河南省信阳市高二上学期期中数学试卷(理科)
河南省信阳市高二上学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）设集合，则等于（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2016高二上·唐山期中) 直线x+ y+1=0的倾斜角为（）
A . 30°
B . 60°
C . 120°
D . 150°
3. （2分）一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）
A . 异面
B . 平行
C . 相交
D . 相交或异面
4. （2分）执行如图所示的程序框图,输出的S值为（）
A . 2
B . 4
C . 8
D . 16
5. （2分） (2017高一上·嘉峪关期末) 圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2+8y+12=0的位置关系是（）
A . 相离
B . 相交
C . 外切
D . 内切
6. （2分）若直线与圆有公共点，则实数a取值范围是（）
A . [－3，－1]
B . [－1，3]
C . [－3,l ]
D . （－∞，－3] [1．+∞）
7. （2分） (2017高二下·南昌期末) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90°
9. （2分） (2015高一上·银川期末) 若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）
A . 21
B . 19
C . 9
D . ﹣11
10. （2分） (2017高三上·太原期末) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自
身重合，则θ的值可以是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2017高三下·武威开学考) 若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）
A . 2x+y﹣3=0
B . x﹣2y+1=0
C . x+2y﹣3=0
D . 2x﹣y﹣1=0
12. （2分） (2018高三上·河北月考) 已知是球的球面上两点，，为该球面
上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（）
A .
B .
C .
D .
二、二.填空题 (共4题；共5分)
13. （1分）已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
14. （1分） (2015高一上·福建期末) 若直线x+y=k与曲线y= 恰有一个公共点，则k的取值范围是________．
15. （1分）知三棱锥P﹣ABC的顶点都在同一个球面上（球O），且PA=2，PB=PC= ，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O的体积的比值是________．
16. （2分）(2016·诸暨模拟) 已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）与直线l：y=x+3，且直线l有唯一的一个点P，使得过P点作圆C的两条切线互相垂直，则r=________；设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，∠EQF≥ ，则|EF|的最小值=________．
三、三.解答题 (共6题；共46分)
17. （5分）正方形中心为G（﹣1，0），一边所在直线的斜率为3，且此正方形的面积为14.4，求此正方形各边所在的直线方程．
18. （15分） (2015高二上·大方期末) 如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；
（3）设SA=4，AB=2，当OE丄SC时，求二面角E﹣BD﹣C余弦值．
19. （10分）(2017·南通模拟) 已知数列{an}的各项均为正数，a1=1，前n项和为Sn ，且an+12﹣nλ2﹣1=2λSn ，λ为正常数．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn= ，Cn= + （k，n∈N*，k≥2n+2）．
求证：
①bn＜bn+1；
②Cn＞Cn+1．
20. （1分）(2018·宁德模拟) 设函数，若，，则对任意的实数
，的最小值为________．
21. （5分）如图，如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，BC∥AD，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB 是等边三角形，已知．
（I）求证：平面SAB⊥平面SAC；
（II）求二面角B﹣SC﹣A的余弦值．
22. （10分） (2019高三上·双鸭山月考) 已知圆，直线．（1）判断直线与圆C的位置关系；
（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、二.填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、三.解答题 (共6题；共46分) 17-1、
18-1、
18-2、
18-3、
19-1、
19-2、
20-1、
21-1、
22-1、22-2、。
河南省信阳市数学高二上学期理数期中考试试卷
河南省信阳市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高二下·新城期末) 若直线的参数方程为 （）A. B. C. D.2. （2 分） (2018 高二上·万州期中) 已知直线 ： 则 a 的值是A . 0或1（ 为参数），则直线的倾斜角为，与 ：平行，B . 1或C . 0或D. 3. （2 分） 圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1 关于直线 y=x 对称的圆的方程为（ ） A. B. C.第 1 页 共 23 页D. 4. （2 分） 已知 α，β，γ 是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n．则（ ） A . 若 m⊥n，则 α⊥β B . 若 α⊥β，则 m⊥n C . 若 m∥n，则 α∥β D . 若 α∥β，则 m∥n5. （2 分） (2019 高二上·四川期中) 若圆 ：与圆 ：外切，则正数 的值是（ ）A.2B.3C.4D.66. （2 分） 已知直线上两点 A，B 的坐标分别为(3，5)，(a，2)，且直线与直线 3x+4y-5=0 垂直，则|AB|的值 为（ ）A.B.C. D.5 7. （2 分） (2019 高二下·柳州期中) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为 2 的直角三角形，俯视图是半径为 1 的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（ ）第 2 页 共 23 页A.B.C.D. 8.（2 分）(2019 高二下·南昌期中)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今 有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆 锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体 积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ）A . 14 斛B . 22 斛C . 36 斛D . 66 斛9. （2 分） (2020 高二上·天河期末) 四面体中， ， ， 两两垂直，且，第 3 页 共 23 页点 是 的中点，异面直线 与 所成角为 ，且 A.，则该四面体的体积为（ ）B. C.D.10. （2 分） (2018·重庆模拟) 设，则的最小值为（ ）A.3B.4C.9D . 1611. （2 分） (2018 高一上·湖南月考) 如图，在边长为 2 的正方形的中点， 为 的中点，沿 ， ， 将正方形折起，使三棱锥中，下列结论错误的是（ ）中， ，，， 分别为 ， 重合于点 ，在构成的A.平面B . 三棱锥的体积为C . 直线与平面所成角的正切值为D . 异面直线与 所成角的余弦值为12. （2 分） (2018 高三上·三明模拟) 若对圆第 4 页 共 23 页上任意一点，的取值与 无关，则实数 的取值范围是（ ）A.B.C.或D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020 高一上·来宾期末) 两平行直线与________.之间的距离14. （1 分） (2019 高二上·增城期中) 已知若，则 等于________.的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，15. （1 分） (2018 高二上·杭州期中) 有且只有一对实数同时满足：与，则实数 的取值范围是________16. （1 分） (2017 高二下·遵义期末) 三棱锥 P﹣ABC 中，PA=AB=BC=2，PB=AC=2 锥 P﹣ABC 的外接球的表面积为________，PC=2，则三棱三、 解答题 (共 6 题；共 52 分)17. （10 分） (2020·嘉祥模拟) 已知圆 直径的圆内切于圆 ，设动点 的轨迹为曲线,定点, 为平面内一动点，以线段 为（1） 求曲线 的方程（2） 过点的直线 与 交于两点，已知点，直线分别与直线交于两点，线段 的中点 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.18. （10 分） (2019 高二上·扶余期中) 在直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于 ， 两点，弦 的中点 的轨迹记为 .（1） 求 的方程；第 5 页 共 23 页（2） 已知直线与 相交于 ， 两点.（i）求 的取值范围；（ii） 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有？说明理由.19. （10 分） (2018·吉林模拟) 如图， 和圆 所在的平面互相垂直，已知为圆 的直径，点 ， 在圆 上，，．，矩形（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当 AD＝2 时，求多面体 FABCD 体积．20. （10 分） (2019 高三上·静海月考) 如图，已知等腰梯形是 的中点，，将沿着 翻折成中， ，使平面平面．（Ⅰ）求证： （Ⅱ）求二面角； 的余弦值；（Ⅲ）在线段 理由．上是否存在点 P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明第 6 页 共 23 页21. （10 分） (2019 高二下·浙江期中) 已知斜率的直线 L 过定点相交于 A，B 两点，与抛物线相交于 C，D 两点，且满足.，与圆（1） 求直线 L 的方程：（2） 求直线 L 与抛物线相交所截得的弦长.22. （2 分） (2019 高二上·雨城期中) 已知圆（1） 若直线与圆 相切，求 的值；经过点.（2） 若圆与圆 无公共点，求 的取值范围.第 7 页 共 23 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：解析：第 8 页 共 23 页答案：4-1、 考点： 解析：答案：5-1、 考点：解析： 答案：6-1、 考点：解析： 答案：7-1、 考点：第 9 页 共 23 页解析： 答案：8-1、 考点： 解析：答案：9-1、 考点：第 10 页 共 23 页解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共52分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：。
2023-2024学年河南省信阳市多高二上学期期中联考数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省信阳市多高二上学期期中联考数学试题第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知非零实数a ，b ，若a b >，则下列不等式成立的是（）A.11a b> B.22a b > C.11a b< D.33a b >【正确答案】D【分析】结合不等式和函数性质，结合列举法即可求解.【详解】对AC ，令2,1a b ==，满足a b >，但不满足11a b>，故A 错；对B ，令2,3a b ==-，满足a b >，但不满足22a b >，故B 错；对C，令1,1a b ==-，满足a b >，但不满足11a b<，故C 错；对D ，设3y x =，函数为增函数，若a b >，则33a b >，故D 正确.故选：D2.在数列{{}n a 中，11a =，12n n a a +-=，n +∈N ，则10a 的值为（）A.17B.18C.19D.21【正确答案】C【分析】由题知公差为2，结合通项公式求出10a 即可.【详解】由12n n a a +-=得2d =，故101911819a a d =+=+=.故选：C3.《算法统宗》是中国古代数学名著，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要详推.这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A.8岁 B.9岁C.11岁D.12岁【正确答案】C【分析】将年龄从小到大排列成公差为3的等差数列{}n a ，利用公式计算得到答案.【详解】将年龄从小到大排列成公差为3的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则9198932072S a ⨯=+⨯=，解得111a =.故选：C.4.在下列函数中，最小值是2的为（）A.1y x x=+B.33x x y -=+C.1ln (1e)ln y x x x=+<< D.1πsin 0sin 2y x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】取=1x -时，12y x x=+=-，A 错误，CD 选项中均值不等式等号条件不成立，错误，利用均值不等式得到B 正确，得到答案.【详解】当=1x -时，12y x x=+=-，A错误；332x x y -=≥=+，当33x x -=，即0x =时等号成立，B 正确；1e x <<，则()ln 0,1x ∈，1ln 2ln y x x =+≥=，1ln ln x x=，即ln 1x =时等号成立，ln 1x ≠，等号不成立，故C 错误；π02x <<，()sin 0,1x ∈，1sin 2sin =+≥=y x x ，1sin sin =x x ，即sin 1x =时等号成立，sin 1x ≠，等号不成立，故D 错误.故选：B.5.设变量,x y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为（）A.2B.4C.-2D.12【正确答案】B【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数2z x y =+可化为直线2y x z =-+，当直线2z x y =+过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由20240x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得(2,0)A ，所以目标函数的最小值为224z =⨯=.故选：B.根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如y bz x a-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.6.在ABC 中，sin :sin :sin 7:5:3A B C =，则该三角形的最大内角是（）A.135° B.120°C.84°D.75°【正确答案】B【分析】根据正弦边化角原则，求出三边比例，再由大边对大角，对最大角采用余弦定理即可求解.【详解】由sin :sin :sin 7:5:3A B C =可得::7:5:3a b c =，不妨设3c x =，则5,7b x a x ==，则222222259491cos 22532b c a x x x A bc x x +-+-===-⋅⋅，故120A =︒.故选：B7.已知等差数列{}n a 满足927S =，330n S =，430n a -=，则n 值为（）A.20B.19C.18D.17【正确答案】A【分析】根据927S =得到53a =，带入求和公式结合等差数列性质解得答案.