎛⎭⎪⎫12t10，当T＝32时，代入上式，得，32－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10＝864＝18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，∴t ＝30. 因此，需要30 min ，可降温到32 ℃.[规律方法] 已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值. 1．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为： P ＝⎩⎨⎧t ＋20(0<t <25)，－t ＋100(25≤t ≤30).(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？ [解] 设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800(0<t <25)，t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30).(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)． 结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大.自建确定性函数模型解决实际问题牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域． (2)求羊群年增长量的最大值.【导学号：37102387】思路探究：畜养率―→空闲率―→y 与x 之间的函数关系――→单调性求最值[解] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为xm ，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m (0<x <m )．(2)对原二次函数配方，得y ＝－km (x 2－mx ) ＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km 4.即当x ＝m 2时，y 取得最大值km 4.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量. 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等. 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.拟合数据构建函数模型解决实际问题 [探究问题]1．画函数图象的一般步骤有哪些？ 提示：列表、描点、连线．2．学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学知识给予指导性说明吗？提示：第一步：收集样本一周的数据，制成样本点．如(1，x 1)，(2，x 2)，…，(7，x 7)． 第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示． 第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点． 第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整．某企业常年生产一种出口产品，自2014年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2014年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示：x 1 2 3 4 f (x )4.005.587.008.44(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2018年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2018年的年产量为多少？思路探究：描点――→依散点图选模――→待定系数法求模――→误差验模→用模 [解] (1)画出散点图，如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1.5，b ＝2.5，∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1. f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2018年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2018年的年产量为7万件． [规律方法] 函数拟合与预测的一般步骤是： (1)根据原始数据、表格，绘出散点图.(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线. (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. [跟踪训练]2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表： 身高/cm 60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式． (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？【导学号：37102388】[解] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．根据点的分布特征，可考虑以y ＝a ·b x 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y ＝a ·b x 得： ⎩⎪⎨⎪⎧7.9＝a ·b 7047.25＝a ·b 160，用计算器算得a ≈2，b ≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x .将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x 得y ＝2×1.02175，由计算器算得y ≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．[当 堂 达 标·固 双 基]1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图象如图3-2-6所示，那么图象所对应的函数模型是( )图3-2-6A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数A [由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．]2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )【导学号：37102389】A ．y ＝0.957 6x100 B ．y ＝(0.957 6)100x C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.957 6100xD ．y ＝1－0.042 4x100A [由题意可知y ＝(95.76%)x 100，即y ＝0.9576x100.]3．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为( )B [由题意h ＝20－5t (0≤t ≤4)，其图象为B.]4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元.【导学号：37102390】2 500 [∵每生产一单位产品，成本增加10万元， ∴单位产品数Q 时的总成本为2 000＋10Q 万元． ∵K (Q )＝40Q －120Q 2， ∴利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000 ＝－120Q 2＋30Q －2 000 ＝－120(Q －300)2＋2 500，∴Q ＝300时，利润L (Q )的最大值是2 500万元．]5．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．[解](1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．综上，s＝⎩⎪⎨⎪⎧60t(0≤t≤2.5)，150(2.5＜t≤3.5)，325－50t(3.5＜t≤6.5)，它的图象如图(1)所示．(1)(2)(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝⎩⎪⎨⎪⎧60(0≤t≤2.5)，0(2.5＜t≤3.5)，－50(3.5＜t≤6.5)，它的图象如图(2)所示．。
