2019年湖南省长沙市中考数学试卷真题及答案解析
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2019年长沙市初中毕业水平考试试卷数 学注意事项：1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分.一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项，本题共10个小题，每小题3分，共30分）1.（2019湖南长沙，1，3分） | -2|等于（ ）A .2B . -2 12C .D .-12【答案】A2.（2019湖南长沙，2，3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A . 1、1、2B . 3、4、5C . 1、4、6D . 2、3、7【答案】B3.（2019湖南长沙，3，3分）下列计算正确的是（ ）A . 3-1=-3B . a 2·a 3=a 6C .（x +1）2=x 2+1D .【答案】D4. （2019湖南长沙，4，3分）如图，在平面直角坐标系中，点P （-1,2）向右平移3个单位长度后的坐标是（ ）A .（2，2）B .（-4，2）C .（-1，5）D .（-1，-1）【答案】A5.（2019湖南长沙，5，3分）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）A . 6B . 7C . 8D . 9【答案】B6.（2019湖南长沙，6，3分）若12x y ì=ïïíï=ïî是关于x ，y 的一元二次方程ax -3y =1的解，则a · P O 123 1 2 3-1 -2 -2-1（第4题） x y的值为（ ）A . -5B . -1C . 2D . 7【答案】D7. （2019湖南长沙，7，3分）如图，关于抛物线y =（x -1）2-2，下列说法错误的是（ ）A .顶点坐标是（1，-2）B .对称轴是直线x =1C .开口方向向上D .当x ＞1时，y 随x 的增大而减小【答案】D8. （2019湖南长沙，8，3分）如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上，与汉字“美”相对面上的汉字是（ ）A .我B .爱C .长D . 沙【答案】C9. （2019湖南长沙，9，3分）谢老师对班上某次数学模拟考试成绩进行统计，绘制了如图所示的统计图，根据图中给出的信息，这次考试成绩达到A 等级的人数占总人数的（ ）A .6％B .10％C .20％D .25％【答案】C10. （2019湖南长沙，10，3分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =45°，AD =2，爱 我美 丽 长沙（第7题）（第9题）A B C D E 人数等级3101215BC =4，则梯形的面积为（ ）A .3B .4C .6D .8【答案】A二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）11. （2019湖南长沙，11，3分）分解因式：a 2-b 2=_______________.【答案】（a+b ）（a-b ）12. （2019湖南长沙，12，3分）反比例函数y =k x的图象经过点A （-2，3），则k 的值为________. 【答案】-613.（2019湖南长沙，13，3分）如图，CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ， ∠ACE =100°，则∠A =_____°.【答案】5014. （2019湖南长沙，14，3分）化简：11x x x+-=____________. 【答案】115. （2019湖南长沙，15，3分）在某批次的100件产品中，有3件是不合格产品，从中任意抽取一件检验，则抽到不合格产品的概率是__________. 【答案】310016. （2019湖南长沙，16，3分）菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm ，则菱形的周长是________ cm .【答案】2017. （2019湖南长沙，17，3分）已知a-3b =3，则8-a +3b 的值是________.【答案】518. （2019湖南长沙，18，3分）如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切于点C ，若∠P =20°，则∠A =_____°.BC（第10题） A B CDE （第13题）【答案】35°三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）19. （2019湖南长沙，19，6分）已知ab =20190，c=-（-2），求a-b+c 的值.【答案】解：a，b =20190=1，c=-（-2）=2，把a =3，b =1，c=2代入a-b+c 中，原式=3-1+2=0.20. （2019湖南长沙，20，6分）解不等式2（x -2）≤6-3x ，并写出它的正整数解.【答案】解：去括号，得2x -4≤6-3x .移项，得2x +3x ≤6+4.合并同类项，得5x ≤10.不等式两边同除以5，得x ≤2.它的正整数解为1，2.四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）21.（2019湖南长沙，21，8分）“珍惜能源，从我做起，节约用电人人有责” .为了解某小区居民节约用电情况，物业公司随机抽取了今年某一天本小区10户居民的日用电量，数据如下：（1）求这组数据的极差和平均数；（2）已知去年同一天这10户居民的平均日用电量为7.8度，请你估计，这天与去年同日相比，该小区200户居民这一天节约了多少度电？【答案】解：（1）这组数据的最大值是5.6，最小值是3.4，因此这组数据的极差为:5.6-3.4=2.2（度）. 这组数据的平均数为: 4.4 4.0 5.0 5.6 3.4 4.8 3.4 5.2 4.0 4.2441010+++++++++==x = 4.4（度）. （2）200×（7.8-4.4）=680（度）.即该小区200户居民这一天大约节约了680度电.22. （2019湖南长沙，22，6分）如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB =40°，∠APD =65°.（1）求∠B 的大小；（2）已知圆心O 到BD 的距离为3，求AD 的长.（第18题） P【答案】解：（1）∵∠APD 是△APC 的外角，∴∠APD =∠CAP +∠C .∴∠C =∠APD -∠CAP =65°-40°=25°.又∵»»=AD AD ，∴∠B =∠C=25°. （2）过点O 作OE ⊥BD ，垂足为E ，则OE =3.由垂径定理可知BE =DE .∵OA =OB .∴线段OE 是△ABD 的中位线.∴AD =2OE =6.五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）23. （2019湖南长沙，23，9分）某工程队承包了某段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米.（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？（2）为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米.按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？【答案】解：（1）设乙班组平均每天掘进x 米，则甲班组平均每天掘进（x +0.6）米，根据题意，得 5x +5（x +0.6）=45.解此方程，得x =4.2.则x +0.6=4.8.答：，乙班组平均每天掘进4.2米.（2）改进施工技术后，甲班组平均每天掘进：4.8+0.2=5（米）；乙班组平均每天掘进：4.2+0.3=4.5（米）.改进施工技术后，剩余的工程所用时间为：（1755-45）÷（5+4.5）=180（天）.按原来速度，剩余的工程所用时间为：（1755-45）÷（4.8+4.2）=342（天）.少用天数为：342-180=162（天）.答：能够比原来少用162天完成任务.24. （2019湖南长沙，24，9分）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD 、BE 和一段水平平台DE 构成.已知天桥高度BC =4.8米，引桥水平跨度AC =8米.（1）求水平平台DE 的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN 的高度为3米，求两段楼梯AD 与BE 的长度之比. （参考数据：取sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）【答案】解：（1）延长线段BE ，与AC 相交于点F ，如图所示.∵AD ∥BF ，DE ∥AC ，∴四边形AFED 是平行四边形.∴DE =AF ，∠BFC =∠A =37°.在Rt △B C F 中，tan ∠BFC =BC CF ，∴CF =tan 37BC o =4.80.75=6.4（米）. ∴DE =AF =AC -CF =8-6.4=1.6（米）.答：水平平台DE 的长度为1.6米.（2）延长线段DE ，交BC 于点G .∵DG ∥AC ，∴∠BGM =∠C =90°.∴四边形MNCG 是矩形，∴CG =MN =3（米）.∵BC =4.8米，所以BG =BC -CG =1.8（米）.∵DG ∥AC ，∴△BEG ∽△BFC .而AD =EF ，故53AD BE =. 六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）25. （2019湖南长沙，25，10分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如，对于函数y=x -1，令y =0，可得x =1，我们说1是函数y=x -1的零点.已知函数y =x 2-2mx -2（m +3）（m 为常数）.（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=，此时函数与x 轴的交点分别为A 、B （点A 在点B 左侧）.点M 在直线y =x-10上，当MA +MB 最小时，求直线AM 的解析式.【答案】解：（1）当m =0时，y =x 2-6.令y =0，x 2-6=0，解得x或x=-.A D EBC MN 37°A D EBC MN 37°F G即m =0时，求该函数的零点为、-.（2）证明：令y =0，则x 2-2mx -2（m +3）=0.由于b 2-4ac =（-2m ）2-4·1·[-2（m +3）]=4m 2+8m +24=4（m 2+2m +1-1）+24=4（m +1）2+20. 因为无论m 为何值，4（m +1）2≥0，所以4（m +1）2+20＞0.即：无论m 取何值，一元二次方程x 2-2mx -2（m +3）=0一定有两个不相等的实数根，因此无论m 取何值，函数y =x 2-2mx -2（m +3）（m 为常数）总有两个零点.（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，则1x 和2x 是一元二次方程x 2-2mx -2（m +3）=0的两个根，所以1x +2x =2m ，1x ·2x =-2（m +3）. 则12121211x x x x x x ++=22(3)3m m m m ==-++. 又121114x x +=， 所以3m m +=14. 解此分式方程，得m =1，经检验，m =1是3m m +=14的根. 所以y =x 2-2x -8.此函数与x 轴的交点坐标为A （-2,0），B （4,0）.设直线y=x-10与x 轴交与点C （10,0），与y 轴交于点D （0，-10），过点B 作直线y=x-10的垂线，垂足为点E ，延长BE 到点B ′，使BE=B ′E ，连接AB ′，交y=x-10于点M ，则此时MA +MB 最小.连接B ′C ，由轴对称性质可知：∠B ′CD=∠BCD=45°.∴∠B ′CA=90°∵点C （10,0），点A （-2,0），∴OC =10，B ′C = BC =OC -BC =6.∴B ′坐标为（10，-6）.设直线AB ′的解析式为y=kx+b ，把B ′（10,-6），A （-2,0）代入上式：xE10620k b k b ì+=-ïïíï-+=ïî，解得22121k b ìïï=-ïíïï=-ïî. 故当MA +MB 最小时，直线AM 的解析式为y=-12x +1. 26. （2019湖南长沙，26，10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），点P 是x 轴上一点，以线段AP 为一边，在其一侧作等边三角形APQ .当点P 运动到原点O 处时，记Q 的位置为B .（1）求点B 的坐标；（2）求证：当点P 在x 轴上运动（P 与Q 重合）时，∠ABQ 为定值；（3）是否存在点P ，使得以A 、O 、Q 、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为点C .∵△AOB 是等边三角形，点A 坐标为（0，2），∴AB =BO =OA =2.在Rt △ABC 中，AC =12OA =1，BC. ∴点B1）.（2）∵△APQ 、△AOB 是等边三角形，∴AO =AQ ，AO =AB ，∠P AQ =∠BAO =60°，∴∠P AO =∠BAQ .∴△P AO ≌△ABQ .∴∠ABQ =∠AOP =90°故当点P 在x 轴上运动（P 与Q 重合）时，∠ABQ 为定值.（3）存在点P ，使得以A 、O 、Q 、B 为顶点的四边形是梯形.∵∠AOB =60°，∠OBQ =∠ABQ -∠ABO =30°，∴AO 与BQ 不可能平行.①如果AB ∥OQ ，如图所示，则∠BOQ =∠ABO =60°，∠OQB =90°，∠OBQ =30°.x（第26题）=∵OB =OA=2，∴OQ =1，BQ由△P AO ≌△ABQ 可得OP =BQ.∴点P 的坐标为：（0）.②如果AQ ∥OB ，如图所示，此时点A ，B ，P 在同一条直线上，且∠APO =30° 在Rt △AOP 中，OA =2.∴OP =P 的坐标为：（0）.因此，存在点P ，使得以A 、O 、Q 、B 为顶点的四边形是梯形，点P 的坐标为（，0）或（0）.（第26题）x（第26题）。
初中-数学-中考-湖南省长沙市2019年中考数学试题
湖南省长沙市2019年中考数学试题 一、选择题1、下列各数中，比﹣3小的数是（ ）A. ﹣5B. ﹣1C. 0D. 12、根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15 000 000 000元，确保安全供用电需求.数据15 000 000 000用科学记数法表示为（ ） A. 91510⨯ B. 91.510⨯C. 101.510⨯D. 110.1510⨯3、下列计算正确的是（ ） A. 325a b ab += B. 326()a a =C. 632a a a ÷=D. 222()a b a b +=+4、下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 购买一张彩票，中奖B. 射击运动员射击一次，命中靶心C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D. 任意画一个三角形，其内角和是180°5、如图，平行线AB ，CD 被直线AE 所截，∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）A. 80°B. 90°C. 100°D. 110°6、某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）A. B. C. D.7、在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差8、一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A. 2πB. 4πC. 12πD. 24π9、如图，Rt△ABC中，△C＝90°，△B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则△CAD 的度数是（）A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°10、如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A. 303B. 60 n mileC. 120 n mileD. (303)+n mile11、《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）A.4.50.51y xy x=+⎧⎨=-⎩B.4.521y xy x=+⎧⎨=-⎩C.4.50.51y xy x=-⎧⎨=+⎩D.4.521y xy x=-⎧⎨=-⎩12、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE∠AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则55CD BD+的最小值是（）A. 25B. 45C. 53D. 10二、填空题13、若式子5x-在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．14、分解因式：am2﹣9a=______．15、不等式组10360xx+≥⎧⎨-<⎩的解集是______．16、在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数100100050001000050000100000“摸出黑球”的次数36387201940091997040008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是______（结果保留小数点后一位）．