【详解】()9199227s a a =+⨯÷=，故19526+==a a a ，即53a =.()()15433033222n n n n n na a a S a -=++===，解得20n =.故选：A.8.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，1b =，2C B =，则ABC 外接圆半径为（）A.2B.C.D.1【正确答案】D【分析】结合正弦定理边化角得sin 2sin A B =，由2C B =得sin sin cos C A B =，联立第三角公式可求出A ，结合2sin ar A=可求ABC 外接圆半径.【详解】由正弦定理可得:sin :sin 2:1a b A B ==，即sin 2sin A B =，又2C B =，故sin sin 22sin cos sin cos C B B B A B ===，结合第三角公式得()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，故sin cos 0,cos 0B A A ==，2A π=，由221sin 2sin 21a a r r A A =⇒===⨯.故选：D9.已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（）A.19B.20C.21D.22【正确答案】A【分析】将条件处理得10110,0a a ><，再结合等差数列下标性质即可求解.【详解】()91191111101130220a a a a a a a +<⇔++=+<，又10110a a ⋅<，数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，故数列为递减数列，10,0a d ><，所以10110,0a a ><，()1191910191902a a S a +⋅==>，()()120201011201002a a S a a +⋅==+<，所以123101119200S S S S S S S <<<<>>>>>，又()191101190S S a a -=+<，故n S 取得最小正值时n 等于19.故选：A10.在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 对边的长，根据下列条件解三角形，有两解的是（）A.7a =，14b =，30A =︒B.30a =，25b =，150A =︒C.72a =，50b =，135A =︒D.30a =，40b =，26A =︒【正确答案】D【分析】根据正弦定理得到sin B 的值，根据角度范围得到解的个数，得到答案.【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B=，7141sin 2B =，sin 1B =，90B =︒，有一解，A 不满足；30251sin 2B =，5sin 12B =，π0,6B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有一解，B 不满足；50sin 22B =，252sin 72B =，π0,4B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有一解，C 不满足；3040sin 26sin B =︒，4sin 264sin 302sin 26sin 333B ︒︒︒<=<=，0154B <∠<︒，有两解，D 满足.故选：D.11.在数列{}n a 中，11a =，23a =，35a =，31n n a a +=，则515252021log log log a a a +++（）A.0B.1C.5log 3D.5log 15【正确答案】B【分析】根据31n n a a +=，可得6n n a a +=，则数列{}n a 是以6为周期的周期数列，再求出123456a a a a a a ，即可得解.【详解】31n n a a +=，故361n n a a ++=，故6n n a a +=，数列的周期为6.11a =，23a =，35a =，41a =，513a =，615a =，1234561a a a a a a =，()5152520215122021log log log log a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅()()3365126125log a a a a a a ⎡⎤=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦()2515log a a a =⋅⋅⋅⋅53log a =5log 5=1=.故选：B.12.已知数列{}n a 满足11a =，221(1)nn n a a -=+-，()*2123nn n a a n +=+∈N ，则数列{}na 的前2021项的和为（）A.101132022- B.101032022- C.101132020- D.101032020-【正确答案】A【分析】利用累加法得到()12113122n nn a ---=+-，带入得到231(1122)n nn a =-+-，再利用分组求和法计算得到答案.【详解】212213(1)3nnnn n n a a a +-+-==++，即2121(1)3nnn n a a +---+=.()()()2121232325131n n n n n a a a a a a a a -----=-+-+⋅⋅⋅+-+[]()1121211331(31)3(11221)3n n n n n n --------⎡⎤⎡⎤=++⋅⋅⋅+-++=-+⎣⎦⎣⎦-+-+()()11311311222n n n n--+--=-=+-.()12211331112(1)(1)12)22nnn n n n n n a a ---==+---+-+=+-.故()()2021132021242020S a a a a a a =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅()()()0110101210111113331111222222⎛⎫---=++-++-+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭2101021010(1)(1)(3131311112222221)⎛⎫++-++-+⋅⋅--⋅++- ⎪⎝⎭-1010101110111331132021*********-=++--=--.故选：A.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是{2x x <-或12x >-}，则20x bx c -+<的解集为________.【正确答案】122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】首先根据题意得到2x =-和12x =-是方程20x bx c ++=的根，从而得到521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，再解不等式即可.【详解】由题知：2x =-和12x =-是方程20x bx c ++=的根，所以()()122122b c ⎧⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩.所以2202520x bx c x x -+<⇒-+<，解得122x <<.所以解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.故122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭14.ABC 中，5cos 13B =，3sin 5A =，则在ABC 中，cos C =________.【正确答案】1665【分析】计算12sin 13B =，根据正弦定理判断B A >得到4cos 5A =，根据和差公式计算得到答案.【详解】5cos 13B =，则12sin 13B ==，3sin 5A =，sin sin B A >，根据正弦定理知b a >，故B A >，A为锐角，故4cos 5A ==.()()1235416cos cos πcos sin sin cos cos 13513565C A B A B A B A B =--=-+=-=´-´=.故答案为.166515.如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120°的扇形AOB .O 为南门位置，C 为东门位置，小区里有一条平行于AO 的小路CD ，若3OD =米，则圆弧AC 的长为___________米【正确答案】50π【分析】连结OC ，由//CD OA ，可得DCO COA ∠=∠，60CDO ︒∠=，在△OCD 中，由正弦定理可得，sin sin OD OCDCO CDO=∠∠，可求出sin DCO ∠，进而可求出,DCO COA ∠∠，进而根据圆弧AC 所对应的圆心角及半径，可求出圆弧AC 的长度.【详解】连结OC ，因为//CD OA ，所以DCO COA ∠=∠，180********CDO DOA ︒︒︒︒∠=-∠=-=.在△OCD 中，由正弦定理可得，sin sin OD OC DCO CDO =∠∠，即3sin 32DCO =∠232sin 2002DCO ⨯∠==，因为DCO COA ∠=∠，且()0,120COA ︒︒∠∈，所以45DCO COA ︒∠=∠=，所以»452π20050π360AC ︒︒=⨯⨯=.故答案为.50π16.正数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对[3,1]x ∀∈--恒成立，则实数m 的取值范围是________.【正确答案】[)3,-+∞【分析】采用基本不等式，先求出a b +的最小值，再采用分离参数法结合二次函数性质即可求解.【详解】因为191a b +=，所以()199101016a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当312b a ==时取到等号，故16a b +≥，则2418a b x x m +≥-++-对[3,1]x ∀∈--恒成立等价于241186x x m ≥-++-对[3,1]x ∀∈--恒成立，即242m x x ≥-++对[]3,1x ∈--恒成立，()2max 42m x x ≥-++，242y x x =-++在[]3,1--单增，则()2max421423x x -++=--+=-，则[)3,m ∈-+∞.故[)3,-+∞三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC的面积，满足222)4S a b c =+-．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．【正确答案】（Ⅰ）,3π（Ⅱ【详解】解：（1）由题意可知，13sin 2cos tan 243S ab C ab C C C π==⨯⇒=⇒=；（2）2sin sin sin sin()sin sin()31sin cos sin )226A B A C A A A A A A A πππ+=+--=+=++=+≤当△ABC 为等边三角形的时候sin sin A B +18.设函数2()(1)1f x ax a x =-++.当a ∈R 时，求关于x 的不等式()0f x <的解集.【正确答案】答案见解析.【分析】讨论0a =，a<0和0a >三种大情况，再考虑1a =，1a >，01a <<三种情况，解不等式得到答案.【详解】若0a =，原不等式可化为10x -+<，解得1x >；若a<0，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a<或1x >；若0a >，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，其解得情况应由1a 与1的大小关系确定，当1a =时，解为∅；当1a >时，解得11x a <<；当01a <<时，解得11x a<<.综上所述：当a<0时，解集为1x x a⎧<⎨⎩或}1x >；当0a =时，解集为{}1x x >；当01a <<时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎩⎭；当1a =时，解集为∅；当1a >时，解集为11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.19.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-；数列{}n b 满足11(2,)n n n n b b b b n n N ---=≥∈，11b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【正确答案】（1）12n n a -=，1n b n=（2）(1)21n n T n =-⋅+【分析】（1）采用作差法结合,n n S a 关系式可求n a ，再验证1a 可求{}n a 的通项公式；对11n n n n b b b b ---=变形得1111n n b b --=，求出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而求出{}n b 的通项公式；（2）采用错位相减法即可求解.【小问1详解】由21n n S a =-，得1121S a =-，11a ∴=.又21n n S a =-，1121(2)n n S a n --=-≥，两式相减，得1122n n n n S S a a ---=-，122n n n a a a -=-12n n a a -∴=，2n ≥.∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.11122n n n a --∴=⋅=.由()*112,Nn n n n b b b b n n ---=≥∈，得1111n n b b --=，又11b =，∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列.11(1)1n n n b ∴=+-⋅=.1n b n∴=；【小问2详解】01112222n n T n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，12212222n n T n ∴=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.两式相减，得11121222212212nn nn n nn T n n n ---=++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-+-⋅-(1)21n n T n \=-×+.20.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin sin a A c C b A B -=-.（1）求角C ；（2）若1c =，且ABC的面积(0,)12S ∈，求ABC 的周长l 的取值范围.【正确答案】（1）3π；（2）(21).【分析】（1）先利用正弦定理，边角互化，再结合余弦定理，即可求解.(2)先利用三角形面积公式，得出ab 的范围，再结合余弦定理，即可求出范围.【详解】（1）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得22()a c b a b -=-，∴222c a b ab =+-，∴由余弦定理，得2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =.（2）∵ABC 的面积13=sin 24S ab C ab =，∴330412<<，∴103ab <<，若=1c ，则2222=()31c a b ab a b ab =+-+-=，∴+a b∵ABC 的周长+1l a b c =++，且103ab <<，∴21l <<+，即ABC 的周长l 的取值范围为(21)+.21.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【正确答案】（1）400吨；（2）不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为y x，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.（2）根据获利100S x y =-，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.【小问1详解】由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥-=；当且仅当1800002x x=，即400x =时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.【小问2详解】不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =---，因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.22.设数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+.（1）证明数列{}n a n -为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若11c =，11n n n n b c c a n +=-=-，111n n n d c c +=-.求证：数列{}n n b d ⋅的前n 项和14n S <.【正确答案】（1）证明见解析，2n n a n=+（2）证明见解析【分析】（1）计算()1(1)2n n a n a n +-+=-，再根据首项得到通项公式.（2）计算12n n b =，利用累加法得到1212n n n c --=，放缩111142121n n n n b d +⎛⎫⋅≤- ⎪--⎝⎭，利用裂项相消法计算得到证明【小问1详解】()1(1)2112n n n a n a n n a n +-+=-+--=-，又112a -=，{}n a n ∴-为以2为首项，以2为公比的等比数列，可得：2n n a n -=，2n n a n =+.【小问2详解】112n n n n b c c +=-=，2n ∴≥时()()()121321n n n c c c c c c c c -=+-+-+⋅⋅⋅+-2n 1111111112121212222212n n n n -----=+++⋅⋅⋅+==-=-，1n =时也符合上式，1212n n n c --∴=()111122112212121221n n n n n n n n n b d -++⎛⎫∴⋅=-=- ⎪----⎝⎭()()()()111111222212121n n n n +++==----11111111122212142121n n n n n ++⎛⎫⎛⎫=-≤- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭1223111111114212121212121n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴≤-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111114214n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭.所以数列{}n n b d ⋅的前n 项和14n S <.。
