辽宁省大连市2019-2020学年高二(下)期末数学试题
辽宁省大连市2019-2020学年高二（下）期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．随机变量X 的分布列如表，则D （X ）＝（ ）
A ．
23
B ．
29
C ．
89
D ．
43
2．用数学归纳法证明：1232(21)n n n +++⋅⋅⋅+=+时，从n k =推证1n k =+时，左边增加的代数式是（ ） A ．43k +
B ．42k +
C ．22k +
D ．21k +
3．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和若a 4+a 5＝24，S 6＝60，则等差数列{a n }的公差应为（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
4．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩(
)2
~90,X N σ
，已知
(7090)0.35P X <=，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的
概率为（ ） A ．0.15
B ．0.50
C ．0.70
D ．0.85
5．已知函数()1sin 2=-f x x x ，,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，则()f x 的极大值点为（ ） A ．6π
-
B ．3
π-
C ．
6
π D ．
3
π 6．掷骰子2次，每个结果以()11,x y 记之，其中1x ，2x ，分别表示第一颗，第二颗骰子的点数，设(){}1
2
1
2
,6A x x x x
=+=，(){}1212,B x x x x =>，则()P B A =（ ）
A ．
1
8
B ．
13 C ．
25
D ．
12
7．函数()()
2
2x
f x x x e =-的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若5
23a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（ ） A ．1
B ．5
C ．10
D ．20
9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，()11
21
n n n nS nS a n n -=++≥+ ，若13
8
m S >，则m 的最小值为（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
10．为了促进西部某地区医疗事业的发展，某市准备派6名医生支援当地的三所医院，若向每所医院至少派一名医生且不多于3名医生，则不同的安排方法有（ ） A ．450种
B ．540种
C ．900种
D ．1080种
11．已知函数()f x 的导数为()'f x ，()()0f x xf x '->对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．()()f f e π>
B ．()()f f e π<
C ．
()
()
f f e e
ππ
>
D ．
()
()
f f e e
ππ
<
12．若对任意x ∈（0，+∞），不等式e 2x ﹣m ln （2m ）﹣m ln x ≥0恒成立，则实数m 的最大值（ ）
A B ．e C ．2e D ．e 2
13．函数()2
ln f x x x =+在点()()
1,1f 处的切线方程为__________.
14．若1n
x ⎫⎪⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则二项展开式中有理项系
数之和为_____.
15．已知函数()21
ln 2
f x a x x =+(0a >)，若对任意两个不相等的正实数12,x x 都有
()()
1212
4f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是_____.
16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ﹣1是a n 和S n 的等比中项，设
1(1)(21)n n n b n a +=-⋅+，则数列{b n }的前100项和为_____.
17．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价
x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销
售量()1,2,3,4,5i y i =的数据进行了统计，得到如下表数据：
（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；
（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？
（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？
参考公式：回归直线方程ˆˆy
bx a =+，其中1
2
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nxy
b x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-． 参考数据：
5
1
392i i
i x y
==∑，5
21
502.5i i x ==∑．
18．设a 为实数，函数()3
2
21536=f x x x x a -++.（1）求f （x ）的极值；
（2）若函数y ＝f （x ）的图象与x 轴仅有一个交点，求实数a 的取值范围.
19．在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人，在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人.
（1）完成上面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？（2）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望.
附：K2＝
2
()
()()()()
n ad bc
a b c d a c b d
-
++++
，其中n＝a+b+c+d.
20．为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x mm，进行统计整理的频率分布直方图. 根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足：|x ﹣12|≤1为一级品，1＜|x﹣12|≤2为二级品，|x﹣12|＞2为三级品.
（1）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，若从这40件产品当中尺寸在[12，15]的产品中随机抽取2件产品，记Y为这2
件产品中含有尺寸在[14，15]的产品个数，求Y 的分布列和数学期望；
（2）为加大升级力度，厂家需增购设备.已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件.乙设备生产的产品中一、二、三级品的概率分别是
25，1
2，110
，若将甲设备生产的产品的样本频率作为总体的概率.以厂家的利润作为决策依据，应选购哪种设备？请说明理由.
21．某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n 年之后，该项目的资金为n a 万元．
（1）设800n n b a =-，证明数列{}n b 为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取lg 20.3=）； （2）若(1)250
n
n n b c +=
，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 22．已知函数()()()2
ln 21R f x x ax a x a =+++∈． （1）讨论()f x 的单调性； （2）求证：当0a <时，()3
24f x a
≤-
-； （3）设m 是整数，对于任意的正整数n ，有2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，求m 的最小值．。
大连市名校2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题含解析
大连市名校2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设离散型随机变量X 的分布列如右图，则()2E X =的充要条件是（ ）X1 2 3P1p 2p 3pA ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p ==2．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜.根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为23，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ） A ．727B ．49C ．1627 D ．20273．若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A 为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B 为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人，则(|)P B A =（ ）． A ．38B ．18C ．316D ．1164．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞B ．()2,2-C ．(),2-∞-D ．()2,0-5．如图，P 是正四面体V ABC -的面VBC 上一点，点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C 22的椭圆 D ．离心率为3的双曲线6．设随机变量ξ服从正态分布()1,4N ，且()20.3P ξ>=，则()01P ξ<<=（ ） A ．0.15B ．0.2C ．0.4D ．0.77．直线31y x =--的倾斜角是（） A ．3π B ．6π C ．56π D ．23π 8．下列命题正确的是（ ） A ．若b c >，则22a b a c >B ．“1x =-”是“2340x x --=”的必要不充分条件C ．命题“p q ∨”、“p q ∧”、“p ⌝”中至少有一个为假命题D ．“若220a b +=，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则220a b +≠” 9．已知0>ω，函数()cos24cos 3f x a x x a ωω=-+，若对任意给定的[1,1]a ∈-，总存在1212,[0,]()2x x x x π∈≠，使得12()()0f x f x ==，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．610．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如102(mod 4)≡.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i 等于( )A ．4B ．8C ．16D ．3211．指数函数x y a =是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数，关于上面推理正确的说法是（ ） A ．推理的形式错误B ．大前提是错误的C ．小前提是错误的D ．结论是真确的12．对任意非零实数,a b ，若a ※b 的运算原理如图所示，则 2(log22)※2318-⎛⎫ ⎪⎝⎭=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．设抛物线28y x =的准线方程为__________.14．3名男生和3名女生站成一排照相，若男生甲不站在两端，3名女生中，有且只有两个女生相邻，则不同排法的种数为___________．15．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导数1'()2f x <，则不等式221()22x f x <+的解集为________．16．某晚会安排5个摄影组到3个分会场负责直播,每个摄影组去一个分会场,每个分会场至少安排一个摄影组,则不同的安排方法共有______种(用数字作答). 