湘教版数学七年级下册 因式分解
初中数学试卷
因式分解
一、选择题
1.下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
A.a(x+y)＝ax+ay
B.x2-4x+4=x(x-4)+4
C.10x2-5x＝5x(2x-1)
D.x2-16+6x＝(x+4)(x-4)+6x
2.分解因式8ab(a-b)3-12a(a-b)2时，应提取的公因式是( )
A.8a
B.4ab(a-b)3
C.4ab(a-b)2
D.4a(a-b)2
3.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A.a2+1
B.a2-6a+9
C.x5+5y
D.x2-5y
4.添加一项，能使多项式9x2+1构成完全平方式的是( )
A.9x
B.-9x
C.9x4
D.-6x
5.计算：852-152=( )
A.70
B.700
C.4 900
D.7 000
6.下列因式分解中，正确的个数为( )
①x 3+2xy+x=x （x 2+2y ）；②x 2+4x+4=（x+2）2；③-x 2+y 2=（x+y ）（x-y ）. A.3个 B.2个 C. 1个 D.0个 7.a 4b-6a 3b+9a 2b 分解因式的正确结果是( )
A.a 2b(a 2-6a+9)
B.a 2b(a+3)(a-3)
C.b(a 2-3)2
D.a 2b(a-3)2 8.某同学粗心大意，分解因式时，把等式x 4-■=(x 2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )
A.16，2
B.8，1
C.24，3
D.64，8 二、填空题(每小题4分，共16分)
9.多项式9x 2y-15xy-6y 的公因式是_____________.
10.一个多项式因式分解的结果是(x+2)(x-3)，那么这个多项式是_____________.
11.已知x 、y 是二元一次方程组23,
245x y x y -=+=⎧⎨⎩的解，则代数式x 2-4y 2的值为_____________.
12.一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、2两种方式摆放，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是_____________(用a ，b 的代数式表示).
三、解答题 13.因式分解：
（1）-4a 2+12ab-9b 2; （2）x 4-x 2y 2; （3）a 4-1.
14.运用因式分解知识说明：2n+3-2n+1(n为正整数)能被6整除.
15.已知a-2b=1
2
，ab=2，求-a4b2+4a3b3-4a2b4的值.
16.用简便方法计算下列各题：
(1)39×37-13×34；(2)30.252-2×30.25×20.25+20.252+(101
2)2-(91
2
)2.
17.把一个边长为a米的正方形广场的四周各留出一个边长为b米的正方形用来修花坛，其余地方种草，问草坪的面积有多大？如果修建每平方米的草坪需要5元，请计算当a=92，b=4时，投资修此草坪需要多少钱？
18.下面是某同学对多项式（a2-4a+2）（a2-4a+6）+4进行因式分解的过程．
解：设a2-4a=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（a2-4a+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？___________;（填“彻底”或“不彻底”）
（2）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________;
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解.
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.D
5.D
6.C
7.D
8.A
12.ab
9.3y 10.x2-x-6 11.15
2
13.(1)原式=-(4a2-12ab+9b2)=-(2a-3b)2.
(2)原式=x2(x2-y2)=x2(x+y)(x-y).
(3)原式=(a2+1)(a2-1)=(a2+1)(a+1)(a-1).
14.因为2n+3-2n+1=2n(23-2)=2n×6，所以能被6整除.
15.原式=-a2b2(a2-4ab+4b2)=-a2b2(a-2b)2.
当a-2b=1
2，ab=2时，原式=-22×(1
2
)2=-1.
16.(1)原式=39×(37-27)=390.
(2)原式=(30.25-20.25)2+(101
2+91
2
)×(101
2
-91
2
)=102+20×1=100+20=120.
17.草坪的面积为：a2-4b2（平方米）；
当a=92，b=4时，草坪的面积为：a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(92+8)×(92-8)=8 400(平方米). 所以投资修此草坪需要的钱是8 400×5=42 000(元).
答：草坪面积（a2-4b2)平方米，投资修此草坪需要42 000元.
18.(1)不彻底.
(2)（a-2）4.
(3)设x2-2x=y,原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2-2x+1）2=（x-1）4.。
湘教版七年级数学下册课件-多项式的因式分解
七年级数学下（XJ） 教学课件式的因式分解
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念; 2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点）
导入新课
回顾与思考
问题1 6 等于 2 乘哪个整数？ 6＝2×3
问题2 x2－1等于x+1乘哪个多项式？
辩一辩
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 ×
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
√
D. ax+by+c=x(a+b)+c
×
E. 2a3b=a2•2ab
×
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多
1 x2 4
2 x2 x
解：
x2 x x x 1
3.求4，6，14的最大公因数. 4=1×2×2 6=1×2×3 14=1×2×7
最大公因数是2
4.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2)2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3)(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4)x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5)2πR+ 2πr= 2π(R+r) 因式分解
7.手工课上，老师给南韩兵同学发下一张如左图形状 的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成 右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请 问你能帮助南韩兵同学解决这个问题吗？能给出数 学解释吗？
湘教版七年级数学下册教学课件(XJ) 第3章 因式分解 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
[新湘教版]七年级数学下册第3章《因式分解》《3.3.2因式分解-公式法--完全平方式》课件
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我们前面学习了利用平方差公式来分
解因式即：a2-b2=(a+b)(a-b)
例如：学科网
4a2-9b2= (2a+3b)(2a-3b)
回忆完全平方公式
ab 2 a2 2abb2
ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2 Z.x.x. K
4
4
4、下列各式中，不能用完全平方公
式分解的是（ D ）
A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
5、把 1 x2 3xy 9 y2 分解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
B、
1 2
x
3
y
2
6Hale Waihona Puke 把4 9x2y2
4 3
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
那么m的值为（ Zx.xk
B）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
9、把 a b2 4a b 4 分解因式得
（C ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
10、计算1002 210099 992 的
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
让我们大家一起来想!
