江苏省历年高等数学竞赛试题(打印版)

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）

一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )lim sin x x x x

→-=

2.2ln(1x y x

=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=⎰ 5.4

211dx x +∞

=-⎰ 6.圆222222042219

x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数11(1)!2!n n n n n ∞

=+-∑的和为 . 二.（10分）

设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b

a a

b f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0a

f x dx ξ=⎰

.

三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.

四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin D

x y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥

六、（12分）求()()21x

x y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线2220121

2x x x y x

x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.

七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-L

()2,3,,n =L 记1n n x a =，判别级数1

n n x ∞=∑的敛散性.

2008年江苏省普通高等学校非理科专业

一、填空题（每小题5分，共40分）

1）___,____a b ==时，2lim arctan .2x ax x x bx x π→∞+=--

2）11lim __________.(3)n n k k k →∞==+∑

3）设()(1)(2)(100),f x x x x x =---L L 则(100)_______.f '=

4）___,____a b ==时，

2()1x f x ax x bx =+++在0x →时关于x 的无穷小的阶数最高.

5）2320sin cos _______.x xdx π

⋅=⎰

6）2221_______.(1)x dx x +∞=+⎰

7）设,x z x y =-则(2,1)_________.n n z y ∂=∂

8）设D 为,0,1y x x y ===所围区域，则arctan _________.

D ydxdy =⎰⎰

二、（8分） 设数列{}n x

为：111,(1,2)n x x n +===L L ，求证：数列{}n x 收

敛，并求其极限

三、（8分） 设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),()0,b

a a f x dx >=⎰求证：存在(,),a

b ξ∈使得()().a

f x dx f ξξξ=⎰

四、（8分） 将xy 平面上的曲线

222()(0)x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积.

五、（8分）

设

2

42

,(,)(0,0);

(,)

0,(,)(0,0).

x y

x y

f x y x y

x y

≠

=+

⎪=

⎩讨论(,)

f x y在(0,0)处

的连续性、可偏导性、可微性.

六、（10分）已知曲面

222

441

x y z

+-=与平面0

x y z

+-=的交线在xy平面上

的投影为一椭圆，求此椭圆面积.

七、（8分）求

2

40

1

lim sin().

t t

x

t

dx y dy t+

→

⎰⎰

八、（10分）求

1,

D

dxdy

这里

22

:,0.

D x y y x

+≤≤≤

2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）

一.填空（每题5分，共40分）

1.()3x f x a =，()()()41lim

ln 12n f f f n n →∞=⎡⎤⎣⎦L 2. ()()25001lim 1x tx x e dt x

-→-=⎰

3. ()1202arctan 1x dx x =+⎰

4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体OABC 的内接球面方程为

5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =

6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值.

7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a = 时，曲线积分()()

2

22y x y dx xy e dy Γ+++⎰取最大值. 8.级数(

)

111n n ∞+=-∑条件收敛时，常数p 的取值范围是 二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3