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()ln f x x x =-． （1）求函数()f x 的极值；（2）设函数()()g x xf x =．若存在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使得函数()g x 在[],m n 上的值域为()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦，求实数k 的取值范围．18．已知函数()322x f x x +=--A ，关于x 的不等式()2330x a x a -++<的解集为B ． （1）求集合B ；（2）已知:x A α∈，:x B β∈，若α是β的必要不充分条件，试求实数a 的取值范围．19．（6分）在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =， 以AC 的中点O 为球心，AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N.（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的大小； （3）求点N 到平面ACM 的距离.20．（6分）假设某士兵远程射击一个易爆目标，射击一次击中目标的概率为23，三次射中目标或连续两次射中目标，该目标爆炸，停止射击，否则就一直独立地射击至子弹用完．现有5发子弹，设耗用子弹数为随机变量X ．（1）若该士兵射击两次，求至少射中一次目标的概率； （2）求随机变量X 的概率分布与数学期望E(X)． 21．（6分）已知复数|2|z =z 是z 的共轭复数，且2()z 为纯虚数，z 在复平面内所对应的点Z 在第二象限，求20182. 22．（8分）已知函数()()3f x x x a a R =++-∈. (Ⅰ)当1a =-时,解不等式()6f x >;(Ⅱ)若0a >,对任意(],,x y a ∈-∞都有()2242a a f y x ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】 【详解】由题设及数学期望的公式可得123131231232p p p p p p p p ++=⎧⇔=⎨++=⎩，则2EX =的充要条件是13p p =．应选答2．D 【解析】 【分析】根据题意，可知甲获胜情况有三种：第一局胜、第二局胜，第一局胜、第二局负、第三局胜，第一局负、第二局胜、第三局胜，由互斥事件概率加法运算即可求解. 【详解】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜，甲在每局比赛中获胜的概率为23， 则甲获胜有以下三种情况：第一局胜、第二局胜，则甲获胜概率为224339⨯=； 第一局胜、第二局负、第三局胜，则甲获胜概率为212433327⨯⨯=；第一局负、第二局胜、第三局胜，则甲获胜概率为122433327⨯⨯=；综上可知甲获胜概率为444209272727++=，故选：D. 【点睛】本题考查了互斥事件概率求法，概率加法公式的应用，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】先求事件A 包含的基本事件，再求事件AB 包含的基本事件，利用公式可得. 【详解】由于6人各自随机地确定参观顺序，在参观的第一小时时间内，总的基本事件有63个；事件A 包含的基本事件有222642C C C 个；在事件A 发生的条件下，在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人的基本事件为244C ⨯个，而总的基本事件为62，故所求概率为24643(/)28C P B A ⨯==,故选A.【点睛】本题主要考查条件概率的求解，注意使用缩小事件空间的方法求解. 4．C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可.()22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限，24040m m ->⎧∴->⎨⎩，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误． 5．C 【解析】分析：由题设条件将点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等转化成在面VBC 中点P 到V 的距离与到定直线BC 的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状．详解：∵正四面体V ﹣ABC ∴面VBC 不垂直面ABC ，过P 作PD ⊥面ABC 于D ，过D 作DH ⊥BC 于H ，连接PH ，可得BC ⊥面DPH ，所以BC ⊥PH ，故∠PHD 为二面角V ﹣BC ﹣A 的平面角令其为θ 则Rt △PGH 中，|PD|：|PH|=sinθ（θ为V ﹣BC ﹣A 的二面角的大小）． 又点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，即|PV|=|PD|∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC 中，点P 到定点V 的距离与定直线BC 的距离之比是一个常数sinθ，又在正四面体V ﹣ABC ，V ﹣BC ﹣A 的二面角的大小θ有：1， 由椭圆定义知P 点轨迹为椭圆在面SBC 内的一部分． 故答案为：C ．点睛：（1）本题主要考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．(2)解答本题的关键是联想到圆锥曲线的第二定义. 6．B 【解析】 【分析】根据正态密度曲线的对称性得出()()02P P ξξ<=>，再由()01P ξ<<=()0.50P ξ-<可计算出答案．由于随机变量ξ服从正态分布()1,4N ，由正态密度曲线的对称性可知()()020.3P P ξξ<=>=， 因此，()()010.500.2P P ξξ<<=-<=，故选B ． 【点睛】本题考查正态分布概率的计算，充分利用正态密度曲线的对称性是解题的关键，考查计算能力，属于基础题． 7．D 【解析】 【分析】根据直线方程求得斜率，根据斜率与倾斜角之间的关系，即可求得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为θ，故可得tan θ= 又[)0,θπ∈， 故可得23πθ=. 故选：D. 【点睛】本题考查由直线的斜率求解倾斜角，属基础题. 8．C 【解析】分析：根据命题条件逐一排除求解即可.详解：A. 若b c >，则22a b a c >,当a 为0时此时结论不成立，故错误；B. “1x =-”是“2340x x --=”的必要不充分条件，当x=4时2340x x --=成立，故正确结论应是充分不必要；D. “若220a b +=，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则220a b +≠”应该是若a ，b 不全为0，故错误， 所以综合可得选C点睛：考查对命题的真假判定，此类题型逐一对答案进行排除即可，但注意思考的全面性不可以掉以轻心，属于易错题. 9．D分析：先化简函数的解析式得212()2(cos )2(0)f x a wx a a aa=-+-≠，再解方程f(x)=0得到1cos wx a =±，再分析得到4w ≥，再讨论a=0的情况得到w 的范围，再综合即得w 的最小值. 详解：当a≠0时，2212()(2cos 1)4cos 32(cos )2f x a wx wx a a wx a aa=⋅--+=-+-，由f(x)=0得222111(cos ),cos a wx wx a a a --=∴=±， 因为[1,1],0,a a ∈-≠所以111,1a a +≤， 根据三角函数的图像得只要coswx=1满足条件即可， 这时1220,x x w π==，所以2, 4.2w w ππ≤∴≥ 当a=0时，()4cos f x x ω=-，令f(x)=0，所以coswx=0，须满足23, 3.42w w ππ⋅≤∴≥ 综合得 4.w ≥故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查函数的零点和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合思想方法.(2)解答本题的难点在讨论a≠0时，分析推理出22w ππ≤. 10．C 【解析】初如值n=11,i=1, i=2,n=13,不满足模3余2.i=4,n=17, 满足模3余2, 不满足模5余1. i=8,n=25, 不满足模3余2,i=16,n=41, 满足模3余2, 满足模5余1. 输出i=16.选C ． 11．B 【解析】分析: 指数函数xy a =是R 上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同单调性，有演绎推理的定义可知，大前提错误。
辽宁省大连市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析
辽宁省大连市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(0)(2)P P a ξξ<=>-，则a =（ ） A ．-2 B ．2C ．4D ．6【答案】D 【解析】分析：由题意知随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于2x =对称，得到两个概率相等的区间关于2x =对称，得到关于a 的方程，解方程求得a详解：由题随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且(0)(2)P P a ξξ<=>-，则0与2a -关于2x =对称，则024, 6.a a =-=∴=故选D.点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．2． “ln ln x y >”是“x y >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】ln ln 0x y x y >⇔>>，0x y x y >>⇒>，x y >⇒0x y >>，∴ “ln ln x y >”是“x y >”的充分不必要条件． 故选：B ．3．下列函数一定是指数函数的是（） A ．12x y += B ．3y x =C ．32x y =⋅D ．3x y -=【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数定义，逐项分析即可. 【详解】A ：12x y +=中指数是1x +，所以不是指数函数，故错误；B ：3y x =是幂函数，故错误；C ：32x y =⋅中底数前系数是3，所以不是指数函数，故错误；D ：13()3xx y -==属于指数函数，故正确. 故选D. 【点睛】指数函数和指数型函数：形如xy a =（01a <<且1a ≠）的是指数函数，形如x cy b a +=⋅（01a <<且1a ≠且0b ≠且0c ≠）的是指数型函数.4．甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，在这个问题已被正确解答的条件下,甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】设事件A 表示“甲能回答该问题”，事件B 表示“乙能回答该问题”，事件C 表示“这个问题被解答”，则P （A ）＝0.4，P （B ）＝0.5，求出P （C ）＝P （A ）+P （）+P （AB ）＝0.7，由此利用条件概率计算公式能求出在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率． 【详解】设事件A 表示“甲能回答该问题”，事件B 表示“乙能回答该问题”，事件C 表示“这个问题被解答”， 则P （A ）＝0.4，P （B ）＝0.5， P （C ）＝P （A ）+P （）+P （AB ）＝0.2+0.3+0.2＝0.7，∴在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率： P （AB|C ）．故选：A 【点睛】本题考查条件概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率公式的合理运用． 5．过点(,)e e -作曲线x y e x =-的切线，则切线方程为（ ） A ．2(1)y e x e =--+B ．2(1)y e x e =--C ．12(1)e e y e x e ++=--D ．