河南省信阳2024-2025学年高二上学期期中考试 数学含答案
河南省信阳2024-2025学年高二上期期中测试数学试题（答案在最后）命题人：一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知直线l 经过点(1,0)P ，且方向向量(1,2)v =，则l 的方程为（）A.220x y +-=B.220x y --=C.210x y +-= D.210x y --=2.已知()()2,2,11,1,a b k ==-- ，，且2a b ⊥ ，则k 的值为（）A.5B.5- C.3D.43.“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.以点()1,5C --为圆心，并与x 轴相切的圆的方程是（）A.22(1)(5)9x y +++=B.22(1)(5)16x y +++=C.22(1)(5)9x y -+-= D.22(1)(5)25x y +++=5.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，2,3OM OA = 点N 为BC 的中点，则MN = （）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +-6.已知抛物线2:8C x y =的焦点为,F P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，OP =PF =（）A.4B.6C.8D.107.已知椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()12,,,0330F F -，上的顶点为P ，且1260F PF ∠=︒，则此椭圆长轴为（）A.B. C.6 D.128.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 在C 的右支上，2QF 与C的一条渐近线平行，交C 的另一条渐近线于点P ，若1OQ PF ∥，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知向量()2,0,2a =r ，13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()1,2,3c =-，则下列结论正确的是（）A.a 与b垂直B.b 与c共线C.a 与c所成角为锐角D.a ，b ，c，可作为空间向量的一组基底10.下列说法正确的是（）A.330y +-=的倾斜角为150︒B.若直线0ax by c ++=经过第三象限，则0ab >，0bc <C.点()1,2--在直线()()()212430x y λλλλ++-+-=∈R 上D.存在a 使得直线32x ay +=与直线20ax y +=垂直11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列选项中正确的有（）A.异面直线1B D 与1AA 的夹角的正弦值为63B.二面角1A BD A --C.四棱锥111A BB D D -的外接球体积为3π2a D.三棱锥1A BC D -与三棱锥111A B D D -体积相等12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)2C x y -+=的动弦AB ，圆2228C :(x a )(y -+-=，则下列选项正确的是（）A.当圆1C 和圆2C 存在公共点时，则实数a 的取值范围为[3,5]-B.1ABC 的面积最大值为1C.若原点O 始终在动弦AB 上，则OA OB ⋅不是定值D.若动点P 满足四边形OAPB 为矩形，则点P 的轨迹长度为三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.两条平行直线1:3450l x y +-=与2:6850l x y +-=之间的距离是_______．14.已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别是1F 、2F ，离心率为43，P 为双曲线上一点，4OP =（O 为坐标原点），则12PF F 的面积为______.15.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 的面积为9，则b 的值为______．16.已知棱长为1的正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则BN DM ⋅=_______四．解答题（共6小题，满分70分）17.已知等腰ABC V 的一个顶点C 在直线l ：240x y -+=上，底边AB 的两端点坐标分别为()1,3A -，()2,0B ．（1）求边AB 上的高CH 所在直线方程；（2）求点C 到直线AB 的距离．18.已知圆C 的方程为：()()22314x y -++=．（1）若直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =，求实数a 的值；（2）过点()1,2M 作圆C 的切线，求切线方程．19.已知椭圆M ：22221(3x y a a a +=>-倍.（1）求M 的方程；（2）若倾斜角为π4的直线l 与M 交于A ，B 两点，线段AB 的中点坐标为1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭，求m .20.如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AD AB ===，M ，N 分别为AB ，PC 的中点.（1）求证：MN ⊥平面PCD ；（2）求PD 与平面PMC 所成角的正弦值.21.设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()2,P n 是抛物线C 上位于第一象限的一点，且4=PF .（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，过点P 作两条直线，分别与抛物线C 交于异于P 的M ，N 两点，若直线PM ，PN 的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN 的斜率为定值.22.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，1//,AB CD A A ⊥平面,ABCD AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．河南省信阳2024-2025学年高二上期期中测试数学试题命题人：一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知直线l 经过点(1,0)P ，且方向向量(1,2)v =，则l 的方程为（）A.220x y +-=B.220x y --=C.210x y +-= D.210x y --=【答案】B 【解析】【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可；【详解】因为直线的方向向量(1,2)v =，所以直线的斜率为2，又直线l 经过点(1,0)P ，所以直线方程为()021y x -=-，即220x y --=，故选：B.2.已知()()2,2,11,1,a b k ==-- ，，且2a b ⊥ ，则k 的值为（）A.5B.5- C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由题意可得20⋅=a b ，代入坐标计算可得答案．【详解】由题意可得()22,2,2b k =-- ，则24420a b k ⋅=--+= ，解之可得4k =.故选：D ．3.“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据直线平行的条件，判断“3m =-”和“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当3m =-时，直线11:02l x y --=与21:03l x y -+=平行；当直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行时，有()1230m m +-⨯=且1210m ⨯-⋅≠，解得3m =-，故“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的充要条件.故选：A.4.以点()1,5C --为圆心，并与x 轴相切的圆的方程是（）A.22(1)(5)9x y +++=B.22(1)(5)16x y +++=C.22(1)(5)9x y -+-=D.22(1)(5)25x y +++=【答案】D 【解析】【分析】由题意确定圆的半径，即可求解.【详解】解：由题意，圆心坐标为点()1,5C --，半径为5，则圆的方程为22(1)(5)25x y +++=．故选：D ．5.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，2,3OM OA = 点N 为BC 的中点，则MN = （）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，利用基底表示向量．【详解】点N 为BC 的中点，则有()12ON OB OC =+，所以()1221123322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++ .故选：B.6.已知抛物线2:8C x y =的焦点为,F P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，43OP =PF =（）A.4B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设()(),0P m n m ≥，结合3OP =4n =，由焦半径公式得到答案.【详解】抛物线2:8C x y =的焦点为()0,2F ，准线方程为2y =-，设()(),0P m n m ≥，则2228,3,m n m n ⎧=⎪+=，解得4n =或12n =-（舍去），则26PF n =+=．故选：B ．7.已知椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()12,,,0330F F -，上的顶点为P ，且1260F PF ∠=︒，则此椭圆长轴为（）A.3B.23C.6D.12【答案】D 【解析】【分析】根据焦点坐标得到c ，再由1260F PF ∠=得到a ，c 的关系求解.【详解】因为椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()123,0,3,0F F -，则3c =，又上顶点为P ，且1260F PF ∠=，所以1sin 302c a =︒=，所以6a =，故长轴长为12.故选：D8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 在C 的右支上，2QF 与C的一条渐近线平行，交C 的另一条渐近线于点P ，若1OQ PF ∥，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】设出直线2PF 的方程，与渐近线的方程联立，求出P 的坐标，由O 为12F F 的中点，1OQ PF ∥，得Q 为2PF 的中点，求出Q 的坐标，代入双曲线的方程求解即可.【详解】令()2,0F c ，由对称性，不妨设直线2PF 的方程为()by x c a=-，由()b y x c a b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2x c =，2bc y a =-，即点P 的坐标为,22c bc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由O 为12F F 的中点，1OQ PF ∥，得Q 为2PF 的中点，则点Q 的坐标为3,44c bc a ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入双曲线的方程，有222222911616c b c a a b -=，即222c a =，222c a=，解得e =，所以双曲线C．故选：A二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知向量()2,0,2a =r ，13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,2,3c =- ，则下列结论正确的是（）A.a 与b垂直B.b 与c共线C.a 与c所成角为锐角D.a ，b ，c，可作为空间向量的一组基底【答案】BC 【解析】【分析】对A ：计算出a b ⋅ 即可得；对B ：由向量共线定理计算即可得；对C ：计算a c ⋅ 并判断a 与c是否共线即可得；对D ：借助空间向量基本定理即可得.【详解】对A ：132********a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+⨯+⨯-=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭r r ，故a 与b 不垂直，故A 错误；对B ：由13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 、()1,2,3c =-，有12b c = ，故b 与c 共线，故B 正确；对C ：()21022380a c ⋅=⨯+⨯-+⨯=> ，且a 与c不共线，故a 与c所成角为锐角，故C 正确；对D ：由b 与c 共线，故a ，b ，c不可作为空间向量的一组基底，故D 错误.故选：BC .10.下列说法正确的是（）A.330y +-=的倾斜角为150︒B.若直线0ax by c ++=经过第三象限，则0ab >，0bc <C.点()1,2--在直线()()()212430x y λλλλ++-+-=∈R 上D.存在a 使得直线32x ay +=与直线20ax y +=垂直【答案】ACD 【解析】【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A ；利用特殊值判断B ；将点的坐标代入方程即可判断C ；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D.【详解】对于A：直线330y +-=的斜率33k =-，所以该直线的倾斜角为150︒，故A 正确；对于B ：当0a =，0bc >时，直线cy b=-经过第三象限，故B 错误；对于C ：将()1,2--代入方程，则()2212430y λλ----+-=，即点()1,2--在直线上，故C 正确；对于D ：若两直线垂直，则320a a +=，解得0a =，故D 正确.