17、如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50 m，则AB的长是______m．18、如图，函数kyx=(k为常数，k＞0)的图象与过原点O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：∠∠ODM与∠OCA的面积相等；∠若BM∠AM于点M，则△MBA＝30°；∠若M点的横坐标为1，∠OAM为等边三角形，则23k=+；∠若25 MFMB=，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是______．三、解答题19、计算：112632cos602-⎛⎫-+-÷-︒⎪⎝⎭．20、先化简，再求值：22314411a a aa a a a+++⎛⎫-÷⎪---⎝⎭，其中a＝3．21、某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．等级频数频率优秀2142%良好m40%合格6n%待合格36%请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查随机抽取了______名学生；表中m＝______，n＝______；（2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．22、如图，正方形ABCD ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且DE ＝CF ，AF 与BE 相交于点G ．（1）求证：BE ＝AF ；（2）若AB ＝4，DE ＝1，求AG 的长．23、近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次． （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？24、根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．∠四条边成比例的两个凸四边形相似；（______命题） ∠三个角分别相等的两个凸四边形相似；（______命题） ∠两个大小不同的正方形相似．（______命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，△ABC ＝△A 1B 1C 1，△BCD ＝△B 1C 1D 1，111111AB BC CDA B B C C D ==，求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． （3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∠CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∠AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求21S S 的值．25、已知抛物线22(2)(2020)y x b x c =-+-+-(b ，c 为常数)． （1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n ( m ＜n )，当m ≤x ≤n 时，恰好有121221m nm y n ≤≤+++，求m ，n 的值．26、如图，抛物线26y ax ax =+(a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(﹣3＜t ＜0)，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的∠P 相交于点C ． （1）求点A 的坐标；（2）过点C 作∠P 的切线CE 交x 轴于点E ． ∠如图1，求证：CE ＝DE ； ∠如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a =，△CAE ＝△OBE 时，求11OD OE -的值.答案第1页，共14页参考答案1、【答案】A【分析】本题考查比较有理数大小的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．比较有理数大小的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】∵-5＜-3＜-1＜0＜1，∴比-3小的数是-5.选A ． 2、【答案】C【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】数据15 000 000 000用科学记数法表示为101.510 ．选C ． 3、【答案】B【分析】本题考查幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式．分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可． 【解答】A ．3a 与2b 不是同类项，故不能合并，选项A 不合题意； B ．（a 3）2=a 6，选项B 符合题意； C ．a 6÷a 3=a 3，选项C 不符合题意；D ．（a +b ）2=a 2+2ab +b 2，选项D 不合题意． 选B ． 4、【答案】D【分析】本题考查必然事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为“必然事件”，事先能肯定它一定不会发生的事件称为“不可能事件”，必然事件和不可能事件都是确定的． 【解答】A ．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意； B ．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意； C ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意； D ．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意. 选D ． 5、【答案】C【分析】本题考查平行线的性质以及邻补角的定义．直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】如图，∠∠1=80°，∠∠3=100°.∠AB∠CD，∠∠2=∠3=100°．选C．6、【答案】D【分析】本题考查由三视图判断几何体形状的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．【解答】由三视图可知，该几何体为圆锥．选D．7、【答案】B【分析】本题考查中位数的意义．解题的关键是正确地求出这组数据的中位数．由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．【解答】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．选B．8、【答案】C【分析】本题考查扇形面积的计算公式．根据扇形的面积公式S=2360n Rπ计算即可．【解答】S=2120612360ππ⨯⨯=，选C．9、【答案】B【分析】本题考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线的性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．【解答】∠在∠ABC中，∠B=30°，∠C=90°，∠∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.由作图可知MN为AB的中垂线，∠DA=DB，∠∠DAB=∠B=30°，∠∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°.选B．10、【答案】D【分析】此题考查解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．过点C作CD∠AB，则在Rt∠ACD中易得AD的长，再在Rt∠BCD中求出BD，相加可得AB的长．【解答】如图，过点C作CD∠AB于D点，∠∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt∠ACD中，cos∠ACD=CD AC，∠CD=AC•cos∠ACD 3303∠在Rt∠DCB中，∠BCD=∠B=45°，∠CD=BD3∠AB=AD+BD3∠此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（3n mile．选D．11、【答案】A【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”可以列出相应的方程组，本题得以解决．答案第3页，共14页【解答】由题意可得，4.50.51y xy x=+⎧⎨=-⎩，选A．12、【答案】B【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识．【解答】如图，作DH∠AB于H，CM∠AB于M．∠BE∠AC，∠∠AEB=90°，∠tan A =BEAE=2，设AE=a，BE=2a，则由勾股定理得100=a2+4a2，∠a2=20，∠a=525-，∠BE=2a=5∠AB=AC，BE∠AC，CM∠AB，∠CM=BE5∠∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∠5 sinDH AEDBHBD AB∠===，∠DH5BD，∠CD5BD=CD+DH，∠CD+DH≥CM，∠CD5BD5∠CD5BD的最小值为5选B．13、【答案】x∠5答案第5页，共14页【分析】本题考查二次根式有意义的条件.a ∠0，同时也考查了解一元一次不等式的方法.先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．【解答】∠x −5∠0，解得x ∠5.故答案为x ∠5. 14、【答案】a (m +3)(m ﹣3)【分析】本题考查因式分解的方法.常用的方法有：提取公因式法，分组分解法，应用公式法，十字相乘法.【解答】29am a -=2(9)a m -=(3)(3)a m m +-.15、【答案】-1≤x ＜2【分析】本题考查解一元一次不等式组的方法，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．【解答】10360x x ⎧⎨⎩+≥-①＜②解不等式∠，得x ≥-1；解不等式∠，得x ＜2. ∠不等式组10360x x +≥⎧⎨-<⎩的解集为-1≤x ＜2. 故答案为-1≤x ＜2．16、【答案】0.4【分析】本题考查利用频率估计概率的知识．大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解.【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，故摸到白球的频率估计值为0.4.故答案为0.4．17、【答案】100【分析】本题考查的知识点是“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半”．先判断出DE 是∠ABC 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB =2DE ，问题得解．【解答】∠点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，∠DE 是∠ABC 的中位线，∠AB =2DE =2×50=100(m)．故答案为100．18、【答案】∠∠∠【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识.∠设点A（m，km），M（n，kn），构建一次函数求出C，D的坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．∠∠OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．∠设M（1，k），由∠OAM为等边三角形，推出OA=OM=AM，可得1+k2=m2+2km，推出m=k，根据OM=AM，构建方程求出k即可判断．∠作MK∠OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】∠设点A（m，km），M（n，kn），则直线AC的解析式为y=-kmnx+kn+km，∠C（m+n，0），D（0，()m n kmn+），∠1()()1(),()2222 ODM OCAm n k m n k k m n kS n S m nmn m m m+++ =⨯⨯==⨯+⨯=△△，∠∠ODM与∠OCA的面积相等，故∠正确；∠反比例函数与正比例函数关于原点对称，∠O是AB的中点，∠BM∠AM，∠OM=OA，∠k=mn，∠A（m，n），M（n，m），∠),AM n m OM=-=∠AM不一定等于OM，∠∠BAM不一定是60°，∠∠MBA不一定是30°．故∠错误；∠M点的横坐标为1，∠可以假设M（1，k），∠∠OAM为等边三角形，∠OA=OM=AM，1+k2=m2+2km，∠m＞0，k＞0，∠m=k，∠OM=AM，∠（1-m）2+(k−k m)2=1+k2，∠k2-4k+1=0，∠k=2±3，∠m＞1，∠k=2+3，故∠正确；如图，作MK∠OD交OA于K．∠OF∠MK，∠25FM OKBM KB==，∠23OKOB=，∠OA=OB，∠23OKOA=，∠21OKKA=，∠KM∠OD，∠2DM OKAM AK==，∠DM=2AM，故∠正确．故答案为∠∠∠．19、【答案】1【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据绝对值的意义、二次根式的除法法则、负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算．【解答】原式2221==1.20、【答案】2aa+，35【分析】本题考查分式的化简求值．先根据分式混合运算法则把原式进行化简，再将答案第7页，共14页a 的值代入进行计算即可． 【解答】原式()()212=.122a a a a a a a -+⋅=-++3a =，∴原式33.325==+ 21、【答案】（1）50,20,12；（2）见解答；（3）1640人.【分析】本题考查条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．（1）用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数；（2）根据题意补全条形统计图即可得到结果；（3）全校学生数(2000名)乘“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论．【解答】（1）本次调查随机抽取了21÷42%=50名学生，m =50×40%=20，n =650×100=12， 故答案为50，20，12；（2）补全条形统计图如图所示；（3）2000×21+2050=1640(人). 答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人． 22、【答案】（1）见解答；（2）125AG =. 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式． （1）由正方形的性质,得∠BAE =∠ADF =90°，AB =AD =CD ，得AE =DF ，由“SAS”证明∠BAE ∠∠ADF ，即可得出结论；（2）由全等三角形性质，得∠EBA =∠F AD ，得∠GAE +∠AEG =90°，因此∠AGE =90°，由勾股定理，得BE ()22224415AB AE +=+-=，在Rt ∠ABE 中，由三角形的面积即可得出结果．【解答】（1）证明：∠四边形ABCD 是正方形，∠∠BAE =∠ADF =90°，AB =AD =CD .∠DE =CF ，∠AE =DF .在∠BAE和∠ADF中，∠AB ADBAE ADFAE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BAE ADF∴△≌△，BE AF∴=.（2）由（1），得∠BAE∠∠ADF，∠∠EBA=∠F AD，∠∠GAE+∠AEG=90°，∠∠AGE=90°，∠AB=4，DE=1，∠AE=3，5BE∴===，在Rt ABE△中，1122AB AE BE AG⋅=⋅，431255AG⨯∴==.23、【答案】（1）10% ；（2）2.662万人次【分析】本题考查一元二次方程的应用.（1）设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解；（2）用2.42×（1+增长率），计算即可求解．【解答】（1）设增长率为x，根据题意，得2（1+x）2=2.42，解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．答：增长率为10%．（2）2.42×（1+0.1）=2.662（万人）．答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．24、【答案】（1）∠假，∠假，∠真；（2）见解答；（3）211SS=.【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．（1）根据相似多边形的定义即可判断．（2）根据相似多边形的定义证明四条边成比例，四个角相等即可．答案第9页，共14页（3）四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，证明相似比是1即可解决问题，即证明DE =AE ．【解答】解（1）∠四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ∠三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．∠两个大小不同的正方形相似，是真命题．故答案为假，假，真．