1(1)e e y e x e +=--【答案】C 【解析】 【分析】设出切点坐标00x x e （，），求出原函数的导函数，得到函数在0x x =时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得切线方程，代入已知点的坐标后求出切点的坐标，则切线方程可求． 【详解】由xy e x =-，得1xy e '=-，设切点为00xx e （，）， 则00|1xx x y e -'＝＝ ，∴切线方程为()0001()xxy e e x x ---＝ ， ∵切线过点(),e e -， ∴−e x 0＝e x 0(1−x 0)， 解得：0e 1x =+ ． ∴切线方程为111e e y e e x e ++-=--（），整理得：()121e e y e x e ++=--. 故选C.． 【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题． 6．若0n >，则9n n+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】利用均值不等式求解即可． 【详解】∵96n n+≥=（当且仅当n ＝3时等号成立） 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．7．在一个6×6的表格中放3颗完全相同的白棋和3颗完全相同的黑棋，若这6颗棋子不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有 A ．14400种 B ．518400种C ．720种D ．20种【答案】A 【解析】根据题意，在6×6的棋盘中，第一颗棋子有6×6种放法，由于任意两颗棋子不在同一行且不在同一列，则第二颗棋子有5×5种放法，第三颗棋子有4×4种放法，第四颗棋子有3×3种放法，第五颗棋子有2×2种放法，第六颗棋子有1种放法， 又由于3颗黑子是相同的，3颗白子之间也是相同的，故6颗棋子不同的排列方法种数为664433221144003333A A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=n 种； 故选A.点睛：在排列组合问题中，遇见元素相同的排列时，一般可以将两个元素看作不同元素，排列结束后除以相同元素的全排列即可，比如有两个元素相同即除以22A ，如三个元素相同即除以33A .8．已知(0,)x ∈+∞有下列各式：12x x +≥，2244322x x x x x +=++≥，3327274333x x x x x x +=+++≥成立，观察上面各式，按此规律若45ax x+≥，则正数a =（ ）A ．34B ．45C ．44D ．55【答案】C 【解析】 【分析】观察上面各式,112x x +≥,22243222x x x x x+=++≥,3332734333x x x x x x +=+++≥,类比推理即可得到结果.【详解】由题,观察上面各式可得112x x +≥,22243222x x x x x+=++≥,3332734333x x x x x x +=+++≥,则44464454444x x x x x x x+=++++≥,所以44a =, 故选:C 【点睛】本题考查类比推理,考查理解分析能力. 9．已知的取值如下表，从散点图知，线性相关，且，则下列说法正确的是（ ）12341.41.82.43.2A ．回归直线一定过点B ．每增加1个单位，就增加1个单位C ．当时，的预报值为3.7D ．每增加1个单位，就增加0.7个单位 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得a 值，进一步求得线性回归方程，然后逐一分析四个选项即可得答案． 【详解】 解：由已知得，，，故A 错误；由回归直线方程恒过样本中心点（2.5，2.2），得，解得0.1．∴回归直线方程为．x 每增加1个单位，y 就增加1个单位，故B 错误； 当x ＝5时，y 的预测值为3.1，故C 正确；x 每增加1个单位，y 就增加0.6个单位，故D 错误． ∴正确的是C ． 故选C ． 【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是性质：线性回归直线一定过点．10．如图12,F F 分别是椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>> 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 3B ．12C 2D 31【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，求得A 点坐标，代入椭圆方程，结合椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率． 【详解】由题意知A 32c c ⎛- ⎝⎭，把A 代入椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，得22223144c c a b+=， ∴()()2222222234a cca c a a c -+=-，整理，得42840e e -+=，∴2423e =± ∵0＜e ＜1，∴31e =，故选D. 【点睛】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为 A 2 B 3 C ．2 D 5【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 12．已知命题：，使得，则为 A ．，总有 B ．，使得 C ．，总有D ．，使得【答案】C 【解析】 【分析】原命题为特称命题，则其否定为全称命题，即可得到答案 【详解】 命题：，使得：，总有故选 【点睛】本题主要考查的是命题及其关系，命题的否定是对命题结论的否定，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．在直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AC ⊥.有下列条件： ①AB AC BC ==； ②AB AC ⊥； ③AB AC =.其中能成为11BC AB ⊥的充要条件的是__________．（填上序号）【答案】①③ 【解析】分析：由题意，对所给的三个条件，结合直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AC ⊥，作出如图的图象，借助图象对11BC AB ⊥的充要条件进行研究. 详解：若①AB AC BC ==，如图取,M N 分别是11,B C BC 的中点， 可得111,AM BC A N B C ⊥⊥， 由直三棱柱111ABC A B C -中， 可得1,AM A N 都垂直于侧面11B C BC ，由此知1,AM A N 都垂直于线1BC ，又11BC AC ⊥，所以1BC ⊥平面1A CN ， 可得1BC CN ⊥，又由,M N 是中点及直三棱柱的性质知1//B M CN ， 故可得11BC B M ⊥，再结合AM 垂直于线1BC ，可得1BC ⊥面1AMB ， 故有11BC AB ⊥，故①能成为11BC AB ⊥的充要条件， 同理③也可，对于条件②，若AB AC ⊥，可得11A B ⊥面11B C BC ，111A B BC ⊥，若11BC AB ⊥，由此可得1BC ⊥平面11A B BC 形，矛盾， 故不为11BC AB ⊥的充要条件， 综上，①③符合题意，故答案为①③.点睛：本题主要考查直棱柱的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的性质，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.14．要用三根数据线将四台电脑A ，B ，C ，D 连接起来以实现资源共享，则不同的连接方案种数为______． 【答案】16 【解析】 【分析】由题目可以联想到正方形的四个顶点，放上四台电脑，正方形的四条边和它的两条对角线，六条线中选3条，满足题意的种数为：全部方法减去不合题意的方法来解答. 【详解】解：画一个正方形和它的两条对角线，在这6条线段中，选3条的选法有3620C =种.当中，4个直角三角形不是连接方案，故不同的连接方案共有36420416C -=-=种.故答案为：16. 【点睛】连线、搭桥、几何体棱上爬行路程、正方体顶点构成四面体等，是同一性质问题，一般要用排除法. 15．已知复数z ＝11i+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 【答案】12【解析】分析：先化简复数z ＝11i+,再确定复数z 的实部. 详解：由题得z ＝11i +=(1)111(1)(1)222i i i i i --==-+-，所以复数z 的实部为12，故答案为12. 点睛：(1)本题主要考查复数的运算和复数的实部的概念，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的实部是a,虚部为b ，不是bi.16．已知函数3()log 5f x x x =+-的零点0(,1)x a a ∈+，则整数a 的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数单调性可知若存在零点则零点唯一，由零点存在定理可判断出零点所在区间，从而求得结果. 【详解】由题意知：()f x 在()0,∞+上单调递增()f x ∴若存在零点，则存在唯一一个零点又()313510f =+-=-<，()334log 445log 410f =+-=-> 由零点存在定理可知：()03,4x ∈，则3a = 本题正确结果：3 【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．求证 ：<【答案】证明见解析． 【解析】 试题分析：此题证明可用分析法，寻找结论成立的条件，由于不等式两边均为正，因此只要证22<，化简后再一次平方可寻找到没有根号，易知显然成立的式子，从而得证． 试题解析：<只需证明(22<展开得1020+< 即10,2125<< 因为2125<成立，所以(22<成立<【点睛】(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证. 18．已知函数()2()xf x e ax a R =-∈．（1）若()()1f xg x x =+有三个极值点123,,x x x ，求a 的取值范围； （2）若3()1f x ax ≥-+对任意[]0,1x ∈都恒成立的a 的最大值为μ，证明：2655μ<<． 【答案】（1）111,,22e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （2）见解析 【解析】试题分析：（1）若()()1f xg x x =+有三个极值点123,,x x x ，只需()20xh x e ax a =--=应有两个既不等于0也不等于1-的根；（2）()31f x ax ≥-+恒成立即()231xe a x x-≥-.变量分离，转化为函数最值问题.（1）()21x e ax g x x -=+，定义域为()(),11,-∞-⋃-+∞，()()()()()22211xx eax x e ax g x x --'-+=+ ()()221xx eax ax --=+，∵()00g '=，只需()20xh x e ax a =--=应有两个既不等于0也不等于1-的根，()xh x e a '=-， ①当0a ≤时，()0h x '>，∴()h x 单增，()0h x =最多只有一个实根，不满足；②当0a >时，()0xh x e a =-='⇒ 0ln xe a x a =⇒=，当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单增；∴()0h x 是()h x 的极小值，而x →+∞时，()2xh x e ax a =--→+∞，x →-∞时，()2xh x e ax a =--→+∞，要()0h x =有两根，只需()00h x <，由()00020xh x e ax a =--< ln ln 20a e a a a ⇒--<ln 0ln 10a a a a ⇒--<⇒--< 1ln 1a a e ⇒>-⇒>，又由()1001202h a a ≠⇒-≠⇒≠，反之，若1a e >且12a ≠时，则()110h a e-=-<，()0h x =的两根中，一个大于1-，另一个小于1-.在定义域中，连同0x =，()0g x '=共有三个相异实根，且在三根的左右，()g x '正负异号，它们是()g x 的三个极值点.