河南省南阳市宛城区2020年中考数学一模试卷(含答案解析)
河南省南阳市宛城区2020年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在下列四个数中，最小的数是()A. −2B. 2−1C. √3D. 02.5月5日，从省文化和旅游厅获悉，今年“五一”假期，全省累计接待国内游客1692.11万人次，实现旅游总收入79.26亿元．数据“79.26亿”用科学记数法表示为()A. 79.26×108B. 7.926×109C. 79.26×109D. 7.926×1083.一副直角三角板如图放置，其中∠C=∠DFE=90°，∠A=45°，∠E=60°，点F在CB的延长线上．若DE//CF，则∠BDF等于()A. 35°B. 30°C. 25°D. 15°4.下列运算正确的是()A. 2√2+3√3=5√5B. (a2)3=a5C. a3⋅a2=a5D. √6+√3=√25.如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看得到的图形，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中从正面看相同的是()A. 仅有甲和乙相同B. 仅有甲和丙相同C. 仅有乙和丙相同D. 甲、乙、丙都相同6.如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”(作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等)，A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O.若线段AB=4cm，则线段CD长为()A. 4cmB. 5cmC. 6cmD.8cm7.关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+k=0的根的情况是()A. 有两不相等实数根B. 有两相等实数根C. 无实数根D. 不能确定8.如图：已知菱形ABCD的顶点B(−2,0)，且∠ABC=60°，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为()A. (1,√3)B. (1,2)C. (12,1)D. (12,√3)9.为迎接文明城市的验收，某居委会组织了“垃圾处理”和“违规停车”两个检查组，分别对辖区内甲、乙、丙三个小区中的一个进行随机抽查，则两个检查组恰好抽到同一个小区的概率是()A. 23B. 49C. 13D. 1910.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是()A. πB. π+5C. 14−π4D.10−π4二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.计算：(−2020)0−√−83=______．12.九年级2班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中，第1小组对应的圆心角度数是______．13.在平面直角坐标系中，将抛物线y=(x+1)2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是______．14.如图，在Rt△ABC中，点D为AC边中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x变化的函数关系如图2所示，则边BC的长为______．15.在矩形纸片ABCD中，AB=9，BC=15，沿着过该矩形顶点的一条直线将∠B折叠，当B的对应点恰好落在矩形的边AD上时，折痕的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.先化简，再求值：(1−x2x2+x )÷x2−1x2+2x+1，其中x的值从不等式组{2x−1<52−x≤3的整数解中选取．17.为进一步推动各级各类学校新型冠状病毒肺炎疫情防控工作，向广大教职工和学生普及新型冠状病毒肺炎疫情防控知识，做好师生返校前的卫生安全防护教育，上好开学第一课，省教育厅要求各级各类学校认真学习相关资料．某中学为了解学生的学习成果，对学生进行了新型冠状病毒肺炎防控知识测试，德育处随机从七、八两个年级各抽取20名学生的答卷成绩(单位：分)进行统计、分析，过程如下：收集数据八年级：858095100909585657585959070901008080909575806080956510090858580957580907080957510090成绩x(分)60≤x≤7070<x≤8080<x≤9090<x≤100人数年级八年级25a b七年级3755统计量平均数中位数众数八年级85.7587.5c七年级83.5d80(1)填空：a=______，b=______，c=______，d=______；(2)看完统计数据，你认为对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好的年级是______；(3)若八年级共有500人参与答卷，请估计八年级成绩大于90分的人数；(4)在这次测试中，八年级学生甲与七年级学生乙的成绩都是85分，请判断两人在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AB上，以线段OB的长为半径的⊙O与AC相切于点D，⊙O分别交BC、AB于点M、N，连接ND并延长交BC延长线于点P．(1)求证：∠BOD=2∠P；(2)已知⊙O的半径为5．①若AN=8，则DC=______；②连接DM，当AN=______时，四边形OBMD是菱形．19.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求乙建筑物的高度CD．(结果取整数，参考数据：tan58°≈1.60，tan48°≈1.11)．20.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂(x>0)的图象经过AO的中点C，直x轴于点B，反比例函数y=kx与边AB相交于点D，若D的坐标为(4,m)，AD=3．(1)求反比例函数y=k的解析式；x(2)经过C、D两点的直线的解析式是______；(3)设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，则△OEF面积的最大值是______．21.受“新冠”疫情影响，全国中小学延迟开学，很多学校都开展起了“线上教学”，市场上对手写板的需求激增．重庆某厂家准备3月份紧急生产A，B两种型号的手写板，若生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元．(1)请问生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本？(2)经测算，生产的A型号手写板每个可获利200元，B型号手写板每个可获利400元，该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，总获利w元，设生产了A型号手写板a个，求w 关于a的函数关系式；(3)在(2)的条件下，若要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．22.如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．(1)猜想：CD的值是______，直线CD与直线AE相交所成的锐角度数是______；AE(2)探究：直线DE与AF垂直时，求线段CD的长；(3)拓展：取AE的中点M，连接FM，直接写出线段FM长的取值范围．23.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是y轴正半轴上的一点，OM=√2，点Q在对称轴左侧的抛物线上运动，直线OQ交抛物线的对称轴于点N，连接MN，当MN平分∠OND时，求点Q的坐标；(3)直线AC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，当△PCE与△BCD全等时，请直接写出点P的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵−2<0<2−1<√3，∴最小的数是−2．故选：A．根据实数的大小比较法则(正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小)比较即可．本题考查了实数的大小比较法则的应用，主要考查学生的理解能力和比较能力，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．2.答案：B解析：解：79.26亿=7926000000=7.926×109．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.答案：D解析：解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°，∵DE//CB，∴∠BDE=∠ABC=45°，∴∠BDF=45°−30°=15°．故选：D．直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE=45°，进而得出答案．此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE的度数是解题关键．4.答案：C解析：解：A、2√2和3√3不是同类二次根式，不能合并，故原题计算错误；B、(a2)3=a6，故原题计算错误；C、a3⋅a2=a5，故原题计算正确；。
【附5套中考模拟试卷】河南省南阳市2019-2020学年中考数学一模试卷含解析
河南省南阳市2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列说法中正确的是（）A．检测一批灯泡的使用寿命适宜用普查.B．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是12，如果抛掷10次，就一定有5次正面朝上.C．“367人中有两人是同月同日生”为必然事件.D．“多边形内角和与外角和相等”是不可能事件.2．2022年冬奥会，北京、延庆、张家口三个赛区共25个场馆，北京共12个，其中11个为2008年奥运会遗留场馆，唯一一个新建的场馆是国家速滑馆，可容纳12000人观赛，将12000用科学记数法表示应为（）A．12×103B．1.2×104C．1.2×105D．0.12×1053．下列实数0，23，3，π，其中，无理数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）A．y1B．y2C．y3D．y45．cos60°的值等于（）A．1 B．12C．22D．326．如图，二次函数y=ax1+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=1，且OA=OC．则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＞0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax1+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣1a；⑤抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x1，y1），若x1＜1＜x1，且x1+x1＞4，则y1＞y1．其中正确的结论有（）A ．1个B ．3个C ．4个D ．5个7．计算4×（–9）的结果等于 A ．32B ．–32C ．36D ．–368．某机构调查显示，深圳市20万初中生中，沉迷于手机上网的初中生约有16000人，则这部分沉迷于手机上网的初中生数量，用科学记数法可表示为（ ） A ．1.6×104人B ．1.6×105人C ．0.16×105人D ．16×103人9．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是( )A ．8374y x y x -=⎧⎨-=⎩B ．8374y x x y -=⎧⎨-=⎩C ．8374x y y x -=⎧⎨-=⎩D ．8374x y x y -=⎧⎨-=⎩10．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3tan 3CAB ∠=，3AB =，点D 在以斜边AB 为直径的半圆上，点M 是CD 的三等分点，当点D 沿着半圆，从点A 运动到点B 时，点M 运动的路径长为（ ）A ．π或2πB ．2π或3π C ．3π或π D ．4π或3π 11．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，点E 在边BC 上，若AE 平分∠BED ，则BE 的长为（ ）A ．35B ．938C ．7D ．4﹣712．某公司第4月份投入1000万元科研经费,计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,则所列方程正确的为( ) A ．1000(1+x)2=1000+500 B ．1000(1+x)2=500 C ．500(1+x)2=1000 D ．1000(1+2x)=1000+500二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长为__cm ．14．垫球是排球队常规训练的重要项目之一．如图所示的数据是运动员张华十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．则运动员张华测试成绩的众数是_____．15．若反比例函数2ky x-=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是__. 16．抛物线221y mx mx =++（m 为非零实数）的顶点坐标为_____________. 17．如果75x 3n y m+4与﹣3x 6y 2n 是同类项，那么mn 的值为_____．18．使得关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负整数，且使得关于x 的不等式组322144x x x k+≥-⎧⎨-≤⎩有且仅有5个整数解的所有k 的和为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图①，在正方形ABCD 中，点E 与点F 分别在线段AC 、BC 上，且四边形DEFG 是正方形．（1）试探究线段AE 与CG 的关系，并说明理由．（2）如图②若将条件中的四边形ABCD 与四边形DEFG 由正方形改为矩形，AB=3，BC=1．①线段AE 、CG 在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由．②当△CDE 为等腰三角形时，求CG 的长．20．（6分）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，AC ＝8，cos ∠BAC ＝513，BD ⊥AC ，垂足为点D ，E 是BD 的中点，联结AE 并延长，交边BC 于点F ． （1）求∠EAD 的余切值； （2）求BFCF的值．21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，与反比例函数()0my m x=≠的图象交于C 、D 两点.已知点C 的坐标是（6，-1），D （n ，3）.求m 的值和点D 的坐标.求tan BAO ∠的值.根据图象直接写出：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？22．（8分）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x 元（x 为偶数），每周销售为y 个．（1）直接写出销售量y 个与降价x 元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W 元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？ （3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？23．（8分）如图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，∠CBA ＝50°，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，点E 在边AC 上，且满足ED ＝EA ． （1）求∠DOA 的度数；（2）求证：直线ED 与⊙O 相切．24．（10分）已知，数轴上三个点A 、O 、P ，点O 是原点，固定不动，点A 和B 可以移动，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b .（1）若A 、B 移动到如图所示位置，计算+a b 的值.（2）在（1）的情况下，B 点不动，点A 向左移动3个单位长，写出A 点对应的数a ，并计算b a -. （3）在（1）的情况下，点A 不动，点B 向右移动15.3个单位长，此时b 比a 大多少？请列式计算.25．（10分）某市政府大力支持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量Y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y ＝﹣10x+1．设李明每月获得利润为W （元），当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？根据物价部门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润2000元，那么销售单价应定为多少元？ 26．（12分）如图，已知抛物线21322y x x n =--（n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C 。
2020年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷（解析版）
2020年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷一、选择题（共io小题）.1.在下列四个数中，最小的数是（）A.・2B.21C.扼D.02.5月5日，从省文化和旅游厅获悉，今年“五一”假期，全省累计接待国内游客1692.11万人次，实现旅游总收入79.26亿元.数据“79.26亿”用科学记数法表示为（）A. 79.26X1（）8B.7.926X109C.79.26X10"D.7.926X1083.一副直角三角板如图放置，其中ZC=ZDFE=90°,ZA=45°,ZE=60°，点F在的延长线上.若DE〃CF,则/BDF等于（）A.35°B.30°C.25°D.15°4.下列运算正确的是（）A.扼=5戏B.（/）3=/C./d.V6+V3=V25.如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数.其中主视图相同的是（）甲乙丙A.仅有甲和乙相同B.仅有甲和丙相同C.仅有乙和丙相同D.甲、乙、丙都相同6.如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“X”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B.C、D.O都在横格线上，旦线段AD.RC 交于点O.若线段AB=4cm9则线段CD长为（）A BOA・4cm C.6c'm D.8cwB.5cm7.关于A•的一元二次方程X2-（奸3）i+k=0的根的情况是（A.有两不相等实数根B.有两相等实数根C.无实数根D,不能确定8.如图：己知菱形砧CD的顶点8（・2,0）.HZABC=60£,点A在），轴的正半轴上.按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边A8、BC于廉M、N：②分别以点M、N、为圆心，大的长为半径作弧，两弧在匕ABC内交于点R③作射线8P.交菱形的对角线AC于点E,则点E的坐标为（A.(L73)B.<1.2)C.(志1)D.（成,v危）9.为迎接文明城巾的验收,某居委会组织了“垃圾处理”和“违规停车”两个检查组,分别对辖区内甲、乙、丙三个小区中的一个进行随机抽查，则两个检查组恰好抽到同一个小区的概率是（B•音C4a 2.A'310.如图，在RlAAOB中，ZAOB=90°,OA=2.OB=1,将RtAAOB绕点。
2020年南阳市中考数学模拟试卷带答案
∠CAE=55°，最后根据三角形外角的性质即可求得答案.
