北京四中---高中数学高考综合复习 专题二十三 直线与圆锥曲线问题的解题策略(研究性学习之一)
高中数学高考综合复习专题二十三直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性学习之一）众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。
多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化；（2）对于交点坐标的适当处理。
本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。
一、条件或目标的认知与转化解题的过程是一系列转化的过程。
从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。
然而，转化的基础是认知——认知已知、目标的本质和联系。
有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。
1、化生为熟化生为熟是解题的基本策略。
在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。
因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。
一但转化成功，解题便得以驾轻就熟，胜券在握。
（1）向弦中点问题转化例1.已知双曲线=1（a>0,b>0）的离心率，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为（1）求双曲线方程；（2）若直线（km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m 的取值范围。
略解：（1）所求双曲线方程为（过程略）（2）由消去y得：由题意知，当时，①设中点则C、D均在以A为圆为的同一圆上又∴②于是由②得③由②代入①得，解得m<0或m>4④于是综合③、④得所求m的范围为（2）向弦长问题转化例2．设F是椭圆的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足（1）求点P的轨迹C2的方程；（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使成立的直线l 的方程。
分析：为避免由代换引发的复杂运算，寻觅替代的等价条件：设弦A D、BC的中点分别为O1、O2，则，故，据此得于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。
略解：椭圆C1的中心点P分所成的比λ=2。
（1）点P的轨迹C2的方程为（过程略）（2）设直线l的方程为①①代入椭圆C1的方程得，故有故弦AD中点O1坐标为②①代入椭圆C2的方程得，又有故弦BC中点O2坐标为③∴由②、③得④注意到⑤于是将②、③、④代入⑤并化简得：由此解得。
因此，所求直线l的方程为2．化繁为简解析几何是用代数计算的方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题，人们都有这样的共同感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。
解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又能做到的关键，往往在于能否化繁为简。
化繁为简的策略，除去“化生为熟”之外，重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。
（1）借助投影对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题，当题设条件的直接转化颇为繁杂时，不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法；将线段上有关各点向x轴（或y轴或其它水平直线）作以投影，进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化，这一手法往往能够有效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。
例3．如图，自点M（1，-1）引直线l交抛物线于P1 、P2两点，在线段P1 、P2上取一点Q，使、、的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。
解：设又设直线l的方程为①①代入得由题意得或②且③又由题意得④作P1、Q、P2在直线y=-1上的投影P1′、Q′、P2′（如图）又令直线l的倾斜角为则由得∴同理，∴将上述三式代入④得⑤∴将③代入⑤得∴⑥∴将⑥代入①得⑦于是由⑥、⑦消去参数k得⑧再注意到②式，由⑥得或⑨因此，由⑧、⑨得所求点Q的轨迹方程为（2）避重就轻事物都是一分为二的，复杂问题中有关事物之间你中有我、我中有你的局面，在给我们解题制造麻烦的同时，也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。
例4．已知点P、Q在椭圆上，椭圆中心为O，且，求椭圆中心O到弦PQ的距离。
分析：这里需要P、Q点坐标，对此，如果直面直线PQ方程和椭圆方程联立方程组，则不论是求解P、Q坐标，还是利用所设P、Q坐标，都不免招致复杂局面。
于是转而考虑侧面迂回，避重就轻，同时，注意到P、Q两点的双重属性，想到避开正面求解，而由直线OP（或OQ）方程和椭圆方程联立方程组解出点P（或点Q）坐标。
解（避重就轻，解而不设）：设则由得（1）当点P、Q不在坐标轴上时，设直线OP的方程①则直线OQ的方程为②将①代入椭圆方程易得∴③将②代入椭圆方程易得∴④∴由③、④得⑤又在中作于H，于是由及⑤式得=∴（2）当点P、Q在坐标轴上时，同样可得，从而有。
于是由（1）（2）知所求椭圆中心O到弦PQ的距离为。
直线与圆锥曲线相交的问题，适当处置交点坐标是解题繁简乃至解题成败的关键环节。
循着教材中关于曲线交点的定位，直线与圆锥曲线的交点坐标，首先是立足于“解”，其次是辅助于“设”。
于是，在宏观上围绕着“解”与“设”的选择，产生出两对解题思路：解而不设与设而不解；既设又解与不解。
在这里，“设”是举手之劳，问题在于，在一个具体问题中，“解”的火候如何把握？“不解”的时机如何捕捉？以下继续作以探索。
二、求解交点坐标的“度”的把握个体与整体是辩证的统一，循着“个体”与“整体”的辩证关系，立足于“解”交点坐标，主要是以下两种选择：1、半心半意，解至中途从认识目标切入，如果目标不是交点的横坐标或纵坐标的个体，而是关于交点横坐标（或纵坐标）的和与积的对称式，则一般选择从直线方程与曲线方程的联立方程组入手，解至中途运用韦达定理，进而对目标进行转化、靠拢，直至利用上述结果解决问题。
例 1.设斜率为2的直线与抛物线相交于A、B两点，以线段AB为边作矩形ABCD，使，求矩形A BCD的对角线交点M的轨迹方程。
解：设直线A B的方程为。
由由题意①由韦达定理得②∴③再设A B中点为，则有，注意到四边形A BCD为矩形，故有，且，由此得由（4）得⑥⑥代入（5）得化简得⑦再注意到①中，由（5）得∴⑧因此由⑦、⑧得所求动点M的轨迹方程为。
点评：本例是“立足于一条直线与曲线相交”的问题。
这里所说的“立足于一条直线与曲线相交”的问题，是指这样两种题型：（1）问题由一直线与曲线相交引出；（2）问题中虽然出现多条直线与同一曲线相交，但这些直线的引出存在着明显的顺序（或依赖关系），整个问题构建在某一条直线与曲线相交的基础之上，对此，我们的求解仍倚仗于对交点坐标“既设又解”的策略。
