合肥市高一上学期数学期中试卷A卷
合肥市高一上学期数学期中试卷A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高三下·习水期中) 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则（∁RA）∩B=（）
A . （1，3）
B . （﹣1，3）
C . （3，5）
D . （﹣1，5）
2. （2分） log42﹣log48等于（）
A . -2
B . -1
C . 1
D . 2
3. （2分）已知，则（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2017高一下·穆棱期末) 在空间直角坐标系中，点关于点的对称点是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）将函数的图象向右平移个单位长后与直线(m不为0)相交，记图象在轴右侧的第
个交点的横坐标为，若数列为等差数列，则所有m的可能值为（）
A .
B .
C . 1或2
D . -1或2
6. （2分） (2019高一上·黄骅月考) 若集合，下列关系式中成立的为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 设2a=5b=10，则 + =（）
A . ﹣1
B . 1
C . 2
D . 5
8. （2分） (2015高二上·安阳期末) 将高一(6)班52名学生分成A，B两组参加学校组织的义务植树活动，
A组种植150棵大叶榕树苗，B组种植200棵红枫树苗．假定A，B两组同时开始种植．每名学生种植一棵大叶榕树苗用时小时，种植一棵枫树苗用时小时.完成这次植树任务需要最短时间为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2015高二下·霍邱期中) 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1 ，下列判断中一定正确的是（）
A . 在t1时刻，甲车在乙车前面
B . t1时刻后，甲车在乙车后面
C . 在t0时刻，两车的位置相同
D . t0时刻后，乙车在甲车前面
10. （2分） (2017高一上·廊坊期末) 定义在R上的偶函数f（x）满足f（2+x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，若A、B是锐角三角形ABC的两个内角，则下列各式一定成立的是（）
A . f（sinA）＜f（cosB）
B . f（sinA）＞f（cosB）
C . f（sinA）＞f（sinB）
D . f（cosA）＞f（cosB）
11. （2分） (2016高一上·成都期末) 已知f（sinx）=cos4x，则 =（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2018高二下·河北期末) 已知函数，若，使得
成立，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D . 或
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）已知指数函数f（x）=（2a﹣1）x在（﹣∞，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是________．
14. （1分）已知集合U=R，A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x﹣a＜0}，若满足B⊆∁UA，则实数a的取值范围为________．
15. （1分）函数y= 的值域是________．
16. （1分） (2019高二下·蕉岭月考) 已知函数满足：①对任意的，都有；②对任意的都有 .则 ________．
三、解答题 (共6题；共70分)
17. （10分） (2020高一上·长春期末)
（1）计算的值；
（2）已知，求和的值．
18. （10分）已知集合A={x∈R|mx2﹣2x+3=0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．
19. （10分） (2017高一上·扶余月考) 已知集合A= ，B= ，若B A，求实数m的取值范围。
20. （15分） (2018高一上·遵义月考) 已知函数 .
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若函数是奇函数，求的解析式.
21. （15分）(2020·阜阳模拟) 设函数，，其中，为正实数.
（1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围；
（2）设，证明：对任意，都有 .
22. （10分）某市在“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研，据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k（k＞0）．现已知相距36km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点c处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．
（1）设A，C两处的距离为x，试将y表示为x的函数；
（2）若a=1时，y在x=6处取最小值，试求b的值．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、
17-2、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、21-2、
22-1、22-2、。
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
安徽省合肥市合肥一六八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
意交换”.
(1)判断函数 g ( x) = 2x +1与 h ( x) = x -1是否关于 f ( x) = x2 “ n 维交换”，并说明理由；
【详解】由
x
x
3
£
0
，得
ì í î
x x
(x-
¹0
3)
£
0
，解得
0
<
x
£
3
，
所以 M = {x 0 < x £ 3} ，
由 y = x2 +1 ³ 1，所以 N = [1, +¥) ，
图中阴影部分表示的集合为 M Ç (ðU N ) = (0,1) .
故选：A. 7．B
【分析】对
A，判断
f
(x)
的奇偶性可判断；对
C．若方程
f
(
x)
=
1 4
没有实数根，则
a
<
-1
) ( D．若函数 f ( x) 在 0,+∞ 上单调递增，则 a >0
( ) 8．已知函数
f
(x)
=
2x 图象与函数 2x-1 +1
g
(x)
=
x3
- 3x2
+
3x
图象有三个交点，分别为
x1, y1
、
( ) x 2, y 2 、 ( x3, y3 ) ，则 x1 + x2 + x3 + y1 + y2 + y3 = （ ）
合肥市高一上学期期中数学试卷A卷(考试)
合肥市高一上学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·深圳模拟) 集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣2＜0}，则（）A . A∩B=∅B . A∩B=AC . A∪B=AD . A∪B=R2. （2分）设集合A={x|x3﹣2x2﹣x+2=0}，下列哪个元素不属于集合A（）A . 1B . ﹣1C . 2D . ﹣23. （2分）函数的定义域为（）A .B .C .D .4. （2分）已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·吉林模拟) 定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意x∈D，都有|f（x）﹣g （x）|≤1成立，则称f（x）在区间D上可被g（x）替代，D称为“替代区间”．给出以下问题：①f（x）=x2+1在区间（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2+ 替代；②如果f（x）=lnx在区间[1，e]可被g（x）=x﹣b替代，则﹣2≤b≤2；③设f（x）=lg（ax2+x）（x∈D1），g（x）=sinx（x∈D1），则存在实数a（a≠0）及区间D1 ， D2 ，使得f （x）在区间D1∩D2上被g（x）替代．其中真命题是（）A . ①②③B . ②③C . ①D . ①②6. （2分）已知函数f（x）为偶函数，则函数f（x﹣1）有（）A . 对称轴y轴B . 对称中心（0，0）C . 对称轴x=1D . 对称中心（1，0）7. （2分）(2018·株洲模拟) 设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象一部分可以是（）A .B .C .D .8. （2分）已知f（x）＝2x5＋ax3＋bx－3，若f（－4）＝10，则f（4）＝（）A . 16B . －10C . 10D . －169. （2分） (2019高一上·水富期中) 设函数是定义在上的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（）B .C .D .10. （2分） (2015高二下·乐安期中) 如果函数f（x）=2x2﹣4（1﹣a）x+1在区间[3，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣2]B . [﹣2，+∞）C . （﹣∞，4]D . [4，+∞）11. （2分） (2019高一上·太原月考) 设集合，（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·海南模拟) 已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（）A .B .C .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·抚顺期中) 若不等式的解集为，则 ________.14. （1分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2 ，则f （3）=________．15. （1分） (2016高一上·晋江期中) 函数的定义域为________16. （1分） (2019高一上·河南期中) 已知是定义在上的奇函数，当时， ,则时, = ________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一上·嘉峪关期中) 已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）当m=3时，求集合A∩B，A∪B；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．18. （10分） (2017高一上·宜昌期末) 计算下列各式：（1）；（2）．19. （10分） (2016高一上·临沂期中) 函数f（x）=a+ 为定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）的单调性并给予证明．20. （15分） (2016高一上·海安期中) 已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0 ，使得f（﹣x0）=﹣f （x0）成立，则称x0为函数y=f（x）的局部对称点．（1）若a、b∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+bx﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+c在定义域[﹣1，2]内有局部对称点，求实数c的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．21. （10分） (2017高三上·桓台期末) 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若存在x0∈[ ，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．22. （5分）已知函数f（x）=ax的图象经过点，其中a＞0且a≠1，（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函数，解关于t的不等式g（2t﹣1）＜g（t+1）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
合肥市第一中学2022-2023学年高一上学期期中教学质量检测数学试题+解析
安徽省合肥市第一中学2022-2023学年高一上学期期中教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}*N 12A x x =Î-££，集合{}1,2,3B =，则A B U 等于（ ）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,3D ．{}1,22．若a b >，则下列各选项正确的是（ ）A ．11a b>B ．||||a b >C ．33a b >D ．33a b-->3．已知102m =，104n =，则3210m n -的值为（ ）A ．2B C D ．4．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：e ()rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天5．命题“R x $Î，20x x m ++<”是假命题，则实数m 的取值范围是（）A ．1,4æù-¥çúèûB ．1,4æ⎫-¥ç⎪è⎭C ．1,4æ⎫+¥ç⎪è⎭D ．1,4é⎫+¥⎪êë⎭6．已知奇函数()f x 在R 上单调，若正实数a ，b 满足()()260f a f b +-=，则12a b +的最小值是（ ）A ．8B ．2C ．32D ．437．幂函数()()222mf x m m x =--在()0,¥+上单调递增，则()()11x mg x a a -=+>的图象过定点（ ）A ．()1,1-B ．()1,2-C ．()3,1D ．()3,28．()y f x =满足()()2=f x f x -，且当1x ³时，()243f x x x =-+，则方程()12f f x =-éùëû的所有根之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10二、多选题9．有以下判断，其中是正确判断的有（ ）A ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x ³ì=í-<î表示同一函数B ．函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个C ．2()21f x x x =-+与2()21g t t t =-+是同一函数D ．