高中数学人教A版选修1-2阶段质量检测(二)
阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是()①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x(x∈R)是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选B按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.2．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.则正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．3．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根解析：选A“至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”()A．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．5．已知a ∈(0，＋∞)，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n＋1，则a 的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n－1)D ．n n解析：选D 将四个答案分别用n ＝1,2,3检验即可，故选D.6．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足[f (x )]y ＝f (xy )”的是( )A ．指数函数B ．对数函数C ．一次函数D ．余弦函数解析：选A 当函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)时，对任意的x >0，y >0，有[f (x )]y ＝(a x )y ＝a xy ＝f (xy )，即指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足[f (x )]y ＝f (xy )，可以检验，B 、C 、D 选项均不满足要求．7．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8. 8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.9．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )， 则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4； f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7； f (5)＝f (3)＋f (4)＝11. 通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)， 则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18； f (7)＝f (5)＋f (6)＝29； f (8)＝f (6)＋f (7)＝47； f (9)＝f (7)＋f (8)＝76； f (10)＝f (8)＋f (9)＝123. 所以a 10＋b 10＝123.10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 015等于( )A.12 B.－1 C ．2D ．3 解析：选B ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)，∴a 2 015＝a 2＋3×671＝a 2＝－1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．已知 2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4 415，…，若 6＋a b＝6ab (a ，b 均为实数)，则a ＝________，b ＝________.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋ab中：a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3512．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝113．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．观察下图： 1 2 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……则第________行的各数之和等于2 0152.解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为S n ＝(2n －1)n ＋(2n －1)(2n －2)2＝(2n －1)n ＋(2n －1)(n －1)＝(2n －1)2，令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 008三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，{a n }有如下性质：(m ，n ，p ，q ∈N *)①通项a n ＝a m ＋(n －m )d ；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ③若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ； ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质．解：在等比数列{b n }中，公比为λ(λ≠0)，前n 项和为S n ′，{b n }有如下性质：(m ，n ，p ，q ∈N *)①通项b n ＝b m ·λn－m；②若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ； ③若m ＋n ＝2p ，则b m ·b n ＝b 2p ；④S n ′，S 2n ′－S n ′，S 3n ′－S 2n ′(S n ′≠0)构成等比数列． 16．(本小题满分12分)观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]＝1＋cos (60°＋2α)－cos 2α2＋12sin(2α＋30°)－14＝34＋12[cos 60°cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋12sin(2α＋30°) ＝34－12⎝⎛⎭⎫12cos 2α＋32sin 2α＋12sin(2α＋30°) ＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34， 即sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.17．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角． 解：(1) b a ＜ cb .证明如下： 要证b a ＜c b ，只需证b a ＜c b .∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ≥2 1ac ，∴b 2≤ac .又∵a ，b ，c 均不相等， ∴b 2＜ac .故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac ＞0，这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b ＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．18．(本小题满分14分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？ (1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．(2)若{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式． 解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．(2)由于{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＝3，…，即{a n }的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.其前n 项和公式S n＝⎩⎨⎧5n2，n 为偶数，5(n －1)2＋2＝5n －12，n 为奇数.(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了三段论，但大前提使用错误D ．使用了三段论，但小前提使用错误解析：选D 应用了三段论推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．2．用演绎推理证明函数y ＝x 3是增函数时的小前提是( ) A ．增函数的定义B ．函数y ＝x 3满足增函数的定义C ．若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)D ．若x 1>x 2，则f (x 1)>f (x 2)解析：选B 三段论中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y ＝x 3满足(B 卷 能力素养提升)增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A．由a n＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：数列{a n}的前n项和S n＝n2 B．由f(x)＝x cos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝x cos x为奇函数C．由半径为r的圆的面积S＝πr2，推断单位圆的面积S＝πD．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n解析：选A选项A：为归纳推理，且∵a n＝2n－1，∴{a n}是等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，则S n＝n＋n(n－1)2×2＝n2，故A正确；选项B：为演绎推理；选项C：为类比推理；选项D：为归纳推理，当n＝7时，(n＋1)2＝82＝64<2n＝27＝128，故结论错误．故选A.4．命题“关于x的方程f(x)＝0有唯一解”的结论的否定是()A．无解B．两解C．至少有两解D．无解或至少有两解答案：D5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为()A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10解析：选B先观察已知等式的左边，可得第n(n∈N*)个等式的左边应为9(n－1)＋n；再观察已知等式的右边结果1,11,21,31，…，知它们构成以1为首项，10为公差的等差数列，所以第n(n∈N*)个等式的右边应为1＋10(n－1)＝10n－9，故选B.6．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的面积最有可能是()A．πa2B．πb2C．πab D．π(ab)2解析：选C圆的方程可以看作是椭圆的极端情况，即a＝b时的情形，因为S圆＝πr2，可以类比出椭圆的面积最有可能是S＝πab.7．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定解析：选C P2＝(a＋a＋7)2＝2a＋7＋2a2＋7a，Q2＝(a＋3＋a＋4)2＝2a＋7＋2a2＋7a＋12，∴P 2<Q 2.又∵P >0，Q >0，∴P <Q .8．已知a ，b ∈R ，若a ≠b ，且a ＋b ＝2，则( ) A ．1<ab <a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D.a 2＋b 22<ab <1解析：选B ∵b ＝2－a ，∴ab ＝a (2－a )＝－(a 2－2a )＝－(a －1)2＋1<1， a 2＋b 22＝a 2＋(2－a )22＝2a 2－4a ＋42＝a 2－2a ＋2 ＝(a －1)2＋1>1，故选B.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2n n ＋1B.3n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋2D.2n n ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2， ∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.10．记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k ，当k ＝1,2,3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ，S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ，S 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4＋An 2，…由此可以推测A ＝( ) A ．－112 B.114 C ．－116 D.118解析：选A 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以16＋12＋512＋A ＝1，解得A ＝－112.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________________________________________________________________________．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”．答案：x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1)12．函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为________． 解析：因为函数y ＝a 1－x的图象所过的定点为A (1，1)，且点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，所以m ＋n ＝1. 又因为mn >0，所以必有m >0，n >0， 于是1m ＋1n ＝(m ＋n )·⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋mn ≥2＋2n m ·mn＝4. 答案：413．给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ……记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则 (1)a 54＝________；(2)a nm ＝________. 解析：由前4行的特点，归纳可得： 若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1， ∴a 54＝(4,5－4＋1)＝(4,2)， a nm ＝(m ，n －m ＋1)．答案：(1)(4,2) (2)(m ，n －m ＋1) 14．请阅读下面材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，求证：a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论是________．解析：类比给出的材料，构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1，由对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即可得到结论．故答案为a1＋a2＋…＋a n≤n.答案：a1＋a2＋…＋a n≤n三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)若x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)·(x2＋y2－1)－18≤0.(1)求x2＋y2的取值范围；(2)求证：xy≤2.解：(1)由(x2＋y2)2＋(x2＋y2)－20≤0得(x2＋y2＋5)(x2＋y2－4)≤0.因为x2＋y2＋5>0，所以有0≤x2＋y2≤4，即x2＋y2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知x2＋y2≤4，由基本不等式得xy≤x2＋y22≤42＝2，所以xy≤2.16．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的．证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β.又∵α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．结论是错误的，这两个平面也可能相交．17．(本小题满分12分)已知：sin2 30°＋sin2 90°＋sin2 150°＝32，sin2 5°＋sin2 65°＋sin 2 125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．解：一般形式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32. 证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)2＋ 1－cos (2α＋240°)2＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°) ＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边． 将一般形式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32也正确 18．(本小题满分14分)如右图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．求证：直线AC 经过原点O .证明：因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p 2， 代入抛物线方程，可得y 2－2pmy －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2.因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上， 所以点C 的坐标是⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2， 故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1， 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O .。
人教a版高中数学选修21全册同步练习及单元检测含答案
答案： 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0) 此方程有两个不相等的实数根
假
三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分 )
7．指出下列命题的条件 p 和结论 q： (1) 若 x＋ y 是有理数，则 x， y 都是有理数；
(2) 如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
1
1
∴ a＋1≥１且 a≤ 2，即 0≤ a≤ 2.
1 ∴满足条件的 a 的取值范围为 0， 2 .
4 8．求证： 0≤ a< 是不等式
ax2－ ax＋1－ a>0 对一切实数
x 都成立的充要条件．
5
4 证明： 充分性：∵ 0<a< ，
5 ∴ Δ＝a2－ 4a(1 －a) ＝ 5a2－ 4a＝ a(5 a－4)<0 ， 则 ax2－ ax＋ 1－ a>0 对一切实数 x 都成立． 而当 a＝ 0 时，不等式 ax2－ax＋ 1－ a>0 可变成 1>0.
