方程的根与零点的关系.
1.函数的零点与方程的根
定义证明.(2)因在 为增函数, 解:(1)定义证明 因在 ( −1,+∞ ) 为增函数 定义证明 为增,又 故在 (0,+∞ ) 为增 又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 所 以在(0,1)有且只有一个正根 下用二分法 有且只有一个正根.下用二分法 以在 有且只有一个正根 列表,区间 中点,中点函数值 约为 0.28(列表 区间 中点 中点函数值 列表 区间,中点 中点函数值)
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳： 一元二次函数、不等式、 知识归纳：、一元二次函数、不等式、方程的关系 1、
∆ = 0
∆ = 0
∆ < 0
二次函数
y = ax
2
+ bx + c
（ a > 0 ）的 图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根
(a
ax
2
> 0) 的根
+ bx + c = 0
3.方程有一正根一负根 ⇔ ac < 0
如果两根都大于2乍办？ 如果两根都大于 乍办？ 乍办
2.方程有两个不相等的负实数根 ⇔
∆ = b − 4 ac > 0 b x1 + x 2 = − > 0 a c x1 x 2 = > 0 a
方程的根与函数的零点(精选7篇)
方程的根与函数的零点（精选7篇）方程的根与函数的零点篇1第一课时： 3.1.1教学要求：结合二次函数的图象，推断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；把握零点存在的判定条件.教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，把握零点存在的判定条件.教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数.教学过程：一、复习预备：思索：一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c的图象之间有什么关系？.二、讲授新课：1、探讨函数零点与方程的根的关系：① 探讨：方程x -2x-3=o 的根是什么？函数y= x -2x-3的图象与x轴的交点?方程x -2x+1=0的根是什么？函数y= x -2x+1的图象与x轴的交点？方程x -2x+3=0的根是什么？函数y= x -2x+3的图象与x轴有几个交点？② 依据以上探讨，让同学自己归纳并发觉得出结论：→推广到y=f(x)呢？一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相应二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点横坐标.③ 定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.④ 争论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x 轴交点的横坐标的关系？结论：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点⑤ 练习：求下列函数的零点；→ 小结：二次函数零点状况2、教学零点存在性定理及应用：① 探究：作出的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观看f(2)和f(0)的符号②观看下面函数的图象，在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞).③定理：假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.④ 应用：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数. （试争论一些函数值→分别用代数法、几何法）⑤小结：函数零点的求法代数法：求方程的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.⑥ 练习：求函数的零点所在区间.3、小结：零点概念；零点、与x轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理三、巩固练习：1. p97, 1,题 2,题（老师计算机演示，同学回答）2. 求函数的零点所在区间，并画出它的大致图象.3. 求下列函数的零点：；；；.4.已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）假如函数至少有一个零点在原点右侧，求的值.5. 作业：p102, 2题；p125 1题其次课时： 3.1.2用二分法求方程的近似解教学要求：依据详细函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解，使同学体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.教学重点：用二分法求方程的近似解.教学重点：恰当的使用信息工具.教学过程：一、复习预备：1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.2. 探究：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？材料：高次多项式方程公式解的探究史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却始终没有胜利，到了十九世纪，依据阿贝尔（abel）和伽罗瓦（galois）的讨论，人们熟悉到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当简单，一般来讲并不相宜作详细计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中非常重要的课题二、讲授新课：1. 