混合策略纳什均衡概述
混合策略纳什均衡
02
混合策略纳什均衡的基本理论
纳什均衡的定义与性质
纳什均衡的定义
在博弈中，如果每个玩家都采取自己的最优策略，那么整个博弈会达到一种均 衡状态，即所有参与者的利益达到最大化。
纳什均衡的性质
纳什均衡是一种自我稳定的状态，即使受到外部干扰，也会迅速恢复到原始状 态。此外，纳什均衡也是最优的，因为它使得每个参与者的利益都达到最大化 。
其次，现有的研究往往只关注特定的博弈模型， 对于更一般化的博弈模型，尤其是对于连续型博 弈和多阶段博弈的研究还比较缺乏。
首先，混合策略纳什均衡的概念和性质仍需进一 步深化和研究。例如，对于非完全信息博弈，如 何准确地刻画混合策略纳什均衡点的数量和分布 等问题仍需探索。
最后，现有的研究主要集中在理论层面，对于如 何将混合策略纳什均衡应用到实际问题中，如何 设计和制定有效的混合策略等问题还需要进一步 探讨。
未来研究方向与挑战
未来研究可以进一步拓展混合策略纳什均衡的应用领域，例如在经济学、政治学、社会学等领域的应 用。
另外，针对现有的研究不足，未来研究可以深入探索混合策略纳什均衡的性质和计算方法，以及如何设 计和制定有效的混合策略等问题。
此外，未来的研究还可以进一步拓展混合策略纳什均衡的理论框架，例如在多阶段博弈、不完全信息博 弈、非线性博弈等领域的研究。
略纳什均衡来分析。
在生物学领域的应用
在生物学中，混合策略纳什均衡可以用来研究生物种 群的进化稳定性和生态平衡。
在生态系统中，生物种群可以通过选择不同的繁殖、 迁徙、捕食等策略来适应环境变化，这种博弈关系可 以通过混合策略纳什均衡来分析。
在其他领域的应用
在社会学中，混合策略纳什均衡可以用来研究社会群 体中的合作与竞争关系。
混合策略纳什均衡名词解释
混合策略纳什均衡名词解释
嘿，朋友们！今天咱来聊聊混合策略纳什均衡！这可不是什么晦涩难懂的概念哦。
想象一下，在一个竞争的场景里，就像一场激烈的游戏，大家都在绞尽脑汁地想着怎么出招。
混合策略纳什均衡呢，就是在这种情况下，各方参与者都没办法通过单独改变自己的策略来获得更好的结果。
它就好像是一场微妙的平衡舞蹈！每个人都要在不同的选择之间跳跃，找到那个最合适的组合。
不是单纯地选择一个固定的策略，而是有时候这样，有时候那样，让对手捉摸不透。
好比是下棋，你不能总是走同样的几步，得灵活多变，根据对手的反应随时调整。
而且啊，这个均衡可不是那么容易达到的哦，需要各方参与者不断地试探、博弈。
它不是那种一眼就能看穿的简单玩意儿，而是隐藏在复杂的互动之中。
就像在迷雾中寻找方向，需要耐心和智慧。
在现实生活中，混合策略纳什均衡也无处不在呢！商业竞争中，企业要考虑怎么定价、怎么推广，不就是在寻找这种微妙的平衡吗？政治博弈中，各方势力也在不断调整策略，试图达到对自己最有利的状态。
甚至在我们的日常生活中，比如和朋友玩游戏，或者在一些选择中纠结，都能看到混合策略纳什均衡的影子。
它让我们明白，有时候没有绝对的最佳策略，只有在不断变化中找到的相对平衡。
混合策略纳什均衡就是这么神奇，这么有趣！它让我们看到了竞争和互动的复杂性，也让我们更加懂得如何在各种情况下做出明智的选择。
所以啊，别小瞧了这个概念，它可是有着大用处呢！。
混合策略纳什均衡例子
混合策略纳什均衡例子混合策略纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，指的是各参与者选择一个概率分布作为他们的策略，从而达到一个稳定的状态。
在混合策略纳什均衡中，没有任何参与者可以通过单独改变自己的策略来获得更好的结果。
一个经典的混合策略纳什均衡的例子是“岩石-剪刀-布”游戏。
在这个游戏中，两个参与者（称为玩家1和玩家2）可以选择出岩石、剪刀或布中的任意一种。
每一种选择都有一定的胜负规则：岩石胜剪刀，剪刀胜布，布胜岩石。
假设玩家1选择出岩石、剪刀和布的概率分别为p1、q1和r1，玩家2选择出岩石、剪刀和布的概率分别为p2、q2和r2。
