随机变量函数的分布
2 2
f ( x )
[e 3
2
2
e
2
]
若固定 ，改变 的值，则密度曲线左右整体平移.
决定了图形的中心位置
15
正态分布的分布函数
x 1 F ( x) e 2σ ( t μ )2 2σ 2
dt
正态分布的应用与背景
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差;
上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率.
解
1 x 1 e 2000 , x 0, F ( x) 0, x 0.
10
X 的分布函数为
(1) P { X 1000 } 1 P { X 1000 } 1 F (1000 )
x
1 e 2
t2 2
d t , x .
17
标准正态分布的图形
18
标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. 它的依据是下面的定理：
定理1
设 X ~ N ( , ) ,则 Z
2
X
根据定理1,只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以解决一般正态分布的概 率计算问题.
( x 185) 1 e 2282 , x 解 ∵ X～N (185 , 282)， f ( x ) 28 2
2
所求概率为 P(X > 250) = 1- P(X 250) 1 ( 250 185 )
2
4 2 2 2 P(2 X 4)
2 (0) 0.3 2 0.8
P( X 0) 0.2
25
例6 某地区8月份降雨量 X 服从 =185mm , = 28mm 的正态分布， 写出 X 的概率密度， 并求该地区明年 8 月份降 雨量超过250mm的概率.eFra bibliotek1 2
0.607 .
( 2) P{ X 2000 X 1000}
P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000 } P{ X 1000 }
11
1 P{ X 2000} 1 P{ X 1000}
1 F ( 2000) 1 F (1000)
e
1 2
0.607.
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.指数分布的这 一性质在可靠性理论以及排队论中有着很好的应 用。
12
设X E( ),s,t 0 P X s+t，X t P X s+t X t P X t 由于 X s+t，X t X t。因此 P X s+t 1-P X s+t P X s+t X t P X t 1-P X t e- (s+t) s ＝ - t e e ＝ＰＸ s
1 , 2 x 5, f ( x) 3 0, 其它. 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”,
即 A={ X >3 }.
5
1 2 由于 P ( A) P{ X 3} d x , 33 3
5
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则 因而有
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, f ( x) b a 0, 其它, 则称 X 在区间 (a, b) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a, b).
f ( x)
概率密度
函数图形
a b
19
~N(0,1)
Xμ Z 的分布函数为 σ X μ P{ Z x } P x P{ X μ σx } σ 2 (t μ) μ σx 1 2σ 2 d t, e 2σ
证明
tμ 令 u, 得 σ u2 1 x 2 P{ Z x } e d u ( x ), 2 故 Xμ Z ~ N (0,1). σ
14
正态分布密度的性质
(2) 正态分布的密度曲线位于 x 轴的上方, f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ) 且关于 x= 对称， 决定图形的中心位置; 且 f (μ+c)=f (μ-c) 故 f (x)以μ为对称轴， 1 (3) 密度曲线 y = f (x) 有拐点 ( , ); 对密度函数求导： 2 e ( x ) xx (2( ( ) 1 轴为水平渐近线; ) ) ( x2 x2 ) (4)f f x ) 以 x (e 2(x) ) +, (x) ∞时，f →0 e2 e 当 ( x → 2 2 2 2 3 2 ( x ) 即曲线 y =N( 向左右伸展时,越来越贴近 ) 轴. 正态分布 f (x)1, 2 )的密度函数图形的特点: ( x ) ( x2 x 2
1 e x , x 0, F ( x) . x0 0,
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布. 如电 话的通话时间服从指数分布.
9
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时)
(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以
2
2
2
1 e , x 2 (1) 在 x = 处取到最大值 f ( ) 1 ; 2 f ( x)
令 x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可得
( x )2 2 2
2
2
2
2
2
2 两头低,中间高,左右对称的 “峰” 状 ( x ) 1 e 2 [ 2 ( x ) 2 ] = 0 ， 若固定 ，改变 的值， f ( ,) 反之亦然， 2 决定了图形中峰的陡峭程度 x =μσ为 f (x) 的两个拐点的横坐标.