这里的“解”，是解直线方程与曲线方程所联立的方程组，是“半心半意”地求解，解至中途运用韦达定理，因此，此类问题的解题三部曲为（1）全心全意地设出交点坐标；（2）“半心半意”地求解上述方程组，解至中途运用韦达定理；（3）对题设条件主体进行分析、转化，使之靠拢并应用（2）的结果导出既定目标。
2、真心实意，求解到底当目标的转化结果不是交点横标（或纵标）的对称式，而是交点坐标的个体时，则需要真心实意地将求解交点坐标进行到底。
例2.正方形A BCD的中心为M（3，0），一条顶点在原点，焦点在X轴正半轴上的抛物线E，一条斜率为的直线l，若A、B两点在抛物线E上，而C、D两点在直线l上，求抛物线E和直线l的方程。
解：由题意设抛物线E的方程为，直线l的方程为。
又设正方形ABCD的（一条）对角线的斜率为k，则由∴直线AM、BM的方程分别为再设则由得①又点A、B在抛物线E上，故有②③于是由①、②、③解得。
故得A（4，2）、B（1，1）、因此可知，所求抛物线E的方程为；所求直线l方程为。
点评：上述问题中出现“相对独立的多条直线与同一曲线相交”，即问题中多条直线的出现没有确定的顺序或依赖关系，各条直线之间具有相对独立性。
对此，我们仍然运用对交点坐标“既设又解”的策略，不过，这里的“解”不是解直线方程与曲线方程所联立的方程组，而是解关于所设交点坐标的等式所联立的方程组；这里的“解”不是“半心半意”地解至中途运用韦达定理，而是全心全意地去解出交点坐标，因此，此类问题的解题三部曲为：（1）全心全意地设出交点坐标；（2）全心全意地求解所设交点坐标满足的方程所联立的方程组，解出所设交点坐标；（3）利用（2）的结果追求既定目标。
三、求解交点坐标的转换与回避解决直线与圆锥曲线相交问题招致复杂局面或陷入绝境，究其原因，大多是求解直线与圆锥曲线所联立方程组惹的祸。
因此，面对所给问题，当能预见到求解上述方程组的繁难程度时，能转换正面求解（交点坐标）便尽量转换，能回避正面求解（交点坐标）便尽量回避。
1、设而不解这里所谓的“设而不解”，是指设出交点坐标之后，借助已知方程，运用交点坐标去表示已知条件或主要目标。
其中，用所设交点坐标去构造有关直线的斜率最为多见。
例1．设椭圆的上半部有不同三点A、B、C，它们到同一焦点的距离依次成等差数列，且点B的纵坐标与椭圆的半焦距相等，求线段A C的中垂线在y轴上的截距。
分析：考察线段A C的中垂线方程，易知其斜率由点A、C同名坐标的差式表出，弦中点由点A、C同名坐标的和式表出。
由此想到对交点坐标“设而不解”，并借助焦点半径公式求解。
解：设，弦A C中点M(x0,y0)。
由已知椭圆方程得又运用椭圆第二定义可得，∴由题设条件得①而∴②此时，注意到点A、C在椭圆上，故有③④③—④得⑤∴②代入得由此得⑥∴由②、⑥得，即A C中点于是可知弦A C的中垂线方程为⑦∴在⑦中令x=0得由此可知，所求弦A C的中垂线在y轴上的截距为2、不设不解这是解决直线与曲线相交问题的至高境界。
因此，欲适时地正确选择对交点坐标“不设不解”，需要我们对问题或图形本质的深刻认知，需要我们对有关知识的深厚积淀或升华。
（1）利用圆锥曲线定义回避交点坐标例2．已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，，且，求椭圆的离心率。
解：注意到这里涉及点P处两条焦点半径，故考虑利用椭圆定义1。
设椭圆方程为。
又设，则由题意得①根据椭圆定义得∴②∴①代入②得，解得③再由得∴④∴③代入④得化简得，∴由此解得。
（2）借助有关图形性质回避交点坐标例3．已知直线l：与⊙相交于A、B两点，当时，求⊙C 的方程。
提示：圆心C到弦A B的距离（弦心距）注意到由圆的弦的性质得，由此解得a的值。
（3）利用有关问题的深入认知回避交点坐标这是处置直线与曲线乃至两曲线相交问题的重要策略，现以例4示范说明。
例4．已知圆M与圆相交于不同两点A、B，所得公共弦AB平行于已知直线，又圆M经过点C（-2，3），D（1，4），求圆M的方程。
解（利用对圆的根轴方程的认知廻避交点坐标）：设圆M方程为①又已知圆方程为②∴①—②得上述两圆公共弦A B所在直线方程∴由题设得③注意到点C、D在圆M上，故有④⑤∴将①、②、③、联立解得∴所求圆M的方程为四、高考真题1.（2005·全国卷A）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆在焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。
2024全国高考真题数学汇编：直线与圆锥曲线的位置关系
2024全国高考真题数学汇编直线与圆锥曲线的位置关系一、多选题1．（2024全国高考真题）抛物线C ：24y x 的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y ⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQC ．当||2PB 时，PA ABD ．满足||||PA PB 的点P 有且仅有2个二、填空题2．（2024北京高考真题）若直线 3y k x 与双曲线2214xy 只有一个公共点，则k 的一个取值为．三、解答题3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024上海高考真题）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b左右顶点分别为12,A A ，过点 2,0M 的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e 时，求b 的值．(2)若2b MA P△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P，求b 的取值范围．参考答案1．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x ，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB 先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k 是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF ，于是问题转化成PA PF 的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x 的准线为=1x ，A 的圆心(0,4)到直线=1x 的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ，则P 的纵坐标4P y ，由24PP y x ，得到4P x ，故(4,4)P ，此时切线长PQ ，B 选项正确；C 选项，当2PB 时，1P x ，此时244P P y x ，故(1,2)P 或(1,2)P ，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B ，42201PA k ，4220(1)AB k，不满足1PA AB k k ；当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B ，4(2)601PA k ，4(2)60(1)AB k，不满足1PA AB k k ；于是PA AB 不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF ，这里(1,0)F ，于是PA PB 时P 点的存在性问题转化成PA PF 时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22，AF 中垂线的斜率为114AF k，于是AF 的中垂线方程为：2158x y，与抛物线24y x 联立可得216300y y ，2164301360 ，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF ，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t，由PB l 可得 1,B t ，又(0,4)A ，又PA PB ，214t ，整理得216300t t ，2164301360 ，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD2．