（2）证明：分别连接BD ，B 1D 1.111BCD B C D ∠=∠，且1111BC CD B C C D =, 111BCD B C D ∴△∽△， 111CDB C D B ∴∠=∠，111C B D CBD ∠=∠，111111BD BC CD B D B C C D ==， 1111BD AB B D A B ∴=. 111ABC A B C ∠=∠，111ABD A B D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴△∽△，1111AD AB A D A B =，1A A ∠=∠，111ADB A D B ∠=∠， 11111111AB BC CD AD A B B C C D A D ∴===，111ADC A D C ∠=∠， 1A A ∠=∠，111ABC A B C ∠=∠，111BCD B C D ∠=∠,∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似.（3）∠四边形ABFG 与四边形EFCD 相似DE EF AE AB∴=. EF OE OF =+，答案第11页，共14页 DE OE OF AE AB+∴=. EF AB CD ∥∥，DE OE AD AB ∴=，DE OC OF AD AB AB==， DE DE OE OF AD AD AB AB∴+=+， 2DE DE AD AE ∴=. AD DE AE =+，21DE AE AE∴=+， 2AE DE AE ∴=+，即AE DE =，211S S ∴=. 25、【答案】（1）b =6，c =2019；（2）2020c ＞ ；（3）m =1，n =. 【分析】本题考查二次函数的综合问题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元二次方程的解法．（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式y =-2x 2+（b -2）x +（c -2020），可知y =-2（x -1）2+1，易得b ，c 的值；（2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x 0，y 0），（-x 0，-y 0），代入函数解析式，经过化简得到c =2x 02+2020，易得c >2020；（3）由题意知，抛物线为y =-2x 2+4x -1=-2（x -1）2+1，则y ≤1．利用不等式的性质推知：1n ≤y ≤1m，易得1≤m ＜n ．由二次函数图象的性质得到：当x =m 时，y 最大值=-2m 2+4m -1．当x =n 时，y 最小值=-2n 2+4n -1．∴1m =-2m 2+4m -1，1n=-2n 2+4n -1通过解方程求得m ，n 的值． 【解答】（1）由题可设()2211y x =--+，去括号，得y =－2x 2+4x －1，2420201b c -=⎧∴⎨-=-⎩， ∴b =6，c =2019.（2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为()00,x y ，()00,x y --,代入解析式,可得()()()()20002000222020222020y x b x c y x b x c ⎧=-+-+-⎪⎨-=---+-⎪⎩, ∴两式相加,可得－4x 02+2（c －2020）=0,∴c =2x 02+2020.∠x ≠0，2020c ∴＞.（3）由（1）可知抛物线为y =－2x 2+4x －1=－2（x －1）2+1，∠y ≤1.∠0＜m ＜n ，当m ≤x ≤n 时，恰好有121221m n m y n ≤≤+++， 11y n m∴≤≤， 11m∴≤，即m ≥1， ∠1≤m ＜n .∠抛物线对称轴x =1，开口向下，∠当m ≤x ≤n 时，y 随x 增大而减小，∠当x=m 时，y max =－2m 2+4m －1，当x=n 时，y min =－2n 2+4n －1. 又11y n m ≤≤， 2212411241n n n m m m ⎧-+-=⎪⎪∴⎨⎪-+-=⎪⎩①②， 将∠整理,得2n 3－4n 2+n +1=0，∠变形,得（2n 3－2n 2）－（2n 2－n －1）=0，即2n 2（n －1）－（2n +1）（n －1）=0，∠（n －1）（2n 2－2n －1）=0.∠n ＞1，∠2n 2－2n －1=0，1n ∴=（舍去），2n =. 同理,整理∠,得（m －1）（2m 2－2m －1）=0，∠1≤m ＜n ，∠m1=1，213m-=（舍去），31+3m=（舍去）.综上，m=1，1+3n=.26、【答案】（1）A（－6,0）；（2）∠见解答；∠1116OD OE-=.【分析】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数的图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．（1）令y=0，可得ax（x+6）=0，则A点坐标可求出；（2）∠连接PC，连接BP并延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠ECD=∠COE，则CE=DE；∠设OE=m，由CE2=OE•AE，可得m＝262tt+，由∠CAE=∠OBE可得BD DOBE OE=，则m＝66tt--，综合整理代入11t m--可求出11OD OE-的值．【解答】（1）令ax2+bax=0，即ax（x+6）=0 ，解得x1=0,x2=-6，∠A（－6,0）.（2）连接PC，连接BP并延长交x轴于M．P过O、A、B三点，B为顶点,PM OA∴⊥，90PBC BOM∠+∠=.又∠PC=PB,PCB PBC∴∠=∠.∠CE为切线,90PCB ECD∴∠+∠=°.又BDP CDE∠=∠,ECD COE∴∠=∠，∠CE=DE.答案第13页，共14页（3）设OE =m ，即E （m ,0）.由切割定理,得CE 2=OE ·AE ，即()()26m t m m -=⋅+， 262t m t∴=+①. CAE CBO ∠=∠，CAE OBE ∠=∠， ∴CBO EBO ∠=∠. 由角平分线定理，得BD DO BE OE=，66t t m m t -=∴=--，②. 由∠∠得22618360626t t t t t t =++=+--，即， ∠t 2=－18t －36,∴211113616t OD OE t m t +-=--=-=.。
2019年湖南长沙中考数学试题(解析版)_最新修正版
{来源}2019年湖南长沙中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}{标题}2019年湖南省长沙市中考数学试卷考试时间：120分钟 满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，合计36分． {题目}1．(2019年长沙T1)下列各数中，比﹣3小的数是( )A ．﹣5B ．﹣1C ．0D ．1{答案}A{解析}本题考查了有理数的大小比较，正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由于135---＞＞，所以﹣5＜﹣3＜﹣1，因此本题选A ．{分值}3{章节:[1-1-2-4]绝对值} {考点:有理数的大小比较} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}2．(2019年长沙T2)根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到150****0000确保安全供用电需求数据150****0000科学记数法表示为( )A ．15×109B ．1.5×109C ．1.5×1010D ．0.15×1011{答案}C{解析}本题考查了用科学记数法表示一个绝对值较大的数，科学记数法就是把一个数写成a ×10n 的形式(其中1≤a ＜10，n 为整数)，其具体步骤是：(1)确定a ，a 是整数位数只有一位的数；(2)确定n ；当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零)．150****0000＝1.5×1010，因此本题选C ． {分值}3{章节: [1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}3．(2019年长沙T3)下列计算正确的是( )A ．3a ＋2b ＝5abB ．(a 3)2＝a 6C ．a 6÷a 3＝a 2D ．(a ＋b )2＝a 2＋b 2{答案}B{解析}本题考查了整式的运算，A 选项是整式的加法，其实质是合并同类项，3a 与2b 不是同类项，故不能相加；B 选项是幂的乘方，底数不变，指数相乘，故正确；C 选项是同底数幂的除法，底数不变，指数相减，故正确结果为a 4；D 选项是和的完全平方公式，展开口诀为：“首平方，尾平方，积的2倍夹中间”故正确结果为a 2＋2ab ＋b 2．因此本题选B ． {分值}3{章节: [1-14-2]乘法公式} {考点:整式加减} {考点:幂的乘方}{考点:同底数幂的除法}{考点:完全平方公式}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4．(2019年长沙T4)下列事件中，是必然事件的是( )A．购买一张彩票，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°{答案}D{解析}本题考查了事件的分类，A、B、C选项都是随机事件；D选项是必然事件；因此本题选D．{分值}3{章节: [1-25-1-1]随机事件}{考点:事件的类型}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}5．(2019年长沙T5)如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是( )A．80°B．90°C．100°D．110°{答案}C{解析}本题考查了考查了对顶角的定义，平行线的性质，由对顶角的定义可得∠AED＝∠1＝80°，又因为AB∥CD，所以由两直线平行同旁内角互补可得：∠2＝180°－∠AED＝100°，因此本题选C．{分值}3{章节:[1-5-3]平行线的性质}{考点:对顶角、邻补角}{考点:两直线平行同旁内角互补}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}6．(2019年长沙T6)某个几何体的三视图如图所示，该几何体是( ){答案}D{解析}本题考查了由三视图判断几何体，从正面看和侧面看都是三角形的只要D 选项，因此本题选D ． {分值}3{章节: [1-29-2]三视图} {考点:由三视图判断几何体} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}7．(2019年长沙T7)在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( )A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差{答案}B{解析}本题考查了中位数，中位数反映的是一组数据中等水平，要判断11名参赛同学中的小明是否进入前5名，只需比较自己的成绩与第6名的成绩即可．因此本题选B ． {分值}3{章节: [1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}8．(2019年长沙T8)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π{答案}C{解析}本题考查了扇形的面积，由扇形的面积公式S ＝36061202⨯π＝π12，因此本题选C ．{分值}3{章节: [1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:扇形的面积} {{类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}9．(2019年长沙T9)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，分别以点A 和点B 为圆心，大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠CAD的度数是( )A．20°B．30°C．45°D．60°{答案}B{解析}本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角，直角三角形两锐角互余，由垂直平分线的性质可知：AD＝BD即由等边对等角得：∠DAB＝∠B＝30°，再由三角形的外角性质得∠ADC＝∠DAB＋∠B＝60°，在Rt△ADC中，∠C＝90°所以∠CAD＝90°－∠ADC ＝90°－60°＝30°，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}{考点:直角三角形两锐角互余}{考点:三角形的外角}{考点:垂直平分线的性质}{考点:等边对等角}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}10．(2019年长沙T10)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60n mile 的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )A．303n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(30＋303)n mile{答案}D{解析}本题考查了与方位角有关的解直角三角形，如图，在Rt△ACD中，由题意可知：AC＝60，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝90°，所以AD ＝21AC ＝30，CD ＝ACcos30°＝60×23＝303，在Rt△BCD 中，由题意可知：∠BCD ＝45°，∠BDC ＝90°，所以BD ＝CD ＝303，所以AB ＝30＋303，因此本题选D ．{分值}3{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形－方位角} {类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}11．(2019年长沙T11)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是( )A ．⎩⎨⎧-=+=15.05.4x y x yB ．⎩⎨⎧-=+=125.4x y x yC ．⎩⎨⎧+=-=15.05.4x y x yD ．⎩⎨⎧-=-=125.4x y x y{答案}A{解析}本题考查了从实际问题中抽象二元一次方程组模型，根据题意发现等量关系是解题的关键，由“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺”可列方程为y ＝x ＋4.5，由“将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”可列方程为0.5y ＝x －1，因此本题选A ． {分值}3{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组} {考点:简单的列二元一次方程组应用题} {类别:数学文化}{类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}12．(2019年长沙T12)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD ＋55BD 的最小值是( ) A ．25B ．45C ．53D ．10{答案}B{解析}本题考查了垂线的性质、正切、勾股定理，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，由同角的余角相等得：∠BDF ＝∠A ，所以tan ∠BDF ＝tan ∠A ＝2即2=DFBF，∴55=BD DF 即DF ＝55BD ，∴CD ＋55BD ＝CD ＋DF ，由“垂线段最短”可知：当C 、D 、F 三点共线且CF ⊥AB 时，CD ＋DF 值最小，最小值即为CF 的长度．此时2=AFCF，设AF ＝x ，则CF ＝2x ，又因为AC ＝10，所以由勾股定理得x 2＋4x 2＝100，解得x ＝25，所以CF ＝45．{分值}3{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:垂线的性质} {考点:勾股定理} {考点:正切}{考点:几何选择压轴} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，合计18分．{题目}13．(2019年长沙T13)式子5-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．{答案}x≥5{解析}本题考查了二次根式有意义的条件，由二次根式有意义的条件可知：x －5≥0即x ≥5． {分值}3{章节:[1-16-1]二次根式}{考点:二次根式的有意义的条件} {类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}14．(2019年长沙T14)分解因式：am 2－9a ＝ ．{答案}a (m －3)(m ＋3){解析}本题考查了提公因式法因式分解和平方差因式分解，对一个多项式因式分解时，先观察式子特点，如果有公因式先提取公因式后利用公式进行因式分解，特别要注意：因式分解一定要彻底，分解到每一个多项式都不能再分解为止． {分值}3{章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}15．(2019年长沙T15)不等式组⎩⎨⎧≥+06301＜－x x 的解集是 ．