初中奥数经典代数部分精选
奥数讲义-第1讲代数⑴-希望杯学生版
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩数论整式与因式分解分式根式考点一：数论1． 考察内容：⑴ 完全平方数：考察解完全平方数问题的基本模型；⑵ 整除：考察整除的性质，余数，商，最大公约数、最小公倍数等内容． ⑶ 分数：关于最简分数或最简分数与完全平方数的结合．2． 需要掌握的基本知识、方法质数：⑴ 1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数．⑵ 若质数|p ab ，则必有|p a 或|p b ．⑶ 若正整数,a b 的积是质数p ，则必有a p =或b p =完全平方数：解完全平方数问题的一个基本模型：2m k a +=，2m h b +=（m ，a ，b 为未知数，k ，h 为常数） 两式相减可得，()()a b a b k h +-=-然后将k h -分解成几个整数的乘积的形式来求解a ，b 的值．【例1】 ⑴（第20届希望杯培训题）从1到2009这2009个自然数中，数码和等于18的数有_______个．⑵（第20届希望杯培训题）若2821-能被110与130之间的三个自然数整除，那么这三个自然数分别是_________．【例2】 ⑴（第20届希望杯培训题）若对于任意的自然数n ，213n a ++都是8的倍数，那么满足条件的最第1讲希望杯专题——代数（一）小的自然数a 是________．⑵（第17届”希望杯”试题）已知m n l ，，都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385，则m n l ++的最大值是__________，最小值是__________．【例3】 ⑴ （2007年”希望杯”初赛试题）若n 是质数，且分数417n n -+不约分或经过约分后是一个最简 分数的平方，则n =_____或_________．⑵ （2008年”希望杯”培训题）已知k 是正整数，且12007k ≤≤，分数2008kk+是最简分数，那么这样的最简分数有_________个．【例4】 （第14届”希望杯”初试）已知p ，q 都是质数，以x 为未知数的方程597px q +=的根是1，则401014p q ++的值是_________．【例5】 ⑴（2007年”希望杯”试题）Let A abcd = be a four –digit number ．if 400abcd is a square ofan integer ，then A =_______or________．⑵（第16届”希望杯”试题）A ，n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n 等于__________．考点二：整式与因式分解1． 考察内容：乘法公式：主要考察常见的平方差、完全平方、立方和、立方差等公式； 因式分解：提取公因式、公式法、十字相乘、分组分解．2． 需要掌握的基本知识、方法 整式的乘除 ： ⑴ 课外公式：① 3()a b +=322333a a b ab b +++② 3()a b -=322333a a b ab b -+- ③ ()()x a x b ++=2()x a b x ab +++ ④ ()()ax b cx d ++=2()acx ad bc x bd +++ ⑵ 乘法公式的变形：① 22a b +=22()2()2a b ab a b ab +-=-+② 2()a b +=2()4a b ab -+ ③ 2()a b -=2()4a b ab +- ④ 22()()a b a b ++-=222()a b + ⑤ 22()()a b a b +--=4ab ⑥ 3()a b +=333()a b ab a b +++ ⑦ 33a b +=3()3()a b ab a b +-+⑧ 3()a b -=33()3()a b ab a b --- ⑶ 完全平方公式的推广：① 2()a b c ++=222222a b c ab bc ca +++++② 2()a b c d +++=2222222222a b c d ab ac ad bc bd ca +++++++++【例6】 （第20届希望杯培训题）两位同学将同一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(1)(9)x x --，另一位同学因看错了常数项而分解成2(2)(4)x x --，则将原多项式分解因式后，正确的结果应该是_________．【例7】 （第20届希望杯培训题）下列各图中表示的a ，b 的位置关系，能使10ab a b -+-<成立的是（ ）(A)b 10a-1(B)-1a 01b (C)-1a 01b (D)-1a 01b【例1】 ⑴ （2008年”希望杯”培训试题）设,x y 是整数，且1x ≠±，1y ≠±，()(2)(1)x y x y xy xy +++++ (1)0xy -=，则由,x y 组成的实数对(,)x y 的个数是 （ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ．4⑵ （第16届”希望杯”试题）已知a 是整数，x ，y 是方程210x xy ax ay --++=的整数解，则x y -=_______或_________． 【例2】 （第15届”希望杯”试题）已知,,x y z 是三个互不相同的非零实数，设222a x y z =++，b xy yz zx =++，222111c x y z =++，111d xy yz zx=++，则a 与b 的大小关系是________，c 与d 的大小关系是________．考点三：分式1．考察内容⑴ 分式的概念及性质：① 分式的分子可以含有字母，但分母必须含有字母 ② 分母不为零的条件是分式概念的组成部分③ 分式值为零的条件，只有在分式有意义的前提下，才讨论分式的值，故分式值为零的条件是：分子为零且分母不为零2． 