两个玩家的利益可以用一个支付矩阵表示如下：| 岩石 | 剪刀 | 布-----------------------------岩石 | 0 | -1 | 1-----------------------------剪刀 | 1 | 0 | -1-----------------------------布 | -1 | 1 | 0在混合策略纳什均衡中，每个玩家选择的概率分布必须使得对于每一种选择，玩家都不希望改变自己的概率分布。
在这个例子中，我们可以通过计算来找到混合策略纳什均衡。
假设玩家1选择出岩石的概率为p1，则选择剪刀的概率为q1=1-p1-0=1-p1，选择布的概率为r1=0-0=0。
同样地，玩家2选择出岩石的概率为p2，则选择剪刀的概率为q2=1-p2-0=1-p2，选择布的概率为r2=0-0=0。
为了找到混合策略纳什均衡，我们需要检查每一种选择，并确保玩家对于每一种选择都不希望改变自己的概率分布。
在这个例子中，无论玩家1选择什么概率分布，玩家2都可以通过选择相应的概率分布来获得更好的结果。
所以，不存在一个混合策略纳什均衡。
总结起来，混合策略纳什均衡是博弈论中一种稳定的策略选择状态，即不存在任何参与者可以通过单独改变自己的策略来获得更好的结果。
岩石-剪刀-布游戏是一个经典的混合策略纳什均衡的例子，其中玩家的选择概率分布是关键因素。
博弈论混合策略纳什均衡名词解释
博弈论混合策略纳什均衡名词解释博弈论混合策略纳什均衡是指在博弈论中，当参与者不能确定选
择某一个策略时，采取混合策略的情况下达到的均衡状态。
具体来说，混合策略是指在一个博弈中，参与者以一定的概率选
择不同的纯策略。
而纳什均衡是指在一个博弈中，参与者无法通过单
独改变自己的选择来获得更好的结果，即不存在任何参与者可以通过
改变自己的策略来让其他参与者不再选择当前策略。
混合策略纳什均衡是指游戏中所有参与者以一定的概率选择不同
的纯策略，并且这种概率分配对于所有参与者都是最优的。
也就是说，在混合策略纳什均衡下，参与者没有更好的选择可供其采取，而其他
参与者也没有更好的概率分配可供其选择。
拓展：
在博弈论中，还有许多其他类型的均衡概念，例如纯策略纳什均衡、帕累托均衡、部分均衡等等。
纯策略纳什均衡是指游戏中参与者
以确定性的纯策略进行选择，使得没有参与者可以通过改变其策略来
获得更好的结果。
帕累托均衡是指在一个博弈中，不存在可以改善任
何一个参与者的情况。
部分均衡是指只有某些参与者达到均衡状态，而其他参与者未达到均衡状态。
博弈论是研究决策制定者在相互影响下进行决策的数学工具。
通过分析不同的博弈策略和可能的结果，博弈论可以帮助我们理解冲突和合作的情况，并提供一些决策建议。
第三讲_混合策略纳什均衡
混合策略
◆混合策略定义：在n人博弈的策略式表述 G S1, , Sn ; u1, , un Si Si1, , SiK ，那么，概率 中，假定参与人 i 有K个纯策略： 分布 pi pi1 , , piK 称为 i 的一个混合策略，这里
pik p(sik ) 是 i 选择 sik 的概率，对于所有
这个故事曾经被很多人当作博弈论的例 子来演绎，但实际上这个故事与博弈论无关。 博弈论会假定所有局中人都是理性的，不能假 定一些局中人聪明而另一些局中人却是傻子。 当田忌出下马时，齐威王最好的选择是出下马 而不是上马。孙膑的计谋中假定齐威王是傻子 ，当田忌出下、上、中马时，他仍然按上、中 、下马出，当然要输了。事实上，当田忌出下 马时，齐威王应出下马，但齐威王出下马时， 田忌不应出下马而是出中马，但此时齐威王又 应出中马而不是下马了，……。这样，博弈不 会有纯战略的均衡。
-2，3
2，2
假定老板选择混合战略（0.2，0.8) 工人选择“偷懒”期望支付为(-1)×0.2+3×0.8=2.2 工人选择“不偷懒”（期望）支付为2×0.2+2×0.8=2 工人应选择“偷懒” 老板选择“监督” “不偷懒’……
假定老板选择混合战略（0.5， 0.5) 工人选择“偷懒”期望支付 0.5 为 (-1)×0.5+3×0.5=1 工人选择“不偷懒”期望支 0.5 付为2×0.5+2×0.5=2 工人应选择“不偷懒” 老板选择“不监督” 工人选择“偷懒’……
由 VA =VB 可得 ：q=0.8 博弈方2：
VB =3q (1 q)
博 弈 方 1
A B
VC =3 p (1 p)
VD =2 p 5(1 p)