高一数学函数模型及其应用复习例题讲解
3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型一、点击考点1．数学模型为一次函数的问题一次函数也是最常见的一种函数模型，在初中就已经接触过。
［例］某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x (km)表示为时间t (h)（从A 地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v (km/h)表示为时间t (h)的函数，并画出函数的图象.［解］汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系是：⎪⎩⎪⎨⎧--=),5.3(50150,150,60t t x ].5.6,5.3(],5.3,5.2(],5.2,0[∈∈∈t t t它的图象右如图所示.速度v km/h 与时间t h 的函数关系是：⎪⎩⎪⎨⎧-,50,0,60x ).5.6,5.3[),5.3,5.2[),5.2,0[∈∈t t它的图象如右图所示2．数学模型为二次函数的问题二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。
［例］渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正党组织，比例系数为).0(>k k（1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围. ［例］（1）)0)(1(m x m x kx y <<-=；（2）∵.4)2()(22km m x m k mx x m k y +--=--= ∴当2m x =时，y 取得最大值.4km （3）依题意，为保证鱼群留有一定的生长空间，则有实际养殖量与年增长量的和小于最大养殖量，即.0m y x <+<因为当2m x =时，4km y =最大，所以联想到“a y x f y x f <⇔),(),(max ”这一等价转化命题，则有m km m <+<420，解得.22<<-k 但0>k ，从而得.20<<k 思考：本题中空闲养殖量与实际养殖率的关系如何？而实际养殖率与实际养殖量、最大养殖量的关系又是如何？3．数学模型为指数函数的问题一般地，形如)10(≠>=a a a y x 且的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数k a b y x +•=作为模型的应用问题很常见.［例］某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少31，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：4771.03lg ,3010.02lg ==） ［分析］每次过滤杂质含量降为原来的32，过滤n 次后杂质含量为n )32(1002•，结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型. ［解析］依题意，得10001)32(1002≤•n ，即201)32(≤n .则)2lg 1()3lg 2(lg +-≤-n ，故,4.72lg 3lg 2lg 1≈-+≥n 考虑到N ∈n ，即至少要过滤8次才能达到市场要求。
3.2.3 函数模型的应用实例 word版含解析
课时33 函数模型的应用实例对应学生用书P77知识点一已知函数模型的应用问题的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )-=-=-=答案=-=-=- D解析20至30分钟时距离没有变化．故选D.2．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据：lg2≈0.301，lg 3≈0.477)() A．10 B．9 C．8 D．7-=-=-=答案=-=-=- C解析设经过n次过滤，产品达到市场要求，则2100×23n≤11000，即23n≤120，由n lg23≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，所以选C.3．某个体企业的一个车间去年有8名工人，每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：万元)表示成n的函数，其表达式为( )A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4B．y＝8×1.2n＋2.4nC．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4-=-=-=答案=-=-=- A解析第一年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12(万元)，而对于4个选项而言，当n＝1时，C，D相对应的函数值均不为12，故可排除C，D.再考虑第二年企业付给工人的工资总额，第二年有11个老工人，3个新工人，工资总额为(11×1.22＋2.4)万元，故选A.4．大气温度y(℃)随着距离地面的高度x(km)的增加而降低，当在高度不低于11 km的高空时气温几乎不变．设地面气温为22 ℃，大约每上升1 km 大气温度降低6 ℃，则y 关于x 的函数为________．-=-=-=答案=-=-=- y ＝⎩⎪⎨⎪⎧22－6x ，0≤x <11，－44，x ≥11解析 由题意可知其为分段函数，x ＝11为分界点，易得其解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧22－6x ，0≤x <11，－44，x ≥11.知识点二函数拟合问题计算，则到2018年1月1日可取款( )A ．a (1＋x )5元B ．a (1＋x )4元C ．[a ＋(1＋x )5]元D ．a (1＋x 5)元 -=-=-=答案=-=-=- A解析 2013年1月1日到银行存入a 元，到2014年1月1日本息共a (1＋x )元，作为本金转入下一个周期，到2015年1月1日本息共a (1＋x )(1＋x )＝a (1＋x )2(元)，因此，到2018年1月1日可取款a (1＋x )5元，故选A.6．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．时间12 3 4 利润(千元) 23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )A．y＝log2x B．y＝2xC．y＝x2 D．y＝2x-=-=-=答案=-=-=- B解析把x＝1,2,3,4代入，只有y＝2x的值最接近表格中的对应值.易错点函数模型选择不当致误后每1 km增加1.6元(不足1 km按1 km计费)，则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为( )易错分析本题中，当乘坐里程x>3时，极易选择一次函数模型导致错选了D.-=-=-=答案=-=-=- C正解出租车起步价为10元(最远3 km的行程)，即在(0,3]内对应y值为10，以后每1 km增加1.6元，故选C.对应学生用书P77一、选择题1．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t 的函数，解析式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5＜t ≤3.5，150－50t －3.5，3.5＜t ≤6.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150－50t ，t ＞3.5-=-=-=答案=-=-=- C 解析 分三段建立函数关系： 当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ； 当2.5＜t ≤3.5时，x ＝150；当3.5＜t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)，∴选C.2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是( )-=-=-=答案=-=-=- A解析 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升．故正确选项为A.3．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－30 -=-=-=答案=-=-=- A解析 y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －1000－5x －110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1000， ∵x ＝150时，y max ＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.4．