需要掌握的基本知识、方法 ⑴ 比例性质、引参法； ⑵ 分式的化简求值．⑶ 分式运算中的技巧：根据题目的特点恰当地通分，并以整式变形、因式分解为工具进行运算 ⑷ 有条件的分式的化简与求值技巧： ① 恰当引入参数进行换元； ② 取倒数或利用倒数关系； ③ 拆项变形或拆分变形； ④ 整体代入；⑤ 利用比例性质等【例8】 ⑴（第20届希望杯培训题）已知0a b c ++=，0abc ≠，则222222222111a b c b c a c a b ++=+-+-+-____________． ⑵（2007年培训题）设正数a ，b ，c ，x ，y 满足：a c ≠，6223x y +=，222221x xy y a b c++=，222221x xy y c b a ++=，则代数式 222111a b c++的值为 ．【例9】 ⑴（第20届希望杯培训题）已知x ，y ，z 为实数，且1111x y z ++=，333827216x y z ==，那么x =_________，y =__________，z =______________．⑵ (第11届”希望杯”2试) 已知9p q r ++=，且222p q r x yz y zx z xy ==---， 则px qy rzx y z++++等 于_________（A ）9 （B ）10 （C ）8 （D ）7考点四：根式和幂1．考察内容⑴ 数的开方的概念：平方根、立方根、算术平方根⑵ 注意：① 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根② 正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0 ③ 非负数才有算术根；算术根一定是非负数⑶ 根式的化简技巧：（1）有理化；（2）配方法；（3）待定系数法2．需要掌握的基本知识、方法⑴ 根式的相关知识：平方根、算术平方根、立方根、n 次方根等．⑵ 二次根式的化简求值方法：①直接代入法 ②简化条件法 ③配方法 ④方程法 ⑤换元法等 ⑶ 关于求2a b ±的算术平方根① 一般设2a b ±=2()x y ±（0x y >>），其中x y axy b +=⎧⎨=⎩，通过解方程组就可以求出,x y ．即2a b ±=x y ±；② 可通过构造对偶式的方法整体处理．例如化简A B +，就可构造A B -．设m A B A B =++-，n A B A B =+--，则1()2A B m n +=+，1()2A B m n -=-【例10】 （第20届希望杯培训题）已知412009x =，492009y =，则11x y+的值等于（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【例11】 （第15届”希望杯”初试）[]x 表示不大于的最大整数，如[3.15]3=，[ 2.7]3-=-，[4]4=，则1223...20032004________1002⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯+⨯++⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦=（A ）1001 （B ）2003 （C ）2004 （D ）1002【例12】 ⑴ (“希望杯”培训题)计算423423-++=_________．⑵（2007年”希望杯”培训题）化简132527235+++【例13】 ⑴（第20届希望杯培训题）计算：2009201120132015165⨯⨯⨯++=________________．⑵ (第9届“希望杯”2试)化简199819992000200114⨯⨯⨯+⑶（第15届”希望杯”初试）化简121212...12322-----(共有n 重根号)的结果是_____习题1. 使方程32200x y +=成立的正整数对()x y ，有（ ）**个 B.33个 C.30个 D.18个习题2. 已知a b c ，，都是正整数，且2008abc =，则a b c ++的最小值为________.习题3. （第20届希望杯培训题）若代数式32222mx x x m +-+有因式1x -，则m 的值是__________．习题4. （2008年”希望杯”培训题）已知五位数88***能被2008整除，则所得的商是 （ ）A ．36B ．41C ．46D ．151习题5. （2008年”希望杯”培训题）分解因式：11()()()m n m n m n m n n a ab a ab a b ab a b +++--+=_______．习题6. （第20届希望杯培训题）若0x >，0y >，且20x xy y +-=，则2009[(23)()()]x y x y x y -+-的值等于__________．习题7. （第20届希望杯培训题）若1xy =，则代数式44114x y +的最小值是___________．习题8. （第17届”希望杯”初试）已知221x =+，则分式23291115x x x x ----的值等于____习题9. （2007年”希望杯”试题）如果实数a b ≠，且101101a b a b a b ++=++，那么a b +的值等于 ．。
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
初中数学竞赛题汇编(代数部分2)
初中数学竞赛题汇编（代数部分2）江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、解答例1：已知a 2＋b 2＝6ab ，且a ＞b ＞0，求 。
解：由已知得 (a ＋b)2＝8ab ， (a －b)2＝4ab ，所以 ＝2，因a ＞b ＞0，所以a ＋b 、a －b 均为正数，故 ＝ 。
例2：计算 的值 。
解：因＝2， 所以 ＝ 。