综上，a 的取值范围为111,,22e ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）()321xf x ax e ax ≥-+⇔- ()32311xax e a x x≥-+⇔-≥-对[]0,1x ∀∈恒成立，①当0x =或1时，a R ∈均满足；②()231xe a x x -≥-对()0,1x ∀∈恒成立231x e a x x-⇔≤-对()0,1x ∀∈恒成立， 记()231x e u x x x -=-，()0,1x ∈，max 23min 1x e a x x μ⎛⎫-== ⎪-⎝⎭，()0,1x ∈， 欲证23min 261265555x e x x μ⎛⎫-<<⇐<< ⎪-⎝⎭， 而()23minmin1x e u x x x ⎛⎫-=< ⎪-⎝⎭)181248u ⎛⎫== ⎪⎝⎭-，只需证明)2613811520<⇐<331089 2.722520400e ⇐<⇐<=，显然成立. 下证：2323min1155x x e e x x x x ⎛⎫-->⇐> ⎪--⎝⎭，()0,1x ∈，23551x e x x >-+，()0,1x ∈， 先证：2311126xe x x x >+++，()0,1x ∈， 3211162x e x x x ⇐--->，()0,1x ∈.令()321162xv x e x x x =---，()0,1x ∈，()2112x v x e x x '=---，()1x v x e x '=--'，()1x v x e =''-'，∴()v x ''在()0,1上单增， ∴()()00v x v ''''>=，∴()v x '在()0,1上单增，∴()()00v x v ''>=，∴()v x 在()0,1上单增， ∴()()01v x v >=，即证.要证：23551x e x x >-+，()0,1x ∈.只需证232311155126x x x x x +++≥-+，()323190,1062x x x x ∈⇐-+≥32312760x x x ⇐-+≥ ()2312760x x x ⇐-+≥ 2312760x x ⇐-+≥，()0,1x ∈而2274316150∆=-⨯⨯=-<，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立.点睛：第一问函数有是三个极值点，即导函数有三个零点，研究导函数的单调性满足函数有3个零点．第二问较为复杂，将恒成立求参的问题转化为函数最值问题，分离变量，求出a 满足的表达式，再求这个表达式的范围．19．（1）已知()232z z z i i ++=-，求复数z ； （2）已知复数z 满足2z z-为纯虚数，且1z i -=，求复数z ． 【答案】（1）1-±；（2）2z i =或1z i =-+或1z i =+. 【解析】 【分析】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据复数的运算法则和复数相等得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z ；（2）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据2z z-为纯虚数和1z i -=列出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，可得出复数z . 【详解】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，由()232z z z i i ++=-，得()22232a bai i ++=-，根据复数相等得22322a b a ⎧+=⎨=-⎩，解得1a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩1z =-±；（2）设复数(),z a bi a b R =+∈， 则()()()222222222a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=-++ ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭， 由题意可得2220a a a b -=+，2220bb a b+≠+. ()11z i a b i -=+-=1=，所以有()()()2222222222202011a a b a b b a b a b a b ⎧+-⎪=+⎪⎪++⎪≠⎨+⎪⎪+-=⎪⎪⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩或11a b =±⎧⎨=⎩. 因此，2z i =或1z i =-+或1z i =+. 【点睛】本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.20．设椭圆M ： 22221(0)y x a b a b+=>>的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为1．（1）求椭圆M 的标准方程； （2）若直线2y x m =+交椭圆M 于A ， B 两点， ()1,P t （0t >）为椭圆M 上一点，求PAB ∆面积的最大值．【答案】（1）22142y x +=（2）()max 2PAB S ∆= 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率ca与双曲线的离心率2互为倒数，椭圆的长轴2a 为4及222a b c =+，求得,,a b c 的值，进而求得椭圆的方程；（Ⅱ）将直线2y x m =+与（Ⅰ）求得的椭圆方程联立，利用韦达定理和0∆>，利用弦长公式及点p 到直线AB 的距离，求得PAB ∆的面积，同时()22,22m ∈-，进而求得PAB ∆的面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）双曲线的离心率为（1分），则椭圆的离心率为（2分）， 2a=1， （3分）由⇒，故椭圆M 的方程为22142y x +=． （5分） （Ⅱ）由，得， （6分）由，得﹣2＜m ＜2∵，． （7分）∴=又P 到AB 的距离为． （10分）则， （12分）当且仅当取等号 （13分）∴． （11分）考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理；3.弦长公式. 21．设()|2||2|f x x x =-++ （1）解不等式()6f x ≥；（2）对任意的非零实数x ，有2()2f x m m ≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）33x x ≤-≥或 （2）12m -≤≤ 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围去绝对值符号，从而解出不等式．（2）2()2f x m m ≥-+恒成立等价于2min ()2f x m m ≥-+恒成立的问题即可解决．【详解】（1）()22f x x x =-++Q()6()226f x f x x x ∴≥⇒=-++≥令202,202x x x x -=⇒=+=⇒=-当2x -≤时()()2262263x x x x x -++≥⇒---+≥⇒≤-3x ∴≤-当2x ≥时()()2262263x x x x x -++≥⇒-++≥⇒≥3x ∴≥当22x -<<时()()22622646x x x x -++≥⇒--++≥⇒≥x φ∴∈综上所述33x x ≤-≥或（2）2()2f x m m ≥-+恒成立等价于2min ()2f x m m ≥-+()()()22224f x x x x x =-++≥--+=Q （当且仅当()()220x x -⋅+≤时取等）222min ()24220f x m m m m m m ∴≥-+⇒≥-+⇒--≤恒成立12m ∴-≤≤【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式以及恒成立的问题，在解绝对值不等式时首先考虑去绝对值符号．属于中等题． 22．在数列中，．（1）求的值；（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】（1）4，9，16；（2），证明见解析．【解析】 【分析】（1）根据数列递推关系，把分别代入，求出的值；（2）先假设时，成立，再证明时，猜想也成立.【详解】 （1）∵，，∴，故的值分别为；（2）由（1）猜想，用数学归纳法证明如下：①当时，，猜想显然成立；②设时，猜想成立，即，则当时，,即当时猜想也成立，由①②可知，猜想成立，即．【点睛】运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.。
大连市重点名校2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题含解析.docx
大连市重点名校2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数f(x)^ax-\nx在(1,十》)上是增函数，则实数口的取值范围是()A. B. (-00,1] C. (1, +co) D. [1, +oo)【答案】D【解析】【分析】由题意得r(x) = a-->0在(l,q)上恒成立，利用分离参数思想即可得出结果.X【详解】V f(x)-ax-lnx, :. /'(%) = a ,%又...函数f(x)^ax-\nx在(1,十》)上是增函数，f'(x) = a— 2 0 在(1, -K>o)恒成立，x即% e (1, +<x>)恒成立，可得a>l,x故选D.【点睛】本题主要考查了已知函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.2.在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是.A.100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B.1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C.在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D.在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有【答案】D【解析】独立性检验是判断两个分类变量是否有关；吸烟与患肺癌是两个分类变量，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关"的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的.指的是得出“吸烟与患肺癌有关”这个结论正确的概率超过99%,即作出“吸烟与患肺癌有关"这个结论犯错的概率不超过1%；不能作为判断吸烟人群中有多少人患肺癌，以及1个人吸烟，这个人患有肺癌的概率的依据.故选D3.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是A.210B. 336C. 84D. 343【答案】B【解析】【分析】由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果.【详解】由题意知本题需要分组解决，•.•对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C3IA72种，根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C3!A72=336种.故答案为：B.【点睛】分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到步骤完整--完成了所有步骤，恰好完成任务.4.如下图，在同一直角坐标系中表示直线y=ax与尸=乂+3,正确的是（）【答案】A【解析】【分析】由题意逐一考查所给的函数图像是否符合题意即可.【详解】逐一考查所给的函数图像：对于选项A, y = ax过坐标原点，则次0,直线y = x+a在y轴的截距应该小于零，题中图像符合题意;对于选项C, y = ax过坐标原点，则a>0,直线y = x + a在y轴的截距应该大于零，题中图像不合题意;y = 过坐标原点，直线y = x+a的倾斜角为锐角，题中BD选项中图像不合题意；本题选择A选项.【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，一次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知变量x，y之间的线性回归方程为y =-0.4%+ 7.6,且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是( )A.变量工,丫之间呈现负相关关系B.m的值等于5c.变量之间的相关系数尸= -0.4D.由表格数据知，该回归直线必过点(9,4)【答案】C【解析】分析：根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可.详解：对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系.线性回归方程为y = -0.4X + 7.6, b=-0.7<0,负相关.