随机信号分析实验：随机过程通过线性系统的分析 ln
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随机信号分析实验：随机过程通过线性系统的分析
实验三 随机过程通过线性系统的分析
实验目的
1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
实验原理
1.白噪声通过线性系统
设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0
N S X
=ω，那么系统输出的功率谱密度为
2
)()(02
N H S Y ⋅
=ωω （3.1）
输出自相关函数为
⎰
∞
∞
-=
ω
ωπ
τωτd e H N R j Y 2
)(4)( （3.2）
输出相关系数为
)
0()()(Y Y Y R R ττγ=
（3.3）
输出相关时间为
⎰∞
=0
)(ττγτd Y
（3.4） 输出平均功率为
[]
⎰
∞
=
2
02)(2)(ω
ωπ
d H N t Y E （3.5）
上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。
2.等效噪声带宽
在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为
⎰∞
=∆0
2
2
max
)()(1
ωωωωd H H e
（3.6）
或
⎰
∞
∞
--=
∆j j e ds
s H s H H j )()()(212
max
ωω （3.7）
3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统 若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化 随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
实验内容
设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。
图3.1 RC 电路
（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。 系统的传递函数为：
1111
)(+=+=
cR j c
j R c
j H ωωωω
系统的功率谱密度为：
2
1)(1
2)11(2)()(0202
02
N cR N cR j N H S Y ⋅
+=⋅+=⋅=ωωωω
系统的自相关函数为：
τωτ
ωτωωπ
ωωπτRc j j Y e
Rc N d e cR N
d e H N
R 1
020
20
41)(14)(4)(-∞
∞-∞
∞
-=+==⎰⎰
系统的相关时间为：
RC
d e d R R d RC
Y Y Y ====⎰⎰
⎰∞-∞∞
01
00)
0()()(τττττγττ
系统的等效噪声带宽为：
RC
d RC d H H
e 21)(1)()(10
20
2
2
max
π
ωωωωωω=
+==
∆⎰
⎰
∞
∞
（2）采用MATLAB 模拟正态分布白噪声通过上述RC 电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声的概率密度。
实验代码：
注释：
>> a=[1]; 分子的系数
>> b=[1,1]; 分母的系数
>> sys=tf(a,b); 生成RC系统的传递函数
>> t=0:1:49; 选取0到50为打出函数的区间
>> x=randn(50,1); 生成正态分布白噪声
>> lsim(sys,'g',x,t); 画出系统的输入输出图
>> k=lsim(sys,x,t); 求出系统的输出
>> y=ksdensity(k); 求出系统输出的概率密度
>> plot(y); 画出输出的概率密度图
实验结果：
输入和输出的噪声波形
概率密度
（3）模拟产生均匀分布的白噪声通过上述RC 电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声的概率密度。
实验代码：
注释
>> a=[1]; 分子的系数
>> b=[1,1]; 分母的系数
>> sys=tf(a,b); 生成RC系统的传递函数
>> t=0:1:99; 选取0到100为打出函数的区间
>> x=rand(100,1); 生成均匀分布白噪声
>> lsim(sys,'g',x,t); 画出系统的输入输出图
>> k=lsim(sys,x,t); 求出系统的输出
>> y=ksdensity(k); 求出系统输出的概率密度
>> plot(y); 画出输出的概率密度图
实验结果：