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠C=180°，
∵∠C=70°，
∴∠CAB=180°-70°=110°，
又∵AE 平分∠BAC， ∴∠CAE=55°，
∴∠AED=∠C+∠CAE=125°，
故选 B. 【点睛】 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解 题的关键.
2a
以 D 正确，故选 D.
考点：二次函数的图象及性质.
2．B
解析：B 【解析】
【分析】
由题意可知 A= 1 （1 1 ) ，再将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算， x 1 x 1
再用分式的乘法法则计算即可得到结果．
【详解】
解：A=
1 1 x 1
1 x 1
=
1 x 1
x x 1
=
x x2 1
已知关于 x 的方程 x m 3m =3 的解为正数， x3 3x
所以﹣2m+9＞0，解得 m＜ 9 ， 2
当 x=3 时，x= 2m 9 =3，解得：m= 3 ，
2
2
所以 m 的取值范围是：m＜ 9 且 m≠ 3 ．
2
2
故答案选 B．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
由 AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CAB=110°，再由角平分线的定义可得
16．分式方程 3 2x + 2 =1 的解为________. x2 2x
17．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为边 BC 的中点，点 P 在对角线 BD 上移动，则 PE+PC 的最小值是 ．
河南省2020年九年级一摸数学试卷参考答案及评分标准
河南省2020年中考数学一摸数学试卷参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分）11. 0 12. ︒145 13. 0 , 1 , 2 14. 233-π 15. 3或326-部分选择题、填空题答案解析7.已知关于x 的一元二次方程()01212=-++x x k 有实数根,则k 的取值范围是【 】（A ）k ≥2- （B ）k ≥2-且1-≠k （C ）k ≥2 （D ）k ≤2- 解析:本题为易错题,易忽视二次项系数不等于0这个限制条件.∵该方程是有实数根的一元二次方程∴()⎩⎨⎧≥++=∆≠+0142012k k 解之得:k ≥2-且1-≠k . ∴选择答案【 B 】.9. 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,点B 的坐标为()2,1,过点B 作y BA ⊥轴于点A ,连结OB ,将△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转︒45,得到△''OB A ,则点'B 的坐标为 【 】（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,2 （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,223 （C ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,3 （D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,223 第 9 题图解析:本题考查图形的变换与点的坐标,是河南中考的必考内容.如图所示,作出旋转后的△''OB A ,过点','B A 分别作x C A ⊥'轴,x D B ⊥'轴,作C A E B ''⊥,由题意可知,△OC A '和△E B A ''均为等腰直角三角形.∵()y AB B ⊥,2,1轴∴1'',2'====B A AB OA OA ∴2222''====OA C A OC 22212''''=====B A CD E B E A ∴223222=+=+=CD OC OD 22222'''=-=-==E A C A D B CE ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,223'B . 重要结论 等腰直角三角形的斜边长是直角边长的2倍.10. 如图1所示,在矩形ABCD 中,点E 在AD上,△BEF 为等边三角形,点M 从点B 出发,沿B →E →F 匀速运动到点F 时停止,过点M 作AD MP ⊥于点P ,设点M 运动的路径长为x ,MP 的长为y ,y 与x 的函数图象如图2所示,当3310=x cm 时,则MP 的长为【 】 图 1PMFEDC BA图 2/ cm（A ）233cm （B ）32cm （C ）3cm （D ）2 cm解析:本题考查几何图形与函数图象的关系,是河南中考的必考内容,难度较高,解题时要注意几何图形的变化与函数图象的变化之间的对应关系,尤其要注意几何图形上特殊点与函数图象上的特殊点所代表的意义. 由题意可知,等边△BEF 的边长为32cm ∵3310=x cm 32>cm ∴此时点M 在EF 边上,如下图所示.P MFEDC BA在Rt △PEM 中334323310=-=EM cm,︒=∠60PEM ∵EM MPPEM =∠sin∴22333460sin =⨯=︒⋅=EM MP cm ∴选择答案【 D 】.14. 如图所示,四边形OABC 为菱形,2=OA ,以点O 为圆心,OA 长为半径画弧AE ,弧AE 恰好经过点B ,连结OE ,BC OE ⊥,则图中阴影部分的面积为_________.解析:本题考查与圆有关的阴影面积的计算,是河南中考的必考内容.阴影部分面积的计算都要涉及到扇形面积的计算,所以要熟记扇形面积的计算公式:3602r n S π=扇形.注意添加半径的辅助线,来构造出扇形.第 14 题图连结OB ,设OE 与BC 交于点F ,则有:OABF AOE S S S 梯形扇形阴影-=由题意和作图可知,△AOB 和△BOC 均为等边三角形,︒=∠90AOE .∴312,12122=-===OF BC BF ∴()23213602902⨯+-⨯⨯=π阴影S 233-=π.15.如图,在等边△ABC 中,232+=AB , 点D 在边AB 上,且2=AD ,点E 是BC 边上一动点,将B ∠沿DE 折叠,当点B 的对应点'B 落在△ABC 的边上时,BE 的长为_________.解析:本题考查与动点有关的几何图形的折叠,是河南中考必考内容,难度大,考虑到答题的时限性和此类题目的难度,不建议学生在此类题目上花费太多的时间.此类题目的结果不唯一,需要根据不同的折叠情况分类讨论.本题折叠的结果分为两种情况:点'B 落在BC 边上和点'B 落在AC 边上.①当点'B 落在BC 边上时,如图1所示.图 1CE DB'BA由折叠可知,D B BD '= ∵︒=∠60B∴△'BDB 是等边三角形 ∴322232=-+==BD BE ;②当点'B 落在AC 边上时,如图2所示.F 图 2CE DB'BA先说明此时AB D B ⊥'. 作AB DF ⊥,在Rt △ADF 中3260tan =︒⋅=AD DF由折叠可知:32'==D B BD ∴DF D B =',显然,点'B 与点F 重合. ∴AB D B ⊥',从而AC E B ⊥' ∴42'==AD AB∴2324232'-=-+=C B 在Rt △CE B '中()326323260tan ''-=⨯-=︒⋅=C B E B ∴326'-==E B BE .综上所述,BE 的长为3或326-. 三、解答题（共75分） 16.（8分）先化简,再求值:x y x x y xy x 2222-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--, 其中32,32-=+=y x .解:x y x x y xy x 2222-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ()()()y x y x xxy x -+⋅-=2yx yx +-=…………………………………5分 当32,32-=+=y x 时原式2332323232=-+++-+=. ……………………………………………8分 17.（9分）解:整理数据 4 , 3; ……………………2分 分析数据 76; …………………………4分 得出结论（1）估计全校九年级成绩达到90分及以上的人数为1602541000=⨯（人）;……………………………………………6分 （2）从平均数评价:九年级和八年级成绩相同;从中位数评价:八年级的中位数较大,成绩优秀的人数较多;从方差评价:九年级方差大,成绩不稳定,八年级方差小,成绩稳定,故八年级的成绩比较好.……………………………………………9分 18.（9分）如图所示,已知反比例函数()0≠=k xky 与一次函数b ax y +=的图象相交于点()1,-n A ,()3,1B ,过点A 作y AD ⊥轴于点D ,过点B 作x BC ⊥轴于点C ,连结CD .（1）求反比例函数的解析式;（2）求四边形ABCD 的面积.解:（1）把()3,1B 代入x ky =得:331=⨯=k ∴反比例函数的解析式为xy 3=;……………………………………………3分 （2）把()1,-n A 代入xy 3=得:3-=n ∴()1,3--A延长AD ,交BC 的延长线于点E ,则有()431=--=-=-=A B A E x x x x AE ()413=--=-=-=A B E B y y y y BE1==DE CE……………………………………………7分∴CDE ABE ABCD S S S ∆∆-=四边形21511214421=⨯⨯-⨯⨯=.……………9分 19.（9分）如图所示,在△ABC 中,︒=∠90C ,点D 是AB 边上一点,以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ,与边BC 交于点F ,过点E 作AB EH ⊥于点H ,连结BE . （1）求证:BH BC =;（2）若4,5==AC AB ,求CE 的长.321OHFEDC A（1）证明:连结OE . ……………………1分 ∵OB OE = ∴21∠=∠ ∵AC 与⊙O 相切 ∴OE AC ⊥ ∵AC BC ⊥ ∴BC OE // ∴132∠=∠=∠ ∴BE 平分ABC ∠ 在△BCE 和△BHE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BE BE BHE BCE 13 ∴△BCE ≌△BHE （AAS ） ∴BH BC =;……………………………………………5分（2）解:设x CE =,则x EH =,x AE -=4. 在Rt △ABC 中,由勾股定理得:3452222=-=-=AC AB BC……………………………………………6分 由（1）可知:3==BC BH ∴235=-=-=BH AB AH .……………………………………………7分 在Rt △AEH 中,由勾股定理得:222AE AH EH =+∴()22242x x -=+,解之得:23=x . ∴23=CE .………………………………9分 20.（9分）如图所示,为了测量某矿山CH的高度,科考组在距离矿山一段距离的B 点乘坐直升机垂直上升2000米至A 点,在A 点,在A 点观察H 点的俯角为︒35,然后乘坐直升机从A 水平向前飞行500米到E 点,此时观察H 点的俯角为︒45,所有的点都在同一平面内,科考队至此完成了数据监测,请你依据数据计算科考队测得的矿山高度.（结果保留整数,参考数据:）41.12,70.035tan ,82.035cos ,57.035sin ≈≈︒≈︒≈︒解:作AB HP ⊥,延长CH 交AE 的延长线于点D ,则四边形APHD 为矩形. 设x CH =米,则x PB =米∴()x DH AP -==2000米 在Rt △DEH 中,∵︒=∠45DEH ∴()x DH DE -==2000米 ∴5002000+-=+=x AE DE AD ()x -=2500米.……………………………………………3分 在Rt △ADH 中 ∵ADDH=︒35tan ∴70.025002000≈--xx………………………6分解之得:833≈x .…………………………8分 ∴833≈CH 米.答:科考队测得的矿山高度约为833米. ……………………………………………9分 21.（10分）随着第27届信阳茶文化节发布会、固始西九华山第三届郁金香风情文化节等系列活动的成功举办,越来越多的游客想要到信阳游玩.小明所在的公司想在五一黄金周期间组织员工去信阳游玩,咨询了甲、乙两家旅行社,两家旅行社分别推出优惠方案（未推出优惠方案前两家旅行社的收费标准相同）.甲:购买一张团体票,然后个人票打六折优惠;乙:不购买团体票,当团体人数超过一定数量后超过部分的个人票打折优惠,优惠期间,公司的员工人数为x （人）,在甲旅行社所需总费用为y 甲（元）,在乙旅行社所需总费用为y 乙（元）,y 甲、y 乙与x 之间的函数关系如图所示.（1）甲旅行社团体票是_________元,乙旅行社团体人数超过一定数量后,个人票打_________折;（2）求y 甲、y 乙关于x 的函数表达式; （3）请说明小明所在的公司选择哪个旅行社出游更划算.解:（1）600 , 四;……………………………………………2分 提示:当人数x 小于或等于10时,乙旅行社的个人票为300103000=（元）,当人数超过10人时,个人票为=--102530004800120（元）,4.0300120=,所以乙旅行社团体人数超过10人时,个人票打四折.（2）6001806003006.0+=+⨯=x x y 甲. ……………………………………………4分 当0≤x ≤10时,设乙y 的解析式为x k y 1=乙. 把()3000,10代入x k y 1=乙得:3001=k . ∴x y 300=乙;当10>x 时,设乙y 的解析式为b x k y +=2乙. 把()3000,10,()4800,25分别代入得:⎩⎨⎧=+=+48002530001022b k b k ,解之得:⎩⎨⎧==18001202b k .∴1800120+=x y 乙.∴()()⎩⎨⎧>+≤≤=101800120100300x x x x y 乙;……………………………………………7分 （3）当0≤x ≤10时,令x x 300600180=+,解之得:5=x ;当10>x 时,令1800120600180+=+x x ,解之得:20=x .∴当公司的员工人数为5或20时,甲、乙两家旅行社的总费用相同;当公司的员工人数大于5小于20时,选择甲旅行社出游更划算;当公司的员工人数小于5人或大于20时,选择乙旅行社出游更划算.…………………………………………10分 22.（10分）如图所示,在△ABC 中,BC AB =,D 、E 分别是边AB 、BC 上的动点,且BE BD =,连结AD 、AE ,点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点,设α=∠B . （1）观察猜想①在求CEMN的值时,小明运用从特殊到一般的方法,先令︒=60α,解题思路如下: 如图1,先由BE BD BC AB ==,,得到AD CE =,再由中位线的性质得到PN PM =,︒=∠60NPM ,进而得出△PMN 为等边三角形,∴21==CE NP CE MN . ②如图2,当︒=90α时,仿照小明的思路求CEMN的值; （2）探究证明如图3,试猜想CEMN的值是否与()︒<<︒1800αα的度数有关,若有关,请用含α的式子表示出CEMN,若无关,请说明理由; （3）拓展应用如图4,︒=∠=36,2B AC ,点D 、E 分别是射线AB 、CB 上的动点,且CE AD =,点M 、N 、P 分别是线段CD 、AE 、AC 的中点,当1=BD 时,请直接写出MN 的长.图 2P NMD BA图 1PN M E D C BA图 4图 3PN MEDC BAPNMEDCBA解:（1）②∵BE BD BC AB ==, ∴CE AD =.∵BC AB =,︒=∠90B ∴△ABC 为等腰直角三角形∵点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点 ∴CE PN CE PN 21,//=AD PM AD PM 21,//=∴︒=∠=∠=45,ACB APN PN PM︒=∠=∠45CAB CPM∴︒=︒-︒-︒=∠904545180NPM∴△PMN 为等腰直角三角形 ∴PN MN 2=∴222=⋅=CE PN CE MN ; ……………………………………………3分H图 5PNMED CBA（2）∵BE BD BC AB ==, ∴CE AD =.∵点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点∴CE PN CE PN 21,//=AD PM AD PM 21,//=∴ACB APN PN PM ∠=∠=,CAB CPM ∠=∠∴CAB ACB NPM ∠-∠-︒=∠180α=∠=B作MN PH ⊥,如图5所示,则NH MN 2=,221α=∠=NPM NPH . 