特征根法求数列的通项公式
特征根法

(45) 特征方程法求解递推关系中的数列通项一、(一阶线性递推式)设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题,然而这样做太过繁琐,而且在猜想通项公式中容易出错,本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法:针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程;借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为0x ,则当10a x =时,n a 为常数列,即0101,;x b a a x a a n n n +===时当,其中}{n b 是以c 为公比的等比数列,即01111,x a b c b b n n -==-.证明:因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时,01≠b ,数列}{n b 是以c 为公比的等比数列,故;11-=n n c b b当10a x =时,01=b ,}{n b 为0数列,故.N ,1∈=n a a n (证毕) 下面列举两例,说明定理1的应用.例1.已知数列}{n a 满足:,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解:作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时,.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2.已知数列}{n a 满足递推关系:,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
特征根法求数列的通项公式

数列通项公式的求法 特征根法题型一、设已知数列{}n a 的项满足11,n n a b a ca d +==+,其中0,1,c c ≠≠求这个数列的通项公式。
【解题步骤】Ⅰ、将1n n a ca d +=+中的下标去掉(剃光头),即为a ca d =+,由此可以解得1d a c=–,这个“a ”的值就叫做“特征根”。
Ⅱ、在1n n a ca d +=+的左右两边同时减去“特征根”a ,即 111n n d d a ca d c c+-=+-–– 将上式变形得 ()111n n d d a c a c c +-=-–– 即 111n n da c c d a c +-=-–– 此时,你就会得到一个以c 为公比的等比数列{}111n n n d a c b d a c +⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭–– Ⅲ、求出数列{}n b 的通项公式,由此求出数列{}n a 的通项公式。
注意:第Ⅰ步的过程只能在草稿纸上进行,决不可写在试卷上,否则老师会扣分。
【典例1】已知数列{}n a 的项满足115,23n n a a a +==+,求这个数列的通项公式。
解、在123n n a a +=+的两边同时减去3–得1236n n a a +=++则有 1323n n a a ++=+ 又因为 1+3=8a 所以 1+2+3=82=2n n n a -因此数列{}n a 的通项公式+2=23n n a –注意在草稿纸上进行此过程由题意得23a a =+,可以解得a =-3草稿纸题型二、已知数列{}n a 满足21n n n a pa qa ++=+,其中12,a a αβ==,求数列{}n a 的通项公式。
【解题步骤】Ⅰ、将21n n n a pa qa ++=+中的下标去掉(剃光头),即2a pa q =+,为了方便把a 替换为x ,则有2=0x p x q --此时,我们把2=0x p x q --叫做数列{}n a 的“特征方程”。
用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式

用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式特征根法和不动点法是两种常用的方法来求解递推数列的通项公式。
本文将从这两个角度详细介绍这两种求解方法,并举例说明其应用。
一、特征根法(Characteristic Root Method)特征根法是一种基于代数方法的求解递推数列通项公式的方法,它通过寻找递推关系式的特征根来获取通项公式。
1.步骤:(1)建立递推关系式:根据问题描述,建立递推数列的递推关系式。
(2)设通项公式:假设递推数列的通项公式为Un=a^n。
(3)代入递推关系式:将通项公式Un=a^n代入递推关系式,得到方程Un=P(Un-1,Un-2,...,Un-k),其中P为k个变量的多项式函数。
(4)寻找特征根:解方程Un=0,得到特征根r1,r2,...,rk。
(5)确定通项公式:根据特征根,得到通项公式Un=C1*r1^n+C2*r2^n+...+Ck*rk^n,其中C1,C2,...,Ck为待定系数。
(6)确定待定系数:利用已知序列的初始条件,求解待定系数,得到最终的通项公式。
2.示例:求解递推数列Un=3Un-1-2Un-2,已知U0=1,U1=2(1)建立递推关系式:Un=3Un-1-2Un-2(2)设通项公式:Un=a^n。
(3)代入递推关系式:a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)。
(4)寻找特征根:解方程a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2),得到特征根a=2,a=1(5)确定通项公式:Un=C1*2^n+C2*1^n。
(6)确定待定系数:利用初始条件U0=1,U1=2,得到方程组C1+C2=1,2C1+C2=2,解得C1=1,C2=0。
最终的通项公式为Un=2^n。
二、不动点法(Fixed Point Method)不动点法是一种基于迭代的求解递推数列通项公式的方法,它通过设定一个迭代公式,求解极限来获得通项公式。
1.步骤:(1)建立递推关系式:根据问题描述,建立递推数列的递推关系式。
特征根法求通项公式

特征方程法 解递推关系中 通项公式一、(一阶线性递推式)若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个,1,0≠≠c c 数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题,然而这样做太过繁琐,而且在猜想通项公式中容易出错,这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法:针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为,d cx x +=特征方程;借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为0x ,则当10a x =时,n a 为常数列,即0101,;x b a a x a a n n n +===时当,其中是以为}{n b c 公比的等比数列,即01111,x a b c b b n n -==-.证明:因为由特征,1,0≠c 方程得作换.10cdx -=元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时,01≠b ,数列是以为}{n b c 公比的等比数列,故;11-=n n c b b 当10a x =时,01=b ,}{n b 为0数列,故.N ,1∈=n a a n (证毕) 下面列举两例,说说说说明定理1的应用.例1.已知数列满}{n a 足:,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解:作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时,.21123,1101=+=≠a b x a数列是以为}{n b 31-公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2.已知数列满}{n a 足递推关系:,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中为虚数i 单位。
数列特征根法原理