混合策略纳什均衡
类似地，令参与人2的纯战略期望效用相等得q ： 1 2
2019/11/29
20 EXIT
社会福利博弈
假定最优混合策略存在，给定流浪汉选择混合策略
( ,1 )
政府选择纯策略救济的期望效用为：
3 (1)(1 ) 4 1
理学院 顾聪 gucong@
EXIT
4.1 严格竞争博弈和混合策略
1. 混合策略的提出——猜硬币博弈
两个参与人各拿一枚硬币，并选择出正面向上还是反面向上。若两枚硬币 是一致的(即全部正面或全部反面)，则参与人2赢走参与人1的硬币；若两 枚硬币不一致(一正一反)，参与人1赢得参与人2的硬币。支付矩阵如下：
• 这样，我们得到一个混合策略组合，每一个参与人的混合策略都是给 定对方混合策略是的最优选择，从而构成混合策略纳什均衡。
策略 期望收益 政府 (0.5, 0.5) -0.2 流浪汉 (0.2, 0.8) 1.5
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11 EXIT
既然参与人在构成混合策略时选择不同纯策略之间是无差异的，他 为什么不选择一个特定的纯策略而要以特定的概率随机地选择不同的纯 策略呢？一个参与人选择混合策略目的是给其他参与人造成不确定性。
2019/11/29
5 EXIT
• 混合策略扩展博弈：
博弈方在混合策略的策略空间(概率分布空间)的选择看作一个博弈，就 是原博弈的“混合策略扩展博弈”。
• 混合策略纳什均衡(MNE)：
由最优的混合策略构成的混合策略组合：
* (* , * ,, * )
12
n
即，如果对于所有的 i 1，2， ，n，有
E1(正面)=(-1)×r+1×(1-r)=1-2r 参与人1选取反面的期望效用为
混合策略纳什均衡
03 混合策略纳什均衡的证明 方法
反证法
总结词
通过假设不成立来证明均衡的存在。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，它首先假设与结论相反的命题成立，然后通过逻辑推理和数学推导，得出矛盾的 结论，从而证明原命题的正确性。在证明混合策略纳什均衡的存在时，反证法可以用来证明当其他玩家采取了最 优策略时，某个玩家采取混合策略能够达到最优结果。
唯一性意味着在给定对手策略的情况下，每个参与者都只有一个最优反应，从而 避免了复杂的策略互动和不确定性。
存在性
混合策略纳什均衡的存在性是指在某 些博弈中，至少存在一个策略组合， 使得每个参与者在给定其他参与者策 略的情况下，采用混合策略是最优的 。
存在性通常通过数学证明和计算机搜 索等方法来证明，但并不是所有博弈 都有混合策略纳什均衡。
混合策略纳什均衡
目录
CONTENTS
• 混合策略纳什均衡的定义 • 混合策略纳什均衡的特性 • 混合策略纳什均衡的证明方法 • 混合策略纳什均衡的应用场景 • 混合策略纳什均衡的局限性 • 混合策略纳什均衡的发展前景
01 混合策略纳什均衡的定义
定义
混合策略纳什均衡是一种博弈论中的均衡概念，它描述了在 给定对手策略的情况下，参与者如何选择最优策略以最大化 自己的期望收益。
代数法是一种通过数学符号和公式进行推 理和证明的方法。在证明混合策略纳什均 衡的存在时，代数法可以用来推导和证明 纳什均衡的条件和性质，利用代数性质和 技巧来证明均衡的存在。
04 混合策略纳什均衡的应用 场景
经济学
竞争策略分析
混合策略纳什均衡在经济学中被用于分析竞 争策略，特别是在不完全竞争市场和寡头垄 断市场中。通过混合策略纳什均衡，可以研 究企业在不确定环境下的最优反应，以及企 业如何通过调整其策略来应对竞争对手的行 为。
混合纳什均衡
混合纳什均衡混合纳什均衡是一种多人博弈模型，也被称为“混合博弈”，可以模拟多方参与者协商、合作和竞争的过程。
这种理论是基于纳什均衡的，在纳什均衡中，每个参与者都有唯一的利益，各参与者的最优策略协作，从而达到最大的利益。
混合纳什均衡是一种非零和纳什均衡，这意味着在一局游戏中，所有参与者可以实现共赢的结果，而不是某些参与者的利益以牺牲其他参与者的利益为代价。
这种理论很有用，因为它可以帮助参与者解决复杂的多方协商问题，降低买卖双方的损失。