1、如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( D )
(A )-3 (B)3 (C)-9 (D)9
湘教版数学七年级下册第3章 因式分解 小结与复习 课件
x y x2 y 2
x y x y
2
2 2 4 a a b 2 ab a b b a b
a b a 2 2ab b 2
a b a b
2
一级达标重点名校中学课件
一级达标重点名校中学课件
典型题，分类剖析：
类型六：利用完全平方式证明和计算有关问题： 已知x= 3 1 ，求x2-2x+1的值
一级达标重点名校中学课件
典型例题，分类剖析：
类型七：转化思想的应用 已知y=2,请你说明无论x取何值时， 代数式（3x+5y）2-2(3x+5y)(3x-5y)+(3x-5y)2的值不变
1.提公因式法．
步骤： ① 找 ； ②拆 ； ③提．
找出公因式的步骤如下： （1）定符号：如果原来多项式的第1项的系数为负，则把负号 提出。【此时括号内的各项要变号．】 （2）定系数：取各项系数的绝对值的最大公因数作为公因式的 系数。 （3）定字母：取各项中相同的字母。【字母的指数取各项中 次数最低的．】 （4）定式子：取各项中相同的式子。【式子的指数取各项 中次数最低的．】
两因数的和恰好等于一次项系数．
一级达标重点名校中学课件
例4 把多项式
2
x x2
2
因式分解
x x2
x 2 x 1
一级达标重点名校中学课件
典型例题，分类剖析：
类型一：用提公因式法分解因式 b2-2b
类型二：用公式法分解因式: a2-4= x2+4x+4=
一级达标重点名校中学课件
x 1 x 1
2
2
湘教版数学七年级下册3.1《多项式的因式分解》教学设计
湘教版数学七年级下册3.1《多项式的因式分解》教学设计一. 教材分析《多项式的因式分解》是湘教版数学七年级下册3.1节的内容，这一节主要让学生掌握多项式因式分解的方法和技巧。
教材通过引入实例，引导学生发现多项式因式分解的规律，并通过大量的练习让学生熟练掌握。
本节课的内容是学生学习初中数学的基础，对于提高学生的数学思维能力和解题能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在进入七年级下册之前，已经学习了多项式的基本概念和相关运算，对于多项式的加减法和乘法有一定的了解。
但是，对于多项式的因式分解，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
此外，学生的数学思维能力和逻辑推理能力也在逐步发展，需要通过引导和启发来激发他们的学习兴趣和思考能力。
三. 教学目标1.让学生理解多项式因式分解的概念和意义。
2.让学生掌握多项式因式分解的方法和技巧。
3.培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
4.提高学生的解题能力和应用能力。
四. 教学重难点1.多项式因式分解的概念和意义。
2.多项式因式分解的方法和技巧。
3.如何引导学生发现和总结多项式因式分解的规律。
五. 教学方法1.引导法：通过引入实例，引导学生发现多项式因式分解的规律。
2.练习法：通过大量的练习，让学生熟练掌握多项式因式分解的方法。
3.讨论法：让学生分组讨论，分享自己的解题方法和经验，互相学习和提高。
六. 教学准备1.教材和教辅资料。
2.投影仪和幻灯片。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，引导学生思考如何将多项式进行因式分解，激发学生的学习兴趣和思考能力。
2.呈现（10分钟）通过幻灯片呈现多项式因式分解的概念和意义，以及多项式因式分解的方法和技巧。
让学生明确本节课的学习目标和内容。
3.操练（10分钟）让学生分组练习多项式因式分解的题目，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）通过幻灯片呈现一些典型的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
湘教版七年级数学下册_3.1 多项式的因式分解
答案：③⑥
结论 不是
不是 是
知1－练
感ห้องสมุดไป่ตู้新知
知1－练
解法提醒 判断一个多项式的变形是否为因式分解，要“两看”：
一看 “形式”，看结果是不是乘积形式，积中每一个因式 是不是整式；二看“实质”，看等号的左右两边是否相等. 若两者均满足，则是因式分解；否则不是因式分解.
感悟新知
知识点 2 因式分解与整式乘法的关系
分解
整式 计算几个多项 乘法 式相乘的结果
不能有同类项
感悟新知
例2 [ 中考·河池 ] 下列因式分解正确的是( ) A. a2+b2= (a+b) 2
B. a2+2ab+b2= (a － b) 2
C. a2 － a=a (a+1) D. a2 － b2= (a+b) (a － b)
知2－练
感悟新知
知2－讲
1. 整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，
是两种互逆的变形，即多项式
整式的积 .
2. 可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性 .