12（或12，答案不唯一）【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立 22143x y y k x，化简并整理得： 222214243640k x k x k ，由题意得2140k 或 2222Δ244364140k k k ，解得12k 或无解，即12k ，经检验，符合题意.故答案为：12（或12，答案不唯一）.3．(1)2221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为2e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)b(2) 2,P(3)【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线:2l x my ，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【详解】（1）由题意得21c ce a，则2c，b （2）当b 时，双曲线22Γ:183y x ，其中 2,0M ， 21,0A ，因为2MA P △为等腰三角形，则①当以2MA 为底时，显然点P 在直线12x 上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以2A P 为底时，23MP MA 设 ,P x y ，则2222318(2)9y x x y ,联立解得2311x y或2311x y10x y ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知2MP MA ，矛盾，舍去）；③当以MP 为底时，223A P MA ，设 00,P x y ，其中000,0x y ，则有 2200220019183x y y x，解得002x y，即 2,P ．综上所述： 2,P .（3）由题知 121,0,1,0A A ，当直线l 的斜率为0时，此时120A R A P，不合题意，则0l k ，则设直线:2l x my ，设点 1122,,,P x y Q x y ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知 22,R x y ，联立有22221x my y x b222221430b m y b my b ，显然二次项系数2210b m ，其中 22222422Δ44134120mb b m b b m b ，2122241b my y b m ①，2122231b y y b m ②，1222111,,1,A R x y A P x y，则 122112111A R A P x x y y，因为 1122,,,P x y Q x y 在直线l 上，则112x my ，222x my ，即 2112331my my y y ，即 2121213100y y m y y m ，将①②代入有 2222222341310011b b mm m b m b m ，即 2222231341010b m m b m b m 化简得2223100b m b ，所以22103m b,代入到2210b m ,得221031b b ,所以23b ,且221030m b，解得2103b ，又因为0b ，则21003b ，综上知， 2100,33,3b，b．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设:2l x my ，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.。
高考数学复习考点题型专题讲解 题型29 直线与圆锥曲线(解析版)
高考数学复习考点题型专题讲解题型:之直线与圆锥曲线【高考题型一】：直线与圆锥曲线在简答题中的步骤体现。
『解题策略』：答题规范模板:步骤1：设直线方程：注意设直线的技巧。
①当斜率不存在的直线不满足，斜率为零的直线满足时，一般设为b kx y +=； ②当斜率为零的直线不满足，斜率不存在的直线满足时，一般设为n my x +=；③两类直线均满足或均不满足时，两种设法均可，但两类直线均满足时，注意要对取不到的直线补充验证。
)。
步骤2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程。
步骤3：写出根与系数的关系（如果求范围或直线与曲线不是恒有公共点，则写出)0(0≥∆>∆）。
步骤4：转化已知条件，转化为两根的关系。
步骤5：把根与系数的关系代入转化的条件中。
※注：若题目中不涉及根与系数，则．．．．．．．．．．．．．步骤．．4．\．步骤．．5．可省略。
．．．． 弦长公式：弦长：直线与曲线相交中两交点的距离。
弦长公式：直线与曲线联立，若消y ，转化为关于x 的一元二次方程，20,ax bx c ++=则弦长=a ；若消x ，则转化为关于y 的一元二次方程:20,ay by c ++=则弦长。
【题型1】：直线与椭圆的位置关系。
『解题策略』：直线0:=++C By Ax l ，椭圆C :221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠；判定方法：∆法：直线与椭圆方程联立：220,00,10,Ax By c mx ny ∆>⎧++=⎧⎪⇒∆=⎨⎨+=⎩⎪∆<⎩相交相切相离。
1.(高考题)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点。
（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
【解析】：(1)c=2，设椭圆方程为：142222=-+a y a x ，代入点A 得椭圆方程为2211612x y +=。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解27---直线与圆锥曲线的位置关系
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解直线与圆锥曲线的位置关系【高考展望】1.直线和圆锥曲线的位置关系判定是基础内容，是高考必考内容；2.直线与圆锥曲线相交有两个交点时的弦长公式是考试的重点内容；3.掌握圆锥曲线有关中点弦问题的求解方法；4.关于直线与圆锥曲线的综合问题历来是考试的重点和难点，需要强化练习，形成必要的技巧和技能。
【知识升华】知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离三种位置关系。