教学二分法的思想及步骤：① 出示例：有12个小球，质量匀称，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. （让同学们自由发言，找出最好的方法）解：第一次，两端各放六个球，低的那一端肯定有重球其次次，两端各放三个球，低的那一端肯定有重球第三次，两端各放一个球，假如平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？② 探究：的零点所在区间？如何找出这个零点？→ 师生用二分法探究③ 定义二分法的概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection)④ 探究：给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：a.确定区间，验证，给定精度ε；b. 求区间的中点；c. 计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；d. 推断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4.2. 教学例题：① 出示例：借助计算器或计算机用二分法求方程2 +3x=7的近似解. （师生共练）② 练习：求函数的一个正数零点（精确到）3. 小结：二分法的概念, 二分法的步骤；注意二分法思想三、巩固练习：1. p100, 1,题 2,题； 2. 求方程的解的个数及其大致所在区间.3. 用二分法求的近似值；4. 求方程的实数解个数：；5. 作业：p102 3，4题，阅读p105框图方程的根与函数的零点篇2一、教学内容解析本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。
方程的根与函数的零点 课件
此判定方法经常考，要注意条件一定要完备，缺一不可． 反之，若函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)·f(b)＜0 不一定 成立． 因为 f(x)在(a，b)内的零点可能为不变号零点，也可能不止一个 零点．
(2)应用零点存在性定理应注意以下问题： ①并非函数所有的零点都能用该定理找到，当函数值在零点左 右不变号时就不能应用该定理，如函数 y＝x2 在零点 x0＝0 左右 的函数值都是正值，显然不能使用定理判断，只有函数值在零 点的左右两侧异号时才能用这种方法． ②利用零点存在性定理只能判别函数 y＝f(x)在区间(a，b)上零 点的存在性，但不能确定零点的个数．
2．解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ 与 0 的大小；②对称轴与所给 端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体 现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在 写不等式时要注意条件的完备性．
方程的根与函数的零点
自学导引 1．函数的零点 对于函数 y＝f(x)，把 使f(x)＝0的实数x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 想一想：函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点吗？ 提示 函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x) 与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是 一个实数．
如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点为
x1，x2(x1≤x2)且 k1＜x1≤x2＜k2.
Δ≥0， 则k1＜－2ba＜k2，
ffkk12＞ ＞00， ，
题型一 求函数的零点 【例 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝xx＋；3 (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x； [思路探索] 利用解方程的方法求相应方程的根即可．
2021届高中数学新人教版高中数学第一册方程的根与函数的零点含解析
3.1.1方程的根与函数的零点课标要点课标要点学考要求高考要求1.函数零点的概念a b2.f(x)＝0有实根与y＝f(x)有零点的关系b c3.函数零点的判定b c知识导图学法指导1.会用因式分解、公式法等求一元二次方程的根，并明白与相应二次函数图象间的关系．2．熟悉基本函数(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数)的图象与性质，能根据图象判断零点的情况.知识点一函数的零点1．零点的定义对于函数y＝f(x)，把f(x)＝0的实数x，叫做函数y＝f(x)的零点．函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程的根与函数零点的关系知识点二函数零点的判定函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，．(3,4)(2)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．①f(x)＝－x2－4x－4；②f(x)＝4x＋5；③f(x)＝log3(x＋1)．＝f(x)的图象，图见解析方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数思路二：画出函数图象，依据图象与x上是一条连续不断的)内至少有一个零解析：方法一 方程x ＋2＝0(x <0)的根为x ＝－2，方程x 2－1＝0(x >0)的根为x ＝1，所以函数f (x )有2个零点－2与1.方法二 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <0，x 2－1，x >0的图象，如图所示，观察图象可知，f (x )的图象与x 轴有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．答案：C解决分段函数的零点个数问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量的取值范围，代入相应的解析式求解零点，注意自变量的取值范围．