x 都成立的充要条件．
尖子生题库 ☆☆☆ 9． (10 分 ) 已知条件 p： A＝ { x|2 a≤ x≤ a2＋ 1} ，条件 q： B＝{ x| x2－ 3( a＋ 1) x＋2(3 a＋ 1) ≤0} ．若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围． 解析： 先化简 B， B＝ { x|( x－ 2)[ x－ (3 a＋1)] ≤0} ，
答案： (1)(2)(3)
x 6．设集合 A＝ x| x－1<0 ，B＝ { x|0< x<3} ，那么“ m∈ A”是“ m∈ B”的 ________条件．
x
解析：
A＝
x|
<0 x－ 1
2021-2022学年人教版高中数学选修1-2教材用书;模块综合检测(二) Word版含答案
模块综合检测(二)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3iD ．1－3i解析：选D ∵z ＝10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，∴＝1－3i.2．以下说法，正确的个数为( )①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估量罪犯的身高状况，所运用的是类比推理． ②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推想出球的某些性质，这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2 375的个位是5，因此2 375是5的倍数，这是运用的演绎推理． A ．0 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C ①人的身高与脚长的关系：身高＝脚印长×6.876(中国人)，是通过统计数据用线性回归的思想方法得到的，故不是类比推理，所以错误．②农谚“瑞雪兆丰年”是人们在长期的生产生活实践中提炼出来的，所以是用的归纳推理，故正确．③由球的定义可知，球与圆具有很多类似的性质，故由平面几何中圆的一些性质，推想出球的某些性质是运用的类比推理是正确的．④这是运用的演绎推理的三段论．大前提是“个位是5的整数是5的倍数”，小前提是“2 375的个位是5”，结论为“2 375是5的倍数”，所以正确．故选C.3．观看下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )解析：选A 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应当是阴影矩形．4．三段论：“①全部的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人肯定坚强不屈”，其中“大前提”和“小前提”分别是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②①解析：选A 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”(①全部的中国人都坚强不屈)，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”(②雅安人是中国人)，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”(③雅安人肯定坚强不屈)．故选A.5．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( ) A ．肯定是异面直线 B ．肯定是相交直线 C ．不行能是平行直线 D ．不行能是相交直线解析：选C 假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面冲突，故c 与b 不行能是平行直线．故应选C.6．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出：“a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出：“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出：“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出：“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”． 其中类比结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④错误，由于③④中虚数不能比较大小． 7．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( )A ．10B ．17C ．19D ．36解析：选C 执行程序：k ＝2，s ＝0；s ＝2，k ＝3；s ＝5，k ＝5；s ＝10，k ＝9；s ＝19，k ＝17，此时不满足条件k <10，终止循环，输出结果为s ＝19.选C.8．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn (m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p ，q 的大小为( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p >q D ．不确定解析：选B q ＝ab ＋mad n ＋nbc m＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .9．下图所示的是“概率”学问的( )A ．流程图B ．结构图C ．程序框图D ．直方图解析：选B 这是关于“概率”学问的结构图．10．为了解某班同学宠爱打篮球是否与性别有关，对该班50名同学进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：宠爱打篮球不宠爱打篮球总计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 总计302050那么在犯错误的概率不超过________的前提下，认为“宠爱打篮球与性别有关”．( ) 附参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )P (K 2＞k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.78910.828A.0.05 B ．0.010 C ．0.005D ．0.001解析：选C 由2×2列联表可得，K 2的估量值k ＝50×(20×15－10×5)230×20×25×25＝253≈8.333>7.789，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“宠爱打篮球与性别有关”．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，明显，6<7.∴a <b .答案：a <b 12．复数z ＝i1＋i(其中i 为虚数单位)的虚部是________． 解析：化简得z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋12i ，则虚部为12.答案：1213．依据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是________(填序号)．①a n ＝2n ②a n ＝2(n －1) ③a n ＝2n ④a n ＝2n －1解析：由程序框图可知：a 1＝2×1＝2，a 2＝2×2＝4，a 3＝2×4＝8，a 4＝2×8＝16，归纳可得：a n ＝2n . 答案：③14．(福建高考)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0 有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相冲突，所以只有①正确是不行能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相冲突，所以只有②正确是不行能的； (3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 答案：201三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.16．(本小题满分12分)某高校远程训练学院网上学习流程如下：(1)同学凭录用通知书到当地远程训练中心报到，交费注册，领取网上学习注册码．(2)网上选课，课程学习，完成网上平常作业，获得平常作业成果．(3)预约考试，参与期末考试获得期末考试成果，获得综合成果，成果合格获得学分，否则重修．试画出该远程训练学院网上学习流程图．解：某高校远程训练学院网上学习流程如下：17．(本小题满分12分)某同学对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)依据以上数据完成下面的2×2列联表：主食蔬菜主食肉类总计50岁以下50岁以上总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？并写出简要分析．解：(1)2×2列联表如下：＝30×(8－128)212×18×20×10＝(2)由于K2的观测值k10>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．18．(本小题满分14分)为了探究同学选报文、理科是否与对外语的爱好有关，某同学调查了361名高二在校同学，调查结果如下：理科对外语有爱好的有138人，无爱好的有98人，文科对外语有爱好的有73人，无爱好的有52人．试分析同学选报文、理科与对外语的爱好是否有关？解：依据题目所给的数据得到如下列联表：理科文科总计有爱好13873211无爱好9852150总计2361253612k＝361×(138×52－73×98)2236×125×211×150≈1.871×10－4.由于1.871×10－4<2.706，所以据目前的数据不能认为同学选报文、理科与对外语的爱好有关，即可以认为同学选报文、理科与对外语的爱好无关．主食蔬菜主食肉类总计50岁以下481250岁以上16218总计201030。
2020-2021学年高二数学人教A版选修1-2配套作业：综合学业质量标准检测 Word版含解析
选修1－2 综合学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各式的运算结果为纯虚数的是( C ) A ．i(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)[解析] A 中，i(1＋i)2＝i(1＋2i －1)＝－2；B 中，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ；C 中，(1＋i)2＝1＋2i －1＝2i ；D 中，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，故选C ．2．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，复数z 1，z 3在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝3＋2i ，则z 2z 3＝( C )A ．－13B ．13C ．－5＋12iD ．－5－12i[解析] 由题意知z 2＝3－2i ，z 3＝－3＋2i ， 所以z 2z 3＝(3－2i)(－3＋2i) ＝－9＋6i ＋6i ＋4 ＝－5＋12i ． 故选C ．3．执行下面的程序框图，如果输入的N ＝4，那么输出的S 等于( B )A ．1＋12＋13＋14B ．1＋12＋13×2＋14×3×2C ．1＋12＋13＋14＋15D ．1＋12＋13×2＋14×3×2＋15×4×3×2[解析] 第一次循环，T ＝1，S ＝1，K ＝2； 第二次循环，T ＝12，S ＝1＋12，K ＝3；第三次循环，T ＝12×3，S ＝1＋12＋12×3，K ＝4；第四次循环，T ＝12×3×4，S ＝1＋12＋12×3＋12×3×4，K ＝5，循环结束，输出S ＝1＋12＋12×3＋12×3×4，故选B ． 4．由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中( A )A ．正方体的体积取得取大B ．正方体的体积取得取小C ．正方体各棱长之和取得取大D ．正方体各棱长之和取得取小[解析] 利用类比猜想得“在表面积为定值的长方体中，正方体的体积取得取大”，故选A ．5．下列是用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)在(－∞，＋∞)上是减函数，y ＝2x 是指数函数，所以y ＝2x 在(－∞，＋∞)上是减函数．该结论显然是错误的，其原因是( A )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都可能[解析] 大前提是：指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)在(－∞，＋∞)上是减函数，显然不正确，故选A ．6．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是( D )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝ln x ＋2x －6D ．f (x )＝sin x[解析] 第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在零点，故选D ．7．某考察团对全国10大城市的职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)进行统计调查后发现，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若某城市居民消费水平为7.765(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( A )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%[解析] 因为(x ，7.765)在回归直线y ^＝0.66x ＋1.562上，所以7.765＝0.66x ＋1.562，则x ＝9.4，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为7.7659.4×100%≈83%．8．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( D )A ．32B ．33C ．12D ． 3[解析] 因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤yx≤3．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题是真命题的是( ABC ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，故A 为真命题；②由复数相等的条件z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 为真命题；③令z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|，反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如当z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，而z 1≠z 2，故C 为真命题；④不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D 为假命题．故选ABC ．10．下列说法正确的是( ACD )A ．相关关系是一种非确定性关系B ．线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^，至少经过其样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合效果好[解析] 对于A ，相关关系是一种非确定的关系，而函数关系是一种确定的关系，A 选项正确；对于B ，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的中心点(x ，y )，但并不一定过样本数据中的某一个点，B 选项错误；C 、D 显然正确，故选ACD ．11．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表.算得K 2＝100×(45×22－20×13)258×42×35×65≈9.616．附表参照附表，得到的结论不正确的是( ABD )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”[解析] ∵K 2≈9.616＞6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选ABD ．12．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分为预赛和决赛两个阶段，下表为10学生的预赛成绩，其中有三个数据漏记了(见表中空白处)在这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则以下判断不正确的为( ABC )A ．4号学生一定进入30秒跳绳决赛B ．5号学生一定进入30秒跳绳决赛C ．9号学生一定进入30秒跳绳决赛D ．10号学生一定进入30秒跳绳决赛[解析] 进入立定跳远决赛的学生是1、3、4、6、7、8、9、10号的8个学生，由同时进入两项决赛有6人可知，1、3、4、6、7、8、9、10号有6个学生进入30秒跳绳决赛，在这8个学生的30秒跳绳决赛成绩中，3、6、7号学生成绩依次排名为1、2、3名，1号和10号成绩相同，若1号和10号不进入30秒跳绳决赛，则4号肯定也不进入，这样同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的只有5人，所以1、3、6、7、10进入30秒跳绳决赛，故选ABC ．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．复数z ＝－1＋3i2－i，则|z |＝．[解析] 解法一：z ＝－1＋3i 2－i ＝(－1＋3i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋5i5＝－1＋i ，∴|z |＝(－1)2＋12＝2．