{答案}﹣1≤x ＜2{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解每一个不等式，再取每个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法：①借助数轴；②利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小无解集”．解不等式x ＋1≥0得x ≥﹣1，解不等式3x －6＜0得x ＜2，所以不等式组的解集为﹣1≤x ＜2． {分值}3{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:解一元一次不等式组} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}16．(2019年长沙T16)在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 ．{答案}0.4{解析}本题考查了用频率估计概率，当大量重复做某一试验时，某一事件发生的频率就会在某一数值附近摆动，这个数值就是概率．大量重复试验时，可以用频率估计概率． {分值}3{章节:[1-25-3]用频率估计概率} {考点:利用频率估计概率} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}17．(2019年长沙T17)如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE ＝50m ，则AB 的长是 m ．{答案}100{解析}本题考查了三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以AB ＝2DE ＝100(m)． {分值}3{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:三角形中位线} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}18．(2019年长沙T18)如图，函数y ＝xk(k 为常数，k>0)的图象与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点(点M 在点A 的左侧)，直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若BM ⊥AM 于点M ，则∠MBA ＝30°；③若M 点的横坐标为1，△OAM 是等边三角形，则k ＝2＋3；④若MF ＝52MB ，则MD ＝2MA ．其中正确的结论的序号是(只填序号){答案}①③④{解析}本题考查了，，因此本题选． {分值}3{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数与一次函数的综合} {考点:代数填空压轴} {类别:常考题} {难度:5-高难度}{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8个小题，合计66分．{题目}19．(2019年长沙T19)计算：︒-÷-⎪⎭⎫⎝⎛+--60cos 2362121{解析}本题考查了绝对值的意义、负指数的定义、二次根式的除法、特殊角的三角函数值．{答案}解： 原式＝2＋2－2－1＝1 {分值}6{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:绝对值的意义} {考点:负指数的定义}{考点:二次根式的除法法则} {考点:特殊角的三角函数值}{题目}20．(2019年长沙T20)先化简，再求值：a a a a a a a -++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+22441113，其中a ＝3． {解析}本题考查了分式的混合运算，按照运算顺序依次计算，若有括号时，先算括号里的． {答案}解： 原式＝()()22112+-⨯-+a a a a a ＝2+a a ，当a ＝3时，原式＝233+＝53． {分值}6{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:3-中等难度} {类别:易错题}{考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－完全平方式} {考点:约分} {考点:通分}{考点:两个分式的加减} {考点:分式的混合运算}{题目}21．(2019年长沙T21)某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查随机抽取了名学生，表中m＝，n＝；(2)补全条形统计图；(3)若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．{解析}本题考查了．{答案}解： (1)50；20；12；(2)(3)2000×(42%＋40%)＝1640(人)，答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．{分值}8{章节:[1-10-1]统计调查}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:频数与频率}{考点:统计表}{考点:条形统计图}{考点:用样本估计总体}{题目}22．(2019年长沙T22)如图，正方形ABCD，点E，F分别在边AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．(1)求证：BE＝AF；(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．{解析}本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定SAS 、勾股定理、相似三角形的判定(两角相等)、相似三角形的性质．证明两条线段相等的问题，通常考虑这两条线段所在的三角形全等；求线段长度的问题，通常考虑由“相似(或勾股定理、锐角三角函数)”建立方程解之，体现了方程思想．{答案}解： (1)∵四边形ABCD 是正方形，DE ＝CF ，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAE ＝∠ADF ＝90°，AE ＝DF ，在△ABE 和△DAF 中，AB ＝AD ，∠BAE ＝∠ADF ，AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE ＝AF ．(2)∵AB ＝4，DE ＝1，∴AE ＝3，在Rt △BAE 中，由勾股定理得：BE ＝5，∵△ABE ≌△DAF ，∴∠EAG ＝∠EBA ，∵∠BAE ＝90°，∴∠EBA ＋∠AEB ＝90°，∴∠EAG ＋∠AEB ＝90°，即∠AGE ＝90°， 在△ABE 和△GAE 中，∠BAE ＝∠AGE ＝90°，∠BEA ＝∠AEG ，∴△ABE ∽△GAE ， ∴BE AE AB AG =即534=AG ， ∴AG ＝512． {分值}{章节:[1-18-2-3] 正方形}{难度:3-中等难度}{类别:思想方法}{类别:常考题}{考点:正方形的性质}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:勾股定理}{考点:相似三角形的判定(两角相等)}{考点:相似三角形的性质}{题目}23．(2019年长沙T23)近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2．42万人次．1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？{解析}本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率，增长率问题只要通过审题弄清楚基础量a ，最终量b ，变化次数，套公式a(1＋x)n ＝b 即可解决．{答案}解：(1)设增长率为x由题意得：2(1＋x)2＝2.42解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝﹣2.1(舍)答：增长率为10%(2)2.42×(1＋10%)＝2.662(万人)答：按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次{分值}{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}}{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}{题目}24．(2019年长沙T24)根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比．(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．①四条边成比例的两个凸四边形相似；( 命题)②三个角分别相等的两个凸四边形相似；( 命题)③两个大小不同的正方形相似．( 命题)(2)如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1， 111111D C CD C B BC B A AB ==．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． (3)如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求12s s 的值． {解析}本题考查了命题真假的判断、相似三角形的判定(两边夹角)、相似三角形的性质、平行线分线段成比例．判断两个四边形是否相似，紧扣定义，分别证明四个角都相等，四条边都成比例．{答案}解：(1)假；假；真；(2)如图，分别连接BD 、B 1D 1，∵∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，1111D C CD C B BC =，∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CBD ＝∠C 1B 1D 1，∠CDB ＝∠C 1D 1B 1，1111D B BD C B BC =， 又∵∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，1111C B BC B A AB =∴∠AB D ＝∠A 1B 1D 1，1111D B BD B A AB =， ∴1111D A AD B A AB =，∠A D B ＝∠A 1D 1B 1，∠D AB ＝∠D 1A 1B 1， ∴11111111D A AD D C CD C B BC B A AB ===，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，∠A D C ＝∠A 1D 1C 1，∠D AB ＝∠D 1A 1B 1，∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．(3)∵四边形ABFE 与四边形EFCD 相似， ∴ABEF AE DE =， ∵EF ＝OE ＋OF ，∴AB OF OE AE DE +=， ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴AB OE AD DE =，ABOF AB OC AD DE ==， ∴ABOF AB OE AD DE AD DE +=+， ∴AE DF AD DE =2， ∵AD ＝DE ＋AE ， ∴AEAE DE 12=+， ∴2AE ＝DE ＋AE ，即AE ＝DE ， ∴121=S S {分值}{章节:[1-27-3]图形的相似}{难度:4-较高难度}{类别:易错题}{类别:新定义}{考点:平行线分线段成比例}{考点:相似三角形的判定(两边夹角)}{考点:相似三角形的性质}{考点:相似三角形的应用}{考点:相似多边形的性质}{题目}25．(2019年长沙T25)已知抛物线y ＝﹣2x 2＋(b －2)x ＋(c －2020)(b ，c 为常数)．(1)若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的值；(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围；(3)在(1)的条件下，存在正实数m ，n(m<n)，当m ≤x ≤n 时，恰好有122112+≤+≤+n n y m m ，求m ，n 的值．{解析}本题考查了抛物线与一元二次方程的关系、解一元二次方程．{答案}解：(1)由题可设：y ＝﹣2(x －1)2＋1去括号得：y ＝﹣2x 2＋4x －1∴⎩⎨⎧-=-=-1202042c b ，解得⎩⎨⎧==20196c b(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为(x 0，y 0)，(﹣x 0，﹣y 0)，代入解析式可得：()()()()⎩⎨⎧-+---=--+-+-=20202220202202000200c x b x y c x b x y ，∴两式相加可得：﹣4x 02＋2(c －2020)＝0，∴c ＝2x 02＋2020，∴c ≥2020(3) 由(1)可知抛物线y ＝﹣2x 2＋4x －1＝﹣2(x －1)2＋1，∴y ≤1，∵0＜m ＜n ，当m ≤x ≤n 时，恰好有122112+≤+≤+n ny m m ， ∴m y n 11≤≤， ∴11≤m 即m ≥1，∴1≤m ≤n ，∵抛物线对称轴x ＝1，开口向下，∴当m ≤x ≤n 时，y 随x 增大而减小，∴当x ＝m 时，y max ＝﹣2m 2＋4m －1，当x ＝n 时，y max ＝﹣2n 2＋4n －1， 又∵m y n 11≤≤ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-②①m m m nn n 1142114222，将①整理得：2n 3－4n 2＋n ＋1＝0，∴变形得：(2n 3－2n 2)－(2n 2－n －1)＝0，即2n 2(n －1)－(2n ＋1)(n －1)＝0，∴(n －1)(2n 2－2n －1)＝0，∵n ＞1，∴2n 2－2n －1＝0，∴n 1＝231-(舍去)，n 2＝231+，同理整理②得：(m －1)(2m 2－2m －1)＝0，∵1≤m ＜n ，∴m 1＝1，m 2＝231-(舍去)，m 3＝231+(舍去)， ∴综上所述：m ＝1，n ＝231+． {分值}{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}{难度:5-高难度}{类别:高度原创}{类别:常考题}{考点:二次函数y ＝a(x ＋h)2的图象}{考点:抛物线与一元二次方程的关系}{考点:灵活选用合适的方法解一元二次方程}{考点:其他二次函数综合题}{题目}26．(2019年长沙T26)如图，抛物线y ＝ax 2＋6ax (a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(﹣3<t<0)，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的⊙P 相交于点C ．(1)求点A 的坐标；(2)过点C 作⊙P 的切线CE 交x 轴于点E ．①如图1，求证CE ＝DE ，②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当a ＝33，∠CAE ＝∠OBE 时，求OEOD 11-的值．{解析}本题考查了一元二次方程的解法、切线的判定、切割线定理、等角对等边，是一道二次函数与圆的综合性问题．{答案}解： (1)令ax 2＋6ax ＝0，∴ax (x ＋6)＝0，所以A(﹣6，0)，(2)连接PC ，连接PB 延长交x 轴于点M ，∵⊙P 过O 、A 、B 三点，B 为顶点，∴PM ⊥OA ，∠PBC ＋∠BOM ＝90°，又∵PC ＝PB ，∴∠PCB ＝∠PBC ，∴CE 为切线，∴∠PCB ＋∠ECD ＝90°，又∵∠BDP ＝∠CDE ，∴∠ECD ＝∠CDE ，∴CE ＝DE(3)解：设OE ＝m ，即E(m ，0)由切割定理：CE 2＝OE·AE(m －t)2＝m(m ＋6)推出m ＝tt 262+① ∵∠CAE ＝∠CBD ，已知∠CAE ＝∠OBE ，∠CBO ＝∠EBO ， 由角平分线定理：OE DO BE BD =即()()mt m t -=++++27327322推出m ＝66--t t ② 由①②得t t 262+＝66--t t 推出t 2＋18t ＋36＝0， ∴t 2＝﹣18t ﹣36，∴616311112=+-=--=-t t m t OE OD {分值}{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {难度:5-高难度}{类别:高度原创}{类别:易错题}{考点:灵活选用合适的方法解一元二次方程} {考点:切线的判定}{考点:切割线定理}{考点:等角对等边}{考点:二次函数与圆的综合}。
2019年湖南省长沙市中考数学试卷(含答案与解析)
