1961年全国高考数学试题及其解析
1959年全国统一高考数学试卷
1959年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，共100分）1．已知lg2=0.3010，lg7=0.8451，求lg35．考点：对数的运算性质。
247830专题：计算题。
分析：观察已知条件，化简lg35，用lg7、lg2和lg10表示，然后求出结果．解答：解：原式==0.8451+1﹣0.3010=1.5441．点评：本题考查对数的运算性质，考查学生计算能力，是基础题．2．求的值．考点：复数代数形式的混合运算。
247830分析：复数的运算，化简分子，然后求解．解答：解：故答案为：﹣2．点评：复数的基本运算，是基础题．3．解不等式2x2﹣5x＜3．考点：一元二次不等式的解法。
247830专题：计算题。
分析：直接求解一元二次不等式即可．解答：解：原式移项得2x2﹣5x﹣3＜0，对应方程2x2﹣5x﹣3=0的根是：，函数y=2x2﹣5x﹣3的开口向上，∴原不等式的解为．不等式的解集、{x|}点评：本题考查一元二次不等式的解法，是基础题．4．求cos165°的值．考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值。
247830专题：常规题型。
分析：先通过诱导公式得cos165°=﹣cos15°，再让15°=45°﹣30°，利用两角和公式进而求得答案．解答：解：cos165°=cos（180°﹣15°）=﹣cos15°=﹣cos（45°﹣30°）=﹣（cos45°cos30°+sin45°sin30°）=．点评：本题主要考查了三角函数中两角和公式．把已知角转化为特殊角是关键．5．不在同一平面的三条直线a，b，c互相平行，A、B为b上两定点，求证：另两顶点分别在a及c上的四面体体积为定值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
247830专题：证明题。
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试61
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
1949-1961年普通高等学校招生全国统一考试数学试题
1949年北大清华联合招生数学试题 一、（5分）有连续三自然数，其平方和为50，求此三数．二、（5分）解方程：6640x +=． 三、（15分）求适合sin 2cos 2x x +x =的根（02x π≤≤）． 四、（15分）,,PA PB PC 为过圆周上P 点之三弦，PT 为圆周之切线．设一直线平行于PT ，交,,PA PB PC 于,,A B C '''之三点，证明：PA PA PB PB PC PC '''⋅=⋅=⋅． 五、（10分）已知A ∠及角内部一点P ，求作通过P 点的直线，使其在A ∠之内部分被点P 所平分． 六、（5分）用数学归纳法证明：3333221123(1)4n n n ++++=+． 七、（10分）某人在高处望见正东海面上一船只，其俯角为30︒．当该船向正南航行a 里后，其船只的俯角为15︒．求此人视点高出海平面若干垂足 八、（15分）自ABC ∆之顶点A 至对边作垂线AD ，自垂足D 作边,AB AC 之垂线， 其垂足为,E F ．求证：,,,B E F C 在同一圆上． 九、（10分）一平面内有10点，除其中4点在同一直线上外，其余各点无3点在一直线上．问连接各点之所有直线共若干条． 十、（10分）下列做法对吗？不对的请改正．16==对吗？为什么？2．(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+对吗？为什么？3．log log 1a b b a ⋅=对吗？为什么？1950年全国统一高考数学试题 一、（5分）k 为何值时，二次方程22(1)520x k x k --+-=有等根，并求其根． 二、（20分）有等长两竹杆直立在地上，皆被风吹折．折处距地面两者不同，其差为3尺．顶着地之处与竹杆足相距一个为8尺，另一个为16尺．求竹杆之长． 三、（10分）绳长40丈，围一矩形之地．问其面积最大时，其边长若干？ 四、（5分）求国旗上五角星每一角之度数． 五、（10分）过梯形上底一点作直线，分梯形为两个等面积梯形． 六、（20分）从塔之正南面一点A ，测得塔顶仰角为45︒，又从塔之正东面一点B 测得塔的仰角为30︒．若AB =100尺，求塔高． 七、（10分）试证： 1．22cos()cos()cos sin A B A B A B +-==-． 2．22sin()sin()sin sin A B A B A B +-=-． 八、（20分）分别指出下列正误，并加以改正：1．011,1a a ==．2．,mnmnmnm na a a a a a+⋅=+=．3==． 4．lg11,lg00=-=．5．lg()lg lg ,lg lg lg a b a b ab a b +=+=． 6．11sin sinsin()x y x y --+=+．7．在ABC ∆及A B C '''∆中，若,,AB A B BC B C A A '''''==∠=∠，则两三角形全等．8．若,,,A B C D 在同一个圆上，则恒有ACB ADB ∠=∠．1950年华北高考数学试题甲组 第一部分一、将下列各题正确的答案填入括号内： 1．322240x x x --+=的一个根为2，其他两根为A ．两个0B ．一个0，一个实数C ．两个实数D ．一个实数根，一个虚数根E ．两个虚数根2．已知lgsin 26201.6470'︒=，lgsin 26301.6495'︒=．若 lgsin 1.6486x =，则x 的近似值为A ．2623'︒B ．2624'︒C ．2625'︒D ．2626'︒E ．2627'︒3．若(,)ρθ为一点之极坐标，则20cos ρθ=的图形为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线E ．二平行直线4．22220x xy y x y ++++-=之图形为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 E ．二平行直线5．展开二项式17()a b +，其第15项为 A ．152238a b B ．314680a bC ．143736a bD ．15()a b +E ．87a b二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．二直线40x y ++=及5210x y -=相交之锐角之正切为 ．2．设,x y 都是实数，且()(84)x yi i +-+()(1)x yi i =++，则x = ．3．555ad a dbe b e cfc f++=+ ． 4．已知x 在第四象限内，而21sin 9x =，则tan x 之值至第二位小数为 ． 5．参数方程12,(1)x t y t t =+⎧⎨=+⎩之直角坐标方程为 ．甲组 第二部分 1．证明21sin (tan sec )1sin xx x x+=+-．2．设t 及s 为实数，已知方程3250x x tx s -++=之一根为23i -，求t及s 之值．3．用数学归纳法证明：122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++1(1)(2)3n n n =++． 4．设1P 及222(,)P x y 为二定点，过1P 作直线交y 轴于B （如图），过2P 作直线与过1P 之直线垂直，并交轴x 于A ，求AB 中点Q 之轨迹．5．如图，N 第一部分．a c e c eb d f d f +++=+++ ．ac ebd f= 内，若1:2;3:4，则︒︒︒ ︒a = ．1n R-．1n R+lg 2.190.3404=，ABA ．0.5770B ．1.1038C ．6.1038D ．264.06 E．416.745．2sin tan 5AA A ===，1sin tan 2B B B ===，则t a n ()A B +=A ．112-B ．34C ．18-D ．98E ．18二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．sin 330︒之值为 ． 2．32452x x x -+-的因子是 ． 3．书一本，定价元p ．因为有折扣，实价较定价少d 元，则该书实价是定价的百分之 ．4．若一个多边形之每一外角各为45︒，则此多边形有 边． 5．a 年前，弟年龄是兄年龄的1n，今年弟年龄是兄年龄的1m，兄今年 岁． 乙、丙组 第二部分1．设AB 是一圆的直径，过,A B 作AC 及BD 二弦相交于E ，则2AE AC BE BD AB ⋅+⋅=．2．若,,A B C 为ABC ∆之内角，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．3．分解因式：（1）32221x x x +++．（2）22282143x xy y x y +-++-． （3）444222222222x y z x y y z z x ++---．4．设s 为ABC ∆三边和的一半，r 为内切圆半径，又tan2A=求证：r =5．设一调和级数第p 项为a ，第q 项为b ，第r 项为c ，则()()()0q r bc r p ca p q ab -+-+-=．γC /B /A /βαC B A 1951年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分1．设有方程组8,27x y x y +=-=，求,x y .2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？4．若x y z a b b c c a ==---，而,,a b c 各不相等，则?x y z ++=5．试题10道，选答8道，则选法有几种？ 