解法二：∵z ＝－1＋3i 2－i ，∴|z |＝|－1＋3i 2－i |＝(－1)2＋3222＋(－1)2＝105＝2．14．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的回归方程为y ^＝1.3x －1，则m ＝__3.1__.[解析] 由已知得x ＝14×(1＋2＋3＋4)＝2.5．y ＝14(0.1＋1.8＋m ＋4)＝14×(5.9＋m )．∵(x ，y )在直线y ^＝1.3x －1上，所以y ^＝1.3×2.5－1＝2.25， ∴14×(5.9＋m )＝2.25，解得m ＝3.1．15．观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 …照此规律，第五个等式应为__5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81__． [解析] 第1个等式有1项，从1开始； 第2个等式有3项，从2开始； 第3个等式有5项，从3开始； 第4个等式有7项，从4开始．每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81．16．为了研究某班学生的脚长x (单位：cm)和身高y (单位：cm)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.已知∑i ＝110x i ＝225，∑i ＝110y i ＝1 600，b ^＝4，该班某学生的脚长为24 cm ，据此估计其身高为__166__cm ．[解析] ∵∑i ＝110x i ＝225，∴x ＝110∑i ＝110x i ＝22.5．∵∑i ＝110y i ＝1 600，∴y ＝110∑i ＝110y i ＝160．又b ^＝4，∴a ^＝y －b ^x ＝160－4×22.5＝70． 则线性回归方程为y ^＝4x ＋70 将x ＝24代入得y ＝166． ∴其身高约为166 cm ．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(1)计算(1＋i 2)2＋5i3＋4i ；(2)复数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )满足z ＋2i z －＝3＋i ，求复数z 的对应点Z 所在的象限． [解析] (1)原式＝2i2＋5i (3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝i ＋4＋3i 5＝45＋85i ．(2)由z ＋2i z －＝3＋i 得 (x ＋2y )＋(y ＋2x )i ＝3＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3y ＋2x ＝1， 解得x ＝－13，y ＝53，∴z ＝－13＋53i ，∴复数z 对应点Z 的坐标为(－13，53)，即在第二象限．18．(本题满分12分)关于复数z 的方程z 2－(a ＋i)z －(i ＋2)＝0(a ∈R )． (1)若此方程有实数解，求a 的值；(2)用反证法证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根．[解析] (1)设z ＝m ∈R ，代入方程可得m 2－(a ＋i)m －(i ＋2)＝0，即m 2－am －2＋(－m －1)i ＝0，则m 2－am －2＝0，且－m －1＝0，故m ＝－1，a ＝1．(2)假设原方程有纯虚数根，令z ＝n i ，n ∈R 且n ≠0，则有(n i)2－(a ＋i)n i －(i ＋2)＝0，整理可得－n 2＋n －2＋(－an －1)i ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋n －2＝0 ①－an －1＝0 ②，对于①，判别式Δ＜0，方程无解，故方程组无解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根．19．(本题满分12分)近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如下表：参考数据：(参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )根据调查的数据，是否有90%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由； [解析] K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(20×20－40×20)260×40×60×40＝400×400×1005 760 000≈2.778>2.706所以有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”． 20．(本题满分12分)已知a 、b 、c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －bb＋a ＋b －cc>3． [解析] 解法一：(分析法)要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3，只需证明b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋bc －1>3，即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc>6．而事实上，由a 、b 、c 是全不相等的正实数， 得b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋bc >2． 从而b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6．故b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3得证． 解法二：(综合法) ∵a 、b 、c 全不相等，∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与bc 全不相等． ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋bc >2． 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6，∴(b a ＋c a －1)＋(c b ＋a b －1)＋(a c ＋bc －1)>3， 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3． 21．(本题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形中包含f (n )个小正方形．(1)求f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． [解析] (1)由图可知，f (1)＝1，f (2)＝1＋4＝5，f (3)＝1＋4＋8＝13， f (4)＝1＋4＋8＋12＝25， ∴f (5)＝1＋4＋8＋12＋16＝41．(2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2；f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，∴f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，将上述n －1个式子相加得f (n )－f (1)＝4[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝4×[1＋(n －1)](n －1)2＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，∴f (n )＝f (1)＋2n 2－2n ＝2n 2－2n ＋1．(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＋1－1＝12(1n －1－1n )，∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n)＝1＋12(1－1n )＝32－12n． 22．(本题满分12分)某工厂每日生产一种产品x (x ≥1)吨，每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为y 万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过一段时间的产销，得到了x ，Y 的一组统计数据，如下表：日产量x (吨) 1 2 3 4 5 日销售额Y (万元)512161921(1)请判断y ＝bx ＋a 与y ＝d ln x ＋c 中，哪个模型更适合刻画x ，Y 之间的关系，可从函数增长趋势方面给出简单的理由；(2)根据你的判断及下面的数据和公式，求出Y 关于x 的回归方程，并估计当日产量x ＝6时，日销售额是多少．(结果保留整数)参考公式：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x ·y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^·x ．参考数据：ln 1＋ln 2＋ln 3＋ln 4＋ln 55≈0.96,5ln 1＋12ln 2＋16ln 3＋19ln 4＋21ln 5≈86，ln 6≈1.8，(ln 1)2＋(ln 2)2＋(ln 3)2＋(ln 4)2＋(ln 5)2≈6.2．[解析] (1)y ＝d ln x ＋c 更适合刻画x ，Y 之间的关系．理由如下：x 值每增加1，函数值的增加量分别为7,4,3,2，增加得越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律，与直线型函数的增长存在较大差异，故y ＝d ln x ＋c 更适合刻画x ，Y 之间的关系．(2)令z ＝ln x ，由题意得y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 55＝735＝14.6，所以d ^＝∑i ＝15z i y i －5z ·y∑i ＝15z 2i －5z2≈86－5×0.96×14.66.2－5×0.962＝10，c ^＝y －d ^·z ≈14.6－10×0.96＝5，所以所求的回归方程为y ^＝10ln x ＋5.当x ＝6时，销售额为y ^＝10ln 6＋5≈23(万元)．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
人教A版高中数学选修一高 二 教 学 质 量 监 测.docx
高二教学质量监测数学（文科）2016.01.20本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损. 之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在信息栏填写自己的考号，并用2B铅笔填涂相应的信息点.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3．非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。
4．考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损，考试结束后，将答题卡交回。
5．考试不可以使用计算器.第I卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个．．．．选项符合题意）1．“21x >”是“1x >”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是 A ．钝角三角 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定3．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2212y x -= D ．2212x y -= 4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S = A ．48 B ．36 C ．42 D ．315．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=A ．3B ．23C ．38 D ．32 6. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内极值点有A. 1个B. 2个 C ．3个 D. 4个7．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，若“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则满足条件的x 为A ．{x|x ≥3或x ≤－1，x ∈Z}B ．{x|－1≤x ≤3，x ∈Z}C ．{0，1，2}D ．{－1，0，1，2，3}8．在C ∆AB 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若C 23S ∆AB =，6a b +=，cos cos 2cos C a b cB +A=，则c =A ．27B ．23C ．4D ．33 9．已知数列{}n a 中11a =，2112a =+，31123a =++，411234a =+++，…1123....nn a =++++…，则数列{}n a 的前n 项的和n s =A ．21n n + B ．1n n + C ．1n n + D ．221nn + 10. 若x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-,0,1,0x y x y x 则y x z 2+=的最大值为A. 0B. 1C.23D. 2 11．函数3239y x x x =--(22)x -<<有A ．极大值5，无极小值B ．极小值﹣27，无极大值C ．极大值5，极小值﹣27D ．极大值5，极小值﹣1112．如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为 A ．4 B ．7 C ．332 D ．3第II 卷 非选择题（满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线28y x =的焦点坐标是___________________14．在三角形ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知060A =,1b =，其面积为3，则a = ．15．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =____________.16．递减等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：510S S =，欲使n S 最大，则n = ．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（本题满分10分）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根；命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根，若“p 或q ”为真，而“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．18．（本题12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a C c A b A +=.（1）求A ； （2）若7,2a b ==求ABC ∆的面积.19．（本题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且1123321,2,10,7a b a b a b ==+=+=． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，记*(1),2nn n S c a n N =+⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（本题满分12分）解关于x 的不等式22(1)40()ax a x a R -++>∈．21．（本题满分12分）如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A 、B ，且5||||2AB BF =． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P 、Q 两点，OP OQ ⊥．求直线l 的方程及椭圆C 的方程．y xBAOF22．（本题满分12分）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈． （1）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （2）求()y f x =的单调区间；（3）设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．高二数学（文科）答案2015.01.20参考答案： 二、填空题13. 1(0,)3214. 13 15. e 16. 78或 三、解答题17. 解：依题意p ， q 中真假情况为：一真一假， …………1分p 真12120010x x m x x ∆>⎧⎪⇔+=-<⎨⎪=>⎩⇔m ＞2，…………3分q 真⇔∆＜0⇔1＜m ＜3，…………5分（1）若p 假q 真，则213≤m m ⎧⎨<<⎩⇔1＜m ≤2；…………7分（2）若p 真q 假，则213≤≥m m m >⎧⎨⎩或⇔m ≥3；…………9分综上所述，实数m 的取值范围为（1，2]∪[3，+∞）． …………10分18. 解：(1)cos cos 2cos a C c A b A +=∴sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=即sin()2sin cos A C B A +=------3分又sin()sin A C B +=，------4分则1cos 2A =，------5分又0A π<<，∴3A π=------6分(2) 由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而7,2a b ==，3A π=，------7分得2742c c =+-，即2230c c --=------9分 因为0c >，所以3c =，------10分 故ABC ∆面积为133sin 22bc A =.------12分19. 