数学建模- 层次分析法讲义,竞赛图
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数学建模之层次分析课件(一)
1
一般地，如果一个正互反阵满足 aij a jk aik
则称它为一致矩阵
幂法 和法 根法
和法
a.将A的每一列向量归一化
n
b.对 ij 按行求和 i
ij
i 1
n
ij aij / aij i 1
c.将 i
归一化 i
n
i /
i
i 1
, 1,2,..... n T
即为近似特征向量
其中 a12 1/ 2 表示味道 c1 与价格 c2 对选
择哪个餐馆这个目标O的重要性之比
一致性矩阵
有一块石头重6，现把它砸成3小块，它们的质量分别为： C1=1,C2=2, C3=3。这3小块石头两两之间占大石头的
比重可构成一个矩阵 A1
1 A1 1/ 2
1/ 3
2 1 2/3
3 3 / 2
性指标 CI 与同阶（指 相同）的随机一致性指标 RI
之比。当
CR CI 0.1 RI
时认为A的不一致程度在容许的范围之内，可用其特征 向量作为权向量，如不通过就对A进行修正。
对于上面给定的A可以算出 5.073 ，归
一化的特征向量 0.263,0.475,0.055,0.099,0.110 ’。
定义最下层（第s层）对第一层的组合一致性比率为
s
CR* CR ( p) p2
对于重大项目，仅当 CR* 适当的小时，才认
为整个层次的比较判断通过一致性检验
1/ 4 1 1
1 1 1/ 4 B5 1 1 1/ 4
4 4 1
由第3层的成对比较阵
Bk
计算出权向量
3
k
，
最大特征根 k 和一致性指标 CI k 结果如下：
一般地，如果一个正互反阵满足 aij a jk aik
则称它为一致矩阵
幂法 和法 根法
和法
a.将A的每一列向量归一化
n
b.对 ij 按行求和 i
ij
i 1
n
ij aij / aij i 1
c.将 i
归一化 i
n
i /
i
i 1
, 1,2,..... n T
即为近似特征向量
其中 a12 1/ 2 表示味道 c1 与价格 c2 对选
择哪个餐馆这个目标O的重要性之比
一致性矩阵
有一块石头重6，现把它砸成3小块，它们的质量分别为： C1=1,C2=2, C3=3。这3小块石头两两之间占大石头的
比重可构成一个矩阵 A1
1 A1 1/ 2
1/ 3
2 1 2/3
3 3 / 2
性指标 CI 与同阶（指 相同）的随机一致性指标 RI
之比。当
CR CI 0.1 RI
时认为A的不一致程度在容许的范围之内，可用其特征 向量作为权向量，如不通过就对A进行修正。
对于上面给定的A可以算出 5.073 ，归
一化的特征向量 0.263,0.475,0.055,0.099,0.110 ’。
定义最下层（第s层）对第一层的组合一致性比率为
s
CR* CR ( p) p2
对于重大项目，仅当 CR* 适当的小时，才认
为整个层次的比较判断通过一致性检验
1/ 4 1 1
1 1 1/ 4 B5 1 1 1/ 4
4 4 1
由第3层的成对比较阵
Bk
计算出权向量
3
k
，
最大特征根 k 和一致性指标 CI k 结果如下：
数学建模(层次分析法(AHP法))省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
例2 大学毕业生就业选择问题 取得大学毕业学位旳毕业生，在“双向选择”时，
用人单位与毕业生都有各自旳选择原则和要求。就 毕业生来说选择单位旳原则和要求是多方面旳，例 如：
①能发挥自己才干作出很好贡献（即工作岗位适合 发挥自己旳专长）；
wn
1
w1 w2
即 aik akj aij i, j 1,2,, n
A
但在例2旳成对比较矩阵中， a23 7, a21 2, a13 4 a23 a21 a13
在正互反矩阵A中，若 aik akj aij ,(A 旳元素具有 传递性)则称A为一致阵。
定理：n 阶正互反阵A旳最大特征根max n, 当且仅当 =n时A为一致阵
这种措施旳特点是在对复杂旳决策问题旳 本质、影响原因及其内在关系等进行进一 步分析旳基础上，利用较少旳定量信息使 决策旳思维过程数学化，从而为多目旳、 多准则或无构造特征旳复杂决策问题提供 简便旳决策措施。
是对难于完全定量旳复杂系统作出决策旳 模型和措施。
层次分析法在经济、科技、文化、军事、 环境乃至社会发展等方面旳管理决策中都 有广泛旳应用。
比较同一层次中每个原因有关上一层次 旳同一种原因旳相对主要性
在拟定各层次各原因之间旳权重时，假如只是定 性旳成果，则经常不轻易被别人接受，因而Saaty 等人提出构造：成对比较矩阵A = (aij)nn，即： 1. 不把全部原因放在一起比较，而是两两相互比较。 2. 对此时采用相对尺度，以尽量降低性质不同旳诸 原因相互比较旳困难，以提升精确度。
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
例2 大学毕业生就业选择问题 取得大学毕业学位旳毕业生，在“双向选择”时，
用人单位与毕业生都有各自旳选择原则和要求。就 毕业生来说选择单位旳原则和要求是多方面旳，例 如：
①能发挥自己才干作出很好贡献（即工作岗位适合 发挥自己旳专长）；
wn
1
w1 w2
即 aik akj aij i, j 1,2,, n
A
但在例2旳成对比较矩阵中， a23 7, a21 2, a13 4 a23 a21 a13
在正互反矩阵A中，若 aik akj aij ,(A 旳元素具有 传递性)则称A为一致阵。
定理：n 阶正互反阵A旳最大特征根max n, 当且仅当 =n时A为一致阵
这种措施旳特点是在对复杂旳决策问题旳 本质、影响原因及其内在关系等进行进一 步分析旳基础上，利用较少旳定量信息使 决策旳思维过程数学化，从而为多目旳、 多准则或无构造特征旳复杂决策问题提供 简便旳决策措施。