一一一1 / 、…对于B：根据表中数据：%=1.可得y=2.即—(6+/W + 3 + 2)= 4 ,解得：m=3.对于C：相关系数和斜率不是一回事，只有当样本点都落在直线上是才满足两者相等，这个题目显然不满足，故不正确. 对于D：由线性回归方程一定过G，亍)，即(1, 2).故选：C.点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题，对于回归方程，一定要注意隐含条件，样本中心满足回归方程，再者计算精准，正确理解题意，应用回归方程对总体进行估计.6.已知f(x) = |^2-cosx,/,(x)^/(x)的导函数，则的图象是( )【答案】A【解析】【分析】先求得函数f(x)的导函数/(%),再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】依题意/''(x) = x+sinx,令/[(x) = x + sinx,则万(x) = l + cosx.由于/''(0) = 0,故排除C选项.由于£(0)= 1+1 = 2>0,故/(%)在工=0处导数大于零，故排除B,D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题.7.如图，阴影部分的面积是( )【答案】C【解析】【分析】运用定积分的性质可以求出阴影部分的面积.【详解】设阴影部分的面积为S,则1 [11 Ds= f[(3-r)-2x]dx = (3x —— x3-.r)|'3 =(3——l)-[3x (-3) ——x (-3)3-(-3)2]=一.选C\ 3 1 3 3 3—j【点睛】考查了定积分在几何学上的应用，考查了数学运算能力.8.71 71 \3---- ，—|, sina =——，2 2J 5则cos (—a)的值为( )4433A.——B. 一C.-D.--5555【答案】B【解析】【分析】 利用同角三角函数的平方关系计算出COS a 的值，再利用诱导公式可得出cos (-6Z )的值.【详解】【点睛】 本题考查同角三角函数的平方关系，同时也考查了诱导公式的应用，在利用同角三角函数基本关系求值时, 先要确定角的象限，确定所求三角函数值的符号，再结合相应的公式进行计算，考查运算求解能力，属于 基础题.9. 为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图 (如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1： 2： 3,第2小组的频数为12,则抽取的学生总人数是() 频率 0.0375 0.012550 55 60 65 70 75 体宣【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知，第1,3组的频数为6,18,前3组的频率和为1—(0.0125 + 0.0375)x5 = 0.75,所以抽取的学生总人数为6 + 2 + 18=48,故选c.0.75考点：频率分布直方图与频数.10. 设函数f(x) = x(e x +ae~x )的导函数为f'(x),若f\x)是奇函数，则曲线y = f(x)在点(―1,/(一1))处切线的斜率为()A. --—B. -1C. eD. —2e【解析】Q tz e由诱导公式得cos(-«) =COS Ct =—,故选 B.2e 【答案】D【分析】先对函数求导，根据f(x)是奇函数，求出0,进而可得出曲线在点(-!,/(-!))处切线的斜率.【详解】由题意得，/''(x) = (x+l)e*+a(l —工)厂./"⑴是奇函数，.•./■'(0) = 0,即 1+0 = 0,解得« = -1, f (x)=(x+1)e x -(1 -x)e x ,则/(-I) = —2e,即曲线 y = _/(x)在点(-1”(-1))处切线的斜率为-2e.故选D.【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线斜率，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.11. 甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”,事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则P(A | B)等于( )4 2 11 A. — B. — C. — D.— 99 2 3【答案】C【解析】【分析】 这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出 结果.【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得,对应的基本事件有3x2x2 = 12种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3x2xl = 6种，所以61PlA J B)= — =故选 C. 12 2【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键. 12. f(x)^x 2-alnx 在(1,+<◎>上单调递增，则实数。
2019-2020学年辽宁省大连市数学高二(下)期末质量跟踪监视试题含解析
2019-2020学年辽宁省大连市数学高二(下)期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知线段AB 所在的直线与平面α相交于点B ，且与平面α所成的角为30°，AB =，C ，D 为平面α内的两个动点，且1BC =，30BAD ∠=︒，则C ，D 两点间的最小距离为（ ） A．1B ．1 CD1 【答案】D【解析】【分析】过A 作AO ⊥面α，垂足为O ，连结BO ，得到C 点的运动轨迹，以O 为原点，建立空间直角坐标系，在ADB ∆中，利用余弦定理得到动点D 的轨迹方程，从而得到B 、D 两点间距离的最小值，再得到C ，D 两点间的最小距离.【详解】如图，过A 作AO ⊥面α，垂足为O ，连结BO ， 根据题意，因为1BC =，所以C 在以B 为圆心，1为半径的圆上运动；以O 为原点与OB 垂直的方向为x 轴，以OB 为y 轴，以OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0O，(00A ,，()0,3,0B ，因为D 为平面α内动点，所以设(),,0D x y在ADB ∆中，根据余弦定理可得222cos 2AD BD AB ADB AD BD+-∠=⋅ 即22223123cos30x y x y +++---︒=整理得2112y x =+， 平面α内，D 点在曲线2112y x =+上运动， 所以()2223BD x y =+-247y y =-+，()1y ≥所以当2y =时，2min 3BD =，即minBD =所以C ，D 1.故选：D.【点睛】本题考查圆上的点到曲线上点的距离的最值，考查求动点的轨迹方程，余弦定理解三角形，属于中档题. 2．已知随机变量Z 服从正态分布N （0，2σ ）,若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=A ．0.477B ．0.625C ．0.954D ．0.977【答案】C【解析】 因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以, 所以0.954,故选C. 【命题意图】本题考查正态分布的基础知识,掌握其基础知识是解答好本题的关键.3．已知函数()f x 在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，命题p ：总存在(,)c a b ∈，有()0f c =；命题q ：若函数()f x 在区间(,)a b 上有()(0)f a f b <，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要 【答案】C【解析】【分析】利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断.【详解】命题p 推不出命题q ，所以充分性不具备；比如：()2f x x =，区间为[]3,2-，满足命题p ，但()()320f f -＞， 根据零点存在性定理可知，命题q 能推出命题p ，所以必要性具备；故选：C【点睛】本题考查充分必要条件，考查零点存在性定理，属于基础题.4．函数32()3f x x x m =-+在区间[]1,1-上的最大值是2，则常数m =（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．4【答案】C【解析】分析：求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是0f m =（），则m 值可求． 详解：32f x x x '=-（）（），令0f x '（）＞，解得：2x ＞或0x ＜， 令0f x '（）＜，解得：02x ＜＜， ∴()f x 在[10-，）递增，在[]01，递减，02max f x f m ∴===（）（） ， 故答案为：2点睛：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了导数的综合应用，属于基础题．5．目前，国内很多评价机构经过反复调研论证，研制出“增值评价”方式。
大连市名校2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题含解析
大连市名校2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．大学生小红与另外3名大学生一起分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小红恰好分配到甲村小学的方法数为（ ） A ．3 B ．18 C ．12 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地. 【详解】大学生小红与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教， 每个村小学至少分配1名大学生，分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.小红恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数32233212m A C A =+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =（ ） A ．e - B ．eC ．2D ．-2【答案】D 【解析】试题分析：题中的条件()2(1)ln f x xf x +'=乍一看不知如何下手，但只要明确了是一个常数，问题就很容易解决了．对()f x 进行求导：()f x '=，所以(1)f '=，(1)f '=-1.考点：本题考查导数的基本概念及求导公式．点评：在做本题时，遇到的主要问题是①想不到对函数()f x 进行求导；②的导数不知道是什么．实际上是一个常数，常数的导数是0.3．设函数f （x ），g （x ）在[A ，B]上均可导，且f′（x ）＜g′（x ），则当A ＜x ＜B 时，有（） A ．f （x ）＞g （x ）B ．f （x ）+g （A ）＜g （x ）+f （A ）C ．f （x ）＜g （x ）D ．f （x ）+g （B ）＜g （x ）+f （B ） 【答案】B试题分析：设F （x ）=f （x ）-g （x ）， ∵在[A ，B]上f'（x ）＜g'（x ）， F ′（x ）=f ′（x ）-g ′（x ）＜0， ∴F （x ）在给定的区间[A ，B]上是减函数． ∴当x ＞A 时，F （x ）＜F （A ）， 即f （x ）-g （x ）＜f （A ）-g （A ） 即f （x ）+g （A ）＜g （x ）+f （A ） 考点：利用导数研究函数的单调性 4．在()nx x+的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21 B ．63C ．189D ．729【答案】C 【解析】分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意41282n n =，解得7n =，∴3772177()3rr r r r rr T C x C x x --+==，令3742r -=，解得2r ，∴4x 的系数为2273189C =．故选C ．点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r rr n T a b -+=．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43B ．53C ．73D ．52【答案】A 【解析】该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，分别求出体积即可. 