在Rt △NPH 中,∵PNNHNPH =∠sin ∴2sinα⋅=PN NH∴2sin2sin22αα===CEPNCENHCE MN ;……………………………………………8分 （3）455-=MN 或435+=MN . …………………………………………10分提示:注意条件“点D 、E 分别是射线AB 、CB 上的动点,且CE AD =”,考虑到点D 、E 不是边AB 、CB 上的动点,要进行分类讨论. ①当点D 、E 分别是边AB 、CB 上的动点时,作ACB ∠的平分线交AB 边于点F ,并连结BP ,如图6所示.图 6由题意容易得到2===BF CF AC ,且AC BP ⊥.设x BC =,则2-=x AF ,1-=x CE . 可证:△ACF ∽△ABC . ∴xx AB AC AC AF 222,=-=. 整理得:0422=--x x解之得:51+=x （51-=x 舍去）. ∴51+=BC ,5151=-+=CE . 由（2）可知:︒=18sin CEMN. ∴︒=︒⋅=18sin 518sin CE MN . 在Rt △BCP 中41551118sin sin -=+==︒=∠BC CP CBP ∴()4554155-=-=MN ; ②当点D 、E 分别是边AB 、CB 的延长线上的动点时,如图7所示.52511+=++=CE图 7AB C DEM NP∴()43541552+=-⨯+=MN . 综上所述,MN 的长为455-或435+.重要结论 我们把顶角为︒36的等腰三角形称为特殊等腰三角形.已知特殊等腰三角形的底边长,作出其中一个底角的平分线,可以利用三角形相似的知识可以求出腰长.特殊等腰三角形23.（11分）如图所示,抛物线c x ax y +-=22与x 轴交于A 、B 两点,与y轴交于点C ,直线3+=x y 经过A 、C 两点. （1）求抛物线的解析式;（2）点N 是x 轴上的动点,过点N 作x 轴的垂线,交抛物线与点M ,交直线AC 于点H . ①点D 在线段OC 上,连结AD 、BD ,当BD AH =时,求AH AD +的最小值;②当OD OC 3=时,将直线AD 绕点A 旋转︒45,使直线AD 与y 轴交于点P ,请直接写出点P 的坐标.第 23 题图备用图解:（1）对于3+=x y ,令03=+x ,解之得:3-=x ,令0=x ,则3=y . ∴()0,3-A ,()3,0C .把()0,3-A ,()3,0C 代入c x ax y +-=22可得:⎩⎨⎧==++3069c c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=31c a ∴抛物线的解析式为322+--=x x y ; ……………………………………………3分（2）①令0322=+--x x 解之得:31-=x ,12=x ∴()()0,1,0,3B A -……………………………………………5分 ∵BD AH =∴BD AD AH AD +=+ ∵BD AD +≥AB∴()()431min =--==+AB BD AD 即AH AD +的最小值为4;……………………………………………9分②点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,0或()6,0.…………………………………………11分 提示:题目为指明直线AD 旋转的方向,这里要分为两种情况进行讨论.当直线AD 绕点A 顺时针旋转︒45时,如图1所示.图 1∵()()3,0,0,3C A -∴3==OC OA ,△AOC 为等腰直角三角形. ∴︒=∠=∠45ACO CAO .∵︒=∠+∠=∠+∠45OAD OAP OAD CAD ∴OAP CAD ∠=∠.作AC DE ⊥,则△DCE 为等腰直角三角形. ∵OD OC 3= ∴2,1==CD OD ∴2222===CD DE在Rt △AOD 中,由勾股定理得:10132222=+=+=OD OA AD∴55102sin sin ===∠=∠AD DE EAD CAD ∴55sin =∠OAP . 设m OP =,则5593222=+=+m m m m . 两边分别平方得:51922=+m m解之得:23=m （23-=m ）舍去.∴23=OP∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,0P ;当直线AD 绕点A 逆时针旋转︒45时,如图2.∵︒=∠=∠+∠45ACO CAP OPA第11页︒=∠=∠+∠45DAP CAD CAP∴CAD OPA ∠=∠作AC DE ⊥,则△DCE 为等腰直角三角形. 设m OP =∵55sin sin =∠=∠EAD CAD ∴5593sin 2=+==∠m PAOAOPA . 两边分别平方得:51992=+m . 解之得:6=m （6-=m ）舍去. ∴6=OP ∴()6,0P .综上所述,点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,0或()6,0.学生整理用图321OHFEDC BAF 图 6PNMEDCBA图 7ABCDEM NPxy第 23 题图OMH NDC BAxy备用图CBA O。
2020年河南省中考数学一模试卷(解析版)
2020年河南省中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）1．（3分）下列各数中，最大的数是（）A．﹣B．C．0D．﹣22．（3分）据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有26.8万人次游览了植物园和动物园，则数据26.8万用科学记数法表示正确的是（）A．268×103B．26.8×104C．2.68×105D．0.268×106 3．（3分）如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．a3•a3＝a6D．5．（3分）下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差6．（3分）若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0 7．（3分）系统找不到该试题8．（3分）阿信、小怡两人打算搭乘同一班次电车上学，若此班次电车共有5节车厢，且阿信从任意一节车厢上车的机会相等，小怡从任意一节车厢上车的机会相等，则两人从同一节车厢上车的概率为何（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（）A．∠CAD＝40°B．∠ACD＝70°C．点D为△ABC的外心D．∠ACB＝90°10．（3分）在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，动点E从点A 出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若，则x2+2x+1＝．12．（3分）已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是．13．（3分）不等式组有2个整数解，则实数a的取值范围是．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝，分别以点A，B 为圆心，AC，BC的长为半径画弧，交AB于点D，E，则图中阴影部分的面积是．15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x＝sin30°+2﹣1+．17．（9分）如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交圆O于点E．（1）求证：△ABE≌△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形．②若AE＝，AB＝2，则DE的长为．18．（9分）为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A．由父母一方照看；B．由爷爷奶奶照看；C．由叔姨等近亲照看；D．直接寄宿学校．某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图．（1）该班共有名留守学生，B类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）已知该校共有2400名学生，现学校打算对D类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？19．（9分）如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC为50米，在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37°，在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60°，则甲、乙两楼的高度为多少？（结果精确到1米，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D．若点D 的坐标为（﹣4，n），且AD＝3．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求经过C、D两点的直线所对应的函数解析式；（3）设点E是线段CD上的动点（不与点C、D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．21．（10分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．22．（10分）【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为．23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y 轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．2020年河南省中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）1．（3分）下列各数中，最大的数是（）A．﹣B．C．0D．﹣2【分析】比较确定出最大的数即可．【解答】解：﹣2＜﹣＜0＜，则最大的数是，故选：B．【点评】此题考查了有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（3分）据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有26.8万人次游览了植物园和动物园，则数据26.8万用科学记数法表示正确的是（）A．268×103B．26.8×104C．2.68×105D．0.268×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将26.8万用科学记数法表示为：2.68×105．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．【解答】解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示，故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．a3•a3＝a6D．【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；B、（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，故此选项错误；C、a3•a3＝a6，正确；D、+无法计算，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x＝10，则总人数为：5+15+10＝30，故该组数据的众数为14岁，中位数为：＝14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．6．（3分）若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0【分析】根据△的意义得到k≠0且△＝4﹣4k×（﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：∵x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＝4﹣4k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1，∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．7．（3分）系统找不到该试题8．（3分）阿信、小怡两人打算搭乘同一班次电车上学，若此班次电车共有5节车厢，且阿信从任意一节车厢上车的机会相等，小怡从任意一节车厢上车的机会相等，则两人从同一节车厢上车的概率为何（）A．B．C．D．【分析】根据阿信、小怡各有5节车厢可选择，共有25种，两人在不同车厢的情况数是20种，得出在同一节车厢上车的情况数是5种，根据概率公式即可得出答案．【解答】解：二人上5节车厢的情况数是：5×5＝25，两人在不同车厢的情况数是5×4＝20，则两人从同一节车厢上车的概率是＝；故选：B．【点评】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．9．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（）A．∠CAD＝40°B．∠ACD＝70°C．点D为△ABC的外心D．∠ACB＝90°【分析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，∵∠B＝20°，∴∠B＝∠BCD＝20°，∴∠CDA＝20°+20°＝40°．∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠CAD＝＝70°，∴A错误，B正确；∵CD＝AD，BD＝CD，∴CD＝AD＝BD，∴点D为△ABC的外心，故C正确；∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°，∴∠ACB＝70°+20°＝90°，故D正确．故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．10．（3分）在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，动点E从点A 出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意找到临界点，E、F分别同时到达D、C，画出一般图形利用锐角三角函数表示y即可．【解答】解：在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，∴AD＝DC＝DB＝2，∠CDB＝60°∵EF两点的速度均为1cm/s∴当0≤x≤2时，y＝当2≤x≤4时，y＝由图象可知A正确故选：A．【点评】本题为动点问题可函数图象探究题，考查了二次函数图象和锐角三角函数函数的应用，解答关键是分析动点到达临界点前后图形的变化．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若，则x2+2x+1＝2．【分析】首先把所求的式子化成＝（x+1）2的形式，然后代入求值．【解答】解：原式＝（x+1）2，当x＝﹣1时，原式＝（）2＝2．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求式子进行变形是关键．12．（3分）已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是m＞2．【分析】根据反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣2＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．故答案为：m＞2．【点评】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣2＞0是解题的关键．13．（3分）不等式组有2个整数解，则实数a的取值范围是8≤a＜13．【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【解答】解：解不等式3x﹣5＞1，得：x＞2，解不等式5x﹣a≤12，得：x≤，∵不等式组有2个整数解，∴其整数解为3和4，则4≤＜5，解得：8≤a＜13，故答案为：8≤a＜13．【点评】本题考查解不等式组及不等组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围是解决本题的关键．