数学建模第八讲层次分析法
数学建模——层次分析法
在大石头中的重量比）可用向量
且
n
w ( w1 , w2 ,..., wn
T 表示， )
. 显然， 的各个列向量与 w 1 A i
i 1
w
仅相差一个比例
因子。 一般地，如果一个正互反阵
A
满足 （8.2.4）
aij a jk aik , i, j, k 1, 2,..., n
则
3 计算权向量并做一致性检验
定理1
当
n 阶正互反阵 A的最大特征根 n，
时
当且仅
A为一致阵。 由于 连续的依赖于 aii ，则 比 n 大的越多， 的不 A
n
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因
素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引 起的判断误差越大。因而可以用
RI。方法为：
A1 , A2 ,, A500
2.则可得一致性指标 ： CI1 , CI 2 ,CI500
CI1 CI 2 CI500 RI 500
n RI
1 2 500 n 500 n 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
aii 1 ，如用 C1 , C2 ,..., Cn
2 构造成对比较矩阵
2.比较尺度 • 当比较两个可能具有不同性质的因素 Ci 和 C j 对于一个上层 因素 O 的影响时，Saaty提出用1—9尺度（见下表），即aij 的取值范围是1,2,,9 ，及其互反数1,1/ 2,,1/ 9 。其理由 如下：
重，景色次之，居住条件再次。 问题1.怎样由成对比较阵确定诸因素 C , C ,..., C 对上层因 1 2 n 素
数学建模(层次分析法(AHP法)
2 构造判断(成对比较)矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之 间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层 次 的 元 素 Ck 作 为 准 则 ， 对 下 一 层 次 的 元 素 A1, …, An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予 A1, …, An 相 应的权重。
RI
一般，当一致性比率 CR CI 0.1 时，认为A
RI
的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通 过一致性检验。否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1 及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。
判断矩阵一致性检验的步骤如下： (1) 计算一致性指标 C.I.：
一个典型的层次可以用下图表示出来：
几点注意
1.处于最上面的的层次通常只有一个元素， 一般是分析问题的预定目标或理想结果。 中间层次一般是准则、子准则。最低一层 包括决策的方案。层次之间元素的支配关 系不一定是完全的，即可以存在这样的元 素，它并不支配下一层次的所有元素。
2.层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽 程度有关。每一层次中的元素一般不超过9个，因 一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带 来困难。
3.一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。 层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面 深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层 次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问 题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建 立一个合理的层次结构。
【数学建模】层次分析法步骤
层次分析法实例与步骤结合一个具体例子，说明层次分析法的基本步骤和要点。
【案例分析】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。
除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。
1. 建立递阶层次结构应用AHP解决实际问题，首先明确要分析决策的问题，并把它条理化、层次化，理出递阶层次结构。
AHP要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成：●目标层（最高层）：指问题的预定目标；●准则层（中间层）：指影响目标实现的准则；●措施层（最低层）：指促使目标实现的措施；通过对复杂问题的分析，首先明确决策的目标，将该目标作为目标层（最高层）的元素，这个目标要求是唯一的，即目标层只有一个元素。