故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列选项中正确的有（）A.异面直线1B D 与1AA 的夹角的正弦值为63B.二面角1A BD A --C.四棱锥111A BB D D -的外接球体积为3π2a D.三棱锥1A BC D -与三棱锥111A B D D -体积相等【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A ：根据异面直线的夹角分析求解；对于B ：分析可知1AOA ∠为二面角1A BD A --的平面角，运算求解即可；对于C ：四棱锥111A BB D D -的外接球即为正方体的外接球，求正方体的外接球即可；对于D ：根据锥体的体积公式分析判断即可.【详解】对于A ：因为11//AA BB ，在1Rt B BD 中，1BB D ∠就是异面直线所成的角，且1,BD B D ==，则1sin3BB D ∠==，故A 正确；对于B ：连接AC 交BD 于点O ，连接1A O ，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA ⊥BD ，又因为BD ⊥AO ，1AA AO A ⋂=，1,AA AO ⊂平面1AOA ，可得BD ⊥平面1AOA ，且1AO ⊂平面1AOA ，则BD ⊥1A O ，可知1AOA ∠为二面角1A BD A --的平面角，在1Rt A AO △中，1tan 222A OA a∠==B 错误；对于C ，显然四棱锥111A BB D D -的外接球即为正方体的外接球，因为正方体外接球的半径32R a =，所以正方体的外接球体积为3343ππ32V R a ==，故C 正确；对于D ，因为111111A B D D D A B D V V --=，三棱锥1A ABD -的高1AA 与三棱锥111D A B D -的高1DD 相等，底面积111ABD A B D S S =△△，故三棱锥1A ABD -与三棱锥111A B D D -体积相等，故D 正确.故选：ACD .12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)2C x y -+=的动弦AB ，圆22228C :(x a )(y -+-=，则下列选项正确的是（）A.当圆1C 和圆2C 存在公共点时，则实数a 的取值范围为[3,5]-B.1ABC 的面积最大值为1C.若原点O 始终在动弦AB 上，则OA OB ⋅不是定值D.若动点P 满足四边形OAPB 为矩形，则点P的轨迹长度为【答案】ABD【解析】【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数a 的范围判断A ，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B ，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C ，先根据矩形性质结合垂径定理得到点P 的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D .【详解】对于A ，圆221:(1)2C x y -+=的圆心为1,0圆2228C :(x a )(y -+-=的圆心为(a，半径为当圆1C 和圆2C存在公共点时，12C C ≤≤2(1)a ≤-+≤，解得35a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[3,5]-，正确；对于B ，1ABC的面积为1111sin sin 12ABC S AC B AC B =∠=∠≤ ，当1π2AC B ∠=时，1ABC 的面积有最大值为1，正确；对于C ，当弦AB 垂直x 轴时，()()0,1,0,1A B -，所以()0111OA OB ⋅=+⨯-=- ，当弦AB 不垂直x 轴时，设弦AB 所在直线为y kx =，与圆221:(1)2C x y -+=联立得，()221210k x x +--=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12211x x k -=+，()()2221212121212211111OA OB x x y y x x k x x k x x k k -⋅=+=+=+=+⨯=-+ ，综上1OA OB ⋅=- ，恒为定值，错误；对于D ，设0，OP 中点00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点也是AB 中点，且ABOP ==，又AB =，所以=，化简得()220013x y -+=，所以点P 的轨迹为以1,0的圆，其周长为长度为，正确.故选：ABD三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.两条平行直线1:3450l x y +-=与2:6850l x y +-=之间的距离是_______．【答案】12##0.5【解析】【分析】将直线1l 的方程可化为68100x y +-=，利用平行线间的距离公式可求得结果.【详解】直线1l 的方程可化为68100x y +-=，且直线2l 的方程为6850x y +-=，所以，平行直线1l 与2l之间的距离为12d ==.故答案为：12.14.已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别是1F 、2F ，离心率为43，P 为双曲线上一点，4OP =（O 为坐标原点），则12PF F 的面积为______.【答案】7【解析】【分析】由双曲线的离心率可求得c 的值，可求得12F F 的值，推导出12F PF ∠为直角，利用勾股定理结合双曲线的定义可求出12PF PF ⋅的值，再利用三角形的面积公式可求得12PF F 的面积.【详解】如图所示：因为双曲线C 的离心率433c c e a ===，所以4c =，128F F =，设点P 在双曲线的右支上，由1212142OP F F OF OF ====，可得22OPF OF P ∠=∠，11OPF OF P ∠=∠，所以，()121212121π22F PF OPF OPF OPF OPF OF P OF P ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=，由双曲线定义可得126PF PF -=，由勾股定理可得222121264PF PF F F +==，所以()222121212236PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=，可得1214PF PF ⋅=，因此12PF F 的面积为12172S PF PF =⋅=.故答案为：7.15.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 的面积为9，则b 的值为______．【答案】3【解析】【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可.【详解】122PF PF a += ，222121224PF PF PF PF a ∴++⋅=，①又12,PF PF ⊥222212124PF PF F F c ∴+==②∴①-②得：()22212244PF PF a c b ⋅=-=，2121,2PF PF b ∴⋅=12PF F △的面积为9，1221219,02PF F S PF PF b b ∴=⋅==> ，3.b ∴=故答案为：3.16.已知棱长为1的正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则BN DM ⋅=_______【答案】12-##0.5-【解析】【分析】由题意可得：111,222BN BA BD DM BC BD =+=- ，根据空间向量的数量积运算求解.【详解】由题意可知：1BA BC BD === ，且12BA BC BA BD BC BD ⋅=⋅=⋅= ，因为M 为BC 中点，N 为AD中点，则111,222BN BA BD DM BM BD BC BD =+=-=- ，所以111222BN DM BA BD BC BD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211114422BA BC BD BC BA BD BD =⋅+⋅-⋅-uu r uu u r uu u r uu u r uu r uu u r uu u r 1111111142422222=⨯+⨯-⨯-=-.故答案为：12-四．解答题（共6小题，满分70分）17.已知等腰ABC V 的一个顶点C 在直线l ：240x y -+=上，底边AB 的两端点坐标分别为()1,3A -，()2,0B ．（1）求边AB 上的高CH 所在直线方程；（2）求点C 到直线AB 的距离．【答案】（1）10x y -+=（2）722【解析】【分析】（1）求出AB 的中点H 的坐标，利用垂直关系得到高CH 所在直线的斜率，得到高CH 所在直线方程；（2）联立两直线得到点C 的坐标，利用点到直线距离公式求出答案.【小问1详解】由题意可知，H 为AB 的中点，()1,3A - ，()2,0B ，13,22H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．又30112AB k -==---，11CH ABk k ∴=-=．CH ∴所在直线方程为3122y x -=-，即10x y -+=．【小问2详解】由24010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =-⎧⎨=-⎩，所以()3,2C --．又直线AB 方程为()2y x =--，即20x y +-=．∴点C 到直线AB 的距离722d ==．18.已知圆C 的方程为：()()22314x y -++=．（1）若直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =，求实数a 的值；（2）过点()1,2M 作圆C 的切线，求切线方程．【答案】（1）2a =-或6-；（2）1x =或512290x y +-=．【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解；（2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解．【小问1详解】圆C 的方程为：22(3)(1)4x y -++=，则圆C 的圆心为(3,1)-，半径为2，直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB ==，解得2a=-或6-；【小问2详解】当切线的斜率不存在时，直线1x=，与圆C相切，切线的斜率存在时，可设切线为2(1)y k x-=-，即20kx y k--+=，2=，解得512k=-，故切线方程为512290x y+-=，综上所述，切线方程为1x=或512290x y+-=．19.已知椭圆M：22221(3x y aa a+=>-倍.（1）求M的方程；（2）若倾斜角为π4的直线l与M交于A，B两点，线段AB的中点坐标为1,2m⎛⎫⎪⎝⎭，求m.【答案】（1）22163x y+=（2）1m=-【解析】【分析】（1）根据条件确定a的值，即得椭圆的标准方程；（2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题.【小问1详解】由题意可得2a=26a=，所以M的方程为22163x y+=.【小问2详解】由题意得πtan14ABk==.设()11,A x y，()22,B x y，依题意可得12x x≠，且12122,1212x x my y+=⎧⎪⎨+=⨯=⎪⎩，由22112222163163x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()()()()12121212063x x x x y y y y-+-++=，则12122121106363y y m m x x -+⨯=+⨯=-，解得1m =-.经检验，点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆M 内.所以1m =-为所求.20.如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AD AB ===，M ，N 分别为AB ，PC 的中点.（1）求证：MN ⊥平面PCD ；（2）求PD 与平面PMC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立；（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果；【小问1详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,2,2,2,0,0,2,0,1,0,0,1,1,1P C D M N ,()()0,2,2,2,0,0PD CD =-=- ，()0,1,1MN = ，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则22020n PD y z n CD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1y =，得()0,1,1n = ，因为//MN n ，所以MN ⊥平面PCD ；【小问2详解】()()()0,0,2,2,2,0,1,0,0,P C M ()1,0,2PM =- ，()1,2,0MC = ，设平面PMC 的一个法向量为(),,m a b c =，则2020m PM a c m MC a b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2a =，得()2,1,1m =- ，()0,2,2,PD =- 设直线PD 与平面PMC 所成角为θ，则直线PD 与平面PMC所成角的正弦值为：3sin 3PD m PD m θ⋅===⋅ ．21.设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()2,P n 是抛物线C 上位于第一象限的一点，且4=PF.（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，过点P 作两条直线，分别与抛物线C 交于异于P 的M ，N 两点，若直线PM ，PN 的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN 的斜率为定值.【答案】（1）28y x=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）代入抛物线的焦半径公式求p ，即可求抛物线的标准方程；（2）首先根据（1）的结果求点P 的坐标，设直线PM 和PN 的直线方程与抛物线方程联立，求得点,M N 的坐标，并表示直线MN 的坐标，即可证明.【小问1详解】由抛物线的定义知422p PF ==+，解得4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =.【小问2详解】因为点P 的横坐标为2，即282y =⨯，解得4y =±，故P 点的坐标为()2,4，由题意可知，直线PM ，PN 不与x 轴平行，设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线PM ：()42m y x -=-，即42x my m =-+，代入抛物线的方程得()2842y my m =-+，即2832160y my m -+-=，则148y m +=，故184y m =-，所以()211428442882x my m m m m m m =-+=--+=-+，即()2882,84M m m m -+-，设直线PN ：()42m y x --=-，即42x my m =-++，同理可得284y m =--，则()222428442882x my m m m m m m =-++=---++=++，即()2882,84N m m m ++--直线MN 的斜率121216116MN y y m k x x m-===---，所以直线MN 的斜率为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直线PM 与PN 的斜率互为相反数，与抛物线方程联立，利用两根之和公式求点,M N 的坐标.22.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，1//,AB CD A A ⊥平面,ABCD AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）22211（3）11【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质可得四边形1D MPN 是平行四边形，再利用平行四边形的性质结合线面平行的判定定理计算即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，求出平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量后结合空间向量夹角公式计算即可得；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1NP CC ∥，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11D M CC ∥，则有1D M NP ∥、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1D N MP ∥，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，有0,0,0、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、1,1,0、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB = ，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为 =1,1,1、 =2,2,2，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =、20z =，即()1,3,1m = ，()1,1,0n =，则cos ,11m n m n m n ⋅===⋅ ，故平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值为11；【小问3详解】由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m = ，则有111BB m m ⋅== ，即点B 到平面1CB M 的距离为11．。