1．直线Ax+By+C ＝0和椭圆+=22221x y a b的位置关系：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线Ax+By+C ＝0和双曲线-=22221x y a b的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程。
（1）若方程为一元一次方程，则直线和双曲线的的渐近线平行，直线和双曲线有一个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则①若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点； ③若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点.3．直线Ax+By+C ＝0和抛物线y 2＝2px(p ＞0)的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程。
（1）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则①若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点； ③若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点. 知识点二：圆锥曲线的弦长1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
高考数学大题规范解答-(八)直线与圆锥曲线位置关系答题模板
直线与圆锥曲线位置关系是高考的必考内容，主要涉及曲线方程的求法、弦长、最值、定点等问题．解决直线与圆锥曲线位置关系问题，一般是联立方程组，消元后得一元二次方程，利用根与系数的关系来解决，重点考查基础知识，通性通法及常用技巧，所以在备考时要重视运算能力的培养与训练，提高运算的速度与准确度．“大题规范解答——得全分”系列之(八)直线与圆锥曲线位置关系的答题模板[典例] (2012北京高考·满分14分)已知曲线C ：(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )．(1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；(2)设m ＝4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B (点A 位于点B 的上方)，直线y ＝kx ＋4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线y ＝1与直线BM 交于点G .求证：A ，G ，N 三点共线．[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息 观察条件―→方程的曲线是焦点在x 轴上的椭圆―――――――→椭圆的标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求m 的范围―→需建立关于m 的不等式3．建联系，找解题突破口由椭圆的标准方程―――――→确定a 2，b 2a 2＝85－m ，b 2＝8m －2――――→建立关于m 的不等式 5－m ＞0，m －2＞0，85m－ ＞82m － ―――――――→解不等式组 得m 的取值范围1．审条件，挖解题信息 观察条件―→ m ＝4；曲线C 与y 轴交于A ，B 与直线y ＝kx ＋4交于M ，N ；直线y ＝1与直线BM 交于G―――――――――――――→把m ＝4代入曲线C 的方程并令x ＝0，得A 、B 的坐标曲线C 的方程x 2＋2y 2＝8，A (0，2)，B (0，－2) 2．审结论，明解题方向观察所证结论―→证明A ，G ，N 三点共线――――――→利用斜率转化证明k AN ＝k AG 3．建联系，找解题突破口联立方程y ＝kx ＋4与x 2＋2y 2＝8，消元――――――→利用根与系数的关系确定M ，N 的坐标满足的条件――――――→写出BM 的方程并令y ＝1写出G 的坐标――――――→写出k AN ，k AG的表达式证明k AN －k AG ＝0[教你准确规范解题](1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当⎩⎨⎧ 5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2，(3分)解得72＜m ＜5，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫72，5.(4分)(2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 2＋2y 2＝8，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0.(6分) 因为直线与曲线C 交于不同的两点，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×24＞0，即k 2＞32.(7分)设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4，x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1x 2＝241＋2k 2.(8分)直线BM 的方程为y ＋2＝y 1＋2x 1x ， 点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 1y 1＋2，1.(9分) 因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝y 2－2x 2，k AG ＝－y 1＋23x 1，(11分) 所以k AN －k AG ＝y 2－2x 2＋y 1＋23x 1＝kx 2＋2x 2＋kx 1＋63x 1＝43k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝43k ＋2×－16k 1＋2k 2241＋2k 2＝0. 即k AN ＝k AG .(13分)故A ，G ，N 三点共线．(14分)[常见失分探因]易忽视焦点在x 轴上，漏掉85－m ＞8m －2这一条件，从而失误. 联立消元后易忽视Δ＞0这一前提条件.不会将三点共线转化为斜率相等去证明.整体运算不准确，导致推证不出正确的结论. ———————————[教你一个万能模板]——————————————————第一步分析条件，确定相应的曲线方程―→第二步联立方程消元后保证Δ的取值，利用根与系数关系建立两交点坐标关系―第三步将所给定的问题坐标化、方程化，转化过程中要注意整体运算中x 1＋x 2，x 1x 2的运用 第四步解决问题得出结论―→。
北京市第四中学2016高考理科数学总复习例题讲解：圆锥曲线的方程与性质 04圆锥曲线
第四讲 圆锥曲线
北京四中 李伟
一、复习
椭圆、双曲线、抛物线的定义与方程
二、直线与圆锥曲线的位置关系
1.相离
2.相切
3.相交
三、典型例题
例1(1)已知点P 在焦点为12F F 、的椭圆C ：2222x y 1(a b 0)a b +=>>上，则
以1PF 为直径的圆C 1与圆O ：2
22x y a +=的位置关系是 。
(2)1F 、2F 是椭圆122
22
=+b
y a x (0)a b >>的两个焦点，M 是椭圆上与1F 、2F 不共线的任意点，21MF F ∆ 的内心是点P ，MP 交21F F 于N ，则PM NP 等于 .