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )A ．y ＝(0.9576)x100B ．y ＝(0.9576)xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.9576100x D ．y ＝1－(0.0424)x 100-=-=-=答案=-=-=- A解析 设镭每年减少的比率为q ，依题意有y ＝(1－q )x ，且(1－q )100＝0.9576，∴1－q ＝0.95761100，∴y ＝0.9576x 100.5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50 -=-=-=答案=-=-=- C解析 依题意：49a ＝a ·e －50k ，∴e －k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49150.设经过t 1天后，则827a ＝a ·e－kt 1，∴827＝(e －k)t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49150t 1， ∴150t 1＝32，即t 1＝75. 二、填空题6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升． -=-=-=答案=-=-=- 8解析 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35600－35000＝600(千米)耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升．7．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v ＝5log 2q10(m/s)，其中q 表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________．-=-=-=答案=-=-=- 10 15 m/s解析 由题意，燕子静止时v ＝0，即5log 2q10＝0，解得q ＝10；当q ＝80时，v ＝5log 28010＝15(m/s)．8．已知元素“碳14”每经过5730年其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到百位数，lg 2≈0.3010，lg 4.1≈0.613)-=-=-=答案=-=-=- 7.4×103 解析 设距现在为x年，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x5730＝41%，两边取对数，x ≈7.4×103.三、解答题9．某商场出售一种商品，每天可卖1000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低多少元？解 设每件降价0.1x 元，则每件获利4－0.1x 元，每天卖出商品件数为(1000＋100x )．经济效益：y ＝(4－0.1x )(1000＋100x )＝－10x 2＋300x ＋4000＝－10(x －15)2＋6250.x ＝15时，y ＝6250.即单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．10．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度I 用瓦/平方米(W/m 2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10·lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答以下问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m 2，耳语的强度是1×10－10 W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？解 (1)由题意可知：树叶沙沙声的强度是I 1＝1×10－12 W/m 2，则I 1I 0＝1，所以LI 1＝10·lg 1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I 2＝1×10－10W/m 2，则I 2I 0＝102，所以LI 2＝10·lg 102＝20，即耳语的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I 3＝1×10－8W/m 2，则I 3I 0＝104，所以，LI 3＝10·lg 104＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝；(2)由题意知：0≤L1＜50即0≤10·lg II0＜50，所以，1≤II0＜105，即10－12≤I<10－7.所以新建的安静小区的声音强度I大于或等于10－12 W/m2，同时应小于10－7 W/m2.ruize。
人教A版必修一3.2.2函数模型的应用实例
类型一：难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到 所需接受能力的状态下讲授完这个难题？. 思路点拨：利用所给函数关系式解决有关问题
规律方法：本题是常数函数、一次函数、二次函数混合在一起的分段函数，自变量的取值 不同函数解析式可能不一样，这一点要特别注意.另外，函数的最值也是通过先求每一段 的最值，然后再作比较而求得. 变式训练1－1：某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为 了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产 量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或指数型函数，已知4月份该产品的产 量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
思路点拨：解答本题可首先根据表中数据作出散点图，然后通过观 察图象判断问题所适用的函数模型.
这样，我们得到一个函数模型：y=2.2+1.8x.作出函数图象如图（乙），可以发现，这 个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关 系. （3）由y=2.2+1.8×25，求得y=47.2，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.2公顷. 规律方法：对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题 ，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题. 函数拟合与预测的一般步骤是：
类型二：自建函数模型解应用题 【例2】 某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后，峰时段（早上八点到晚上 九点）的电价为0.55元/kW·h，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为0.35元 /kW·h.对于一个平均每月用电量为200 kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的 10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少kW·h？
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1．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系，则可选用( )
A ．一次函数
B ．二次函数
C ．指数型函数
D ．对数型函数
解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意；
二次函数在对称轴的两侧有增也有降；
而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；
因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．
2．某种植物生长发育的数量y
A ．y ＝2x －1
B ．y ＝x 2－1
C ．y ＝2x －1
D ．y ＝－＋2
解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.