河南省信阳市第一高级中学高二数学上学期期中试题 理
河南省信阳市第一高级中学高二数学上学期期中试题理说明：1．本试卷分第 I 卷〔选择题〕和第 II 卷〔非选择题〕，总分值 150 分，考试时间 120 分钟．2．将第 I 卷的答案代表字母和第 II 卷的答案填在答题表〔答题卡〕中．第一卷一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的．1．a 0,1 b 2, 那么以下不等式成立的是〔〕A．a ab 2a B．a ab 2a C．ab a 2a D．a 2a ab 2．抛物线C : y x2的准线方程为〔〕A．x 1B．x 1 C．y 1 D．y14 4 4 43．数列{a}满足a n14a n 3〔n N*〕，且a1，那么a21=〔〕n41A．13 B．14 C．15 D．16 4．以下说法正确的选项是〔〕A．命题〝假定x 21 ，那么x 1 〞的否命题为〝假定x 21 ，那么x1 〞B．命题〝假定x y，那么 sin x sin y〞的逆否命题是真命题C．命题〝x R ，使得x2x 1 0 〞的否认是〝x R ，均有x2 x 1 0D．〝x 1 〞是〝x2 5x 6 0 〞的必要不充沛条件5．椭圆C的焦点在y轴上，焦距为 4，离心率为2 ，那么椭圆C的规范方程是〔〕2x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2A．1 B．1 C．1 D.1 4 8 12 16 16 12 8 4高二文科数学第 1页〔共 4 页〕6．数列 a 满足 a n1 1 〔 n N *〕， a 2 ，那么 a 〔 〕n 1 a n 8 1A ． 5B ． 8C ． 7D. 1 911 92 7．在 ABC 中，A 60 , b 1, SABC那么 c3, =〔 〕 sin C 8 B ． 262 33 39 D ． 2 A ． C ．7 81 338．假定关于 x 的一元二次方程 x 2ax 2b 0 有两个实根，一个根在区间 0,1内，另一个根在区间 1,2内，那么 b 3的取值范围为〔 〕 a 1A ． 1,3B ． 1,31 31 3C ． ， D. 2 ，2 229．设数列a n 的前 n 项和为 S n ，假定 3S n 2a n 3n 〔 n N *〕，那么 a 2021 〔〕A ． 2 20211 B ． 3 20216 1 2021 7 12021 10 C ．2 D ．32310．假定两个正实数 x , y 满足 14 1，且不等式 x y m 2 3m 有解，那么实数 m 的取 x y 4 值范围为〔〕A ．1,4B ． 4,1C ．,1 4,D. ，0 3,11． F 抛物线 C : y 22 px p 0的焦点，曲线 C是以 F 为圆心， p 为半径的圆， 2 1 2直线 4x 3 y 2 p 0 与曲线 C , C 从上到下依次相交于 A ， B ， C ， D ，那么 AB1 2CDA． 4 B．16 C． 5 D．83 312．设a log0.2 0.3 ，blog2 0.3 ，那么〔〕A．ab a b 0B．a b abC．ab 0 a b D．a b 0ab高二文科数学第 2页〔共 4 页〕第 II 卷二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．x 1,13．设变量x, y满足约束条件x y 4 0, 那么目的函数z 2x y的最小值为_______．x 3 y 40,14．在钝角ABC中，AB3, BC3, A 30，那么ABC的面积为_________．，那么1 215．在各项均为正数的等比数列{a n } 中，假定a2021 2的最小值______．2 a2021a202116．双曲线C :x2 y 2 1a 0, b 0的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐a2 b2近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，假定 7FM3FN，那么双曲线的离心率为_________．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解容许写出文字说明，证明进程或演算步骤．17．〔本小题总分值 10 分〕条件p : x2 4ax 3a2 0a 0；条件q : x2 2x 8 0 ．假定p是q的必要不充沛条件，务实数a的取值范围．18．〔本小题总分值 12 分〕在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，且2 cos C a cos C c cos A b 0 ．〔I〕求角C的值；〔II〕假定b 2 ，c 23 ，求ABC的面积．19．〔本小题总分值 12 分〕数列{a n } 满足a1 1，且 2na n1 2n1a n n n1〔nN*〕．〔I〕求数列{a n } 的通项公式；〔II〕假定b n2n an，求数列{b n }的前n项和S n．n 1高二文科数学第 3页〔共 4 页〕20．〔本小题总分值 12 分〕为了在夏季降平和夏季供暖时增加动力损耗，房屋的屋顶和外墙需求建造隔热层．某幢修建物需建造可运用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建形本钱为 6 万元．该修建物每年的动力消耗费用 C ( 单位：万元 ) 与隔热层厚度 x ( 单位： cm ) 满足关系：C xk0 x 10，假定不建隔热层，每年动力消耗费用为 8 万元．设 fx 为隔 3x 5热层建造费用与 20 年的动力消耗费用之和．〔I 〕求 k 的值及 f x 的表达式；〔II 〕隔热层修建多厚时，总费用 f x 到达最小，并求最小值．21．〔本小题总分值 12 分〕数列{a n } 满足 12 3 n332n1，〔 n N *〕．a a aa 2 n 81 3〔I 〕求数列{a n } 的通项公式；〔II 〕假定 b n log 3 an，求证： 1 1 1 11 ．b b b b n b b b b 21 2 2 3 34 n n 1 22．〔本小题总分值 12 分〕圆 x 3 2 y 216 的圆心为 M ，点 P 是圆 M 上的动点，点 N 3,0，点 G在线段 MP 上，且满足 GN GP GN GP ．〔I 〕求动点 G 的轨迹 C 的方程；〔II 〕过点 T 4,0作斜率不为 0 的直线与轨迹 C 交于 A , B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D ，衔接 BD 交 x 轴于点 Q ，求 ABQ 面积的最大值． 高二 文科数学 第 4页 〔共 4 页〕2021—2021 学年上期中考 20 届高二文科数学参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分． 题号 1 234567891011 12 答案BD D B A D C D A CBA二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分〕． 3 ．13． 1． 14． 3 ．15． 4 ．16． 14 4 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．17．【解析】解：设 x 2 4ax 3a 20a 0的解集为 A ,由 x a x 3a0，当 a 0 时， A a ,3a ；当 a 0 时， A 3a , a ．设 x 22x 8 0 的解集为 B ,那么 B ,4 2,．………5 分由 p 是 q 的必要不充沛条件可得 p 是 q 的充沛不用要条件，即 A 是 B 的真子集．a 2 或 a 4 ．………10 分18．【 解析】〔 I 〕由正弦定理可得 2 cos C sin A cos C sin C cos A sin B 0 ，2 cos C sin A C sin B 0 ,即 2 cos C sin B sin B 0 , 又 0 B , sin B 0cos C 12 ， 0 C ,C 23 . ………6 分〔II 〕由余弦定理可得， 23 2 a 2 22 2 2a cos 23 ， a 0, a 2. S ABC 12 ab sin C 3 , ABC 的面积为 3 ．………12 分 高二 数学试题 第 1页 〔共 5 页〕19． 【解析】〔I 〕由可得 n an 11a n n 12 ， a 是以 1为首项，公差为 1 的等差数列． 数列 n2 na n n 1 ,a n n n1. ………6 分n 22〔II 〕 b n 2nan 2 n1nn 1 .S n 1 20 2 21 3 22 n 2n 12S n 1 21 2 22 3 23 n 2n两式相减可得 S n 1 n 2n 1，S n n 12n1. ………12 分20．【解析】：(1)由题设，修建物每年动力消耗费用为 C (x )＝ k，3x ＋5由 C (0)＝8，得 k ＝40，∴C (x )＝3x 40＋5. 而隔热层建造费用为 C 1(x )＝6x ，∴ f x ＝20C (x )＋C 1(x )＝20× 40 ＋6x ＝ 800＋6x (0≤x ≤10)．………6 分3x ＋53x ＋5(2) f x ＝ 800 ＋6x 3x ＋5 ＝ 1 600＋6x ＋10－10 6x ＋10≥2 1 600×〔6x ＋10〕－10＝70， 6x ＋10当且仅当 1 600＝6x ＋10，即 x＝5 时取等号．6x＋10∴当隔热层修建厚度为 5 cm 时，总费用最小，最小值为 70 万元．………12 分 高二 数学试题 第 2页 〔共 5 页〕21．【解析】〔I 〕 1 3 32a 1 8 n1 2 当 n 2时， aan a2 1 13,n12 n1 a aaa2 n 1n 183 32n 1 83 32n 21 32n 1.a n 32n n 1 n 2. 当 n 1 时， a 113也成立，a n32nn 1. (6)分〔II 〕 b nlog 3 a n n2n 1, 111 1,b b 212n1 2n 1 2n 1n n1 1 1 1b b b b b b1 2 2 3 n n11 1 1 1 11 12 3 32n 1 2n 151 1 122n 1n 1 1 1 12 12 .2n 11 1 1 1 1 . ………12 分 b b b b b b b b 21 2 2 3 3 4 nn 1 22．解: 〔I 〕GN GP GN GP ,GN GP GN GP 0 即 GN 2 GP 2 0, 所以 GN GP , GMGN GM GP MP 4 23 MN ,所以点 G 在以 M , N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆上．设椭圆的方程为 x 2y 2 1a b 0, a 2 b 2那么 2a 4,2c 23, 即 a 2, c3,b 2 a 2c 2 1,高二 数学试题 第 3页 〔共 5 页〕所以点 G 的轨迹 C 的方程为 x 2y21 ．………4 分4x my4,〔II 〕解法一：依题意可设直线 l : x my 4. 2 由x 2 y 1, 4得 m 24y 28my 12 0.设直线与 l 椭圆 C 的两交点区分为 A x 1 , y 1 B x 2 , y 2 ，由 16m 2 12 0 ，得 m 212 ，①且 y y8m, y y 12. ②m 24 m 2 41 2 12由于点 A 关于 x 轴的对称点为 D ，所以 D x 1 y 1 ,可设 Q x 0 ,0， 所以 k BD y 2 y 1y 2 y 1 ，m y 2 y 1x 2 x 1所以 BD 的直线方程为 y y 2y 1 y 2 x my 2 4.m y 1 y 2令 y0, 得 x 0 2my 1 y 2 4y 1 y2 . ③y 1y 2将②带入③得 x 024m32m1, 8m 所以点 Q 的坐标为 1,0.1 36m 2 12由于 SSS QT y y y y 24 y y, A BQ T BQ T AQ 2 2 2 1 2 1 2 1 m 24令 t m 24, 结合①得 t 16,所以 SABQ 1 1 2 1 6 16 ， 64t 32当且仅当 t 32 ，即 m 27 时， S ABQ max 34 .所以 S ABQ 面积的最大值为 34 . ………12 分 高二 数学试题 第 4页 〔共5 页〕解法二：依题意直线 l 的斜率存在且不为 0，设其直线方程为 l : y k x 4， y k x4, 4k 2 1y 28ky 12k 20 由 x 2y 2 1, 得 4设直线与 l 椭圆 C 的两交点区分为 A x 1 , y 1 B x 2 , y 2 ， 由 8k 24 4k 2112k 20 ，得 k 21，①12且 y y 2 8k, y y 12k 2. ②1 4k2 1 1 2 4k 21由于点 A 关于 x 轴的对称点为 D ，所以 D x 1 y 1 ,可设 Q x 0 ,0， 所以 k BDy 2 y 1 k y 2 y 1 ，y 2 y 1x 2 x 1所以 BD 的直线方程为 y y 2 k y 1 y 2 x x 2 .y 1 y 2令 y 0, 得 x 0 2 y 1 y 24k y 1 y 2 . ③y 1y 2k将②带入③得 x 0 24k 232k 21,8k 2所以点 Q 的坐标为 1,0. 1 3 6 k 2 12k 42由于 S A BQ S T BQ S T AQ QT y y y y 4 y y 2, 2 2 1 2 12 1 4k 21 令 t 4k 21, 那么 k2t 14 ，结合①得1 t , 34所以SABQ1 72 13 4，8 16t当且仅当 t 87 ，即 k 147时， S ABQmax34 . 所以 S ABQ 面积的最大值为 34 . ………12 分。
河南省信阳高级中学2018_2019学年高二数学上学期期中试卷理(含解析)