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝，分别以点A，B为圆心，AC，BC的长为半径画弧，交AB于点D，E，则图中阴影部分的面积是﹣．【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形BCE 与扇形ACD 的面积之和与Rt △ABC 的面积之差．【解答】解：∵在Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝， ∴∠B ＝60°，BC ＝tan30°×AC ＝1，阴影部分的面积S ＝S 扇形BCE +S 扇形ACD ﹣S △ACB ＝+﹣＝﹣，故答案为：﹣． 【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．（3分）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝3，点M 为AB 边上一点，AM ＝2，点N 为AD 边上的一动点，沿MN 将△AMN 翻折，点A 落在点P 处，当点P 在菱形的对角线上时，AN 的长度为 2或5﹣ ．【分析】分两种情况：①当点P 在菱形对角线AC 上时，由折叠的性质得：AN ＝PN ，AM ＝PM ，证出∠AMN ＝∠ANM ＝60°，得出AN ＝AM ＝2；②当点P 在菱形对角线BD 上时，设AN ＝x ，由折叠的性质得：PM ＝AM ＝2，PN ＝AN＝x ，∠MPN ＝∠A ＝60°，求出BM ＝AB ﹣AM ＝1，证明△PDN ∽△MBP ，得出＝＝，求出PD ＝x ，由比例式＝，求出x 的值即可．【解答】解：分两种情况：①当点P 在菱形对角线AC 上时，如图1所示：：由折叠的性质得：AN ＝PN ，AM ＝PM ，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠PAM＝∠PAN＝30°，∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°，∴AN＝AM＝2；②当点P在菱形对角线BD上时，如图2所示：设AN＝x，由折叠的性质得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，∵AB＝3，∴BM＝AB﹣AM＝1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∠PDN＝∠MBP＝∠ADC＝60°，∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°，∴∠BPM＝∠DNP，∴△PDN∽△MBP，∴＝＝，即＝＝，∴PD＝x，∴＝x解得：x＝5﹣或x＝5+（不合题意舍去），∴AN＝5﹣，综上所述，AN的长为2或5﹣；故答案为：2或5﹣．【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x＝sin30°+2﹣1+．【分析】根据分式的运算法则以及实数的运算法则即可求出答案．【解答】解：当x＝sin30°+2﹣1+时，∴x＝++2＝3原式＝÷＝＝﹣5【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．17．（9分）如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交圆O于点E．（1）求证：△ABE≌△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形．②若AE＝，AB＝2，则DE的长为．【分析】（1）根据AAS证明两三角形全等；（2）①先证明∠AOC＝∠AEC＝120°，∠OAE＝∠OCE＝60°，可得▱AOCE，由OA ＝OC可得结论；②由△ABE≌△CDE知AE＝CE＝，AB＝CD＝2，证△DCE∽△DAB得＝，据此求解即可．【解答】解：（1）∵AB＝AC，CD＝CA，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，∴∠CED＝∠AEB，∴△ABE≌△CDE（AAS）；（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；理由是：连接AO、OC，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AEC＝180°，∵∠ABC＝60，∴∠AEC＝120°＝∠AOC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D＝30°，∴∠ACE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠OAE＝∠OCE＝60°，∴四边形AOCE是平行四边形，∵OA＝OC，∴▱AOCE是菱形；②∵△ABE≌△CDE，∴AE＝CE＝，AB＝CD＝2，∵∠DCE＝∠DAB，∠D＝∠D，∴△DCE∽△DAB，∴＝，即＝，解得DE＝，故答案为：．【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质和判定、三角形相似和全等的性质和判定、四点共圆的性质、菱形的判定等知识，难度适中，正确判断圆中角的关系是关键．18．（9分）为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A．由父母一方照看；B．由爷爷奶奶照看；C．由叔姨等近亲照看；D．直接寄宿学校．某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图．（1）该班共有10名留守学生，B类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为144；（2）将条形统计图补充完整；（3）已知该校共有2400名学生，现学校打算对D类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？【分析】（1）依据C类型的人数以及百分比，即可得到该班留守的学生数量，依据B 类型留守学生所占的百分比，即可得到其所在扇形的圆心角的度数；（2）依据D类型留守学生的数量，即可将条形统计图补充完整；（3）依据D类型的留守学生所占的百分比，即可估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益．【解答】解：（1）2÷20%＝10（人），×100%×360°＝144°，故答案为：10，144；（2）10﹣2﹣4﹣2＝2（人），如图所示：（3）2400××20%＝96（人），答：估计该校将有96名留守学生在此关爱活动中受益．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．19．（9分）如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC为50米，在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37°，在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60°，则甲、乙两楼的高度为多少？（结果精确到1米，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】作AE⊥CD于E．则四边形ABCE是矩形．解直角三角形分别求出CD，DE即可解决问题．【解答】解：作AE⊥CD于E．则四边形ABCE是矩形．在Rt△BCD中，CD＝BC•tan60°＝50×≈87（米），在Rt△ADE中，∵DE＝AE•tan37°＝50×0.75≈38（米），∴AB＝CE＝CD﹣DE＝87﹣38＝49（米）．答：甲、乙两楼的高度分别为87米，49米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D．若点D 的坐标为（﹣4，n），且AD＝3．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求经过C、D两点的直线所对应的函数解析式；（3）设点E是线段CD上的动点（不与点C、D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．【分析】（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；（2）由n＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论；（3）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论．【解答】解：（1）∵AD＝3，D（﹣4，n），∴A（﹣4，n+3），∵点C是OA的中点，∴C（﹣2，），∵点C，D（﹣4，n）在双曲线y＝上，∴，∴，∴反比例函数解析式为y＝﹣；②由①知，n＝1，∴C（﹣2，2），D（﹣4，1），设直线CD的解析式为y＝ax+b，∴，∴，∴直线CD的解析式为y＝x+3；（3）如图，由（2）知，直线CD的解析式为y＝x+3，设点E（m，m+3），由（2）知，C（﹣2，2），D（﹣4，1），∴﹣4＜m＜﹣2，∵EF∥y轴交双曲线y＝﹣于F，∴F（m，﹣），∴EF＝m+3+，＝（m+3+）×（﹣m）＝﹣（m2+3m+4）＝﹣（m+3）2+，∴S△OEF∵﹣4＜m＜﹣2，最大，最大值为．∴m＝﹣3时，S△OEF【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解与m的函数关系式．本题的关键是建立S△OEF21．（10分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w ＝（x ﹣20﹣a ）（﹣10x +500）＝﹣10x 2+（10a +700）x ﹣500a ﹣10000（30≤x ≤38）求得对称轴为x ＝35+a ，若0＜a＜6，则30a ，则当x ＝35+a 时，w 取得最大值，解方程得到a 1＝2，a 2＝58，于是得到a ＝2．【解答】解：（1）根据题意得，y ＝250﹣10（x ﹣25）＝﹣10x +500（30≤x ≤38）； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．w ＝（x ﹣20﹣a ）（﹣10x +500）＝﹣10x 2+（10a +700）x ﹣500a ﹣10000（30≤x ≤38）对称轴为x ＝35+a ，且0＜a ≤6，则30a ≤38，则当x ＝35+a 时，w 取得最大值，∴（35+a ﹣20﹣a ）[﹣10（35+a ）+500]＝1960∴a 1＝2，a 2＝58（不合题意舍去），∴a ＝2．【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．22．（10分）【问题提出】在△ABC 中，AB ＝AC ≠BC ，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD ＝BC ，∠BAC ＝α，∠DBC ＝β，且α+β＝120°，连接AD ，求∠ADB 的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB 为对称轴构造△ABD 的轴对称图形△ABD ′，连接CD ′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D ′BC 的形状是 等边 三角形；∠ADB 的度数为 30° ．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为7+或7﹣．【分析】【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等边三角形；②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题．【问题解决】当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．【拓展应用】第①种情况：当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，在△ABD和△ABD′中，∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，∵BD＝BD′，BD＝BC，∴BD′＝BC，∴△D′BC是等边三角形，②∵△D′BC是等边三角形，∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，在△AD′B和△AD′C中，∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．故答案为：等边，30°；【问题解决】解：∵∠DBC＜∠ABC，∴60°＜α≤120°，如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BAC＝α，∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣α﹣β，同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣α﹣β+90°﹣α＝180°﹣（α+β），∵α+β＝120°，∴∠D′BC＝60°，由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．【拓展应用】第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1，由（2）知，∠ADB＝30°，作AE⊥BD，在Rt△ADE中，∠ADB＝30°，AD＝2，∴DE＝，∵△BCD'是等边三角形，∴BD'＝BC＝7，∴BD＝BD'＝7，∴BE＝BD﹣DE＝7﹣；第②情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC ＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD ＝∠DBC ﹣∠ABC ＝β﹣（90°﹣α），同（1）①可证△ABD ≌△ABD ′，∴∠ABD ＝∠ABD ′＝β﹣（90°﹣α），BD ＝BD ′，∠ADB ＝∠AD ′B ，∴∠D ′BC ＝∠ABC ﹣∠ABD ′＝90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]＝180°﹣（α+β）， ∴D ′B ＝D ′C ，∠BD ′C ＝60°．同（1）②可证△AD ′B ≌△AD ′C ，∴∠AD ′B ＝∠AD ′C ，∵∠AD ′B +∠AD ′C +∠BD ′C ＝360°，∴∠ADB ＝∠AD ′B ＝150°，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，AD ＝2，∴DE ＝，∴BE ＝BD +DE ＝7+，故答案为：7+或7﹣． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（11分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，且过点D （2，﹣3）．点P 、Q 是抛物线y ＝ax 2+bx +c 上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求△POD 面积的最大值．（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当△OBE 与△ABC 相似时，求点Q 的坐标．【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式，即可求解；（2）S＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，即可求解；△POD（3）分∠ACB＝∠BOQ、∠BAC＝∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，△POD∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC于点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝，故点Q1（，﹣2），Q2（﹣，2），②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，﹣3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q3（，），Q4（，）；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（，）或（﹣，2）或（，）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。