例3：已知 ，求解：由已知得 2(a ＋b)2＝ab ，即 ＝－所以 ＝ ＝ 。
例4：已知 ， ，求 ＝？解：由 得 ，由 得 ，所以 ＝ ＋ ＝1。
例5：已知若abc =1，求证 。
分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难。
可以充分利用abc=1，将它们化成同分母。
在1++a ab a 的分子、分母上同乘c ，化成1++=++c ca ca c ac abc ac ，将1++b bc b的分母1111=++++++++c ca c b bc b a ab a中的“1”换成abc 得cac abc b bc b ++=++11，然后再相加即可得证。
证明：∵ abc =1 ∴ = + = =1 。
例6：已知bc=ad ，求证：ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd证明：因bc=ad ，所以 由比例的性质得……① ……② ……③ ①×②×③得 ， 所以ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd∴ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd 。
例7：已知x=by+cz ，y=cz+ax ，z=ax+by ，且x+y+z ≠0，. 证明：1111=+++++cc b b a a 证明：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=(3) (2)(1) by ax z ax cz y cz by x (2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax ，所以xz y x a x x z y a 21 2++=+-+=则 所以 z y x x z y a a ++-+=+1 同理可得，z y x y z x b b ++-+=+1，z y x z y x c c ++-+=+1 所以 1111=++++=+++++zy x z y x c c b b a a 例8：已知x 、y 、z 满足关系式1=+++++y x z x z y z y x ， 证明：0222=+++++yx z x z y z y x 证明：将已知等式分别乘以x 、y 、z 得111++++++++c ca c b bc b a ab a 1++c ca ca 1+++c ca c ca c ++1111++++c ca cca ()()()()b d ad c d c d b c b a b a 22-+=-+x yx xz x z xy z y x =+++++2 ① y yx yz x z y z y xy =+++++2 ② z yx z x z yz z y xz =+++++2③ ①+②+③ 得zy x y x yz y x xz x z yz x z xy z y xz z y xy y x z x z y z y x ++=+++++++++++++++++)()()(222所以z y x z y x yx z x z y z y x ++=++++++++222 即：0222=+++++yx z x z y z y x 例9：试用关于（x-1）的各次幂表示多项式322435x x x -+-。
奥数知识系列(2)-数与代数(2)
4、最大公约数和最小公倍数 （1）a与b的最大公约数与它们的最小公倍数的乘 积等于这两个数和乘积。 （2）若a>b，则a-b与b的最大公约数就等于a与b的 最大公约数。 （3）a+b与b的最大公约数，等于a与b的最大公约 数。 将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁片剪成 边长是整厘米数、面积相等的正方形铁片，恰无 剩余，问：至少能剪成多少块？
假设最后剩下n堆，每堆3粒，则在此之前一共 进行了（n-1）次操作，而每次操作都扔去一粒，则 一共扔去（n-1）粒，因此，3n+(n-1)=1001。 即4n=1002。1002不是4的倍数，故假设不正 确。
（4）数的整除性中的最大、最小值问题 在1994的右边补上三个数字，变成一个七位数 M，若M能被3、4、5整除，求M的最大值。
第一种书总价为248.40元，第二种书的总 价为258.48元；每个学生应付7.04元。
（2）判断整除性的第二个方法是利用分解质因数 由1995个1组成的111· · · 1能否被41整除？
“任意一个三位数连着写两遍得到的六位数一定 同时能被7、11、13整除”这个结论对吗？为什么？
（3）判断具有某一性质的整数不能被另一个整数整 除，一般可先假设该整数能被另一整数整除，再设 法找出矛盾。 桌上有一堆石子共1001粒，第一步从中扔去一 粒石子，并将剩下的石子分成两堆，以后的每一步， 都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这 堆分成两堆，试问：能否在若干步以后，桌上的每 一堆都刚好是3粒石子？
N a1 a2 a3 am
则N的所有的约数之和为：
2 2 n1)(1 2 n2) (1 nm) (1 a1 a1 a1 a2 a2 a2 am am am
初三数学奥数辅导代数部分完美
（一）知识梳理
1、整式的知识点： （1）高次二项式的变形公式：
x y
5
5
3 x
x y
6
6
3 3 3 3 x y 2x y 4 x
y
3
2 x
y
2
2 2 x y
x y x y
2
x y
7
7
y
奥数培训教程
（初中竞赛，代数部分）
初中竞赛代数内容主要分为四部分
代数式的求值问题
方程与方程组的求解问题及其应用
一元一次不等式（组）及二元一次不等式
（组）的求解及应用 二次函数问题
一、代数式的求值问题
代数式求值的相关考点： 的求值问题
3、二次根式的知识点
（2）二次根式具有如下性质：
（3）二次根式的运算法则如下：