感悟新知
特别提醒
知2－讲
因式分解与整式乘法的异同：
区别
作用
结果的要求
①各式均为整式； 因式 把一个多项式表示成若干 ②积的形式； 分解 个多项式的 乘 积的形式 ③各式均不能再
感悟新知
知1－练
例1 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的有
______ .
① 24x2y=4x·6xy；②( x+5) (x－5) =x2－25；
③ x2+2x－3=( x+3) ( x－1)； ④ 9x2－6x+1=3x(3x－2) +1；
湘教版 七年级下册数学 因式分解一
第7讲 因式分解（一）提公因式法、公式法一、 知识要点1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。
注：因式分解的结果必须是每一个因式在有理数范围内不能再分解为止。
因式分解是恒等变形，不能随意把多项式改变原来的大小。
2、提公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++多项式中的公因式：数字部分找最大公约数，字母部分找相同的字母和最低次幂3、公式法：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-特点：①公式左边的多项式形式上是二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或某式的平方形式；③分解的结果是这两个数或两个式子的和与它们差的积；④公式中a,b 可以表示单独的数或字母，也可以表示一个单项式或多项式。
（2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=+特点：①左边相当于一个二次三项式；②首末两项符号为正且能写成某数或某式的完全平方形式；③中间一项是这两项两个数或两个式子的积的2倍，符号可正可负；④公式中a,b 可以表示单独的数或字母，也可以表示一个单项式或多项式。
二、知识运用经典例题例1、多项式232118xy axy a xy -+-中的公因式是例2、已知关于x 的二次三项式22x mx n ++因式分解的结果是1(21)()4x x -+，求m ，n 的值。
例3、把下列各式分解因式（1）、2963x x y x z -+（2）、2210515x y xy xy --+（3）、()()()()xx y a b yy x b a ----- （4）、)2()37)(2(b a a b a b a +--+例4、计算201320142014201420132013⨯-⨯例5、把下列各式分解因式（1）211625m - （2）2()1a b +-（3）22(2)16(1)x x -++- （4）21236m n -+（5） 2244x xy y ++ （6）22293m mnn ++三、知识运用课堂训练1、下列各式能用平方差公式分解的是（ ）A 、22m n --B 、2219p q + C 、321649y x -D 、224k h -+2、下列各式是完全平方式的是（ ）A 、214m m ++ B 、22x xy y ++ C 、21x x +- D 、22h d +3、下列多项式能用公式法分解的是（ ）A.22x y --B.232a ab b -+C. 524x y -D. 2210.049y x -4、把多项式22155x y -分解因式是 。
湘教版数学七年级下册第3章《因式分解》复习课件
例a2±如2：ab4+xb2-2叫12做xy完+9全y2 平方式.
=(2x)2-
2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
探究交流
下列变形是否正确？为什么？ (1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；
目前在有理数范围内不能再分解.
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；
幂本的题形既式可.以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把
统 便 a=((例===，一xy((8--如aa(因成yxa--))：22-为(22+[bb2x(ba))b(-7(+()[xyayb8(()--(aa7-y,8yax--但 )b)--122=)3x6b8比+(()b)bcya+))较(--c=+yx2]8(而-)ba(x2)=a-言.)+(8-2(yb2把=a-)ba-x])((8)2xy.b2--()yxa())+a化2b-+y2b成-b(b)y(x-y+x-c)x)3).+比c
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
是整式乘法.
例1 用提公因式法将下列各式因式分 (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a) 解：(1)-x3z+x4y=x3(z+x(y2)).3x(a- x3
+ (b-a) b)+=23yx(ba-ab-)-(a-