---------------- 密★启用前 _ --------------------__ _____号卷 --------------------考 __ __ __ 上 __ _ 答__ _ -------------------- )A .购买一张彩票,中奖2 AB 的长为数法(-------------绝在--------------------湖南省长沙市 2019 年初中学业水平考试数学_ __ __1.下列各数中,比-3 小的数是 __ 生 ____ __投资规模达到 15 000 000 000 元,确保安全供用电需求.数据 15 000 000 000 用科学记 _ __ _ ( )_ _ _ _ A .15 ⨯109B .1.5 ⨯109C .1.5 ⨯1010D . 0.15 ⨯1011_ _ 名__ 3.下列计算正确的是 姓 __ __ __ C . a 6 ÷ a 3 = a 2 D . (a + b )2 = a 2 + b 2__ __ 4.下列事件中,是必然事件的是_ 题 校 学 业 本试卷满分 120 分,考试时间 120 分钟.此 第Ⅰ卷(选择题 共 36 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)( )A . -5B . -1C . 0D .12.根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》,明确到 2020 年,长沙电网建设改造--------------------表示为-------------------- )_ A . 3a + 2b = 5ab B . (a 3 )2 = a 6C .经过有交通信号灯的路口,遇到红灯D .任A . 80︒B . 90︒C .100︒D .110︒6.某个几何体的三视图如图所示,该几何体是( )A B C D 7.在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中,11 名参赛同学的成绩各不相同,按照成绩取前 5 名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩,要判断能否进入决赛,小明需要知道这 11 名同学成绩的( )A .平均数B .中位数C .众数D .方差8.一个扇形的半径为 6,圆心角为120︒ ,则该扇形的面积是( )A . 2πB . 4πC .12πD . 24π 9.如图, △Rt ABC 中, ∠C = 90︒ , ∠B = 30︒ ,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于1半径作弧,两弧相交于 M ,N 两点,作直线 MN ,交 BC 于点 D ,连接 AD ,则 ∠CAD 的度数是 ( )毕B .射击运动员射击一次,命中靶心无--------------------意画一个三角形,其内角和是180︒5.如图,平行线 AB ,CD 被直线 AE 所截, ∠1 = 80︒ ,则 ∠2 的度数是()A . 20︒B . 30︒C . 45︒D . 60︒10.如图,一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60︒ 方向,距离灯塔 60n mile 的小岛 A 出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 C 的南偏东 45︒ 方向上的 B 处,这时轮船 B与小岛 A 的距离是效数学试卷 第 1 页（共 30 页）数学试卷 第 2 页（共 30 页）⎩3x-6＜0的解集是⎩0.5y=x-1B.⎨⎩0.5y=x+1D.⎨5BD的最小值是x(k为常数,k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A,B两点,点M.“5MB,则()⎧x+1≥015.不等式组⎨.16.在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过程,以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数100100050001000050000100000“摸出黑球”的次数36387201940091997040008A.303n mileB.60n mileC.120n mileD.(30+303)n mile “摸出黑球”的频率(结果保留小数点后三位)0.3600.3870.4040.4010.3990.40011《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是：今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸；屈绳量之,不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺？可设木头长为x尺,绳子长为y尺,则所列方程组正确的是()⎧y=x+4.5,⎧y=x+4.5,A.⎨⎩y=2x-1⎧y=x-4.5,⎧y=x-4.5,C.⎨⎩y=2x-112.如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+5()根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是.(结果保留小数点后一位) 17.如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50m,则AB的长是m.18.如图,函数y=k是第一象限内双曲线上的动点(点M在点A的左侧),直线AM分别交x轴、y轴于C,D两点,连接BM分别交x轴、y轴于点E,F.现有以下四个结论：A.25B.45C.53D.10第Ⅱ卷(非选择题共84分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)13.式子x-5在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是.14.分解因式：am2-9a=.数学试卷第3页（共30页）①△ODM与△OCA的面积相等；②若B M⊥AM于点M,则∠MBA=30︒；③若M 点的横坐标为1,△OAM为等边三角形,则k=2+3；④若MF=2数学试卷第4页（共30页）三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)⎛ 1 ⎫ 计算： | - 2 | + ⎪ - 6 ÷ 3 - 2cos60︒ . ____ _ 生 __ ⎝ a - 1 - 1 ⎫考 __ ⎛ a + 3a 2 - a ,其中 a = 3 . a - 1 ⎭ ÷ __ __ 上_ 名 __ 姓 ___ 答_ 题--------------------他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计 ,并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图.此_20.(本小优秀 21 42% -----------------------------MD = 2MA .其中正确的结论的序号是.(只填序号)在--------------------19.(本小题满分 6 分)-1 ⎝ 2 ⎭__ --------------------__ _ __ _ 号 卷 --------------------题满分 6 分) a 2 + 4a + 4 _ 先化简,再求值： ⎪__ _ _ _ _ _ --------------------_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ --------------------_ __ 21.(本小题满分 8 分)__ __ 某学校开展了主题为“垃圾分类 ,绿色生活新时尚”的宣传活动 ,为了解学生对垃圾__ __ 分类知识的掌握情况 ,该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调 __ 校 学 业请根据以上信息,解答下列问题：(1)本次调查随机抽取了 名学生；表中 m = , n = ；(2)补全条形统计图；(3)若全校有 2 000 名学生,请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人.22.(本小题满分 8 分)如图,正方形 ABCD ,点 E ,F 分别在 AD ,CD 上,且 DE = CF ,AF 与 BE 相交于点 G .(1)求证： BE = AF ；(2)若 AB = 4 , DE = 1 ,求 AG 的长.毕等级 频数 频率无--------------------良好 m 40%合格 6 n %待合格 3 6%23.(本小题满分 9 分)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》 ,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂 ,为学生提供线上线下免费辅导 ,据统计,第一批公益课受益学生 2 万人次,第三批公益课受益学生 2.42 万人次.(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率；效数学试卷 第 5 页（共 30 页）数学试卷 第 6 页（共 30 页）2m + 1≤y + 2 ≤.求证：四边形 ABCD 与四边形 A 1B 1C 1D 1 相似.AB B C C D3 , ∠CAE = ∠OBE 时,求 (2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 图 1 图 224.(本小题满分 9 分)根据相似多边形的定义 ,我们把四个角分别相等 ,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.(1)某同学在探究相似四边形的判定时 ,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).①四条边成比例的两个凸四边形相似：( 命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似： ( 命题)③两个大小不同的正方形相似.(命题)25.(本小题满分 9 分)已知抛物线 y = -2x 2 + (b - 2) x + (c - 2 020) (b ,c 为常数).(1)若抛物线的顶点坐标为 (1,1) ,求 b ,c 的值；(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求 c 的取值范围；(3)在(1)的条件下 ,存在正实数 m ,n (m ＜n) ,当 m ≤x ≤n 时,恰好 mn2n + 1 ,求 m ,n 的值.1(2) 如图 1, 在四边形 ABCD 和四边形 A 1B 1C 1D 1 中 , ∠ABC = ∠A 1B 1C 1 , ∠BCD =AB BC CD ∠B C D ,1 1 1 1 11 1 1 1(3)如图 2,四边形 ABCD 中, AB ∥CD ,AC 与 BD 相交于点 O ,过点 O 作 EF ∥AB 分别交 AD ,BC 于点 E ,F .记四边形 ABFE 的面积为 S 1,四边形 EFCD 的面积为 S 2,若四S边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似,求 2 的值.S126.(本小题满分 10 分)如图,抛物线 y = ax 2 + 6ax (a 为常数, a ＞0 )与 x 轴交于 O ,A 两点,点 B 为抛物线的顶 点,点 D 的坐标为 (t,0)(-3＜t ＜0) ,连接 BD 并延长与过 O ,A ,B 三点的 P 相交于点C .(1)求点 A 的坐标；(2)过点 C 作 P 的切线 CE 交 x 轴于点 E .①如图 1,求证： CE = DE ；②如图 2,连接 AC ,BE ,BO ,当 a = 3 1 OD - 1 OE 的值.数学试卷 第 7 页（共 30 页） 数学试卷 第 8 页（共 30 页）图1图2数学试卷第9页（共30页）数学试卷第10页（共30页）C aD ( 湖南省长沙市 2019 年初中学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】A【解析】解： -5＜ - 3＜ -1＜0＜1 ,所以比 -3 小的数是 -5 ,故选：A .【考点】有理数的大小比较.2.【答案】C【解析】解：数据 15 000 000 000 用科学记数法表示为1.5 ⨯1010 .故选：C .【考点】利用科学记数法表示较大的数.3.【答案】B【解析】解：A 、3a 与 2b 不是同类项,故不能合并,故选项 A 不合题意；B 、 (a 3 )2 = a 6 ,故选项 B 符合题意； 、 6 ÷ a 3 = a 3 ,故选项 C 不符合题意； 、a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 ,故选：C .【考点】平行线的性质.6.【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体为圆锥.故选：D .【考点】由三视图判断几何体.7.【答案】B【解析】解：11 个不同的成绩按从小到大排序后,中位数及中位数之后的共有 5 个数,故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.故选：B .【考点】统计量的选择.8.【答案】C故选项 D 不合题意.故选：B .【解析】解： S =120 ⨯ π ⨯ 62360 = 12π ,故选：C .【考点】合并同类项,幂的乘方与积的乘方,同底数幂的除法,完全平方公式.4.【答案】D【解析】解：A 、购买一张彩票中奖,属于随机事件,不合题意；B 、射击运动员射击一次,命中靶心,属于随机事件,不合题意；C 、经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,属于随机事件,不合题意；D 、任意画一个三角形,其内角和是180︒ ,属于必然事件,符合题意；故选：D .【考点】三角形内角和定理,随机事件.5.【答案】C【解析】解：∵ ∠1 = 80︒ ,∴ ∠3 = 100︒ ,∵ AB ∥CD ,∴ ∠2 = ∠3 = 100︒ .数学试卷 第 11 页（共 30 页） 【考点】扇形面积的计算.9.【答案】B【解析】解：在 △ABC 中,∵ ∠B = 30︒ , ∠C = 90︒ ,∴ ∠BAC = 180︒-∠ B -∠ C = 60︒ ,由作图可知 MN 为 AB 的中垂线,∴ DA = DB ,∴ ∠DAB = ∠B = 30︒ ,∴ ∠CAD = ∠BAC -∠ DAB = 30︒ ,故选：B .【考点】线段垂直平分线的性质,基本操作图.10.【答案】D【解析】解：过 C 作 CD ⊥ AB 于 D 点,数学试卷 第 12 页（共 30 页）AC,2=303.AE=2,设AE=a,BE=2a,BD=⎩0.5y=x-1,5BD,5BD=CD+DH,5BD≥45,5BD的最小值为45.∴∠ACD=30︒,∠BCD=45︒,AC=60.在Rt△ACD中,cos∠ACD=CD∴CD=AC cos∠ACD=60⨯3在Rt△DCB中,∵∠BCD=∠B=45︒,∴CD=BD=303,∴AB=AD+BD=30+303.答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是(30+303)n mile.故选：D.∵BE⊥AC,∴∠ABE=90︒,∵tanA=BE则有：100=a2+4a2,∴a2=20,∴a=25或-25(舍弃),∴BE=2a=45,∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AC,∴CM=BE=45(等腰三角形两腰上的高相等)∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA,【考点】解直角三角形的实际应用.∴sin∠DBH=DH AE5AB=5,11.【答案】A【解析】解：由题意可得,⎧y=x+4.5⎨故选：A.【考点】根据实际问题列出二元一次方程组.12.【答案】B【解析】解：如图,作DH⊥AB于H,CM⊥AB于M.数学试卷第13页（共30页）∴DH=5∴CD+5∴CD+DH≥CM,∴CD+5∴CD+5故选：B.【考点】解直角三角形,等腰三角形的性质,垂线段最短.第Ⅱ卷二、填空题数学试卷第14页（共30页）【解析】解：①设点A m,k⎫m⎭,M n,⎪,n⎭mnx+∴C(m+n,0),D 0,mn⎪,∴1(m+n)km2,∴(1-m)+ k-k⎫2⎪=1+k2,13.【答案】x≥5【解析】解：式子x-5在实数范围内有意义,则x-5≥0,故实数x的取值范围是：x≥5.18.【答案】①③④⎝⎝故答案为：x≥5.【考点】二次根式有意义的条件.14.【答案】a(m+3)(m-3)则直线AC的解析式为y=-k⎛(m+n)k⎫⎝⎭kn+km,【解析】解：am2-9a=a(m2-9)△SODM=2⨯mn=(m+n)k1k2m,△SOCA=2⨯(m+n)⨯m=(m+n)k2m,=a(m+3)(m-3).故答案为：a(m+3)(m-3).【考点】提公因式法与公式法分解因式的综合运用.15.【答案】-1≤x＜2⎧x+1≥0①【解析】解：⎨⎩3x-6＜0②解不等式①得：x≥-1,解不等式②得：x＜2,∴不等式组的解集为：-1≤x＜2,故答案为：-1≤x＜2.【考点】解一元一次不等式组.16.【答案】0.4【解析】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近,故摸到白球的频率估计值为0.4；故答案为：0.4.【考点】频数(率)分布表,利用频率估计概率.17.【答案】100【解析】解：∵点D,E分别是AC,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴AB=2DE=2⨯50=100米.故答案为：100.【考点】三角形的中位线定理.数学试卷第15页（共30页）∴△ODM与△OCA的面积相等,故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称,∴O是AB的中点,∵BM⊥AM,∴OM=OA,∴k=mn,∴A(m,n),M(n,m),∴AM=2(n-m),OM=m2+n2,∴AM不一定等于OM,∴∠BAM不一定是60︒,∴∠MBA不一定是30︒.故②错误,∵M点的横坐标为1,∴可以假设M(1,k),∵△O AM为等边三角形,∴OA=OM=AM,1+k2=m2+k2∴m=k,∵OM=AM,⎛2⎝m⎭∴k2-4k+1=0,数学试卷第16页（共30页）∴FM ∴OK ∴OK ∴OK∴DMa+2,当a=3时,原式=3a+2,3+2=.50⨯100=12,50=1640人,50⨯100=12,∴k=2±3,∵m＞1,∴k=2+3,故③正确,如图,作MK∥OD交OA于K.∵OF∥MK,OK2BM=KB=5,2OB=3,∵OA=OB,2OA=3,2KA=1,∵KM∥OD,OKAM=AK=2,∴DM=2A M,故④正确.故答案为①③④.【解析】解：原式=2+2-6÷3-2⨯12=2+2-2-1=1.【考点】绝对值,负整数指数幂,二次根式的混合运算,特殊角的三角函数值.20.