(5)若a b c 0，则a 0, b 0
（6）二次根式的求值
基本思路：先将二次根式化为最简根式
再作加减乘除运算
特殊的方法、技巧：换元法、拆项法、因式 分解法、运用乘法公式、分母有理化。
（二）例题分析 1、公式法求值
例（1）x 3xy 10 y x 9 y 2
2 2
（2） k 为何值时， x 2 xy ky 3x 5 y 2
2 2
能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式
（3） ( x2 3x 2)(4 x2 8x 3) 90
（11）幂指数运算性质：
a a a
4
3 x
y
3
3 3 x y
（2）乘法公式： 完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2
初三奥数题知识点归纳总结
初三奥数题知识点归纳总结奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项对学生逻辑思维、数学能力和解题能力的全面考察。
随着初中阶段的学习逐渐加深，初三学生也面临着更多的奥数竞赛挑战。
为了帮助初三学生更好地备战奥数竞赛，下面将对初三奥数题的知识点进行归纳总结，以供学生们参考。
一、代数1.1 因式分解因式分解是求解代数式的重要方法之一。
常见的因式分解类型有：- 平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$- 二次三项式：$ax^2+bx+c$- 完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$- 公因式提取法：将多个代数式中公共的因式提取出来。
1.2 方程与不等式在初三奥数题中，方程和不等式是常见的考察对象。
学生需要学会：- 方程中解的求解方法，包括一次方程、二次方程等。
- 不等式的解集判断方法，包括一次不等式、二次不等式等。
- 方程和不等式的应用问题解法。
1.3 函数与图像初三的奥数题中，函数与图像是一个重要的考察内容。
学生需要了解函数与图像的性质，包括函数的增减性、奇偶性、周期性等。
同时，学生还需要学会画出简单函数的图像，并能根据图像判断函数的性质。
二、几何2.1 图形的面积和周长几何中，图形的面积和周长是一个必须熟练掌握的知识点。
学生需要熟悉各类图形的面积和周长公式，例如矩形、正方形、三角形、圆等。
同时，学生需要能够灵活运用这些公式解决实际问题。
2.2 三角形三角形是初三奥数题中常见的图形之一。
学生需要了解各类三角形的性质，包括等腰三角形、直角三角形、等边三角形等。
此外，学生还需要学会利用三角形的性质求解相关的问题，如三角形的面积、角度关系等。
2.3 平行四边形与梯形平行四边形和梯形也是初三奥数题中常见的图形类型。
学生需要了解这些图形的性质，包括平行四边形的对角线性质、梯形的高、面积等。
三、数论3.1 整数性质整数是数论中的一个重要部分，初三奥数题中经常涉及到与整数相关的问题。
学生需要了解整数性质，包括整除性质、最大公因数与最小公倍数的求解方法等。
初中一年级同步奥数培优-代数式的意义和简化(代数式的简化)
初中一年级同步奥数培优-代数式的意义和简化(代数式的简化)初中一年级同步奥数培优-代数式的意义和简化代数式是代数学中的基本概念之一，对于初中一年级的学生来说，了解代数式的意义和简化方法是非常重要的。
本文将介绍代数式的意义以及简化代数式的方式。
代数式的意义代数式是由数字、字母和运算符号组成的数学表达式。
它的意义在于表示数学关系和模式，帮助我们解决实际问题。
通过代数式，我们可以将问题抽象化，更好地理解和分析数学关系。
代数式可以表示各种数学概念，例如数列、方程、不等式等。
它们可以帮助我们研究和解决数学问题，提供了一种通用且简洁的表达方式。
代数式的简化简化代数式是指将复杂的代数式转化为更简单的形式。
简化代数式有助于我们更好地理解和计算数学问题。
以下是一些常见的简化代数式的方法：1. 合并同类项：将具有相同字母指数的项相加或相减，得到一个简化的代数式。
例如，将2x + 3x简化为5x。
2. 提取公因式：将代数式中的公因式提取出来，得到一个可简化的形式。
例如，将4x + 6y简化为2(2x + 3y)。
3. 展开式子：将括号中的代数式进行乘法运算，得到一个展开的形式。
例如，将(x + 2)(x - 3)展开为x^2 - x - 6。
4. 化简复杂的分式：将分子和分母进行因式分解，并约简得到最简分式的形式。
例如，将(2x^2 - 4x) / (4x)化简为x - 1。
简化代数式的目的是为了得到一个更简洁和易于理解的表达形式，从而更方便进行数学运算和问题求解。
通过深入理解代数式的意义和掌握简化方法，初中一年级的学生将能够更好地应用代数知识解决问题，提高数学水平。
> 注意：本文所述的内容旨在帮助学生理解代数式的意义和简化方法，具体教学内容应根据学生的实际需求和教师的指导进行调整和补充。
参考资料：。
奥数讲义-第2讲代数⑵-希望杯学生版
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩方程与不等式一次函数与反比例函数杂题应用题考点一：方程与不等式1．分式方程 2．绝对值方程 3．一次不等式【例1】 （第20届希望杯培训题）方程22(2008)(2007)1x x -+-=的解为___________．【例2】 （第20届希望杯培训题）对于实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，记{}[]x x x =-．已知当12x <≤时，有{}x ax b =+，且a ，b 为常数，则a =________，b =_________．【例3】 ⑴（第20届希望杯培训题）若6a b c ++=，23a b c -+=，且0b c ≥≥，那么a 的最大值与最小值分别是（ ）A ．3和0B ．6和32C ．3和32D ．