是对难于完全定量旳复杂系统作出决策旳 模型和措施。
层次分析法在经济、科技、文化、军事、 环境乃至社会发展等方面旳管理决策中都 有广泛旳应用。
比较同一层次中每个原因有关上一层次 旳同一种原因旳相对主要性
在拟定各层次各原因之间旳权重时，假如只是定 性旳成果，则经常不轻易被别人接受，因而Saaty 等人提出构造：成对比较矩阵A = (aij)nn，即： 1. 不把全部原因放在一起比较，而是两两相互比较。 2. 对此时采用相对尺度，以尽量降低性质不同旳诸 原因相互比较旳困难，以提升精确度。
数学建模第八讲层次分析法
(3)
(3)
第3层通过组合一致性检验 第3层对第1层的组合一致性比率为
CR CR CR 0.0160.0030.0190.1,
*
(2)
(3)
我们认为整体通过了一致性检验。
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而 下分层（目标—准则或指标—方案或对象）， 上层受下层影响，而层内各因素基本上相对 独立。
要由A确定C1,… , C5对O的相对重要性的权数。
如果正互反阵A满足
特值近似算法
aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n
则称A为一致阵。
一致阵性质
• A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。 • A的任一列向量是对应于n 的特征向量。 • A的归一化特征向量可作为权向量。 对于不一致(但在允许范围内)的成对比较 阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作 为权向量w ，即 Aw w
4 7 1 2 3
3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3
同样方法构造第3层(方案层)对第2层的每 个准则的成对比较阵，例如 1 1 3 1 1/3 1/8 1 2 5 B1 1/ 2 1 2 , B2 3 1 1/3 , B3 1 1 3 , 1/3 1/3 1 8 3 1 1/5 1/ 2 1
1 A (aij ) nn , aij 0, a ji a ij 比较尺度
当比较Ci和Cj对上层因素O的影响时如何 选取aij？ AHP(层次分析法)的创始人Saaty建 议取aij的范围为1—9，1—1/9。
Ci : C j aij
1—9尺度aij的含义
尺度aij 1 3 5 7 9 2,4,6,8 1,1/2,…,1/9 含 义
(3)
第3层通过组合一致性检验 第3层对第1层的组合一致性比率为
CR CR CR 0.0160.0030.0190.1,
*
(2)
(3)
我们认为整体通过了一致性检验。
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而 下分层（目标—准则或指标—方案或对象）， 上层受下层影响，而层内各因素基本上相对 独立。
要由A确定C1,… , C5对O的相对重要性的权数。
如果正互反阵A满足
特值近似算法
aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n
则称A为一致阵。
一致阵性质
• A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。 • A的任一列向量是对应于n 的特征向量。 • A的归一化特征向量可作为权向量。 对于不一致(但在允许范围内)的成对比较 阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作 为权向量w ，即 Aw w
4 7 1 2 3
3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3
同样方法构造第3层(方案层)对第2层的每 个准则的成对比较阵，例如 1 1 3 1 1/3 1/8 1 2 5 B1 1/ 2 1 2 , B2 3 1 1/3 , B3 1 1 3 , 1/3 1/3 1 8 3 1 1/5 1/ 2 1
1 A (aij ) nn , aij 0, a ji a ij 比较尺度
当比较Ci和Cj对上层因素O的影响时如何 选取aij？ AHP(层次分析法)的创始人Saaty建 议取aij的范围为1—9，1—1/9。
Ci : C j aij
1—9尺度aij的含义
尺度aij 1 3 5 7 9 2,4,6,8 1,1/2,…,1/9 含 义
数学建模讲义-层次分析法
优化建模
3、排序原理：
一组元素两两比较其重要性,计算元素相对
重要性的测度问题。
优化建模
二、层次分析法的基本步骤
1、建立层次结构模型。 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按 照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素 从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下 一层的因素或受到下层因素的作用。
优化建模
将问题包含的因素分层： 最高层（解决问题的目的）； 中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑 的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）； 最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把 各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清 晰地表达这些因素的关系。
优化建模
成对比较阵 和权向量
优化建模
1.建立层次结构模型 1.