解：（1）由题意得211111027a db q a d b q ⎧++=⎨++=⎩把a 1＝1，b 1＝2代入得212101227d q d q ⎧++=⎨++=⎩消去d 得2q 2－q －6＝0，（2q ＋3）（q －2）＝0， ∵{b n }是各项都为正数的等比数列， ∴q ＝2， d ＝1，∴a n ＝n ，b n ＝2n ． …………6分（2）S n ＝2n ＋1－2，c n ＝a n ·（2n S +1）＝n ·2n设T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n， 2T n ＝ 1·22＋2·23＋…＋（n －1）·2n＋n ·2n ＋1， 相减，可得T n ＝（n －1）·2n ＋1＋2，…………12分20. 解：原不等式可化为(2)(2)0x ax -->， …………2分 （Ⅰ）当0a =时，2402x x -+>⇒<，解集为(,2)-∞； …………4分 （Ⅱ）当0a <时，对应方程两根为1222,x x a==，由对应二次函数的图象知，解集为2(,2)a； …………6分 （Ⅲ）当0a >时，1222(1)2a x x a a--=-=，由对应二次函数的图象知， ①当1a =时，解集为(,2)(2,)-∞+∞；②当1a >时，解集为2(,)(2,)a-∞+∞；③当01a <<时，解集为2(,2)(,)a-∞+∞． …………10分 综上：当0a <时，解集为2(,2)a； 当0a =时，解集为(,2)-∞； 当01a <<时，解集为2(,2)(,)a-∞+∞； 当1a =时，解集为(,2)(2,)-∞+∞；当1a >时，解集为2(,)(2,)a-∞+∞． …………12分21. 解：（1）由已知5||||2AB BF =， 即2252a b a +=，222445a b a +=， 222244()5a a c a +-=，∴ 32c e a ==． ………………………… 4分（2）由（1）知224a b =，∴ 椭圆C ：222214x y b b+=．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为22(0)y x -=-，即220x y -+=．由22222222204(22)4014x y x x b x y b b -+=⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 即2217321640x x b ++-=．22217321617(4)017b b ∆=+⨯->⇔>．123217x x +=-，21216417b x x -=． …… 8分 ∵ OP OQ ⊥，∴ 0OP OQ ⋅=，（或1OP OQ k k ⋅=-）即12120x x y y +=，1212(22)(22)0x x x x +++=，121254()40x x x x +++=． 从而25(164)128401717b --+=，解得1b =，∴ 椭圆C 的方程为2214x y +=． ………………………………12分22. 解：2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >． …………1分 （Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =． …………3分 （Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >．①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞． ②当102a <<时，12a >，在区间(0,2)和1(,)a+∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a 上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a．③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞．④当12a >时，102a<<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a 上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a． (8)分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <． 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤． ②当12a >时，()f x 在1(0,]a上单调递增，在1[,2]a 上单调递减，故max 11()()22ln 2f x f a a a==---．由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <，综上所述，ln 21a >-． …………12分。
2021-2022学年人教A版高中数学选修2-1配套练习：本册学业质量检测检测2 Word版含解析
本册学业质量标准检测(二)本套检测题仅供老师参考备用，同学书中没有。
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2021·贵州六盘水月考)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是导学号 21325097( D ) A ．若x 2≥1，则x ≥1若x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥12．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(¬q )”是假命题； ③命题“(¬p )∨q ”是真命题； ④命题“(¬p )∨(¬q )”是假命题． 其中正确的是导学号 21325098( B ) A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③[解析] 由于对任意实数x ，|sin x |≤1，而sin x ＝52>1，所以p 为假；由于x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，所以q 为真．因而②③正确．3．已知向量a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是导学号 21325099( A ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2[解析] 已知a ∥b ，则∃t ∈R ，使得b ＝t a (t ≠0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧tλ＋t ＝62μ－1＝02t ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2λ＝2μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－3λ＝－3μ＝12.4．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是导学号 21325100( A ) A ．(3210，4210，－22)和(－3210，－4210，22)B ．(3210，4210，－22)C ．(－3210，－4210，22)D ．(3210，4210，22)和(－3210，－4210，－22)[解析] 所求的单位向量e 与(－3，－4,5)方向相同或相反，且|e |＝1，求得(3210，4210，－22)和(－3210，－4210，22)． 5．如图，在三棱锥A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 中点，则AE →·BC →等于导学号 21325101( A )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ∵AE →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(DC →－DB →)＝12(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(DC →－DB →) ＝12(DB →－2DA →＋DC →)·(DC →－DB →) ＝12DB →·DC →－12DB →2－DA →·DC →＋DA →·DB →＋12DC →2－12DC →·DB → ∵DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ， ∴AE →·BC →＝0.故选A ．6．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点， 若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是导学号 21325102( D )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] ∵P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，又ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴D 1C 1⊥侧面BCC 1B 1. ∴D 1C 1⊥PC 1，∴PC 1为P 到直线D 1C 1的距离，即PC 1等于P 到直线BC 的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线．7．下列命题中，真命题是导学号 21325103( C ) A ．存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2≥x －14D ．∃x 0∈[0，π2]使得sin x 0>x 0[解析] 本题主要考查全称命题与特称命题真假的推断．对于A 选项：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1，故A为假命题；对于B 选项：存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x ＝32，sin x <cos x ，故B 为假命题；C 项，x 2－x ＋14＝(x －12)2，对，x ∈(0，＋∞)(x －12)2≥0恒成立，故C 项正确；对于D 选项：在单位圆中，可知对任意x ∈[0，π2]都有sin x <x .故D 为假命题．综上可知，C 为真命题．8．已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，则以下等式中可能不成立的是导学号 21325104( B ) A ．DA →·PB →＝0 B ．PC →·BD →＝0 C ．PD →·AB →＝0 D ．P A →·CD →＝0[解析] ①⎭⎪⎬⎪⎫DA ⊥AB DA ⊥P A ⇒DA ⊥平面P AB ⇒DA ⊥PB ⇒DA →·PB →＝0；②同①知AB →·PD →＝0；③P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥CD ⇒P A →·CD →＝0；④若BD →·PC →＝0，则BD ⊥PC ，又BD ⊥P A ，∴BD ⊥平面P AC ，故BD ⊥AC ，但在矩形ABCD 中不肯定有BD ⊥AC ，故选B ．9．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：假如函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有导学号 21325105( C )A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真[解析] p ：x ＝－1，y ＝log a (－a ＋2a )＝1为真命题q ：若y ＝x ＋3，则y ＝f (x －3)＝x 图象关于原点对称，但y ＝x ＋3的图象不关于(3,0)对称，故q 为假，∴选C ．10．方程xy 2＋x 2y ＝1所表示的曲线导学号 21325106( D ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称[解析] 设P (x 0，y 0)是曲线xy 2＋x 2y ＝1上的任意一点，则x 0y 20＋x 20y 0＝1.点P 关于直线y ＝x 的对称点为P ′(y 0，x 0)，∴y 0x 20＋y 20x 0＝x 0y 20＋x 20y 0＝1，∴点P ′在曲线xy 2＋x 2y ＝1上，故该曲线关于直线y ＝x 对称．11．(2021·福建福州八县一中期末)如图，在二面角α－l －β的棱l 上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，若二面角α－l －β的大小为π3，AB ＝AC ＝2，BD ＝3，则CD ＝导学号 21325107( A )A ．11B ．14C ．25D ．23[解析] ∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴CA →·AB →＝BD →·AB →＝0，∵〈AC →，BD →〉＝π3，∴〈CA →，BD →〉＝23π.∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →＝22＋22＋32＋0＋2×2×3×cos 23π＋0＝11，∴CD ＝11.故选A ．12.(2021·福州市八县一中高二期末)如图，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率为导学号 21325108( C )A ．3B ．5C ．7D ．3[解析] 依据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ， ∵△ABF 2是等边三角形，即|BF 2|＝|AB |， ∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，即|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°， ∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×(－12)＝28a 2，解之得c ＝7a ，由此可得双曲线C 的离心率e ＝ca＝7.故选C ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是_m ≥6__.导学号 21325109[解析] 由x －1x ≤0，即⎩⎨⎧x (x －1)≤0x ≠0，得0<x ≤1，由题设知，当0<x ≤1时，4x ＋2x －m ≤0，即4x ＋22≤m恒成立，易知y ＝4x ＋2x (0<x ≤1)的最大值为6，所以m ≥6.14．已知点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，则P 点的坐标为_(－1,0,2)__.导学号 21325110[解析] 由已知，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，P A →＝(－x,1，－z )，由⎩⎪⎨⎪⎧P A →·AB →＝0P A →·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＋z ＝0－2x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1z ＝2.∴P (－1,0,2)．15．假如过两点A (a,0)和B (0，a )的直线与抛物线y ＝x 2－2x －3没有交点，那么实数a 的取值范围是___(－∞，－134)___.导学号 21325111[解析] 过A 、B 两点的直线为：x ＋y ＝a 与抛物线y ＝x 2－2x －3联立得x 2－x －a －3＝0，由于直线x 与抛物线没有交点，则方程无解．即Δ＝1＋4(a ＋3)<0，解之a <－134.16．边长为1的等边三角形ABC 中，沿BC 边高线AD 折起，使得折后二面角B －AD －C 为60°，点D 到平面ABC 的距离为__1510__.导学号 21325112 [解析] 如图所示，AD ⊥平面BCD ，AD ＝32，BD ＝CD ＝BC ＝12，∴V A －BCD ＝13×AD ×S △BCD .又∵V A －BCD ＝V D －ABC ＝13×h ×S △ABC ，∴由等积法可解得h ＝1510. 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.求椭圆的标准方程.导学号 21325113[解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 2|＝22，得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1|·|F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22. 由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)(2021·江苏徐州高二检测)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若命题p “存在x 0>2，不等式(x 0－a )⊗x 0>a ＋2成立”为假命题，求实数a 的取值范围.导学号 21325114[思路分析] 先写出特称命题的否定，即转化为全称命题，将问题转化为恒成立问题，再利用相应学问建立方程或不等式求解．[解析] 由于命题p “存在x 0>2，不等式(x 0－a )⊗x 0>a ＋2成立”为假命题，所以p 的否定为真命题，即“任意x >2，不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2都成立”为真命题．由题意得(x －a )⊗x ＝(x －a )(1－x )，故不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2可化为(x －a )(1－x )≤a ＋2，化简得x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0.故原命题等价于x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0在(2，＋∞)上恒成立． 由二次函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2的图象，知其对称轴为x ＝a ＋12，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12≤2，f (2)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12>2，f (a ＋12)≥0，解得a ≤3或3<a ≤7.综上，实数a 的取值范围为(－∞，7]．19．