12018-2019学年河南省信阳高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合，，则A ．B ．C ．D ．2．设，，则是成立的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知向量等于A ．3B ．C ．D ．4．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量=(m,n)与向量=(1,-1)垂直的概率为A ．B ．C ． D．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．B ．C ．D ． 6．甲、乙两名同学次数学测验成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的平均数，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的标准差，则有A ．，B ．，C ．，D ．， 7．观察式子：，…，则可归纳出式子为 A ． B ． C ． D ． 8．设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则 A ． B ． C ． D ． 9．把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．在上单调递增B ．在上单调递减C ．图象关于点对称D ．图象关于直线对称10．设F 为抛物线的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若，则A．6 B．9 C．3 D．411．已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．12．点在双曲线的右支上，其左，右焦点分别为，直线与以坐标原点为圆心，为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则双曲线的离心率为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．命题“”的否定是________.14．已知实数，满足约束条件，则的最小值为________.15．已知平面向量满足，则的夹角为___________．16．以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设为两个定点，为非零常数，若,则动点的轨迹是双曲线；②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④已知抛物线，以过焦点的一条弦为直径作圆，则此圆与准线相切，其中真命题为__________．（写出所有真命题的序号）三、解答题17．设函数.(1)求不等式的解集；(2)若存在使不等式成立，求实数的取值范围18．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，，求的值.19．已知函数（1）求函数的最小值以及取得最小值时x的取值集合（2）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c ，且．求△ABC 的面积20．已知命题()2:1,,1xp x mx∀∈+∞≥-恒成立；命题:q方程22122x ym m+=-+表示双曲线.（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p q∨”为真命题，“p q∧”为假命题，求实数m的取值范围.221．已知是等差数列，是等比数列，其中，，.（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和.22．已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，是以为直径的圆，直线与相切，并且与椭圆交于不同的两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当，且满足时，求弦长的取值范围．32018-2019学年河南省信阳高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】由交集的定义求出，再进行补集的运算即可.【详解】因为集合，，所以，，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合且不属于集合的元素的集合.2．A【解析】【分析】直接解不等式可得或，根据充分条件，必要条件的定义可以判断。
河南省高二上学期期中数学试卷(理科)
河南省高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为(1,)，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分）已知三条直线a、b、c两两平行且不共面，这三条直线可以确定m个平面，这m个平面把空间分成n个部分，则（）A . m=2 n=2B . m=2 n=6C . m=3 n=7D . m=3 n=83. （2分）已知平面∥平面，点P平面,平面、间的距离为8，则在内到点P的距离为10的点的轨迹是（）A . 一个圆B . 四个点C . 两条直线D . 两个点4. （2分）圆的半径为（）A . 1B .C . 2D . 45. （2分） (2019高二下·丽水期末) 圆与圆的位置关系是（）A . 相交B . 内切C . 外切D . 相离6. （2分）若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（）A . ﹣1B . 1C . 1或﹣1D . 37. （2分）(2017·三明模拟) 在四面体ABCD中，若AB=CD= ，AC=BD=2，AD=BC= ，则直线AB与CD 所成角的余弦值为（）A . ﹣B . ﹣C .D .8. （2分） (2018高二上·山西月考) 方程表示的图形是A . 以为圆心，11为半径的圆B . 以为圆心，11为半径的圆C . 以为圆心，为半径的圆D . 以为圆心，为半径的圆10. （2分）(2020·金华模拟) 设三棱锥V﹣ABC的底面是A为直角顶点的等腰直角三角形，VA⊥底面ABC，M是线段BC上的点（端点除外），记VM与AB所成角为α，VM与底面ABC所成角为β，二面角A﹣VC﹣B为γ，则（）A .B .C .D .11. （2分）直线x+2y+3=0将圆（x﹣a）2+（y+5）2=3平分，则a=（）A . 13B . 7C . ﹣13D . ﹣712. （2分） (2020高二上·重庆期中) 在平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成120°的二面角，则折叠后，两点间的距离为（）A .B .C . 8D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·辽宁月考) 已知点，，若直线与线段（包含端点）有公共点，则实数的取值范围是________．14. （1分）(2012·浙江理) 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于________ cm3 ．15. （1分） (2019高二上·南湖期中) 如果平面直角坐标系中的两点关于直线对称，那么直线的方程为________．16. （1分） (2018高二上·无锡期末) 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，若，则点的坐标为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一下·正定期末) 已知圆，点，求：（1）过点的圆的切线方程；（2）点是坐标原点，连接，求的面积 .18. （10分） (2016高一上·天河期末) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA1= ，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．（1）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（2）试判断直线BC1与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由．19. （10分） (2020高三上·海南月考) 在平面四边形中，，，将沿折起，使得平面平面，如图．（1）求证：；（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．20. （10分） (2017高二上·邢台期末) 在平面直角坐标系中，A（1，﹣1），B（1，3），点C在直线x﹣y+1=0上．（1）若直线AC的斜率是直线BC的斜率的2倍，求直线AC的方程；（2）点B关于y轴对称点为D，若以DC为直径的圆M过点A，求C的坐标．21. （10分） (2019高三上·苏州月考) 如图所示，在三棱柱中，为正方形，是菱形，平面平面．（1）求证：平面；（2）求证： .22. （10分） (2015高二上·余杭期末) 已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+4=0，点P（6，0）．（1）求过点P且与圆C相切的直线方程l；（2）若圆M与圆C外切，且与x轴切于点P，求圆M的方程．。
2021-2022学年河南省高二上学期期中考试理科数学试题答案
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河南省信阳市数学高二上学期理数期中考试试卷
河南省信阳市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高二下·绵阳期中) 已知 的是（ ）A. B.，且，，则下列各式恒成立C.D.2. （2 分） (2019 高二上·德惠期中) 对于命题 和 ，若 且 为真命题，则下列四个命题：① 或是真命题，② 且是真命题，③且 是假命题，④或 是假命题，其中真命题是（ ）A . ①②B . ③④C . ②④D . ①③3. （2 分） (2019 高二上·德惠期中) 已知，，若，则 等于 （ ）A . -26 B . -10 C.2D . 10 4. （2 分） (2019 高二上·德惠期中) 以下四组向量中，互相平行的有（ ）组.第 1 页 共 12 页⑴,；⑵⑶,；⑷A . 一组 B . 二组 C . 三组D . 四组5. （2 分） (2019 高二上·德惠期中) 在长方体线与所成角的正切值为（ ）A.B.,；,中，，则异面直C. D. 6. （2 分） (2019 高二上·德惠期中) 对抛物线 A . 开口向上，焦点为 B . 开口向上，焦点为 C . 开口向右，焦点为 D . 开口向右，焦点为，下列描述正确的是（ ）7. （2 分）(2019 高二上·德惠期中) 以为焦点的抛物线 的准线与双曲线相交于两点，若为正三角形，则抛物线 的标准方程为（ ）A.第 2 页 共 12 页B.C. D.8. （2 分） 若焦点在 x 轴上的椭圆 A.的离心率为 ， 则 n=（ ）B.C.D.9. （2 分） (2019 高二上·德惠期中) 已知点 P 是抛物线 x= 距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小值为（ ）y2 上的一个动点，则点 P 到点 A（0，2）的A.2B.C . ﹣1D . +110. （2 分） (2019 高二上·德惠期中) “k＞9”是“方程 A . 充要条件 B . 充分不必要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件第 3 页 共 12 页表示双曲线”的（ ）11. （2 分） (2019 高二上·德惠期中) 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点 E 是 棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1 的距离为（ ）A. B. C. D.12. （2 分） (2019 高二上·德惠期中) 已知椭圆 C 的方程为，焦距为 ，直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若，则椭圆 C 的离心率为（ ）A. B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 若以 F1（﹣ ________， 0），F2（， 0）为焦点的双曲线过点（2，1），则该双曲线的标准方程为14. （1 分） (2017 高二下·都匀开学考) 圆上的点（2，1）关于直线 x+y=0 的对称点仍在圆上，且圆与直线 x﹣y+1=0 相交所得的弦长为 ，则圆的方程为________．第 4 页 共 12 页15. （1 分） 若抛物线 y= x2+1 在点（2，3）处的切线与圆 x2+（y﹣m）2=5（m＞0）相切，则 m 的值为________．16. （1 分） 设定点 则 ________．， 是函数图象上的一动点，若点之间的最短距离为，三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （10 分） 已知集合 A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|（x﹣a）•（x﹣3a）＜0}．（1） 若 A⊊B，求 a 的取值范围；（2） 若 A∩B=∅，求 a 的取值范围；（3） 若 A∩B={x|3＜x＜4}，求 a 的取值范围．18. （5 分） (2012·江西理) 已知三点 O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线 C 上任意一点 M（x，y）满足|+|=•（ + ）+2．（1） 求曲线 C 的方程；（2） 动点 Q（x0 ， y0）（﹣2＜x0＜2）在曲线 C 上，曲线 C 在点 Q 处的切线为直线 l：是否存在定点 P（0， t）（t＜0），使得 l 与 PA，PB 都相交，交点分别为 D，E，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求 t 的值．若 不存在，说明理由．19. （15 分） (2019 高二上·德惠期中) 如图，四棱锥是正方形, 为 中点.中，平面，底面（1） 求证：平面；（2） 求点 到平面的距离；第 5 页 共 12 页（3） 求二面角的余弦值.20. （10 分） (2019 高二上·德惠期中) 已知椭圆 C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为 F1 ， F2 ，离心率为 ，过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 M ， N 两点，且△MNF2 的周长为 8．（1） 求椭圆 C 的方程；（2） 若直线 y＝kx＋b 与椭圆 C 分别交于 A ， B 两点，且 OA⊥OB ， 试问点 O 到直线 AB 的距离是否为定值， 证明你的结论．21. （10 分） (2019 高二上·德惠期中) 设 A ， B 分别为双曲线 曲线的实轴长为 4 ，焦点到渐近线的距离为 .（1） 求双曲线的方程；(a>0，b>0)的左、右顶点，双（2） 已知直线 y＝x－2 与双曲线的右支交于 M ， N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D ， 使，求 t 的值及点 D 的坐标．22. （5 分） (2019 高二上·德惠期中) 已知点 为圆圆的半径 上，且有点和 上的点 ，满足的圆心， 是圆上的动点，点 在 .(Ⅰ)当点 在圆上运动时，判断 点的轨迹是什么？并求出其方程；(Ⅱ)若斜率为 的直线 与圆相切，与(Ⅰ)中所求点 的轨迹交于不同的两点（其中 是坐标原点）求 的取值范围.，且第 6 页 共 12 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 12 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、17-2、17-3、 18-1、第 8 页 共 12 页18-2、 19-1、第 9 页 共 12 页19-2、19-3、20-1、第 10 页 共 12 页20-2、21-1、21-2、22-1、。
河南省信阳高级中学高二上学期期中考试数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将机读卡上的姓名、学号用黑色字迹的签字笔填写，用铅笔将学号对应的信息点涂黑．2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净，在试卷上作答无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题： ( )．A ．00:,cos 1p x R x ⌝∃∈≥B ．C ．D ．00:,cos 1p x R x ⌝∃∈> 2．对抛物线，下列描述正确的是( )A.开口向上，焦点为B.开口向上，焦点为C.开口向右，焦点为D.开口向右，焦点为3．若p 是真命题,q 是假命题,则( )(A)p ∧q 是真命题 (B)p ∨q 是假命题(C) p 是真命题 (D) q 是真命题4. 已知向量，，若，则 （ ）(A) 5； (B) 3； (C)； (D)．5．是的（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要6．在平行六面体ABCD －A′B′C′D′中，若'23'AC xAB yBC zC C =++，则x ＋y ＋z 等于( )A ．B ．C ．D ．7．设变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数的最小值为（ ）A ．9B ．4C ．3D ．28．不等式的解集是，则不等式的解集是( )A 、11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 、C 、D 、9．对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（ ）A ．相切B ．相交且直线过圆心C ．相交且直线不过圆心D ．相离10．双曲线的左焦点为，顶点为，是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段为直径的两圆一定( )（A ）相交 （B ）内切 （C ）外切 （D ）相离11．不等式01)1()1(22<----x a x a 的解集为全体实数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．椭圆)320(112222<<=+b by x 与渐近线为的双曲线有相同的焦点,为它们的一个公共点,且,则椭圆的离心率为（ )（A ） （B) （C ） （D)二、填空题（每题5分共20分。
