传递函数的基本性质
自动控制原理传递函数知识点总结
自动控制原理传递函数知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统中信号传递、处理、转换等基本理论和方法的学科。
传递函数是描述线性时不变系统的数学模型，它对于分析和设计控制系统起着重要的作用。
下面将对自动控制原理中关于传递函数的知识点进行总结。
一、传递函数的定义传递函数是用来描述线性时不变系统输入-输出关系的数学函数。
对于连续时间系统，传递函数可以表示为：G(s) = Y(s) / X(s)其中，G(s)为传递函数，Y(s)为系统的输出信号，X(s)为系统的输入信号，s为复变量。
对于离散时间系统，传递函数可以表示为：G(z) = Y(z) / X(z)其中，G(z)为传递函数，Y(z)为系统的输出信号，X(z)为系统的输入信号，z为复变量。
二、传递函数的性质1. 时域特性：传递函数可以通过拉氏变换将时域的微分、积分方程转换为频域的代数方程，从而简化系统的分析和设计。
2. 稳定性：传递函数的稳定性与其极点位置有关。
当所有极点均位于左半平面时，传递函数是稳定的；当存在极点位于右半平面时，传递函数是不稳定的。
3. 零点和极点：传递函数的零点是使得传递函数为零的点，极点是使得传递函数无穷大的点。
零点和极点的位置对系统的动态性能和稳定性有重要影响。
4. 频率响应：传递函数的频率响应是指系统对不同频率输入信号的响应特性。
频率响应可以通过传递函数的频域分析获得，包括幅频特性和相频特性。
三、传递函数的常见形式1. 一阶系统传递函数：一阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s + a)其中，K为传递函数的增益，a为系统的时间常数。
2. 二阶系统传递函数：二阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s^2 + 2ζω_ns + ω_n^2)其中，K为传递函数的增益，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率。
3. 传递函数的因果性：因果系统的传递函数在复平面上的极点全部位于左半平面，即Re(s) < 0。
非因果系统的传递函数在复平面上的极点存在于右半平面，即Re(s) > 0。
2-4 线性系统的传递函数
0
T
t
11
惯性环节的实例如下图所示。
R C uc
ur
(a)
在图(a)所示的电路中，输出电压uc与输入电 压ur间的微分方程为
du c T + uc = ur dt
式中T=RC，为电路的时间常数。
12
if uf
Rf
Lf
(b)
在图(b)所示的直流电机的激磁电路中，当 以激磁电压uf为输入量、以激磁电流if为输出量 时，其电路方程为
G (s) = R(s) =
m m −1 1 0
a n s + a n −1 s
n
n −1
+ …… + a1 s + a 0
( 2 − 50 )
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出 的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用 下图表示，输出是由输入经过G(s)的传递而得到的， 因此称G(s)为传递函数。因为传递函数是在零初始条 件下定义的，故在初始条件为零时，它才能完全表征 系统的动态性能。
+ (a)
C ic uc
ur n θ
(b)
ur 在图(a)中，因为 i c = i = R
容两端电压，所以有
uc = 1 c
而输出电压uc近似等于电
∫ i c dt =
在图(b)中，以电动机的转速n(转/分)为输入量， 以减速齿轮带动负载运动的轴的角位移θ为输出量， 可得微分方程 1
θ (t ) =
§2-4 线性系统的传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性 能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作 用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线 直观地反映出系统的动态过程。但系统的参数或结构 形式有变化，微分方程及其解都会同时变化，不便于 对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统 的另一种数学模型——传递函数。它不仅可以表征系 统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结 构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论 中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基 础上建立起来的。
自动控制原理--传递函数的定义及性质和表示形式
传 递 函 数的表示形式
3.时间常数形式（尾1型 ）
G(s)
bm (1s 1)( 2s2
an (T1s 1)(T2s2
22s 1)( is 1) 2T2s 1)(Tjs 1)
m
K bm K * am
(zi )
1 n
称 G(s)的开环增益。
传递函数
传递函数的定义及性质 传 递 函 数的表示形式
传 递 函 数的定义
对于n阶系统，线性微分方程的一般形式为：
a d n c(t) a d n1 c(t) a d c(t) a c(t)
0 dt n
dt1 n1
dt n1
n
b d m r(t) b d m1 r(t) b d r(t) b r(t)
另外实际系统总有惯性，因此实际系统中有n>＝m，n称 为系统的阶数
传递函数的性质
7）传递函数是系统单位脉冲响应的Laplace变换。