Y ~B
2 (3, ) 3
2 2 P{Y 2} 3 3
2
0 2 3 2 3 1 1 2 20 . 3 3 3 3 27
6
2. 指数分布
题 设随机变量 X 的概率密度为
0.9772 0.8944 0.0828 .
23
例6 设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
1.6 1 0 1 解 P(0 X 1.6) 2 2
0.3 0.5
Ke 3 x , x 0 f ( x) x 0. 0, 试确定常数 K , 并求 P{ X 0.1}.
解 由
f ( x) d x 1
0
Ke
3 x
d x 1, 得 K 3,
P{X 0.1}
3e3 x , x 0, 得 f ( x) x 0. 0,
若 X ~ N ( , ),
2
Y
X
P{a X b} P{
a
~N(0,1)
b a ( ) ( )
Y
b
}
22
例5 已知 X ~ N (0,1), 求 P{1.25 X 2}.
解
P {1.25 X 2}
( 2) (1.25)
0.3 [1 0.5]
0.6179 [1 0.6915]
0.3094
24
题 已知 X ~ N (2, ) 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3, 求 P ( X < 0 ). 0 2 1 2 解 P( X 0)
2
即 X 落在(a,b)内任何长为 l 的小区间的 概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正 比.(均匀性) 应用场合
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数 点后某一位小数引入的误差，例如对小数点 后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误 差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。
3
d c 1 (c, d ) (a, b) , P(c X d ) dx c ba ba
, x
其中 - < <+ , > 0 为常数，则称 X 服从参数为 和 的正态分布， 记为 X～N( , 2 ). 在各种分布中
具首要地位 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. 由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看 看正态分布的密度函数有什么特点.
1
o
由上式求得X的分布函数: xa 0, xa F ( x) , a xb ba 1, xb 若X～U[a, b], [c, c+l][a, b], 有: P(c≤X≤c +l )
cl
c cl
f ( x )dx
c
1 dx l ba ba
16
标准正态分布
当正态分布 N ( μ, σ 2 ) 中的 μ 0, σ 1 时, 这样 的正态分布称为标准正 态分布, 记为 N (0, 1).
标准正态分布的概率密度表示为
1 ( x) e 2π
x2 2
, x ,
标准正态分布的分布函数表示为
( x)
13
3. 正态分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这 一公式被认为是正态分布的首次露面. 十九世纪前叶,高斯加以推广得到正态 分布，所以通常称为高斯分布. 定义 若连续型随机变量 X 的概率密度函数为
f ( x )
[e 3
2
2
e
2
]
若固定 ，改变 的值，则密度曲线左右整体平移.
决定了图形的中心位置
15
正态分布的分布函数
x 1 F ( x) e 2σ ( t μ )2 2σ 2
dt
正态分布的应用与背景
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差;
上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率.
解
1 x 1 e 2000 , x 0, F ( x) 0, x 0.
10
X 的分布函数为
(1) P { X 1000 } 1 P { X 1000 } 1 F (1000 )
x
1 e 2
t2 2
d t , x .
17
标准正态分布的图形
18
标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. 它的依据是下面的定理：
定理1
设 X ~ N ( , ) ,则 Z
2
X
根据定理1,只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以解决一般正态分布的概 率计算问题.
( x 185) 1 e 2282 , x 解 ∵ X～N (185 , 282)， f ( x ) 28 2
2
所求概率为 P(X > 250) = 1- P(X 250) 1 ( 250 185 )
2
4 2 2 2 P(2 X 4)
2 (0) 0.3 2 0.8
P( X 0) 0.2
25
例6 某地区8月份降雨量 X 服从 =185mm , = 28mm 的正态分布， 写出 X 的概率密度， 并求该地区明年 8 月份降 雨量超过250mm的概率.eFra bibliotek1 2
0.607 .