若()1f x x x =--，则102f f æ⎫æ⎫=ç⎪ç⎪è⎭è⎭10．关于函数()22x f x e-=，(),x Î-¥+¥．下列说法正确的有（ ）A ．()f x 的图像关于y 轴对称B ．()f x 在(),0-¥上单调递增，在()0,¥+上单调递减C ．()f x 的值域为(]0,1D ．不等式()2f x e ->的解集为()(),22,¥¥--È+11．已知221x y +=，则下列说法正确的是（ ）A ．0x <且0y <B ．+x y 的最小值是2-C ．22x y --+的最小值是4D ．44x y +的最小值是1212．已知()f x 是定义在{}0xx ¹∣上的奇函数，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x éù-+->ëû恒成立，则（ ）A ．()y f x =在(),0-¥上单调递增B ．()12y f x x=-在()0,¥+上单调递减C ．()()1236f f +->D ．()()1236f f -->三、填空题13．设3log 42a =，则4a -的值为．14．设奇函数()f x 在()0,¥+上严格递增，且()10f =，则不等式()()0f x f x x-->的解集为.15．已知函数()()102xf x a b a æ⎫=×+¹ç⎪è⎭的图象过原点，且无限接近直线2y =但又不与该直线相交，则2a b += ．16．已知19a <<，函数9()f x x x=+，存在1[1,]x a Î，使得对任意的[]2,9x a Î，都有()()1280f x f x ׳，则a 的取值范围是．四、解答题17．设全集U R =，集合{12}A xx =-<£∣，{21}B x m x =<<∣．(1)若1m =-，求U B A Çð；(2)若U B A Çð中只有一个整数，求实数m 的取值范围．18．计算：(1)1012233122(0.064)284-æ⎫æ⎫+×--ç⎪ç⎪è⎭è⎭(2)()()(239483log 2log 2log 3log 3log lg100++++.(3)已知14a a -+=，求22a a --的值.19．已知关于x 的一元二次函数21y ax bx =-+.(1)若0y <的解集为{1|2x x <-或1}x >，求实数a 、b 的值；(2)若实数a 、b 满足1b a =+，求关于x 的不等式0y <的解集.20．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t 天(130,)t t N *££Î的旅游人数()f t (万人)近似地满足()f t =4+1t,而人均消费()g t (元)近似地满足()12020g t t =--.(Ⅰ)求该城市的旅游日收益()w t （万元）与时间t (130,)t t N *££Î的函数关系式；(Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值.21．已知函数()f x 的定义域是(0,)+¥，对定义域的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时，()0f x >，(4)1f =；(1)求证：1()(f x f x=-；(2)试判断()f x 在(0,)+¥的单调性并用定义证明你的结论；(3)解不等式1(1)(1)2f x f x -++<-22．已知函数13()3x x bf x a ++=+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a ，b 的值；(2)判断()f x 在(,)-¥+¥上的单调性，并证明；(3)若112((42)423)340x x x x f a f a a -+-++×++×+->在x ÎR 上恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案：题号12345678910答案C C B B D D D D BC ABC 题号1112 答案ACDBC1．C【分析】根据题意，用列举法写出集合A ，对集合,A B 取并集即可得到答案.【详解】集合{}{}*N 121,2A x x =Î-££=，又集合{}1,2,3B =，所以{}1,2,3A B =U .故选：C.2．C【分析】用特值法可判断AB ；用幂函数的性质可判断C ；用指数函数的性质可判断D 【详解】对于A ：取1,2a b =-=-，则1111,2a b =-=-，故A 错误；对于B ：取1,2a b =-=-，则1,2ab ==，故B 错误；对于C ： 函数3y x =在R 上单调递增，又a b >，所以33a b >，故C 正确；对于D ：函数3x y =在R 上单调递增，又a b >，所以a b -<-，所以33a b --<，故D 错误；故选：C 3．B【分析】根据指数幂运算性质，将目标式化为含10m 、10n 的表达式，即可求值.【详解】()()3332322211222101021010104m m m nn n -====故选：B 4．B【分析】根据题意可得()0.38rt tI t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，根据e 0.38(t +t 1)=2e 0.38t ，解得1t 即可得结果.【详解】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则e 0.38(t +t 1)=2e 0.38t ，所以10.382t e =，所以0.38t 1=ln2，所以t 1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.5．D【分析】原命题的否定为真命题，由二次不等式恒成立的条件，求实数m 的取值范围.【详解】由题意，原命题的否定“x "ÎR ，20x x m ++³”为真命题，令()221124f x x x m x m æ⎫=++=++-ç⎪è⎭，则当12x =-时，()min 14f x m =-，故104m -³，解得14m ³.所以实数m 的取值范围是1,4é⎫+¥⎪êë⎭.故选：D 6．D【分析】利用奇函数的性质以及基本不等式，即可计算求解.【详解】()()260f a f b +-=，∴()()()266f a f b f b =--=-，26a b =-，∴26a b +=，即136a b +=，1212121363633a b b a a b a b a b æ⎫æ⎫+=++=+++ç⎪ç⎪è⎭è⎭2433³+=，当且仅当23b a ==时等号成立.故选：D ．7．D【分析】由题知22210m m m ì--=í>î，进而得()()311x g x a a -=+>，再根据指数函数性质求解即可.【详解】解：因为幂函数()()222mf x m m x =--在()0,¥+上单调递增，所以22210m m m ì--=í>î，解得3m =，所以()()311x g x a a -=+>，故令30x -=得3x =，所以()()33121x g a a -=+=>所以()()11x mg x aa -=+>的图象过定点()3,2故选：D 8．D【分析】画出函数图象，求出()12f t =-的解对照图象求得根之和.【详解】由题意得，则y =f (x )关于1x =对称，其图像如下令()t f x =，则关于t 的方程()12f t =-由4个解1234,,,t t t t ，其中()()()()12341,0,0,1,1,2,2,3t t t t Î-ÎÎÎ，关于x 的方程()1f x t =有四个解，由对称性可知，其和为4，同理：关于x 的方程()2f x t =有两个解，由对称性可知，其和为2，关于x 的方程()3f x t =有两个解，由对称性可知，其和为2，关于x 的方程()4f x t =有两个解，由对称性可知，其和为2，所以方程()12f f x éù=-ëû的所有根之和为10.故选:D 9．BC【分析】根据同一函数的判定方法，可判定AC ；根据函数的概念，可判定B ；根据函数的解析式，求得12f æ⎫ç⎪è⎭，进而求得12f f æ⎫æ⎫ç⎪ç⎪è⎭è⎭的值，可判定D.【详解】对于A ，函数||()x f x x =的定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，函数1,0()1,0x g x x ³ì=í-<î定义域为R ，两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A 错误；对于B ，若函数()y f x =在1x =处有定义，则()f x 的图象与直线1x =的交点有1个；若函数()y f x =在1x =处没有定义，则()f x 的图象与直线1x =没有交点，故B 正确；对于C ，函数()221f x x x =-+与2()21g t t t =-+的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故C 正确；对于D ，由()1f x x x =--，可得102f æ⎫=ç⎪è⎭，所以1(0)12f f f æ⎫æ⎫==ç⎪ç⎪è⎭è⎭，故D 错误；故选：BC 10．ABC【分析】根据函数()()22,,x f x ex -=Î-¥+¥，逐一对其进行奇偶性，复合函数的单调性分析，即可判断选项A ，B ，C 均正确，而选项D 也可由单调性转化为关于x 的二次不等式求解，解集应为(2,2)-，则D 错误.【详解】因为函数22(),(,)x f x ex -=Î-¥+¥，22()22()()x x f x eef x ----===，则该函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，故选项A 说法正确；令22x t =-，在(,0)-¥单调递增，(0,)+¥单调递减，又t y e =在(,0]-¥单调递增，则由复合函数的单调性可知()f x 在(,0)-¥单调递增，(0,)+¥单调递减，故选项B 说法正确；由(,0]t Î-¥可得(0,1]y Î，即()f x 的值域为(0,1]，故选项C 说法也正确；由不等式2f x e ->（）即222x e e -->222x ->-，则24x <，22x -<< 故的不等式2()f x e ->解集为(2,2)-，选项D 说法错误.故选：ABC.11．ACD【分析】对于A ，利用2x y =的值域及单调性即可判断得0x <且0y <，故A 正确；对于B ，利用基本不等式可得22x y ³+，再进行化简即可得到2x y +£-，故B 错误；对于C ，利用基本不等式中“1”的妙用可得224x y --+³，故C 正确；对于D ，由()24422222x y x y x y +=+-××结合基本不等式可判断得D 正确.【详解】对于A ，因为20x >，20y >，所以2120y x =->，即0212x <=，由于2x y =在R 上单调递增，所以0x <，同理可得0y <，故A 正确；对于B ，因为20x >，20y >，所以22x y ³+1³12£，即()11222x y +-£，由于2x y =在R 上单调递增，所以()112x y +£-，即2x y +£-，当且仅当22x y =且221x y +=，即1x y ==-时，等号成立，故+x y 的最大值是2-，故B 错误；对于C ，因为221xy+=，()()222222xyxyxy----+=++221122422y xx y =+++³+=，当且仅当2222y xx y =且221x y +=，即1x y ==-时，等号成立，故C 正确；对于D ，()244222221222x y x y x y x y+=+-××=-××22122122x y æ⎫+=ç⎪³è⎭-，当且仅当22x y =且221x y +=，即1x y ==-时，等号成立，故D 正确.故选：ACD.12．BC【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除21x x 得到()()121211f x f x x x ->-，然后根据210x x >>，即可判断()1f x 与()2f x 两者的大小，从而判断选项A ，选项B 由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确定()1112f x x -与()2212f x x -的大小，从而确定函数的单调性，选项C 和选项D ，可利用前面得到的不等式，令12x =，23x =带入，然后借助()f x 是奇函数进行变换即可完成判断.【详解】由已知，210x x >>，()()1212120x x f x f x x x éù-+->ëû，所以()()2112011f x f x x x -+->，即()()121211f x f x x x ->-，因为210x x >>，所以12110x x >>，所以()()2211011f x f x x x ->->，因为210x x >>，所以210x x --＜＜，因为()f x 是定义在{}0xx ¹∣上的奇函数，所以()()f x f x =--，所以()()()()121212110f x f x f x f x x x -=--+->->，所以()()21f x f x ->-，因为210x x --＜＜，所以()y f x =在(),0-¥上单调递增，故选项A 错误；因为()()121211f x f x x x ->-，12110x x >>，所以1201122x x >>，所以()()()()()11121222112221111111122222f x f x f x f x f x x x x x x x x x -->->=+-++=-，即()()12122112f x f x x x ->-，又因为210x x >>，所以()12y f x x=-在()0,¥+上单调递减，选项B 正确；因为210x x >>时，()()121211f x f x x x ->-恒成立，所以令12x =，23x =代入上式得()()311232f f ->-，即()()32361112f f --=>，又因为()f x 是定义在{}0x x ¹∣上的奇函数，所以()()33f f =--，所以()()1236f f +->，故选项C 正确，选项D 错误.故选：BC.13．19【分析】根据对数运算性质化简求值即可.【详解】44322log 3log l g 49o a ===，441log log 9914449a --===.故答案为：19.14．(,1)(1,)-¥-+¥U 【分析】由函数的奇偶性化简不等式，结合单调性求解【详解】由题意得()f x 是奇函数，则()()0f x f x x-->等价于2()0f x x >，即()0f x x>，而()f x 在()0,¥+上严格递增，()10f =，故01x <<时，()0f x <，1x >时，()0f x >，由()f x 为奇函数，得1x <-时，()0f x <，10x -<<时，()0f x >，综上，()0f x x>的解集为(,1)(1,)-¥-+¥U 故答案为：(,1)(1,)-¥-+¥U15．2-【分析】首先图像过原点，把原点带入解析式当中，得到0a b +=，又图像无限接近2y =，可得b .即可求出答案.【详解】()()102xf x a b a æ⎫=×+¹ç⎪è⎭Q 的图象过原点0a b ∴+=，又()f x 图像无限接近直线2y =但又不与该直线相交2b ∴=，则222a a b =-∴+=-.故答案为：-2.16．