例2（1）设12F F 、是双曲线22
4x y -
=的两个焦点，Q 是双曲线上任一点，
从1F 引12FQF ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹方程为 .
（2）P 是双曲线229x 16y 144-=右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦
小结：
1.圆锥曲线的定义：
2.圆锥曲线的方程：
3.直线与圆锥曲线位置关系的判定。
北京四中高中数学精品全套-高三数学-圆锥曲线与方程- 7页
目录曲线与方程（无答案版） (2)椭圆及其性质（无答案版） (3)双曲线及其性质（无答案） (5)抛物线（无答案版） (6)曲线与方程（无答案版）——北京四中一、知识要点1. 曲线与方程；2. 已知轨迹求方程；3. 未知轨迹求方程.二、典型例题例1. 已知椭圆221 2xy+=.⑴求斜率2k=时的平行弦中点的轨迹；⑵求过点(2,1)A的弦中点的轨迹；(3)以点11(,)22P为中点的弦所在直线的方程.例2. 设椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o, 2AF FB=.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|=154，求椭圆C的方程.椭圆及其性质（无答案版）——北京四中一、知识要点1、椭圆的标准方程：2、椭圆的几何性质3、代数性质：二、典型例题例1.51-.设22221(0)x ya ba b+=>>是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则ABF∠等于（）（A）60︒（B）75︒（C）90︒（D）120︒例2.如果方程222x ky+=表示焦点在Y轴上的椭圆，求实数k的取值范围。
例3.已知F是椭圆225945x y+=的左焦点，P是此椭圆上的动点，(1,1)A是一定点.⑴求3||||2PA PF+的最小值，并求点P的坐标；⑵求||||PA PF+的最大值和最小值.例4.已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)，6y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P .（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。
双曲线及其性质（无答案）——北京四中一、知识要点：1.椭圆和双曲线比较；2.双曲线的性质.二、例题分析例1. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．例2.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x220－y25＝1 B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1 D.x220－y280＝1例3. 已知两点A(-2，0)，B(2，0)，动点P在y轴上的射影是H，且22||PA PB PH⋅=．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知过点B的直线交曲线C于x轴下方不同的两点M，N，设MN的中点为R，过R与点Q(0，-2)作直线RQ，求直线RQ斜率的取值范围．抛物线（无答案版）——北京四中一、知识要点：1、定义及方程：2、抛物线的几何性质：3、直线与抛物线的位置关系：二、例题分析：例1、如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．例2、在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．例3、过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )A.22 B. 2 C.322D．2 2例4. 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x＝－1相切，点C在l上．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为3的直线与曲线M相交于A，B两点．（ⅰ）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ⅱ）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．。
北京四中---高中数学高考综合复习专题二十三直线与圆锥曲线问题的解题策略(研究性学习之一)
高中数学高考综合复习专题二十三直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性学习之一）众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。
多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化；（2）对于交点坐标的适当处理。
本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。
一、条件或目标的认知与转化解题的过程是一系列转化的过程。
从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。
然而，转化的基础是认知——认知已知、目标的本质和联系。
有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。
1、化生为熟化生为熟是解题的基本策略。
在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。
因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。
一但转化成功，解题便得以驾轻就熟，胜券在握。
（1）向弦中点问题转化例1.已知双曲线=1（a>0,b>0）的离心率，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为（1）求双曲线方程；（2）若直线（km≠０）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m 的取值范围。
略解：（1）所求双曲线方程为（过程略）（2）由消去y得：由题意知，当时，①设中点则C、D均在以A为圆为的同一圆上又∴②于是由②得③由②代入①得，解得m<0或m>4④于是综合③、④得所求m的范围为（2）向弦长问题转化例2．设F是椭圆的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足（1）求点P的轨迹C2的方程；（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使成立的直线l 的方程。
分析：为避免由代换引发的复杂运算，寻觅替代的等价条件：设弦A D、BC的中点分别为O1、O2，则，故，据此得于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。
2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)
直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二 弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四 定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。
高中数学复习专题讲座(第23讲)直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)
高中数学《直线与圆锥曲线问题的处理方法》专题复习高分冲刺技巧例解及考点能力强化训练(A)篇高考要求直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能重难点归纳1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍典型题例示范讲解例1如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4的直线l 与线段OA 相交(不经过点O或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积命题意图 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”知识依托 弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想错解分析 将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m 的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件技巧与方法 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算解法一 由题意，可设l 的方程为y =x +m ,其中－5＜m ＜0由方程组⎩⎨⎧=+=xy mx y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -点A 到直线l 的距离为d∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522m m m ++++-)3=128∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为解法二 由题意，可设l 与x 轴相交于B （m,0）, l 的方程为x = y +m ,其中0＜m ＜5由方程组24x y my x=+⎧⎨=⎩,消去x ,得y 2－4 y －4m =0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m =16(1+m )＞0必成立, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m ,∴S △=1211(5)||(522m y y m --=-＝451()22m -≤=∴S △≤82,当且仅当51()(1)22m m -=+即m =1时取等号 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为例2已知双曲线C 2x 2－y 2=2与点P (1，2)(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在命题意图 第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题 第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“点差法”知识依托 二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式错解分析 第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论 第二问，算得以Q 为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了技巧与方法 