6和0⑵ （第20届希望杯培训题）已知3a ≤，1b ≤，4c -≤，如果8a b c +-=，则abc =___________．第2讲希望杯专题——代数（二）【例4】 ⑴（第20届希望杯培训题）若不等式组302(1)0x a x a +<⎧⎨-+>⎩的解集为空集，则a 的取值范围是_________．⑵ （2007“希望杯”试题）分式方程 225111mx x x +=+--会产生增根，则m = 或 ．【例5】 （第20届希望杯培训题）若正整数a ，b 使等式()(1)20092a b a b a ++-+=成立，求a 和b 的值．考点二：一次函数与反比例函数1．一次函数与反比例函数的基础知识； 2．一次函数与反比例函数的交点； 3．求一次函数反比例函数的解析式；4．一次函数、反比例函数与三角形、四边形知识的简单综合．【例6】 ⑴（第20届希望杯培训题）Given m is a real number ， in the system of coordinates of right angle ，if point (32)P m m -+， does not belong to any quadrant ， then point (34)P m m '+-， is in ( )A ．the first quadrantB ．the second quadrantC ．the third quadrantD ．the fourth quadrant（英汉词典：belong to 属于；quadrant 象限）⑵ （2008年“希望杯”培训题）若一次函数1y a x =-与22008y x a =+的图像的交点在第三象限，则实数a 的取值范围是_________．【例7】 ⑴ （第20届希望杯培训题）已知一次函数y kx b =+的自变量x 的取值范围是36x -≤≤，相应的y 的取值范围是52y --≤≤，那么k b +的值是________或________． ⑵ (第16届“希望杯”初试)在式子y kx b =+（k b ，为常数）中，当31x -≤≤时，19y ≤≤，则2k b - 的值为 或 ．【例8】 （第20届希望杯培训题）Given 32()f x ax bx cx d =+++，if when x takes the value of its inversenumber ， the corresponding value of ()f x is also the inverse number ， and (2)0f =， then c da b+=+________．【例9】 （第20届希望杯培训题）如图25，已知()0(123)nA n n =，，，，是直角坐标系横轴上的一系列点，线段1n n A A +的垂直平分线交函数1xy =的图象于点n B ，设点n B 到横轴的距离为n l ，则122009l l l +++=____________．考点三：杂题【例10】 （第20届希望杯培训题）九张纸上各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张纸上的数字的和是10，乙拿的两张纸上的数字的差是1，丙拿的两张纸上的数字的积是24，丁拿的两张纸上的数字的商是3，最后剩下的一张纸上的数字是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【例11】 （第20届希望杯培训题）用0、1、2三个数码组成四位数，这三个数码中的每一个至少出现一次，这样的四位数共有（ ） A ．52个 B ．26个 C ．24个 D ．20个【例12】 （第20届希望杯培训题）某人出门时看了一下家里的时钟，时刻是晚上6时多，不到6点半，而且时针与分针恰好成直角，过了一段时间后回家，再看一下时钟，已经是晚上7时多，过了7点半而且时针与分针仍成直角，那么他出门在外的时间是（ ） A ．1小时30分钟 B ．1小时36分钟C ．1小时42011分钟D ．1小时36011分钟考点四：应用题【例13】 （第20届希望杯培训题）一桶油，连桶带油的质量为21千克，先用掉一半的油，再用掉剩下的连油带桶质量的一半的油，这时剩下的油连桶的质量为6千克，则原来桶里油的质量是_________千克．【例14】 （第20届希望杯培训题）甲、乙两个工程队共同建设某项工程，先是甲单独做10天，然后乙队加入合作，完成剩下的全部工程．设工程总量为单位1，工程进度满足如图8所示的函数关系，那么实际完成这项工程所用的时间比由甲单独完成这项工作所用的时间少（ ） A ．15天 B ．14天 C ．13天 D ．12天图 8O工作量天数16101 4121 图 25OyxA n+1A nl n B n习题1. （第19届希望杯初试）初二⑴班有48名同学，其中男同学n 名，将他们编成1号、2号，…，n号．在寒假期间，1号给3名同学打电话，2号给4名同学打电话，3号给5名同学打电话，…，n 号同学给一半同学打电话，由此可知该班女同学的人数是（ ） A ．22 B ．24 C ．25 D ．26习题2. （第19届希望杯第一试）一次函数y kx b =+的图象经过点()05，和()40B ，，则在该图象和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个习题3. （第19届希望杯第一试）有一个运算程序，可以使：当m n k ⊗=（k 为常数）时，得()()1112m n k m n k +⊗=-⊗+=+，．现在，已知112⊗=，那么20072007⊗=________．习题4. （第20届希望杯培训题）已知关于x 的方程5514228x x a -=+，当a 取某些自然数时，方程的根是自然数，则满足条件的a 的最小值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8习题5. ⑴（第15届“希望杯”试题）方程31121x x x --+=+的解是_______或________．⑵（第18届“希望杯”试题）关于x 的不等式123x x -+-≤的所有整数解的和是 ．习题6. （第20届希望杯培训题）不等式20096200923x x +>+的解集是___________．习题7. （第20届希望杯培训题）若关于x 的方程1322a xx x-=---无解，那么实数a =________．习题8. （第20届希望杯培训题）由一次函数2y x =+，25y x =-+和x 轴围成的三角形的面积等于________．习题9. （第20届希望杯培训题）已知一次函数(3)2y m x =--的图象不经过第二象限，一次函数(4)3y m x =-+的图象不经过第三象限，化简：2281696m m m m -+-+-=____________．图 50-2123-154321O y=-2x+5y=x+2x y。