49a +£<【分析】将题意转化为()()12max min 80f x f x ³，结合()()1max 110f x f ==可得()2min 8f x ³，再根据函数的单调性，分13a <£和39a <<两种情况讨论求解即可.【详解】根据对勾函数的性质，函数()9f x x x=+在(]0,3上单调递减，在[)3,+¥上单调递增.且()()1910f f ==.又()9f x x x=+在[]1,9上恒为正，且存在1[1,]x a Î，使得对任意的[]2,9x a Î，都有()()1280f x f x ׳，故()()12max min 80f x f x ³，因为()()1max 110f x f ==，故只需()2min 8f x ³即可.（1）当13a <£时，()()2min 368f x f ==<不成立； （2）当39a <<时，()()2min 9f x f a a a==+，故98a a +³，即2890a a -+³，()247a -³，解得49a +£<.综上有49a £<.故答案为：49a £<.17．(1){21}xx -<£-∣(2)11,2é⎫--⎪êë⎭【分析】（1）求出B ，利用交集与补集运算得到结果；（2）根据条件确定集合中的唯一整数为1-，列不等式求解．【详解】（1）{12}A xx =-<£∣，当1m =-时，{21}B x x =-<<∣，{ 1 2}U A x x x =£->∣或ð，{21}U B A x x =-<£-I ∣ð；（2）因为(U A =-¥ð，1](2,)-+¥U ，又U B A I ð中只有一个整数，所以这个整数必定是1-，故2[2m Î-，1)-，所以[1m Î-，12-．18．(1)35-；(2)0；(3)±【分析】（1）利用指数幂的运算化简求值；（2） 利用对数式的运算规则化简求值；（3）由14a a -+=，两边同时平方，求出22a a -+，由 1222()2a a a a ---=+-，求出1a a --，再由()()2211a a a a a a ----=+-求值即可.【详解】（1）10122331123322(0.064)21844525-æ⎫æ⎫+×--=-´-=-ç⎪ç⎪è⎭è.（2）()()(394833322log 2log 2log 3log 3log lg100111log 2log 2log 3log 223+++æ⎫æ=++ç⎪çè⎭è32355log 2log 30264=´×-=.（3）1124,()16a a a a --+=∴+=Q ，即2222216,14a a a a --++=∴+=， 1222()212a a a a --∴-=+-=，1a a -∴-=±.2211()()a a a a a a ---∴-=+-=±.19．(1)2a =-，1b =-；(2)答案见解析.【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可；（2）化简可得()2110ax a x -++<，再以0，1为分界点讨论a 的范围，求解不等式即可【详解】（1）∵0y <的解集为1{|2x x <或1}x >，∴12-与1是方程210ax bx -+=的两个实数根，由韦达定理可知：1+1=211×1=2b aa --ìïïíïïî，解得2a =-，1b =-.（2）∵1b a =+，则不等式0y <化为：()2110ax a x -++<，因式分解为：()()110axx --<&，(0a ¹).当=1a 时，化为()210x -<，则解集为Æ；当1a >时，11a <，解得11x a <<，不等式的解集为1<<1x x a ìüíýîþ；当01a <<时，11a >，解得11x a <<，不等式的解集为11<<x x a ìüíýîþ；当0a <时，10a <，解得1x >或1x a<，不等式的解集为1{|x x a <或1}x >.20．(Ⅰ)()w t =；(Ⅱ) 441万元．【详解】试题分析：（Ⅰ）解：=（Ⅱ）当，（t=5时取最小值）当，因为递减，所以t=30时，W(t)有最小值W(30)=，所以时，W(t)的最小值为441万元考点：分段函数的实际应用．点评：本题考查的是分段函数应用问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、二次函数求最值的方法以及问题转化的能力．21．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）使用赋值法，先令121x x ==求得(1)f ，然后再令121,x x x x==可证；（2）先设120x x >>，然后用21x 代换1212()()()f x x f x f x =+中的2x ，结合1x >时，()0f x >可证；（3）先用赋值法求得11()22f =-，然后将不等式转化为21(1)(2f x f -<，利用单调性去掉函数符号，结合定义域可解.【详解】（1）令121x x ==，得(1)(1)(1)f f f =+，解得(1)0f =再令121,x x x x ==，则1()((1)0f x f f x+==所以1()()f x f x=-（2）()f x 在(0,)+¥上为增函数，证明如下：设120x x >>，则121x x >，因为1x >时，()0f x >所以11221()()(0x f x f f x x +=>由（1）知221()()f x f x =-所以1221()(()f x f f x x >-=所以()f x 在(0,)+¥上为增函数.（3）因为(4)1f =，所以(2)(2)(4)1f f f +==，得1(2)2f =，又因为11(2)()22f f =-=，所以11()22f =-，所以1(1)(1)2f x f x -++<-Û21(1)()21010f x f x x ì-<ïï->íï+>ïî由上可知，()f x 是定义在(0,)+¥上为增函数所以，原不等式Û21121010x x x ì-<ïï->íï+>ïî，解得1x <<.22．(1)1a =，3b =-；(2)(3)72a <<.【分析】（1）由(0)0f =、()()f x f x -=-列方程求参数即可；（2）由（1）写出解析式，再应用单调性定义求证单调性即可；（3）根据（1）（2）结论有1214233442x x x x a a a -+-++×+->--×恒成立，令20x t =>化为2211()2()4310t a t a t t +++-+>，再令12u t t =+³化为22()24310g u u au a =+-+>在[2,)+¥上恒成立，结合二次函数性质求参数范围.【详解】（1）由题设3(0)01bf a+==+，可得3b =-，又()()f x f x -=-，则11333333x x x xa a -+---=-++，可得1a =.所以1a =，3b =-.（2）()f x 在(,)-¥+¥上单调递增，证明如下：由（1）：133()31x x f x +-=+，令12x x >，则1212211212111233333[(31)(31)(31)(31)]()()3131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ++---+--+-=-=++++12126(33(31)(3)1)x x x x -+=+，由1233x x >，12(31)(31)0x x ++>，即12()()0f x f x ->，故12()()f x f x >，所以()f x 在(,)-¥+¥上递增.（3）由题设及（1）知：121142334(42)(42)()x x x x x x f a a f a f a -+-+-++×+->-+×=--×，由（2）知：1214233442x x x x a a a -+-++×+->--×，令20x t =>，则222224133a a t at t t++->--，整理得：2211(2()4310t a t a t t +++-+>，若12u t t=+³且1t =时等号成立，则22()24310g u u au a =+-+>在[2,)+¥上恒成立，由()g u 开口向上，对称轴为u a =-，22244(314)20124a a a D =--=-，所以0D <，即a <<时，()0g u >在[2,)+¥上恒成立；0D ³，即a £或a ³22(2)44350a g a a -<ìí=-+>î，则2244350a a a >-ìí--<î，可得2a -<<72a £<；综上，72a <。
合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题+解析
安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、填空题四、解答题(1)若运动场面积为3200m(2)若运动场与通道占地总面积为22．已知函数()2xf xx +=+ (1)判断并根据定义证明函数参考答案：函数()y f x m =-的图象与个交点，由图可知，134m ≤，故实数m 的最大值为故答案为：134.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是求出函数的解析式，由此作出函数的图象，利用数形结合思想求解17．(1){}15A B x x ⋂=-<<因为A B ，则有323m m -≤-⎧⎨≥⎩，解得3m ≥；综上所述，实数m 的取值范围是[)3,+∞．19．(1)()3f x x=(2)()3232,0,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程，解出m 值，再检验即可；（2）根据奇函数的性质求解解析式即可.【详解】（1）因为()f x 为幂函数，所以2571m m -+=，解得2m =或3m =．当2m =时，()2f x x =是偶函数，不是奇函数﹔当3m =时，()3f x x =是奇函数，所以3m =．故()f x 的解析式()3f x x =．（2）由（1）得，当0x ≥时，()()232g x f x x x x =-=-，对于0x <，则0x ->，()()()3232g x x x x x -=---=--，又因为函数()g x 是定义在R 上的偶函数，所以()()g x g x -=，所以()()320g x x x x =--<，所以函数()g x 的解析式()3232,0,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩．20．(1)答案见解析(2)[)2,+∞【分析】（1）选①为不等式有解问题，选②为不等式恒成立问题，都可以转化化二次函数在闭区间上的最值问题处理；（2）将函数()F x 分段化简函数解析式.分为0,0x x ≥<两段转化为二次函数求解单调区间即可.【详解】（1）由()0f x >，得240x x a -+>，即24a x x >-+，。
安徽省合肥市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案
2024级高一上学期数学1119期中考试试卷（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效，3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“0x ∀>，22x>”的否定是（）A.0x ∃>，22x >B.0x ∃>，22x ≤C.0x ∃≤，22x >D.0x ∃≤，22x ≤【答案】B 【解析】【分析】修改量词，否定结论，由此得出结果.【详解】修改量词否定结论，可得“0x ∃>，22x ≤”，故选：B.2.已知集合{2,2}A =-，{2,1,3}B a =--+，且A B ⊆，则实数a 的值为（）A.－5 B.－4C.－1D.1【答案】C 【解析】【分析】根据集合与集合间的关系列方程求解实数a 的值即可.【详解】已知集合{2,2}A =-，{2,1,3}B a =--+，且A B ⊆，所以32a +=，所以1a =-.故选：C .3.函数()3f x x =-的定义域是（）A.[0,)+∞B.[0,3)(3,)+∞C.(,3)(3,)-∞⋃+∞D.(3,)+∞【答案】B 【解析】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0、分式分母不为0求得结果.【详解】因为030x x ≥⎧⎨-≠⎩，所以[)()0,33,x ∈+∞ ，所以定义域为[)()0,33,⋃+∞，故选：B.4.已知,a b 为实数，则“2a b +>”是“(1)(1)0a b -->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据“2a b +>”与“()()110a b -->”互相推出的情况判断属于何种条件.【详解】当2a b +>时，取3,0a b ==，32a b +=>，但()()1120a b --=-<，所以2a b +>不能推出()()110a b -->；当()()110a b -->时，取0a b ==，()()()()111110a b --=-⨯-=>，但02a b +=<，所以()()110a b -->不能推出2a b +>，所以2a b +>是()()110a b -->的既不充分也不必要条件，故选：D.5.已知幂函数()(2)n f x m x =+的图象经过点(16,4)，函数()()g x mf x =，则（）A.()g x 为偶函数B.()g x 为奇函数C.()g x 为增函数D.()g x 为减函数【答案】D 【解析】【分析】根据幂函数的定义与求解,m n ，从而可得()f x 的单调性，于是可得()g x 的单调性与奇偶性.【详解】因为()(2)n f x m x =+是幂函数，所以21+=m ，即1m =-，又()f x 的图象经过点(16,4)，所以164n =，解得12n =，所以12()f x x =，则()f x 为[)0,+∞上的增函数，则12()()g x mf x x ==-，则函数()g x 的定义域为[)0,+∞，所以()g x 非奇非偶函数，且()g x 为[)0,+∞上的减函数.故选：D.6.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(3,)+∞上单调递增，则（）A.(4)(5)0f f -+<B.(4)(5)0f f -+>C.(4)(5)0f f --<D.(4)(5)0f f -->【答案】C 【解析】【分析】根据函数()f x 为偶函数可得()f x 在(,3)-∞-上单调递减，则可得(4)(5)f f -<-，于是可得(4),(5)f f -的大小关系，分析选项可得答案.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(3,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,3)-∞-上单调递减，所以(4)(5)f f -<-，因为()f x 为偶函数，所以(5)(5)f f -=，则(4)(5)f f -<，即(4)(5)0f f --<.故选：C.7.已知函数2()41f x x x =-++在区间[0,]m 上的值域为[1,5]，则m 的取值范围是（）A.(0,2]B.(0,4]C.[2,4]D.[4,)+∞【答案】C 【解析】【分析】分析()f x 的函数值，结合图象确定出值域为[]1,5时m 的范围.【详解】因为()()225f x x =--+，且()()()max 01,25f f x f ===，令()1f x =，解得0x =或4，作出()f x 图象如下图所示，由图象可知，当[]0,x m ∈时，若()f x 的值域为[]1,5，则[]2,4m ∈，故选：C.8.