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化解 (1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1,与曲线C 有一个交点 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1),代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0 (*)(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即3－2k =0,k =23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l 与C 无交点综上知 当k =±2,或k =23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l 与C 没有交点(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得 2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在例3已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)， P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0, Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0, ∴m +n =2①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =43 ②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1考点能力强化巩固训练1 斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A 2B554 C5104 D51082 抛物线y =ax 2与直线y =kx +b (k ≠0)交于A 、B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有( )A x 3=x 1+x 2B x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3C x 1+x 2+x 3=0D x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=03 正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，则正方形ABCD 的面积为_________4 已知抛物线y 2=2px (p ＞0),过动点M (a ,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，且|AB |≤2p(1)求a 的取值范围(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值5 已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =321的双曲线过点P (6，6)(1)求双曲线方程(2)动直线l 经过△A 1P A 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问 是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论参考答案:1 解析 弦长|AB |=55422t -⋅⋅≤5104答案 C2 解析 解方程组⎩⎨⎧+==bkx y ax y 2,得ax 2－kx －b =0,可知x 1+x 2=a k,x 1x 2=－a b ,x 3=－kb,代入验证即可 答案 B3 解析 设C 、D 所在直线方程为y =x +b ,代入y 2=x ,利用弦长公式可求出|CD |的长，利用|CD |的长等于两平行直线y =x +4与y =x +b 间的距离，求出b 的值，再代入求出|CD |的长 答案 18或504 解 (1)设直线l 的方程为 y =x －a ,代入抛物线方程得(x －a )2=2px ,即x 2－2(a +p )x +a 2=0∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p ∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤－p 2又∵p ＞0,∴a 4p (2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，AB 的中点 C (x ,y ), 由(1)知，y 1=x 1－a ,y 2=x 2－a ,x 1+x 2=2a +2p , 则有x =222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－(x －a －p ), 从而N 点坐标为(a +2p ,0）点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+ 从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅ 当a 有最大值－4p时，S 有最大值为2p 25 解 (1)如图，设双曲线方程为2222by a x -=1由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12 所以所求双曲线方程为12922y x -=1 (2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0）， ∴其重心G 的坐标为(2，2）假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2) 则有22121112221212224129108124,493129108x x x y y y y y x x x y ⎧+=-=⎧-⎪⇒==⎨⎨+=--=⎪⎩⎩，∴k l =34∴l 的方程为y =34(x －2)+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在（B ）篇高考要求直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能重难点归纳1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍典型题例示范讲解例1如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件 |F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标； (3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m的取值范围命题意图 本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强知识依托 椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法错解分析 第三问在表达出“k =3625y 0”时，忽略了“k =0”时的情况，理不清题目中变量间的关系技巧与方法 第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m 表示出弦AC 的中点P 的纵坐标y 0,利用y 0的范围求m 的范围解 (1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3故椭圆方程为92522y x +=1 (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=9因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)，由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出 x 1+x 2=8 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4(3)解法一 由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上得22112222925925 925925 x y x y ⎧+=⨯ ⎪⎨+=⨯⎪⎩①②①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0) 代入上式，得9×4+25y 0(－k1)=0 (k ≠0) 即k =3625y 0(当k =0时也成立) 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m , 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0 由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部， 得－59＜y 0＜59,所以－516＜m 16 解法二 因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0) ③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得 (9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =3625y 0 (当k =0时也成立)(以下同解法一)例2若抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，求a的范围解法一 （对称曲线相交法）曲线21y ax =-关于直线0x y +=对称的曲线方程为21x ay -=-如果抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，则两曲线21y ax =-与21x ay -=-必有不在直线0x y +=上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由2211y ax x ay ⎧=-⎨-=-⎩22()y x a x y ⇒+=- ∵ 0,x y +≠∴ 1y x a=-代入21y ax =-得 2110ax x a-+-=有两个不同的解， ∴ 213(1)4(1)04a a a ∆=--->⇒>解法二 （对称点法）设抛物线21y ax =-上存在异于于直线0x y +=的交点的点00(,)A x y ，且00(,)A x y 关于直线0x y +=的对称点00(,)A y x '--也在抛物线21y ax =-上则200200(1)1(2)()1y ax x a y ⎧=-⎨-=--⎩ 必有两组解(1)-(2)得220000()y x a x y +=- 必有两个不同解∵000y x +≠， ∴00()1a x y -=有解从而有 200[(1)]1a x ax --=有两个不等的实数解即 220010a x ax a --+=有两个不等的实数解∴ 22()4(1)a a a ∆=---+>∵ 0a ≠， ∴ 4a >解法三 （点差法）设抛物线21y ax =-上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线0x