( 2) P{ X 2000 X 1000}
P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000 } P{ X 1000 }
11
1 P{ X 2000} 1 P{ X 1000}
1 F ( 2000) 1 F (1000)
e
1 2
0.607.
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.指数分布的这 一性质在可靠性理论以及排队论中有着很好的应 用。
12
设X E( ),s,t 0 P X s+t，X t P X s+t X t P X t 由于 X s+t，X t X t。因此 P X s+t 1-P X s+t P X s+t X t P X t 1-P X t e- (s+t) s ＝ - t e e ＝ＰＸ s
1 , 2 x 5, f ( x) 3 0, 其它. 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”,
即 A={ X >3 }.
5
1 2 由于 P ( A) P{ X 3} d x , 33 3
5
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则 因而有
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, f ( x) b a 0, 其它, 则称 X 在区间 (a, b) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a, b).
f ( x)
概率密度
函数图形
a b
19
~N(0,1)
Xμ Z 的分布函数为 σ X μ P{ Z x } P x P{ X μ σx } σ 2 (t μ) μ σx 1 2σ 2 d t, e 2σ
证明
tμ 令 u, 得 σ u2 1 x 2 P{ Z x } e d u ( x ), 2 故 Xμ Z ~ N (0,1). σ
14
正态分布密度的性质
(2) 正态分布的密度曲线位于 x 轴的上方, f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ) 且关于 x= 对称， 决定图形的中心位置; 且 f (μ+c)=f (μ-c) 故 f (x)以μ为对称轴， 1 (3) 密度曲线 y = f (x) 有拐点 ( , ); 对密度函数求导： 2 e ( x ) xx (2( ( ) 1 轴为水平渐近线; ) ) ( x2 x2 ) (4)f f x ) 以 x (e 2(x) ) +, (x) ∞时，f →0 e2 e 当 ( x → 2 2 2 2 3 2 ( x ) 即曲线 y =N( 向左右伸展时,越来越贴近 ) 轴. 正态分布 f (x)1, 2 )的密度函数图形的特点: ( x ) ( x2 x 2
1 e x , x 0, F ( x) . x0 0,
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布. 如电 话的通话时间服从指数分布.
9
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时)
(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以
2
2
2
1 e , x 2 (1) 在 x = 处取到最大值 f ( ) 1 ; 2 f ( x)
令 x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可得
( x )2 2 2
2
2
2
2
2
2 两头低,中间高,左右对称的 “峰” 状 ( x ) 1 e 2 [ 2 ( x ) 2 ] = 0 ， 若固定 ，改变 的值， f ( ,) 反之亦然， 2 决定了图形中峰的陡峭程度 x =μσ为 f (x) 的两个拐点的横坐标.
Y ~B
2 (3, ) 3
2 2 P{Y 2} 3 3
2
0 2 3 2 3 1 1 2 20 . 3 3 3 3 27
6
2. 指数分布
题 设随机变量 X 的概率密度为
0.9772 0.8944 0.0828 .
23
例6 设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
1.6 1 0 1 解 P(0 X 1.6) 2 2
0.3 0.5
Ke 3 x , x 0 f ( x) x 0. 0, 试确定常数 K , 并求 P{ X 0.1}.
解 由
f ( x) d x 1
0
Ke
3 x
d x 1, 得 K 3,
P{X 0.1}
3e3 x , x 0, 得 f ( x) x 0. 0,
若 X ~ N ( , ),
2
Y
X
P{a X b} P{
a
~N(0,1)
b a ( ) ( )
Y
b
}
22
例5 已知 X ~ N (0,1), 求 P{1.25 X 2}.
解
P {1.25 X 2}
( 2) (1.25)
0.3 [1 0.5]
0.6179 [1 0.6915]
0.3094
24
题 已知 X ~ N (2, ) 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3, 求 P ( X < 0 ). 0 2 1 2 解 P( X 0)
2
即 X 落在(a,b)内任何长为 l 的小区间的 概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正 比.(均匀性) 应用场合
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数 点后某一位小数引入的误差，例如对小数点 后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误 差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。
3
d c 1 (c, d ) (a, b) , P(c X d ) dx c ba ba
, x
其中 - < <+ , > 0 为常数，则称 X 服从参数为 和 的正态分布， 记为 X～N( , 2 ). 在各种分布中
具首要地位 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. 由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看 看正态分布的密度函数有什么特点.