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第一章 实数及代数式的运算和求值求解有关实数及代数式运算和求最值问题的基本方法1.整体代换方法 例1. 当219941+=x 时，多项式()20013199419974--x x 的值为 。
例2. 已知代数式19975213=++by ax ，当2=x 时，4-=y ；当4-=x ，21-=y 时，求代数式49862433+-by ax 的值。
例3. 已知1313+-=a ，则=+-+-4565234a a a a 。
例4. 若实数z y x ,,满足2005104,173=++=++z y x z y x 则分式zy x yx 2004200420043+++的值为 。
例5. 设0199719961995333>==xyz z y x ，，且,1997199619951997199619953333222++=++z y x 则=++zy x 111 。
2. 利用公式化简计算 例6. 计算下列分式的值：()()()()()()()()()()21996199321072852632412199719942118296274252+⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯例7. 乘积⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2231-121-1…⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2220001-119991-1等于 3. 换元法例8.=+++++++aa a a a a a a a a 9898939392929... ，其中a >0.例9. 计算2-316-2-324++。
例10. 已知k a a a a a a a a a a a a a a a a =++=++=++=++4321342124311432，求k 的值。
求和方法1.逆序相加法例11.计算=++++++++50009900-9999...5000300-335000200-225000100-1122222222 2.裂项抵消求和方法例12. 计算=+⨯+++⨯++⨯++⨯8102961 (882187118601)例13. 计算：（1）1×2+2×3+3×4+…+n(n+1);（2）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2) 注：用类似方法可证明：()()()()()()()()()121111212154314321321⨯⨯⋅⋅⋅⨯-+⨯+⋅+=-+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⨯+⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯++⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯+⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯k n k n k k n n n n k k k k k k ;2. 公式法 例14. 计算（1）; (3212)222n ++++（2）....3213333n ++++4.典型例题解题思维策略分析例15. 设215-=a 则，=-+---+a a a a a a 3234522a 例16. 已知333124++=a ，那么=++32133a a a 例17. 数10021,...,,x x x 满足下列条件：对于k x k ,100,...,2,1=比其余99个数之和小k ，则25x 的值为例18. 若0≠=++abc c b a 计算()()()()()()abb a ca ac bc c b 22222211111-1--+--+-的值例19. 设10098981001...10881018668164461++++++++=S 则S =课后练习1. 已知实数y x ,满足()()20082008200822=----y y x x ，则2007332322--+-y x y x 的值为2. 已知132=+-a a 则，2219294a a a ++--的值为 3. 已知zy x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为 4. 计算：()()()()()()()()()()=++++++++++6435642764196411643643964316423641564744444444445. 已知d c b a ,,,是四个不同的有理数，且()()1a c a d ++=，()(),1=++d b c b 则()()=++c b c a6. 已知,0142=++a a 且32212324=+++-ama a ma a ，求m 的值。