例. 选择旅游地
目标层
如何在3个目的地中按照景色、 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择. 费用、居住条件等因素选择.
O(选择旅游地 选择旅游地) 选择旅游地
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
同样求第3层 方案 对第2层每一元素 准则)的权向量 方案)对第 层每一元素(准则 同样求第 层(方案 对第 层每一元素 准则 的权向量
方案层对C 景色 景色) 方案层对 1(景色 的成对比较阵
1 B1 = 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
方案层对C 居住 居住) 方案层对 3(居住 的成对比较阵
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5
4 7 1 2 3
层次分析法建模课件
层次分析法建模课件层次分析法(AHP—Analytic Hierachy process) ------------------- 多目标决策方法70年代由美国运筹学家T-L・Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。
汲取利用行为科学的特点，是将决策者的经验推断给予量化，对目标(因素)结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为有用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。
传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：机理分析方法：利用经典的数学工具分析观看的因果关1 / 40系；统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。
差不多内容：（1）多目标决策问题举例AIIP建模方法（2） AIIP建模方法差不多步骤（3） AIIP建模方法差不多算法（3） AIIP建模方法理论算法应用的若干问题。
参考书：1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社—、问题举例：A.大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择"时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。
就毕业生来讲选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己的才能为国家作出较好直献（即工作岗位适合发挥专长）；②工作收入较好（待遇好）；③生活环境好（大都市、气候等工作条件等）；④单位名声好（声誉-Reputation）；⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥进展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位进展有后劲）等。
问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？一一或者讲他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？B.假期旅游地点选择暑假有3个旅游胜地可供选择。
数学建模 层次分析法,竞赛图
• 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用，各因素的重要性难以量化
• Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process)
• AHP——一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法
一. 层次分析法的基本步骤
例. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
2)
,,
w( 2 ) n
)T
第1层O 第2层C1,…Cn
第3层对第2层各元素的权向量 第3层P1, …Pm
w(3) k
(w(3) k1
,,
w(3) km
)T
,kBiblioteka 1,2,, n构造矩阵
W (3)
[w1(
3)
,,
w(3) n
]
则第3层对第1层的组合权向量
w W w (3)
(3) (2)
1 1/ 2 4
成对比较的不一致情况
A
2
1
7
a 1/ 2 (C :C ) 一致比较
12
12
不一致
a 4 (C :C )
13
13
a23 8 (C2 : C3)
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
考察完全一致的情况
W ( 1) w1, w2 ,wn
准则层对目标的成对比较阵
1 1/ 2
2
1
A 1/ 4 1/ 7
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
4 3 3
7
5
5
1 1/ 2 1/ 3
• Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process)
• AHP——一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法
一. 层次分析法的基本步骤
例. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
2)
,,
w( 2 ) n
)T
第1层O 第2层C1,…Cn
第3层对第2层各元素的权向量 第3层P1, …Pm
w(3) k
(w(3) k1
,,
w(3) km
)T
,kBiblioteka 1,2,, n构造矩阵
W (3)
[w1(
3)
,,
w(3) n
]
则第3层对第1层的组合权向量
w W w (3)
(3) (2)
1 1/ 2 4
成对比较的不一致情况
A
2
1
7
a 1/ 2 (C :C ) 一致比较
12
12
不一致
a 4 (C :C )
13
13
a23 8 (C2 : C3)
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
考察完全一致的情况
W ( 1) w1, w2 ,wn
准则层对目标的成对比较阵
1 1/ 2
2
1
A 1/ 4 1/ 7
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
4 3 3
7
5
5
1 1/ 2 1/ 3
数学建模层次分析法
层次分析法(AHP法)
(Analytic Hierarchy Process) 建模
数学建模
模型背景 基本步骤 应用实例
一、模型背景
❖ 美国运筹学家匹兹堡大学教授Saaty在20世纪70 年代初提出的一种层次权重决策分析方法。
❖层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP) 是一种定性和定量分析相结合的决策分析方法。
对总目标Z的排序为
A1
A2
Am
a1, a2 ,, am
B层n个因素对上层 A中因素为 Aj
其层次单排序为
B1
B2
Bn b1 j ,b2 j ,,bnj ( j 1,2,, m)
层次 A A1
层次 B a1
B1
b11
B2
b21
.
