数学建模层次分析法
数学建模——层次分析法
在大石头中的重量比）可用向量
且
n
w ( w1 , w2 ,..., wn
T 表示， )
. 显然， 的各个列向量与 w 1 A i
i 1
w
仅相差一个比例
因子。 一般地，如果一个正互反阵
A
满足 （8.2.4）
aij a jk aik , i, j, k 1, 2,..., n
则
3 计算权向量并做一致性检验
定理1
当
n 阶正互反阵 A的最大特征根 n，
时
当且仅
A为一致阵。 由于 连续的依赖于 aii ，则 比 n 大的越多， 的不 A
n
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因
素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引 起的判断误差越大。因而可以用
RI。方法为：
A1 , A2 ,, A500
2.则可得一致性指标 ： CI1 , CI 2 ,CI500
CI1 CI 2 CI500 RI 500
n RI
1 2 500 n 500 n 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
aii 1 ，如用 C1 , C2 ,..., Cn
2 构造成对比较矩阵
2.比较尺度 • 当比较两个可能具有不同性质的因素 Ci 和 C j 对于一个上层 因素 O 的影响时，Saaty提出用1—9尺度（见下表），即aij 的取值范围是1,2,,9 ，及其互反数1,1/ 2,,1/ 9 。其理由 如下：
重，景色次之，居住条件再次。 问题1.怎样由成对比较阵确定诸因素 C , C ,..., C 对上层因 1 2 n 素
数学建模——层次分析法模型
危害性分级模型的建立与求解1.基于层次分析模型对恐怖袭击事件危害性指标建立层次结构模型考虑到恐怖袭击事件的危害性、人员伤亡、经济损失、发生的时机、地域、针对的对象等等诸多因素有关，在构建指标体系时，无法全部考虑到所有指标，因此本文采用层次分析模型，以定性和定量相结合的方法处理指标。
根据上述分析可知, 影响恐怖事件危险性级别的因素有很多，但是，在构建综合评价指标体系时，很难一次性考虑全部细节，此时可以将问题分解成多个层次，而每个层次又包含多个要素，依据大系统理论的分解协调原理，由粗到细，从全局到局部地逐步深入分析，把危险性级别评价的诸多影响因素条理化、层次化，从而建立一个递阶层次分析模型具体的层次分析模型如图1所示。
通过附件1对所有数据指标分析，建立系统的递阶层次结构，第一层为目标层分为5大类，第二层为准则层，第三层为子准则层，第四层为方案层。
其结果目标层准则层子准则层方案层恐怖袭击危害性指标响应级别人员伤亡死亡人数级别1级别2级别3级别4级别5受伤人数被绑人数经济损失损失程度1损失程度2损失程度3损失程度4攻击类型攻击设施攻击个人攻击群体武器类型无杀伤力中小型杀伤力攻击设施1.2 构造成对比较矩阵上一层因素的同一层诸因素，用成对比较法和1~9比较尺度构建成对比较矩阵[1]，直到最底层。
表2 标度------比较尺度解释标度 定义1 因素i 与因素j 相同重要 3 因素i 比因素j 稍重要 5 因素i 比因素j 较重要 7 因素i 比因素j 非常重要 9 因素i 比因素j 绝对重要2,4,6,8因素i 与因素j 的重要性的比值介于上述两个相邻等级之间倒数1，1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8,1/9因素j 与因素i 比较得到判断值为ij a 的互反数，ijji a a 1=1=ii a设要素为i F ，j F ；当i F 与j F 相比同等重要，有ij R =1 ；当i F 与j F 相比略为重要，有ij R =3/1 ；当i F 与j F 相比相当重要，有ij R =5/1 ；当i F 与j F 相比明显重要，有ij R =7/1 ；当i F 与j F 相比绝对重要，有ij R =9/1。
层次分析模型(数学建模)
第k层nk个元素对于第k-1层上第j个元素为 准则的单排序向量 uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，…，un j(k))T j=1，2，…nk-1 其中不受第j个元素支配的元素权重取零，
于是可得到nk×nk-1阶矩阵
u (k ) u21 = ( ) unk1 k
(k ) 11
1 A = ( aij ) n×n , aij > 0, a ji = aij
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1
3 成对比较阵 5 A~成对比较阵 1 / 3 是正互反阵 A是正互反阵 1 1
要由A确定 要由 确定C1,… , Cn对O的权向量 确定 的权向量