【答案】解：原式=a+2a(a-1)a-1(a+2)2=a33+2=5.【解析】解：原式=a+2a(a-1)a-1(a+2)2=a当a=3时,原式=335【考点】分式的化简求值.21.【答案】解：(1)本次调查随机抽取了21÷42%=50名学生,m=50⨯40%=20,n=6故答案为：50,20,12；(2)补全条形统计图如图所示：【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,三角形的面积,平行线分线段成比例定理.三、解答题19.【答案】解：原式=2+2-6÷3-2⨯1 2=2+2-2-1=1.数学试卷第17页（共30页）(3)2000⨯21+20答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人.【解析】解：(1)本次调查随机抽取了21÷42%=50名学生,m=50⨯40%=20, n=6数学试卷第18页（共30页）5=在△BAE和△ADF中,⎨∠BAE=∠ADF,50=1640人,⎪A E=DF在△BAE和△ADF中,⎨∠BAE=∠ADF,⎪A E=DF2AB⨯AE=5=2AB⨯AE=故答案为：50,20,12；∴AG=4⨯3125.(2)补全条形统计图如图所示：(3)2000⨯21+20答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人.【考点】用样本估计总体,频数(率)分布表、,条形统计图.22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90︒,AB=AD=CD,∵DE=CF,∴AE=DF,⎧A B=AD⎪⎩【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90︒,AB=AD=CD,∵DE=CF,∴AE=DF,⎧A B=AD⎪⎩∴△BAE≅△ADF(SAS),∴BE=AF；(2)解：由(1)得：△BAE≅△ADF,∴∠EBA=∠FAD,∴∠GAE+∠AEG=90︒,∴∠AGE=90︒,∵AB=4,DE=1,∴AE=3,∴BE=AB2+AE2=42+32=5,∴△BAE≅△ADF(SAS),在Rt△ABE中,112BE⨯AG,∴BE=AF；(2)解：由(1)得：△BAE≅△ADF,∴AG=4⨯3125.∴∠EBA=∠FAD,∴∠GAE+∠AEG=90︒,∴∠AGE=90︒,∵AB=4,DE=1,∴AE=3,∴BE=AB2+AE2=42+32=5,【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质,勾股定理,三角形面积公式.23.【答案】解：(1)设增长率为x,根据题意,得2(1+x)2=2.42,解得x=-2.1(舍去),x=0.1=10%.12答：增长率为10%.(2)2.42(1+0.1)=2.662(万人).在Rt△ABE中,112BE⨯AG,数学试卷第19页（共30页）答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.【解析】解：(1)设增长率为x,根据题意,得数学试卷第20页（共30页）∴DEAE=∴DE ∴DE∴2DE2(1+x)2=2.42,解得x=-2.1(舍去),x=0.1=10%.12答：增长率为10%.(2)2.42(1+0.1)=2.662(万人).答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.【考点】一元二次方程的实际应用.24.【答案】(1)①假②假③真(2)证明：如图1中,连接BD,B1D1.∠BCD=∠B C D,111∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.(3)如图2中,图2∵四边形ABCD与四边形EFCD相似.EFAE=AB,∵EF=OE+OF,∴DE OE+OFAB,∵EF∥AB∥CD,图1∵∠BCD=∠B C D,且111∴△BCD△B C D,111BC CD=,B C C D1111AD+AD=AB+OE DEAD=AB,AD=DE OEDEAD=AE,OCAB=OFAB,∵AB=BC∴BDBD=∴2∴AD,∠A=∠A,∠ADB=∠A D B,∴AB==,∠ADC=∠A D C,∠A=∠A,∠ABC=∠A B C,OF AB,∴∠CDB=∠C D B,∠C B D=∠CBD,111111CD=,A B B C C D111111AB,A B1111∵∠ABC=∠A B C,111∴∠ABD=∠A B D,111∴△ABD△A B D,111ABAD=A B11111111BC CD ADAB=B C C D A D1111111 11111111数学试卷第21页（共30页）∵AD=DE+AE,1DE+AE=AE,∴2A E=DE+AE,∴AE=DE,S∴1=1.S2【解析】(1)解：①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等.②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例.③两个大小不同的正方形相似,是真命题.数学试卷第22页（共30页）∴ DE AE =∵ ∠BCD = ∠B C D ,且 BC = C D∵ AB AB = ∴ DE ∴ DE∴ 2DE∴ 2∴ AD , ∠A = ∠A , ∠ADB = ∠A D B , ∴ AB = = = , ∠ADC = ∠A D C , ∠A = ∠A , ∠ABC = ∠A B C ,A B B C C D A D⎩ c - 2 020 = -1 .代入解析式可得： ⎨ 0= -2x 2故答案为假,假,真.(2)证明：如图 1 中,连接 BD ,B 1D 1.图 2∵四边形 ABCD 与四边形 EFCD 相似.EF AE = AB ,∵ EF = OE + OF ,图 1BC CD,1 1 1 1 11 1∴ △BCD △B C D ,1 1 1∴ ∠CDB = ∠C D B , ∠C B D = ∠CBD , 1 1 1 1 1 1BC CD = ,B C C D1 1 1 1 1 1∴ BD = AB ,B D A B1 11 1∴ DE OE + OFAB ,∵ EF ∥AB ∥CD , OE DE OC AD = AB , AD = AB =DE OE OFAD + AD = AB + AB ,DEAD =AE ,∵ AD = DE + AE ,1DE + AE =AE ,∴ 2 A E = DE + AE ,OF AB ,∵ ∠ABC = ∠A B C ,1 1 1∴ ∠ABD = ∠A B D , 1 1 1 ∴ △ABD △A B D , 1 1 1 AB AD =A B 1 1 1 1 1 1 1 1 BC CD AD1 1 1 1 1 1 1 1∠BCD = ∠B C D ,1 1 1∴四边形 ABCD 与四边形 A 1B 1C 1D 1 相似.1 1 1 1 1 1 1∴ AE = DE ,S∴ 1 = 1 .S2【考点】相似三角形的判定和性质,相似多边形的判定和性质.25.【答案】解：(1)由题可知,抛物线解析式是： y = -2( x - 1)2 + 1 = -2 x 2 + 4 x - 1 .⎧b - 2 = 4 ∴ ⎨ ∴ b = 6 , c = 2 019 .(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是( x , y ) , (- x , - y ) ,0 0 0 0 (3)如图 2 中,⎧⎪ y = -2x 2 + (b - 2) x + (c - 2 020) 0 0⎪⎩- y 0 0 - (b - 2) x 0 + (c - 2 020) .数学试卷 第 23 页（共 30 页） ∴两式相加可得： -4 x 2 + 2(c - 2 020) = 0 .∴ c = 2 x 2 + 2 020 ,∴ c ＞2 020 ；(3)由(1)可知抛物线为 y = -2 x 2 + 4 x - 1 = -2( x - 1)2 + 1 .数学试卷 第 24 页（共 30 页）m1n综上所述,m=1,n=∴≤≤.∴≤y≤.∴≤1,即m≥1.代入解析式可得：⎨0.=-2x2又≤y≤⎧1⎪⎪n=-2n2+4n-1⎪⎩m =-2m2+4m-1②2m+1≤∴≤1y+2≤y+2≤∴≤y≤1m≤1,即m≥1.2(舍去),n=2.又≤y≤2(舍去),m=⎧1⎪⎪n=-2n2+4n-1⎪⎩m=-2m2+4m-1②∴y≤1.∵0＜m＜n,当m≤x≤n时,恰好≤≤2m+1y+22n+1,1+3.2【解析】解：(1)由题可知,抛物线解析式是：y=-2(x-1)2+1=-2x2+4x-1.111n y+2m11n m1m∴1≤m＜n.∵抛物线的对称轴是x=1,且开口向下,∴当m≤x≤n时,y随x的增大而减小.⎧b-2=4∴⎨.⎩c-2020=-1∴b=6,c=2019.(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是(x,y),(-x,-y),0000⎧⎪y=-2x2+(b-2)x+(c-2020)00⎪⎩-y00-(b-2)x0+(c-2020)∴两式相加可得：-4x2+2(c-2020)=0.∴c=2x2+2020,∴当x=m时,y最大值=-2m2+4m-1.∴c＞2020；当x=n时,y最小值=-2n2+4n-1.(3)由(1)可知抛物线为y=-2x2+4x-1=-2(x-1)2+1.11 n m,∴⎨⎪1①.∴y≤1.∵0＜m＜n,当m≤x≤n时,恰好m11n m.1n2n+1,将①整理,得2n3-4n2+n+1=0,变形,得2n2(n-1)-(2n+1)(n-1)=0.∴(n-1)(2n2-2n-1)=0.∵n＞1,∴2n2-2n-1=0.1-31+3解得n=121n m.∴1∴1≤m＜n.∵抛物线的对称轴是x=1,且开口向下,∴当m≤x≤n时,y随x的增大而减小.∴当x=m时,y=-2m2+4m-1.最大值同理,由②得到：(m-1)(2m2-2m-1)=0.∵1≤m＜n,当x=n时,y最小值11n m,=-2n2+4n-1.∴2m2-2m-1=0.解得m=1,m=1-31231+32(舍去).∴⎨⎪1①.数学试卷第25页（共30页）数学试卷第26页（共30页）2(舍去),n=2.2(舍去),m=2.6+2t①,BE=(3+m)2+27=-t-6②,6+2t=OD-m=3t+6将①整理,得2n3-4n2+n+1=0,变形,得2n2(n-1)-(2n+1)(n-1)=0.∴(n-1)(2n2-2n-1)=0.∵n＞1,∴2n2-2n-1=0.1-31+3解得n=12同理,由②得到：(m-1)(2m2-2m-1)=0.∴∠PCB=∠PBC,∵CE为切线,∴∠PCB+∠ECD=90︒,又∵∠BDP=∠CDE,∴∠ECD=∠COE,∴CE=DE.②解：设OE=m,即E(m,0),∵1≤m＜n,∴2m2-2m-1=0.1-3解得m=1,m=123综上所述,m=1,n=1+31+32(舍去).由切割线定理得：C E2=OE AE,∴(m-t)2=m(m+6),t2∴m=∵∠CAE=∠CBD,∠CAE=∠OBE,∠CBO=∠EBO,【考点】二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象的对称性,二次函数图象的增减性,由角平分线定理：BD ODOE,二次函数最值的意义,一元二次方程的解法.26.【答案】解：(1)令ax2+6ax=0,即：(3+t)2+27-tm,ax(x+6)=0,∴A(-6,0)；(2)①证明：如图,连接PC,连接PB延长交x轴于点M,∴m=6t由①②得t26t-t-6,整理得：t2+18t+36=0,∴t2=-18t-36,∴111OE=-t-1t2=16.∵P过O、A、B三点,B为顶点,∴PM⊥OA,∠PBC+∠BOM=90︒,又∵PC=PB,数学试卷第27页（共30页）【解析】解：(1)令ax2+6ax=0,ax(x+6)=0,∴A(-6,0)；(2)①证明：如图,连接PC,连接PB延长交x轴于点M,数学试卷第28页（共30页）6 + 2t ①,BE = -t - 6 ②, 6 + 2t =整理得： t 2 + 18t + 36 = 0 ,∴ t 2 = -18t - 36 ,1 1 1 1 3t + 6 1 ∴ - =- - = = .OD OE t m t 2 6【考点】二次函数图象与 x 轴的交点坐标,切线的性质,等腰三角形的判定,切割线定理.∵ P 过 O 、A 、B 三点,B 为顶点,∴ PM ⊥ OA , ∠PBC + ∠BOM = 90︒ ,又∵ PC = PB ,∴ ∠PCB = ∠PBC ,∵CE 为切线,∴ ∠PCB + ∠ECD = 90︒ ,又∵ ∠BDP = ∠CDE ,∴ ∠ECD = ∠COE ,∴ CE = DE .②解：设 OE = m ,即 E (m ,0) ,由切割线定理得： C E 2 = OE AE ,∴ (m - t )2 = m (m + 6) ,∴ m = t 2∵ ∠CAE = ∠CBD ,∠CAE = ∠OBE , ∠CBO = ∠EBO ,由角平分线定理： BD ODOE ,即：(3 + t )2 + 27 (3 + m )2 + 27 = -tm ,∴ m = 6t由①②得 t 26t -t - 6 ,数学试卷 第 29 页（共 30 页） 数学试卷 第 30 页（共 30 页）。
【附20套名校中考真题】2019年湖南省长沙市中考数学试卷(word版,解析版)
2019年湖南省长沙市中考数学试卷含答案解析
湖南省长沙市2019年初中学业水平考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列各数中,比3-小的数是( )A.5-B.1-C.0D.12.根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》,明确到2020年,长沙电网建设改造投资规模达到15 000 000 000元,确保安全供用电需求.数据15 000 000 000用科学记数法表示为( )A.91510⨯B.91.510⨯C.101.510⨯D.110.1510⨯ 3.下列计算正确的是( )A.325a b ab +=B.326()a a =C.632a a a ÷=D.222()a b a b +=+ 4.下列事件中,是必然事件的是( )A.购买一张彩票,中奖B.射击运动员射击一次,命中靶心C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯D.任意画一个三角形,其内角和是180︒5.如图,平行线AB ,CD 被直线AE 所截,180∠=︒,则2∠的度数是( )A.80︒B.90︒C.100︒D.110︒ 6.某个几何体的三视图如图所示,该几何体是( )ABCD7.在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中,11名参赛同学的成绩各不相同,按照成绩取前5名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩,要判断能否进入决赛,小明需要知道这11名同学成绩的( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 8.一个扇形的半径为6,圆心角为120︒,则该扇形的面积是( )A.2πB.4πC.12πD.24π9.如图,Rt ABC △中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,分别以点A 和点B 为圆心,大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于M ,N 两点,作直线MN ,交BC 于点D ,连接AD ,则CAD ∠的度数是( )A.20︒B.30︒C.45︒D.60︒10.如图,一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60︒方向,距离灯塔60n mile 的小岛A 出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C 的南偏东45︒方向上的B 处,这时轮船B 与小岛A 的距离是( )eB.60mile nC.120mile nD.(30mile n +11.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是：“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸；屈绳量之,不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺？可设木头长为x 尺,绳子长为y 尺,则所列方程组正确的是 ( ) A. 4.5,0.51y x y x =+⎧⎨=-⎩ B. 4.5,21y x y x =+⎧⎨=-⎩ C. 4.5,0.51y x y x =-⎧⎨=+⎩D. 4.5,21y x y x =-⎧⎨=-⎩12.如图,ABC △中,10AB AC ==,tan 2A =,BE AC ⊥于点E ,D 是线段BE 上的一个动点,则CD 的最小值是 ( )A. B. C. D.10第Ⅱ卷(非选择题共84分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)13.在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是.14.分解因式：29am a-=.15.不等式组10360xx+⎧⎨-⎩≥＜的解集是.16.在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是.(结果保留小数点后一位) 17.如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得50DE=m,则AB的长是m.18.如图,函数kyx=(k为常数,0k＞)的图象与过原点的O的直线相交于A,B两点,点M是第一象限内双曲线上的动点(点M在点A的左侧),直线AM分别交x轴、y轴于C,D两点,连接BM分别交x轴、y轴于点E,F.