类型三 判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】 因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>ln e －1＝0，f (2)·f (3)<0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：f (2)＝22－1＋2－5<0，f (3)＝23－1＋3－5>0，故f (2)·f (3)<0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)<0求零点区间.[能力提升](20分钟，40分)11．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4y 6m －4－6－6－4n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根，又由f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．答案：A12．函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数是________．解析：方法一函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．方法二因为f(1)＝－2，f(2)＝ln 2＋1>0.所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．答案：113．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．解析：由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y ＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知，0<a－1<1，所以1<a<2.即a的取值范围为(1,2)．。
方程的根与函数的零点
《方程的根与函数的零点》说课稿一、教材分析1.地位与作用本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时主要内容是函数零点概念、函数零点与相对应方程根的关系，函数零点存有性定理，是一节概念课。
新教材新增了二分法，也因而设置了本节课，所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存有性定理是二分法的必备知识。
从研究方法来说，零点概念的形成和零点存有定理的发现，符合从特殊到一般的理解规律，有利于培养学生的概括归纳水平，也为数形结合思想提供了广阔的平台，2.教学重点基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念掌握函数零点存有性定理。
二、学情分析1.学生具备必要的知识与心理基础通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图的水平，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存有性提供了一定的知识基础。
2.学生缺乏函数与方程联系的观点高一学生在函数的学习中，将函数孤立起来，理解不到函数在高中中的核心地们，例如：一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数图象，函数与方程相联系的观点的建立，函数应用意识的初步树立就成了本节课必须承载的任务3.零点定理的矛盾零点存有性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体实例中操作感知，通过更多的举例来验证。
定理只为零点的存有提供充分非必要条件，所以定理的逆命题，否命题都不成立，在函数连续性，简单逻辑用语来学习的情况下，学生对定理的理解不够深入，这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围。
4.数学难点基于上述分析，确定本节教学难点：对零点存有的定理的准确理解。
三、目标分析依据新课标中心的内容与要求，以及学生实践情况。
指定数学目标如下：1 . 知识与技能目标①. 了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如：二次方程）说明方程的根，函数的零点，函数图象与X轴的交点三者关系。
方程的根与零点的关系
2．函数变号零点的性质． 对于任意函数y＝f(x)，只要它的图象是连续 不间断的，则有： ①当它通过变号零点时，函数值变号．如函 数f(x)＝x2－2x－3的图象在零点－1的左边时， 函数值取正号，当它通过零点－1时，函数值 由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值 又由负变正． ②在相邻两个零点之间所有的函数值保持同 号．
3．方程的根与函数的零点的作用 一方面，函数是否有零点是研究函数性质和 精确地画出函数图象的重要一步．例如，求 出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就 能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略 地画出函数的简图． 另一方面，对于不能用公式法求根的方程f(x) ＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起 来，利用函数的性质找出零点或所在范围， 从而求出方程的根或根的近似值．
[例 6]
1 函数 f(x)＝x＋ 的零点个数为( x B．1 个 D．至多 1 个
)
A．0 个 C．至少 1 个
[错解] ∵f(1)＝2>0，f(－1)＝－2<0， ∴f(x)至少有一个零点，故选C. [辨析] 解决函数问题必须注意函数的定义 域，本题中，函数f(x)定义域为(－∞，0)∪(0， ＋∞)，∴f(x)的图象不是连续不断的．在定义 域上不能用勘根定理．因为此定理的前提条 件是函数图象连续不断． [正解] 易知函数定义域为{x∈R|x≠0}，当 x<0时，f(x)<0，当x>0时，f(x)>0，∴函数无 零点，故选A.