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正互反矩阵A 是正单根， 正互反矩阵 的最大特征根λ是正单根， Ak e T 对应正特征向量w， 对应正特征向量 ， lim T k = w, e = (1,1, L ,1) k →∞ e A e 定理1 定理1 正互反阵的最大特征根是正数， 正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 特征向量是正向量。 定理2 定理2 n阶正互反阵 的最大特征根λ ≥ n , 阶正互反阵A的最大特征根 λ= n是A为一致阵的充要条件。 为一致阵的充要条件。 是 为一致阵的充要条件 一致性指标 CI =
“选择旅游地”思维过程的归 选择旅游地” 选择旅游地 纳 • 将决策问题分为 个层次：目标层 ，准则层 ， 将决策问题分为3个层次 目标层O，准则层C， 个层次： 方案层P；每层有若干元素， 方案层 ；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。 用相连的直线表示。 • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 通过相互比较确定各准则对目标的权重， 案对每一准则的权重。 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 将上述两组权重进行综合， 权重。 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法(AHP)建模
新余高等专科学校 数学建模教练组 2005-
6
Mathematical Contest in Modeling
层次分析法
3
计算权向量并做一致性检验
什么是权重(权系数)? 在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2, … , xn的线性组合:
z w1x1 w2 x2 wn xn
n
其中 wi 0, wi 1 w1, w2 ,...., w则n
1 例: A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 0.364
按行求和
1.760 0.972
1/ 6 1/ 4 1
0.1 0.077 0.091
0.268
, 即为
归一化
0.587 0.324 w
0.089
1.769 Aw 0.974
0.268
1 (1.769 0.974 0.268) 3.009
比较因素的权向量,其不一致程度应在容许的范围内.如何确定这个范围?
Mathematical Contest in Modeling 第5讲: 层次分析法(AHP)建模
层次分析法基本简介 层次分析法的基本步骤
1. 建立层次结构模型 2. 构造成对比较阵(判断矩阵) 3. 计算权向量并做一致性检验 4. 计算组合权向量并做组合一致性检验
不完全层次结构模型
新余高等专科学校 数学建模教练组 (设计制作: syllen
权重(权系数)?
a. 将A的每一列向量归一化得 w~ij aij / n aij
w~ b. 对 ij
按行求和得w~i n w~ij
j 1
i 1
数学建模——层次分析法
数学建模——层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种用于复杂决策和评估问题的定量方法，旨在帮助决策者在多个准则和选项之间进行权衡和选择。
该方法由美国学者Thomas L. Saaty于1970年代初提出，已经广泛应用于管理、工程、经济学、环境科学等领域。
方法步骤：1.建立层次结构：将复杂的决策问题分解为不同层次的因素和准则，形成层次结构。
层次结构包括目标层、准则层和选择层。
2.创建比较矩阵：对每个层次内的准则和选择进行两两比较，确定它们之间的相对重要性。
使用尺度来表示两者之间的相对优先级，通常是1到9之间的数值。
3.计算权重：通过计算比较矩阵的特征向量，得出每个准则和选择的权重。
特征向量反映了每个准则和选择对目标的贡献程度。
4.一致性检验：检查比较矩阵的一致性，确保所做的两两比较是合理的。
如果比较矩阵不够一致，需要进行调整。
5.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。
综合得分反映了每个选择在整体目标中的重要性。
6.做出决策：根据综合得分，确定最佳选择。
较高的综合得分通常意味着更优选。
示例：选择旅游目的地假设你想选择一个旅游目的地，考虑了三个因素：景色美丽度、文化体验和交通便利性。
你将这三个因素作为准则，然后列出了三个潜在的旅游目的地：A、B 和C。
步骤：1.建立层次结构：2.目标层：选择最佳旅游目的地3.准则层：景色美丽度、文化体验、交通便利性4.选择层：A、B、C5.创建比较矩阵：比较准则之间的相对重要性，如景色美丽度相对于文化体验的比较，以及文化体验相对于交通便利性的比较。
使用1到9的尺度，表明一个因素比另一个因素重要多少。