数列特征根法原理数列特征根法是一种常见的数列求解方法,通过寻找数列的特征根,可以得到数列的通项公式,从而方便进行数列的求和、递推关系等操作。
本文将介绍数列特征根法的原理及其应用。
数列特征根法的原理主要基于数列的递推关系。
对于一个线性递推数列,其通项公式可以表示为:\[a_n = c_1r_1^n + c_2r_2^n + \cdots + c_kr_k^n\]其中,\(c_1, c_2, \cdots, c_k\)为常数,\(r_1, r_2, \cdots, r_k\)为数列的特征根。
特征根法的核心就是求解特征根\(r_1, r_2, \cdots, r_k\),进而得到数列的通项公式。
对于线性递推数列,其递推关系可以表示为:\[a_n = p_1a_{n-1} + p_2a_{n-2} + \cdots + p_ka_{n-k}\]其中,\(p_1, p_2, \cdots, p_k\)为常数。
为了求解特征根,可以将递推关系转化为特征方程:\[r^k p_1r^{k-1} p_2r^{k-2} \cdots p_{k-1}r p_k = 0\]解特征方程得到的根就是数列的特征根。
接下来,我们以一个具体的例子来说明数列特征根法的应用。
假设有一个线性递推数列,其递推关系为:\[a_n = 3a_{n-1} 2a_{n-2}\]我们可以将其转化为特征方程:\[r^2 3r + 2 = 0\]解特征方程得到特征根为\(r_1 = 2, r_2 = 1\),因此数列的通项公式为:\[a_n = c_1 \cdot 2^n + c_2 \cdot 1^n\]通过给定的初始条件,我们可以求解出常数\(c_1, c_2\),进而得到数列的具体形式。
除了求解数列的通项公式,数列特征根法还可以应用于求解数列的前n项和。
通过数列的通项公式,我们可以方便地计算出前n项和的表达式,从而简化求和运算。
此外,数列特征根法还可以应用于解决递推关系的问题。
利用特征根法求两类数列的通项公式

、
复杂 问题简单化
复杂 的问题 常常 是 由简单 问题构 成 的. 因此 , 到 遇 复杂 的问题 , 就要 设法将 其 转化 为简单 问题来 处理 , 这 是转化 中的一条重要 原则。 【 1 例 】 如 图 1 直 线 AC , 、 AD、 F、 D 两 两 相 交 , 图 中 B B 则
由等 比数列的定义得 { -xl 以 n 一z为首 项 , 是 P 为公 比的等 比数列 ,
所 以 a 一z (l x p ( ≥2 , 一 口- ) )
a 一 ( 1 x p 一 + , 口 - ) ”
为数 列 { 的二 阶特征方程 , a} 其根 x , , 均不为 z ( 零 ) 为特征根 , 称 此时有 以下结论 :
解 :1 由命题 1 () 得方 程 z 一£ , x , 得 =l
两端同除以 ; a 一 侍 。 n1 n + a
.
所 a生 可 为 一一 号a-) 以 化 % 1一 (11 一 n . _
于是 一1 一÷ ) ( ) 一( n一1 , 口一( 一÷ ) (1 ) (≥2. n—1+1 )
h
 ̄3 a) ( -2 .
证明 : a =p +q 设 a 可化为 a 一 — ( -x , n ) 则 a 一 一 +(-p x l 1 ),
所 以有 q ( -p x,z +g 一 1 ) (一 ) 解得 z l — q
p.
一
又 由( ) a<0 1 知 且 ≠1故 一 一 , >0 , 因此 6<6 , 为正整数. 命题 2 在数列{ 中, a 均 已知 , : 口 } 口 、 当 ≥ 3时 , a =p + a ( q , 为非零常数 )则该 方程 z 一 +q , 。
特征方程特征根法求解数列通项公式

特征方程特征根法求解数列通项公式
1、将数列的前两项给出,在此基础上推雅可比数列,得到数列的递
推公式;
2、将递推公式化为特征方程,且特征方程只包含未知数x;
3、求解特征方程的特征根,得到特征根为{r1,r2,…,rm};
4、使用特征根构造数列的通项公式:利用特征根构造出原数列的通
项公式,即an = A1*r1^(n-1) + A2*r2^(n-1) + … + Am*rm^(n-1)(此
处n>=1);
5、求解参数A1,A2,…,Am,即将特征根对应的数列项代入原数列,解方程组求出所有参数;
6、给出最终的数列通项公式:将前面求出的所有参数代入数列通项
公式中,得到最终的数列通项公式。
二、实例演示
下面以解决下列特征方程求数列的通项公式为例,详细介绍特征方程
特征根法的求解:
原特征方程:x^2-x-6=0;特征根:r1=3,r2=2;推出数列:a1=4,
a2=10;
求数列通项公式:
1、根据特征方程求出特征根:
原特征方程:x^2-x-6=0;
解之,得:x=3,2;
即特征根为r1=3,r2=2;。
数列特征根和不动点法解题原理

