等腰三角形知识点总结

等腰三角形

一、目标认知

学习目标：

通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法

重点：

等腰三角形的性质与判定。

难点：

比较复杂图形、题目的推理证明。

二、知识要点梳理

知识点一：等腰三角形、腰、底边

有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角

如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

知识点二：等腰三角形的性质

1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

2、这两个性质证明如下：

在△ABC中，AB=AC，如图所示．

作底边BC的高AD，则有

∴Rt△ABD≌Rt△ACD．

∴∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．

于是性质1、性质2均得证．

3、说明：

（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；

②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．

（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴BD=CD；

或∵AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴AD⊥BC．

②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情

况只有一条对称轴．

知识点三：等腰三角形的判定定理

1、定理内容及证明

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），如图所示．

证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则

所以△ABD≌△ACD（AAS）．

所以，AB=AC．

2、注意：

①本定理的符号表示为：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC．

②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．

另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．

知识点四：等边三角形

1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形

如图所示．

2、注意：

①由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．

②等边三角形具有等腰三角形的一切性质．

知识点五：等边三角形的性质

1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

2、理由如下：如上图所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同样可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．

而∠A+∠B+∠C=180°．则有∠A=∠B=∠C=60°．

注意：这条性质只有等边三角形具有．

知识点六：等边三角形的判定

1、等边三角形的判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

2、证明如下：

(1)如下图所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，AC=BC；由∠A=∠C得，AB=BC．所以AB=AC=BC．

于是判定（1）成立．

(2)如上图所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则有∠B=∠C=60°，于是∠A=∠B=∠C．

由判定（1）得△ABC是等边三角形；

若∠B=60°，则∠B=∠C=60°，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C．

由判定（1）得△ABC是等边三角形。所以判定（2）成立

知识点七：直角三角形性质定理

1、定理内容：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

2、证明：如图所示，∠ACB=90°，∠A=30°．延长BC至使，则有AC垂直平分，故．又可得∠B=60°．于是△是等边三角形，故，所以．即定理成立．

三、规律方法指导

1．等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。

2．常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。