(本小题满分12分)(2021·山西太原高二检测)已知抛物线C ：y 2＝4x ，点M (m,0)在x 轴的正半轴上，过点M 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.导学号 21325115(1)若m ＝1，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)是否存在定点M ，使得不论直线l 绕点M 如何转动，1|AM |2＋1|BM |2恒为定值？ [解析] (1)当m ＝1时，M (1,0)，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为y ＝x －1， 设A ，B 两点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得，x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－2＝4，∴圆心坐标为(3,2)． 又|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.∴圆的半径为4，∴圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16. (2)若存在这样的点M ，使得1|AM |2＋1|BM |2为定值，由题意可设直线l 的方程为x ＝ky ＋m ， 则直线l 的方程与抛物线C ：y 2＝4x 联立，消去x 得，y 2－4ky －4m ＝0，则y 1y 2＝－4m ，y 1＋y 2＝4k ， ∴1|AM |2＋1|BM |2＝1(x 1－m )2＋y 21＋1(x 2－m )2＋y 22 ＝1(k 2＋1)y 21＋1(k 2＋1)y 22＝y 21＋y 22(k 2＋1)y 21y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2(k 2＋1)y 21y 22 ＝16k 2＋8m(k 2＋1)·16m 2＝2k 2＋m2m 2(k 2＋1)，因此要与k无关，只需令m2＝1，即m＝2，此时1|AM|2＋1|BM|2＝14.∴存在定点M(2,0)，不论直线l绕点M如何转动，1|AM|2＋1|BM|2恒为定值．20．(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的全部棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.导学号 21325116(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1－OB1－D的余弦值．[解析](1)证明：∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1的全部棱长都相等，∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1均为菱形．∵AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，∴O、O1分别为BD、B1D1中点．∵四边形ACC1A1和四边形BDD1B1为矩形，∴OO1∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，∴OO1⊥BD，OO1⊥AC，又∵AC∩BD＝O且AC，BD⊂底面ABCD，∴OO1⊥底面ABCD.(2)解法一：过O1作B1O的垂线交B1O于点E，连接EO1、EC1.不妨设四棱柱ABCD－A1B1C1D1的边长为2a.∵OO1⊥底面ABCD且底面ABCD∥面A1B1C1D1，∴OO1⊥平面A1B1C1D1，又∵O1C1⊂平面A1B1C1D1，∴O1C1⊥OO1，∵四边形A1B1C1D1为菱形，∴O1C1⊥O1B1，又∵O1C1⊥OO1且OO1∩O1C1＝O1，O1O，O1B1⊂平面OB1D.，∴O1C1⊥平面OB1D，又∵B1O⊂平面OB1D，∴B1O⊥O1C1，又∵B1O⊥O1E且O1C1∩O1E＝O1，O1C1，O1E⊂平面O1EC1，∴B1O⊥面O1EC1，∴∠O1EC1为二面角C1－OB1－D的平面角，cos∠O1EC1＝O1EEC1，∵∠CBA＝60°且四边形ABCD为菱形，∴O1C1＝a，B1O1＝3a，OO1＝2a，B1O＝B1O21＋OO21＝7a，则O1E＝B1O1·sin∠O1B1O＝B1O1·O1OB1O＝3a·2a7a＝2217a，再由△O1EC1的勾股定理可得EC1＝O1E2＋O1C21＝127a2＋a2＝197a，则cos∠O1EC1＝O1EEC1＝2217a197a＝25719，所以二面角C1－OB1－D的余弦值为25719.解法二：∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1的全部棱长都相等，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，从而OB、OC、OO1两两垂直，以O为坐标原点，OB、OC、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB＝2，∵∠ABC＝60°，∴OB＝3，OC＝1，于是各相关点的坐标O(0,0,0)、B1(3，0,2)、C1(0,1,2)，易知n 1＝(0,1,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量， 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·OB 1→＝0n 2·OC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝0y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， ∴n 2＝(2,23，－3)．设二面角C 1－OB 1－D 的大小为θ，易知θ为锐角， ∴cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝25719，∴二面角C 1－OB 1－D 的余弦值为25719.21．(本小题满分12分)(2021·北京理，16)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方体，平面P AD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，P A ＝PD ＝6，AB ＝4.导学号 21325117(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B －PD －A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． [解析] (1)证明：设AC ，BD 交于点E ，连接ME ， 由于PD ∥平面MAC ，平面MAC ∩平面PDB ＝ME ， 所以PD ∥ME .由于四边形ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点， 所以M 为PB 的中点．(2)解：如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OE .由于P A ＝PD ， 所以OP ⊥AD .又由于平面P AD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面P AD ， 所以OP ⊥平面ABCD . 由于OE ⊂平面ABCD ， 所以OP ⊥OE .由于四边形ABCD 是正方形， 所以OE ⊥AD .如图，建立空间直角坐标系O －xyz ，则P (0,0，2)，D (2,0,0)，B (－2,4,0)，BD →＝(4，－4,0)，PD →＝(2,0，－2)．设平面BDP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝0，2x －2z ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝ 2. 于是n ＝(1,1，2)．平面P AD 的法向量为p ＝(0,1,0)，所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝12. 由题意知二面角B －PD －A 为锐角， 所以它的大小为π3.(3)解：由题意知M (－1,2，22)，C (2,4,0)，MC →＝(3,2，－22)． 设直线MC 与平面BDP 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈n ，MC →〉|＝|n ·MC →||n ||MC →|＝269，所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269.22．(本小题满分12分)(2021·全国Ⅰ理，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上.导学号 21325118 (1)求C 的方程．(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解析] (1)解：由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.假如l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为(t ，4－t 22)，(t ，－4－t 22)，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2 ＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．。
2019-2020学年高中数学(人教版选修1-2)阶段质量检测(二) Word版含答案
阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是( )①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x(x∈R)是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选B按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.2．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.则正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．3．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根解析：选A“至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：选C正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．5．已知a∈(0，＋∞)，不等式x＋1x≥2，x＋4x2≥3，x＋27x3≥4，…，可推广为x＋axn≥n＋1，则a的值为( )A．2n B．n2C．22(n－1)D．n n解析：选D将四个答案分别用n＝1,2,3检验即可，故选D.6．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是( )A．指数函数B．对数函数C．一次函数D．余弦函数解析：选A 当函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)时，对任意的x>0，y>0，有[f(x)]y＝(a x)y＝a xy＝f(xy)，即指数函数f(x)＝a x(a>0，a ≠1)满足[f(x)]y＝f(xy)，可以检验，B、C、D选项均不满足要求．7．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn－4＋错误!＝2 B.错误!＋错误!＝2C.nn－4＋错误!＝2D.错误!＋错误!＝2解析：选A观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n＝6n＋2.9．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r＝( )A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4解析：选C 将△ABC 的三条边长a ，b ，c 类比到四面体P -ABC 的四个面面积S 1，S 2，S 3，S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选 C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3VS1＋S2＋S3＋S4.10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1an ，则a 2 015等于( )A.12 B.－1 C ．2D ．3解析：选B ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1an，∴a 2＝1－1a1＝－1，a 3＝1－1a2＝2， a 4＝1－1a3＝12，a 5＝1－1a4＝－1， a 6＝1－1a5＝2， ∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)， ∴a 2 015＝a 2＋3×671＝a 2＝－1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋ab＝6a b(a ，b 均为实数)，则a ＝________，b ＝________.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋ab中：a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3512．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为：经过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x0x a2＋y0yb2＝1.答案：经过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x0x a2＋y0yb2＝113．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x2＋…＋xn n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．观察下图：1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10……则第________行的各数之和等于2 0152.解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为 S n ＝(2n －1)n ＋错误!＝(2n －1)n ＋(2n －1)(n －1)＝(2n －1)2，令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 008三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，{a n }有如下性质：(m ，n ，p ，q ∈N *)①通项a n ＝a m ＋(n －m )d ；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ③若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ； ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质．解：在等比数列{b n }中，公比为λ(λ≠0)，前n 项和为S n ′，{b n }有如下性质：(m ，n ，p ，q ∈N *) ①通项b n ＝b m ·λn－m；②若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ； ③若m ＋n ＝2p ，则b m ·b n ＝b 2p ；④S n ′，S 2n ′－S n ′，S 3n ′－S 2n ′(S n ′≠0)构成等比数列． 16．(本小题满分12分)(北京高考节选)已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2an ，an≤18，2an －36，an ＞18(n ＝1,2，…)．记集合M ＝{a n |n ∈N *}．(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；(2)若集合M 存在一个元素是3 的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数． 解：(1)6,12,24.(2)证明：因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数．由a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2an ，an≤18，2an －36，an>18可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数．如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数．如果k >1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，于是a k －1是3的倍数．类似可得，a k －2，…，a 1都是3的倍数．从而对任意n ≥1，a n 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数． 综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数．17．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a 与c b的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B 不可能是钝角． 解：(1)b a ＜c b .证明如下：要证 b a＜c b，只需证b a ＜cb.∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ≥2 1ac， ∴b 2≤ac .又∵a ，b ，c 均不相等， ∴b 2＜ac .