3．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发了小时后，追上了骑自行车者． 其中正确信息的序号是( ) A ．①②③ B ．①③
C ．②③
D ．①② 解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了小时后，追上了骑自行车者，正确．
4．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x
2
时面积最大，此时x ＝________，面积S ＝________. 解析：依题意得：S ＝(4＋x )(3－x 2)＝－12
x 2＋x ＋12 ＝－12(x －1)2＋1212，∴当x ＝1时，S max ＝1212
. 答案：1 1212
1
)
A ．指数函数
B ．反比例函数
C ．一次函数
D ．二次函数
解析：选C.画出散点图，结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．
2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )
A ．14400亩
B ．172800亩
C ．17280亩
D ．20736亩
解析：选＝10000×(1＋20%)3＝17280.
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是( )
A ．增加%
B ．减少%
C ．减少%
D ．不增不减
解析：选B.设该商品原价为a ，
四年后价格为a (1＋2·(1－2＝.
所以(1－a ＝＝%a ，
即比原来减少了%.
4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次元，普通车存车费是每辆一次元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )
A ．y ＝＋800(0≤x ≤2000)
B ．y ＝＋1600(0≤x ≤2000)
C ．y ＝－＋800(0≤x ≤2000)
D ．y ＝－＋1600(0≤x ≤2000)
解析：选D.由题意知，变速车存车数为(2000－x )辆次，
则总收入y ＝＋(2000－x )×
＝＋1600－＝－＋1600(0≤x ≤2000)．
5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )
解析：选C.设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12
a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方．故选C.
6．小蜥蜴体长15 cm ，体重15 g ，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm 时，它的体重大约是( )
A ．20 g
B ．25 g
C ．35 g
D ．40 g
解析：选C.假设小蜥蜴从15 cm 长到20 cm ，体形是相似的．这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而
体积与体长的立方成正比．记体长为20 cm 的蜥蜴的体重为W 20，因此有W 20＝W 15·20315
3≈(g)，合理的答案为35 g ．故选C.
7．现测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1；乙：y ＝3x －1.若
又测得(x ，y )的一组对应值为(3,，则应选用________作为拟合模型较好．
解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好． 答案：甲
8．一根弹簧，挂重100 N 的重物时，伸长20 cm ，当挂重150 N 的重物时，弹簧伸长________．
解析：由10020＝150x
，得x ＝30. 答案：30 cm
9．某工厂8年来某产品年产量y 与时间t 年的函数关系如图，则：
①前3年总产量增长速度越来越快；
②前3年中总产量增长速度越来越慢；
③第3年后，这种产品停止生产；
④第3年后，这种产品年产量保持不变．
以上说法中正确的是________．
解析：观察图中单位时间内产品产量y 变化量快慢可知①④.
答案：①④
10.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可近似看作一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，函数图象如图所示．
(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S 元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润最大毛利润是多少此时的销售量是多少
解：(1)由图象知，当x ＝600时，y ＝400；当x ＝700时，y ＝300，代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 400＝600k ＋b ，300＝700k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪
⎧ k ＝－1，b ＝1000.
所以，y ＝－x ＋1000(500≤x ≤800)．
(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy ，
成本总价＝成本单价×销售量＝500y ，
代入求毛利润的公式，得
S ＝xy －500y ＝x (－x ＋1000)－500(－x ＋1000)
＝－x 2＋1500x －500000
＝－(x －750)2＋62500(500≤x ≤800)．
所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．
11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间
t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·(12
)t h ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期． 现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到35 ℃时，需要多长时间
解：由题意知40－24＝(88－24)·(12
)20h ， 即14＝(12
)20h . 解之，得h ＝10.
故T －24＝(88－24)·(12
)t 10. 当T ＝35时，代入上式，得
35－24＝(88－24)·(12
)t 10， 即(12)t 10＝1164
. 两边取对数，用计算器求得t ≈25.
因此，约需要25 min ，可降温到35 ℃.
12．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.
(1)经过x 年后，该地区的廉价住房为y 万平方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域．
(2)作出函数y ＝f (x )的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米
解：(1)经过1年后，廉价住房面积为
200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后为200(1＋5%)2；
…
经过x 年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x ，
∴y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *)．
(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象，如图所示．
作直线y ＝300，与函数y ＝200(1＋5%)x 的图象交于A 点，则A (x 0,300)，A 点的横坐标x 0的值就是函
数值y ＝300时所经过的时间x 的值．
因为8<x 0<9，则取x 0＝9，
即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．。