2=(y(a(a--a-b)b()b3)x-
做一 做
把下列各式分解因式. (1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)
湘教版初一下《分解因式》(全章教案)
§1分解因式教学目标：2、过程与方法：通过对比与联想比较得出分解因数和分解因式的异同；3、情感与态度：培育学生养成对比和联想的意识。
教学三点：1、教学重点：分解因式的概念2、教学难点：了解“基本建筑块”的内涵3、教学关键：建立起“基本建筑块”与“不能再分割（即分解）”的联系教学准备：1、教具准备：幻灯片2、学具准备：教学过程：一、复习回顾1、概念回顾：整数、整式的概念2、问题思考：①36能写成哪些非1整数的积？②x2＋x能写成哪些整式的积？二、探索新知1、引导探索Ⅰ、问题呈现：引例：2×2×3×3＝36 36＝2×2×3×3x(x＋1)＝x2＋x x2＋x＝x(x＋1) Ⅱ、观察猜想：观察：认真观察以上四个式子，找出它们的异同.猜想：请你按照自己的想法，将以上式子分成两类，并说明你的理由.Ⅲ、导入新课：说明：以上有两种分类方法法一，按行分类，第一行为纯数字，第二行含有字母.法二，按列分类，第一列为乘法，第二列为分解.将一个整数或整式进行分解，正是我们今天要研究的.（板书课题）Ⅳ、讲授新知：练习；将下列正整数尽可能多地分解成几个非1的正整数的积的形式24 28 35 37讲解：①以上练习，与整数乘法互逆，为分解因数.②象2、3、5、7、11……37……等，不能再分解下去，称质数或素数练习；将下列整式尽可能多地分解成几个非±1的整式的积的形式2x－6 x2＋2x xy－y y2－4 讲解：①以上练习，与整式乘法互逆，为分解因式.②象2、x、y、x－3、y＋2、y－2……等，不能再分解下去，称质因式.2、归纳新知Ⅰ、引导归纳：思考：通过以上分析，能否用自己的语言解答以下几个问题？①什么叫分解因数？②什么叫分解因式？③什么是质数和质因式？Ⅱ、板书小结：分解因数：将一个整数分解成几个非1整数的积的形式叫分解因数；不能再分解的正整数（除了1和本身以外）叫质数或素数.分解因式：将一个整式写成几个非1整式的积的形式叫分解因式；不能再分解的整式（除了±1和本身以外）叫质因式.3、拓展延伸思考：①分解因式与整式乘法的区别是什么？②你认为学习分解因式对解决哪些问题有意义？三、知识运用1、运用举例典型示例：例1：约分＝分析：∵12＝2×2×3 30＝2×4×5∴＝＝例2：比较下列两个二次方程，试选取其中一个求解.x2－3x＋2＝0 (x－1)(x－2)＝02、反馈练习练习：(略）四、巩固提高1、本堂小结：本节课中，你学到了哪些知识？还有哪些不明白的地方？2、课堂练习：p.4 .中练习1、2.3、回家作业：P.4 .中习题1.1（A组）§3提取公因式法2教学目标：1、知识与技能：进一步学习提取公因式的方法，能熟练运用提取公因式法解题；2、过程与方法：通过观察、类比、联想，得出一般整是提取公因式的方法；3、情感与态度：培育学生类比联想、分析探究的习惯和能力.教学三点：1、教学重点：对含有多项式型公因式提取公因式；2、教学难点：对含有相反量型多项式提取公因式；3、教学关键：突出“相反量型多项式的分辨”.教学准备：1、教具准备：幻灯片2、学具准备：教学过程：一、复习回顾1、概念回顾：公因式、提取公因式2、问题思考①下列哪些是分解因式？哪些是整式乘法？x2－1＝（x＋1)(x－1) (x＋y)(x－y)＝x2－y2x2－3x＋4＝x(x－3)＋4 x2－4x＋4＝(x＋2)2②完成下列填空3x2－6x＝(x－2) －x2＋x＝－x( )ab－ac＝a( ) －9x2－6x＝(3x＋2)③分解因式2ax－3x 3ab2－12a2b －12x3y－28x39ay2－6ay＋3y1Ⅰ、问题呈现：引例：分解因式ax＋bx＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝思考：以学哪个式子的分解？怎样分解？Ⅱ、类比猜想：观察：比较两个式子的异同思考：能否通过类比，得出后一个式子的分解方法？分析：将(m＋n)看作x (图示，略）2、归纳新知Ⅰ、引导归纳：思考：通过以上分析，你学到了什么？Ⅱ、板书小结：小结：多项式中，公因式可以是数、字母，也可以是单项式、多项式、整式.三、知识运用1、运用举例典型示例：分解因式①2a(3b＋c)－b(3b＋c)②6(x－2)2－3(x－2)3分析解答：①突出“找→拆→提”的过程；②“拆”“提”注意括号及化简.2、反馈练习练习：（略）四、巩固提高1、本堂小结：本节课中，你学到了哪些知识？还有哪些不明白的地方？2、课堂练习：p.10 .练习中1、2①②3、回家作业：P.11 .习题中2④⑤、3§4提取公因式法3教学目标：2、过程与方法：通过变形找公因式，提高学生灵活解题的能力；3、情感与态度：体会数形转化思想.教学三点：1、教学重点：掌握变形提取公因式分解因式；2、教学难点：因式的正确变形；3、教学关键：如何对因式正确变形教学准备：1、教具准备：幻灯片2、学具准备：教学过程：一、复习回顾1、下列各式中，有公因式可提吗？如果有，是什么？①4x＋4y ax2＋bx2 ax＋by －2x2y＋4xy2②3a(a－b)－2b(a－b) (x＋y)3－(x－y)2(x＋y)22、说出下列各冪的意义，并判定是否相等？