定义 g(t) 为系统单位脉冲作用下的系统输出：
当 r(t) (t) 时，系统的输出c(t)称为 g(t)
此时，L[r(t)] L[ (t)] 1 所以：
C(s) G(s)R(s) G(s) c(t) g(t) L1[C(s)] L1[G(s)R(s)] L1[G(s)]
( p j )
1
i ,Tj 称时间常数。
传递函数的性质
G(s)
C(s) R(s)
b0sm a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s an1s
bm an
5）传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。
若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一
2.2 传递函数
3、典型环节的形式
G (s) K
( s 1) (T s 1)
j 1 j i 1 n i
m
上式中 τi──分子各因子的时间常数 ； Tj──分母各因子的时间常数 ；
K ──时间常数形式传递函数的增益；通常称为传递系数。
五、传递函数的求取
1、解析法
建立微分方程，根据微分方程按定义求取
介绍一种方法：复阻抗法
i
U R
du iC dt
i
1 udt L
U (s) I (s) R
U (s) I (s) Z (s)
I ( s) CsU ( s) U ( s )
1 Cs
1 Cs
I (s)
U (s) Ls
R
Ls
1 , Ls 分别成为电阻、电容和电感的复阻抗 把 R, Cs
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之 一。利用传递函数，在系统的分析和综合中可解决如 下问题：
不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系统在输 入信号作用下的动态过程。 可以研究系统参数变化或结构变化对系统动态过程的影 响，因而使分析系统的问题大为简化。 可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求， 使综合问题易于实现。
11/17/2013 8:53:46 PM
3
一、定义
零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，
记为G(s)，即：
L[ y (t )] Y ( s ) G( s) L[r (t )] R( s )
意义：
R( s )
G (s )
Y ( s)
Y (s) R(s)G(s)
1 1 Y ( s) G s) R s) （ （ Ts 1 s
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
自控理论 2-2传递函数
当 ui ( t ) = 1( t )时,
− t 1 −1 τs 则u0 ( t ) = L ⋅ =e τ τs + 1 s 1
图2-8 RC电路 电路
当 τ << 1 时，可近似认为 G ( s ) ≈ τs
5. 振荡环节
d 2 c( t ) dc( t ) 2 T + 2ζT + c( t ) = Kr ( t ) 2 dt dt
运放 2
U 2 ( s ) τs + 1 G2 ( s) = = U 1 ( s) Ts
( 2 − 38)
式中
τ = R3C
T = R2C
功放
U a ( s) G3 ( s) = = K2 U 2 ( s)
( 2 − 39)
附:电枢控制直流电动机的微分方程 电枢控制直流电动机的微分方程
dmc d 2n dn TaTm 2 + Tm + n = K u ua − K m (Ta + mc ) dt dt dt La ; 电磁时间常数 Ta = Ra 传递系数 1 Ku = Ce 机电时间常数 Tm Km = J ( 2 − 10)
m m −1
∏ (s − z
j =1 n i =1
m
j
)
∏ (s − p )
i
式中
z j ( j = 1 , 2 L m )为传递函数的零点； 为传递函数的零点； p i ( i = 1 , 2 L n )为传递函数的极点； 为传递函数的极点； K 1 = b0 为传递系数或根轨迹增 益。
② 时间常数表达式
n≥m
当初始条件均为零时，两边取拉氏变换 当初始条件均为零时，
(s
传递函数及其性质
2-6 传递函数求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件及外作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。
如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变。
为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多次重复的计算。
微分方程的阶次愈高，这种计算愈复杂。
因此，仅仅从系统分析的角度来看，就会发现采用微分方程这种数学模型，当系统阶次较高时，是相当不方便的。
以后将会看到，对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种数学模型将会遇到更大的困难。
目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法——频率法和根轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响。
所以传递函数是一个极其重要的基本概念。
一、传递函数的概念及定义在[例2-7]中，曾建立了RC 网络微分方程，并用拉氏变换法对微分方程进行了求解。