6．若一点P 的极坐标是(,)x θ，则它的直角坐标如何？7．若方程220x x k ++=的两根相等，则k =？8．列举两种证明两个三角形相似的方法9．当(1)(2)0x x +-<时，x 的值的范围如何？10．若一直线通过原点且垂直于直线0ax by c ++=，求直线的方程．11．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项如何？12．02cos =θ的通解是什么？13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？14．245505543--=？15．2241x y -=的渐近线的方程如何？16．三平行平面与一直线交于,,A B C 三点，又与另一直线交于,,A B C '''三点，已知3,7AB BC ==及9A B ''=，求A C '17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积18．已知lg2=0.3010,求lg5.19．二抛物线212y x =与223x y =的公共弦的长度是多少？20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？第二部分1． ,,P Q R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行．2．设ABC ∆的三边4BC pq =，223CA p q =+，2232AB p pq q =+-,求B ∠，并证明B ∠为A ∠及C ∠的等差中项．3．（1）求证，若方程320x ax bx c +++=的三根可排成等比数列，则33a cb =.（2）已知方程32721270x x x +--=的三根可以排成等比数列，求三根．4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．1952年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分 1.因式分解44x y -=？2.若lg(2)21lg x x =，问x =？3.若方程320x bx cx d +++=的三根为1,-1,21,则c =？4.40=，求x ．5. 123450?321=6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？9.祖冲之的圆周率π=？10.球的面积等于大圆面积的多少倍？11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？12.正多面体有几种？其名称是什么？13.已知 1sin 3θ=,求cos 2θ=？14.方程21tg x =的通解x =？15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？17.已知一直线经过(2,3)，其斜率为-1，则此直线方程如何？18.若原点在一圆上，而此圆的圆心为(3,4)，则此圆的方程如何？19.原点至3410x y ++=的距离是什么？20.抛物线286170y x y -++=的顶点坐标是什么？第二部分 1.解方程432578120x x x x +---=．2.△ABC 中，∠A 的外角平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP CP =．3.设三角形的边长为4,5,6a b c ===，其对角依次为,,A B C ，求cos C ，sin C ，sin B ，sin A ．问,,A B C 三角为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(1,4)-两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点．1953年普通高等学校招生全国统一考试数学1.甲、解1110113x x x x +-+=-+.乙、23120x kx ++=的两根相等，求k 值.丙、求311246?705-=丁、求300700lg lg lg173++.戊、求tg870︒=？已、若1cos2x 2=，求x 之值.庚、三角形相似的条件为何？（把你知道的都写出来）辛、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长.壬、垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸、4寸、5寸，求体积.2.解方程组2222239, (1)45630.(2)x xy y x xy y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩3..乙、求123)12(xx +之展开式中的常数项.4.锐角△ABC ∆的三高线为AD ，BE ，CF ，垂心为H ，求证HD 平分EDF ∠.5.已知△ABC ∆的两个角为450，600，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积.1954年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简131121373222[()()()]a b ab b ---． 乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++=．丙、用二项式定理计算43.02，使误差小于千分之一．丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和． 戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积．己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式．2.描绘2371y x x =--的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围：①0y >； ②0y <．3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切4．试由11sin 21tgxx tgx+=+-，试求x 的通值．5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a '是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．1955年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、以二次方程2310x x --=的两根的平方为两根，作一个二次方程．乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦．丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高．丁、写出二面角的平面角的定义．2．求,,b c d 的值，使多项式32x bx cx d +++适合于下列三条件： （1）被1x -整除， （2）被3x -除时余2，（3）被2x +除时与被2x -除时的余数相等．3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G 求证：EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项． 4．解方程x x x sin cos 2cos +=,求x 的通值．5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形．B C F B C EM A B C DD //1956年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、利用对数性质计算2lg 5lg5lg50+⋅.乙、设m 是实数，求证方程222(41)0x m x m m ----=的两根必定都是实数． 丙、设M 是ABC ∆的边AC 的中点，过M 作直线交AB 于E ，过B 作直线平行于ME 交AC 于F AEF ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半．丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及37尺，求这个三角形的最大角的度数．戊、设tan ,tan αβ是方程2670x x ++=的两根求证：)cos()sin(β+α=β+α．2．解方程组12,(1)136.(2)x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 3．设P 为等边ABC ∆外接圆的点，求证：22PA AB PB PC =+⋅．4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD ，A AB A AD ''∠=∠A ACC''垂直于底面ABCD ．5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之．1957年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简1223271020.12927--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围.丙、求证cot 22301'︒=丁、在四面体A B C D 中，AC BD =，,,,P Q R S 依次为棱,,,AB BC CD DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形.戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分.2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x3．设ABC ∆的内切圆半径为r ，求证BC边上的高.2sin2cos 2cos2A C B r AD ⋅⋅=4．设ABC ∆为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE AD =，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE :AB =AC :AF . （2）ABC ∆的面积=AEF ∆的面积.5．求证：方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1.设这个方程的三个根是ABC ∆的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求,,A B C 的度数以及Q 的值.AC AB1958年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数．乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为 的中点，E 为 的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证： AM AN =．丁、求证:正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．戊、求解.cos 3sin x x =2．解方程组4,(1)1229. (2)x y y =⎪++=⎪⎩3．设有二同心圆，半径为,()R r R r >，今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A '，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D ;由A '作直线A E '垂直AD ，并交AD 于E ，已知OAD α∠=，求OE 的长 4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切．5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根043sin 231sin 2=++-x x ．321O G F ED C BA cb a A B CDαO 1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg 20.3010,lg 70.8451==,求lg35乙、求ii +-1)1(3的值.丙、解不等式.3522<-x x丁、求︒165cos 的值 戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，,A B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积2．已知△ABC 中，∠B =600，4AC =，面积为3，求,AB BC .3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数．4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥BC 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF =FG .5．已知,,A B C 为直线l 上三点，且A B B C a ==;P 为l 外一点，且90,APB ∠=︒45BPC ∠=︒，求 （1）PBA ∠的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长;（3）P 点到l 的距离.O DC B A 1960年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、解方程.075522=---x x （限定在实数范围内）乙、有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？.丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.丁、求使等式2cos 2sin12xx =-成立的x 值的范围（x 是00~7200的角）.戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O ，直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD 是9mm ，求这小孔的直径AB 的长.己、四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形，PA 与底面垂直，已知3PA =cm ，P 到BC 的距离是5cm ，求PC 的长.2．有一直圆柱高是20cm ，底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm 3，求这长方体底面的长与宽.3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为６米.（1）求以矩形的一边长x 表示窗户的面积y 的函数;（2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程;（3）画出这函数的图像，并求出x 的允许值范围.5．甲、已知方程0cos 3sin 422=θ+θ⋅-x x 的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根．乙、a 为何值时，下列方程组的解是正数？⎩⎨⎧=+=+8442y x ay x ．O CBA 1961年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数.乙、解方程2lg lg(12)x x =+.丙、求函数51--=x x y 的自变量x 的允许值. 丁、求125sin 12sinπ⋅π的值.戊、一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm ，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含1500（如图），求这个截面上有水部分的面积（取14.3=π）.己、已知△ABC 的一边BC 在平面M 内，从A 作平面M 的垂线，垂足是1A .设 △ABC 的面积是S ，它与平面M 组成的二面角等于)900(︒<α<︒α，求证：1cos A BC S S α∆=.2．一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？ 3．有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面.求这水4．在平地上有,A B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的650南300米的地方，在A 测得山顶的仰角是300，求山高（精确到10米，94.070sin =︒）.5．两题任选一题.甲、k 是什么实数时，方程22(23)310x k x k -+++=有实数根？乙、设方程28(8sin )2cos2x x αα-++0=的两个根相等，求α.。
1991年全国统一高考数学试卷(理科)
1991年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（ ） A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．2．（3分）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（ ） A ． y 2=8（x+1） B ． y 2=﹣8（x+1） C ． y 2=8（x ﹣1） D ． y 2=﹣8（x ﹣1） 3．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos 4x ﹣sin 4x 的最小正周期是（ ） A ． B ． π C ． 2π D ． 4π4．（3分）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ） A ． 12对 B ． 24对 C ． 36对 D ． 48对5．（3分）（2012•广东模拟）函数y=sin （2x+）的图象的一条对称轴的方程是（ ）A ． x=﹣B ． x=﹣C ． x=D ． x=6．（3分）6、如果三棱锥S ﹣ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的（ ） A ． 垂心 B ． 重心 C ． 外心 D ． 内心 7．（3分）已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于（ ） A ． 5 B ． 10 C ． 15 D ． 208．（3分）8、如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为（ ）A ． （0，0），（6，π）B ． （﹣3，0），（3，0）C ． （0，0），（3，0）D ． （0，0），（6，0） 9．（3分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） A ． 140种 B ． 84种 C ． 70种 D ． 35种 10．（3分）如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 11．