若正数,x y 满足230x y +-=，则26x yxy+的最小值为（）A.133B.5C.193D.7【答案】A 【解析】【分析】将原等式变形后代入化简，利用基本不等式求解出最小值.【详解】因为230x y +-=，所以()1213x y +=，所以()212616626126113333333x y x y y y x y x y xy y x y x y x y x ++=+=+=++≥⨯+，当且仅当263x y y x =，即9737x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，所以最小值为133，故选：A.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设0a >，则下列运算正确的是（）A.2133a a a= B.133aa a=C.()2643a a= D.543a a a=【答案】ACD【解析】【分析】根据指数幂的运算以及根式与指数的互化逐项计算并判断.【详解】A ：21213333a a a a ==，故正确；B ：2133aa a a--==，故错误；C ：()4226633a a a⨯==，故正确；D 451522a a⨯====，故正确；故选：ACD.10.下列各组中的函数()f x 与()g x 是同一个函数的是（）A.()||f x x =，2()g x =B.1()1f x x =+，2()1x g x x=+C.2()2f x x x =-，()(2)g t t t =-D.()2,0,1,0,x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩()2,01,0x x g x x x ⎧≤=⎨+>⎩【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为[)0,+∞，定义域不同，所以不是同一函数，故A 错误；对于B ，()f x 与()g x 的定义域都是{}0x x ≠，且21()11x g x x x=+=+，两个函数的对应法则也相同，所以是同一函数，故B 正确；对于C ，两个函数的定义域都是R ，且对应法则也相同，所以是同一函数，故C 正确；对于D ，因为()01f =，()00g =，所以不是同一函数，故D 错误；故选：BC11.对任意实数x ，定义[]x 为不大于x 的最大整数，如[]22=，[]1.11=，[]2.53-=-．设函数()[]221f x x x =-+，则（）A.x ∀∈R ，()(2)f x f x =-B.x ∀∈R ，()0f x ≥C.12x ∀>，()(1)f x f x <+ D.0x ∀<，1()2f x f x ⎛⎫<-⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】A ：取13x =计算并判断；B ：根据0x ≤和0x >分类讨论即可；C ：先证明[][]11x x +-=，然后计算出()()1f x f x +-在给定范围下的正负即可判断；D ：直接根据不等式性质进行比较.【详解】对于A ：取13x =，则211110213339f ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，215551622133339f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以11233f f ⎛⎫⎛⎫≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ：当0x ≤时，[]0x ≤，所以[]2210x x -+>一定成立，当0x >时，[]0x x ≤≤，所以()[]()222212110f x x x x x x =-+≥-+=-≥，所以x ∀∈R ，()0f x ≥成立，故B 正确；对于C ：不妨设x ∀∈R ，[),1x k k ∈+，k ∈Z ，则[]=x k ，又()[)11,2x k k +∈++，则[]11x k +=+，所以[][]11x x +-=；当12x >时，()()()[][]221121121f x f x x x x x +-=+-++-+-，所以()()[][]()12121f x f x x x x +-=+-+-，所以()()121221f x f x x x +-=+-=-，又因为12x >，所以()()10f x f x +->，所以()()1f x f x +>，故C 正确；对于D ：当0x <时，102x x -<<，所以2212x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭且[]102x x ⎡⎤-≤<⎢⎥⎣⎦，所以[]1222x x ⎡⎤-≤--⎢⎥⎣⎦，所以[][]221212112x x x x ⎛⎫-+<--++ ⎪⎝⎭，所以1()2f x f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是理解取整函数的定义，能根据定义通过举例的方式验证所给选项；另一方面是隐含条件的证明和使用，本题中[][]11x x +-=应用在C 项的证明中会更方便.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若111,,0,,b a b a a -⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则b a -=______．【答案】2【解析】【分析】由a 为分母可得0a ≠，再利用集合相等的性质计算即可得解.【详解】由题意可得0a ≠，则10b a-=，即1b =，则1a a=，解得1a =或1a =-，若1a =，则违背集合互异性，舍去；若1a =-，则有{}{}1,1,00,1,1-=-，符合要求；综上所述，1a =-，则()112b a -=--=.故答案为：2.13.若函数2(),0,(),01x a x f x a x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪+⎩的图象是一条连续不断的曲线，且0a ≠，则((2))f f -=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据连续可得1a =，即可代入求解.【详解】由于()f x 的图象是一条连续不断的曲线，故2a a =，由于0a ≠，故1a =，所以2(1),0,()1,01x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪+⎩故()()21(2)211,((2))12f f f f -=-+=-==，故答案为：1214.若对任意的[1,2]t ∈-，总存在唯一的[1,0)x ∈-，使得2220x x mt ---=成立，则m 的取值范围是______．【答案】11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】将问题转化为“22,2y x x y mt =-=+的图象在[)1,0-上有唯一交点”，然后对m 进行分类讨论，根据值域间的关系求解出m 的取值范围.【详解】因为对任意的[]1,2t ∈-，总存在唯一的[)1,0x ∈-，使得2220x x mt ---=成立，即对任意的[1,2]t ∈-，方程222x x mt -=+在[)1,0-上有唯一解，即对任意的[1,2]t ∈-，22,2y x x y mt =-=+的图象在[)1,0-上有唯一交点；在同一平面直角坐标系中作出22,2y x x y mt =-=+的函数图象如下图，因为()22f x x x =-的对称轴为1x =且开口向上，所以()f x 在[)1,0-上单调递减，所以()()1123,00f f -=+==，所以()(]0,3f x ∈，当0m =时，22y mt y =+⇔=，此时与()f x 在[)1,0-上有唯一交点，符合条件；当0m >时，[]22,22y mt m m =+∈-+，若满足条件只需20223m m ->⎧⎨+≤⎩，解得102m <≤；当0m <时，[]222,2y mt m m =+∈+-，若满足条件只需23220m m -≤⎧⎨+>⎩，解得10m -<<；综上所述，m 的取值范围是11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知命题:p x ∀∈R ，2240x x a -+>，设p 为假命题时实数a 的取值范围为集合A ．（1）求集合A ；（2）设非空集合{}212B a m a m =-≤≤+，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}22A a a =-≤≤（2）102m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据判别式0∆<求解出p 为真命题时a 的范围，再根据补集思想求得结果；（2）分析条件得到B ⫋A ，列出不等式组求解出结果.【小问1详解】当p 为真命题时，即“x ∀∈R ，2240x x a -+>”为真命题，所以21640a ∆=-<，所以2a <-或2a >，所以若p 为假命题，则a 的范围是{}22a a -≤≤，所以{}22A a a =-≤≤.【小问2详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B ⫋A ，因为B ≠∅时，若B ⫋A ，只需22121222m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得102m -≤≤，经检验，12m =-和0m =时满足条件，综上所述，m 的取值范围是102m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.16.（1）计算：0253322⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）计算：11429144-⎛⎫⎛⎫+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）已知01x <<，且1122x x -+=，求11221x x x x ---+的值．【答案】（1）1；（2）4；（3）4-.【解析】【分析】根据题意，由指数幂的运算代入计算，即可得到结果.【详解】（1）原式()255212341=--+=-+=；（2）原式(2224=+⨯；（3）由题意可知21112226x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以14x x -+=，21112222x x x x --⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，因为01x <<，所以1122x x -<，所以1122x x --=所以1122124x xx x ---=-+.17.已知关于x 的函数231y tx x t =+-+．（1）若1t =，求0y >时x 的取值范围．（2）是否存在实数t ，满足当41x -≤≤时，y 的最大值为3?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()(),21,-∞-+∞ （2）存在，613t =或12t =-【解析】【分析】（1）问题转化成解一元二次不等式解决.（2）分情况讨论函数在[]4,1-上最大值，令最大值为3求t 的值.【小问1详解】当1t =时，0y >可转化为：220x x +->.所以()()210x x +->⇒2x <-或1x >.所以x 的取值范围是：()(),21,-∞-+∞ .【小问2详解】函数()231f x tx x t =+-+在41x -≤≤的最大值，可能是在行4x =-或1x =或12x t=-时取得.若()43f -=⇒164313t t --+=⇒613t =.此时()2651313f x x x =+-为开口向上的抛物线，且()43f -=，()141313f =<，所以613t =满足题意.若()13f =⇒1313t t +-+=⇒12t =-.此时()21522f x x x =-++为开口向下的抛物线，且()13f =，()31f =，对称轴为1x =，所以12t =-满足题意；若132f t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇒21131322t t t t⎛⎫⋅---+= ⎪⎝⎭，解得16t =-或12t =-.当16t =-时，()21362f x x x =-++，对称轴为[]34,1x =∉-，故16t =-不合题意.综上可知：存在实数613t =或12t =-，使得满足当41x -≤≤时，y 的最大值为3.18.已知函数2()2,m f x x m x =--∈R ．（1）若()f x 为偶函数，求m 的值；（2）若2m =-，用定义证明()f x 在(1,)+∞上单调递增；（3）若存在正数x 满足1()f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求m 的取值范围．【答案】（1）0m =（2）证明见解析（3）[)1,-+∞【解析】【分析】（1）根据()()f x f x -=化简计算出m 的值；（2）先设变量，然后表示出()()12f x f x -并对其进行因式分解，根据条件判断出()()12f x f x -的正负，由此可证明出单调性；（3）将问题转化为“21160x m x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有正数解”，通过换元法以及参变分离求解出m 的取值范围.【小问1详解】()f x 的定义域为{}0x x ≠且关于原点对称，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，所以()2222m m x x x x ---=---，所以20m x=，所以0m =.【小问2详解】当2m =-时，()222f x x x=+-；()12,1,x x ∀∈+∞，且12x x <，则()()22221212121212222222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪⎝⎭()()()1212121212121222x x x x x x x x x x x x x x -+-⎡⎤⎛⎫⎣⎦=-+-= ⎪⎝⎭，因为121x x <<，所以120x x -<，121x x >，122x x +>，所以()121222120x x x x +->⨯-=，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在()1,+∞上单调递增.