1
o
由上式求得X的分布函数: xa 0, xa F ( x) , a xb ba 1, xb 若X～U[a, b], [c, c+l][a, b], 有: P(c≤X≤c +l )
cl
c cl
f ( x )dx
c
1 dx l ba ba
16
标准正态分布
当正态分布 N ( μ, σ 2 ) 中的 μ 0, σ 1 时, 这样 的正态分布称为标准正 态分布, 记为 N (0, 1).
标准正态分布的概率密度表示为
1 ( x) e 2π
x2 2
, x ,
标准正态分布的分布函数表示为
( x)
13
3. 正态分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这 一公式被认为是正态分布的首次露面. 十九世纪前叶,高斯加以推广得到正态 分布，所以通常称为高斯分布. 定义 若连续型随机变量 X 的概率密度函数为
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随机变量函数的分布
二 、连续型随机变量函数的分布 2.分布函数法 一般地，若已知X的概率密度为 fX(x),求其函数 Y=g(X)的概率密度 fY(y)分两个步骤： 10 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y); 20 由 fY(y) = F (y) 求出 fY (y)
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
定理 设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x) ， （－∞<x< +∞ ）,又函数y = g(x)处处可导，且严格单 调，其反函数为x = h(y )，则Y = g(X)也是一连续型随 机变量，且密度函数为
h y f[ h ( y )], y f y Y , 其他 0
计算离散型随机变量函数的分布的方法： 首先将xi的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值
y g ( x )( i 1 ， 2 ， .) i i
如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为 Y P y1 p1 y2 p2 … … yi pi … …
如果 yi=g(xi)(i=1,2,…)中出现m(≥2)个相同的函数值，即存在
0 , y25 /4 F (y) * 25 /4y9 1, y9
F ( y ) P { Y y } P { X / 4 y }
2
P { X 4 y / }
4 y /
f ( x ) dx X
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
其中， m g ( in{ ), g ( )}, m g ( ax ), g ( )
注意 若f(x)在有限区间[a,b]外等于0,则只需设在[a,b] ( x ) 0 [ 或 g ( x ) 0 ]. 上有 g
随机变量函数的分布
此时，称Y服从自由度为1的χ2-分布。
变限函数求导公式:
b(x)
f
(t)dt
f b(x)b(x)
f a(x) a(x).
a(x)
例3：设r.v.X~U(0,1),求Y=eX的概率密度.
1, 0 x 1, 解：因r.v.X~U(0,1),故X的概率密度为：fX (x) 0, 其它.
如图, fX (x)的非零段将整个 x轴分为三部分:
(-∞,0),[0,1),[1,+ ∞); 从而,整个y轴相应地也被分为三 部分: (-∞,1),[1,e),[e,+ ∞).
因此,应就y分为上述三个区 间来求Y的分布函数.
(1) 当y<1时,再分为两种情形:
a) 当y≤0时,
FY (y) PY y P eX y
P() 0;
b) 当0< y<1时,
fY
(
y)
1 y
,
1 y e,
0, 其它.
注意:本题是重要题型,必须熟练掌握。
方法2 公式法(y=g(x)为单调可导函数)
定理：设连续型随机变量X的概率密度为
f X (x)( x )
函数g(x)处处可导且有恒有 g(x) 0(g(x) 0)
则Y=g(X)是连续型随机变量，且其概率密度为
◆如果Y各可能取值中存在多个值相等,则Y取该值的概 率为这些相等值对应的X取值的概率之和.