2020年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷 (解析版)
2020年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷一、选择题（共10小题）.1．在下列四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．2﹣1C．D．02．5月5日，从省文化和旅游厅获悉，今年“五一”假期，全省累计接待国内游客1692.11万人次，实现旅游总收入79.26亿元．数据“79.26亿”用科学记数法表示为（）A．79.26×108B．7.926×109C．79.26×109D．7.926×108 3．一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点F在CB的延长线上．若DE∥CF，则∠BDF等于（）A．35°B．30°C．25°D．15°4．下列运算正确的是（）A．2+3＝5B．（a2）3＝a5C．a3•a2＝a5D．+＝5．如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（）A．仅有甲和乙相同B．仅有甲和丙相同C．仅有乙和丙相同D．甲、乙、丙都相同6．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC 交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm7．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定8．如图：已知菱形ABCD的顶点B（﹣2，0），且∠ABC＝60°，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（）A．（1，）B．（1，2）C．（，1）D．（）9．为迎接文明城市的验收，某居委会组织了“垃圾处理”和“违规停车”两个检查组，分别对辖区内甲、乙、丙三个小区中的一个进行随机抽查，则两个检查组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．B．C．D．10．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E 为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．πB．π+5C．D．二、填空题（共5小题）.11．计算：（﹣2020）0﹣＝．12．九年级2班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中，第1小组对应的圆心角度数是．13．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是．14．如图，在Rt△ABC中，点D为AC边中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x 变化的函数关系如图2所示，则边BC的长为．15．在矩形纸片ABCD中，AB＝9，BC＝15，沿着过该矩形顶点的一条直线将∠B折叠，当B的对应点恰好落在矩形的边AD上时，折痕的长为．三、解答题（共8个小题）16．先化简，再求值：（），其中x的值从不等式组的整数解中选取．17．为进一步推动各级各类学校新型冠状病毒肺炎疫情防控工作，向广大教职工和学生普及新型冠状病毒肺炎疫情防控知识，做好师生返校前的卫生安全防护教育，上好开学第一课，省教育厅要求各级各类学校认真学习相关资料．某中学为了解学生的学习成果，对学生进行了新型冠状病毒肺炎防控知识测试，德育处随机从七、八两个年级各抽取20名学生的答卷成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：收集数据八年级：858095100909585657585959070901008080909575七年级：806080956510090858580957580907080957510090整理数据60≤x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100成绩x（分）人数年级八年级25a b七年级3755分析数据统计量平均数中位数众数八年级85.7587.5c七年级83.5d80应用数据（1）填空：a＝，b＝，c＝，d＝；（2）看完统计数据，你认为对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好的年级是；（3）若八年级共有500人参与答卷，请估计八年级成绩大于90分的人数；（4）在这次测试中，八年级学生甲与七年级学生乙的成绩都是85分，请判断两人在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AB上，以线段OB的长为半径的⊙O与AC相切于点D，⊙O分别交BC、AB于点M、N，连接ND并延长交BC延长线于点P．（1）求证：∠BOD＝2∠P；（2）已知⊙O的半径为5．①若AN＝8，则DC＝；②连接DM，当AN＝时，四边形OBMD是菱形．19．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求乙建筑物的高度CD．（结果取整数，参考数据：tan58°≈1.60，tan48°≈1.11）．20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D，若D的坐标为（4，m），AD＝3．（1）求反比例函数y＝的解析式；（2）经过C、D两点的直线的解析式是；（3）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，则△OEF面积的最大值是．21．受“新冠”疫情影响，全国中小学延迟开学，很多学校都开展起了“线上教学”，市场上对手写板的需求激增．重庆某厂家准备3月份紧急生产A，B两种型号的手写板，若生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元．（1）请问生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本？（2）经测算，生产的A型号手写板每个可获利200元，B型号手写板每个可获利400元，该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，总获利w元，设生产了A型号手写板a个，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．22．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．（1）猜想：的值是，直线CD与直线AE相交所成的锐角度数是；（2）探究：直线DE与AF垂直时，求线段CD的长；（3）拓展：取AE的中点M，连接FM，直接写出线段FM长的取值范围．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是y轴正半轴上的一点，OM＝，点Q在对称轴左侧的抛物线上运动，直线OQ交抛物线的对称轴于点N，连接MN，当MN平分∠OND时，求点Q的坐标；（3）直线AC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，当△PCE与△BCD全等时，请直接写出点P的坐标．参考答案一、选择题（共10小题）.1．在下列四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．2﹣1C．D．0【分析】根据实数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小）比较即可．解：∵﹣2＜0＜2﹣1＜，∴最小的数是﹣2．故选：A．2．5月5日，从省文化和旅游厅获悉，今年“五一”假期，全省累计接待国内游客1692.11万人次，实现旅游总收入79.26亿元．数据“79.26亿”用科学记数法表示为（）A．79.26×108B．7.926×109C．79.26×109D．7.926×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：79.26亿＝7926000000＝7.926×109．故选：B．3．一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点F在CB的延长线上．若DE∥CF，则∠BDF等于（）A．35°B．30°C．25°D．15°【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE＝45°，进而得出答案．解：由题意可得：∠EDF＝30°，∠ABC＝45°，∵DE∥CB，∴∠BDE＝∠ABC＝45°，∴∠BDF＝45°﹣30°＝15°．故选：D．4．下列运算正确的是（）A．2+3＝5B．（a2）3＝a5C．a3•a2＝a5D．+＝【分析】利用二次根式的加减、积的乘方、同底数幂的乘法法则进行计算即可．解：A、2和3不是同类二次根式，不能合并，故原题计算错误；B、（a2）3＝a6，故原题计算错误；C、a3•a2＝a5，故原题计算正确；D、和不是同类二次根式，不能合并，故原题计算错误；故选：C．5．如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（）A．仅有甲和乙相同B．仅有甲和丙相同C．仅有乙和丙相同D．甲、乙、丙都相同【分析】由已知条件可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2．据此可即可求解．解：根据分析可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；则主视图相同的是甲和丙．故选：B．6．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC 交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则由相似三角形（△AOB∽△DOC），根据平行线分线段成比例可得＝，代入计算即可解答．解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，∵练习本中的横格线都平行，∴△AOB∽△DOC，∴＝，即＝，∴CD＝6cm．故选：C．7．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定【分析】先计算判别式得到△＝（k+3）2﹣4×k＝（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．解：△＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．8．如图：已知菱形ABCD的顶点B（﹣2，0），且∠ABC＝60°，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（）A．（1，）B．（1，2）C．（，1）D．（）【分析】如图，作EH⊥BC于H．证明△ABC是等边三角形，求出OA＝BE＝2即可解决问题．解：如图，作EH⊥BC于H．∵四边形ABCD都是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵B（﹣2，0），∴OB＝2，OA＝2，由作图可知：BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，∴BE＝OA＝2，∴EH＝，BH＝EH＝3，∴OH＝1，∴E（1，），故选：A．9．为迎接文明城市的验收，某居委会组织了“垃圾处理”和“违规停车”两个检查组，分别对辖区内甲、乙、丙三个小区中的一个进行随机抽查，则两个检查组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和两个检查组恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：根据题意画图如下：共有9种等可能结果，其两个检查组恰好抽到同一个小区的结果有3种，则两个检查组恰好抽到同一个小区的概率是＝；故选：C．10．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E 为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．πB．π+5C．D．【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，∴AB＝＝，由旋转，得△EOF≌△BOA，∴∠OAB＝∠EFO，∵∠FEO+∠EFO＝∠FEO+∠HED＝90°，∴∠EFO＝∠HED，∴∠HED＝∠OAB，∵∠DHE＝∠AOB＝90°，DE＝AB，∴△DHE≌△BOA（AAS），∴DH＝OB＝1，阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积＝×3×1+×1×2+﹣＝﹣π，故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：（﹣2020）0﹣＝3．【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．解：原式＝1+2＝3．故答案为：3．12．九年级2班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中，第1小组对应的圆心角度数是72°．【分析】根据条形统计图可以得到第1组在五个小组中所占的比重，然后再乘以360°，即可解答本题．解：∵第1组人数占总人数的比例为＝，∴在扇形图中，第1小组对应的圆心角度数是×360°＝72°，故答案为：72°．13．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1）2+3．【分析】根据图象的平移规律，可得答案．解：将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x+1﹣2）2+3，即y＝（x﹣1）2+3．故答案为：y＝（x﹣1）2+3．14．如图，在Rt△ABC中，点D为AC边中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x 变化的函数关系如图2所示，则边BC的长为．【分析】当x＝0时，y＝PC＝PD＝2，则AC＝4，当x＝2+，PC⊥AB，则AP＝x﹣AD＝2﹣2＝，而BC＝AC•tan A，即可求解．解：当x＝0时，y＝PC＝PD＝2，则AC＝4，当x＝2+时，PC⊥AB，则AP＝x﹣AD＝2﹣2＝，而cos A＝＝，则tan A＝，∴BC＝AC•tan A＝4×＝，故答案为：．15．在矩形纸片ABCD中，AB＝9，BC＝15，沿着过该矩形顶点的一条直线将∠B折叠，当B的对应点恰好落在矩形的边AD上时，折痕的长为9或5．【分析】沿着过矩形顶点的一条直线将∠B折叠，可分为两种情况：（1）过点A的直线折叠，（2）过点C的直线折叠，分别画出图形，根据图形分别求出折痕的长．解：（1）如图1，沿着过点A的直线将∠B折叠，使点B的对应点E落在矩形的AD边上，此时折痕为AM，由折叠得：ABME是正方形，此时：AM＝＝9，（2）如图2，沿着过点C的直线将∠B折叠，使点B的对应点E落在矩形的AD边上，此时折痕为CN，由折叠得：CB＝CE＝15，在Rt△CDE中，DE＝＝＝12，∴AE＝15﹣12＝3，设BN＝x＝EN，则AN＝3﹣x，在Rt△AEN中，由勾股定理得：（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5，在Rt△BCN中，由勾股定理得：CN＝＝＝5，折痕长为：9或5．故答案为9或5．三、解答题（共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：（），其中x的值从不等式组的整数解中选取．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，解不等式组求出x的范围，代入计算得到答案．解：（）＝（﹣）•＝•＝，解方程组，得﹣1≤x＜3，其中整数解有﹣1、0、1、2，由题意得，x≠﹣1、0、1，当x＝2时，原式＝＝1．17．为进一步推动各级各类学校新型冠状病毒肺炎疫情防控工作，向广大教职工和学生普及新型冠状病毒肺炎疫情防控知识，做好师生返校前的卫生安全防护教育，上好开学第一课，省教育厅要求各级各类学校认真学习相关资料．