（3分）11、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ） A ． 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ． 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ．丙是甲的充要条件D ． 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件12．（3分）[n （1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）]等于（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 13．（3分）如果奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f （x ）在区间[﹣7，﹣3]上是（ ） A ． 增函数且最小值为﹣5 B ． 增函数且最大值为﹣5 C ． 减函数且最小值为﹣5 D ． 减函数且最大值为﹣514．（3分）圆x 2+2x+y 2+4y ﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 15．（3分）15、设全集为R ，f （x ）=sinx ，g （x ）=cosx ，M={x|f （x ）≠0}，N={x|g （x ）≠0}，那么集合{x|f （x ）g （x ）=0}等于（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）16．（3分）arctg +arctg 的值是 _________ ．17．（3分）不等式的解集是_________ ． 18．（3分）已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于 _________ ． 19．（3分）（ax+1）7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项．若实数a ＞1，那么a= _________ ． 20．（3分）空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=a ，那么这个球面的面积是 _________ ．三、解答题（共6小题，满分60分） 21．（8分）求函数y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合．22．（8分）已知复数z=1+i ，求复数的模和辐角的主值．23．（10分）已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC=2．求点B 到平面EFG 的距离．24．（10分）根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．25．（12分）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．26．（12分）双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．1991年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．解答：解：∵sinα=且α是第二象限的角，∴，∴，故选A点评：掌握同角三角函数的基本关系式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．本题是给值求值．2．（3分）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（）A．y2=8（x+1）B．y2=﹣8（x+1）C．y2=8（x﹣1）D．y2=﹣8（x﹣1）考点：抛物线的标准方程．专题：分析法．分析：先根据定点坐标代入即可排除A，B，再由抛物线的开口方向可确定答案．解答：解：根据题意顶点在（1，0），可知P=4，可排除A，B又因为开口方向是向x轴的负半轴，排除C．故选D．点评：本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．3．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．解答：解：∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴T=π，故选B点评：对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．4．（3分）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）A．12对B．24对C．36对D．48对考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．分析：由异面直线定义入手，分类计数即可．解答：解：易知六棱锥的六条侧棱都交于一点，底面六条边在同一平面内，则六棱锥的每条侧棱和底面不与其相交的四条边都是异面直线，所以六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有6×4=24对．故选B．点评：本题考查异面直线定义，同时考查分类计数原理及空间想象能力．5．（3分）（2012•广东模拟）函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：根据正弦函数一定在对称轴上去最值，然后将选项中的值代入进行验证即可．解答：解：因为当x=﹣时，sin[2×（﹣）+]=sin（）=﹣1故选A．点评：本题主要考查正弦函数的对称性，即正余弦函数一定在对称轴上取得最值．6．（3分）6、如果三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．外心D．内心考点：棱锥的结构特征．专题：证明题；综合题．分析：顶点在底面上的射影，以及二面角，构成的三个三角形是全等三角形，推出垂足到三边距离相等，可得结果．解答：解：侧面与底面所成的二面角都相等，并且顶点在底面的射影在底面三角形内则底面三条高的垂足、三棱锥的顶点和顶点在底面的射影这三者构成的3个三角形是全等三角形，所以顶点在底面的射影到底面三边的距离相等，所以是内心．故选D．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题．7．（3分）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A．5B．10 C．15 D．20考点：等比数列．分析：先由等比数列的性质求出a2•a4=a32，a4•a6=a52，再将a2a4+2a3a5+a4a6=25转化为（a3+a5）2=25求解．解答：解：由等比数列的性质得：a2•a4=a32，a4•a6=a52∴a2a4+2a3a5+a4a6=25可化为（a3+a5）2=25又∵a n＞0∴a3+a5=5故选A点评：本题主要考查等比数列性质和解方程．8．（3分）8、如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为（ ）A ． （0，0），（6，π）B ． （﹣3，0），（3，0）C ． （0，0），（3，0）D ． （0，0），（6，0）考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题． 分析： 利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的焦距，从而确定焦点的极坐标．解答：解：将原极坐标方程为ρ=，化成：极坐标方程为ρ=，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=，a=5，b=4，c=3．∴它的焦点的极坐标为（0，0），（6，0）．故选D ．点评： 本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．9．（3分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） A ． 140种 B ． 84种 C ． 70种 D ． 35种考点： 分步乘法计数原理． 分析： 本题既有分类计数原理也有分步计数原理． 解答： 解：甲型1台与乙型电视机2台共有4•C 52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C 42•5=30；不同的取法共有70种 故选C点评： 注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步． 10．（3分）如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限考点： 直线的一般式方程． 专题： 计算题． 分析： 先把Ax+By+C=0化为y=﹣，再由AC ＜0，BC ＜0得到﹣，﹣，数形结合即可获取答案解答：解：∵直线Ax+By+C=0可化为，又AC ＜0，BC ＜0 ∴AB ＞0，∴，∴直线过一、二、四象限，不过第三象限． 故答案选C ．点评： 本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题11．（3分）11、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ） A ． 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ． 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ． 丙是甲的充要条件 D ． 