7. 已知()()()，32322-222375x Cx B x A x x x +-+-=-++其中C B A ,,为常数，则=++C B A 2 8. 若实数z y x ,,满足==+++=+xyz x z z y y x ，则371,11,41 9. 已知对任意正整数,321...n a a a n n =+++都有则=-++-+-+-11...111111100432a a a a10. 设2321,2321-+=+-=y x ，求出xy y x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222的值。
第二章 因式分解因式分解的方法1.分组分解法例1. 分解因式：.13332345+--+-x x x x x 例2. 分解因式:.2222az xz xy yz axyz yz x ---++ 2.公式法例3. 分解因式：()()().42b ac b a c ----例4. 分解因式：()().222222a x a x a a x x ++++例5. 分解因式：.3333abc c b a -++ 3.拆项与添项方法例6. 分解因式：.12224a ax x x -+++例7. 分解因式：.222444222222c b a a c c b b a ---++ 4.换元法例8. 分解因式：()()().53x 4-31x 33++++x例9. 在实数范围内分解因式：()()()().95311-+++-x x x x例10. 分解因式：().444y x y x +++3. 十字相乘法例11. 分解因式：()().232222c x b a c x b a -++-例12. 分解因式：.2310322++---y x y xy x 例13. 分解因式：.37232222z yz xz y xy x -+--- 4. 利用因式定理和综合除法例14. 分解因式：().277223-+-=x x x x f例15. 分解因式：().67624---=x x x x f5. 利待定系数法例16. 分解因式：().2234+++=x x x x f例17. 当k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分成两个一次因式的乘积？对称多项式与轮换对称多项式的因式分解方法例18. 分解因式：()().abc c b a ca bc ab -++++例19. 分解因式：()()()().4444444c b a a c c b b a c b a ++++-+-+-++例20. 分解因式：()()().444b ac a c b c b a -+-+-4.典型例题解题思维策略分析例21. 已知a 是正整数，且1512223+-+a a a 表示质数，求这个质数。
例22. 把()()()()abcd d c b a d b a c d a c b d c b a 16+--+--+--++++分解因式。
例23. 分解因式：()()()91729522---+a a a 。
例24. 把多项z y xy xyz y x z x x 222232242-++--式分解因式 例25. 分解因式：()()().2212xy y x y x xy -+-++-例26. 分解因式：().3333z y x z y x ---++课后练习1. 满足等式2003200320032003=+--+xy y x x y y x 的正整数对()y x ,的个数是2. 在实数范围内分解因式：.443234---+x x x x 3. 设d c b a ,,,是四个整数，且使得()()22222241d c b a cd ab m --+-+=是一个非零整数，求证：m 一定是合数。
4. 若22251996199619951995+⨯+=a ，证明：a 是一个完全平方数（即a 等于另一个整数b 的平方）第三章 方程与方程组1.高次方程（组）的解法1.换元法例1. 解方程:（1）;01256895612234=+-+-x x x x（2）.0125522345=--+-+x x x x x 例2. 方程组165232526=+-=+-=+xz zxz y yz y x xy （ ）A .没有解B .有一组解C .有三组解D .以上答案都不对 2.变更主元法例3. 解方程010********=++++x x x 例4. 若实数y x ,满足163433333=+++y x ，165453333=+++yx ，则=+y x 3.构造辅助方程法例5. 解方程3437322=+--++x x x x 。
例6. 解方程组 ()⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+181232822y y x x y x例7. 解方程组：.78,52,39zx yz x xy z yz xy z xz y xy xz y yz x -=+-=+-=+ 2.分式方程（组）和无理方程（组）的解法例8. 解方程.13213223232222+-++=+-++x x x x x x x x例9. 方程()x x x x x 31372722-=+--+的解是 。
3.对含字母的方程（组）的解得性质的讨论例10. 若方程0122=-+ax x a 和022=--a ax x 有公共根，求a 的值。
例11. 若关于x的方程x kx x x x x k 1122+=---只有一个解，试求k 的值与方程的解。
4.典型例题解题思维策略分析例12. 若关于x 的方程()012122=-+-mx x m 的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 .例13. 已知实数b a ≠，且满足()()()(),1313,133122+-=++-=+b b a a ，则b a a a b b+的值为例14. 设a c b z b c a y c b a x -+=-+=-+=,,，其中c b a ,,为待定质数。