现有以下四个结论：①ODM △与OCA △的面积相等；②若BM AM ⊥于点M ,则30MBA ∠=︒；③若M 点的横坐标为1,OAM △为等边三角形,则2k =+④若25MF MB =,则2MD MA =.其中正确的结论的序号是 .(只填序号)三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分6分)计算：11|2cos602-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭.20.(本小题满分6分)先化简,再求值：22314411a a a a a a a +++⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭,其中3a =.21.(本小题满分8分)某学校开展了主题为“垃圾分类,绿色生活新时尚”的宣传活动,为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图.请根据以上信息,解答下列问题：(1)本次调查随机抽取了名学生；表中m=,n=；(2)补全条形统计图；(3)若全校有2 000名学生,请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人.22.(本小题满分8分)如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE CF=,AF与BE相交于点G.(1)求证：BE AF=；(2)若4DE=,求AG的长.AB=,123.(本小题满分9分)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率；(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？24.(本小题满分9分)根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).①四条边成比例的两个凸四边形相似： ( 命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似： ( 命题)③两个大小不同的正方形相似.( 命题)(2)如图1,在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中,111ABC A B C ∠=∠,BCD ∠=111B C D ∠,111111AB BC CDA B B C C D .求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似.(3)如图2,四边形ABCD 中,AB CD ∥,AC 与BD 相交于点O ,过点O 作EF AB ∥分别交AD ,BC 于点E ,F .记四边形ABFE 的面积为S 1,四边形EFCD 的面积为S 2,若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似,求21S S 的值.图1图225.(本小题满分9分)已知抛物线2()(2222)00y x b x c =-+-+-(b ,c 为常数). (1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b ,c 的值；(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c 的取值范围；(3)在(1)的条件下,存在正实数m ,n ()m n ＜,当m x n ≤≤时,恰好1212m m y ++≤≤21n n +,求m ,n 的值.26.(本小题满分10分)如图,抛物线26y ax ax =+(a 为常数,0a ＞)与x 轴交于O ,A 两点,点B 为抛物线的顶点,点D 的坐标为()(,00)3t t -＜＜,连接BD 并延长与过O ,A ,B 三点的P e 相交于点C . (1)求点A 的坐标；(2)过点C 作P e 的切线CE 交x 轴于点E . ①如图1,求证：CE DE =；②如图2,连接AC ,BE ,B O,当3a =,CAE OBE ∠=∠时,求11OD OE-的值.图1图2湖南省长沙市2019年初中学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】解：53101---＜＜＜＜,所以比3-小的数是5-,故选：A. 【考点】有理数的大小比较. 2.【答案】C【解析】解：数据15 000 000 000用科学记数法表示为101.510⨯.故选：C. 【考点】利用科学记数法表示较大的数. 3.【答案】B【解析】解：A 、3a 与2b 不是同类项,故不能合并,故选项A 不合题意；B 、326()a a =,故选项B 符合题意；C 、633a a a ÷=,故选项C 不符合题意；D 、222(2)a b a ab b +=++,故选项D 不合题意.故选：B.【考点】合并同类项,幂的乘方与积的乘方,同底数幂的除法,完全平方公式. 4.【答案】D【解析】解：A 、购买一张彩票中奖,属于随机事件,不合题意；B 、射击运动员射击一次,命中靶心,属于随机事件,不合题意；C 、经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,属于随机事件,不合题意；D 、任意画一个三角形,其内角和是180︒,属于必然事件,符合题意；故选：D.【考点】三角形内角和定理,随机事件. 5.【答案】C【解析】解：∵180∠=︒, ∴3100∠=︒, ∵AB CD ∥, ∴23100∠=∠=︒. 故选：C.【考点】平行线的性质. 6.【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体为圆锥.故选：D. 【考点】由三视图判断几何体. 7.【答案】B【解析】解：11个不同的成绩按从小到大排序后,中位数及中位数之后的共有5个数,故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.故选：B. 【考点】统计量的选择. 8.【答案】C【解析】解：2120π612π360S ⨯⨯==,故选：C.【考点】扇形面积的计算. 9.【答案】B【解析】解：在ABC △中,∵30B ∠=︒,90C ∠=︒, ∴18060BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒, 由作图可知MN 为AB 的中垂线, ∴DA DB =, ∴30DAB B ∠=∠=︒,∴30CAD BAC DAB ∠=∠-∠=︒, 故选：B.【考点】线段垂直平分线的性质,基本操作图. 10.【答案】D【解析】解：过C 作CD AB ⊥于D 点, ∴30ACD ∠=︒,45BCD ∠=︒,60AC =.在Rt ACD △中,cos CDACD ∠=,∴cos 60CD AC ACD =∠==g .在Rt DCB △中,∵45BCD B ∠=∠=︒,∴CD BD ==∴30AB AD BD =+=+答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是(30+n mile. 故选：D.【考点】解直角三角形的实际应用. 11.【答案】A【解析】解：由题意可得, 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩, 故选：A.【考点】根据实际问题列出二元一次方程组. 12.【答案】B【解析】解：如图,作DH AB ⊥于H ,CM AB ⊥于M .∵BE AC ⊥,∴90ABE ∠=︒,∵tan 2BEA AE ==,设AE a =,2BE a =,则有：221004a a =+, ∴220a =,∴a =-舍弃),∴2BE a ==∵AB AC =,BE AC ⊥,CM AC ⊥,∴CM BE ==等腰三角形两腰上的高相等) ∵DBH ABE ∠=∠,BHD BEA ∠=∠,∴sin DH AE DBH BD AB ∠==∴DH =,∴5CD BD CD DH +=+, ∴CD DH CM +≥,∴CD ≥∴5CD BD +的最小值为故选：B.【考点】解直角三角形,等腰三角形的性质,垂线段最短.第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】5x ≥在实数范围内有意义,则50x -≥,故实数x 的取值范围是：5x ≥.故答案为：5x ≥.【考点】二次根式有意义的条件.14.【答案】()(33)a m m +-【解析】解：29am a -29()a m =-()(3)3a m m =+-.故答案为：()(33)a m m +-.【考点】提公因式法与公式法分解因式的综合运用.15.【答案】12x -≤＜【解析】解：10360x x +⎧⎨-⎩≥①＜②解不等式①得：1x -≥,解不等式②得：2x ＜,∴不等式组的解集为：12x -≤＜,故答案为：12x -≤＜.【考点】解一元一次不等式组.16.【答案】0.4【解析】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近,故摸到白球的频率估计值为0.4；故答案为：0.4.【考点】频数(率)分布表,利用频率估计概率.17.【答案】100【解析】解：∵点D ,E 分别是AC ,BC 的中点,∴DE 是ABC △的中位线,∴2250100AB DE ==⨯=米.故答案为：100.【考点】三角形的中位线定理.18.【答案】①③④ 【解析】解：①设点,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,k M n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则直线AC 的解析式为k k k y x mn n m=-++, ∴0(,)C m n +,()0,m n k D mn +⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴1()()22ODM m n k m n k S mn m ++=⨯=△,()1()22OCA k m n k S m n m m⨯+=⨯+=△, ∴ODM △与OCA △的面积相等,故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称,∴O 是AB 的中点,∵BM AM ⊥,∴OM OA =,∴k mn =,∴,()A m n ,,()M n m ,∴)AM n m =-,OM =∴AM 不一定等于OM ,∴BAM ∠不一定是60︒,∴MBA ∠不一定是30︒.故②错误,∵M 点的横坐标为1,∴可以假设()1,M k ,∵OAM △为等边三角形,∴OA OM AM ==,22221k k m m+=+, ∴m k =,∵OM AM =, ∴222(1)1k m k k m ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭, ∴2410k k -+=,∴2k =∵1m ＞,∴2k =故③正确,如图,作MK OD ∥交OA 于K .∵OF MK ∥, ∴25FM OK BM KB ==, ∴23OK OB =, ∵OA OB =, ∴23OK OA =, ∴21OK KA =, ∵KM OD ∥, ∴2DM OK AM AK==, ∴2DM AM =,故④正确.故答案为①③④.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,三角形的面积,平行线分线段成比例定理.三、解答题19.【答案】解：原式1222=⨯21=1=.【解析】解：原式1222⨯211=.【考点】绝对值,负整数指数幂,二次根式的混合运算,特殊角的三角函数值.20.【答案】解：原式22(1)1(2)a a a a a +-=-+g2a a =+, 当3a =时,原式33325==+. 【解析】解：原式22(1)1(2)a a a a a +-=-+g 2a a =+, 当3a =时,原式33325==+. 【考点】分式的化简求值.21.【答案】解：(1)本次调查随机抽取了2142%50÷=名学生,5040%20m =⨯=,61001250n =⨯=, 故答案为：50,20,12；(2)补全条形统计图如图所示：(3)21202000164050+⨯=人, 答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1 640人.【解析】解：(1)本次调查随机抽取了2142%50÷=名学生,5040%20m =⨯=,61001250n =⨯=, 故答案为：50,20,12；(2)补全条形统计图如图所示：(3)21202000164050+⨯=人, 答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1 640人.【考点】用样本估计总体,频数(率)分布表、,条形统计图.22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形,∴90BAE ADF ∠=∠=︒,AB AD CD ==,∵DE CF =,∴AE DF =,在BAE △和ADF △中,AB AD BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS BAE ADF ≅△△,∴BE AF =；(2)解：由(1)得：BAE ADF ≅△△,∴EBA FAD ∠=∠,∴90GAE AEG ∠+∠=︒,∴90AGE ∠=︒,∵4AB =,1DE =,∴3AE =,∴5BE ===,在Rt ABE △中,1122AB AE BE AG ⨯=⨯, ∴431255AG ⨯==. 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形,∴90BAE ADF ∠=∠=︒,AB AD CD ==,∵DE CF =,∴AE DF =,在BAE △和ADF △中,AB AD BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS BAE ADF ≅△△,∴BE AF =；(2)解：由(1)得：BAE ADF ≅△△,∴EBA FAD ∠=∠,∴90GAE AEG ∠+∠=︒,∴90AGE ∠=︒,∵4AB =,1DE =,∴3AE =,∴5BE ===,在Rt ABE △中,1122AB AE BE AG ⨯=⨯, ∴431255AG ⨯==. 【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质,勾股定理,三角形面积公式.23.【答案】解：(1)设增长率为x ,根据题意,得22(.4)122x +=,解得1 2.1x =-(舍去),20.110%x ==.答：增长率为10%.(2)2.4210.12().662+=(万人).答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.【解析】解：(1)设增长率为x ,根据题意,得22(.4)122x +=,解得1 2.1x =-(舍去),20.110%x ==.答：增长率为10%.(2)2.4210.12().662+=(万人).答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.【考点】一元二次方程的实际应用.24.【答案】(1)①假②假③真(2)证明：如图1中,连接BD ,B 1D 1.图1∵111BCD B C D ∠=∠,且1111BC CD B C C D =, ∴111BCD B C D :△△, ∴111CDB C D B ∠=∠,111C B D CBD ∠=∠, ∵111111AB BC CD A B B C C D ==,∴1111BD AB B D A B =, ∵111ABC A B C ∠=∠,∴111ABD A B D ∠=∠,∴111ABD A B D :△△, ∴1111AD AB A D A B =,1A A ∠=∠,111ADB A D B ∠=∠, ∴11111111AB BC CD AD A B B C C D A D ===,111ADC A D C ∠=∠,1A A ∠=∠,111ABC A B C ∠=∠,111BCD B C D ∠=∠ ,∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似.(3)如图2中,图2∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似. ∴DE EF AE AB=, ∵EF OE OF =+, ∴DE OE OF AE AB+=, ∵EF AB CD ∥∥, ∴DE OE AD AB =,DE OC OF AD AB AB==, ∴DE DE OE OF AD AD AB AB+=+, ∴2DE DE AD AE=, ∵AD DE AE =+, ∴21DE AE AE=+, ∴2AE DE AE =+,∴AE DE =, ∴121S S =. 【解析】(1)解：①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等.②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例. ③两个大小不同的正方形相似,是真命题.故答案为假,假,真.(2)证明：如图1中,连接BD ,B 1D 1.图1∵111BCD B C D ∠=∠,且1111BCCD B C C D =,∴111BCD B C D :△△,∴111CDB C D B ∠=∠,111C B D CBD ∠=∠, ∵111111ABBCCD A B B C C D ==, ∴1111BD ABB D A B =,∵111ABC A B C ∠=∠,∴111ABD A B D ∠=∠,∴111ABD A B D :△△, ∴1111ADABA D AB =,1A A ∠=∠,111ADB A D B ∠=∠, ∴11111111ABBC CD AD A B B C C D A D ===,111ADC A D C ∠=∠,1A A ∠=∠,111ABC A B C ∠=∠,111BCD B C D ∠=∠,∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似.