然后找出影响目标实现的准则，作为目标层下的准则层因素，在复杂问题中，影响目标实现的准则可能有很多，这时要详细分析各准则因素间的相互关系，即有些是主要的准则，有些是隶属于主要准则的次准则，然后根据这些关系将准则元素分成不同的层次和组，不同层次1元素间一般存在隶属关系，即上一层元素由下一层元素构成并对下一层元素起支配作用，同一层元素形成若干组，同组元素性质相近，一般隶属于同一个上一层元素（受上一层元素支配），不同组元素性质不同，一般隶属于不同的上一层元素。
在关系复杂的递阶层次结构中，有时组的关系不明显，即上一层的若干元素同时对下一层的若干元素起支配作用，形成相互交叉的层次关系，但无论怎样，上下层的隶属关系应该是明显的。
最后分析为了解决决策问题（实现决策目标）、在上述准则下，有哪些最终解决方案（措施），并将它们作为措施层因素，放在递阶层次结构的最下面（最低层）。
明确各个层次的因素及其位置，并将它们之间的关系用连线连接起来，就构成了递阶层次结构。
【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。
数学建模方法之层次分析法
数学建模方法之层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
§1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：（i ）建立递阶层次结构模型；（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵；（iii ）层次单排序及一致性检验；（iv ）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次。
上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类：（i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。
例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。
【数学建模浅谈层次分析法】
浅谈层次分析法摘要本文主要阐述层次分析法的定义、特点、基本步骤以及它的优缺点。
层次分析法是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。
由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围内得到重视。
它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。
关键词：层次分析多目标多准则成对比较一致性检验前言数学是一切科学和技术的基础，是研究现实世界数量关系、空间形式的科学。
随着社会的发展，电子计算机的出现和不断完善，数学不但运用于自然科学各学科、各领域，而且渗透到经济、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。
众所周知，利用数学解决实际问题，首先要建立数学模型，然后才能在该模型的基础上对实际问题进行分析、计算和研究。
数学建模(Mathematical Modeling)活动是讨论建立数学模型和解决实际问题的全过程，是一种数学思维方式。
从学术的角度来讲，数学建模就是利用数学技术去解决实际问题；从价值的角度来讲，数学建模是一个思维过程，它是一个解决问题的过程（创新），更是一个升华理论方法的过程（总结）；从哲学的角度来讲，数学建模是认识世界和改造世界的过程。
1 数学建模过程和技巧数学建模的过程是通过对现实问题的简化、假设、抽象，提炼出数学模型；然后运用数学方法和计算机工具等，得到数学上的解答；再把它反馈到现实问题，给出解释、分析，并进行检验。
若检验结果符合实际或基本符合，就可以用来指导实践；否则就再假设、再抽象、再修改、再求解、再应用。
构造数学模型不是一件容易的事，其建模过程和技巧具体主要包括以下步骤：⑴模型准备在建模前要了解实际问题的背景，明确建模的目的和要求；深入调研，去粗取精，去伪存真，找出主要矛盾；并按要求收集必要的数据。
数学建模第八讲层次分析法
(3)
第3层通过组合一致性检验 第3层对第1层的组合一致性比率为
CR CR CR 0.0160.0030.0190.1,
*
(2)
(3)
我们认为整体通过了一致性检验。
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而 下分层（目标—准则或指标—方案或对象）， 上层受下层影响，而层内各因素基本上相对 独立。
要由A确定C1,… , C5对O的相对重要性的权数。
如果正互反阵A满足
特值近似算法
aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n
则称A为一致阵。
一致阵性质
• A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。 • A的任一列向量是对应于n 的特征向量。 • A的归一化特征向量可作为权向量。 对于不一致(但在允许范围内)的成对比较 阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作 为权向量w ，即 Aw w
4 7 1 2 3