例如,当 yk g(xi ) g(x j ) g(xm ),
则由基本事件互斥性与概率可加性得：
PY yk P X xi P X xj P X xm
例1:设r.v.X的分布列为:
X
-1
012
P 0.2 0.3 0.1 0.4
§3.5 随机变量函数的分布
( ii ) 若Y = X 2 , 则有 1 fY ( y ) = [ f X ( y ) + f X ( − y )], y ∈ R(Y ). 2 y 这里a , b为常数 且a ≠ 0, R(Y )为Y的值域 .
证明 由于 R(Y ) = [0,+∞ ), 取 y ≥ 0, 有
FY ( y ) = P ( X ≤ y ) = P ( − y ≤ X ≤
2 2 ∑ ci X i ~ N ( ∑ ci µi , ∑ ci σ i ). n i =1 n i =1 n i =1
其中, 为常数. 其中 c1 , c2 ,⋯, cn为常数
3.5.2 二维随机变量函数的分布 一、一般方法 是二维连续型随机变量,其联合密 设 ( X ,Y )是二维连续型随机变量 其联合密 的函数, 度为 f ( x , y ).又设Z = g( X ,Y ) 是 ( X ,Y ) 的函数 又设 类似于一维,求 的密度的一般方法为 的密度的一般方法为: 类似于一维 求Z的密度的一般方法为 (i)确定 的值域 R(Z )； 确定Z的值域 确定 (ii)对任意 z ∈ R(Z )， 对任意 求出Z的分布函数 的分布函数； 求出 的分布函数；
f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( x , z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( z − y , y )dy .
+∞ +∞
当 X与Y 独立时 则 与 独立时,则
f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( x ) fY ( z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( z − y ) fY ( y )dy .
−1 −1
用上述定理求例3.5.1中Y的密度函数 例3.5.3 用上述定理求例 中 的密度函数
随机变量的分布函数
x < −1 , −1 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 3, x ≥ 3.
-1 0 1 2 3
4
1
x
§3
随机变量的分布函数
1 1 1 P{X ≤ } = F( ) = , 2 2 4 3 5 5 3 3 1 1 P{ < X ≤ } = F( ) − F( ) = − = , 2 2 2 2 4 4 2
9
§3
随机变量的分布函数
用分布函数计算某些事件的概率
P{a ≤ X ≤ b} = P{X ≤ b}− P{X < a}
= F (b) − F (a − 0)
P{a < X < b} = P{X < b}− P{X ≤ a} P{a ≤ X < b} = P{X < b}− P{X < a}
= F (b − 0 ) − F (a − 0 )
设 F ( x) = P{ X ≤ x} 是随机变量 X 的分布函数，则 P{ X = a} = P{ X ≤ a} − P{ X < a} P{a < X ≤ b} = P{ X ≤ b} − P{ X ≤ a} P{ X < a} = F ( a − 0)
= F ( a ) − F ( a − 0) = F ( b) − F ( a )
随机变量的分布函数
1. 概 念
定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F(x) = P{X ≤ x}
称为 X 的分布函数．
X x 0 F(x) = P{X ≤ x} x2) ，有： ： X
o
P{x1 < X ≤ x2} = P{X ≤ x2}− P{X ≤ x1} = F(x2 ) − F(x1).
随机变量的分布函数
x 0dt 0
x 0
-x
f(t)dt
0
-
f(t)dt
x
0
f(t)dt
0 x2
其中F((x)
-x
0
x 0
t 2
dt
x2 4
f(t)dt
0
-
f(t)dt
2
0
f(t)dt
x
2
f(t)dt
2 x
0
2t
02
dt
0
1
b
1 3
三. 离散型随机变量X的分布律为P{X xk} pk , k 1,2,3
离散型随机变量X的分布函数为F ( x) p{ X x}
pk P{X xk }
xk x
xk x
例3 ：一个半径为2米的圆盘靶，设击中
靶上任意同心圆盘上的点的概率与该圆
盘面积成正比（即与击中点到圆心距离
§ 3 随机变量的分布函数
• 对于离散型随机变量X，可以将其所有可能的取值一一
列举出来，再分别求出每一个取值xk的概率pk
• 对于非离散型随机变量，其取值不能一一列举出来， 无法用分布律的方法来描绘。
• （1）它取任意值的概率都为0，即P（X=k)=0. • （2）我们更关心它在某一区间的概率， P{X k}
x
F () lim F ( x) 1
x
lim F ( x) F ( x0 )
x x0
例1： 随机变量X的分布律为
X -1
2
3
pk 1/4
1/2
1/4
求F ( x),及P{X 12}, P{23 X 52}, P{2 X 3}
解：当 x <-1 时，
随机变量函数的分布
,
0,
0 ey/2 1 其它
得
fY
(
y)
1 2
e
y
/
2
,
y0
0,
其它
即Y服从参数为1/2的指数分布.