.
.
.
.
.
Bn
bn1
A2 … Am B 层次总
a2
… am 排序权值
RI 0i RIi 0.58 i 1
CR CI / RI 0.087 / 0.58 0.015 0.1
C5
0.118 0.166 0.166 0.668
层次P的 总排序
0.3 0.246 0.456
层次分析法的优点
系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合 的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统 计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；
w(2) (0.263, 0.475, 0.055, 0.090, 0.110)T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色)的 成对比较阵
方案层对C2(费用)的 成对比较阵
…Cn
(Analytic Hierarchy Process) 建模
数学建模
模型背景 基本步骤 应用实例
一、模型背景
❖ 美国运筹学家匹兹堡大学教授Saaty在20世纪70 年代初提出的一种层次权重决策分析方法。
❖层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP) 是一种定性和定量分析相结合的决策分析方法。
对总目标Z的排序为
A1
A2
Am
a1, a2 ,, am
B层n个因素对上层 A中因素为 Aj
其层次单排序为
B1
B2
Bn b1 j ,b2 j ,,bnj ( j 1,2,, m)
层次 A A1
层次 B a1
B1
b11
B2
b21
.
.
.
.
.
.
Bn
bn1
A2 … Am B 层次总
a2
… am 排序权值
RI 0i RIi 0.58 i 1
CR CI / RI 0.087 / 0.58 0.015 0.1
C5
0.118 0.166 0.166 0.668
层次P的 总排序
0.3 0.246 0.456
层次分析法的优点
系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合 的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统 计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；
w(2) (0.263, 0.475, 0.055, 0.090, 0.110)T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色)的 成对比较阵
方案层对C2(费用)的 成对比较阵
…Cn
数学建模--层次分析法2PPT教学课件
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
四. 层次分析法的广泛应用
• 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题， 产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
则第3层对第1层的组合权向量
w W w (3 )
(3 ) (2 )
第s层对第1层的组合权向量 其中W(p)是由第p层对第
w ( s ) W ( s ) W ( s 1 ) W ( 3 ) w ( 2 ) p-1层权向量组成的矩阵
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
C3 式
C7 C8 坏
C4
C9
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D2
（2）过河代价层次结构
例4 科技成果 的综合评价
效益C1
科技成果评价 水平C2
规模C3
直接 经济 效益 C11
间接 经济 效益 C12
社会 效益 C13
学识 水平 C21
学术 创新 C22
技术 水平 C23
技术 创新 C24
待评价的科技成果
组合 第2层对第1层的权向量
第1层O
w (2 ) (w 1 (2 ), ,w n (2 ))T
第2层C1,…Cn
第3层对第2层各元素的权向量 第3层P1, …Pm
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
四. 层次分析法的广泛应用
• 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题， 产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
则第3层对第1层的组合权向量
w W w (3 )
(3 ) (2 )
第s层对第1层的组合权向量 其中W(p)是由第p层对第
w ( s ) W ( s ) W ( s 1 ) W ( 3 ) w ( 2 ) p-1层权向量组成的矩阵
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
C3 式
C7 C8 坏
C4
C9
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D2
（2）过河代价层次结构
例4 科技成果 的综合评价
效益C1
科技成果评价 水平C2
规模C3
直接 经济 效益 C11
间接 经济 效益 C12
社会 效益 C13
学识 水平 C21
学术 创新 C22
技术 水平 C23
技术 创新 C24
待评价的科技成果
组合 第2层对第1层的权向量
第1层O
w (2 ) (w 1 (2 ), ,w n (2 ))T
第2层C1,…Cn
第3层对第2层各元素的权向量 第3层P1, …Pm