y +=对称，且以00(,)M x y 为中点是抛物线21y ax =-（即21(1)x y a=+）内的点从而有 1201202,2x x x y y y +=+=由211222(1)1(2)1y ax y ax ⎧=-⎨=-⎩ (1)-(2)得 221212()y y a x x -=- ∴ 1212012()2AA y y k a x x ax x x '-==+=-由0001111121,(,)2222AA k ax x y M a a a a'=⇒=⇒==-⇒- 从而有 21113()(1)224a a a a <-+⇒>例3 试确定m 的取值范围，使得椭圆22143x y +=上有不同两点关于直线4y x m =+对称设椭圆22143x y +=上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线4y x m =+对称，且以00(,)M x y 为中点是椭圆22143x y +=内的点 从而有 1201202,2x x x y y y +=+=由22112222(1)3412(2)3412x y x y ⎧+=⎨+=⎩(1)-(2)得 222212124()3()y y x x -=-- ∴ 012121212033()4()4AA x y y x x k x x y y y '-+==-=--+由00003113444AA x k y x y '=-⇒-=-⇒= 由00(,)M x y 在直线4y x m =+上00,3(,3)x m y m M m m ⇒=-=-⇒--从而有222()(3)41(43131313m m m m --+<⇒<⇒∈-例4 已知直线l 过定点A(4,0)且与抛物线2:2(0)C y px p = >交于P 、Q 两点，若以PQ 为直径的圆恒过原点O ，求p 的值解 可设直线l 的方程为4x my =+代入22y px =得 2280y pmy p --=设1122(,),(,)P x y Q x y ，则222121212122()8,224y y y y y y p x x p p p=-=== 由题意知，OP ⊥OQ ，则0OP OQ =即 12121680x x y y p +=-=∴2p =此时，抛物线的方程为24y x =考点能力强化巩固训练1 在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________2 已知两点M (1，45)、N (－4，－45)，给出下列曲线方程 ①4x +2y －1=0, ②x 2+y 2=3, ③22x +y 2=1, ④22x －y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是_________3 已知双曲线C 的两条渐近线都过原点，且都以点A (2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y =x 对称(1)求双曲线C 的方程(2)设直线l 过点A ，斜率为k ,当0＜k ＜1时，双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时B 点的坐标参考答案:1 解析 设所求直线与y 2=16x 相交于点A 、B ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入抛物线方程得y 12=16x 1,y 22=16x 2,两式相减得，(y 1+y 2）(y 1－y 2)=16(x 1－x 2)即⇒+=--21212116y y x x y y k AB =8故所求直线方程为y =8x －15 答案 8x －y －15=02 解析 点P 在线段MN 的垂直平分线上，判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点 答案 ②③④3 解 (1)设双曲线的渐近线为y =kx ,由d =1|2|2+k k =1,解得k =±1即渐近线为y =±x ,又点A 关于y =x 对称点的坐标为(0，2)∴a =2=b ,所求双曲线C 的方程为x 2－y 2=2(2)设直线l y =k (x －2)(0＜k ＜1),依题意B 点在平行的直线l ′上，且l 与l设直线l ′ y =kx +m ,应有21|2|2=++k m k ,化简得m 2+22k m=2②把l ′代入双曲线方程得(k 2－1)x 2+2mkx +m 2－2=0, 由Δ=4m 2k 2－4(k 2－1)(m 2－2)=0 可得m 2+2k 2=2 ③②、③两式相减得k =2m ,代入③得m 2=52,解得m =510,k =552,此时x =2212=--k mk,y =10 故B (22,10)。
北京市高考轮总复习解析几何——讲圆锥曲线的热点问题
第3讲 圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y (或x )，得到一个一元方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． ①若a ≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a ＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y (或x )，得到一个一元方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． ①当a ≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2．有关弦长问题：有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k 2|y 2－y 1|，其中求|x 2－x 1|与|y 2－y 1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： |x 2－x 1|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， |y 2－y 1|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．也可以设直线方程为：0x my x +=，其中直线过x 轴上的点)0,(0x3．弦的中点问题：有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 4．轨迹方程问题：(1)求轨迹方程的基本步骤： ①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)． ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．④化简整理方程——简化． ⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．(2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.考点一 求轨迹方程例1 (1)（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））如图,已知(3,0)(0)M m m ->,,N P 两点分别在y 轴和x 轴上运动,并且满足0MN NQ ⋅=,12NP PQ =. (Ⅰ)求动点Q 的轨迹方程;(Ⅱ)若正方形ABCD 的三个顶点,A B C ,在点Q 的轨迹上,求 正方形ABCD 面积的最小值.(2)（海淀区13届高三5月查缺补漏理）动圆过点(0,2)F 且在x 轴上截得的线段长为4,记动圆圆心轨迹为曲线C . (Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)已知,P Q 是曲线C 上的两点,且2PQ =,过,P Q 两点分别作曲线C 的切线,设两条切线交于点M ,求△PQM 面积的最大值.(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解．(2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面：一是准确定位，即确定联动点，动点的轨迹可能与多个动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后代入联动点所在曲线方程求解．考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题例2 (1)（东城区2013届高三12月联考理科数学）(本小题满分14分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点的横坐标为12-,求斜率k 的值; ②若点7(,0)3M -,求证:MA MB ⋅为定值.（2014届高三上学期期末海淀理）已知椭圆G :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为12，过椭圆G 右焦点F的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限）. （Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆相交于,B C 两点.判断直线,MB MC 是否关于直线m 对称，并说明理由.(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )． 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题例3（2011理19）已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.（2013届海淀二模数学理科）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60的菱形的四个顶点.(I)求椭圆M 的方程;(II)直线l 与椭圆M 交于A ,B 两点,且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-,求AOB ∆(O 为原点)面积的最大值.求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．1．求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2).∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2，∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)． ∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209，∴(1＋k 2)[64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2]<209，∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0， ∴k 2>14.∴14<k 2<12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k2， 又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4， ∴－2<t <－263或263<t <2，∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)．