故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，cos B ＝a2＋c2－b22ac ≥2ac －b22ac ＞ac －b22ac ＞0，这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b ＞0，则1a ＋1c＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．18．(本小题满分14分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？ (1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．(2)若{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式．解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．(2)由于{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＝3，…，即{a n }的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.其前n 项和公式 S n ＝错误!(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了三段论，但大前提使用错误D ．使用了三段论，但小前提使用错误解析：选D 应用了三段论推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误． 2．用演绎推理证明函数y ＝x 3是增函数时的小前提是( ) A ．增函数的定义B ．函数y ＝x 3满足增函数的定义C ．若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)D ．若x 1>x 2，则f (x 1)>f (x 2)解析：选B 三段论中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y ＝x 3满足增函数的定义，结论是y ＝x 3是增函数，故选B.3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2(B 卷 能力素养提升)B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，推断单位圆的面积S ＝πD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n解析：选A 选项A ：为归纳推理，且∵a n ＝2n －1，∴{a n }是等差数列，首项a 1＝1，公差d ＝2，则S n＝n ＋错误!×2＝n 2，故A 正确；选项B ：为演绎推理；选项C ：为类比推理；选项D ：为归纳推理，当n ＝7时，(n ＋1)2＝82＝64<2n ＝27＝128，故结论错误．故选A.4．命题“关于x 的方程f (x )＝0有唯一解”的结论的否定是( ) A ．无解 B ．两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解答案：D5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －1D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析：选B 先观察已知等式的左边，可得第n (n ∈N *)个等式的左边应为9(n －1)＋n ；再观察已知等式的右边结果1,11,21,31，…，知它们构成以1为首项，10为公差的等差数列，所以第n (n ∈N *)个等式的右边应为1＋10(n －1)＝10n －9，故选B.6．已知圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)的面积为S ＝πr 2，由此类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的面积最有可能是( )A ．πa 2B ．πb 2C ．πabD ．π(ab )2解析：选C 圆的方程可以看作是椭圆的极端情况，即a ＝b 时的情形，因为S 圆＝πr 2，可以类比出椭圆的面积最有可能是S ＝πab .7．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定解析：选C P 2＝(a ＋a ＋7)2＝2a ＋7＋2a2＋7a ，Q 2＝(a ＋3＋a ＋4)2＝2a ＋7＋2a2＋7a ＋12，∴P 2<Q 2.又∵P >0，Q >0，∴P <Q .8．已知a ，b ∈R ，若a ≠b ，且a ＋b ＝2，则( ) A ．1<ab <a2＋b22B ．ab <1<a2＋b22C ．ab <a2＋b22<1D.a2＋b22<ab <1解析：选B ∵b ＝2－a ，∴ab ＝a (2－a )＝－(a 2－2a )＝－(a －1)2＋1<1， a2＋b22＝错误!＝错误!＝a 2－2a ＋2 ＝(a －1)2＋1>1，故选B.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( ) A.2nn ＋1 B.3n －1n ＋1 C.2n ＋1n ＋2 D.2n n ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2， ∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2nn ＋1.10．记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k ，当k ＝1,2,3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ，S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ，S 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4＋An 2，… 由此可以推测A ＝( )A ．－112 B.114C ．－116 D.118解析：选A 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以16＋12＋512＋A ＝1，解得A ＝－112. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．已知x ，y∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________________________________________________________________________．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”． 答案：x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1) 12．函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m＋1n的最小值为________．解析：因为函数y ＝a 1－x 的图象所过的定点为A (1，1)，且点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，所以m ＋n ＝1. 又因为mn >0，所以必有m >0，n >0，于是1m ＋1n ＝(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝2＋nm ＋mn ≥2＋2n m ·m n＝4. 答案：413．给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ……记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则 (1)a 54＝________；(2)a nm ＝________. 解析：由前4行的特点，归纳可得： 若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，∴a 54＝(4,5－4＋1)＝(4,2)，a nm ＝(m ，n －m ＋1)．答案：(1)(4,2) (2)(m ，n －m ＋1)14．请阅读下面材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 2＝1，求证：a 1＋a 2≤2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤2.根据上述证明方法，若n 个正实数满足a 21＋a 2＋…＋a 2n ＝1时，你能得到的结论是________． 解析：类比给出的材料，构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1，由对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，即可得到结论．故答案为a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .答案：a 1＋a 2＋…＋a n ≤n 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)·(x 2＋y 2－1)－18≤0.(1)求x 2＋y 2的取值范围；(2)求证：xy ≤2.解：(1)由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0得(x 2＋y 2＋5)(x 2＋y 2－4)≤0.因为x 2＋y 2＋5>0，所以有0≤x 2＋y 2≤4，即x 2＋y 2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x2＋y22≤42＝2， 所以xy ≤2.16．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的．证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β.又∵α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，∴必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．结论是错误的，这两个平面也可能相交．17．(本小题满分12分)已知：sin 2 30°＋sin 2 90°＋sin 2 150°＝32，sin 2 5°＋sin 2 65°＋sin 2 125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明． 解：一般形式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32. 证明：左边＝1－cos 2α2＋错误!＋ 错误!＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°) ＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边． 将一般形式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32也正确18．(本小题满分14分)如右图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．求证：直线AC 经过原点O .证明：因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p 2， 代入抛物线方程，可得y 2－2pmy －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2.因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上， 所以点C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y2， 故直线CO 的斜率为k ＝y2－p 2＝2p y1＝y1x1， 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O .。
高中数学人教A版选修1-2阶段质量检测(二) Word版含解析
阶段质量检测（二）(卷学业水平达标)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是( )①＝ (∈)是三角函数；②三角函数是周期函数；③＝ (∈)是周期函数．．①②③．②①③．②③①．③②①解析：选按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④由·＝·(≠)可得＝.则正确的结论有( )．个．个．个．个解析：选平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由·＝·(≠)得·(－)＝，从而－＝或⊥(－)，故④错误．．(山东高考)用反证法证明命题“设，为实数，则方程＋＋＝至少有一个实根”时，要做的假设是( )．方程＋＋＝没有实根．方程＋＋＝至多有一个实根．方程＋＋＝至多有两个实根．方程＋＋＝恰好有两个实根解析：选“至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程＋＋＝没有实根”．．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面．”( )．各正三角形内一点．各正三角形的某高线上的点．各正三角形的中心．各正三角形外的某点解析：选正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．．已知∈(，＋∞)，不等式＋≥，＋≥，＋≥，…，可推广为＋≥＋，则的值为( )．．．．(－)解析：选将四个答案分别用＝检验即可，故选.．下列四类函数中，具有性质“对任意的>，>，函数()满足[()]＝()”的是( )．指数函数．对数函数．余弦函数．一次函数解析：选当函数()＝(>，≠)时，对任意的>，>，有[()]＝()＝＝()，即指数函数()＝(>，≠)满足[()]＝()，可以检验，、、选项均不满足要求．．观察下列各等式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )＋＝＋＝＋＝＋＝解析：选观察分子中＋＝＋＝＋＝＋(－)＝.．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )．－．－．＋．＋解析：选归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为，公差是的等差数列，通项公式为＝＋.．观察下列各式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则＋＝( )．．．．解析：选记＋＝()，则()＝()＋()＝＋＝；。
高中数学人教A版选修1-2阶段质量检测(一) Word版含解析
阶段质量检测（一）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．对于自变量x 和因变量y ，当x 取值一定时，y 的取值带有一定的随机性，x ，y 之间的这种非确定性关系叫做( )A ．函数关系B ．线性关系C ．相关关系D ．回归关系解析：选C 由相关关系的概念可知，C 正确．2．在一线性回归模型中，计算其相关指数R 2＝0.96，下面哪种说法不够妥当( ) A ．该线性回归方程的拟合效果较好B ．解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%C ．随机误差对预报变量的影响约占4%D ．有96%的样本点在回归直线上解析：选D 由相关指数R 2表示的意义可知A 、B 、C 三种说法都很妥当，相关指数R 2＝0.96，其值较大，说明残差平方和较小，绝大部分样本点分布在回归直线附近，不一定有96%的样本点在回归直线上，故选D.3．(湖北高考改编)根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( )A.a ^>0，b ^<0B.a >0，b >0C.a ^<0，b ^<0D.a ^<0，b ^>0 解析：选A 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率b ^<0，当x ＝0时，y ^＝a ^>0，故a ^>0，b ^<0. 4.下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：(A 卷 学业水平达标)由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.25解析：选D 样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得a ^＝5.25. 5．下面的等高条形图可以说明的问题是( )A ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C ．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握解析：选D 由等高条形图可知选项D 正确．6．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为y ^＝7.19x ＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )A ．身高一定为145.83 cmB ．身高大于145.83 cmC ．身高小于145.83 cmD ．身高在145.83 cm 左右解析：选D 用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x ＝10时，y ＝145.83，只能说身高在145.83 cm 左右．7．在2×2列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大( )A.a a ＋b 与c c ＋dB.a c ＋d 与c a ＋bC.a a ＋d 与c b ＋cD.a b ＋d 与c a ＋c解析：选A 当ad 与bc 相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大，此时a a ＋b 与c c ＋d相差越大．8．如图，5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是( )A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C ．相关指数R 2变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强解析：选B 由散点图知，去掉D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以r 变大，R 2变大，残差平方和变小．