【小问3详解】因为()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有正数解，所以()01f f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=有正数解，所以221220m mx x x x --+--=有正数解，所以21160x m x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有正数解；令1t x x =+，因为0x >，由对勾函数的性质可知[)12,x x ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，所以260t mt --=在[)2,+∞上有解，所以6m t t =-在[)2,+∞上有解，令()6g t t t =-，且6,y t y t ==-均在[)2,+∞上单调递增，所以()6g t t t=-在[)2,+∞上单调递增，所以()()min 2231g t g ==-=-，所以()[)1,g t ∈-+∞，所以[)1,m ∈-+∞.19.对于非空的有限整数集X ，定义{}22|X x x X =∈，{|},X n x n x X n ⊕=+∈∈Z ．（1）若集合{3,2,0,2}A =--，求2A 和2A ⊕．（2）已知A ，B 为非空的有限整数集，1A B ⊕⊆且2(1)B A ⊕-⊆．（ⅰ）若{1,0}A =-，求集合B ；（ⅱ）证明：{2,1,0}A ⊆--．【答案】（1）{}29,4,0A =；{}21,0,2,4A ⊕=-.（2）（ⅰ）{}0,1B =或{}1,0,1-；（ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，由集合新定义代入计算，即可得到结果；（2）（ⅰ）根据题意，由集合新定义可得21B A ∈⊕，从而可得{}20,1B B ⊆⊆，即可得到结果；（ⅱ）结合新定义可得x A ∈，则22x x A +∈，然后分别考虑0,1,2--属于A 时的情况，再考虑1A ∈，3A -∈时，由A 是有限集即可舍去，从而证明.【小问1详解】由题意可得{}29,4,0A =，{}21,0,2,4A ⊕=-.【小问2详解】（ⅰ）设2x B ∈，则()211x B -∈⊕-，因为()21B A ⊕-⊆，所以1x A -∈，所以()111x A -+∈⊕，即1x A ∈⊕，因此2B ⊆1A ⊕，因为{}1,0A =-，所以{}10,1A ⊕=，所以{}20,1B B ⊆⊆，由此可知B 中至少有0和1两个元素，所以{}20,1B =，故{}0,1B =或{}1,0,1-.（ⅱ）设x A ∈，因为1A B ⊕⊆，所以1x B +∈，又因为()21B A ⊕-⊆，所以()211x A +-∈，即22x x A +∈，若0A ∈，则20200A +⨯=∈，故A 可以是{}0；若1A -∈，则()()21211A -+⨯-=-∈，故A 可以是{}1-，{}1,0-；若2A -∈，则()()22220A -+⨯-=∈，故A 可以是{}2,0-，{}2,1,0--；若1A ∈，则21213A +⨯=∈，232315,,A +⨯=∈ 像这样可以得到无限个A 中的元素，不符合A 是有限集；若3A -∈，则()()23233A -+⨯-=∈，232315,,A +⨯=∈ 同样不符合A 是有限集；同理可得，当1x >或()3Z x x <-∈时，也不符合A 是有限集；综上，A 可以是{}0，{}1-，{}1,0-，{}2,0-，{}2,1,0--，均满足{}2,1,0A ⊆--.【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于从新情境中获取信息，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新情境中，从而求解.。
2023-2024学年安徽省合肥市高一上学期期中测试试题(含解析)
C 正确；
对于 D，当 x1 x2 时， f x1 f x2 f x1 x2 1 0 ，
x1 x2， x1 x2 0 ， f x1 x2 1 0
2023-2024 学年安徽省合肥市高一上学期期中测试试题
注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区 域均无效. 3.选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答； 字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册第一章～第三章 3.2. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．命题“ x R ， x 1 0 ”的否定是（ ） A． x R ， x 1 0 B． x R ， x 1 0 C． x R ， x 1 0 D． x R ， x 1 0 2．已知集合 A {2, 1,0,1, 2} ， B {x | x2 x 6 0} ，则 A B （ ）
即可.
【详解】因为
x
0
，
y
0
，且
x
1
2
1 y
2 3
，
所以
x
2
y
3 2
x
2
y
1 x 2
1 y
3 2
1
y x 2
x
2 y
1
3 2
2
2
x
y 2
x
2 y
6
，
当且仅当
x
y
安徽省合肥市重点中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题含解析
2023-2024学年第一学期安徽省合肥市重点中学期中联考试题高一数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}2,1,2,3A =--，{}|20B x x =-≤，则A B = （）A.{}2,3- B.{}2,2- C.{}1,2- D.{}2,3【答案】D 【解析】【分析】首先求解集合B ，再根据交集的定义，即可求解.【详解】由题意可知，{}2,1,2,3A =--，{}|2B x x =≥，所以{}2,3A B ⋂=.故选：D2.不等式()()120x x -->的解集是（）.A.{}1x x < B.{}12x x << C.{}12x x x 或 D.{}2x x >【答案】B 【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，可得答案.【详解】由不等式()()120x x -->，则()()120x x --<，解得12x <<.故选：B.3.已知0.30.20.010.30.32,---===,a b c ，则下列正确的是（）A.c b a <<B.c<a<bC.b a c<< D.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数单调性结合中间值“1”分析判断.【详解】因为0.3x y =在R 上单调递减，且0.30.20-<-<，可得0.300.20.30.30.31-->=>，即1a b >>，又因为2x y =在R 上单调递增，且0.010-<，可得0.010221-<==c ，所以c b a <<.故选：A.4.已知函数()1,02,0x x f x x x+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则“02x =-”是“()01f x =-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合分段函数的性质即得.【详解】由()2211f -=-+=-，即“02x =-”⇒“()01f x =-”，由()01f x =-，可知当00x ≤时，可得011x +=-，解得02x =-；当00x >时，可得21x -=-，可得02x =，即“()01f x =-”¿“02x =-”；所以“02x =-”是“()01f x =-”的充分不必要条件.故选：A.5.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，(2)0f -=，则不等式()0xf x >的解集为（）A.(,2)(0,2)-∞-⋃B.(,2)(2,)-∞-+∞ C.(2,0)(0,2)- D.(2,0)(2,)-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】根据()f x 为偶函数，可得()f x 在(,0)-∞上的单调性，将所求()0xf x >整理为0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，根据()f x 的性质，即可求得答案.【详解】因为()f x 在R 上的偶函数，且(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，且(2)(2)0f f =-=，则()0xf x >等价于0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，根据()f x 的单调性和奇偶性，解得<2x -或02x <<，故选：A6.若函数()()23,1211,1x ax x f x a x x ⎧-+≥⎪=⎨⎪-+<⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.(]1,2B.524⎡⎤⎢⎥⎣⎦, C.5,24⎛⎤⎥⎝⎦D.51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据一次函数以及二次函数的性质，即可由分段函数的单调性求解.【详解】()()23,1211,1x ax x f x a x x ⎧-+≥⎪=⎨⎪-+<⎩在R 上是增函数,则需满足121031112a a a a ⎧≤⎪⎪->⎨⎪⎪-+≤-+⎩，解得514a <≤，故选：D7.若两个正实数x ，y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（）A.{}14m m -<<B.{0m m <或3}m >C.{}41m m -<< D.{1m m <-或4}m >【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧的最小值，根据不等式有解得234m m ->，即可求参数范围.【详解】因为正实数x ，y 满足141x y+=，所以144224444y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当8y =，2x =时，4yx +取得最小值4，由234yx m m +<-有解，则234m m ->，解得1m <-或4m >．故实数m 的取值范围是{1m m <-或4}m >.故选：D8.已知函数()313331x x f x x -=+++，且()()2346f a f a +->，则实数a 的取值范围为（）A.()4,1- B.()3,2- C.()0,5 D.()(),41,-∞-+∞U 【答案】D 【解析】【分析】构造函数()33131x x g x x -=++，则()()3g x f x =-，然后判断函数()g x 的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可求.【详解】解：令()33131x x g x x -=++，则()()3g x f x =-，因为x ∈R ，()()1111333033333311113x x x xx x x x g x g x x x ------+-=++-=+=++++，∴()g x 为奇函数，又因为()32131xg x x =-++，由复合函数单调性知()g x 为x ∈R 的增函数，∵()()2346f a f a +->，则()()233430f f a a -+-->，∴()()2340g ag a +->，()()()23443g a g a g a >--=-，∴243a a >-，解得4a <-或1a >，故()(),41,a ∈-∞-+∞ 故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.()(),f x x g x =B.()()0,1f x xg x ==C.()()()222,1x x f x g x x x-==-D.()(),01,0,1,01,0x x x x f x g x x x ⎧⎧≠≥⎪⎪==⎨⎨-<⎪⎪=⎩⎩【答案】ACD 【解析】【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可.【详解】对于A ，函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()()||,||f x x g x x ==，A 是；对于B ，函数()0f x x =的定义域为{R |0}x x ∈≠，而()1g x =的定义域为R ，B 不是；对于C ，函数(),()f x g x 的定义域均为{R |0}x x ∈≠，而2(2)21x x x x-=-，C 是；对于D ，函数(),()f x g x 的定义域均为R ，而当0x <时，1||x x =-，当0x >时，1||x x =，因此1,0()1,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩，D 是.故选：ACD10.下列说法正确的是()A.命题“R x ∀∈，210x +<”的否定是“R x ∃∈，使得210x +<”B.若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，则14a =C.关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集()2,3-，则不等式20cx bx a -+<的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D.若函数()y f x =的定义域是[]2,3-，则函数()21y f x =-的定义域是1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】CD【解析】【分析】根据命题的否定即可求解A ，根据0a =即可求解B ，根据一元二次方程与不等式的关系即可求解C ，根据抽象函数定义域的求解即可判断D.【详解】对于A ，命题“R x ∀∈，210x +<”的否定是“R x ∃∈，使得210x +≥”，故A 错误；对于B ，当0a =时，集合{}{}101A x x =+==-也只有一个元素，故B 错误；对于C ，不等式20ax bx c ++>的解集()2,3-，则2,3-是20ax bx c ++=的两个根，所以23230b a c a a ⎧-+=-⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩，故,6b a c a =-=-，则20cx bx a -+<可化为260ax ax a -++<，即2610x x --<，故()()31210x x +-<，所以不等式的解为11, 32⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 正确；对于D ，()y f x =的定义域是[]2,3-，则函数()21y f x =-满足2213x -≤-≤，解得122x -≤≤，所以函数()21y f x =-的定义域是1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D 正确，故选：CD11.下列命题中正确的是（）A.22144x x +++的最小值为2B.函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为(],2-∞C.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，()22f x x x =--D.