【详解】该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，底面三角形的面积为12112S =⨯⨯=，三棱柱和三棱锥的高为1，则三棱柱的体积1111V =⨯=，三棱锥的体积为2111133V =⨯⨯=，故该几何体的体积为14133V =+=. 故选A. 【点睛】本题考查了空间组合体的三视图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.6．已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D 【解析】试题分析：由2(1)1i i z-=+，得2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i --====--+++-，故选D. 考点：复数的运算.7．命题p ：00,10x R x ∃∈-≤的否定p ⌝为（ ） A ．,10x R x ∀∈-≤ B ．00,10x R x ∃∈-> C ．,10x R x ∀∈-> D ．00,10x R x ∃∈-<【答案】C 【解析】分析：由题意，对特称命题进行否定即可确定p ⌝. 详解：特称命题的否定为全称命题，结合题中命题可知： 命题p ：00,10x R x ∃∈-≤的否定p ⌝为,10x R x ∀∈->. 本题选择C 选项.点睛：对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．8．已知两条不同直线a 、b ，两个不同平面α、β，有如下命题： ①若//a α，b α⊂ ，则//a b ； ②若//a α，//b α，则//a b ；③若//αβ，a α⊂，则//a β； ④若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b 以上命题正确的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案． 【详解】①若a ∥α，b ⊂α，则a 与b 平行或异面，故①错误；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ，则a 与b 平行，相交或异面，故②错误； ③若//αβ，a ⊂α，则a 与β没有公共点，即a ∥β，故③正确； ④若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 无公共点，∴平行或异面，故④错误． ∴正确的个数为1． 故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，涉及到线面、面面平行的判定与性质定理，是基础题．9．直线1y x =+被椭圆2248x y +=截得的弦长是( )A ．5B C D ．2【答案】A 【解析】 【分析】直线y ＝x+1代入2248x y +=，得出关于x 的二次方程，求出交点坐标，即可求出弦长． 【详解】将直线y ＝x+1代入2248x y +=，可得()22418x x ++=，即5x 2+8x ﹣4＝0，∴x 1＝﹣2，x 225=， ∴y 1＝﹣1，y 275=，∴直线y ＝x+1被椭圆x 2+4y 2＝8=5故选A ． 【点睛】本题查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题．10．若函数 ()2ln 2f x x ax =+- 在区间 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，则实数 a 的取值范围是( )A ．(],2-∞-B ．()2,-+∞C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，问题转化为a ＞-212x ，而g （x ）=﹣212x在（12，2）递增，求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可． 【详解】 f′（x ）=1x+2ax ， 若f （x ）在区间（12，2）内存在单调递增区间， 则f′（x ）＞0在x ∈（12，2）有解，故a ＞-212xmin ， 而g （x ）=﹣212x在（12，2）递增， g （x ）＞g （12）=﹣2，故a ＞﹣2， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数有解以及函数的最值的求法，可以用变量分离的方法求参数的范围，也考查转化思想以及计算能力．11．若关于x 的不等式2k x x >-恰好有4个整数解，则实数k 的范围为（ ） A ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．23,55⎛⎤⎥⎝⎦C ．32,53⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，0＜k ＜1，结合函数 y ＝k|x|与 y ＝﹣|x ﹣2|的图象可得4个整数解是2，3，4，5，由2y kx y x =⎧⎨=-⎩⇒x (]2561k =∈-，，即可得35＜k 23≤. 【详解】解：依题意可得，0＜k ＜1，函数 y ＝k|x|与 y ＝﹣|x ﹣2|的图象如下，由0＜k ＜1，可得x A ＞1，∴关于x 的不等式k|x|﹣|x ﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，由2y kx y x =⎧⎨=-⎩⇒x B (]2561k =∈-，，故35＜k 23≤；故选：C 【点睛】本题主要考查根据含参绝对值不等式的整数解的个数，求参数范围问题，着重考查了数形结合思想，属于中档题．12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率e=2,圆A 的圆心是抛物线218y x =的焦点，且截双曲线C 的渐近线所得的弦长为2，则圆A 的方程为 A ．22165()3264x y +-= B ．22165()3264x y ++= C ．22(2)2x y +-= D ．22(2)4x y +-=【答案】C 【解析】 【分析】运用离心率公式和基本量,,a b c 的关系可得,a b 的关系，即可得到双曲线的渐近线的方程，求得抛物线的焦点坐标，可得A 点的坐标，求得A 到渐近线的距离，结合弦长公式，可得半径为r ，进而得到所求圆的方程. 【详解】由题意2ce a==，即222,3c a b c a a ==-=， 可得双曲线的渐近线方程为by x a=±，即为3y x =，圆A 的圆心是抛物线218y x =的焦点，可得(0,2)A ， 圆A 截双曲线C 的渐近线所得的弦长为2，由圆心到直线y =的距离为1d ==，可得2=，解得r =22(2)2x y +-=，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的方程和几何性质的应用，其中解答中涉及到双曲线的离心率的求法，圆的标准方程的求法，以及运用点到直线的距离公式和圆的弦长公式等知识点的综合应用，着重考查了推理与运算能力.二、填空题：本题共4小题13．81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中21x 的系数为______. 【答案】56 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果. 【详解】81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为8218r rr T C x -+=. 令822r -=-，解得5r =，故其系数为5856C =.故答案为：56. 【点睛】本题考查利用二项式通项公式求指定项系数，属基础题.14．由曲线2y x =与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的面积为__________． 【答案】12ln 22-【解析】 【分析】转化为定积分求解. 【详解】 如图：,曲线2y x=与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的为曲边形ABC , 因为ABC ABCD ACD S S S =- , 曲线2y x =与直线1y =x -及1x=的交点分别为(1,2)，(2,1) 且212ABCDS dx x =⎰，21(1)ACD S x dx =-⎰， 所以，()22222111121(1)2ln 2ABCS dx x dx x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰()221112ln 22ln122112ln 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由曲线2y x =与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的面积为12ln 22-. 【点睛】本题考查定积分的意义及计算.15．若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________． 【答案】3-. 【解析】分析：先结合三次函数图象确定在(0,)+∞上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由()2620f x x ax '=-=得0,3ax x ==，因为函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033aa f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，因此322()()10, 3.33a a a a -+==从而函数()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以()max ()0,f x f ={}min ()min (1),(1)(1)f x f f f =-=-，max min ()()f x f x +=()0+(1)14 3.f f -=-=-点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 16．在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）【答案】1 【解析】 【分析】通过二项式定理通项公式即可得到答案. 【详解】 解：在的展开式中，通项公式为T r+1•（﹣2）r •36﹣r •x 6﹣2r ，令6﹣2r ＝2，求得r ＝2，可得x 2的系数为•4•34＝1，故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
大连市名校2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题含解析
大连市名校2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且以2为周期，当[0,1)x ∈时，()31x f x =-，则13(log 12)f 的值为（） A ．13- B ．13C ．53-D ．53【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得：1334(log 12)(log )3f f =-，代入()f x 中计算即可得到答案。
【详解】 由于133(log 12)(log 12)f f =-；因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且以2为周期； 所以33334(log 12)=(log 12)(log 122)(log )3f f f f --=--=-又因为340log 13<<，所以34log 3133441(log 12)(log )=(31)(1)333f f =---=--=-；故答案选A 【点睛】本题主要考查函数的有关性质，奇偶性、周期性，以及对数的有关运算，属于基础题。