(1) 对 于 函 数 f(x) ＝ x2 ＋ mx ＋ n ， 若 f(a)>0 ， f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内 ( ) A．一定有零点 B．一定没有零点 C．可能有两个零点 D．至多有一 个零点 (2)若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶 函数，且在(0，＋∞)上为减函数，f(2)＝0， 则函数f(x)的零点有 ( ) A．一个 B．两个
方程的的零点根与函数
表格法是用表格的形式来表示 函数，通过输入值和对应的输 出值来展示函数的对应关系。
图象法是用图象来表示函数， 通过绘制函数的图像来直观地
展示函数的对应关系。
函数的性质
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。
奇偶性是指函数图像关于原点对称还是关于y轴对称；单调性是指函数在某个区 间内是递增还是递减；周期性是指函数图像是否具有周期性；对称性是指函数图 像是否具有对称性。
03
函数与零点、根的关系
函数零点的求法
定义法
根据函数零点的定义，如果 $f(x)=0$的解为$x=a$，则称$a$
为函数$f(x)$的零点。
图像法
通过观察函数的图像，找到与$x$ 轴交点的横坐标即为函数的零点。
迭代法
通过不断迭代函数，找到满足 $f(x)=0$的解。
函数根的求法
01
02
03
代数法
解决实际问题
在解决一些实际问题时， 可以通过寻找函数的零点 或根来找到问题的解。
数学建模
在数学建模中，函数的零 点或根可以作为模型中的 参数或变量，用于描述和 解决实际问题。
04
方程的零点、根与函数的实例 分析
一元二次方程的零点与根
01
一元二次方程的零点
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的零点是 $x_1, x_2$，其中 $x_1,
未来研究方向
深入理论研究
01
随着数学和其他学科的发展，需要进一步深入研究和探索零点、
根与函数的理论基础和应用范围。
跨学科研究
02
加强与其他学科的交叉研究，探索这些概念在不同领域的应用
方程的根与函数的零点
方法指导
解析
将方程的根转化为函数图象的交点的横坐标问题,画图即可得出结果.
由题意可得 2x+x=2⇒2x=2-x,log2x+x=2⇒log2x=2-x,
则 a,b,c 分别为 y=2-x 与 y=2x,y=2-x 与 y=log2x,y=log2(-x)
与 y=2x 图象的交点的横坐标,如图,在同一坐标系中画出 y=2x,y=log2x,y=log2(-x),y=2x,y=2x 的图象,可得 b>a>c.
2022
湘教版必修第一册
第四章
幂函数、指数函数和对数函数
4.4 函数与方程
4.4.1 方程的根与函数的零点
目
录
1
课前预学
2
课堂导学
课前预学
课堂导学
1.理解函数的零点与方程的根的关系.
2.掌握函数零点的性质.
3.掌握函数零点个数的判断方法以及零点分布情况.
课前预学
课堂导学
下图为函数 f(x)在[-4,4]上的图象:
课前预学
课堂导学
方法总结 判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值;
(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断;
(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号
为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.
课前预学
课堂导学
【巩固训练】
课前预学
课堂导学
问题 2:一般地,方程 f(x)=0 的根与函数 y=f(x)的零点是什么关系?
答案
方程 f(x)=0 的根就是函数 y=f(x)的零点.
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2．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的实数根及其相应的二次函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)的图象与x轴交点的关系如下表，请填写
Δ ＝b 2
函数y＝ ax2＋bx － ＋c图 4ac 象
方程的实根
y＝ax2＋bx ＋c与x轴 结论 的交点 方程 的 实 根 即 函 数 图 象 与
Δ>0
Δ＝0
f ( x ) ＝0 3.对于函数y＝f(x)，我们把使 的 实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程f(x)＝0有实数根 x轴 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点 ⇔函数y＝f(x)有 零 点． 4 ．若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a， b] 上的图象是连 续曲线，且有 ，则函数 y ＝ f(x) 在 f(a)f(b)<0 区间 (a ， b) 内有零点，即存在 c∈(a ， b) 使得 0 f(c)＝ .