某中学为了解学生的学习成果，对学生进行了新型冠状病毒肺炎防控知识测试，德育处随机从七、八两个年级各抽取20名学生的答卷成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：收集数据八年级：858095100909585657585 959070901008080909575七年级：806080956510090858580 957580907080957510090整理数据60≤x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100成绩x（分）人数年级八年级25a b七年级3755分析数据统计量平均数中位数众数八年级85.7587.5c七年级83.5d80应用数据（1）填空：a＝7，b＝6，c＝90与95，d＝82.5；（2）看完统计数据，你认为对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好的年级是八年级；（3）若八年级共有500人参与答卷，请估计八年级成绩大于90分的人数；（4）在这次测试中，八年级学生甲与七年级学生乙的成绩都是85分，请判断两人在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由．【分析】（1）根据表格可得a与b的值，根据众数与中位数的定义可得c、d的值；（2）根据平均数、中位数、众数的意义即可求解；（3）利用样本估计总体，用500乘以样本中成绩大于90分的人数所占的百分比即可；（4）根据中位数的意义说明即可．解：（1）根据表格可得a＝7，b＝6．八年级学生的20个数据中，90与95均出现了4次，次数最多，所以众数c＝90与95，将七年级学生的20个数据按从小到大的顺序排列为：60，65，70，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90，90，90，95，95，95，100，100，位于中间的两个数是80，85，所以中位数d＝（80+85）÷2＝82.5．故答案为7，6，90与95，82.5；（2）七年级与八年级比较：八年级的平均分高于七年级的平均分，中位数、众数也都比七年级的高，所以对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好的年级是八年级．故答案为：八年级；（3）800×＝520（人）．故估计八年级成绩大于90分的人数是520人；（4）七年级的排名更靠前，理由如下：在20个数据中，七年级的中位数是82.5，八年级的中位数是87.5，八年级学生甲与七年级学生乙的成绩都是85分，那么八年级学生甲的成绩排在10名之后，而七年级学生乙的成绩排在10名之前，所以七年级的排名更靠前．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AB上，以线段OB的长为半径的⊙O与AC相切于点D，⊙O分别交BC、AB于点M、N，连接ND并延长交BC延长线于点P．（1）求证：∠BOD＝2∠P；（2）已知⊙O的半径为5．①若AN＝8，则DC＝；②连接DM，当AN＝5时，四边形OBMD是菱形．【分析】（1）根据切线的性质得到OD⊥AC，根据平行线的性质得到∠ODN＝∠P，由等腰三角形的性质得到∠ODN＝∠OND，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）①连接BD，根据圆周角定理得到∠BDN＝90°，根据余角的性质得到∠BDO＝∠ADN，根据相似三角形的性质得到即可得到结论；②连接OM交BD于E，根据菱形的性质得到OM⊥BD，OE＝EM＝OM＝OB，根据直角三角形的性质得到∠OBD＝30°，得到∠A＝30°，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODN＝∠P，∵ON＝OD，∴∠ODN＝∠OND，∴∠OND＝∠P，∵∠BOD＝∠OND+∠ODN，∴∠BOD＝2∠P；（2）解：①连接BD，∵BN是⊙O的直径，∴∠BDN＝90°，∴∠BDO+∠ODN＝90°，∵∠ADN+∠ODN＝90°，∴∠BDO＝∠ADN，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ADN＝∠OBD，∵∠A＝∠A，∴△ADN∽△ABD，∴＝，∴AD2＝AN•AB＝8×18＝144，∴AD＝12，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AC＝，∴CD＝；②当AN＝5时，四边形OBMD是菱形，理由：连接OM交BD于E，∵四边形BMDO是菱形，∴OM⊥BD，OE＝EM＝OM＝OB，∴∠OBD＝30°，∴∠OBC＝60°，∴∠A＝30°，∴AO＝2OD＝10，∴AN＝AO﹣ON＝10﹣5＝5，故答案为：，5．19．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求乙建筑物的高度CD．（结果取整数，参考数据：tan58°≈1.60，tan48°≈1.11）．【分析】作AE⊥CD交CD的延长线于点E，根据正切的定义分别求出CE、DE，结合图形计算即可．解：如图，作AE⊥CD交CD的延长线于点E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝78m，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，∴CE＝AE•tan58°≈78×1.60＝124.8（m）在Rt△ADE中，tan∠DAE＝，∴DE＝AE•tan48°≈78×1.11＝86.58（m）∴CD＝CE﹣DE＝124.8﹣86.58≈38（m）答：乙建筑物的高度CD约为38m．20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D，若D的坐标为（4，m），AD＝3．（1）求反比例函数y＝的解析式；（2）经过C、D两点的直线的解析式是y＝﹣x+3；（3）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，则△OEF面积的最大值是．【分析】（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；（2）由m＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论；（3）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与n的函数关系式即可得出结论．解：（1）∵AD＝3，D（4，m），∴A（4，m+3），∵点C是OA的中点，∴C（2，），∵点C，D在双曲线y＝上，∴，∴，∴反比例函数解析式为y＝；（2）∵m＝1，∴C（2，2），D（4，1），设直线CD的解析式为y＝ax+b，∴，∴，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，故答案为：y＝﹣x+3；（3）如图，由（2）知，直线CD的解析式为y＝﹣x+3，设点E（n，﹣n+3），由（2）知，C（2，2），D（4，1），∴2＜n＜4，∵EF∥y轴交双曲线y＝于F，∴F（n，），∴EF＝﹣n+3﹣，∴S△OEF＝（﹣n+3﹣）×n＝（﹣n2+3n﹣4）＝﹣（n﹣3）2+，∵2＜n＜3，∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为，故答案为：．21．受“新冠”疫情影响，全国中小学延迟开学，很多学校都开展起了“线上教学”，市场上对手写板的需求激增．重庆某厂家准备3月份紧急生产A，B两种型号的手写板，若生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元．（1）请问生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本？（2）经测算，生产的A型号手写板每个可获利200元，B型号手写板每个可获利400元，该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，总获利w元，设生产了A型号手写板a个，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．【分析】（1）根据生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本；（2）根据题意和（1）中的结果可以得到w与a的函数关系式；（3）要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，可以得到a的取值范围，再根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质可以得到总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．解：（1）设生产A种型号的手写板需要投入成本a元，生产B种型号的手写板需要投入成本b元，，得，即生产A种型号的手写板需要投入成本600元，生产B种型号的手写板需要投入成本800元；（2）∵该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，生产了A型号手写板a个，∴生产B型号的手写板的数量为：＝（个），∴w＝200a+400×＝﹣100a+50000，即w关于a的函数关系式为w＝﹣100a+50000；（3）∵要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，∴a≥×2，∴a≥100，∵w＝﹣100a+50000，∴当a＝100时，w取得最大值，此时w＝40000，＝50，答：总获利最大的生产方案是生产A型号的手写板100台，B型号的手写板50台，最大总获利是40000元．22．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．（1）猜想：的值是，直线CD与直线AE相交所成的锐角度数是45°；（2）探究：直线DE与AF垂直时，求线段CD的长；（3）拓展：取AE的中点M，连接FM，直接写出线段FM长的取值范围．【分析】（1）证明△CBD∽△ABE，得出，由旋转的性质可得出直线CD与直线AE相交所成的锐角度数是45°；（2）证明△ABE∽△CBD，得出，则CD＝AE，求出AE，分两种情况画出图形，则可得出答案；（3）延长EF到K，使得FK＝EF，连接AK，BK，由中位线定理得出MF＝AK，求出AK的范围，则可得出答案．解：（1）∵△ABC，△EBD都是等腰直角三角形，∴，∠ABC＝∠EBD＝45°，∴∠CBD＝∠ABE，∴△CBD∽△ABE，∴，则△ABE可以看成是△CBD绕点B旋转45°后放大倍得到的，故直线CD与直线AE 相交所成的锐角的度数是45°；故答案为：，45°．（2）∵△ABC是腰长为4 的等腰直角三角形，四边形BDEF的边长为2的正方形，∴AB＝BC＝4，BE＝BD＝2，∠ABC＝∠EBD＝45°，∴，∠ABE＝∠CBD，∴△ABE∽△CBD，∴，∴CD＝AE，∵DE⊥EF，∴当DE⊥AF时，A，E，F三点在一直线上时，在Rt△ABF中，∵∠AFB＝90°，∴AF＝＝＝2，如图1，当点E在线段AF上时，AE＝AF﹣EF＝2﹣2，∴CD＝﹣．如图2，当点E在线段AF的延长线上时，AE＝AF+EF＝2+2，∴CD＝+．综合以上可得，当DE⊥AF时，线段CD的长为﹣或+；（3）延长EF到K，使得FK＝EF，连接AK，BK，则△BFK为等腰直角三角形，∴BK＝BF＝2，∵M为AE的中点，F为EK的中点，∴MF为△EAK的中位线，∴MF＝AK，在△ABK中，∵AB﹣BK≤AK≤AB+BK，∴2，∴．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是y轴正半轴上的一点，OM＝，点Q在对称轴左侧的抛物线上运动，直线OQ交抛物线的对称轴于点N，连接MN，当MN平分∠OND时，求点Q的坐标；（3）直线AC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，当△PCE与△BCD全等时，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）将点A，点B坐标代入解析式，可求解；（2）由角平分线的性质和平行线的性质可求OM＝ON＝，由两点距离公式可求点N 坐标，可求ON解析式，联立方程组可求点Q坐标；（3）由题意可得CD＝CE，分两种情况讨论，由全等三角形的性质和两点距离公式可求点P坐标．解：（1）由题意可得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4；∴点D的坐标为（﹣1，4），∵MN平分∠OND，∴∠DNM＝∠ONM，∵ND∥OM，∴∠DNM＝∠OMN，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON＝，设点N（﹣1，n），∴（﹣1﹣0）2+（n﹣0）2＝2，∴n＝±1，∴N1（﹣1，1）或N2（﹣1，﹣1），当N1（﹣1，1）时，∴直线ON1的解析式为：y＝﹣x，联立方程组可得：，∴，，∵点Q在对称轴左侧的抛物线上运动，∴点Q（﹣，）；当N2（﹣1，﹣1）时，∴直线ON2的解析式为：y＝x，联立方程组可得：，∴，，∵点Q在对称轴左侧的抛物线上运动，∴点Q（，）；综上所述：点Q的坐标为（﹣，）或（，）；（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交于点C，∴点C（0，3），∵点A（﹣3，0），点C（0，3），∴直线AC解析式为：y＝x+3，∴当x＝﹣1时，y＝2，∴点E（﹣1，2），∵点A（﹣3，0），点B（1，0），点E（﹣1，2），点C（0，3），D（﹣1，4），∴BC＝，BD＝2，CD＝，AE＝2，CE＝，∴CD＝CE，如图2，设点P（x，y），当PC＝BC，PE＝BD，CD＝CE，则△PCE≌△BCD（SSS），∴，解得：，，∴点P1（3，4），点P2（1，6）；当PC＝BD，PE＝BC，CD＝CE时，则△PCE≌△BDC（SSS），∴，解得：，，∴点P3（﹣4，1），点P4（﹣2，﹣1）；综上所述：点P坐标为（3，4）或（1，6）或（﹣4，1）或（﹣2，﹣1）．。
宛城区中考一模数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则b等于（）A. 0B. -aC. -bD. -c2. 已知函数f(x)=2x+1，则函数f(-x)的图像关于（）对称A. y轴B. x轴C. 原点D. 无对称轴3. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1，a2，a3，且a1+a3=10，a2=6，则该数列的公差d等于（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 下列函数中，y=3x+2是反比例函数的是（）A. y=2x+1B. y=3/xC. y=3x-2D. y=3x^2+26. 若|a|≥1，则a的取值范围是（）A. a≤-1或a≥1B. a>1或a≤-1C. a≥1或a≤-1D. a>1且a≤-17. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于y轴的对称点坐标是（）A. (2,-3)B. (-2,3)C. (2,3)D. (-2,-3)8. 已知一元二次方程x^2-5x+6=0，则方程的解为（）A. x=2或x=3B. x=1或x=4C. x=2或x=4D. x=1或x=39. 在△ABC中，若AB=AC，则∠B和∠C的关系是（）A. ∠B=∠CB. ∠B>∠CC. ∠B<∠CD. 无法确定10. 下列函数中，y=√x是（）A. 一次函数B. 二次函数C. 反比例函数D. 无法确定二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在题后的横线上。
）11. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则第10项an=______。
12. 若函数y=kx+b（k≠0）的图像经过点(1,2)，则k+b=______。
13. 在△ABC中，若AB=AC，且∠B=40°，则∠C=______。
2020年河南省(南阳市宛城区)普通高中招生考试模拟试数学试题(图片版含答案)
三、 16.解：原式 x2 x x2 (x 1)2
x2 x (x 1)(x 1)
1 x 1 x 1 x 1
1 ，………………………………………………………………………5 分 x 1
解不等式组
2x 1 2 x ≤
5, 3
得 1
x 3，此不等式组的整数解为 1 、0、1、2，
而 x= 1、0、1 时，原式无意义，故只能取 x=2.…………………………7 分
∴当 x 2 时，原式 1 1．………………………………………………8 分 2 1
17. 解：(1)8，5，90，82.5；……………………………………………………………4 分 (2)八年级；………………………………………………………………………5 分
得
a b
600, 800.