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 分析： 搞清楚甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，结合选项作答． 解答： 解：甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，即甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙，结合选项甲⇐丙，而且甲推不出丙，所以丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 故选A点评： 甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙，这种方法是解决三个以上命题好策略．12．（3分）[n （1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）]等于（ ）A ． 0B ． 1C ．2 D ． 3考点： 极限及其运算． 专题： 计算题．分析：通过观察n （1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），先化简括号中的式子，再根据极限的定义求极限．解答：解：[n （1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）]=[n××××…×]==2．故选C ．点评：本题主要考查极限及其运算，较为简单．13．（3分）如果奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f （x ）在区间[﹣7，﹣3]上是（ ） A ． 增函数且最小值为﹣5 B ． 增函数且最大值为﹣5 C ． 减函数且最小值为﹣5 D ． 减函数且最大值为﹣5考点： 奇函数． 专题： 压轴题． 分析： 由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案． 解答： 解：因为奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数，所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数，且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（3）min=5，则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5，故选B．点评：本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．14．（3分）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果．解答：解：圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题．15．（3分）15、设全集为R，f （x）=sinx，g （x）=cosx，M={x|f （x）≠0}，N={x|g （x）≠0}，那么集合{x|f （x）g （x）=0}等于（）A．B．C．D．考点：交、并、补集的混合运算．专题：压轴题．分析：由f （x）g （x）=0可知f （x）=0或g （x）=0，所以{x|f （x）g （x）=0}={x|f （x）=0}∪{x|g （x）=0}．而{x|f （x）=0}与M互为补集关系，则可选出答案．注意区分“或”与“且”．解答：解：{x|f （x）g （x）=0}={x|f （x）=0或g （x）=0}={x|f （x）=0}∪{x|g （x）=0}，故选D点评：本题考查集合的基本运算，较简单．注意区分“或”与“且”的含义．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）16．（3分）arctg+arctg的值是．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：设出表达式为α，然后两边取正切，利用两角和的正切公式求解即可．解答：解：设arctg+arctg=α所以tanα=tan（arctg+arctg）==所以α=故答案为．点评：本题考查反三角函数的运用，两角和的正切公式，考查计算能力，是基础题．17．（3分）不等式的解集是{x|﹣2＜x＜1}．考点：一元二次不等式的解法；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：把不等式右边的“1”变为60，然后根据指数函数的增减性得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可．解答：解：=60，因为底数6＞1，所以指数函数为增函数，则x2+x﹣2＜0即（x﹣1）（x+2）＜0，所以或，解得﹣2＜x＜1，所以不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}故答案为：{x|﹣2＜x＜1}点评：本题以指数函数为平台考查学生求一元二次不等式的解集，是一道基础题．本题的突破点是将“1”变为60．18．（3分）已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：作出三棱台的高，上下底面顶点到底面中心的距离的差，以及侧棱的长，满足勾股定理，求出三棱台的高，利用公式求其体积．解答：解：由于正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，所以上底面顶点到上底面中心的距离是：下底面顶点到下底面中心的距离是：侧棱与底面所成的角是45°，所以正三棱台的高是：正三棱台的体积是：=故答案为：点评：本题考查棱台的体积，考查学生空间想象能力，计算能力，是基础题．19．（3分）（ax+1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a＞1，那么a=1+．考点：基本不等式；二项式定理．专题：计算题；压轴题．分析：先写出二项展开式的通项公式，利用通项公式分别写出x3、x2、x4的系数，再用等差中项的概念列出方程，解方程即可．解答：解：T k+1=C7K（ax）7﹣k=C7k a7﹣k x7﹣k，故x3、x2、x4的系数分别为C74a3，C75a2和C73a4，由题意2C74a3=C75a2+C73a4解得：a=1+故答案为：1+点评：本题考查二项式定理的通项公式的应用、二项式系数问题、等差中项的概念及组合数的运算等知识，属基本题型的考查．20．（3分）空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是3πa2．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出球的表面积．解答：解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，所以这个球面的面积．故答案为：3πa2点评：本题是基础题，考查球的内接体知识，球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，分析出，正方体的对角线就是球的直径是解好本题的关键所在．三、解答题（共6小题，满分60分）21．（8分）求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：把函数关系式利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦、余弦函数公式化简后，提取然后根据两角和的正弦函数公式的逆运算及特殊角的三角函数值把y化为一个角的三角函数，利用正弦函数的图象得到y的最小值及y取最小值时x的范围．解答：解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（sin2x+cos2x）+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+（1+cos2x）=2+sin2x+cos2x=2+sin（2x+）．当sin（2x+）=﹣1时，y取得最小值2﹣当且仅当2x+=2kπ﹣即x=kπ﹣π时取最小，取最小值的x的集合为{x|x=kπ﹣π，k∈Z}．点评：考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式及两角和的正弦函数公式化简求值，会根据正弦函数的图象得到正弦函数的最值及取最值时角度的范围．22．（8分）已知复数z=1+i，求复数的模和辐角的主值．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则化简复数，据复数模的公式求出复数模，判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值．解答：解：===1﹣i．1﹣i的模r==．因为1﹣i对应的点在第四象限且辐角的正切tanθ=﹣1，所以辐角的主值θ=π．点评：本题考查复数的运算法则，复数的模及辐角主值的求法．23．（10分）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2．求点B到平面EFG的距离．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题．分析：求点B到面GEF的距离，就是求C到平面EFG距离的，直接作垂线求解即可．解答：解：如图，连接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，∴EF⊥平面HCG．∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．