2023-2024学年河南省信阳市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省信阳市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x +y ﹣2023＝0的倾斜角为（ ） A ．−π4B ．π4C ．π2D ．3π42．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E ＝“点数为奇数”，F ＝“点数为偶数”，G ＝“点数大于2”，H ＝“点数不大于2”，R ＝“点数为1”．则下列结论不正确的是（ ） A ．E ，F 为对立事件B ．G ，H 为互斥不对立事件C ．E ，G 不是互斥事件D ．G ，R 是互斥事件3．已知直线l 1：mx +y +6＝0，l 2：3x +（m ﹣2）y +2m ＝0，若l 1∥l 2，则m 等于（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．3D ．﹣1 或34．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．利用计算机产生一组随机数：907 966 191 924 274 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 986若用1，3，5，7，9表示下雨，用0，2，4，6，8表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（ ） A ．920B ．12C ．1120D ．385．已知PA →，PB →，PC →不共面，PM →=(3−x −y)PA →+xPB →+(y −2)PC →，则（ ） A ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点共面 B ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点不共面C ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，P 四点共面D ．∃x ，y ∈R ，A ，B ，C ，P 四点共面6．已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C 是底面圆周上的点，∠BAC ＝30°，AB =2√3，P A ＝2，则P A 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）A ．12B ．√32C ．2√1313D ．3√13137．已知直线l ：3x +ay ﹣25＝0与圆C ：x 2+y 2＝25，点A （3，a ），则下列说法不正确的是（ ）A ．若直线l 与圆C 相切，则a ＝4B ．若0＜α＜4，则直线l 与圆C 相离 C ．若a ＞4，则直线l 与圆C 相交D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切8．已知x +y +1＝0，则√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −3)2+y 2的最小值是（ ） A ．√10B ．√13C ．√29D ．6二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若方程x 2+y 2﹣2mx +m 2﹣2m ﹣1＝0表示圆，则m 的取值可以为（ ） A ．2B ．0C ．−12D ．﹣210．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A 和B ，其中n （Ω）＝36，n （A ）＝18，n （B ）＝12，n （A ∪B ）＝24，则（ ）A ．P(A ∪B)=23B ．P(AB)=13C ．事件A 与B 互斥D ．事件A 与B 相互独立11．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是底面ABCD 的中心，Q 是棱A 1D 1上的一点，且D 1Q →=λD 1A 1→，λ∈[0，1]，N 为线段AQ 的中点，则（ ）A ．C ，M ，N ，Q 四点共面B ．三棱锥A ﹣DMN 的体积为定值C ．当λ=12时，过A ，M ，Q 三点的平面截正方体所得截面的面积为4 D ．不存在λ使得直线MB 1与平面CNQ 垂直12．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中证明了命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0且k ≠1）的点的轨迹是圆，人们称之为阿氏圆．现有△ABC ，BC ＝8，sin B ＝3sin C ．以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系xOy ，则（ ） A ．点A 的轨迹方程为x 2+y 2+10x +16＝0（y ≠0）B ．点A 的轨迹是以（5，0）为圆心，3为半径的圆C ．△ABC 面积的最大值为12D ．当AB ⊥BC 时，△ABC 的内切圆半径为4−2√2 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．圆x 2+y 2+mx ﹣2y ﹣m ＝0恒过的定点是 ．14．第三届“一带一路”国际高峰论坛于2023年10月在北京召开．某记者与参会的3名代表一起合影留念（四人站成一排）．则记者站在两端的概率为 ；若记者与代表甲必须相邻，则此两人站在中间的概率为 ．15．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4，直线l ：x +2y +3＝0，M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的两条切线MA ，MB ，则四边形MACB 面积的最小值为 ．16．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点P （x 0，y 0，z 0），且以向量n →=（a ，b ，c ）（abc ≠0）为方向向量，则这条直线可以用方程x−x 0a=y−y 0b=z−z 0c来表示．已知直线l 的方程为x −1=12y +1＝2z ﹣6，则M （3，1，1）到直线l 的距离为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（10分）从三名男生（记为A 1，A 2，A 3）、两名女生（记为B 1，B 2）中任意选取两人． （1）在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率； （2）在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率． 18．（12分）已知A （1，1），B （2，3），C （4，0）．求： （1）过点A 且与BC 平行的直线方程； （2）AB 边垂直平分线方程；（3）过点A 且倾斜角为直线AB 倾斜角2倍的直线方程．19．（12分）在三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OB ＝OC ＝2，OA ⊥OB ，∠AOC ＝∠BOC ＝60°，M ，N 分别为AB ，OC 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →． （1）用a →，b →，c →表示MN →，并求|MN →|； （2）求OM 与NB 所成角的余弦值．20．（12分）在第19届杭州亚运会上中国射击队获得32枚金牌中的16枚，并刷新3项世界纪录．甲、乙两名亚运选手进行赛前训练，甲每次射中十环的概率为0.9，乙每次射中十环的概率为p ，在每次射击中，甲和乙互不影响．已知两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为0.98． （1）求p ；（2）甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环3次的概率．21．（12分）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝2，M 是BB 1的中点，M 到平面ABC 1的距离为34．（1）求A 1A ；（2）在C 1A 上是否存在点P ，使平面ABC 1与平面PBM 夹角的余弦值为√217？ 若存在，求出C 1P PA的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知圆C 经过点A （0，2），B （2，0），且直线x +y +2＝0被圆C 所截得的弦长为2√2．点P 为圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N ． （1）求圆C 的方程；（2）探求|AN |•|BM |是否为定值，若为定值，求出此定值，若不是定值，说明理由；（3）过点D （﹣4，0）的动直线l 与圆C 交于不同的两点E ，F ．记线段EF 的中点为R ，则当直线l 绕点D 转动时，求动点R 的轨迹长度．2023-2024学年河南省信阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x+y﹣2023＝0的倾斜角为（）A．−π4B．π4C．π2D．3π4解：直线x+y﹣2023＝0，即y＝﹣x+2023，斜率为﹣1，设倾斜角为α，则tanα＝﹣1，且α∈[0，π），可得α=3π4．故选：D．2．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”，G＝“点数大于2”，H＝“点数不大于2”，R＝“点数为1”．则下列结论不正确的是（）A．E，F为对立事件B．G，H为互斥不对立事件C．E，G不是互斥事件D．G，R是互斥事件解：抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，即E，F为对立事件，A正确；点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，即G，H为对立事件，B错误；点数为奇数与点数大于2可能同时发生，即E，G不是互斥事件，C正确；点数大于2与点数为1不可能同时发生，即G，R是互斥事件，D正确．故选：B．3．已知直线l1：mx+y+6＝0，l2：3x+（m﹣2）y+2m＝0，若l1∥l2，则m等于（）A．﹣3B．﹣1C．3D．﹣1 或3解：因为l1∥l2，所以m（m﹣2）＝1×3，且m•2m≠6×3，解得m＝﹣1．故选：B．4．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．利用计算机产生一组随机数：907 966 191 924 274 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 986若用1，3，5，7，9表示下雨，用0，2，4，6，8表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（）A ．920B ．12C ．1120D ．38解：由数表可知，20个随机数中，至少有两天下雨为907，191，932，569，431，257，393，556，730，113，537，共11个数，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为1120．故选：C ．5．已知PA →，PB →，PC →不共面，PM →=(3−x −y)PA →+xPB →+(y −2)PC →，则（ ） A ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点共面 B ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点不共面C ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，P 四点共面D ．∃x ，y ∈R ，A ，B ，C ，P 四点共面解：∵（3﹣x ﹣y ）+x +（y ﹣2）＝1，∴∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点共面． 故选：A ．6．已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C 是底面圆周上的点，∠BAC ＝30°，AB =2√3，P A ＝2，则P A 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）A ．12B ．√32C ．2√1313D ．3√1313解：依题意：圆锥的高PO =√22−(√3)2=1，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系O ﹣xyz ：则A(0，−√3，0)，B(0，√3，0)，C(32，√32，0)，P(0，0，1)，PB →=(0，√3，−1)，BC →=(32，−√32，0)，PA →=(0，−√3，−1)．设平面PBC 的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅PB →=0n →⋅B →C =0⇒⇒{√3y −z =032x −√32y =0取x ＝1，得n →=(1，√3，3)， 设P A 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=|cos〈PA →，n →〉|=62×√13=3√1313，即P A 与平面PBC 所成角的正弦值为3√1313． 故选：D ．7．已知直线l ：3x +ay ﹣25＝0与圆C ：x 2+y 2＝25，点A （3，a ），则下列说法不正确的是（ ） A ．若直线l 与圆C 相切，则a ＝4 B ．若0＜α＜4，则直线l 与圆C 相离 C ．若a ＞4，则直线l 与圆C 相交D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切解：圆心C （0，0）到直线l 的距离d =25√9+a 2．若直线l 与圆C 相切，则d =25√9+a 2=5，解得a ＝±4，故A 错误；若0＜a ＜4，则9+a 2＜25，所以d =25√9+a 25，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若a ＞4，则9+a 2＞25，所以d =25√9+a 25，则直线l 与圆C 相交，故C 正确；若点A （3，a ）在直线l 上，则9+a 2﹣25＝0，即a ＝±4，d =25√9+a 2=5，直线l 与圆C 相切，故D 正确． 故选：A ．8．已知x +y +1＝0，则√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −3)2+y 2的最小值是（ ） A ．√10B ．√13C ．√29D ．6解：设点P ′（x ，y ）为直线l ：x +y +1＝0的动点，则√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −3)2+y 2=√(x −1)2+(y −1)2+√(x −3)2+y 2， 可看作P ′（x ，y ）与点A （1，1），B （3，0）的距离之和， 设A （1，1）关于直线l 的对称点为A ′（a ，b ），则{b−1a−1=1a+12+b+12+1=0，解得{a =−2b =−2，所以A ′（﹣2，﹣2），则|P ′A |+|P ′B |＝|P ′A ′|+|P ′B |≥|A ′B |=√(−2−3)2+(−2−0)2=√29， 当且仅当P ′与A ′，B 共线时（即图中位置P ）取等号，即√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −3)2+y 2的最小值是√29． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若方程x 2+y 2﹣2mx +m 2﹣2m ﹣1＝0表示圆，则m 的取值可以为（ ） A ．2B ．0C ．−12D ．﹣2解：由（﹣2m ）2﹣4×（m 2﹣2m ﹣1）＞0知m ＞−12．结合选项，符合条件的只有2和0． 故选：AB ．10．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A 和B ，其中n （Ω）＝36，n （A ）＝18，n （B ）＝12，n （A ∪B ）＝24，则（ ）A ．P(A ∪B)=23B ．P(AB)=13C ．事件A 与B 互斥D ．