若幂函数()()211m m m f x x+=+-在()0,∞+上是增函数，则1m =【答案】CD 【解析】【分析】根据基本不等式即可判断A ，根据指数复合型函数的单调性即可求解B ，根据函数的奇偶性即可求解C ，根据幂函数的性质即可求解D.【详解】对于A ，由于242x +≥22424x x +≥+2244x x +=+，即241x +=时等号成立，但241x +=无实根，故等号取不到，故A 错误，对于B,由于()222111t x x x =-=--≥-，所以22112212x xy --⎛⎫≤= ⎪⎝⎛⎝⎭⎫=⎪⎭，又22102x xy -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为(]0,2，B 错误，对于C ，当0x <时，则0x ->，()()()2222f x x x x x -=---=+，由于()()22f x f x x x =--=--，故0x <时，()22f x x x =--，C 正确，对于D ，幂函数()()211m m m f x x+=+-在()0,∞+上是增函数，则21110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得1m =，故D 正确，故选：CD12.若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠时，恒()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的是()A.()f x x =-B.()f x =C.()3f x x x=+ D.()ee xxf x -=-【答案】ABD 【解析】【分析】根据奇偶性和单调性的定义逐项分析判断.【详解】对于①②可知：“理想函数”()f x 在定义域内为奇函数且单调递减.对于选项A ：()f x x =-定义域R 内为奇函数且单调递减，故A 正确；对于选项B ：()f x =定义域R 内为奇函数且单调递减，故B 正确；对于选项C ：因为3,y x y x ==定义域R 内均为奇函数且单调递增，所以()3f x x x =+定义域R 内为奇函数且单调递增，故C 错误；对于选项D ：因为()()()()ee e 0e --+-=-=+-xx x x f x f x ,故()f x 为R 上的奇函数.而,e e x x y y -=-=定义域R 内均为单调递减，所以()e e xx f x -=-定义域R 内为奇函数且单调递减，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.1203331(π1)(3)()864----+=________.【答案】16【解析】【分析】利用指数运算法则和分数指数幂运算法则计算出答案.【详解】1212 33333303113(π1)3186424--⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⎣⎦⎦+⎣2111632245-⎛=+⎫--= ⎪⎝⎭故答案为：1614.若()()()2242x x f x x x a --=++为奇函数，则=a ______.【答案】8-【解析】【分析】先根据奇函数定义域的特征求得8a =-，然后根据奇函数定义验证即可.【详解】由()()420x x a ++≠得4x ≠-且2a x ≠-，因为()f x 为奇函数，所以()f x 的定义域关于原点对称，所以42a-=，即8a =-.当8a =-时，()()()()()()()()()()222222428428428x x x x x xf x f x x x x x x x ---------====--+---++-，所以()f x 为奇函数.故答案为：8-15.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是___________.【答案】(2,2]-【解析】【分析】分20a -=和20a -≠两种情况讨论求解.【详解】当20a -=，即2a =时，4<0-恒成立，当20a -≠时，因为不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，所以()()220Δ421620a a a -<⎧⎪⎨=-+-<⎪⎩，解得22a -<<，综上，22a -<≤，即a 的取值范围是(2,2]-故答案为：(2,2]-16.已知0,0a b >>.若220a b ab +-=，求3a b +的最小值是________.【答案】52【解析】【分析】根据基本不等式乘“1”法即可求解.【详解】由220a b ab +-=得1112b a+=，由于0,0a b >>，所以()1153553322222a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+=+⎪⎝⎭，当且仅当32a b b a =，即11,262a b =+=+时，等号成立，故最小值为52故答案为：52四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合U =R ，{}03A x x =≤≤，{}12B x m x m =-≤≤．（1）3m =，求()U A B ð；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求m 的取值范围．【答案】（1）[)0,2；（2）1m <-或312m ≤≤.【解析】【分析】（1）首先应用补集运算求U B ð，再由交集运算求()U A B ð即可；（2）由题设BA ，讨论B =∅、B ≠∅列不等式求参数范围即可.【小问1详解】由题意，当3m =时{}26B x x =≤≤，故{|2U B x x =<ð或6}x >，而{}03A x x =≤≤，故()[0,2)U A B ⋂=ð.【小问2详解】由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，可得B A ，当B =∅时，121m m m ->⇒<-，符合题意；当B ≠∅时，需满足102312m m m m-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩（10m -≥、23m ≤等号不能同时成立），解得312m ≤≤，综上，m 的取值范围为1m <-或312m ≤≤．18.已知m ∈R ，命题p ：[]0,2x ∀∈，22m x x ≤-，命题q ：()0,x ∃∈+∞，使得方程4x m x+=成立.（1）若p 是真命题，求m 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求m 的取值范围.【答案】（1）1m ≤-（2）(][),14,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）根据恒成立的思想可知()2min2m x x ≤-，由二次函数最值可求得结果；（2）根据基本不等式可求得44x x+≥，由能成立的思想可知4m ≥时；由题意可知,p q 一真一假，分别讨论p 真q 假和p 假q 真两种情况即可.【小问1详解】若p 是真命题，则22m x x ≤-在[]0,2上恒成立，∵()22211x x x -=--，[]0,2x ∈，∴当1x =时，()2min21x x -=-，∴1m ≤-；【小问2详解】对于q ，当0x >时，44x x +≥=，当且仅当2x =时取等号，若()0,x ∃∈+∞，使得方程4x m x +=成立，只需4m ≥即可，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 和q 一真一假，当p 真q 假时，114 m m m ≤-⎧⇒≤-⎨<⎩，当p 假q 真时，144 m m m >-⎧⇒≥⎨≥⎩综上，m 的取值范围为(][),14,-∞-⋃+∞.19.已知指数函数()()23104x f x a a a =-+在其定义域内单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()()243g x f x f x =--，当[]0,2x ∈时．求函数()g x 的值域．【答案】（1）()3x f x =（2）[]7,42-【解析】【分析】（1）根据指数函数定义和单调性可解；（2）令3x t =，利用二次函数的单调性求解可得.【小问1详解】()f x 是指数函数，231041a a ∴-+=，解得3a =或13a =，又因为()f x 在其定义域内单调递增，所以3a =，()3x f x ∴=；【小问2详解】()()()2234333433,x x x x g x =-⋅-=--[]0,2x ∈ ，[]31,9x ∴∈，令[]3,1,9x t t =∈，()[]243,1,9g t t t t ∴=--∈，()()min 27g t g ∴==-，()()2max 9949342g t g ==-⨯-=，()g x ∴的值域为[]7,42-．20.已知定义域为R 的函数2()2x xa f xb -=+是奇函数．（1）求,a b 的值；（2）判断()f x 的单调性并用定义证明；（3）若存在[0,4]t ∈，使()()22420f k tf t t ++-<成立，求k 的取值范围．【答案】（1）1,1a b ==；（2）函数()f x 在R 上是减函数，证明见解析；（3）4k >-【解析】【分析】（1）首先由()f x 是奇函数可知(0)0f =，得出1a =，后面再根据当0x ≠时，有恒等式()()1210x b -⋅-=成立即可求出1b =；（2）根据函数单调性定义即可证得函数()f x 单调递减；（3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为24k t t >-，由题意可知问题等价于min ()k g t >，由此即可得解.【小问1详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，即101a b -=+，所以1a =，又因为()()f x f x -=-，所以122122x x x x a a b b --=-++，将1a =代入，整理得2121212x x x xb b --=⋅++，当0x ≠时，有212x x b b ⋅+=+，即()(1)210x b -⋅-=恒成立，又因为当0x ≠时，有210x -≠，所以10b -=，所以1b =.经检验符合题意，所以1,1a b ==.【小问2详解】由（1）知：函数()122122()1121212x x x x x f x -++-===-++++，函数()f x 在R 上是减函数.设任意12,R x x ∈，且12x x <，则121222()()111212x x f x f x ⎛⎫-=-+--+ ⎪++⎝⎭()()()()()()211211212222222112121212x x x x x x x x x -⨯+-=+++-=由12x x <，可得21210x x -->，又1210121220,0,x x x >++>>，则()()()12112222101212x x x x x -+-⨯>+，则12()()f x f x >，则函数()f x 在R 上是减函数.【小问3详解】因为存在[0,4]t ∈，使()()22420f k t f t t ++-<成立，又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以不等式可转化为()()2224f k t f t t +<-，又因为函数()f x 在R 上是减函数，所以2224k t t t +>-，所以24k t t >-，令22()4(2)4g t t t t =-=--，由题意可知：问题等价转化为min ()k g t >，又因为min ()(2)4g t g ==-，所以4k >-.21.漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量(W 单位：千克)与施用肥料(x 单位：千克)满足如下关系：()()2217,02850,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩，且单株施用肥料及其它成本总投入为2010x +元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()(f x 单位：元).（1）求函数()f x 的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()22020330,028049020,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩；（2）3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元．【解析】【分析】（1）由已知()()()102010f x W x x =-+，分段代入后整理得答案；（2）分段求出函数的最大值，取两个最大值中的较大者得结论．【小问1详解】由已知()()()102010f x W x x =-+，又()()2217,02850,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩，所以()()()()220172010,028********,251x x x f x x x x ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+<≤⎪-⎩，整理得()22020330,028049020,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩.【小问2详解】当02x ≤≤时，()2212020330203252f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴当02x ≤≤时，()()2370f x f ≤=，当25x <≤时，()()8080490204902012011f x x x x x ⎡⎤=--=-+-+⎢⎥--⎣⎦()804702014703901x x ⎡⎤=-+-≤-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当()802011x x =--，即3x =时等号成立，()max 390f x =，因为370390<综上，所以()f x 的最大值为390.故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元．22.设a R ∈，函数()2f x x ax =+．（1）当1a =-时，求()f x 在[]0,1的单调区间；（2）记()M a 为()f x 在[]0,1上的最大值，求()M a 的最小值．【答案】（1）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）3-.【解析】【分析】（1）当1a =-时，得()()()[]222,,01,+,0,1x x x f x x x x x x ⎧-∈-∞⋃∞⎪=-=⎨-+∈⎪⎩，根据二次函数的图象和性质，即可得出()f x 在[]0,1的单调区间；（2）对a 进行讨论，分类0a ≥和a<0两种情况，再分22a -<≤-2a >-，结合函数的单调性求出()f x 在[]0,1上的最大值()M a ，再由分段函数()M a 的解析式和单调性，即可求出()M a 的最小值．【小问1详解】解：当1a =-时，()()()[]222,,01,+,0,1x x x f x x x x x x ⎧-∈-∞⋃∞⎪=-=⎨-+∈⎪⎩，当[]0,1x ∈时，()2f x x x =-+，则对应抛物线开口向下，对称轴为12x =，可知，()f x 在10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 单调递增，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，即()f x 在[]0,1x ∈的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】解：[]0,1x ∈，若0a ≥时，()2f x x ax =+，对称轴为02a x =-≤，所以()f x 在[]0,1单调递增，可得()1M a a =+；若a<0，则()f x 在0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，在(),a -+∞单调递增，若12a ≤-，即2a ≤-时，()f x 在[]0,1递增，可得)(1M a a =--；由a<0，可得()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭递增，在,2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭递减，即有()f x 在2a x =-时取得24a ，当x a >-时，由224a x ax +=，解得：122x a +=-，若1122a a +-<≤-，即22a -<≤-，可得()f x 的最大值为()24a M a =；若112a +>-，即2a >-()f x 的最大值为()1M a a =+；即有()21,21,2,224a a M a a a a a ⎧⎪+>-⎪=--≤-⎨⎪⎪-<≤-⎩，当2a >-时，()3M a >-；当2a ≤-时，()1M a ≥；当22a -<≤-()21(234M a ≥-=-综上可得()M a的最小值为3-．。