a4与(－a)4a5与(－a)5(x－y)6与(y－x)6(x－y)7与(y－x)7说明：(－a)2n＝a2n(－a)2n＋1＝－a2n＋1二、探索新知1、引导探索Ⅰ、问题呈现：分解因式a(x－y)＋b(x－y) a(x－y)＋b(y－x)Ⅱ、引导思考：思考：①两式的异同是什么？你能用以学知识分解哪个式子？②能否说出后一个式子的特征？③如何将相反量统一成相同量来分解？讲解：a(x－y)＋b(y－x) ＝a(x－y)－b(x－y) ＝(a－b)(x－y)2、归纳新知引导：试归纳以上所学小结：对相反量提负号可统一成相同量注意：(a－b)2n＝(b－a)2n(a－b)2n＋1＝－(b－a)2z＋1三、知识运用1、运用举例典型示例：分解因式①x(x－2)－3x(x－2)②x(x－2)－3x(2－x)③(a－b)2(c－d)3＋(b－a)3(d－c)2分析解答：①突出“找→拆→提”的过程；②指出，a＋b与b＋a是相同量，a－b与b－a是相反量；③注意：(a－b)2n＝(b－a)2n(a－b)2n＋1＝－(b－a)2z＋12、反馈练习练习：分解因式y(x－3)＋4y(x－3) y(x＋3)＋4y(x＋3)y(x－3)＋4y(3－x) －6x3(a－b)2＋9x2(b－a)3四、巩固提高1、本堂小结：本节课中，你学到了哪些知识？还有哪些不明白的地方？2、课堂练习：p.10 .练习中2③④3、回家作业：P.11 .习题中2⑥⑦、3§5套用公式法（一、平方差公式1）教学目标：1、知识与技能：能说出平方差公式的特征，会用平方差公式分解因式；2、过程与方法：通过对平方差公式特征的辨析，提高学生的观察能力；3、情感与态度：培育学生逆向思维能力以及辩证统一的思想.教学三点：1、教学重点：平方差公式的直接运用；2、教学难点：用平方差公式分解因式的条件；3、教学关键：辨析平方差公式的特征.教学准备：1、教具准备：幻灯片2、学具准备：教学过程：一、复习回顾1、概念回顾：分解因式、平方差公式2、问题思考①运用提取公因式法分解因式的步骤怎样？②你能分解a2－b2吗？二、探索新知1、引导探索Ⅰ、问题呈现：a2－b2能分解吗?Ⅱ、引导思考：观察式子a2－b2的特征①回顾所学，什么向乘可得a2－b2？②式子(a＋b)(a－b)＝a2－b2称什么公式？在数学中的作用是什么？③整式乘法与分解因式之间的关系怎样？你能分解式子a2－b2吗？2、归纳新知Ⅰ、引导归纳：指出：以上所得结论仍称平方差公式，前者称整式乘法平方差公式，后者称分解因式平方差公式.思考：试归纳分解因式平方差公式Ⅱ、板书小结：小结：分解因式平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)思考：①上式左边有几个项？各项是什么？用什么连结？②上式右边有几个因式？两因式的异同是什么？3、拓展延伸Ⅰ、引例分析引例：x2－16 9m2－4n2分析：①这些式子能用提取公因式法分解吗？②可否用平方差公式？③如何判定一个式子能否用平方差公式呢？Ⅱ、知识小结小结：平方差公式的适用范围①适用于两个项（或式）②两项（或式）都能写成平方的形式③两个平方项用差连结三、知识运用1、运用举例典型示例：分解因式x2y2－25a2m2－0.9n4分析解答：(略)2、反馈练习练习：(略)四、巩固提高1、本堂小结：本节课中，你学到了哪些知识？还有哪些不明白的地方？2、课堂练习：p. 14 .练习中1、2①②3、回家作业：P.14 ..练习中2③④、3§6套用公式法（一、平方差公式2）教学目标：1、知识与技能：能较熟练地运用平方差公式分解因式；2、过程与方法：进一步提高学生的观察、类比、联想能力；3、情感与态度：培育学生良好的观察习惯、学习习惯.教学三点：1、教学重点：平方差公式的运用；2、教学难点：形如两平方项的整式的分解；3、教学关键：将式子写成平方差的形式.教学准备：1、教具准备：幻灯片、小黑板2、学具准备：教学过程：一、复习回顾1、概念回顾：平方差公式2、问题思考：①具有什么特征的式子可用平方差公式分解？②分解因式：x2－4 36x2－9x2y2 －x2y2＋9y2－121y2＋x4二、探索新知1、引导探索Ⅰ、问题呈现问题：分解因式(x＋6)2－(x＋9)2Ⅱ、类比猜想回顾：平方差公式a－b＝比较：两式的相同之处是什么？两式的不同之处是什么？联想：通过比较，你能分解以上式子吗？2、归纳新知Ⅰ、引导归纳：思考：通过以上分析，你学到了什么？Ⅱ、板书小结：小结：运用平方差公式时，各平方项可以是数、字母，也可以是一般整式.注意：①运用公式时，一定要观察式子是否适合公式特征；②运用平方差公式时，最好是将式子先写成平方的差的形式.三、知识运用1、运用举例典型示例：分解因式16(a－b)2－9(a＋b)2x5－x3x4－y4分析解答：①突出公式的套用；②注意括号内的化简；③要分解到不能再分解为止，有时要进行二次分解.2、反馈练习练习：（略）四、巩固提高1、本堂小结：本节课中，你学到了哪些知识？还有哪些不明白的地方？2、课堂练习：p. .3、回家作业：P. .§7套用公式法（二、完全平方公式1）教学目标：1、知识与技能：理解完全平方公式的特征，初步学会用完全平方公式分解因式；2、过程与方法：培育学生的观察能力和套用公式的名能力；3、情感与态度：培育学生的观察习惯和学习习惯.