∵正方形ABCD的边长为4，GC=2，∴AC=4，HO=，HC=3．∴在Rt△HCG中，HG=．由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．∴OK=．即点B到平面EFG的距离为．点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、点到平面的距离等有关知识，考查学生的空间想象能力和思维能力，属于中档题．解决此类问题应该注意从三维空间向二维平面的转化，从而找到解题的捷径．24．（10分）根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．考点：函数单调性的判断与证明．专题：证明题．分析：利用原始的定义进行证明，在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2，只要证f（x2）＜f（x1）就可以可，把x1和x2分别代入函数f （x）=﹣x3+1进行证明．解答：证明：证法一：在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2则f（x2）﹣f（x1）=x13﹣x23=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0．当x1x2＜0时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2＞0；当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；∴f（x2）﹣f（x1）=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0．即f（x2）＜f（x1）所以，函数f（x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．证法二：在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=x13﹣x23=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）．∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0．∵x1，x2不同时为零，∴x12+x22＞0．又∵x12+x22＞（x12+x22）≥|x1x2|≥﹣x1x2∴x12+x1x2+x22＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0．即f（x2）＜f（x1）．所以，函数f（x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．点评：此题主要考查函数的单调性，解题的关键是利用原始定义进行证明，是一道基础题．25．（12分）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．考点：对数的运算性质；换底公式的应用；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：利用对数换底公式，原不等式左端化简，对n是偶数，奇数分类解不等式，即可．解答：解：利用对数换底公式，原不等式左端化为log a x﹣4•+12•++n（﹣2）n﹣1•=[1﹣2+4++（﹣2）n﹣1]log a x=log a x故原不等式可化为log a x＞log a（x2﹣a）．①当n为奇数时，＞0，不等式①等价于log a x＞log a（x2﹣a）．②因为a＞1，②式等价于因为＜0，＞=，所以，不等式②的解集为{x|＜x＜}．当n为偶数时，＜0，不等式①等价于log a x＞log a（x2﹣a）．③因为a＞1，③式等价于或因为，所以，不等式③的解集为{x|x＞}．综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|}；当n为偶数时，原不等式的解集是{x|}点评：本题考查换底公式，对数的运算性质，对数不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题．26．（12分）双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：先由题意设出双曲线的标准方程及直线的点斜式方程，然后联立方程组消去y得x的方程，再根据二次项系数是否为零进行讨论．若5b2﹣3a2=0，可推出矛盾；若5b2﹣3a2≠0，设其两根为x1，x2，则由根与系数的关系可利用a、b、c表示出x1+x2及x1x2，进一步由OP⊥OQ即斜率乘积为﹣1得a、b、c的等式，又|PQ|=4得a、b、c的另一等式，且c2=a2+b2，最后解a、b、c的方程组即可．解答：解：设双曲线的方程为=1．依题意知，点P，Q的坐标满足方程组整理得（5b2﹣3a2）x2+6a2cx﹣（3a2c2+5a2b2）=0 ①．若5b2﹣3a2=0，则=，即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2﹣3a2≠0．设方程①的两个根为x1，x2，则有②，③，由于P、Q在直线y=（x﹣c）上，可记为P（x1，（x1﹣c）），Q（x2，（x2﹣c））．由OP⊥OQ得•=﹣1，整理得3c（x1+x2）﹣8x1x2﹣3c2=0 ④．将②，③式及c2=a2+b2代入④式，并整理得3a4+8a2b2﹣3b4=0，即（a2+3b2）（3a2﹣b2）=0．因为a2+3b2≠0，解得b2=3a2，所以c==2a．由|PQ|=4，得（x2﹣x1）2+[（x2﹣c）﹣（x1﹣c）]2=42．整理得（x1+x2）2﹣4x1x2﹣10=0 ⑤．将②，③式及b2=3a2，c=2a代入⑤式，解得a2=1．将a2=1代入b2=3a2得b2=3．故所求双曲线方程为x2﹣=1．点评：本题考查双曲线的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算能力是一大考验．。
1952-1966年高考数学试题全国卷
1952年试题数学试题分两部分第一部分注意:第一部分共二十题,均答在题纸上,每题的中间印着一道横线,将正确的答案就填写在横线上.例题:若2x-1=x+3,则x= 4 .本题的正确答案是4,所以在横线上填写4.1.分解因式:x4-y4= .2.若log102x=2log10x,问x= .5.6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆通过另一圆的圆心,则这两个圆的公共弦之长是寸.7.三角形△ABC的面积是60平方寸,M是AB的中点,N是AC的中点,则△AMN的面积是平方寸.8.正十边形的一内角是度.9.祖冲之的圆周率π= .10.球的面积等于大圆面积的倍.11.直圆锥之底之半径为3尺,斜高为5尺,则其体积为立方尺.12.正多面体有种,其名称为 .14.方程式tan2x=1的通解为x= .15.太阳仰角为30°时塔影长5丈,求塔高= .16.三角形△ABC之b边为3寸,c边为4寸,A角为30°,则△ABC的面积为平方寸.17.已知一直线经过点(2,-3),其斜率为-１,则此直线之方程式为 .18.若原点在一圆上,而此圆的圆心为点(3,4),则此圆的方程式为 .19.原点至3x+4y+1=0之距离= .20.抛物线y2-8x+6y+17=0之顶点之坐标为 .第二部分注意:第二部分共四题,均答在后面白纸上.1.解方程式x4+5x3-7x2-8x-12=0.2.△ABC中,∠A的外分角线与此三角形的外接圆相交于D,求证:BD=CD.3.设三角形的边长为a=4,b=5,c=6,其对角依次为A,B,C.(1)求cosC.(2)求sinC,sinB,sinA.(3)问A,B,C三个角各为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(-1,4)两点,中心为原点,长短轴重合于坐标轴,试求其长短轴及焦点.1952年试题答案第一部分1. (x-y)(x+y)(x2+y2).2. 2.3. -1.4. ±3.5. -247. 15.8. 144°10. 4.11. 12π.12. 5,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体.16. 3.17. x+y+1=0.18. x2+y2-6x-8y=020. (1,-3)第二部分1. 2,-6,ω,ω2.A,B,C皆为锐角。
1961年全国高考数学试题及答案解析
1961年全国高考数学试题及答案解析
试卷上不必抄题,但须写明题号,例如Ⅰ(1)、Ⅰ(2)、Ⅱ、Ⅲ等.
一、(1)求(2-x)10展开式里x7的系数.
(2)解方程:2lgx=lg(x+12).(注:lg是以10为底的对数的符号.)
(5)一个水平放着的圆柱形排水管,内半径是12厘米.排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含
有150°(如图).求这个截面上有水部分的面积.(取π=3.14.)
(6)已知△ABC的一边BC在平面N内,△ABC所在的平面与平面N组成二面角a(a＜90°).从A 点作平面N的垂线AA＇,A＇是垂足.设△ABC的面积是S,求证△A＇BC的面积是Scosa.
[Key] 一、(1)解:在这个展开式里含有x7的项是第八项.它的系数是
=-960.
(2)解:2lgx=lg(x+12),
lgx2=lg(x+12),
∴x2=x+12,x2-x-12=0,
(x-4)(x+3)=0,
∴x1=4,x2=-3.
当x=-3时,lgx没有意义,舍去;x=4为原方程的解.
(3)解:根据根式的定义,x-1≥0,∴x≥1;
又根据分母不能为零,x-5≠0,∴x≠5.
所以自变量x的允许值的范围是x≥1,但x≠5.