3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3
同样方法构造第3层(方案层)对第2层的每 个准则的成对比较阵，例如 1 1 3 1 1/3 1/8 1 2 5 B1 1/ 2 1 2 , B2 3 1 1/3 , B3 1 1 3 , 1/3 1/3 1 8 3 1 1/5 1/ 2 1
1 A (aij ) nn , aij 0, a ji a ij 比较尺度
当比较Ci和Cj对上层因素O的影响时如何 选取aij？ AHP(层次分析法)的创始人Saaty建 议取aij的范围为1—9，1—1/9。
Ci : C j aij
1—9尺度aij的含义
尺度aij 1 3 5 7 9 2,4,6,8 1,1/2,…,1/9 含 义
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定义1:设 如果满足下列二个条件：
则称 A 为互反矩阵。
定义2:设
A ( aij )m m，A 0,
1 (2) a ij , a ji
(1) a ii 1,
则称 A 为一致性矩阵。
N
TU
a ik ； i , j , k 1, 2, , m (3) a ij a jk
N
根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。 因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的
TU
AG 3G
-M
3 g1 g1 g1 / g1 g1 / g2 g1 / g3 g1 A G g2 / g1 g2 / g2 g2 / g3 g2 3 g2 3 g2 3G g / g g / g g / g g 3g g 3 1 3 2 3 3 3 3 3
人才培养 B2
可行性 B3
发展前景 B4
研 究 周 期 C5
财 政 支 持 C6
-M
课题1
课题N
6
1
AHP方法的基本原理
数学建模-层次分析法
二、判断矩阵及其特征向量
AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。 优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和 方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定理3:设 A 是一致性矩阵，则：
① 一致性正矩阵是互反正矩阵； ② A 的转置矩阵AT也是一致性矩阵；
数学模型-层次分析法的基本步骤
(1)
表示。由（1）给出的aij的特点,A称为正互反矩 阵。显然比由aii=1。如用C1，…,C5依次表示景 色、费用、饮食、旅游5个准则，设某人用成对
比较距阵（正互反阵）为10Biblioteka 1 1 24
3
3
2 1 7 5 5
A
1
4
1 7
1
1 2
1 3
1 1
3 3
1 5
2
1 5
9
假设要比较某一层n个因素C1,C2 , …，Cn对上 层一个因素O的影响，如旅游决策问题中比较景
色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性。
每次取两个因素Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj对O的影 响之比,全部比较结果可用对比比较距阵
A=(aij)n×n , aij > 0
, a ji
1 a ij
素C1,…,Cn对上层因素O的权重。
11
仔细分析一下（2）式给出的成对比较阵A可以 发现，既然C1与C2之比为1：2；C1与C3之比为4：1。 那么C2与C3之比因为8：1而不是7:1才能说明成对比 较是一致的。但是，n个因素要做 n(n 1次) ，全部一 致的要求是太苛刻了。Saaty等人给出了2在成对比较 不一致的情况下计算各因素C1,…，Cn对因素O的权 重的方法，并且确定了这种不一致的容许范围。为 了说明这点我们先看成对比较完全一致。
表9-1 1-9尺度aij的含义
尺度aij 1
含义
Ci与Cj得影响相同
3
Ci与Cj得影响稍强
5
Ci与Cj得影响强
7
Ci与Cj得影响明显地强
9
Ci与Cj得影响绝对地强
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1—9尺度aij的含义
尺度aij
1 3 5 7 9 2,4,6,8 1,1/2,…,1/9
含
义
Ci与Cj的影响相同 Ci比Cj的影响稍强 Ci比Cj的影响强 Ci比Cj的影响明显的强 Ci比Cj的影响绝对的强 上述相邻判断的中间值
Cj与Ci的影响之比为aij的互反数
某人利用成对比较得到阵
1 1/ 2
金
银
含量。
C4 C5 铜
模型建立及求解
构相对尺度。
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
Ci : C j aij
1
A (aij ) nn , aij
比较尺度
0, a ji
a ij
当比较Ci和Cj对上层因素O的影响时如何选取aij？ AHP(层次分析法)的创始人Saaty建议取aij的范围为 1—9，1—1/9。
更一般地，对于s个层次的决策问题，第k层对第1 层(设只有一个元素)的组合权向量为
w(k)=W(k)w(k-1), k=3,4,…s.