(3)如图2中,图2∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似. ∴DE EFAE AB =,∵EF OE OF =+, ∴DE OE OF AE AB+=, ∵EF AB CD ∥∥, ∴DE OE AD AB =,DE OC OF AD AB AB==, ∴DE DE OE OF AD AD AB AB+=+, ∴2DE DE AD AE=, ∵AD DE AE =+, ∴21DE AE AE=+, ∴2AE DE AE =+,∴AE DE =, ∴121S S =. 【考点】相似三角形的判定和性质,相似多边形的判定和性质.25.【答案】解：(1)由题可知,抛物线解析式是：2221141()2y x x x =--+=-+-. ∴2420201b c -=⎧⎨-=-⎩. ∴6b =,2019c =.(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是00(,)x y ,00,()x y --,代入解析式可得：200020002(2)(2020)2(2)(2020)y x b x c y x b x c ⎧=-+-+-⎪⎨-=---+-⎪⎩. ∴两式相加可得：2042020()20x c -+-=. ∴2022020c x =+, ∴2020c ＞；(3)由(1)可知抛物线为2224121(1)y x x x =-+-=--+. ∴1y ≤.∵0m n ＜＜,当m x n ≤≤时,恰好121221m n m y n +++≤≤, ∴1112n y m+≤≤. ∴11y n m≤≤. ∴11m ≤,即1m ≥. ∴1m n ≤＜.∵抛物线的对称轴是1x =,且开口向下,∴当m x n ≤≤时,y 随x 的增大而减小.∴当x m =时,2241y m m =-+-最大值.当x n =时,2241y n n =-+-最小值. 又11y n m≤≤, ∴2212411241n n n m m m⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩①②. 将①整理,得322410n n n -++=,变形,得2()()()212110n n n n --+-=.∴2121)(0()2n n n ---=.∵1n ＞,∴22210n n --=.解得112n =(舍去),212n =. 同理,由②得到：2121)(0()2m m m ---=.∵1m n ≤＜,∴22210m m --=.解得11m =,2m =(舍去),3m (舍去). 综上所述,1m =,12n =. 【解析】解：(1)由题可知,抛物线解析式是：2221141()2y x x x =--+=-+-. ∴2420201b c -=⎧⎨-=-⎩. ∴6b =,2019c =.(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是00(,)x y ,00,()x y --,代入解析式可得：200020002(2)(2020)2(2)(2020)y x b x c y x b x c ⎧=-+-+-⎪⎨-=---+-⎪⎩. ∴两式相加可得：2042020()20x c -+-=. ∴2022020c x =+, ∴2020c ＞；(3)由(1)可知抛物线为2224121(1)y x x x =-+-=--+. ∴1y ≤.∵0m n ＜＜,当m x n ≤≤时,恰好121221m n m y n +++≤≤,∴1112n y m+≤≤. ∴11y n m≤≤. ∴11m≤,即1m ≥. ∴1m n ≤＜.∵抛物线的对称轴是1x =,且开口向下,∴当m x n ≤≤时,y 随x 的增大而减小.∴当x m =时,2241y m m =-+-最大值.当x n =时,2241y n n =-+-最小值. 又11y n m≤≤, ∴2212411241n n n m m m⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩①②. 将①整理,得322410n n n -++=,变形,得2()()()212110n n n n --+-=.∴2121)(0()2n n n ---=.∵1n ＞,∴22210n n --=.解得112n =(舍去),212n =. 同理,由②得到：2121)(0()2m m m ---=.∵1m n ≤＜,∴22210m m --=.解得11m =,2m =(舍去),3m (舍去). 综上所述,1m =,12n =. 【考点】二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象的对称性,二次函数图象的增减性,二次函数最值的意义,一元二次方程的解法.26.【答案】解：(1)令260ax ax +=,60()ax x +=,∴0()6,A -；(2)①证明：如图,连接PC ,连接PB 延长交x 轴于点M ,∵P e 过O 、A 、B 三点,B 为顶点, ∴PM OA ⊥,90PBC BOM ∠+∠=︒, 又∵PC PB =,∴PCB PBC ∠=∠,∵CE 为切线,∴90PCB ECD ∠+∠=︒,又∵BDP CDE ∠=∠,∴ECD COE ∠=∠,∴CE DE =.②解：设OE m =,即0(),E m ,由切割线定理得：2CE OE AE =g , ∴2(6())m t m m -=+g , ∴262t m t=+①, ∵CAE CBD ∠=∠,CAE OBE ∠=∠,CBO EBO ∠=∠, 由角平分线定理：BD OD BE OE=,t m-, ∴66t m t =--②, 由①②得26626t t t t =+--, 整理得：218360t t ++=,∴21836t t =--, ∴211113616t OD OE t m t +-=--==. 【解析】解：(1)令260ax ax +=, 60()ax x +=,∴0()6,A -；(2)①证明：如图,连接PC ,连接PB 延长交x 轴于点M ,∵P e 过O 、A 、B 三点,B 为顶点, ∴PM OA ⊥,90PBC BOM ∠+∠=︒, 又∵PC PB =,∴PCB PBC ∠=∠,∵CE 为切线,∴90PCB ECD ∠+∠=︒,又∵BDP CDE ∠=∠,∴ECD COE ∠=∠,∴CE DE =.②解：设OE m =,即0(),E m ,由切割线定理得：2CE OE AE =g , ∴2(6())m t m m -=+g , ∴262t m t=+①, ∵CAE CBD ∠=∠,CAE OBE ∠=∠,CBO EBO ∠=∠, 由角平分线定理：BD OD BE OE=,t m-, ∴66t m t =--②, 由①②得26626t t t t =+--, 整理得：218360t t ++=,∴21836t t =--, ∴211113616t OD OE t m t +-=--==.【考点】二次函数图象与x轴的交点坐标,切线的性质,等腰三角形的判定,切割线定理.。
全国各省市-湖南省长沙市中考数学试卷(解析版).doc
2019年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分)1．（3.00分）﹣2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．2．（3.00分）据统计，2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（）A．0.102×105B．10.2×103C．1.02×104D．1.02×1033．（3.00分）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．3 C．（x2）3=x5D．m5÷m3=m24．（3.00分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm5．（3.00分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3.00分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3.00分）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（）A．B．C．D．8．（3.00分）下列说法正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件9．（3.00分）估计+1的值是（）A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间10．（3.00分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（）A．小明吃早餐用了25minB．小明读报用了30minC．食堂到图书馆的距离为0.8kmD．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min11．（3.00分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米12．（3.00分）若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无穷多个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分)13．（3.00分）化简：=．14．（3.00分）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为度．15．（3.00分）在平面直角坐标系中，将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是．16．（3.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是．17．（3.00分）已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为．18．（3.00分）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=度．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第22、23题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。
2019年湖南省长沙市中考数学试卷含答案
数学试卷 第 9页（共 28页）
【考点】合并同类项,幂的乘方与积的乘方,同底数幂的除法,完全平方公式. 4.【答案】D 【解析】解：A、购买一张彩票中奖,属于随机事件,不合题意；B、射击运动员射击一次,
“摸出黑球”的次数 36
387 2 019 4009 19 970 40 008
“摸出黑球”的频率(结 0.360
果保留小数点后三位)
0.387
0.404
0.401
0.399
0.400
根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是
.(结果保留小数点后一位)
17.如图,要测量池塘两岸相对的 A,B 两点间的距离,可以在池塘外选一点 C,连接 AC,BC,
B. 1
C. 0
D.1
2.根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》,明确到 2020 年,长沙电网建设改造
上
投资规模达到 15 000 000 000 元,确保安全供用电需求.数据 15 000 000 000 用科学记
数法表示为
()
A.15 109
B.1.5 109
答
3.下列计算正确的是
()
是
()
A. 20
B. 30
C. 45
D. 60
10.如图,一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60 方向,距离灯塔 60n mile 的小岛 A 出发,沿
正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 C 的南偏东 45 方向上的 B 处,这时轮船 B
与小岛 A 的距离是
数学试卷 第 2页（共 28页）
2019年湖南中考真题数学试题(附答案解析,含考点分析)
2019年湖南中考数学试题考试时间：90分钟满分：120分一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，合计24分．1．－2019的绝对值是（）A．2019 B．－2019 C．12019D．12019【答案】A【解析】根据绝对值性质：一个负数的绝对值等于它的相反数，∴|－2019|＝2019，因此本题选A．【考点】绝对值的性质2．下列运算结果正确的是（）A．3x－2x＝1 B．x3÷x2＝x C．x3·x2＝x6 D．x2＋y2＝(x＋y)2【答案】B【解析】根据整式的运算性质，选项A：3x－2x＝x；选项B正确；选项C ：x3·x2＝x5；选项D：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy，因此本题选B．【考点】合并同类项、整式加减、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、完全平方公式。
3．下列立体图形中，俯视图不是圆的是（）A．B． C． D．【答案】C【解析】根据立体图形的三视图，正方体的俯视图为正方形，其它三个的俯视图都是圆，因此本题选C．【考点】简单几何体的三视图4．如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（）A．20º B．25ºC．30º D．50º【答案】B【解析】根据平行线的性质，∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC ＝12∠ABC ＝12×50º＝25º． ∵BE ∥DC ，∴∠C ＝∠EBC ＝25º．，因此本题选B ．【考点】两直线平行内错角相等、角平分线的定义5．函数y =x 的取值范围是（ ） A ．x ≠0 B ．x ≥－2 C ．x ＞0 D ．x ≥－2且x ≠0【答案】D【解析】根据函数自变量的取值范围，由题意可知：x ＋2 ≥ 0，解得x ≥－2，又因为x 为分母，故x ≠ 0，所以x ≥－2且 x ≠ 0，因此本题选D ．【考点】函数自变量的取值范围6．甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是2 1.2S =甲，2 1.1S =乙，20.6S =丙，20.9S =丁则射击成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C 【解析】考查方差性质，根据方差越小越稳定可知丙的方差最小，故丙的射击成绩最稳定，因此本题选C ．【考点】方差、方差的性质7．下列命题是假命题．．．的是（ ） A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分【答案】A【解析】考查真假命题的判断，因为平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项A 是假命题，因此本题选A ．【考点】命题8．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则 c 的取值范围是（ ）A ．c ＜－3B ．c ＜－2C ．14c <D ．c ＜1 【答案】B【解析】考查二次函数与一元二次方程， 当y ＝x 时，x ＝x 2+2x +c ，即为x 2+x +c ＝0，由题意可知：x 1、x 2是该方程的两个实数根，所以 12121x x x x c +=-⎧⎨⋅=⎩， ∵x 1＜1＜x 2，∴()()12110x x --<,即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0。
2019年湖南省长沙市中考数学试卷答案解析版
{ 15.
不等式组
������ + 1
3������−6
≥0
<
0的解集是______．
16. 在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸 出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断
重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次数
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A. 30 3������������������������������ C. 120nmile
B. 60nmile D. (30 + 30 3)������������������������������
11. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不 知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是： 用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头 还剩余 1 尺，问木头长多少尺？可设木头长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则所列方程组 正确的是（ ）
������ = 2������−1
12. 如图，△ABC 中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD+ 5BD 的最小
5
值是（ ）
A. 2 5 B. 4 5 C. 5 3 D. 10
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
13. 式子 ������−5在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是______． 14. 分解因式：am2-9a=______．
A. 15 × 109
B. 1.5 × 109
C. 1.5 × 1010