混合纳什均衡有三类参与者：合作者、竞争者和不确定者。
这三类参与者行为的不同可能会影响混合纳什均衡的最终结果。
首先，合作者是指参与者之间相互合作，面对游戏的结果，合作者会达成有利于双方的互惠交易。
其次，竞争者是指参与者之间存在竞争，他们拼劲、追求自身最大利益，甚至牺牲他人利益也在所不惜。
最后，不确定者是指参与者对其他参与者的行为不太清楚，不确定者在游戏中会被动地接受其他参与者的影响，不会太过激进地为自身争取利益。
混合纳什均衡的应用非常广泛，它可以用来模拟经济、政治和外交等领域中的多方协商。
例如，混合纳什均衡可以用来模拟多个国家的贸易谈判，各国可以混合地拼争，双赢共赢的结果也可以从混合纳什均衡中获得。
此外，混合纳什均衡还可以用于多方竞争，各参与者一方面决策自身利益，另一方面也考虑到他人利益，以免损害自己的利益。
混合纳什均衡由一系列经典模型构成，例如拉斯维加斯博弈、巴斯-马丁斯博弈、多人贪心渐近博弈和贝叶斯优化博弈等等。
这些经典模型可以帮助参与者更容易地找到最大利益的解决方案，从而使参与者可以面对复杂的多方协商游戏实现共赢。
混合纳什均衡受到了日益普及和重视。
从商业活动到政治事务，混合纳什均衡已经被广泛地应用，而且也取得了许多成功案例。
在政治领域，混合纳什均衡可以帮助各个利益派系达成协议，减少谈判的紧张和矛盾，从而使多方收获相对平衡的政治结果。
此外，混合纳什均衡也有不足之处，例如模型的复杂性使得集成分析变得更加困难，可能引发新的潜在问题，而且由于参与者的利益不断变化，使用混合纳什均衡可能无法达到预期的最终结果。
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为G的混合策略纳什均衡
13
第二节 研究方法：反应函数法
❖ ——最佳反应函数曲线交叉法
❖ 一、案例：麦琪的礼物
❖
Dela
❖
剪发q 保留（1-q）
❖
卖表p
❖ Jim
❖ 保留（1-p）
2020/4/29
博弈论第三章
19
第一讲 概念与方法
友军博弈
❖
英
❖
支持巴顿
❖ 支持巴顿
❖ 美国
❖ 支持蒙帅
国 支持蒙帅
2020/4/29
博弈论第三章
20
第一讲 概念与方法
友军博弈特征
两个（多个）纳什均衡 问题：博弈的最终结果？
2020/4/29
博弈论第三章
21
第一讲 概念与方法
第三章 混合策略纳什均衡
2020/4/29
博弈论第三章
15
第一讲 概念与方法
二、研究方法：反应函数法
❖ 三、反应函数 ❖ 1.Jim：Dela剪发的概率越小，Jim卖表越
好 UJim=2p(1-3q)+2q
1,i f q1/3,此时 13q0, p越大越好 p[0,1],ifq1/3
0,i f q1/3,此时 13q0, p越小越好
社会福利博弈的特征
❖ 不存在纳什均衡 ❖ 类似：父母与啃老族 ❖ 回望：另一个不正常的博弈
情侣博弈——两个纳什均衡
2020/4/29
博弈论第三章
1
第一讲 概念与方法
思考
如何分析“不存在”纳什均衡或存 在多个纳什均衡的博弈？
2020/4/29
博弈论第三章
2
第一讲 概念与方法
第三章 混合策略纳什均衡
第一节 基本概念：混合策略与期 望支付
2020/4/29
博弈论第三章
3
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
❖ 一、混合策略
❖ （一）案例：小偷与守卫的猫鼠博弈
❖
守卫
❖
睡 不睡
❖
偷
❖
小偷
❖
不偷
4
小偷与守卫博弈
无纳什均衡，如何分析？
2020/4/29
博弈论第三章
5
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
❖ 1.交点（1，0） p
双方支付为2
1
❖ 2.交点（0，1）
互相为对方着 想，期望支付
变小
双方支付为2
❖ 3.交点（1/3，1/3）
双方支付为2/3
1/3
2020/4/29
1/3
博弈论第三章 第一讲 概念与方法
q 1
18
作业
❖ 利用反应函数法求解“社会福利博弈”
是否需要调整数据？ 可得出有关社会保障体系改革的结论？
2020/4Biblioteka 29博弈论第三章11