2．设函数()()21sin sin sin ,44xx f x x x x g x ae ππ-⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()()()1212,0,,x R x f x g x ∀∈∃∈+∞<，则正数a 的取值范围为（ ） A ．()0,e B ．(),e +∞C ．()30,e-D ．()3,e -+∞【答案】C 【解析】分析：先求出()f x 最大值，再求出()g x 的最大值，从而化恒成立问题为最值问题. 详解：()1sin sin sin sin sin cos sin sin 2444422f x x x x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()23111sin cos 2sin 12sin sin sin 222x x x x x x =-=--=-令[]sin ,1,1t x t =∈-，()312f t t t ∴=-()2132f t t -'=，令()0f t '>，解得1,66⎡⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦，∴()f t 在1,6⎡⎫--⎪⎢⎪⎣⎭、6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦单调递增，在66⎛- ⎝⎭单调递减，又()112f f ⎛== ⎝⎭， ()max 12f t ∴=又()()()22221232x xxxae x ae xg x ae ae ---=='， 当0a >时，令()'0g x >，解得302x <<， ()g x ∴在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.()3max 3122g x g ae⎛⎫∴== ⎪⎝⎭；当0a <时，()g x 无最大值，即不符合； 故有31122ae<，解得3a e -<，故30a e -<<. 故选：C.点睛：本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了恒成立问题与最值问题的应用. 3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意12,[0,)x x ∈+∞，12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，且对于任意的[1,3]t ∈，都有2()(2)0f mt t f m -+>恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A ．13m <B ．311m <C ．4m <D ．103m <<【答案】B 【解析】 【分析】由()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦可判断函数为减函数，将2()(2)0f mt t f m -+>变形为2()(2)(2)f mt t f m f m ->-=-，再将函数转化成恒成立问题即可【详解】()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦Q ，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴为R 上减函数，故2()(2)0f mt t f m -+>可变形为2()(2)(2)f mt t f m f m ->-=-，即2()(2)f mt t f m ->-，根据函数在R 上为减函数可得22mt t m -<-，整理后得2212t m t t t+<=+，2y t t=+在t ∈为减函数，t ∈为增函数，所以112y t t=+在t ∈为增函数，t ∈为减函数 2212t m t t t +<=+在[1,3]t ∈恒成立，即1min m y <，当3t =时，1y 有最小值311所以311m <答案选B 【点睛】奇偶性与增减性结合考查函数性质的题型重在根据性质转化函数，学会去“f ”；本题还涉及恒成立问题，一般通过分离参数，处理函数在某一区间恒成立问题 4．若0a <b <，则下列不等式中成立的是（ ） A ．|a|>b - B ．1ab< C<D ．11a b< 【答案】A 【解析】 【分析】对于A ，用不等式的性质可以论证，对于B ，C ，D ，列举反例，可以判断． 【详解】∵a ＜0，∴|a|＝﹣a ，∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a|＞﹣b ，故结论A 成立； 取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则 ∵21ab=＞，∴B 不正确；1==C 不正确；112a =-，11b =-，∴11a b＞，∴D 不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例． 5．已知定义域为正整数集的函数()f x 满足()()()()1,11f x y f x f y f +=++=，则数列()()(){}()11*nf n f n n N -+∈的前99项和为（ ）A ．19799-B ．19797-C ．19795-D ．19793-【答案】A 【解析】分析：通过()()()()1,11f x y f x f y f +=++=求出()f n ，再利用等差数列的求和公式即可求得答案. 详解：()()()()1,11f x y f x f y f +=++= 当1x y ==时，有()()()21113f f f =++=； 当2,1x y ==时，有()()()32115f f f =++=； 当2,2x y ==时，有()()()42217f f f =++=； …..()21f n n ∴=-.()()()()()()1112121nnf n f n n n ∴-+=--+，9913355779......193195195197197199S ∴=-⋅+⋅-⋅+⋅--⋅+⋅-⋅()()()13355779......193195195197197199=-⋅+⋅+-⋅+⋅++-⋅+⋅-⋅ 3474...1954197199=⋅+⋅++⋅-⋅()437...195197199=⋅+++-⋅()49319541971992+=⋅-⋅19799=-.故答案为：A.点睛：本题主要考查了数列求和以及通项公式的求法，考查计算能力与分析能力，属于中档题. 6．定义在R 上的函数1()()12x mf x -=-为偶函数，记0.52(log 2),(log 1.5)a f b f ==，()c f m =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．a b c << D ．c b a <<【答案】C 【解析】分析：根据f （x ）为偶函数便可求出m=0，从而f （x ）=1()12x-，这样便知道f （x ）在[0，+∞）上单调递减，根据f （x ）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：0.5(|log 2|)a f =，()2log 1.5b f =，()0c f =，然后再比较自变量的值，根据f （x ）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a ，b ，c 的大小．详解：∵f （x ）为偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ）.∴11()1()122x mx m----=-，∴|﹣x ﹣m|=|x ﹣m|，∴（﹣x ﹣m ）2=（x ﹣m ）2， ∴mx=0， ∴m=0. ∴f （x ）=1()12x-∴f （x ）在[0，+∞）上单调递减，并且0.5(|log 2|)a f ==2(log 2)(1)f f =,()2log 1.5b f = ,c=f （0）,∵0＜log 21.5＜1 ∴a b c <<,故答案为C点睛：（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是分析出函数f （x ）=1()12x-的单调性，此处利用了复合函数的单调性，当x>0时，u x =是增函数，1()2u v =是减函数，1t v =-是增函数，所以函数1()()12xf x =-是(0,)+∞上的减函数.7．在△ABC 中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC 的长为（ ）A B C ．3D 【答案】D 【解析】 【分析】在ABC ∆中，由,AB AC ，以及cos A 的值，利用余弦定理，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC ∆中，由2,3,60AB AC A ===o，由余弦定理可得2222cos 4967BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-=，则BC = D.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及余弦定理是解答特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握余弦定理是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 8．若复数2(1iz i i=-是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【解析】 【分析】根据复数除法运算法则可化简复数得1z i =-+，由共轭复数定义可得结果. 【详解】()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+Q 1z i ∴=-- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算法则化简复数，属于基础题.9．已知集合={22|}A x x x -≤，{|1B x x =＜－或3}x ＞，则A B =U （ ） A ．RB ．()4-∞，C ．()431⎡⎫∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭-，-，D ．()()13∞⋃+∞－，－， 【答案】C 【解析】 【分析】首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案. 【详解】根据题意得，2|2|x x -≤等价于()222|2|,0x x x -≤≥，解得443x ≤≤， 于是()431A B ⎡⎫=∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭U -，-，，故答案为C. 【点睛】本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.10．设X 为随机变量，1(,)3X B n :，若随机变量X 的数学期望()2E X =，则(2)P X =等于（ ）A ．80243B ．13243C ．4243D ．1316【答案】A 【解析】 【分析】根据()2E X =解得6n =，所以22461180(2)()(1)33243P X C ==⨯⨯-=.因为1()23E X n==，得6n=，即1(6,)3X B:.所以22461180(2)()(1)33243P X C==⨯⨯-=.故选A【点睛】本题主要考查二项分布，同时考查了数学期望，熟记公式是解题的关键，属于简单题.11．2222(sin4)x x x dx-++-=⎰（）A．163＋2πB．163＋4πC．223＋2πD．223＋4π【答案】A【解析】【分析】根据题意，先利用定积分性质可得，222222222222(sin4)sin4x x x dx x dx xdx x dx----++-=++-⎰⎰⎰⎰，然后利用微积分基本定理计算22222,sinx dx xdx--⎰⎰，利用定积分的几何意义计算2224x dx--⎰，即可求出答案。
2019-2020学年辽宁省大连市数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析
2019-2020学年辽宁省大连市数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是( )A．420B．210C．70D．35【答案】A【解析】【分析】将不同的染色方案分为：AC相同和AC不同两种情况，相加得到答案.【详解】按照SABCD的顺序：⨯⨯⨯⨯=当AC相同时：染色方案为54313180⨯⨯⨯⨯=当AC不同时：染色方案为54322240不同的染色方案为：420种故答案为A【点睛】本题考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分为AC相同和AC不同两种情况是解题的关键.2．若函数没有零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】将问题转化为曲线与直线没有交点，并将函数表示为分段函数的形式，并作出该函数的图象，分析直线的斜率与函数图象每段折线的斜率的大小关系，结合图象得出实数的取值范围。
【详解】因为函数没有零点，所以方程无实根， 即函数与的图像无交点， 如图所示，则的斜率应满足，故选：A 。
【点睛】本题考查绝对值函数的零点个数问题，解本题需注意： （1）零点个数问题转化为两个函数的公共点的个数问题； （2）含绝对值的函数一般利用零点分段法表示为分段函数。