9．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^＝－3＋b ^x ，若∑i ＝110x i ＝17，∑i ＝110y i＝4，则b ^的值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－1解析：选A 依题意知，x －＝1710＝1.7，y －＝410＝0.4，而直线y ^＝－3＋b ^x 一定经过点(x －，y －)，所以－3＋b ^×1.7＝0.4，解得b ^＝2.10．两个分类变量X 和Y ，值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35.若X 与Y 有关系的可信程度不小于97.5%，则c 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A 列2×2列联表如下：故K 2的观测值k ＝66×[10(35－c )－21c ]231×35×(10＋c )(56－c )≥5.024.把选项A 、B 、C 、D 代入验证可知选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．给出下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ⑤学生与他(她)的学号之间的关系． 其中有相关关系的是________(填序号)．解析：利用相关关系的概念判断．①是不确定关系．②曲线上的点与该点坐标是一种对应关系，即每一个点对应一个坐标，是确定关系．⑤学生与其学号也是确定的对应关系．答案：①③④12．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．解析：设回归直线的方程为y ^＝b ^x ＋a ^. 回归直线的斜率的估计值是1.23，即b ^＝1.23. 又回归直线过样本点的中心(4,5)， 所以5＝1.23×4＋a ^，解得a ^＝0.08， 故回归直线的方程为y ^＝1.23x ＋0.08. 答案：y ^＝1.23x ＋0.0813．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表．由表中数据得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－2.现预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．解析：由题意可知x －＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y －＝14×(24＋34＋38＋64)＝40，b ^＝－2.又回归直线y ^＝－2x ＋a ^过点(10,40)，故a ^＝60，所以当x ＝－4时，y ^＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：6814．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得k ≈3.918，经查对临界值表P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学做出了以下的判断：p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r ：这种血清预防感冒的有效率为95%；s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列命题中，正确的是________(填序号)．①p ∧(綈q )； ②(綈p )∧q ；③(綈p ∧綈q )∧(r ∨s ); ④(p ∨綈r )∧(綈q ∨s )．解析：查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；95%仅是指“血清能起到预防感冒的作用”的可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能，故p 真，其余都假．结合复合命题的真假可知，选①④.答案：①④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)某地区在调查一种传染病与饮用水的关系时得到如下数据：饮用干净水得病5人，不得病50人；饮用不干净水得病9人，不得病22人．画出列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为这种疾病与饮用水有关．解：依题意得2×2列联表：k ＝86×(5×22－50×9)255×31×14×72≈5.785，由于5.785>2.706，故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为这种传染病与饮用不干净水有关系．16．(本小题满分12分)某同学6次考试的数学、语文成绩在班中的排名x ，y 如下表：对上述数据用线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^来拟合y 与x 之间的关系． 解：由于x －＝4，y －＝7.5，∑i ＝16(x i －x －)(y i －y －)＝50，∑i ＝16(x i －x －)2＝28，那么b ^＝∑i ＝16(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝16(x i －x －)2＝5028≈1.786， a ^＝y －－b ^x －＝7.5－1.786×4＝0.356. 此时可得y ^＝1.786x ＋0.356.17．(本小题满分12分)有两个分类变量x 与y ，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a,15－a 均为大于5的整数，则a 取何值时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系？解：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系，则k ≥2.706，而k ＝65×[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]220×45×15×50＝65×(65a －300)220×45×15×50 ＝13×(13a －60)260×90.由k ≥2.706得a ≥7.19或a ≤2.04.又a ＞5且15－a ＞5，a ∈Z ，即a ＝8或9，故a 为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系． 18．(本小题满分14分)在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组数据如下表：(1) (2)求相关指数R 2，并说明其含义； (3)给出37岁时人的脂肪含量的预测值．解：(1)散点图如图所示．由散点图可知样本点呈条状分布，脂肪含量与年龄有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则由计算器算得b ^≈0.576，a ^≈－0.448， 所以线性回归方程为y ^＝0.576x －0.448. (2)残差平方和：∑14i ＝1 e ^2i ＝∑14i ＝1(y i －y ^i )2≈37.20， 总偏差平方和：∑14i ＝1(y i －y －)2≈644.99， R 2＝1－37.20644.99≈0.942， 表明年龄解释了94.2%的脂肪含量变化．(3)当x ＝37时，y ^＝0.576×37－0.448≈20.9，故37岁时人的脂肪含量约为20.9%.(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上解析：选B 在散点图中，预报变量在y 轴上，解释变量在x 轴上． 2．在回归分析中，残差图中的纵坐标为( ) A ．残差 B ．样本编号 C.x － D.e ^(n )解析：选A 残差是真实值与预报值的差，残差分析就是对这些残差画出残差图进行分析，在残差图中，横坐标代表编号，纵坐标代表残差．3．下表显示出样本中变量y 随变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能是( )A.C ．指数函数模型D ．对数函数模型解析：选A 画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 与Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．5%D ．97.5%解析：选D ∵k ＞5.024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1－0.025＝97.5%的把握认为“X 和Y 有关系”，故选D.5.如图所示，图中有5组数据，去掉________(填字母代号)组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大 ( )A ．EB ．C C ．DD ．A解析：选A ∵A ，B ，C ，D 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，E 点离得远，(B 卷 能力素养提升)∴去掉E 点剩下的4组数据的线性相关性最大．故答案为A.6．在一次实验中，测得(x ，y )的四组值分别是A (1,2)，B (2,3)，C (3,4)，D (4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )A.y ^＝2x ＋1B.y ^＝x ＋2 C.y ^＝x ＋1 D.y ^＝x －1 解析：选C ∵x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝2＋3＋4＋54＝3.5，∴这组数据的样本中心点是(2.5,3.5)，把样本中心点代入四个选项中，只有y ^＝x ＋1成立，故选C.7．为判定喜欢黑色的人是否易患抑郁症，对91名大学生进行调查，得到如下2×2列联表：附表：A ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系B ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系C ．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系D ．不能认为喜欢黑色与患抑郁症有关系解析：选D 经计算K 2≈9.8×10－5≤3.841，故没有理由认为喜欢黑色与患抑郁症有关．8．为了评价某个电视栏目改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算得K 2≈0.99.根据这一数据分析，下列说法正确的是 ( )A ．有99%的人认为该栏目优秀B ．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革无关C ．有99%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系D ．没有充分理由认为该栏目是否优秀与改革有关系解析：选D 只有K 2>6.635才能有99%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系，而即使K 2>6.635也只是对“该栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论．故选D.9．若残差平方和是325，总偏差平方和是923，则随机误差对预报变量变化的贡献率为( )A ．64.8%B ．60%C ．35.2%D ．40%解析：选C 相关指数R 2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，故随机误差对预报变量变化的贡献率为残差平方和总偏差平方和×100%＝325923×100%≈35.2%.10．下面是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出( )A ．性别与喜欢理科无关B ．女生中喜欢理科的百分比为80%C ．男生比女生喜欢理科的可能性大些D ．男生不喜欢理科的百分比为60%解析：选C 由等高条形图可知，女生中喜欢理科的百分比约为1－0.8＝0.2＝20%， 男生中喜欢理科的百分比约为1－0.4＝0.6＝60%， 因此男生比女生喜欢理科的可能性大些．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321， 与y ^＝0.254x ＋0.321相减可得， 年饮食支出平均增加0.254万元． 答案：0.25412．在线性回归方程y ＝a ＋bx 中，b 为回归系数，下列关于b 的说法中正确的是________(填序号)．①b 为回归直线的斜率；②b >0，表示随x 增加，y 值增加，b <0，表示随x 增加，y 值减少； ③b 是唯一确定的值；④回归系数b 的统计意义是当x 每增加(或减少)一个单位，y 平均改变b 个单位． 解析：b 是由总体的一个样本，利用一定的方法得到的，选择不同的样本或不同的计算方法得到的b 是不同的，故③错．答案：①②④13．独立性检验显示：有90%的把握认为性别与是否喜爱喝酒有关．下列说法中正确的是________(填序号)．①在100个男性中约有90个人爱喝酒；②如果某人爱喝酒，那么此人为男性的可能性为90%； ③认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性为10%； ④有90%的把握认为10个男性中有9个人爱喝酒．解析：根据独立性检验的概念可知③正确，其他说法均错误． 答案：③ 14．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系．其中错误的个数是________． 本题可以参考独立性检验临界值表：其稳定性不变，所以方差恒不变；②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位，而不是增加5个单位；③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079,13.079>10.828，且P (K 2>10.828)＝0.001，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系．因此，①③④正确，②错误，故只有1个错误的说法．答案：1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分12分)在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外的27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外的33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与休闲方式有关系？ 解：(1)2×2列联表为：(2)k ＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201.因为6.201>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与休闲方式有关系．16．(本小题满分12分)某种产品的广告费用支出x 万元与销售额y 万元之间有如下的对应数据：(1)(2)据此估计广告费用为10万元时所得的销售收入．(5i ＝1x 2i ＝145，5i ＝1x i y i ＝1 270)解：(1)x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝20＋30＋50＋50＋705＝44，b ^＝5i ＝1x i y i－5x － y －5i ＝1x 2i －5x －2＝1 270－5×5×44145－5×25＝8.5，a ^＝y －－b ^x －＝44－8.5×5＝1.5， ∴回归直线方程为y ^＝8.5x ＋1.5.(2)当x ＝10时，预报y 的值为y ^＝8.5×10＋1.5＝86.5(万元)．所以所得的销售收入约为86.5万元．17．(本小题满分12分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附： K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解：(1)300×4 50015 000＝90， 所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的．所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：每周平均体育运动时间与性别的列联表k ＝300×(165×30－45×60)275×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18．(本小题满分14分)以下资料是一位销售经理收集到的年销售额y(千元)和销售经验x (年)的关系：(1)根据这些数据画出散点图并作直线y ^＝78＋4.2x ，计算10i ＝1 (y i －y ^i )2；(2)依据这些数据求回归直线方程并据此计算 10i ＝1(y i －y ^i )2； (3)比较(1)(2)中的残差平方和10i ＝1 (y i －y ^i )2的大小． 解：(1)散点图与直线y ^＝78＋4.2x 的图形如图， 对x ＝1,3，…，13，有y ^i ＝82.2,90.6,94.8,94.8,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6， 10i ＝1(y i －y ^i )2＝179.28.(2)x ＝11010i ＝1x i ＝7，10i ＝1x i y i ＝8 128，10i ＝1x 2i＝632， y ＝11010i ＝1y i＝108， ∴b ^＝4，a ^＝y －b ^x ＝108－4×7＝80， 故y ^＝80＋4x ，对x ＝1,3，…，13，有 y ^i ＝84,92,96,96,104,112,120,120,124,132， 10i ＝1(y i －y ^i )2＝170. (3)比较可知，(2)中求出的10i ＝1 (y i －y ^i )2较小．。
高中数学人教A版选修1-2：阶段质量检测(二) 推理与证明含解析