…………………………………………3
分
即生产 A 型号手写板需要投入 600 元，生产 B 型号手写板需要投入 800 元；…4 分 (2)∵该厂家准备用 10 万元资金全部生产这两种手写板，生产了 A 型号手写板 a 个，
∴生产 B 型号的手写板的数量为： 100000 600a 1000 6a (个)，…………5 分
(2) y 1 x 3； ………………………………………………………………7 分 2
(3) 1 . …………………………………………………………………………9 分 4
21. 解：(1)设生产 A 型号手写板需投入 a 元，B 型号手写板需投入 b 元，
则
河南省南阳市2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
河南省南阳市2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（）A．25°B．35°C．45°D．65°2．不等式组1240xx>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．3．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞34．在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（）A．13B．24C．2D．35．如图，直线a∥b，∠ABC的顶点B在直线a上，两边分别交b于A，C两点，若∠ABC=90°，∠1=40°，则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．下列说法正确的是( )B．若甲、乙两组数据的方差分别为S甲2＝0.3，S乙2＝0.1，则甲组数据比乙组数据稳定C．一组数据2，4，5，5，3，6的众数是5D．一组数据2，4，5，5，3，6的平均数是57．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（）．A．众数是6吨B．平均数是5吨C．中位数是5吨D．方差是8．在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．. D．9．据浙江省统计局发布的数据显示，2017年末，全省常住人口为5657万人.数据“5657万”用科学记数法表示为()A．4⨯D．85.65710⨯5.65710⨯B．656571056.5710⨯C．710．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．两点之间，线段最短D．经过两点，有且仅有一条直线11．小亮家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是（）A．30和20 B．30和25 C．30和22.5 D．30和17.512．如右图,⊿ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°则∠C的大小为（）A．62°B．56°C．60°D．28°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．计算：（﹣12）﹣2﹣2cos60°=_____．14．三个小伙伴各出资a元，共同购买了价格为b元的一个篮球，还剩下一点钱，则剩余金额为__元（用含a、b的代数式表示）15．如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝5x（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为_____．16．一个圆的半径为2，弦长是3，求这条弦所对的圆周角是_____．17．方程233x x=-的解是．18．分解因式：x2–4x+4=__________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）在“双十二”期间，,A B两个超市开展促销活动，活动方式如下：A超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；B超市：购物金额打8折．某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在,A B两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：若一次性付款4200元购买这种篮球，则在B商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）20．（6分）随着社会经济的发展，汽车逐渐走入平常百姓家．某数学兴趣小组随机抽取了我市某单位部分职工进行调查，对职工购车情况分4类（A：车价40万元以上；B：车价在20—40万元；C：车价在20万元以下；D：暂时未购车）进行了统计，并将统计结果绘制成以下条形统计图和扇形统计图．请结合（1）调查样本人数为__________，样本中B类人数百分比是_______，其所在扇形统计图中的圆心角度数是________；（2）把条形统计图补充完整；（3）该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为2人和3人，现从中选2人去参观车展，用列表或画树状图的方法，求选出的2人来自不同科室的概率．21．（6分）当前，“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立卡”．某初级中学七年级共有四个班，已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为A1，A2，A3，A4，现对A1，A2，A3，A4统计后，制成如图所示的统计图．求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；将条形统计图补充完整，并求出A1所在扇形的圆心角的度数；现从A1，A2中各选出一人进行座谈，若A1中有一名女生，A2中有两名女生，请用树状图表示所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．22．（8分）先化简，再求值：2（m﹣1）2+3（2m+1），其中m是方程2x2+2x﹣1=0的根23．（8分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣32），顶点为P．（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．24．（10分）如图，已知AD 是ABC △的中线，M 是AD 的中点，过A 点作AE BC ∥，CM 的延长线与AE 相交于点E ，与AB 相交于点F.（1）求证：四边形AEBD 是平行四边形；（2）如果3AC AF ＝，求证四边形AEBD 是矩形.25．（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，点D 、E 位于AB 两侧的半圆上，射线DC 切⊙O 于点D ，已知点E 是半圆弧AB 上的动点，点F 是射线DC 上的动点，连接DE 、AE ，DE 与AB 交于点P ，再连接FP 、FB ，且∠AED ＝45°．（1）求证：CD ∥AB ；（2）填空：①当∠DAE ＝ 时，四边形ADFP 是菱形；②当∠DAE ＝ 时，四边形BFDP 是正方形．26．（12分）如图，∠AOB=45°，点M ，N 在边OA 上，点P 是边OB 上的点．（1）利用直尺和圆规在图1确定点P ，使得PM=PN ；（2）设OM=x ，ON=x+4，①若x=0时，使P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 有 个；②若使P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是____________．27．（12分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】如图，过点C作CD∥a，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】如图，过点C作CD∥a，则∠1=∠ACD，∵a∥b，∴CD∥b，∴∠2=∠DCB，∵∠ACD+∠DCB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1=65°，∴∠2=25°，故选A．本题考查了平行线的性质与判定，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．2．A【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.【详解】解：1 240xx>⎧⎨-≤⎩①②∵不等式①得：x＞1，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为1＜x≤2，在数轴上表示为：，故选A.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.3．B【解析】试题分析：观察图象可知,抛物线y=x2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标分别为（﹣1,0）、（1,0）,所以当y＜0时,x的取值范围正好在两交点之间,即﹣1＜x＜1．故选B．考点：二次函数的图象．1061444．B【解析】【分析】根据勾股定理和三角函数即可解答.【详解】解：已知在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，设a=x,则229x x-2x.即22x =24.故选B.本题考查勾股定理和三角函数,熟悉掌握是解题关键.5．C【解析】【分析】依据平行线的性质，可得∠BAC的度数，再根据三角形内和定理，即可得到∠2的度数．【详解】解：∵a∥b，∴∠1＝∠BAC＝40°，又∵∠ABC＝90°，∴∠2＝90°−40°＝50°，故选C．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．6．C【解析】【分析】根据确定性事件、方差、众数以及平均数的定义进行解答即可．【详解】解：A、“买一张电影票，座位号为偶数”是随机事件，此选项错误；B、若甲、乙两组数据的方差分别为S甲2＝0.3，S乙2＝0.1，则乙组数据比甲组数据稳定，此选项错误；C、一组数据2，4，5，5，3，6的众数是5，此选项正确；D、一组数据2，4，5，5，3，6的平均数是256，此选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．C【解析】试题分析：根据众数、平均数、中位数、方差：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数差S 2= [（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n ﹣）2]．数据：3,4,5,6,6,6，中位数是5.5，故选C考点：1、方差；2、平均数；3、中位数；4、众数8．B【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，因此：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选B ．考点：轴对称图形和中心对称图形9．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】解：5657万用科学记数法表示为75.65710⨯，故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．10．C【解析】【详解】Q 用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，∴线段AB 的长小于点A 绕点C 到B 的长度，∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选C．【点睛】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．11．C【解析】【分析】将折线统计图中的数据从小到大重新排列后，根据中位数和众数的定义求解可得．【详解】将这10个数据从小到大重新排列为：10、15、15、20、20、25、25、30、30、30，所以该组数据的众数为30、中位数为=22.5，故选：C．【点睛】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．12．A【解析】【详解】连接OB．在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）；又∵∠OAB=28°，∴∠OBA=28°；∴∠AOB=180°-2×28°=124°；而∠C=12∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠C=62°；二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．3【解析】【分析】按顺序先进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行减法运算即可. 【详解】（﹣12）﹣2﹣2cos60°=4-2×1 2=3，故答案为3.【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键. 14．（3a﹣b）【解析】解：由题意可得，剩余金额为：（3a-b）元，故答案为：（3a-b）．点睛：本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．15．1．【解析】解：∵平移后解析式是y=x﹣b，代入y=5x得：x﹣b=5x，即x2﹣bx=5，y=x﹣b与x轴交点B的坐标是（b，0），设A的坐标是（x，y），∴OA2﹣OB2=x2+y2﹣b2=x2+（x﹣b）2﹣b2=2x2﹣2xb=2（x2﹣xb）=2×5=1，故答案为1．点睛：本题是反比例函数综合题，用到的知识点有：一次函数的平移规律，一次函数与反比例函数的交点坐标，利用了转化及方程的思想，其中利用平移的规律表示出y=x平移后的解析式是解答本题的关键. 16．60°或120°【解析】【分析】首先根据题意画出图形,过点O作OD⊥AB于点D, 通过垂径定理, 即可推出∠AOD的度数, 求得∠AOB 的度数, 然后根据圆周角定理,即可推出∠AMB和∠ANB的度数.【详解】解：如图：连接OA,过点O作OD⊥AB 于点D,Q OA=2,AB=323∴3:2,∴∠AOD=60o,∠∴AOB=120o,∴∠AMB=60o,∴∠ANB=120o.故答案为: 60o或120o.【点睛】本题主要考查垂径定理与圆周角定理，注意弦所对的圆周角有两个，他们互为补角.17．x=1．【解析】【分析】根据解分式方程的步骤解答即可.【详解】去分母得：2x=3x﹣1，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故答案为x=1．【点睛】本题主要考查了解分式方程的步骤，牢牢掌握其步骤就解答此类问题的关键．