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普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷)(试做解析版)(1)
普通高等学校招生全国统一考试数学试题（全国卷）（试做解析版）（1）2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)一、选择题（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i解：z =1i -，1zz z --=(1)i +(1)i --(1)1i +-=1+1-1-i -1=i - 故选B （2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥解：2y x =得24y x = ∴24y x =故反函数为2(0)4x y x =≥ 故选B 。
（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞解：1a b +⇒＞10a b a b ->⇒-> ,1a b a b a b ∴>>->反之不能推出故选A 。
（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224A n S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5解：221111(21)(11)2(21)k k k k S S a a a k d a k d a k d +++-=+=++-+++-=++21(21)244245k k k =⨯++⨯=+=⇒=故选D 。
（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9解：()cos[()]cos 33f x x x ππωω-=-=即cos()cos 3x x ωπωω-= 22()663k k Z k ωπππω∴-=+∈⇒=--z 则1k =-时min 6ω=故选C(6)已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)23(B)33 (C)63 (D) 1(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种解：选画册2本，集邮册2本，共有赠送方法246c =，选画册1本，集邮册3本，共有赠送方法144c =，故共有赠送方法4+6=10种，故选B(8)曲线y=2xe -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23(D)1 解：2'2x y e -=- ，2k =-，切线方程为22y x -=-由232223x y x y x y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩得 1222233s =⨯⨯= 故选C(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12解：5511()(2)()()2222f f f f -=-+=-=-1112()(1)222=-⨯-=- 故选A(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=(A)45 (B)35 (C)35- (D)45-解：222421223OM OM =-=⇒=，在030Rt ONM OMN ∠=中,213,3132ON OM Rt ONB ∴==-=2在中,NB=4 213N S NB ππ∴==圆故选D(12)设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 (A)2 (B)3 (c)2 (D)1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在．试卷上作答无效．．．．．．．) (13)(1-x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: 0 .2y 2解：212020(1)()(1)r rr r rr r T c x c x +=-=-，令12,91822r rr r ====得得所以x 的系数为2222020(1)c c -=，91822020x c c =18的系数为(-1)故x 的系数与9x 的系数之差为220c -220c =0 (14)已知a ∈(2π，π)，sin α5tan2α=43-解： a ∈(2π，π)，sin α=55 2525cos 1sin 1()55a a =--=--=-则tan α=5sin 15cos 2255a a ==--故tan2α=2212()2tan 142121tan 31()24a a ⨯--===---- (15)已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2，0)，AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = 6 .解：延长CB 、FE 交于M ，连结AM ，过B 作BN ⊥AM 于N ，连结EN ，则∠ENB 为平面AEF 与平面ABC 所成的二面角，AM=2AB ，1223,,tan 232ABEB BN AB Rt EBN ENB BN AB ∴=∠===在中 三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知A —C =90°，a+c=2b ，求C. 解：由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，由22sin 2sin 22sin a c b R A R C R B +=+=得，即sin sin 2A C B +=A+B+C=1800 ，0[180()]B A C ∴=-+，0sin sin 2()]A C A C ∴+=-+即sin sin 2)A C A C ∴+=+，由A-C=900 得A=900+C00sin(90)sin 2sin(902)c c c ∴++=+ 即00cos sin 22sin(45)cos(45)c c c c +=++00022sin(45)22sin(45)cos(45)c c c +=++ 01cos(45)2c ∴+=0456015c c ∴+=∴=(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。
1962年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试数学1．某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）解：设平均每年增长%x ，则得.10%,211%)1(2=+=+x x又%,83121100%2111≈=+=第二年产量第一年产量故该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%2．求5)21(i -的实部解：显然，5)21(i -的实部是由包含i 的零次方及包含i 的偶次方的各项所组成，故所求之实部为.41)2()2(44522505=-+-+i C i C C3．解方程).92lg(2lg 2)3lg()5lg(-=-++-x x x 解：),92lg(4)3)(5(lg-=+-x x x .7,,092,05,3.7,3,02110,924)3)(5(2=<-<-====+--=+-x x x x x x x x x x x 原方程的解为故不是原方程的解无意义使时当4．求)54arcsin 2sin(的值解：设),900(54arcsin ︒<α<︒α=则.53)54(1sin 1cos ,54sin 22=-=α-=α=α.252453542cos sin 22sin 54arcsin 2sin(=⨯⨯=αα=α=∴5．求证：（1）圆内接平行四边形就是矩形;（2）圆外切平行四边形就是菱形证：（1）设ABCD 为圆的内接平行四弧相等， ∴AB=DC AD+AB ）=圆周， AD+AB=半圆周， ∠C=900， ∴ABCD 为矩形（2）设ABCD 为圆外切平行四边形（如图） 由于圆的外切四边形的每组对边的和相等，∴AD+BC=AB+DC但AD=BC ，AB=DC ， ∴2AD=2AB ，AD=AB 故ABCD 为菱形6．解方程组⎩⎨⎧+==+--a x y y x y 01242并讨论a 取哪些实数时，方程组BC B（1）有不同的两实数解; （2）有相同的两实数解; （3）没有实数解解：由②得 a y x -=③ 将③代入①得⎩⎨⎧--+=---=⎩⎨⎧-+=--+=--±=-±=+-±==+-=+---.223,223:223,223.223,2232)14(4366,0)14(6,012)((4221122a y a a x a y a a x a a x a a y a y y y a y y 即方程组的解为讨论：（1）当2,02<>-a a 即时，方程组有不同的两实数解;（2）当2,02==-a a 即时，方程组有相同的两实数解; （3）当2,02><-a a 即时，方程组没有实数解7．已知D 为△ABC 内的一点，AB=AC=1，∠BAC=630，∠BAD=270，求DC （精确到小数点后两位，4540.027sin =︒）解：∠ADB=1800-（330+270）=1200 根据正弦定理，得,327sin 2120sin 27sin ︒⋅=︒︒⋅=AB AD又∠CAD=630-330=300， 由余弦定理可得A330 D 270 B C.61.036668.0.3668.04540.0213)4540.0(423327sin 221327sin 430cos 22222≈=∴=⨯-+=⋅︒⋅-+︒=︒⋅⋅-+=DC AC AD AC AD DC8．已知ABCD ，A ＇B ＇C ＇D ＇都是正方形（如图），而A ＇、B ＇、C ＇、D ＇分别把AB 、BC 、CD 、DA 分为m:n ，设AB=1（1）求A ＇B ＇C ＇D ＇的面积; （2）求证A ＇B ＇C ＇D ＇的面积不小于.21解（1）：设AA ＇mt =，A ＇B nt = 又.1,1nm t nt mt +=∴=+ 在直角△D ＇AA ＇中，2222222222)(tn m t n t m A A A D A D +=+='+'=''而正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的面积=.)()(2222222n m n m t n m A D ++=+=''证（2）：0)(2)()(2)()(221)(222222222≥+-=++-+=-++n m n m n m n m n m n m n m .21)(222≥++∴n m n m 9．由正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A 作这正方体的对角线A 1C 的垂线，垂足为E ，证明A 1E:EC=1:2证：设正方体的棱长为1，连接AC ，则AC=2D C ＇ CD B ＇ A A ＇ B∵为直角△A 1AC 的斜边A 1C 上的高，∴A 1E ·A 1C=AA 12， EC ·A 1C=AC 2两式相除，得,21)2(122211===AC AA EC E A∴A 1E:EC=1:2.10．求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内证：第一种情形：四条直线一点，这时4321,,,l l l l 没有三条直线过同它们共有六个交点A 、B 、C 、D 、E 、F ，它于点A ，可决们各不相同因直线21,l l 相交定一平面α;因点B 、C 、D 、E 均在平面α内，所以直线43,l l 也在平面α内，故直线4321,,,l l l l 同在平面α内第二种情形：四条直线4321,,,l l l l 中有三条，例如,,,321l l l 过同一点A 线4l 不过点A ，故由点A 及直线4l 可决定一平面α因直线4l 与直线,,,321l l l 相交，设交点为B 、C 、D ，则点B 、C D 在直线4l 上，从而在平面α内，因此，直线,,,321l l l 各有两点在平面α内，即这三条直线在平面α内，故四直线4321,,,l l l l 在同一平内D 1 C 1 A 1 B 1E D C A Bα 1l 2l 3l α 1l 2l 3l。
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1961年全国高考数学试题及其解析
试卷上不必抄题,但须写明题号,例如Ⅰ(1)、Ⅰ(2)、Ⅱ、Ⅲ等.