例9
设随机变量 X ~ N ， 2 ，Y eX，试求随机变量
Y 的密度函数 fY y．
解: 由题设，知 X 的密度函数为
f x
1
x2
e 2 2
x
2
因为函数 y ex 是严格增加的，它的反函数为
0,
其它.
整理得 Y =2X +8 的概率密度为：
fY
(
y
)
y8 32
,
8 y 16,
0,
其它.
解题思路总结
核心思想：{Y y}等价于{X ?}
解题过程：
⑴．先求Y g X 的分布函数
FY y PY y P g X y fX ( x)dx g( x) y
⑵．利用Y g X 的分布函数与密度函数之间的关系 求Y g X 的密度函数 fY y FY y
一、 离散型随机变量函数的概率分布
当X为离散型随机变量时， Y g X 也是离散型
随机变量。并且在 X 的分布列已知的情况下，求Y的
分布列是容易的。
X 1 0 1 2 3
例1 已知X的分布列为
Pk 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
求 Y X 1 Y X2
的分布列。
解 由Y 的分布列可列出
面积Y小于 等价于半径X<1/2
0
1
即事件｛面积Y 1 ｝等价于事件｛半径X 1｝
4
2
所以 P{Y } P{ X 1} 1
随机变量的函数分布
解
因为v
g(θ)
A sin θ
在
π 2
,
π 2
上恒有
g(θ) Acosθ 0,
所以反函数为 θ h(v) arcsin v , A
h(v) 1 , A2 v2
15
又由Θ
~
U
π 2
,
π 2
,
知
Θ
的概率密度为
f
(θ
)
1 π
,
π θ π,
2
2
0, 其他.
由定理得V Asin Θ 的概率密度为
如何根据已知的随机变量 X 的分布求得随机 变量 Y f ( X ) 的分布?
2
例1 设 X 的分布律为
X 1 0 1 2 1111
p 4444 求 Y X 2 的分布律.
解 Y 的可能值为 (1)2 , 02 , 12 , 22;
即 0, 1, 4. P{Y 0} P{ X 2 0} P{ X 0}
1, 4
3
P{Y 1} P{X 2 1} P{(X 1) ( X 1)}
P{X 1} P{X 1} 1 1 1 , 44 2
P{Y 4} P{ X 2 4} P{ X 2} 1 , 4
故Y 的分布律为 Y p
014 111
424
由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.
数的概率密度的方法.
11
定 理 设随机变量 X 的具有概率密度 fX ( x), 其 中 x , 又设函数 g( x)处处可导, 且恒有 g( x)
0 (或恒有g( x) 0), 则称Y g(Y )是连续型随机
变量, 其概率密度为
fY
(
y)
f
随机变量的函数的分布
概率论与数理统计
2
❖ 一.离散型随机变量函数的分布
➢设X是离散型随机变量，X的分布律为
X x1 x2 … xn … pi p1 p2 … pn …
则Y = g(X)也是一个离散型随机变量，此时Y的分布律为
Y=g(X) g(x1) g(x2) … g(xn) …
pi
p1
p2
…
pn
…
当 g(x1), g(x2), … , g(xn)中有某些值相等时，则把那些相 等的值分别合并，并把对应的概率相加即可．
由题意可知，
3
31
1
P(Y 0) P( X 3)
f X ( x)dx
1
dx , 42
P(Y 1) P( X 3) 1 P( X 3) 1 1 1 . 22
概率论与数理统计
10
❖ 二.连续型随机变量函数的分布
1.分布函数法
➢ 例2.5.2 已知随机变量X服从区间(1，5)内的均匀分布即
➢ 解 可得到分布函数如下
0, FY ( y) ln y,
1,
y1 1 y e, ye
Y=eX 的概率密度函数为
fY
(
y)
FY
(
y)
1 y
,
0,
1 ye .