数列特征根和不动点法解题原理一、数列特征根法。
1. 原理。
- 对于二阶线性递推数列a_n + 2=pa_n+1+qa_n(p,q为常数,n∈ N^*),其特征方程为x^2=px + q。
- 设特征方程的两个根为x_1,x_2。
- 当x_1≠ x_2时,数列a_n的通项公式为a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n,其中C_1,C_2由初始条件a_1,a_2确定。
- 当x_1 = x_2时,数列a_n的通项公式为a_n=(C_1+C_2n)x_1^n,同样C_1,C_2由初始条件确定。
2. 例题。
- 例1:已知数列{a_n}满足a_n + 2=3a_n+1-2a_n,且a_1=1,a_2=3,求数列{a_n}的通项公式。
- 解:特征方程为x^2=3x - 2,即x^2-3x + 2=0。
- 分解因式得(x - 1)(x - 2)=0,解得x_1=1,x_2=2。
- 所以a_n=C_1×1^n+C_2×2^n=C_1+C_2×2^n。
- 由a_1=1,a_2=3可得C_1+2C_2=1 C_1+4C_2=3。
- 用第二个方程减去第一个方程得2C_2=2,解得C_2 = 1。
- 把C_2=1代入C_1+2C_2=1得C_1=-1。
- 所以a_n=-1 + 2^n。
- 例2:已知数列{a_n}满足a_n + 2=2a_n+1-a_n,a_1=1,a_2=2,求a_n。
- 解:特征方程为x^2=2x - 1,即x^2-2x + 1 = 0。
- 解得x_1=x_2=1。
- 所以a_n=(C_1+C_2n)×1^n=C_1+C_2n。
- 由a_1=1,a_2=2可得C_1+C_2=1 C_1+2C_2=2。
- 用第二个方程减去第一个方程得C_2=1。
- 把C_2=1代入C_1+C_2=1得C_1=0。
- 所以a_n=n。
二、数列不动点法。
1. 原理。
- 对于一阶分式递推数列a_n + 1=frac{pa_n+q}{ra_n+s}(p,q,r,s为常数,r≠0),令x=(px + q)/(rx + s),这个方程称为不动点方程。
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=
������1������������−1
������1
=
4
+
3 2
=
121,������������
=
11 2
−1
3
������−1
������������
=
−3
2
+
������������
=
−
3 2
+
11 2
−1
3
������−1
, ������ ∈ ������.
������������+2 = ������������������+1 + ������������������
证明
证明:若数列 ������������ 满足������1 = ������,������������+1 = ������������������ + ������, 其中������ ≠ 0、1,证明:这个数列的通项 公式为������������ = ������������ + ������,其中数列 ������������ 是以������为公比 的等比数列,������������ = ������1������������−1, ������1 = ������1 − ������.
例1
已知数列
������������
满足:������1
= 4,������������+1
=
−
1 3
������������
− 2,
������ ∈ ������, 求������������的通项公式.
解:做方程������
=
−
1 3
������
−
2,解得������=−���32��� Nhomakorabea��.���
− ℎ)
������
已知数列 ������������ 满足:������1 = 4,������������+1 =
−
1 3
������������
−
2,������
∈
������,
求������������的通项公式.
31
3
������������+1 + 2 = − 3 ������������ + 2
������������+1
=
������������������ + ������ ������������������ + ℎ
−
������ 1−������
=
������������������−2
−
������������ 1−������
= ������
������������−2 − ������
= ������������������−2.
故数列 ������������ 是以������为公比的等比数列,������������ =
������1������������−1, ������1 = ������1 − ������.
一阶线性递推式型题目的做题步骤
1、做出方程������ = ������������ + ������,称之为特征方程;解
出������的值称之为特征根.
2、������������ = ������������ + ������,其中数列 ������������ 是以������为公比 的等比数列,������������ = ������1������������−1, ������1 = ������1 − ������.
一阶线性递推式型题目的做题方法
概念:一阶线性递推式:������������+1 = ������������������ + ������.
1、做出方程������ = ������������ + ������,称之为特征方程;解
出������的值称之为特征根.
2、������������ = ������������ + ������,其中数列 ������������ 是以������为公比 的等比数列,������������ = ������1������������−1, ������1 = ������1 − ������.
特征根法求数列的通项公式 一阶线性递推式: ������������+1 = ������������������ + ������ ������ ≠ 0、1
二阶线性递推式:������������+2 = ������������������+1 + ������������������
分式递推式:������������+1 = ������������������������������������++ℎ������(其中p、q、 r、h均为常数,且 ������ℎ ≠ ������������, ������ ≠ 0, ������1 ≠
证明:因为������ ≠ 0、1, 由特征方程得������ = 1−������������.
作换元������������ = ������������ − ������ ,则
������������−1
=
������������−1
−
������
=
������������������−2
+
������