其微分方程（2-44）为)()(t u t u dtdu RC r c c =+ 假定初始值0)0(=c u ，对微分方程进行拉氏变换，则有)()()1(s U s U RCs r c =+网络输出的拉氏变换式为)(11)(s U RCs s U r c += （2-48）这是一个以s 为变量的代数方程，方程右端是两部分的乘积；一部分是)(s U r ，这是外作用（输入量）的拉氏变换式，随)(t u r 的形式而改变；另一部分是11+RCs ，完全由网络的结构参数确定。
将上式（2-48）改写成如下形式 11)()(+=RCs s U s U r c 令11)(+=RCs s G ，则输出的拉氏变换式可写成 )()()(s U s G s U r c =可见，如果)(s U r 给定，则输出)(s U c 的特性完全由)(s G 决定。
)(s G 反映了系统（网络）自身的动态本质。
这很显然，因为)(s G 是由微分方程经拉氏变换得到的，而拉氏变换又是一种线性变换，只是将变量从实数t 域变换（映射）到复数s 域，所得结果不会改变原方程所反映的系统本质，对照)(s G 与原微分方程（2-44）的形式，也可看出二者的联系。
传递函数求增益
传递函数求增益1. 什么是传递函数求增益传递函数求增益是信号处理中的一种方法，用于描述系统对输入信号的放大或衰减程度。
传递函数是输入输出之间的关系，可以通过传递函数求取系统的增益。
在控制系统设计和信号处理中，传递函数求增益是非常重要的一项技术。
2. 传递函数的定义和性质传递函数是描述系统输入输出关系的函数，一般用H(s)表示，其中s是复变量。
传递函数的定义如下：H(s) = Y(s) / X(s)其中，Y(s)是系统的输出信号的拉普拉斯变换，X(s)是系统的输入信号的拉普拉斯变换。
传递函数具有以下性质：•线性性：传递函数具有线性性质，即系统的输出是输入的线性组合。
•时不变性：传递函数具有时不变性质，即系统的输出不随时间变化。
•因果性：传递函数具有因果性质，即系统的输出只依赖于当前和过去的输入。
•稳定性：传递函数具有稳定性质，即系统的输出有界。
3. 传递函数求增益的方法传递函数求增益的方法有多种，下面介绍几种常用的方法：3.1 频域法频域法是一种常用的传递函数求增益的方法，它通过对系统的输入输出信号进行频谱分析来求取增益。
具体步骤如下：1.对系统的输入信号进行傅里叶变换，得到输入信号的频谱。
2.对系统的输出信号进行傅里叶变换，得到输出信号的频谱。
3.将输出信号的频谱除以输入信号的频谱，得到系统的传递函数。
4.根据传递函数的定义，求取系统的增益。
3.2 时域法时域法是另一种常用的传递函数求增益的方法，它通过对系统的输入输出信号进行时域分析来求取增益。
具体步骤如下：1.对系统的输入信号进行拉普拉斯变换，得到输入信号的拉普拉斯变换。
2.对系统的输出信号进行拉普拉斯变换，得到输出信号的拉普拉斯变换。
3.将输出信号的拉普拉斯变换除以输入信号的拉普拉斯变换，得到系统的传递函数。
4.根据传递函数的定义，求取系统的增益。
3.3 实验法实验法是一种直接测量系统输入输出信号的方法，通过实验来求取系统的增益。
具体步骤如下：1.设计一个合适的实验，确定系统的输入信号和输出信号。
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Uc (s)
1 RCs
U 1
r
(s)
RC RCs
1
uc
(0)
(2.18)
当输入为阶跃电压ur(t)= u0·1(t)时，对Uc(s)求拉氏反变换，即得 uc(t)的变化规律:
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uc
(t)
u0
(1
e
t RC
)
uc
(0)e
t RC
式中第一项称为零状态响应， 由U(t)决定的分量； 第二项称为零输入响应， 由初始电压Uc (0)决定的 分量。
第二节 控制系统的复数域数学模型
一、传递函数的概念 二、传递函数的性质 三、典型环节及其传递函数
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引言
• 控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数 学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以 得到系统的输出响应。但如果系统的某个参数变化或者结 构形式改变时，便需要重新列写并求解微分方程。
(2.19)
图2-5表示各分量的变化曲线， 电容电压Uc (t)即为两者的合成。
图2-5 RC网络的阶跃响应曲线
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在式(2.19 )中，如果把初始电压Uc(0)也视为一个输入作用，
则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压Ur(t)
和初始电压Uc(0)作用时，电路的输出响应。若Uc(0) =0，则
• 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统 在复数域的数学模型----传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研 究系统的结构或参数变化时对系统性能的影响。传递函数 是经典控制理论中最基本、最重要的概念
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一、传递函数的概念
图2-4所示的RC电路中电
容的端电压Uc (t) 。根据克
图2-4 RC 电路
现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的 初始电压Uc (0)，得:
RCsUc (s) RCuc (0) Uc (s) Ur (s) (2.17)
式中 Uc(s)—— 输出电Uc(t)的拉氏变换； Ur(s)—— 输入电压Ur(t)的拉氏变换。
由上式求出Uc(s)的表达式:
希霍夫定律，可列写如下
微分方程：
i(t)R uc (t) ur (t)
(2.14)
uc (t )
1 C
i(t)dt
(2.15)
消去中间变量i(t)，得到输入Ur (t) 与 方输程出: Uc(t) 之间的线性定常微分
RC
duc (t) dt
uc
(t )
ur
(t )
(2.16)
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线性（或线性化）定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏 变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。
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若线性定常系统由下述n阶微分方程描述：
an
dn dt n
c(t)
an1
d n 1 dt n1
c(t)
a1
d dt
c(t
)
a0c(t
)
(2.22)
式中bcm(dtd)tm是m r系(t)统 b输m1出ddt量mm11，r(rt()t)是系 b统1 dd输t r入(t)量 b，0r(at)i
1.传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m小
于或等于分母的阶数n （m≤n） ，且所有系数均为实数。
2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。
3.传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。 将式(2.23)中分子多项式及分母多 项式因式分解后，写为如 下形式：
一般zi，pi可以为实数，也可 为复数，且若为复数，必共 轭成对出现。
将零、极点标在复平面 上，则得到传递函数的零极 点分布图，如图2-7所示。
图中零点用“o”表示，极点 用“X ”表示。
图2-7
s2 G(s) (s 3)(s2 2s 2)
零极点分布图
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4. 若令式(2.23)中s = 0，则：
有:
Hale Waihona Puke Uc (s)1 RCs
U 1
r
(s)
(2.20)
当输入电压ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc(s)完全由 1/(RCs+1)所确定，式(2.20)亦可写为:
Uc(s) 1 Ur (s) RCs 1
(2.21)
当初始电压为零时，电路输出函数的拉氏变换Uc(s)与输入 函数拉氏变换Ur(s)之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数 。
(i=1,2,…,n), bj(j=1,2,…,m)是与系统构参数有关的常系
数。
令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对式 (2.22)进行拉氏变换，可得到s的代数方程：
[ansn an1sn1 a1s a0 ]C(s)
[bmsm bm1sm1 b1s b0 ]R(s)
G(s) C(s) k (s z1)(s z2 ) (s zm ) R(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
(2.24)
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式中k为常数，-z1,…,-zm为传
递函数分子多项式方程的m个 根，称之为传递函数的零点 ；-p1,…,-pn为分母多项式方程 的n个根，称为传递函数的极 点。
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由传递函数的定义，线性定常系统的传递函数：
G(s)
C(s) R(s)
bm s m an s n
bm1sm1 an1sn1
b1s b0 M (s) a1s a0 D(s)
(2.23)
式中 M(s)= bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0为传递函数的分子多项式； D(s)= ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0为传递函数的分母多项式。
传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义的。 控制系统的零初始条件有两方面的含义，一系统输入量及其各 阶导数在t =0时的值均为零；二系统输出量及其各阶导数在t =0 时的值也为零。
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二、传递函数的性质
从线性定常系统传递函数的定义式(2.23)可知，传递函数具 有以下性质：
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式(2.21)来表征电路本身特性，称做传递函数，记为： G(s) 1 Ts 1
式中T=RC。显然，传递函 数G(s)确立了电路输入电压 与输出电压之间的关系。
图2-6 传递函数
传递函数可用图2-6表示。该图表明了电路中电压的传递 关系，即输入电压Ur(s)，经过G(s)的传递，得到输出电压 Uc(s)=G(s)Ur(s) 。