教学三点：1、教学重点：能直接运用完全平方公式分解因式；2、教学难点：理解完全平方公式的适用范围；3、教学关键：透彻研究完全平方公式的特征.教学准备：1、教具准备：幻灯片2、学具准备：教学过程：一、复习回顾1、概念回顾：整式乘法公式2、问题思考：①题取公因式法的几个步骤是什么？②什么情况下可用平方差公式分解因式？二、探索新知1、引导探索Ⅰ、问题呈现问题：分解因式x 2－6x＋9思考：①此题能否用以前学的提取公因式法或平方差公式法？为什么？②此题几个项？各项的特征是什么？Ⅱ、类比猜想回顾：整式乘法的完全平方公式［(a±b)2＝a2±2ab＋b2］思考：由乘法与分解互逆，你想到了什么？［a2±2ab＋b2＝(a±b)2］观察：上式几个项？各项的特征是什么？指出：形如以上的式子称完全平方式2、归纳新知Ⅰ、引导归纳思考：①什么样的式子称完全平方式？其特征是什么？②完全平方式怎样分解？Ⅱ、板书小结小结：①形如a2±2ab＋b2的式子称完全平方式，特征：三个项；其中两项可写成平方冪；另一项是两冪的底数的2倍或.［此特征即为完全平方公式的适用范围］②分解因式之完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2练习：①下列各项是完全平方式吗？x2－6x－9 x2＋6x＋9 x2＋6x－9 x2－6x＋9x2＋4x＋3 x2＋4x＋4 x2＋4x＋5 x2＋4②将下列各式补全成完全平方式a2＋＋1 x2－10x＋y2＋8y＋x2＋＋36三、知识运用1、运用举例典型示例：分解因式：a2－14a＋49 25x2＋10x＋1 a2b2－8abc＋16c2分析解答：①突出写成公式的形式，以利套用公式；②讲清由中间项的符号来确定选用公式的符号.2、反馈练习练习：（略）四、巩固提高1、本堂小结：本节课中，主要讲了用完全平方公式来分解因式，你学到了哪些知识？还有哪些2、课堂练习：p. .3、回家作业：P.§8套用公式法（二、完全平方公式2）教学目标：1、知识与技能：能较熟练的运用完全平方公式来分解因式；2、过程与方法：进一步培育学生类比、联想能力和运用公式的能力；3、情感与态度：进一步培育学生的观察习惯、学习习惯.教学三点：1、教学重点：熟练运用完全平方公式分解因式；2、教学难点：用完全平方公式分解各“项”为多项式型的完全平方式；3、教学关键：教会学生将一个多项式看作一个“项”或一个“字母”.教学准备：1、教具准备：幻灯片2、学具准备：教学过程：一、复习回顾1、概念回顾：完全平方式、完全平方公式2、问题思考①完全平方式的特征是什么？②分解因式：a2－6a＋9 121x2y2－44xy＋4 a2＋ab＋b2x2＋xy＋4y2二、探索新知1、引导探索Ⅰ、问题呈现分解因式：(x＋y)2－20(x＋y)＋100 －x2－y2＋4xy Ⅱ、分析探究观察分析：①以上所给式子与前面学的用完全平方公式分解因式的式子有何不同？②后一个式子有两项为负，能直接用完全平方式吗？解答探究：①通过怎样的处理，能使以上式子变成前面学过的式子？②你能对以上式子分解因式吗？2、归纳新知Ⅰ、引导归纳思考：通过以上题的解答，你学到了什么？Ⅱ、板书小结小结：①运用完全平方公式分解因式时，平方冪的底数可以是数、字母、式子.②分解因式要先提后套.三、知识运用1、运用举例典型示例：分解因式－x5＋4x3－4x (x＋y)2－2(x＋y)(x－y)＋(x－y)2分析解答：①第一个要先提后套，分解要彻底；②第二个突出：平方冪的底是式子时如何套用公式，以及双层括号的化简.2、反馈练习练习：（略）四、巩固提高1、本堂小结：本节课中，你学到了哪些知识？还有哪些不明白的地方？2、课堂练习：p. .3、回家作业：P. .§9十字相乘法（1）教学目标：2、过程与方法：进一步培养学生的分析、观察能力和解题能力；3、情感与态度：培育学生的观察习惯教学三点：1、教学重点：分解二次项系数为“1”二次三项式；2、教学难点：理解十字相乘法的原理；3、教学关键：引导探索，自主得出二次三项式的分解方法教学准备：1、教具准备：幻灯片2、学具准备：教学过程：一、复习回顾1、至今为止，以学哪些分解因式的方法？2、什么情况下，用完全平方公式分解因式？3、分解因式：x2＋6x＋9 x2－4x＋4二、探索新知1、引导探索Ⅰ、问题呈现分解因式：x2＋6x＋8 x2－4x－5观察：以上两式与复习回顾中3题有何异同？思考：以上能用完全平方公式分解吗？为什么？指出：①两式不能用提取公因式法，因为各项找不到公因式；②也不能用完全平方公式，因为不是完全平方式.Ⅱ、引导探索回顾：依据整式乘法填空(x＋2)(x＋4)＝(展开）＝（整理）分析：由于分解因式与整式乘法互逆，可知x2＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4)思考：①联系整式乘法，x2是怎样来的？②联系整式乘法，6x是怎样来的？③联系整式乘法，8是怎样来的？④观察分解因式结果，怎样得来(x＋2)和(x＋4)？⑤试用以上方法处理x2－4x－52、归纳新知Ⅰ、引导归纳指出：以上方法称十字相乘法思考：十字相乘法是怎样分解因式的？Ⅱ、板书小结小结：十字相乘法分解因式的方法（适用于形如二次三项式的式子）①将二次项分解写在第一列；②将常数项分解写在第二列.