本节重点难点：通过方程与函数的关系，确定 方程根的存在性和根的个数．
1．一般结论 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续 不间断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么， 函数 y ＝ f(x) 在区间 (a ， b) 内有零点．即存在 c∈(a ， b) ，使得 f(c) ＝ 0 ，这个 c 就是方程 f(x) ＝ 0 的根．零点 c 通常称作函数 f(x) 的变号零 点． 注意： f(x) 的图象必须在区间 [a， b]上连续不 断且 f(a)·f(b)<0 时，才可确定 f(x) 在 [a ， b] 上 有零点．
3． 1
函数与方程
3．1.1
方程的根与函数的零 点
(1,0)，(－1,0) 1．函数y＝x2－1与x轴交点坐标为 ． x＝±1 方程x2－1＝0的实数根为 (0,0) . 函数y＝x2与x轴交点坐标为 ． x＝0 方程x2＝0的实数根为 无 . 无 ． 函数y＝x2＋1与x轴交点 方程x2＋1＝0的实数根 ．
3．方程的根与函数的零点的作用 一方面，函数是否有零点是研究函数性质和 精确地画出函数图象的重要一步．例如，求 出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就 能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略 地画出函数的简图． 另一方面，对于不能用公式法求根的方程f(x) ＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起 来，利用函数的性质找出零点或所在范围， 从而求出方程的根或根的近似值．
[例1] 1.指出下列函数的零点： ①f(x)＝4x－3 ②f(x)＝x2－3x＋2 ③f(x)＝x4－1 2．函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是 2和－4， 求a、b. 3．函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实 数a的取值范围．
[解析]
1.函数零点就是相应方程的实数根，可用求根
2．函数变号零点的性质． 对于任意函数 y ＝ f(x) ，只要它的图象是连续 不间断的，则有： ①当它通过变号零点时，函数值变号．如函 数f(x)＝x2－2x－3的图象在零点－1的左边时， 函数值取正号，当它通过零点－1时，函数值 由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值 又由负变正． ②在相邻两个零点之间所有的函数值保持同 号．
(1) 对 于 函 数 f(x) ＝ x2 ＋ mx ＋ n ， 若 f(a)>0 ， f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内 ( ) A．一定有零点 B．一定没有零点 C．可能有两个零点 D ．至多有一 个零点 (2) 若函数 f(x) 在定义域 {x|x∈R 且 x≠0} 上是偶 函数，且在 (0 ，＋ ∞ ) 上为减函数， f(2) ＝ 0 ， 则函数f(x)的零点有 ( ) A．一个 B．两个
(1)指出下列函数的零点： ①f(x)＝x2－2x－3零点为________． ②g(x)＝lgx＋2零点为________． (2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点， 则f(1)＝________.
[答案]
[解析]
1 (1)①3，－1 ②100 (2)－6 (1)①f(x)＝(x－3)(x＋1)的零点为3和－1，
[解析]
解法1：∵c＝f(0)，∴a· c＝a· f(0)<0
a<0， 或 f(0)>0.
a>0， 即a和f(0)异号，即 f(0)<0，
∴函数必有两个零点．∴选B. 解法2：∵ac<0，∴Δ＝b2－4ac>0， ∴有两个零点．
总结评述：判断二次函数f(x)的零点个数，就 是判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实根个 数，一般地由判别式Δ>0、Δ＝0、Δ<0完 成．对于二次函数在某个定义区间上的零点 个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点， 则要结合二次函数的图象进行．
公式或分解因式求解． 3 3 ∴①由4x－3＝0得x＝4，零点是4. ②f(x)＝0，即(x－1)(x－2)＝0， ∴f(x)零点为1和2. ③∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)
2．由题意知2和－4是方程x2＋ax＋b＝0的两根∴a＝ 2，b＝－8. 3．若a＝0，则f(x)＝－x－1仅有一个零点－1；若 1 a≠0，由Δ＝1＋4a＝0得a＝－ ，此时函数只有一个零点， 4 1 ∴当a＝0或－4时，所给函数有且仅有一个零点．
1 ②由lgx＋2＝0得，lgx＝－2，∴x＝100. 1 故g(x)的零点为100.
f(－1)＝0 (2)由条件知 f(4)＝0 a＝1 ∴ b＝－3 a－b－4＝0 ，∴ 16a＋4b－4＝0
，
，∴f(1)＝a＋b－4＝－6.
[ 例 2] 二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 中， a·c<0 ， 则函数的零点个数是 ( ) A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 [ 分析 ] 分析条件 a·c<0 ， a 是二次项系数， 确定抛物线的开口方向，c＝f(0)，所以a·c＝ a·f(0)<0，由此得解．