6.计算权重：计算每个准则和每个选择的权重，使用特征向量法。
7.一致性检验：检查比较矩阵的一致性。
如果一致性不够，可能需要重新考虑比较。
8.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。
层次分析法数学建模
在某些情况下，层次分析法可能无法合理地分配权重，导致决策结果 与实际情况存在较大偏差。
无法处理动态变化
层次分析法主要用于静态决策问题，对于动态变化的决策问题处理能 力较弱。
05 结论与展望
结论
层次分析法是一种有效的决策分析方法，能够将复杂问题 分解为多个层次和因素，通过比较和判断各因素之间的相 对重要性，为决策提供依据。
实例三：风险评估问题
总结词
层次分析法在风险评估问题中，能够综合考虑风险的多种来源和影响因素，确定各因素之间的权重关 系，为风险的有效控制提供科学的依据。
详细描述
风险评估问题涉及到如何识别、评估和控制各种潜在的风险。层次分析法可以将风险的多种来源和影 响因素进行比较和判断，确定各因素之间的权重关系，为风险的有效控制提供科学的依据。同时，层 次分析法还可以用于制定风险应对策略和预案，提高组织的抗风险能力。
层次单排序与一致性检验
层次单排序
根据判断矩阵的性质和计算方法，计 算出各组成元素的权重值，并按照权 重值的大小进行排序。
一致性检验
对判断矩阵的一致性进行检验，以确 保各组成元素之间的相对重要性关系 符合逻辑和实际情况。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重值和组成元素的权重值，计算出整个层次结构模型的权重值， 并进行总排序。
确定层次
根据问题的复杂程度和组 成元素的性质，将层次结 构划分为不同的层次，以 便于分析和计算。
判断矩阵的建立
确定判断标准
根据问题的特点和要求，确定判 断各组成元素之间相对重要性的 标准和方法。
构造判断矩阵
根据判断标准，构造出一个判断 矩阵，用于表示各组成元素之间 的相对重要性关系。
【数学建模浅谈层次分析法】
浅谈层次分析法摘要本文主要阐述层次分析法的定义、特点、基本步骤以及它的优缺点。
层次分析法是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。
由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围内得到重视。
它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。
关键词：层次分析多目标多准则成对比较一致性检验前言数学是一切科学和技术的基础，是研究现实世界数量关系、空间形式的科学。
随着社会的发展，电子计算机的出现和不断完善，数学不但运用于自然科学各学科、各领域，而且渗透到经济、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。
众所周知，利用数学解决实际问题，首先要建立数学模型，然后才能在该模型的基础上对实际问题进行分析、计算和研究。
数学建模(Mathematical Modeling)活动是讨论建立数学模型和解决实际问题的全过程，是一种数学思维方式。
从学术的角度来讲，数学建模就是利用数学技术去解决实际问题；从价值的角度来讲，数学建模是一个思维过程，它是一个解决问题的过程（创新），更是一个升华理论方法的过程（总结）；从哲学的角度来讲，数学建模是认识世界和改造世界的过程。
1 数学建模过程和技巧数学建模的过程是通过对现实问题的简化、假设、抽象，提炼出数学模型；然后运用数学方法和计算机工具等，得到数学上的解答；再把它反馈到现实问题，给出解释、分析，并进行检验。
若检验结果符合实际或基本符合，就可以用来指导实践；否则就再假设、再抽象、再修改、再求解、再应用。
构造数学模型不是一件容易的事，其建模过程和技巧具体主要包括以下步骤：⑴模型准备在建模前要了解实际问题的背景，明确建模的目的和要求；深入调研，去粗取精，去伪存真，找出主要矛盾；并按要求收集必要的数据。
数学建模(层次分析法(AHP法))
例1. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
将决策问题分为3个或多个层次： 最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析
要达到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层：准则层、指标层、…。表示采取某种措施、
政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节； 一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、 政策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。