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
❖ 二、期望支付 ❖ （二）数学刻画
mn
1 ( p, q )
pi q j aij
i 1 j 1
mn
2( p, q )
pi q j bij
i 1 j 1
12
❖第三、一混节合策混略纳合什策均衡略与期望支付
❖ 给 以定及策混略合式策博略弈 组合G=p｛*=S（1，p1…*,…,S,np;iu*,1…,…p,nu*n）｝ ❖ 对于所有i和pi∈∑i， ∑i——i的混合策略
第三节 多重纳什均衡的选择标准
2020/4/29
博弈论第三章
22
第一讲 概念与方法
第三节 多重纳什均衡的选择标准
❖ 一、帕累托优势标准：得益更大
❖ （一）案例：战争与和平
❖
C国
❖
鹰战略 鸽战略
❖
鹰战略
❖ A国
❖
鸽战略
2020/4/29
博弈论第三章
23
第一讲 概念与方法
第三节 多重纳什均衡的选择标准
10
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
❖ 二、期望支付
❖ （一）分析
❖ 2.期望支付 ❖ U小偷=8pq+（-2）p(1-q)+0(1-p)q+0(1-p)(1-
q)=2p(5q-1) ❖ U守卫= （-2） pq+0p(1-q)+8(1-p)q+0(1-p)(1-
q)=2q(4-5p)
2020/4/29
博弈论第三章
7
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
❖ 一、混合策略 ❖ （二）混合策略 ❖ 2.相对概念：纯策略 ❖ 每个参与人的非随机性选择
纯粹行动计划，p=100%,1-p=0
2020/4/29
博弈论第三章
8
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
❖ 一、混合策略
❖ 一、混合策略
❖ （二）混合策略
❖ 1.表述
参与人按照一定概率，随机从策略组合中选择一 种策略作为实际行动
❖ 随机行动的目的：使自己的行为不被对手预 测
2020/4/29
博弈论第三章
6
第一讲 概念与方法
混合策略
❖ 小偷的混合策略
以p的概率偷，（p，1-p）
❖ 守卫的混合策略
以q的概率睡（q，1-q）
❖ 一、帕累托优势标准：得益更大 ❖ （二）纳什均衡的选择标准
帕累托优势标准
❖ 按照支付大小筛选纳什均衡
2020/4/29
博弈论第三章
24
第一讲 概念与方法
第三节多重纳什均衡的选择标准
❖ 二、风险优势标准：风险更小？
16
二、研究方法：反应函数法
❖ 三、反应函数 ❖ 2. Dela ： Jim卖表的概率越小， Dela 剪
发越好 UDel=2q(1-3p)+2p
1,ifp1/3,此时 13p0,q越大越好 q[0,1],ifp1/3
0,ifp1/3,此时 13p0,q越小越好
17
❖ 四二、、反应研函究数曲方线法：反应函数法
2020/4/29
博弈论第三章
9
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
❖ 二、期望支付 ❖ （一）分析 ❖ 1.概率 ❖ （偷，睡）的概率：pq ❖ （偷，不睡）的概率：p(1-q) ❖ （不偷，睡）的概率：(1-p)q ❖ （不偷，不睡）的概率：(1-p)(1-q)
2020/4/29
博弈论第三章
❖ （二）混合策略
❖ 3.数学刻画
❖ 给定博弈G=｛S1，…,Sn;u1,…,un｝以及参 与人i的纯策略Si= ｛si1,…,sik｝
❖ 概率分布pi=（pi1,…,pik）为混合策略 ❖ 其中：0≤ pik ≤1，∑ pik=1， pik=p（ sik ） ❖ 混合策略组合p=（p1,…,pi,…pn）
14
二、研究方法：反应函数法
❖ 二、期望支付
❖ 1.UJim=(-2)pq+2p(1-q)+2(1-p)q+0(1-p)(1q)=2p(1-3q)+2q
整理原则：一项含p，一项不含p
❖ 2.UDel=(-2)pq+2p(1-q)+2(1-p)q+0(1-p)(1q)=2q(1-3p)+2p
整理原则：一项含q，一项不含q