合肥市高一上学期期中数学试卷A卷新版
合肥市高一上学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若﹣=3，则x+x﹣1=（）A . 7B . 9C . 11D . 132. （2分） (2018高一上·遵义期中) 若集合中只有一个元素，则（）A . 4B . 2C . 0D . 0或43. （2分）已知在映射f:A B中，，且，则与A中的元素(-1,2)对应的B中的元素为（）A . (-3,1)B .C .D .4. （2分）(2017·怀化模拟) 已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={1，5}，则集合（∁UA）∩B为（）A . {x|1＜x＜5}B . {x|x＞5}C . {1}D . {1，5}5. （2分） (2016高一上·双鸭山期中) 集合A={（x，y）|y=a}，集合B={（x，y）|y=bx+1，b＞0，b≠1}，若集合A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，1）B . （﹣∞，1]C . [1，+∞）D . （1，+∞）6. （2分） (2017高一上·黑龙江月考) （）A .B .C . 7D . 87. （2分） (2019高一上·海林期中) 的值是（）A .B . 1C .D . 28. （2分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A . y=COSxB . y=SINxC . y=lnxD . y=+19. （2分）下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A .B .C .D .10. （2分）已知集合P={x|﹣1≤x≤1}，M={a}．若M⊆P，则a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1]B . [1，+∞）C . [﹣1，1]D . （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）11. （2分）下列函数中，在定义域内是减函数的是（）A . f（x）=xB . f（x）=C . f（x）=D . f（x）=lnx12. （2分）已知函数是奇函数，则的值为（）A . 2013B . 2012C . 2011D . 2010二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·西宁月考) 设集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B等于________14. （1分） (2016高一上·淮阴期中) 已知函数f（x）=ax3﹣bx+1，a，b∈R，若f（﹣2）=﹣1，则f（2）=________15. （1分） (2017高三上·泰州开学考) 函数y=3x2﹣ax+5在[﹣1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是________．16. （1分）若函数f（x）=lg（ax2+ax+3）的定义域是R，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （15分） (2016高一上·普宁期中) 已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2，x2}与B={1，4}是它的子集，（1）求∁UB；（2）若A∩B=B，求x的值；（3）若A∪B=U，求x．18. （10分） (2019高一上·珠海期中) 已知函数（1）如果函数的定义域为R,求m的范围；（2）在上为增函数，求实数的取值范围.19. （10分） (2016高二下·温州期中) 已知函数f（x）=x2﹣1．（1）对于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x﹣1）|恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对任意实数x1∈[1，2]．存在实数x2∈[1，2]，使得f（x1）=|2f（x2）﹣ax2|成立，求实数a的取值范围．20. （10分） (2015高二下·沈丘期中) 已知某家企业的生产成本z（单位：万元）和生产收入ω（单位：万元）都是产量x（单位：t）的函数，其解析式分别为：z=x3﹣18x2+75x﹣80，ω=15x（1）试写出该企业获得的生产利润y（单位：万元）与产量x（单位：t）之间的函数解析式；（2）当产量为多少时，该企业能获得最大的利润？最大利润是多少？21. （15分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log2（﹣x+1）（1）求f（0），f（1）的值；（2）求函数f（x）的解析式；（3）若f（a﹣1）＞1，求实数a的取值范围．22. （10分） (2017高一上·邢台期末) 已知函数f（x）= ．（1）当a=b=1时，求满足f（x）=3x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，①判断f（x）在R的单调性并用定义法证明；②当x≠0时，函数g（x）满足f（x）•[g（x）+2]= （3﹣x﹣3x），若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣11恒成立，求实数m的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2023-2024学年安徽省合肥一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，5}，B ＝{2，4}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{4}B ．{2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．命题“∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3＜0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0 C ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≤0 D ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3＜03．函数y =√x 2+2x−3x−1的定义域是（ ）A ．[﹣3，1]B ．[﹣1，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）4．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．若a ＜b ，则1a＞1bB ．若a ＜b ，则ac 2＜bc 2C ．若a ＜0＜b ，则ab ＜b 2D ．若c ＞a ＞b ，则1c−a＜1c−b5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6]￥D ．[−114，−1)∪[6，8]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝3，若∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−110．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜111．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6 12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ ．14．下列命题中，真命题的编号是 ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 ．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}． （1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}． （1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数． （1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，B＝{2，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}解：由已知得∁U A＝{2，3，4}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}．故选：B．2．命题“∃x∈R，x2﹣3x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣3x+3＜0B．∀x∈R，x2﹣3x+3≥0C．∃x∈R，x2﹣3x+3≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0解：∃x∈R，x2﹣3x+3≥0的否定是：∀x∈R，x2﹣3x+3＜0．故选：A．3．函数y=√x2+2x−3x−1的定义域是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）解：要使得函数y=√x2+2x−3x−1有意义，则x2+2x﹣3≥0，且x﹣1≠0，解得x＞1或x≤﹣3，故定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．故选：D．4．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A．若a＜b，则1a ＞1bB．若a＜b，则ac2＜bc2C．若a＜0＜b，则ab＜b2D．若c＞a＞b，则1c−a ＜1c−b解：若a＜0，b＞0，则1a ＜1b，故A错误；若c＝0，则ac2＝bc2，故B错误；因为a＜0＜b，所以ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，即ab＜b2，故C正确；因为c＞a＞b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，所以1c−a ＞1c−b＞0，故D错误．故选：C．5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0） B ．（0，+∞） C ．（﹣1，0） D ．（﹣2，0）解：由题意，函数f(x)=9−3x x−2=−3+3x−2（x ＞3）， 令t ＝x ﹣2，则t ＞1，可得3t∈(0，3)，故f(x)=−3+3x−2（x ＞3）的值域为（﹣3，0）． 故选：A ．6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）解：二次函数y ＝x 2﹣（a +2）x +3的对称轴为x =a+22， 因为函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1ax，x ＞1是R 上的减函数，所以有{a+22≥1，a ＞01−a −2+3≥a，解得0＜a ≤1．故选：B ．7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6] B ．(−∞，−1]∪(−114，6) C ．(−114，+∞)D ．[−114，−1)∪[6，8]解：当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）≤2⇒2x 2﹣5x ﹣3≤0⇒−12≤x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣1； 当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）＞2⇒2x 2﹣5x ﹣3＞0⇒x ＜−12或x ＞3时，f （x ）＝5x ﹣x 2， 作出f （x ）的图象，如图所示：函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，转化为函数f（x）的图象与直线y＝m恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的f（x）的值，可得：6≤m≤8或−114≤m＜﹣1，则实数m的取值范围是[−114，﹣1）∪[6，8]，故D项正确．