然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标 准下的优劣排序。借助这种排序，最终作 出选购决策。在决策时，由于6种电冰箱对 于每个中间标准的优劣排序一般是不一致 的，因此，决策者首先要对这7个标准的重 要度作一个估计，给出一种排序，然后把6 种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出 来，最后把这些信息数据综合，得到针对 总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这 个权重向量，决策就很容易了。
常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、 估计和预测、投入量的分配等问题。
层次分析法建模
一 、问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指
在面临多种方案时需要依据一定的标准选择 某一种方案。 例1 某人准备选购一台电冰箱 他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解 后，选取一些中间指标进行考察。例如电冰 箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、 外界信誉、售后服务等。
②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉等）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。
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从最高层到最低层逐层进行。设：
Z
A层m个因素A1, A2,, Am ,
对总目标Z的排序为
A1
A2
Am
a1, a2 ,, am
B层n个因素对上层 A中因素为 Aj
B1
B2
Bn
的层次单排序为
b1 j ,b2 j ,,bnj ( j 1,2,, m)
B 层的层次总排序为： B1 : a1b11 a2b12 amb1m
面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后 作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法 解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了 一种能有效处理这类问题的实用方法。
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是 一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。 过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两 种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者 以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近 年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析 的数学工具之一。
层次分析法的基本思路： 选择钢笔
质量、颜色、价格、外形、实用
钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4
质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 经综合分析决定买哪支钢笔
与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过 程大体一致。
二 层次分析法的基本步骤
1 建立层次结构模型
一致阵的性质：
1.
aij
1 a ji
, aii
1, i,
j
1,2,, n
2. AT也是一致阵
3. A的各行成比例，则 rankA 1
4. A的最大特征根（值）为 λ n,其余n-1个
特征根均等于 0。
5. A 的任一列(行)都是对应于特征根 n 的特征向量。
一致性判断矩阵各列均是判断矩阵 的特征向量
aij
1 a ji
a11
A
aij
nn
a21
a12
a22
a1n a2n
A则称为成对比较矩阵。
an1 an2 ann
比较尺度：（1~9尺度的含义）
尺度
１
３ ５ ７ ９
含义 第i个因素与第 j 个因素的影响相同
第 i 个因素比第 j 个因素的影响稍强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响明强
取 α < 1 , 则当 CI < α RI 时, A 在水准α下有 满意的一致性.