阶段质量检测（二）推理与证明(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案解析：选C根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．4．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为()A．(3,9) B．(4,8)C．(3,10) D．(4,9)解析：选D因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D.6．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数， 所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立． 上述证明过程应用了( ) A ．综合法B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．7．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 由等差数列性质，有a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5.易知D 成立． 8．若数列{a n }是等比数列，则数列{a n ＋a n ＋1}( ) A ．一定是等比数列 B ．一定是等差数列C ．可能是等比数列也可能是等差数列D ．一定不是等比数列解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋a n ＋1＝a n (1＋q )．∴当q ≠－1时，{a n＋a n ＋1}一定是等比数列；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0解析：选D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：选A 令n ＝1,2,3， 得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1 C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2nn ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )A.1 C ．4D ．5解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于114．已知a >0，b >0，m ＝lga ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m ，n 的大小关系是________． 解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒ a ＋b 2>a ＋b 2⇒lg a ＋b2>lg a ＋b2. 答案：m >n 15．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝ 4415，…， 6＋a b ＝6ab ，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.解析：由题意归纳推理得6＋a b ＝6a b ，b ＝62－1＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：4116．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2； (2)6＋10>23＋2. 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证 6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1,2，…)． (1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n (不要求证明)．解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n， 解得a n ＝0或1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1， 这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 所以a n ＋1＝a n 不成立． 故a n ＋1≠a n 成立．(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，由此猜想：a n ＝2n －12n －1＋1.19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0，∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．21．(本小题满分12分)已知：sin 2 30°＋sin 2 90°＋sin 2 150°＝32，sin 2 5°＋sin 2 65°＋sin 2125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．解：一般形式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)2＋1－cos (2α＋240°)2＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°) ＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边．将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32也正确22．(本小题满分12分)根据要求证明下列各题：(1)用分析法证明：已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a|＋|b||a＋b|≤2；(2)用反证法证明：1，2，3不可能是一个等差数列中的三项．证明：(1)a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|＋|b||a＋b|≤ 2.只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．(2)假设1，2，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第m，n，k项(m，n，k∈N*)，则数列的公差d＝2－1n－m＝3－1k－m，即2－1＝2(n－m)k－m，因为m，n，k∈N*，所以(n－m)∈Z，(k－m)∈Z，所以2(n－m)k－m为有理数，所以2－1是有理数，这与2－1是无理数相矛盾．故假设不成立，所以1，2，3不可能是一个等差数列的三项．。
2018-2019年高中数学人教版选修1-2单元质量评估(二)
单元质量评估(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.由1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，得到1+3+…+(2n-1)=n2用的是( ) A.归纳推理 B.演绎推理C.类比推理D.特殊推理【解析】选A.根据定义可知是归纳推理.2.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A.一条中线上的点，但不是中心B.一条垂线上的点，但不是垂心C.一条角平分线上的点，但不是内心D.中心【解析】选D.由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心.3.在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为( )A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边的一半C.EF为中位线D.EF∥BC【解析】选A.这个三段论的推理形式是：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.4.若a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( )A.ab>acB.c(b-a)>0C.cb2<ca2D.ac(a-c)<0【解析】选C.A，B，D一定成立.当b=0时，C不成立，所以C不一定成立. 5.用反证法证明命题“若a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A.因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.6.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(-3，4)，且法向量为n=(1，-2)的直线(点法式)方程为：1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0，化简得x-2y+11=0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为m=(-1，-2，1)的平面的方程为( )A.x+2y-z-2=0B.x-2y-z-2=0C.x+2y+z-2=0D.x+2y+z+2=0【解析】选A.类比直线方程求法得平面方程为(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0，即x+2y-z-2=0.7.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为( )A.a=，b=c=B.a=b=c=C.a=0，b=c=D.不存在这样的a，b，c【解析】选A.令n=1，2，3，得所以a=，b=c=.8.已知f(x+1)=，f(1)=1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为( )A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=【解析】选B.由已知得，f(2)==，f(3)===，f(4)==，因而，猜想f(x)=.9.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律，若m2=1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n=( ) A.10 B.11 C.12 D.13【解析】选B.因为m2=1+3+5+…+11=×6=36，所以m=6.因为23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，所以53=21+23+25+27+29，因为n3的分解中最小的正整数是21，所以n3=53，n=5，所以m+n=6+5=11.10.平面上有n条直线，其中任意的两条不平行，任意三条不共点.f(k)表示n=k 时平面被分成的区域数，则f(k+1)-f(k)= ( )A.kB.k+1C.k-1D.k+2【解析】选B.1条直线把平面分成2个区域；2条直线把平面分成(2+2)个区域；3条直线把平面分成(2+2+3)个区域；4条直线把平面分成(2+2+3+4)个区域；由此可知，若k条直线把平面分成f(k)个区域，f(k+1)=f(k)+k+1，则f(k+1)-f(k)=k+1.11.已知x>0，不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，可推广为x+≥n+1，则a的值为( )A.n2B.n nC.2nD.22n-2【解析】选B.由x+≥2，x+=x+≥3，x+=x+≥4，…，可推广为x+≥n+1，故a=n n.12.在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( ) A.b4+b8>b5+b7 B.b4+b8<b5+b7C.b4+b7>b5+b8D.b4+b7<b5+b8【解析】选A.在等差数列{a n}中，由于4+6=3+7时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{b n}中，由于4+8=5+7，所以应有b4+b8>b5+b7或b4+b8<b5+b7.因为b4=b1q3，b5=b1q4，b7=b1q6，b8=b1q7，所以(b4+b8)-(b5+b7)=(b1q3+b1q7)-(b1q4+b1q6)=b1q6·(q-1)-b1q3(q-1)=(b1q6-b1q3)(q-1)=b1q3(q3-1)(q-1).因为q>1，b n>0，所以b4+b8>b5+b7.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知x，y∈R，且x+y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_________.【解析】“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”.答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)14.已知圆的方程是x2+y2=r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.类比上述性质，可以得到椭圆+=1类似的性质为_________.【解析】圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆+=1类似的性质为：过椭圆+=1上一点P(x0，y0)的切线方程为+=1.答案：经过椭圆+=1上一点P(x0，y0)的切线方程为+=115.函数y=a1-x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则+的最小值为_________.【解析】因为函数y=a1-x的图象所过的定点为A(1，1)，且点A在直线mx+ny-1=0上，所以m+n=1.又因为mn>0，所以必有m>0，n>0，于是+=(m+n)·=2++≥2+2=4.答案：416.(2017·杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点，则||·+||·=0”将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·+ S△OCA·+S△OBA·=0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有__________________ .【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，由线段类比平面，平面类比到空间，由线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0.答案：V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知在△ABC中，有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于.【解题指南】设最大角为A，最小角为C，因为A≥120°，所以B+C≤60°，C≤30°，再利用正弦定理和二倍角公式求出的范围，即得所证.【证明】设最大角为A，最小角为C，则最大边为a，最小边为c.因为A≥120°，所以B+C≤60°，且C≤B，所以2C≤B+C≤60°，C≤30°.所以==≥ =2cos C≥.18.(12分)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：+=1.【解题指南】采用分析法进行证明，根据结论+=1，可得c2+a2-b2-ac=0；再利用A，B，C成等差数列，可得B=60°，利用余弦定理可得b2=c2+a2-ac成立，从而得证.【证明】要证原式成立，只要证=1，即证bc+c2+a2+ab=ab+b2+ac+bc，即c2+a2-b2-ac=0，而三个内角A，B，C成等差数列，所以A+C=2B，又A+B+C=180°，所以B=60°，由余弦定理可得b2=c2+a2-2accosB=c2+a2-ac，所以c2+a2-b2-ac=0，故+=1.19.(12分)(2018·温州高二检测)设{a n}，{b n}是公比不相等的两个等比数列，c n=a n+b n，证明：数列{c n}不是等比数列.【证明】假设数列{c n}是等比数列，则(a n+b n)2=(a n-1+b n-1)(a n+1+b n+1).①因为{a n}，{b n}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以=a n-1a n+1，=b n-1b n+1.代入①并整理，得2a n b n=a n+1b n-1+a n-1b n+1=a n b n+，即2=+.②当p，q异号时，+<0，与②相矛盾；当p，q同号时，由于p≠q，所以+>2，与②相矛盾.故数列{c n}不是等比数列. 【拓展延伸】适宜用反证法证明的命题有：①结论本身是以否定形式出现的命题.②关于唯一性，存在性的命题.③结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题.④结论的反面比原结论更具体，更容易研究的命题.20.(12分)已知：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.【解析】一般性的命题为sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°)=.证明：左边=++=-[cos(2α-120°)+cos 2α+cos(2α+120°)]==右边.所以命题成立.21.(12分)若实数x，y，m满足|x-m|>|y-m|，则称x比y远离m.(1)若x2-1比1远离0，求实数x的取值范围.(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab. 【解析】(1)由题意可得|x2-1-0|>|1-0|，即|x2-1|>1，即x2-1>1或x2-1<-1，解得x>或x<-，故实数x的取值范围为(-∞，-)∪(，+∞).(2)对任意两个不相等的正数a，b，有a3+b3>2ab，a2b+ab2>2ab.因为|a3+b3-2ab|-|a2b+ab2-2ab|=(a+b)(a-b)2>0，所以|a3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab|，故a3+b3比a2b+ab2远离2ab.22.(12分)(2017·杭州高二检测)已知：0<b<a<e，其中e是自然对数的底数.(1)试猜想a b与b a的大小关系.(2)证明你的结论.【解析】(1)取a=2，b=1可知：a b>b a，又当a=1，b=时，a b>b a，由此猜测a b>b a对一切0<b<a<e成立.(2)要证a b>b a对一切0<b<a<e成立，需证ln a b>ln b a，需证bln a>aln b，需证>，设函数f(x)=，x∈(0，e)，f′(x)=，当x∈(0，e)时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)=在(0，e)上单调递增，所以f(a)>f(b)，即bln a>aln b，所以a b>b a.。