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝3，若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0， 不妨令x 1＜x 2⇒x 1f （x 1）＜x 2f （x 2）可知函数xf （x ）在（0，+∞）上单调递增， 记g （x ）＝xf （x ），则g （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣x [﹣f （x ）]＝xf （x ）＝g （x ），所以g （x ）为偶函数，因此g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且g （﹣1）＝g （1）＝1×f （1）＝3， 不等式（x +3）f （x +3）＞3等价于g （x +3）＞g （1），故|x +3|＞1，解得x ＞﹣2或x ＜﹣4，故不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−1解：由题意知函数y ＝x +1的定义域为R ，值域为R ，y =(√x +1)2的定义域为[﹣1，+∞），与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故A 错误； y =√x 33+1=x +1定义域为R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故B 正确； y =√(x +1)33=x +1定义域R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故C 正确；y =x 2+1x−1的定义域为{x ∈R |x ≠1}，与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故D 错误．故选：BC ．10．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜1解：当a ＝0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0为﹣2＜0，满足题意；a ≠0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立，则必有a ＜0且Δ＝（﹣2a ）2+4a ×2＜0， 解得﹣2＜a ＜0，故a 的取值范围为﹣2＜a ≤0，由题意知所选不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为（﹣2，0]的真子集，结合选项可知﹣1＜a ＜0，﹣2＜a ＜0所对应集合为（﹣2，0]的真子集， 故选项A ，B 满足条件．故选：AB ．11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6解：对于选项A ，当a ＝2，b ＝1，m ＝1时，a b=2，a+m b+m=32＜2，当a ＞b 时，糖水不等式不成立，故A 不正确； 对于选项B ，因为x ＞32，y =2x −1+12x−3=2x −3+12x−3+2≥2√(2x −3)×(12x−3)+2=4， 当且仅当2x ﹣3=12x−3，即x ＝2时取等号，故B 正确； 对于选项C ，因为2x +y =1≥2√2xy ，所以xy ≤18，当且仅当2x ＝y ，即x =14，y =12时等号成立， 所以(√2x +√y)2=2x +y +2√2⋅√xy ≤1+2√2⋅√18=2， 即√2x +√y ≤√2，当且仅当x =14，y =12时等号成立，故C 正确； 对于选项D ，因为a 2（b 2﹣2）＝4， 所以a 2=4b 2−2＞0，所以a 2+b 2=4b 2−2+b 2=4b 2−2+（b 2﹣2）+2≥2√4b 2−2⋅(b 2−2)+2＝6，当且仅当b 2−2=4b 2−2，即a 2＝2，b 2＝4时，等号成立，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 解：选项A ，由题意得x ∈R ，f （﹣x ）=−x 1+|−x|=−x 1+|x|=−f （x ），所以函数f （x ）是奇函数，故A 正确；选项B ，C ，由函数解析式可得f （x ）={x 1+x ，x ≥0x 1−x ，x ＜0={1−1x+1，x ≥011−x−1，x ＜0，函数图象如图所示：所以f （x ）的值域是（﹣1，1），在R 上单调递增，故B 正确，C 错误； 选项D ，由函数f （x ）在R 上单调递增， 则当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）max ＝f （1）=12，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则t 2﹣2at +12≥12恒成立， 即t 2﹣2at ≥0恒成立，令h （a ）＝﹣2at +t 2，即a ∈[﹣1，1]时，h （a ）≥0恒成立， 则{ℎ(1)=t 2−2t ≥0ℎ(−1)=t 2+2t ≥0，解得：t ≤﹣2或t ≥2或t ＝0，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ 0 ．解：f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （﹣2）＝3，所以f （f （﹣2））＝f （3）＝0．故答案为：0．14．下列命题中，真命题的编号是 ①④ ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．解：x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0恒成立，故①正确； 由2x 2﹣3＝0，解得x =±√62∉N ∗，故②错误；﹣1×2+1＝﹣1＜0，故③错误， x ＝4，y ＝1满足题意，故④正确． 故答案为：①④．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 12 ． 解：因为a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，所以（4a +4b ）（6a +3b ）＝36，所以（4a +4b ）（6a +3b ）=36≤(4a+4b+6a+3b)24=(10a+7b)24， 则10a +7b ≥12，当且仅当{4a +4b =6a +3b (a +b)(2a +b)=3，即a =12，b ＝1时，等号成立，故10a +7b 的最小值为12． 故答案为：12．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是134．解：因为函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1）， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ）， 当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，则f （x ）＝2f （x ﹣1）＝2（x ﹣1）[1﹣（x ﹣1）]＝﹣2（x ﹣1）（x ﹣2）=−2(x −32)2+12∈[0，12]， 当x ∈（2，3]时，x ﹣2∈（0，1]，则f （x ）＝4f （x ﹣2）＝4（x ﹣2）[1﹣（x ﹣2）]＝﹣4（x ﹣2）（x ﹣3）=−4(x 2−5x +6)=−4(x −52)2+1∈[0，1]，当x ∈（3，4]时，x ﹣3∈（0，1]，则f （x ）＝8f （x ﹣3）＝8（x ﹣3）[1﹣（x ﹣3）]＝﹣8（x ﹣3）（x ﹣4）=−8(x 2−7x +12)=−8(x −72)2+2∈[0，2]，因为对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32， 当x ∈（3，4]时，令f(x)=−8(x 2−7x +12)=32， 解得x =134或x =154，如下图所示：由图可知，m ≤134，故实数m 的最大值为134． 故答案为：134．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜5}；（2）因为A ∪B ＝A ，所以B 是A 的子集，①B ＝∅，即3m ﹣1≤m ﹣3，解得m ≤﹣1；②B ≠∅，则{m −3≥−23m −1≤83m −1＞m −3，所以1≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≤﹣1或1≤m ≤3}．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}．（1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）因为B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣6＜x ＜2}，所以方程x 2+2mx ﹣3m 2＝0的两根分别为﹣6和2，由韦达定理得{−6+2=−2m −6×2=−3m 2，解得m ＝2． 所以实数m 的值为2．（2）由x 2﹣x ﹣6＜0，得﹣2＜x ＜3，A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⫋B ，当m ＝0时，B ＝{x |x 2＜0}＝∅，此时A ⫋B ，不成立；当m ＞0时，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣3m ＜x ＜m }，因为A ⫋B ，则有{−3m ≤−2m ≥3，解得m ≥3； 综上所述，实数m 的取值范围是[3，+∞）．19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 解：（1）因为f （x ）为幂函数，所以m 2﹣5m +7＝1，解得m ＝2或m ＝3；当m ＝2时，f （x ）＝x 2是偶函数，不是奇函数；当m ＝3时，f （x ）＝x 3是奇函数，所以m ＝3．故f （x ）的解析式f （x ）＝x 3．（2）由（1）得，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2＝x 3﹣x 2，对于x ＜0，则﹣x ＞0，g （﹣x ）＝（﹣x ）3﹣（﹣x ）2＝﹣x 3﹣x 2，又因为函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），所以g （x ）＝﹣x 3﹣x 2（x ＜0），所以函数g （x ）的解析式g(x)={x 3−x 2，x ≥0−x 3−x 2，x ＜0． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．解：（1）由f （x ）＞0，得x 2﹣4x +a ＞0，即a ＞﹣x 2+4x ，令g （x ）＝﹣x 2+4x ，g （x ）＝﹣（x ﹣2）2+4，所以g （x ）在[1，2]上单调递增，在[2，5]上单调递减，则在[1，5]上g （x ）的最小值为g （5）＝﹣5，最大值为g （2）＝4．选择条件①，∃x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 成立，则a ＞g （x ）min ，所以a ＞﹣5，故实数a 的取值范围是（﹣5，+∞）．选择条件②，∀x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 恒成立，则a ＞g （x ）max ，所以a ＞4，故实数a 的取值范围是（4，+∞）．（2）当x ≥0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(x)]=f(x)，＝x 2﹣4x +a ＝（x ﹣2）2+a ﹣4，所以F （x ）在[0，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增；当x ＜0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(−x)]=12[x 2−4x +a +(−x)2+4x +a]=x 2+a ， 所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，综上函数F （x ）的单调递增区间为[2，+∞）．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．解：（1）设矩形运动场的长、宽分别为a ，b （如图，单位：m ），由题意，ab ＝3200，所以2a +b ≥2√2ab =160，当且仅当{a =40b =80时，取“＝”， 故栅栏总长的最小值为160m ．（2）由题意（a +2）（b +4）＝3200，整理得ab +4a +2b ﹣3192＝0，而4a +2b =3192−ab ≥2√8ab =4√2ab ，故ab +4√2ab −3192≤0，令√ab =t （t ＞0），则t 2+4√2t −3192≤0，解得0＜t ≤38√2，所以√ab ≤38√2，即ab ≤2888，当且仅当{b =2a √ab =38√2，即{a =38b =76时，取“＝”， 故运动场面积的最大值为2888m 2．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．（1）解：因为f(−2)=−52，且f （x ）是奇函数，所以f(2)=52，所以{4+a 2+b =524+a −2+b =−52，解得{a =1b =0，所以f(x)=x +1x ． 此时，f(x)+f(−x)=x +1x +(−x)+1−x=0， 所以f （x ）是奇函数，满足要求； 函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 证明如下：任取x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2)， 因为x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，所以x 1x 2﹣1＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减；同理可证明函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增．（2）由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t(x +1x )， 令z =x +1x ，y ＝z 2﹣2tz ﹣2，由（1）可知函数z =x +1x 在[13，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增， 所以z ∈[2，103]，因为函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2的对称轴方程为z ＝t ＜0，所以函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2在[2，103]上单调递增， 当z ＝2时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最小值，y min ＝﹣4t +2；当z =103时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最大值，y max =−203t +829．所以h （x ）min ＝﹣4t +2，ℎ(x)max =−203t +829，又因为对∀x1，x2∈[13，3]都有|h（x1）﹣h（x2）|≤8恒成立，所以h（x）max﹣h（x）min≤8，即−203t+829−(−4t+2)≤8，解得t≥−13，又因为t＜0，所以t的取值范围是[−13，0)．。