若交叉积的和正好是一次项，则此二次项可分解为①第一列为一个因式；②第二列为一个因式.三、知识运用1、运用举例典型示例：分解因式x2－5x＋6 x2＋10x－39分析解答：①突出分解过程；②讲清因式构成.2、反馈练习练习：（略）四、巩固提高1、本堂小结：本节课补充了十字相乘法的方法，你学到了哪些知识？还有哪些不明白的地方？2、课堂练习：另加（略）3、回家作业：另加（略）§10十字相乘法（2）教学目标：1、知识与技能：掌握十字相乘法的运用，能分解二次项系数非“1”的二次三项式2、过程与方法：进一步培养学生观察分析能力和预知能力；3、情感与态度：培育学生的学习习惯和学习兴趣.教学三点：1、教学重点：能用十字相乘法分解二次项系数非“1”的二次三项式2、教学难点：明白常数项分解的符号予一次项符号的关系；3、教学关键：突出十字相乘法中，交叉积的和等于一次项.教学准备：1、教具准备：幻灯片2、学具准备：教学过程：一、复习回顾1、概念回顾：十字相乘法中，列、斜、横的意义2、问题思考：分解因式x2＋8x＋7 x2－7x＋10 x2＋5x－14 x2－5x－14二、探索新知1、引导探索Ⅰ、问题呈现指出：在复习题中，常数项有“正”有“负”问题：当二次项系数为正时，常数项分解因数的符号与本身及一次项系数的符号的关系怎样？Ⅱ、引导思考（这里，二次项系数为“1”）思考：①若常数项为正，有哪两种分解方法？此时若一次项系数为正（或负）呢？②若常数项为负，有哪两种分解方法？此时若一次项系数为正（或负）呢？2、归纳新知Ⅰ、引导归纳指出：又以上分析可知，若二次项系数为正时，常数项的分解可分三种情况思考：若二次项系数为正时，常数项的分解有哪三种情况？Ⅱ、板书小结小结：二次三项式ax2＋bx＋c (a＞0) 中c的分解①若c＞0，b＞0，c的分解全正②若c＞0，b＜0，c的分解全负③若c＜0，c的分解一正一负三、知识运用1、运用举例典型示例：分解因式6x2＋11x＋3 6x2＋x－352、反馈练习练习：分解因式6x2－11x－35 6x2－23x－356x2＋5x＋1 3x2－7x＋2四、巩固提高1、本堂小结：本节课中，你学到了哪些知识？还有哪些不明白的地方？2、课堂练习：(略)3、回家作业：(略)§11分组分解法（一、分组先提）教学目标：1、知识与技能：能对多项式正确分组，会分组提公因式分解因式；2、过程与方法：通过分组，培育学生的观察能力、判断能力、预知能力；3、情感与态度：进一步是学生养成良好的观察习惯、学习习惯.教学三点：1、教学重点：会正确分组来提取公因式分解因式；2、教学难点：正确分组3、教学关键：如何通过预知来正确分组.教学准备：1、教具准备：幻灯片2、学具准备：教学过程：一、复习回顾1、至今为止，以学那些分解因式的方法？2、哪些方法是和分解两各项（或式）？3、哪些方法适合分解三个项（或式）？4、分解因式：5ax－5ay 5a(x－y)－3b(x－y) 4x2－9y24x2＋12xy＋9y2二、探索新知1、引导探索Ⅰ、问题呈现分解因式：ax＋ay＋bx＋byⅡ、引导探索s＝ax＋ay＋bx＋by s＝(a＋b)(x＋y)得出：ax＋ay＋bx＋by ＝(a＋b)(x＋y)推导：ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋ay)＋(bx＋by) 分组＝a(x＋y)＋b(x＋y) 分租分解提公因式＝(a＋b)(x＋y) 合项分解提公因式说明：以上分解方法称分组分解法2、归纳新知Ⅰ、引导归纳：思考：①分组分解法的一般步骤是什么？②分组分解法的关键步骤是什么？Ⅱ、板书小结：小结：分组分解法的一般步骤：分组→分租分解→合项分解说明：分组分解法的关键是分组三、知识运用1、运用举例典型示例：分解因式a2－ab＋ac－bc 3ax＋5by－3bx－5ay m2＋5m－mn－5n 分析解答：①突出分组，讲清步骤；②分组分解时，注意符号的变化.2、反馈练习：（略）四、巩固提高1、本堂小结：本节课中，你学到了哪些知识？还有哪些不明白的地方？2、课堂练习：另加，见幻灯片3、回家作业：另加，见幻灯片§12分组分解法（二、分组套公式）教学目标：2、过程与方法：培育学生灵活运用公式解决问题的能力；3、情感与态度：进一步培育学生的观察习惯.教学三点：1、教学重点：分组套公式分解；2、教学难点：对多项式正确分组；3、教学关键：如何通过预知来正确分组.教学准备：1、教具准备：幻灯片2、学具准备：教学过程：一、复习回顾1、分组分解因式的一般步骤是什么？2、分解因式：ax＋ay＋3x＋3y a2＋2ab－ac－2bc二、探索新知1、引导探索Ⅰ、问题呈现分解因式：x2＋x＋y－y2Ⅱ、引导分析思考：①看到以上问题，你会想到什么方法？为什么？②如前面所学，分组提公因式，你会如何分组？行吗？③分组提公因式行不通，你能想到别的方法吗？④若分组套公式，该如何分组？2、归纳新知Ⅰ、引导归纳：思考：分组分解有两种方法，你认为是哪两种方法？Ⅱ、板书小结：小结：分组分解的过程分组三、知识运用1、运用举例典型示例：分解因式a2－2ab＋b2－c2x3＋x2y－xy2－y3分析解答：①突出分组，讲清步骤；②注意符号的变化.2、反馈练习练习：（略）四、巩固提高1、本堂小结：本节课中，你学到了哪些知识？还有哪些不明白的地方？