事件A 与B 相互独立解：因为n （Ω）＝36，n （A ）＝18，n （B ）＝12，n （A ∪B ）＝24，则n （A ∩B ）＝6， 则P （A ）=1836=12，P （B ）=1236=13，P （AB ）=636=16， 则P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）=23，P （AB ）＝P （A ）•P （B ）， 又A 与B 能同时发生，故不互斥． 故选：AD ．11．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是底面ABCD 的中心，Q 是棱A 1D 1上的一点，且D 1Q →=λD 1A 1→，λ∈[0，1]，N 为线段AQ 的中点，则（ ）A ．C ，M ，N ，Q 四点共面B ．三棱锥A ﹣DMN 的体积为定值C ．当λ=12时，过A ，M ，Q 三点的平面截正方体所得截面的面积为4 D ．不存在λ使得直线MB 1与平面CNQ 垂直解：连接AC 、CQ ，则M 、N 分别为AC 、AQ 的中点，因为MN 为△AQC 的中位线，所以MN ∥CQ ，可得C 、M 、N 、Q 四点共面，故A 正确．根据题意，可得V A ﹣DMN ＝V N ﹣ADM =12V Q ﹣ADM =12×13S △ADM ×2=13为定值，故B 正确． 当λ=12时，过A 、M 、Q 三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形ACFQ ， 如图所示，过Q 作AC 的垂线，垂足为G ，则AG =2√2−√22=√22，QG =√5−12=3√22．因此可得S =12(√2+2√2)×3√22=92，故C 错误． 以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得D （0，0，0，），A （2，0，0），A 1（2，0，2），B 1（2，2，2），C （0，2，0），D 1（0，0，2）， M （1，1，0），Q （2λ，0，2），CQ →=(2λ，−2，2)，AC →=(−2，2，0)，MB 1→=(1，1，2)，若存在λ使得直线MB 1与平面CNQ （即平面ACQ ）垂直， 则{MB 1→⋅CQ →=0MB 1→⋅AC →=0，即{2λ−2+4=0−2+2+0=0，解得λ＝﹣1，不符合题意，故不存在λ使得直线MB 1与平面CNQ 垂直，所以D 正确． 故选：ABD ．12．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中证明了命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0且k ≠1）的点的轨迹是圆，人们称之为阿氏圆．现有△ABC ，BC ＝8，sin B ＝3sin C ．以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系xOy ，则（ ） A ．点A 的轨迹方程为x 2+y 2+10x +16＝0（y ≠0）B ．点A 的轨迹是以（5，0）为圆心，3为半径的圆C ．△ABC 面积的最大值为12D ．当AB ⊥BC 时，△ABC 的内切圆半径为4−2√2解：如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B （﹣4，0），C （4，0），由正弦定理和条件sin B ＝3sin C ，可得|AC |＝3|AB |， 设A （x ，y ），可得√(x −4)2+y 2=3√(x +4)2+y 2， 两边平方，化简可得x 2+y 2+10x +16＝0，则A 点的轨迹方程为x 2+y 2+10x +16＝0（y ≠0），圆心为（﹣5，0），半径为3， 故A 正确，B 错误；由A 的轨迹可得A 到直线BC 的距离的最大值为半径3， 则△ABC 面积的最大值为12×8×3＝12，故C 正确；当AB ⊥BC 时，|AB |2+|BC |2＝|AC |2，即，|AB |2+64＝|AC |2， 又|AC |＝3|AB |，解得|AB |＝2√2，|AC |＝6√2，设△ABC 的内切圆半径为r ，可得12×2√2×8=12r （2√2+8+6√2），解得r ＝4﹣2√2，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．圆x 2+y 2+mx ﹣2y ﹣m ＝0恒过的定点是 （1，1） ． 解：因为圆x 2+y 2+mx ﹣2y ﹣m ＝0， 则x 2+y 2﹣2y +m （x ﹣1）＝0，联立{x 2+y 2−2y =0x −1=0，解得{x =1y =1． 故答案为：（1，1）．14．第三届“一带一路”国际高峰论坛于2023年10月在北京召开．某记者与参会的3名代表一起合影留念（四人站成一排）．则记者站在两端的概率为 12；若记者与代表甲必须相邻，则此两人站在中间的概率为13．解：四个位置，记者站在两端，有2种站法，所求概率为A 21A 33A 44=12；记者与代表甲必须相邻，则此两人站在中间的概率为A 22A 22A 22A 33=13．故答案为：12；13．15．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4，直线l ：x +2y +3＝0，M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的两条切线MA ，MB ，则四边形MACB 面积的最小值为 8 ．解：圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4，则圆心C （1，3），半径r ＝2． 因为四边形MACB 的面积S ＝2S △CAM ＝|CA |•|AM |＝2|AM |＝2√|CM|2−4， 要使四边形MACB 面积最小，则需|CM |最小，此时CM 与直线l 垂直， 直线l ：x +2y +3＝0，|CM |=|1+6+3|1+4=2√5，∴四边形MACB 面积的最小值为2√20−4=8． 故答案为：8．16．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点P （x 0，y 0，z 0），且以向量n →=（a ，b ，c ）（abc ≠0）为方向向量，则这条直线可以用方程x−x 0a=y−y 0b=z−z 0c来表示．已知直线l 的方程为x −1=12y +1＝2z ﹣6，则M （3，1，1）到直线l 的距离为 √693 ． 解：直线l 的方程标准化为：x−11=y+22=z−312，所以直线l 过P （1，﹣2，3），方向向量为n →=（1，2，12），|n →|=√12+22+(12)2=√212，设n →的方向向量为u →，则u →=n →|n →|=2√21•（1，2，12）=1√21•（2，4，1）， a →=PM →=（2，3，﹣2），可得|a →|=√22+32+(−2)2=√17，所以a →•u →=14√21， 所以M 到直线l 的距离为d =√a →2−(a →⋅u →)2=√17−(1421)2=√693． 故答案为：√693． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（10分）从三名男生（记为A 1，A 2，A 3）、两名女生（记为B 1，B 2）中任意选取两人．（1）在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率； （2）在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率．解：（1）样本空间Ω＝{（A 1，A 1），（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，A 1），（A 2，A 2），（A 2，A 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，A 1），（A 3，A 2），（A 3，A 3），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，A 1），（B 1，A 2），（B 1，A 3），（B 1，B 1），（B 1，B 2），（B 2，A 1），（B 2，A 2），（B 2，A 3），（B 2，B 1），（B 2，B 2）}， 设事件A 表示“选到两人都是男生”， 则事件A 包含的样本点有9个， 所以P （A ）=925； （2）样本空间Ω＝{（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，A 1），（A 2，A 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，A 1），（A 3，A 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，A 1），（B 1，A 2），（B 1，A 3），（B 1，B 2），（B 2，A 1），（B 2，A 2），（B 2，A 3），（B 2，B 1）}， 设事件B 表示“选到至少有一名女生”， 则事件B 包含的样本点有14个， 所以P （B ）=1420=710． 18．（12分）已知A （1，1），B （2，3），C （4，0）．求： （1）过点A 且与BC 平行的直线方程； （2）AB 边垂直平分线方程；（3）过点A 且倾斜角为直线AB 倾斜角2倍的直线方程． 解：（1）由于所求的直线l 与BC 平行，故k l =−32，由于直线l 经过点A （1，1），所求的直线的方程为y −1=−32(x −1)，整理得3x +2y ﹣5＝0； （2）由于A （1，1），B （2，3），所以中点D （32，2），直线AB 的斜率k AB ＝2，所以直线AB 的垂直平分线的斜率k =−12，所求的垂直平分线的方程为y −2=−12(x −32)，整理得2x +4y ﹣11＝0．（3）由于A （1，1），B （2，3），所以直线AB 的斜率k AB ＝2，设直线的倾斜角为θ，故tan θ＝2， 所求直线的倾斜角为直线AB 的倾斜角的2倍，所以直线的斜率k ＝tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=−43， 故所求的直线的方程为y −1=−43(x −1)，整理得4x +3y ﹣7＝0．19．（12分）在三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OB ＝OC ＝2，OA ⊥OB ，∠AOC ＝∠BOC ＝60°，M ，N 分别为AB ，OC 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →．（1）用a →，b →，c →表示MN →，并求|MN →|； （2）求OM 与NB 所成角的余弦值．解：（1）MN →=ON →−OM →=12c →−12(a →+b →)=12(c →−a →−b →)，∵OA ＝OB ＝OC ＝2，OA ⊥OB ，∠AOC =∠BOC =60°， ∴a →2=b →2=c →2＝4，a →⋅b →=0，a →⋅c →=b →⋅c →=2×2cos60°＝2，∴|MN →|=12√(c →−a →−b →)2=12√c →2+a →2+b →2−2a →⋅c →−2b →⋅c →+2a →⋅b →=1；（2）OM →=12(a →+b →)，NB →=OB →−ON →=b →−12c →，OM →⋅NB →=12(a →+b →)⋅(b →−12c →)=12(a →⋅b →−12a →⋅c →+b →2−12b →⋅c →)=1，|OM →|=12√(a →+b →)2=√2，|NB →|=√(b →−12c →)2=√3， cos ＜OM →，BN →＞=OM →⋅NB →|OM →|⋅|NB →|=2×3=√66．所以，OM 与NB 所成角的余弦值为√66． 20．（12分）在第19届杭州亚运会上中国射击队获得32枚金牌中的16枚，并刷新3项世界纪录．甲、乙两名亚运选手进行赛前训练，甲每次射中十环的概率为0.9，乙每次射中十环的概率为p ，在每次射击中，甲和乙互不影响．已知两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为0.98． （1）求p ；（2）甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环3次的概率． 解：（1）由题意，两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为0.98， 则都没有击中十环的概率为0.1×（1﹣p ）＝1﹣0.98，求得p ＝0.8．（2）甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环3次，即甲乙二人中，只有一人只击中1次，故它的概率为C 22×0.92•C 21×0.8×0.2+C 21×0.9×0.1×C 22×0.82＝0.3744．21．（12分）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝2，M 是BB 1的中点，M 到平面ABC 1的距离为34．（1）求A 1A ；（2）在C 1A 上是否存在点P ，使平面ABC 1与平面PBM 夹角的余弦值为√217 若存在，求出C 1P PA的值；若不存在，请说明理由．解：（1）取AC 的中点O ，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系O ﹣xyz ，设A 1A ＝a ，则A （1，0，0），B(0，√3，0)，C 1（﹣1，0，a ），M(0，√3，a2)， 所以AC 1→=(−2，0，a)，AB →=(−1，√3，0)，BM →=(0，0，a2)， 设平面ABC 1的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AB →=−x +√3y =0n →⋅AC 1→=−2x +az =0，取x ＝3，得y =√3，z =6a，所以平面ABC 1的一个法向量为n →=(3，√3，6a )，则M 到平面ABC 1的距离d =|BM →⋅n →||n →|=3√32+3+(6a)2=34，解得a ＝3，即A 1A ＝3；（2）因为C 1A →=(2，0，−3)，BC 1→=(−1，−√3，3)， 设C 1P →=λC 1A →=(2λ，0，−3λ)（0≤λ≤1），所以BP →=BC 1→+C 1P →=(2λ−1，−√3，3−3λ)，BM →=(0，0，32)， 设平面PBM 的法向量m →=(b ，c ，t)，则{m →⋅BP →=(2λ−1)b −√3c +(3−3λ)t =0m →⋅BM →=32t =0， 取b =√3，得c ＝2λ﹣1，t ＝0，所以平面PBM 的一个法向量m →=(√3，2λ−1，0)，由|cos ＜m →，n →＞|=√217，得√3+(2λ−1)√3|2=√217，解得λ=13，或λ＝3（舍去），故在C 1A 上存在点P ，当C 1PPA =12时，可使平面ABC 1与平面PBM 夹角的余弦值为√217．22．（12分）已知圆C 经过点A （0，2），B （2，0），且直线x +y +2＝0被圆C 所截得的弦长为2√2．点P 为圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N ． （1）求圆C 的方程；（2）探求|AN |•|BM |是否为定值，若为定值，求出此定值，若不是定值，说明理由；（3）过点D （﹣4，0）的动直线l 与圆C 交于不同的两点E ，F ．记线段EF 的中点为R ，则当直线l 绕点D 转动时，求动点R 的轨迹长度．解：（1）易知点C 在线段AB 的中垂线y ＝x 上，故可设C （a ，a ），圆C 的半径为r ， ∵直线x +y +2＝0被圆C 所截得的弦长为2√2，且r =√a 2+(a −2)2， ∴C （a ，a ）到直线x +y +2＝0的距离d =|2a+2|√2， 由d 2+(√2)2=r 2，得(|2a+2|√2)2+2=a 2+(a −2)2，∴a ＝0， ∴圆C 的方程为x 2+y 2＝4；（2）当直线P A 的斜率不存在时，|AN |•|BM |＝8．当直线P A 的斜率存在时，如图，设P （x 0，y 0），直线P A 的方程为y =y 0−2x 0x +2， 令y ＝0，得M(2x 02−y 0，0)．直线PB 的方程为y =y 0x 0−2(x −2)，令x ＝0，得N （0，2y 02−x 0）．∴|AN |•|BM |＝（2−2y 02−x 0）（2−2x 02−y 0）=4+4[y 0x 0−2+x 0y 0−2+x 0y0(x 0−2)(y 0−2)]＝4+4×y 02−2y 0+x 02−2x 0+x 0y 0(x 0−2)(y 0−2)=4+4×4−2y 0−2x 0+x 0y 0(x 0−2)(y 0−2)＝4+4×4−2y 0−2x 0+x 0y04−2y 0−2x 0+x 0y 0=8．故|AN |•|BM |为定值8．（3）设CD 的中点为Q ，则Q （﹣2，0），因为线段EF 的中点为R ，所以CR ⊥EF ，即CR ⊥DR ， 所以RQ =12CD =2，设R （x ，y ），则（x +2）2+y 2＝4，如图， 设圆x 2+y 2＝4与（x +2）2+y 2＝4的交点为G ，H ，显然△QCG 是边长为2的正三角形，所以所求弧长GCH ̂的长度即为以Q （﹣2，0）为圆心，以2为半径的圆的13为4π3．。