其他
概率论与数理统计
13
❖ 二.连续型随机变量函数的分布
1.分布函数法
➢ 例2.5.4 设随机变量X具有概率密度fX(x), -∞<x<+∞, 求 Y=X2的概率密度．
➢求连续型随机变量的函数的概率密度主要有两种方法， 即分布函数法和公式法．主要讲分布函数法.
1. 分布函数法
➢设连续型随机变量X的概率密度为 fX(x)，求 X的函数 Y = g(X) 的概率密度 fY(y) 的方法是： （1）先求Y 分布函数：
随机变量的分布函数
A
sin
As
x
x
i nxx
2x
2
x
2A
2
2
2
A
2
求得
A
1 2
,于是f概x率 密度12 c函os数x
x
2
2
01
其它
f
x
1 2
cos
x
0
x
2
2
其它
利用分布函数与概率密度函数之间的积分关系,
F x x f t dt ，求分布函数 Fx
当 x 时, F x
x f t dt
=7/30+7/120
例 2.3.4 在一质量均匀的陀螺的圆周上均匀地刻上区间 (0,1]
上诸数字,旋转这陀螺,当它停下时,其圆周与桌面接触点的刻
度 X 是一个随机变量,求 X 的分布函数。
解 由陀螺刻度的均匀性，对于区间(0,1]内的任一子区间(a,b] 有 P( a<X≤b) =b-a. 因为，X可能取值为区间(0,1]上所有值， 所以，在求X的分布函数时，可将整个数轴分成三个区间来讨论.
x
0dt 0
2
当 x 时，
2
2
F x x f tdt
2 f (t)dt
x
f (t )dt
x
1 2
cos
tdt
1 sinx
2
1 2
2
2
f
第2.3节 随机变量的分布函数
一、分布函数
1. 定义:设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P{X≤x}, －∞＜x＜＋∞
为随机变量X的分布函数. 任意a<b, P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a);
随机变量函数的分布
令：z = ( y − 8) / 2
⎪⎩ 0,
其他 .
得
fY
( y)
=
⎪⎧ ⎨
y −8, 32
8 < y < 16,
⎪⎩ 0, 其他 .
下面给出一个定理，当定理的条件满足时，可直接求随机
变量函数的概率密度 。
P45定理2.4.1 设随机变量X有概率密度函数fX(x), -∞<x<+∞, y= g(x) 为严格单调且处处可导的函数, 记 (α, β ) 为g(x)的
求:随机变量Y=2X+1的概率密度函数.
解:
∵ g(x)=2x+1为严格单调增函数,
g′(x) = 2 对一切x都存在，
α = g(−1) = −1, β = g(1) = 3
g(x)的反函数为:
x = y −1, 2
⎛ ⎜ ⎝
y
−1 2
⎞′ ⎟ ⎠
=
1 2
由定理2.4.1, ∴ Y=g(X)有概率密度函数:
第二章 随机变量
2.1 随机变量的概念 2.2 离散型随机变量 2.3 连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
§2.4 随机变量函数的分布
问题的提出
在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。
D
如:
已知圆轴截面直径
D
的分布,求截面面积
A
=
π
⎜⎛
D
2
⎞ ⎟
⎝2⎠
的分布。
一般地，设随机变量 X 的分布已知， 求Y = g(X) (设 g 是连续函数) 的分布。
作业：2.18；2.20（1）；2.21
fY
(
y)
=