如果2,2=-=y z y x ，试求积abc 的所有可能值。
例15. 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+612331y y x y x y x 例16. 有若干自然数，它们的平均数为11，若去掉一个最大自然数，它们的平均数为10，若去掉一个最小自然数，它们的平均数为12，这些自然数最多有多少个？这时最大自然数是什么数？（注：这里自然数指的是正整数）例17. 设y x b a ,,,满足,42,16,7,3443322=+=+=+=+by ax by ax by ax by ax 求55by ax +的值课后练习1. 方程256323+-=++y y x x x 的整数解的个数是2. 已知k 为整数，若关于x 的二次方程()01322=+++x k kx 有有理根，则k 的值是3. 若以x 为未知数的方程()23122112+-+=---x x a x a x 无解，则=a 或 或 4. 方程组()⎩⎨⎧+==--z y x xyz z y x 232333的正整数解是5. 若,71357139722x x x x x =+-+++则=x6. 已知方程()01213262=-+-+m x m x 恰有一个正整数解，求正整数.m7. 若,1≥a 那么方程x x a a =+-的实数解之和等于多少？第四章 不等式1.不等式的运用1.比较数或式的大小及不等式的证明方法例1. 比较两数14914920092008++=A 与14914920102009++=B 的大小 例2. 试比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++=121...5131111n n x 与⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n y 21...41211的大小 例3. 已知a>0,b>0,并且,1=+b a 证明：.2251122≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a例4. 若a>0,b>0 ,233=+b a 证明：.2≤+b a例5. 已知321,,x x x 为实数且,18,6232221321≤++=++x x x x x x 证明：40≤≤i x （3,2,1=i ） 例6. 设a >0 b >0 c >0且1222=++c b a ，证明：.233111222≥-+-+-c c b b a a 例7. 设a,b,c 是正数，且abc =1 证明：.1111111≤⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a c c b b a 2.含[]x 和{}x 的问题的解法 例8. 已知,731,731⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=y x 则()=++xy x 712例9. 解方程.5715865-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x x 例10. 设x 是实数，证明：[][];221x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++例11. 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2122010...2122010212201020102M 之值3.讨论方程（组）的解的性质 例12. 设m 是整数且方程0232=-+mx x 的两根都大于59-而小于73，则=m3.典型例题解题思维策略分析例13. 求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足137158<+<k n n 例14. 已知b a ,是互质的正整数，满足2005=+b a ，用[]x 表示x 的整数部分，记,2005...2200512005⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=a a a a A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=b b b b B 2005...2200512005，试求B A +的值 例15. 解不等式.213-1≥+-x x例16. 要使不等式0232<+-x x ①与不等式()()02312<--+-x m x m ②无公共解，求m的取值范围例17. 已知实数c b a ,,满足,c b a >>且11222=++=++c b a c b a ，，求证：.341<+<b a课后练习1. 关于x 的方程x x x =-+2-1的根的个数为2. 若实数b a ,满足22221221,1a b a b a b a -=+++-=+，则=+b a3. 关于x 的方程a x x =-12仅有两个不同实根，则实数a 的取值范围是 4. 已知z y x ,,都是正数，证明：()()()()()().23≤++++++++y z x z z x y z y yz x y x x5. 已知实数c b a ,,满足10,0==++abc c b a ，证明：.0111<++cb a 6. 已知10,10,10<<<<<<c b a ，证明：()()()a c c b b a ---1,1,1中有一个不大于.417. 证明：对任意实数x 及任意正整数n有[][].1...21nx n n x n x n x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ 8. 解方程42422=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x x x x。