其中W(k)是以第 k 层对第 k-1层的权向量为列向量组成 的矩阵。
于是第s层对第1层的组合权向量为 w(s)=W(s) W(s-1) … W(3) w(2)。
组合一致性检验
2
1
A 1/ 4 1/ 7
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
A是正互反阵
4 3 3
7
5
5
1 1/ 2 1/ 3
2
1
1
3 1 1
同样方法构造第3层(方案层)对第2层的每个准则的 成对比较阵，例如
1
B
1/
2
1
1/5
2 1 1/2
1
3
B
1/
3
1
4
1/
4
1
5
2 ,
1
我们认为整体通过了一致性检验。
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层
（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影 响，而层内各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵 用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每
一因素的成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，
3.009
0.166 0.166 0.668
3
CI k 0.003 0.001 0
0.005 0
RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验。
组合权向量
0.595 0.082
0.277
0.236
0.129 0.682
0.429 0.429 0.142
0.633 0.193 0.175
在旅游问题中，第2层对第1层的成对比较矩阵A及 第3层对第2层的成对比较矩阵B1,…, B5都通过了一致性 检验，但B1,…, B5是独立作出的，还需检验其组合一致 性。
记B1,…, B5的一致性指标分别为CI1(3),…, CI5(3),则
CI (3) (CI1(3),,CI5(3))w(2)
反映了B1,…, B5对第1层的整体不一致程度。
第八讲 层次分析法
8.1 层次分析模型
8.1 层次分析模型
问题: 选择旅游地 假期到了，现有桂林、黄山、北戴河三个旅游地
供你选择，如何在三个目的地中选择？
问题分析 影响决定的因素有景色、费用、居住、饮食，
和旅途条件,不同的人对这些因素的关注程度是不同 的，从而会选择不同的目的地。
用层次结构描述问题
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
引例：金银铜含量的确定
有一块含金银铜的 单位重量金属，分成5块。
金属块
（1）每块的重量未知，
5块重量两两之比已知； （2）每块中金、银、铜
C1 C2 C3
的含量未知，三种金属
含量两两之比已知。求 金属块中金、银、铜的
相应地构造
RI
(3)
(RI1(3),,
RI )w (3)
(2)
5
其中 RI1(3),,RI5(3) 为随机一致性指标(相等)。
第3层的组合一致性比率为
(3)
CR(3) CI 0.001760.0030.1 RI (3) 0.58
第3层通过组合一致性检验 第3层对第1层的组合一致性比率为
CR* CR(2)CR(3) 0.0160.0030.0190.1,
w(2)
(w1(
2)
,,
w(2) n
)T
第2层C1,…Cn
第3层对第2层各元素的权向量
第3层P1, …Pm
w(3) (w(3) ,, w(3) )T , k 1,2,, n
k
k1
km
构造矩阵 W (3) [w(3) ,, w(3) ]
1
n
则第3层对第1层的组合权向量
w W w (3)
(3) (2)
0.263
0.166 0.166 0.668
0.475 0.055 0.090
0.110
方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300
方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
对于3个层次的组合权向量 第2层对第1层的权向量
第1层O
一致阵性质
特值近似算法
i, j, k 1,2,, n
则称A为一致阵。
• A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。
• A的任一列向量是对应于n 的特征向量。
• A的归一化特征向量可作为权向量。
对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建
议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即
Aw w
一致性检验 所谓一致性检验就是对A确定不一致的允许范围。
已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致
阵
定义一致性指标:
CI n
n 1
CI 越大，不一致越严重
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI—随机模拟
得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。
Saaty的结果如下
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
方案层对于准则Ck的权向量及一致性检验
求出相应的最大特征根、一致性指标和相应的归 一化特征向量。
第3层对第2层的计算结果
k1
2
3
4
5
0.595
w( 3 ) k
0.277
0.129
k
3.005
0.082 0.236 0.682
3.002
0.429 0.429 0.142
3
0.633 0.193 0.175
返回
0.1 0.077 0.091
0.587 0.324 w 0.089
1.769
Aw 0.974
1 n Awi
n i1 wi
1 (1.769 0.974 0.268) 3.009
3 0.587 0.324 0.089
0.286
精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010
作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）计算组合权向量（作组合一致性检验） 组合权向量可作为决策的定量依据。
正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算
有三种常用方法：幂法、和法、根法。
和法——取列向量的算术平均
1 2 例 A 1/ 2 1
6 列向量
4
归一化
1/ 6 1/ 4 1
0.6 0.615 0.545 算术 0.3 0.308 0.364 平均
定义一致性比率 CR = CI/RI。当CR<0.1时，通过一
致性检验。
准则层对目标的权向量及一致性检验
最大特征根=5.073
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
一致性指标 CI 5.073 5 0.018 5 1
随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1 通过一致性检验。 因此，w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 可以作为准 则层（ Ck ）对目标层（O）的相对权重。
4
1 ,
1
1
B 3 2 8
1
B 1 5 4
1/3 1 3
1/8
1/3,
1
1
1/ 4
1
1/
4 .
4 1
1
1 3
B
1
1
3 ,
3
1/3
1/3
1
要由A确定C1,… , C5对O的相对重要性的权数。
如果正互反阵A满足
aij a jk aik ,