随机构造500个成对比较矩阵
A1, A2 ,, A500
则可得一致性指标
CI1,CI2 ,,CI500
RI
CI1
CI2
CI 500
1
2 500
500
n
500
n 1
随机一致性指标 RI 的数值：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
层次分析法
Analytic Hierarchy Process AHP
T.L.saaty
层次分析法建模
一 问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种
方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。 例1 购物
买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、 外形等方面的因素选择某一支钢笔。
买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选 择某种饭菜。 例2 旅游
wj
wk w j
1
w2
A w1
wn w1
w1 w2
1
w1
wn w2
wn
wn w2
1
即， aik akj aij i, j 1,2,, n
但在例2的成对比较矩阵中，a23 7, a21 2, a13 4 a23 a21 a13
在正互反矩阵 A 中，若 aik akj aij ,则称 A为一致阵。
第 i 个因素比第 j 个因素的影响绝对地强
2,4,6,8表示第 i个因素相对于第 j 个因素的影响介于上述
两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，
根据
aij
1 a ji
。
标度法
10. 心理学研究表明，人们通过感觉思 维比较判断两个对象的相对差别是可能 的。
20. 同时比较时能区别差异的心理学极 限为7±2个。
CR
a1CI1 a1RI1
a2CI 2 a2 RI 2
amCI m am RI m
当CR 0.1 时，认为层次总排序通过一致性检验。到
此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。
层次分析法的基本步骤归纳如下
1.建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。
2.构造成对比较矩阵 从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度。
一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中 间是准则层或指标层。 例1 的层次结构模型
买钢笔
目标层
质颜价外实 量色格形用
准则层
可供选择的笔
方案层
例2 层次结构模型
选择 旅游地
景
费
居
饮
旅
色
用
住
食
途
苏州、杭州、 桂林
目标层Z 准则层A 方案层B
若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所 有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。
即 B 层第 i 个因素对
B2 : a1b21为：
m
a jbij
j 1
Bn : a1bn1 a2bn2 ambnm
A B
A1, A2 ,, Am
a1, a2 ,, am
B层的层次 总排序
m
B1
b11 b12 b1m
a jb1 j b1
j 1
B2
b21 b22 b2m
假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北 戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费 用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。
例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去
选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条 件等因素择业。 例4 科研课题的选择
由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依 据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素 进行选题。
一般，当一致性比率
CR
CI RI
0.1
时，认为
A
的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量
作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 A 加
以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1
及随机一致性指标的数值表，对 A 进行检验的过程。
4 层次总排序及其一致性检验
确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程， 称为层次总排序
3.计算单排序权向量并做一致性检验 对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量， 利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性 检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量； 若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。
4.计算总排序权向量并做一致性检验
计算最下层对最上层总排序的权向量。
n
w
i 1
i
1
wi 表示下层第 i 个因素对上层某因素影响程度的权值。
若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大
特征根对应的归一化特征向量作为权向量 w ，则
Aw w
w w1, w2,, wn
这样确定权向量的方法称为特征根法.
定理： n 阶互反阵 A 的最大特征根 n ，当且仅 当 n 时，A 为一致阵。
30. 实验表明 9 级标度法是可行的。 光源四面放四个物体, 距离为 27, 45, 63, 84。 可算得它们的相对亮度为
0.607, 0.219, 0.111, 0.063。 记 W：较亮，S：亮，D：很亮，A：绝对亮。 由人进行相对比较, 得
(c1-c2): W-S, (c1-c3): S-D, (c1-c4): D, (c2-c3): W, (c2-c4): W-S, (c3-c4): W
由于 连续的依赖于aij，则 比 n 大的越多， A的不
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较
因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，
引起的判断误差越大。因而可以用 n 数值的大小来衡量
A 的不一致程度。
定义一致性指标
CI n
n 1
其中 n 为 A 的对角线元素之和，也为 A 的特征根之和。
利用总排序一致性比率
CR
a1CI1 a1RI1
a2CI 2 a2 RI 2
amCI m am RI m
CR 0.1
进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进 行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比
率 CR 较大的成对比较矩阵。
三 层次分析法建模举例
1 旅游问题 (1)建模
随机一致性指标
固定 n, 令 A 的上三角从{1/9,…,1,2,…,9} 中随机取值, 构成正互反矩阵。计算它的 CI。
对每个 n = 1, 2, …, 9 分别随机地抽取
n=100~500 个样本, 得到 Ank 和 CInk (不一致判
断矩阵的指标)。取
RI n
1 m
m
CI nk
k 1
则 CI > RI 时, 判断矩阵明显不具有一致性。
该特征值对应的归一化特征向量
0.263, 0.475, 0.055, 0.099, 0.110