一、(1)求(2-x)10展开式里x7的系数.
(2)解方程:2lgx=lg(x+12).(注:lg是以10为底的对数的符号.)
(5)一个水平放着的圆柱形排水管,内半径是12厘米.排水管
的圆截面上被水淹没部分的弧含有150°(如图).求这个截面
上有水部分的面积.(取π=3.14.)
(6)已知△ABC的一边BC在平面N内,△ABC所在的平面与平面N组成二面角a(a ＜90°).从A点作平面N的垂线AA＇,A＇是垂足.设△ABC的面积是S,求证△A＇BC的面积是Scosa.
二、一个机器制造厂的三年生产计划,每年比上一年增产机器的台数相同.如果第三年比原计划多生产1千台,那末每年比上一年增长的百分数就相同,而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半,原计划每年各生产机器多少台?
三、有一块圆环形的铁皮,它的内半径是45厘米,外半径是75厘米.用它的五分之一(如图中的阴影部分),作圆台形水桶的侧面,这个水桶的容积是多少立方厘米?
四、在平地上有A、B两点.A在山的正东.B在山的东南,且在A
的西65°南300米的地方.在A测得山顶的仰角是30°,求山
高.(sin70°=0.940.精确到10米.)
五、下面甲、乙两题,选作一题.
甲、k是什么实数的时候,方程x2-2(k+3)x+3k2+1=0有实数根?
乙、设方程8x2-(8sina)x+2+cos2a=0的两个根相等,求a.
1961年试题答案
一、(1)解:在这个展开式里含有x7的项是第八项.它的系数是
=-960.
(2)解:2lgx=lg(x+12),
Lgx2=lg(x+12),
∴x2=x+12,x2-x-12=0,
(x-4)(x+3)=0,
∴x1=4,x2=-3.
当x=-3时,lgx没有意义,舍去;x=4为原方程的解.
(3)解:根据根式的定义,x-1≥0,∴x≥1;
又根据分母不能为零,x-5≠0,∴x≠5.
所以自变量x的允许值的范围是x≥1,但x≠5.
(5)解法一:
∴截面上有水部分的面积=60π-36
=60×3.14-36=152.4(平方厘米).
解法二:
∴截面上有水部分的面积=60π-36
=60×3.14-36=152.4(平方厘米).
(6)证明:
二、
解法一:
设原计划第一、二、三年生产机器的千台数分别为x,x+y,x+2y.依题意,得方程组:
这个方程组经过变形后,得方程组:
解这个方程组,得
由第一组解,得x=4,x+y=6,x+2y=8.
第二组解不合题意,舍去.
答:原计划第一、二、三年各生产机器4千台、6千台、8千台.
解法二:
设原计划第一、二、三年生产机器的千台数为别为x-y,x,x+y.依题意,得方程组:
这个方程组经过变形后,得方程组:
解这个方程组,得
由第一组解,得x-y=4,x=6,x+y=8.
第二组解不合题意,舍去.
答:原计划第一、二、三年各生产机器4千台、6千台、8千台.
三、
解:
解:如图,CD为山的高.
在△ABC中,∠ACB=45°,∠CAB=65°,
∴∠ABC=180°-(45°+65°)=70°;
又AB=300(米)
在直角三角形ACD中,∠CAD=30°,
=100×2.45×0.940
=230(米)
答:山高是230米
五、
甲、解法一:当这个方程的判别式Δ=0或者Δ>0的时候,原方程有实数根. (k+3)2-(3k2+1)
= -2k2+6k+8.
解-2k2+6k+8=0,
即k2-3k-4=0,
得k=-1或者k=4.
解-2k2+6k+8>0,
即-k2+3k+4>0,
得-1<k<4.
所以在-1≤k≤4的时候,原方程有实数根.
解法二:
这个方程有实数根的条件是:
(k+3)2-(3k2+1)≥0
化简得:
-k2+3k+4≥0,
K2-3k-4≤0,
(k+1)(k-4)≤0,
∴-1≤k≤4的时候,方程有实数根.
乙、解:因为方程的两个根相等,所以
(8sina)2-4·8(2+cos2a)=0.
2sin2a-(2+cos2a)=0, 2sin2a-(3-2sin2a)=0, 4sin2a-3=0.。