一、选择题1． 已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ( )A ．k <1或k >3B ．1<k <3C ．k >1D ．k <3答案 B解析 若椭圆焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>03－k >0k ＋1>3－k ，解得1<k <3.选B.2． △ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3)D.x 216－y 29＝1(x >4) 答案 C解析 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线 的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．3． 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 依题意得：F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|， ∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4， 又y 0≥0，∴y 0>2.4． 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为()A ．2B ．3C ．6D ．8 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204， 又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]， 所以(OP →·FP →)max ＝6.5． 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(13，＋∞)C ．(15，＋∞)D ．(19，＋∞)答案 B解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ， PF 1＝r 1，PF 2＝r 2. 由题意知r 1＝10，r 2＝2c ， 且r 1>r 2,2r 2>r 1， ∴2c <10,2c ＋2c >10， ∴52<c <5⇒1<25c2<4， ∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c 5－c ；e 1＝2c2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c. ∴e 1·e 2＝c 225－c 2＝125c 2－1>13. 二、填空题6． 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆，∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， ∴要使直线与椭圆总有公共点，应有： 025＋12m≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.7． 设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →2的值等于________． 答案 －2解析 易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大． 此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)， ∴PF →1＝(－3，－1)，PF →2＝(3，－1)， ∴PF →1·PF →2＝－2.8． 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________． 答案522－1 解析 过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x 得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得 d 1＋d 2＝|P A |－|AB |＋d 2＝|PF |－1＋d 2， |PF |＋d 2大于或等于焦点F 点P 到直线l ， 即|PF |＋d 2的最小值为|1－0＋4|2＝522，所以d 1＋d 2的最小值为522－1.9． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2x 2＋(y －a )2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎨⎧a >0a －1≥0，解得a ≥1. 三、解答题10．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值．解 (1)如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为D (0,1)，即a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)直线AS 的斜率显然存在且不为0，设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，解得M (103，16k 3)，且将直线方程代入椭圆C 的方程， 得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k 2. 由此得x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝4k 1＋4k 2，即S (2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2)． 又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－14k(x －2)， 联立直线BS 与l 的方程解得N (103，－13k)． ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪16k 3＋13k ＝16k 3＋13k ≥216k 3·13k ＝83. 当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值为83. 11．(2013·课标全国Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解 (1)设圆P 的半径为r ，则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ，∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，左顶点除外，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ＝－2)． (2)由(1)知：2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4，∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)．圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.①当l 的方程为x ＝0时，|AB |＝23，②设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )， ⎩⎪⎨⎪⎧ |－k ＋b |1＋k 2＝1|2k ＋b |1＋k 2＝2解之得：⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝24b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－24b ＝－2.∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2. 联立方程⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1y ＝24x ＋2化简：7x 2＋8x －8＝0∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝187. 12．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；(3)在(2)的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值．(1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2， 所以b ＝12a ，即a ＝2b . 由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b＝1， 即bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455， 得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455， 把a ＝2b 代入上式，得4b 25b 2＝455，解得b ＝1. 所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214－y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2. 因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB .所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0.所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0. 整理得5m 2＝4(k 2＋1)，所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255. 综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255. (3)解 设直线OA 的斜率为k 0.当k 0≠0时，则OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝－1k 0x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 0x ，x 24＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＝41＋4k 20，y 21＝4k 201＋4k 20. 同理可求得⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＝4k 20k 20＋4，y 22＝4k 20＋4. 故△AOB 的面积为S ＝121＋k 20·|x 1|·1＋1k 20·|x 2|＝2(1＋k 20)2(1＋4k 20)(k 20＋4). 令1＋k 20＝t (t >1)， 则S ＝2t 24t 2＋9t －9＝21－9t 2＋9t ＋4，令g (t )＝－9t 2＋9t ＋4＝－9(1t －12)2＋254(t >1)， 所以4<g (t )≤254.所以45≤S <1.当k0＝0时，可求得S＝1，故45≤S≤1，故S的最小值为45.。