18．（x–1）1【解析】试题分析：直接用完全平方公式分解即可，即x1﹣4x+4=（x﹣1）1．考点：分解因式.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）这种篮球的标价为每个50元；（2）见解析【解析】【分析】（1）设这种篮球的标价为每个x 元，根据题意可知在B 超市可买篮球42000.8x 个，在A 超市可买篮球42003000.9x+个，根据在B 商场比在A 商场多买5个列方程进行求解即可； （2）分情况，单独在A 超市买100个、单独在B 超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得.【详解】（1）设这种篮球的标价为每个x 元，依题意，得4200420030050.80.9x x+-=， 解得：x=50，经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，答：这种篮球的标价为每个50元；（2）购买100个篮球，最少的费用为3850元，单独在A 超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元， 在A 超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元， 单独在B 超市购买：100×50×0.8=4000元， 在A 、B 两个超市共买100个，根据A 超市的方案可知在A 超市一次购买：20000.950⨯=4449，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9-300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B 超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元， 综上可知最少费用的购买方案：在A 超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B 超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.20．（1）50，20%，72°．（2）图形见解析；（3）选出的2人来自不同科室的概率=．【解析】试题分析：（1）根据调查样本人数=A 类的人数除以对应的百分比．样本中B 类人数百分比=B 类人数除以总人数，B 类人数所在扇形统计图中的圆心角度数=B 类人数的百分比×360°．（2）先求出样本中B 类人数，再画图．（3）画树状图并求出选出的2人来自不同科室的概率．试题解析：（1）调查样本人数为4÷8%=50（人），样本中B类人数百分比（50﹣4﹣28﹣8）÷50=20%，B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数是20%×360°=72°；（2）如图，样本中B类人数=50﹣4﹣28﹣8=10（人）；（3）画树状图为：共有20种可能的结果数，其中选出选出的2人来自不同科室占12种，所以选出的2人来自不同科室的概率=．考点：1.条形统计图2.扇形统计图3.列表法与树状图法．21．（1）15人;(2)补图见解析.（3）1 2 .【解析】【分析】（1）根据三班有6人，占的百分比是40%，用6除以所占的百分比即可得总人数；（2）用总人数减去一、三、四班的人数得到二班的人数即可补全条形图，用一班所占的比例乘以360°即可得A1所在扇形的圆心角的度数；（3）根据题意画出树状图，得出所有可能，进而求恰好选出一名男生和一名女生的概率．【详解】解:（1）七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数：6÷40%=15人；（2）A2的人数为15﹣2﹣6﹣4=3（人）补全图形，如图所示，A1所在圆心角度数为：215×360°=48°；（3）画出树状图如下：共6种等可能结果,符合题意的有3种∴选出一名男生一名女生的概率为：P=31 62 .【点睛】本题考查了条形图与扇形统计图，概率等知识，准确识图，从图中发现有用的信息，正确根据已知画出树状图得出所有可能是解题关键．22．2m2+2m+5；1；【解析】【分析】先利用完全平方公式化简，再去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入值计算即可．【详解】解：原式=2（m2﹣2m+1）+1m+3,=2m2﹣4m+2+1m+3=2m2+2m+5，∵m是方程2x2+2x﹣1=0的根，∴2m2+2m﹣1=0，即2m2+2m=1，∴原式=2m2+2m+5=1．【点睛】此题考查了整式的化简求值以及方程的解，利用整体代换思想可使运算更简单.23．（1）y=12x2+x﹣32（2）存在，（﹣1﹣2，2）或（﹣2，2）（3）点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为 1 【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（﹣3，0），（1，0），（0，32）代入求出a、b、c的值即可；（2）根据抛物线解析式可知顶点P的坐标，由两个三角形的底相同可得要使两个三角形面积相等则高相等，根据P点坐标可知E点纵坐标，代入解析式求出x的值即可；（3）分别讨论AB为边、AB为对角线两种情况求出F点坐标并求出面积即可；【详解】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将（﹣3，0），（1，0），（0，32）代入抛物线解析式得09a-3b+c0a+b+c32c⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得：a=12，b=1，c=﹣32∴抛物线解析式：y=12x2+x﹣32（2）存在．∵y=12x2+x﹣32=12（x+1）2﹣2∴P点坐标为（﹣1，﹣2）∵△ABP的面积等于△ABE的面积，∴点E到AB的距离等于2，设E（a，2），∴12a2+a﹣32=2解得a1=﹣1﹣22，a2=﹣1+22∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣22，2）或（﹣1+22，2）（3）∵点A（﹣3，0），点B（1，0），∴AB=4若AB为边，且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB∥PF，AB=PF=4∵点P坐标（﹣1，﹣2）∴点F坐标为（3，﹣2），（﹣5，﹣2）∴平行四边形的面积=4×2=1若AB为对角线，以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB与PF互相平分设点F（x，y）且点A（﹣3，0），点B（1，0），点P（﹣1，﹣2）∴3112200222x y -+-+⎧=⎪⎪⎨+-+⎪=⎪⎩ ， ∴x=﹣1，y=2∴点F （﹣1，2）∴平行四边形的面积=12×4×4=1 综上所述：点F 的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为1．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的几何应用，分类讨论并熟练掌握数形结合的数学思想方法是解题关键.24．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先判定AEM DCM V V ≌，可得AE CD ＝，再根据AD 是ABC △的中线，即可得到AD CD BD ＝＝，依据AE BD P ，即可得出四边形AEBD 是平行四边形；（2）先判定AEF BCF V V ∽，即可得到3AB AF ＝，依据3AC AF ＝，可得AB AC ＝根据AD 是ABC △的中线，可得AD BC ⊥，进而得出四边形AEBD 是矩形.【详解】证明：（1）Q M 是AD 的中点，AM DM ∴＝，AE BC Q ∥，AEM DCM ∴∠∠＝，又AME DMC ∠∠Q ＝，AEM DCM ∴V V ≌，AE CD ∴＝，又AD Q 是ABC △的中线，AD CD BD ∴＝＝，又AE BD Q ∥，∴四边形AEBD 是平行四边形；（2）AE BC Q ∥，AEF BCF ∴V V ∽， ∴AF AE 1BF BC 2==，即2BF AF ＝，3AB AF ∴＝，又3AC AF Q ＝，AB AC ∴＝，又AD Q 是ABC △的中线，AD BC ∴⊥，又Q 四边形AEBD 是平行四边形，∴四边形AEBD 是矩形.【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形的判定，等腰三角形的性质以及相似三角形的性质的运用，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形.25．（1）详见解析；（2）①67.5°；②90°．【解析】【分析】（1）要证明CD ∥AB ，只要证明∠ODF ＝∠AOD 即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF ＝∠AOD ，从而可以解答本题；（2）①根据四边形ADFP 是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE 的度数；②根据四边形BFDP 是正方形，可以求得∠DAE 的度数．【详解】（1）证明：连接OD ，如图所示，∵射线DC 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥CD ，即∠ODF ＝90°，∵∠AED ＝45°，∴∠AOD ＝2∠AED ＝90°，∴∠ODF ＝∠AOD ，∴CD∥AB；（2）①连接AF与DP交于点G，如图所示，∵四边形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PEG＝22.5°，∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，故答案为：67.5°；②∵四边形BFDP是正方形，∴BF＝FD＝DP＝PB，∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，∴此时点P与点O重合，∴此时DE是直径，∴∠EAD＝90°，故答案为：90°．【点睛】本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用菱形的性质和正方形的性质解答．26．（1）见解析；（2）①1；②：x=0或2﹣4或4＜x＜2；【解析】【分析】（1）分别以M、N为圆心，以大于12MN为半径作弧，两弧相交与两点，过两弧交点的直线就是MN的垂直平分线；（2）①分为PM=PN，MP=MN，NP=NM三种情况进行判断即可；②如图1，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；如图4，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【详解】解：（1）如图所示：（2）①如图所示：故答案为1．②如图1，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴42=OM，当M与D重合时，即424=-=时，同理可知：点P恰好有三个；x OM DM如图4，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆．则⊙M 与OB 除了O 外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN 为顶角，MN 为腰，符合条件的点P 有一个，以N 圆心，以MN 为半径画圆，与直线OB 相离，说明此时以∠PNM 为顶角，以MN 为腰，符合条件的点P 不存在，还有一个是以NM 为底边的符合条件的点P ；点M 沿OA 运动，到M 1时，发现⊙M 1与直线OB 有一个交点； ∴当442x <<时，圆M 在移动过程中，则会与OB 除了O 外有两个交点，满足点P 恰好有三个； 综上所述，若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是：x=0或424x =-或442x <<．故答案为x=0或424x =-或442x <<．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法．27．（1）甲，乙两种玩具分别是15元/件，1元/件；（2）共有四种方案．【解析】【分析】（1）设甲种玩具进价x 元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x ）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具y 件，则购进乙种玩具（48﹣y ）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．【详解】解：设甲种玩具进价x 元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x ）元/件，x=15，经检验x=15是原方程的解．∴40﹣x=1．甲，乙两种玩具分别是15元/件，1元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，，解得20≤y＜2．因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y取20，21，22，23，共有4种方案．考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．。
2020年河南省南阳市中考数学一模试卷及答案解析
2020年河南省南阳市中考数学一模试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分.）（下列各小题只有一个答案是正确的.）
1．（3分）在下列四个数中，最小的数是（）
A．﹣2B．2﹣1C．√3D．0
2．（3分）5月5日，从省文化和旅游厅获悉，今年“五一”假期，全省累计接待国内游客1692.11万人次，实现旅游总收入79.26亿元．数据“79.26亿”用科学记数法表示为（）A．79.26×108B．7.926×109C．79.26×109D．7.926×108 3．（3分）一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点F在CB的延长线上．若DE∥CF，则∠BDF等于（）
A．35°B．30°C．25°D．15°
4．（3分）下列运算正确的是（）
A．2√2+3√3=5√5B．（a2）3＝a5C．a3•a2＝a5D．√6+√3=√2 5．（3分）如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（）
A．仅有甲和乙相同B．仅有甲和丙相同
C．仅有乙和丙相同D．甲、乙、丙都相同
6．（3分）如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（）
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