2、课堂练习：另加，见幻灯片3、回家作业：另加，见幻灯片§13分解因式（复习）教学目标：1、知识与技能：熟练地掌握分解因式的方法，能灵活的进行分解因式；2、过程与方法：进一步培养学生的分析观察能力和灵活运用知识的能力；3、情感与态度：培养学生良好的学习习惯和思维习惯.教学三点：1、教学重点：归纳总结分解因式的一般方法；2、教学难点：能正确、迅速的选取解题方法；3、教学关键：掌握分解因式中各种方法所适应的范围.教学准备：1、教具准备：幻灯片2、学具准备：教学过程：一、知识结构1、阅读：本章“小结与复习”2、思考：①你认为本章知识可分哪几类？②本章中，学习了哪些分解因式的方法？二、知识归纳1、思考：①分解因式的各法中，各自适应的范围怎样？②分解因式的思维步骤怎样？③在分解因式中，要注意些什么？④如何检验分解因式的答案是否正确？2、补充：①哪些方法适应于分解两项？②哪些方法适应于分解三项？③哪些方法适应于分解四项以上？一、知识结构二、知识归纳1、分解因式的一般思维步骤：一提→二套→三交叉→四分组→…2、分解因式的要求：①分解因式必须以积的形式连结②分解因式必须彻底3、补充①适应于分解两项的提取公因式、套平方差公式…②适应于分解三项的完全平方公式、十字交叉法…③适应于分解四项以上的分组分解法…三、知识运用A类1、分解因式：9a2－225b215x2－60y2(x－y)2－4 4(a＋b)2－9(a－b)22、分解因式：x2＋x＋3x3－12x2y＋12xy2x2＋16x＋60 m2n2－2mn－153、分解因式：ax＋ay－bx－by x3＋x2y－xy2－y3x5＋x3－x2－1 25－a2＋10c＋c2B类1、分解因式：a2－2 (x2＋y2)2－4x2y2x2n－y2n9n－4n2、分解因式：a2b2－20ab＋100 3a2b2＋5abc－2c2x4－5x2＋4 (x＋y)2－10(x2－y2)＋21(x－y)23、分解因式：x4－y4＋1－2x2 ax2＋ay2－ab2＋2axy y4－4y2－8y－4 x2＋5ax＋6a2＋x＋3a四、巩固提高1、本堂小结：本节课为复习课，对分解因式的概念、方法、步骤、要求进行了归纳.2、课堂练习：总复习习题3、回家作业：总复习习题《分解因式》测试题姓名计分一、填空（4′×6）1、把一个多项式写成的形式，叫把这个多项式分解因式.2、整式3x3y4(x－y)2和12x4y(y－x)3有公因式.3、若4x2＋kx＋9是完全平方式，则k＝.4、若|m－1|＋(－5)2＝0，则m＝，n＝.5、若a＋b＝3，则a2＋b2－3＋2ab＝.二、选择（4′×5）1、下列变形中，属分解因式的是（）A、x＋2y－3y＝x－yB、x2－2x－3＝x(x－2)－3C、(a＋b)(a－b)＝a2－b2D、6ab＋3b＝3b(2a＋1)2、下列分解因式中，分解彻底的是（）A、x3＋x＝x(x2＋1)B、x3－x＝x(x2－1)C、x4＋4＝(x2＋2)(x2－2)D、ab2－3ab＋3a＝3a(b2－b＋1)3、代数式x4－16、x2－7x＋10的公因式是（）A、x＋2B、x－2C、x2－4D、无非1公因式4、方程x2－5x＝0有解为（）A、x＝0B、x＝5C、x＝0或x＝5D、x＝0且x＝55、248－1有小于10的约数，以下是其约数的为（）A、6和7B、7和8C、7和9D、8和9三、分解因式（7′×4）1、7a3b2－49a2b32、x2（y－x)＋y2(x－y)3、9x2－13x－104、a2－c2－2a＋1四、解答题（9′＋9′＋10′）1、若x＝3.415，y＝2.415，求x2＋y2－1－2xy的值.2、若a＋b＝，ab＝1，求a2＋b2＋3ab的值.3、若a2－6ab＋9b2＋2(a－3b)＋1＝0，求(a－3b)2005的值.五、附加题（10′×2）1、分解因式：x3＋x－22、求方程x2－y2＝12的所有整数解。
湘教版数学七年级下册 微课课件：第三章《分解因式》(共12张PPT)
(5) （x+y)2+12(x+y)+36
解：原式=（x+y)2+2· (x+y)· 6+62
=[(x+y)+6]2 =(x+y+6)2
（6）
2 2 a -b +2b-1;
解：原式=a2-(b2-2b+1)
2 2 =a -(b-1)
=(a+b-1)(a-b+1）
微课
例题评析：
(1)分解因式：3ax2+6axy+3ay2 解：3ax2+6axy+3ay2
2 2) =3a(x +2xy+y
=3a(x+y)2
（2）y2-(x2-10x+25) 解： y2-(x2-10x+25) =y2-(x-5)2
=[y+(x-5)][y-(x-5)]
=(y+x-5)(y-x+5)
（3） -2x2+20x-50 解：原式=-(2x2-20x+50)
2 =-2(x -10x+25)
=-2(x-5)2
（4）（x3-x2)+(1-x) 解：原式=x2(x-1)+(1-x) =(x-1)(x+1)(x-1) =(x-1)2(x+1)
四检查。因式分解必须进行到每一个因式 都不能再分解为止。
注意： (1)如果多项式的第一项是“-” 号，则先把“-”号提出来括号里 各项要变号。 （2)如果多项式从整体上看既不 能提公因式、也不能运用公式法， 要将多项式化简整理，在选择合 适的方法分解。
举一反三
(1)2a3-8a