3．已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的的对边，若cos cA b<，则ABC ∆的形状为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理可得sin sin cos A C B <利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin()sin cos A B B A +<整理可得sin cos sin cos sin cos A B B A B A +<从而有sin cos 0A B <结合三角形的性质可求 【详解】 解：A 是ABC ∆的一个内角，0A π<<，sin 0cos A cA b∴>< 由正弦定理可得，sin sin cos C B A <sin()sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0A B B AA B B A B A A B ∴+<∴+<∴< 又sin 0A >，cos 0B ∴<，即B 为钝角，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．4．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（ ） A ．大前提错误 B ．推理形式错误C ．小前提错误D ．非以上错误【答案】B 【解析】 【分析】根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误. 【详解】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比， 所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误. 本题正确选项：B 【点睛】本题考查三段论推理形式的判断，关键是明确大小前提的具体要求，属于基础题.5．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2）【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质,求出函数()0f x <在(－∞，0]上的解集,再根据对称性即可得出答案. 【详解】由函数()f x 为偶函数,所以()()220f f -==,又因为函数()f x 在(－∞，0]是减函数,所以函数()0f x <在(－∞，0]上的解集为(]2,0-,由偶函数的性质图像关于y 轴对称,可得在(0,+ ∞)上()0f x <的解集为(0,2),综上可得,() 0f x <的解集为(-2,2).故选:D. 【点睛】本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.6．已知,αβ为两个不同平面，l 为直线且l β⊥，则“αβ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】当αβ⊥时，若l α⊂，则推不出//l α；反之//l α可得αβ⊥，根据充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得到答案． 【详解】当αβ⊥时，若l α⊂且l β⊥，则推不出//l α，故充分性不成立； 当//l α时，可过直线l 作平面γ与平面α交于m ，根据线面平行的性质定理可得//l m ，又l β⊥，所以m β⊥， 又m α⊂，所以αβ⊥，故必要性成立， 所以“αβ⊥”是“//l α”的必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，关键是掌握充分条件和必要条件的定义，判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ． 7．设复数z 满足|1|z i i =-+（i 为虚数单位），则复数z =（ ）A iB iC ．1D ．12i --【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的代数形式的乘除运算化简，求出数复数z ，即可得到答案. 【详解】复数z 满足|1|z i i =-+，则z i =，所以复数z i =.故选：A. 【点睛】本题考查复数的模、共轭复数的概念，考查运算求解能力.8．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 A ．25B ．35C ．12D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据题目可知，分别求出男生甲被选中的概率和男生甲女生乙同时被选中的概率，根据条件概率的公式，即可求解出结果． 【详解】由题意知，设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则2536101()202C P A C ===，14361()5C P AB C ==，所以()2()()5P AB P B A P A ==，故答案选A ． 【点睛】本题主要考查了求条件概率方法：利用定义计算()()()P AB P B A P A =，特别要注意()P AB 的求法． 9．某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A ．720种 B ．600种C ．360种D ．300种【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有551602A ⨯=种情况， ② 5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况， 则有60×5＝300种不同的顺序， 故选D ． 【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．10．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（ ） A ．1818A 种 B ．2020A 种C ．231031810A A A 种D ．218218A A 种【答案】D 【解析】 【详解】先排美国人和俄国人，方法数有22A 种，剩下18人任意排有1818A 种，故共有218218A A ⋅种不同的站法.11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i + D ．2i -【答案】A 【解析】 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .12．已知随机变量8X ξ+=，若()~10,0.6X B ，则()E ξ，()D ξ分别为（ ） A ．6和2.4 B ．6和5.6C ．2和2.4D ．2和5.6【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的数学期望和方差公式求出()E X 和()D X ，然后利用期望和方差的性质可求出()E ξ和()D ξ的值.【详解】()~10,0.6X B ，()100.66E X ∴=⨯=，()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=.8X ξ+=，8X ξ∴=-，由期望和方差的性质可得()()()882E E X E X ξ=-=-=，()()()8 2.4D D X D X ξ=-==.故选：C. 【点睛】本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用． 二、填空题：本题共4小题 13．直线与圆交于两点，则________．【答案】【解析】 【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长. 【详解】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果. 14．已知向量,a b 满足1,1a a b =⋅=-，则()2a a b ⋅-=______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用平面向量得数量积运算，则()222a a b a a b •-=-•，将1,1a a b =⋅=-，带入即可出答案【详解】()222213a a b a a b •-=-•=+=【点睛】本题考察平面向量数量积得基本运算15．已知函数f(x)＝,0(1),0x e k x k x k x ⎧-≤⎨-+>⎩是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．【答案】1[,1)2【解析】 由题意可知010112k k e k k ->⎧∴≤<⎨-≤⎩，故答案为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 16．一根木棍长为4m ，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度有一段大于3m 的概率为______． 【答案】12【解析】 【分析】试验的全部区域长度为4，基本事件的区域长度为2，代入几何概型概率公式即可得结果． 【详解】设“长为4m 的木棍”对应区间[]0,4，“锯成的两段木棍的长度有一段大于3m ”为事件A ， 则满足A 的区间为()0,1或()3,4， 根据几何概率的计算公式可得，()2142P A ==． 故答案为12． 【点睛】本题主要考查几何概型等基础知识，属于中档题． 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年大连市名校数学高二下期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年大连市名校数学高二下期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i是虚数单位，则复数242izi-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 【详解】解：∵()()()()242232424242105i iiz ii i i---===-++-，∴32105z i =+，∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限．故选：A．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i abcd R. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi ab R+∈的实部为a、虚部为b(,)a b、共轭为.-a bi2．6名学生站成一排,若学生甲不站两端,则不同站法共有( )A．240种B．360种C．480种D．720种【答案】C【解析】【分析】先选2人（除甲外）排在两端，其余的4人任意排，问题得以解决．【详解】先选2人(除甲外)排在两端,其余的4人任意排,故2454480A A⋅=种，故选：C.【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，常用的方法有元素优先法、插空法、捆绑法、分组法等，此题考查元素优先法，属于简单题.3．对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体（）A ．各正三角形内的点B ．各正三角形的中心C ．各正三角形某高线上的点D ．各正三角形各边的中点 【答案】B【解析】四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，故选择B. 4．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若(1)0.2P ξ>=，则(11)P ξ-≤≤=（ ） A ．0.4 B ．0.8C ．0.6D ．0.3【答案】C 【解析】分析：根据随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，得到正态曲线关于0x =对称，根据(1)0.2P ξ>=，得到对称区间上的概率，从而可求()11P ξ-≤≤． 详解：由随机变量ξ服从正态分布()20,N σ可知正态密度曲线关于y 轴对称，而(1)0.2P ξ>=，则10.2Pξ-=（＜）， 故111110.6PP P （）（＞）（＜）ξξξ-≤≤=---= ， 故选：C ．点睛：本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解． 5．准线为34y =-的抛物线标准方程是（ ） A ．23x y = B ．232y x =-C ．23x y =D ．232x y =-【答案】A 【解析】 准线为34y =-的抛物线标准方程是23x y =，选A. 6．已知A(2，－5, 1)，B(2，－4，2)，C(1，－4, 1)，则AB 与AC 的夹角为（ ） A ．30° B ．60°C ．45°D ．90°【答案】B 【解析】分析：由题意可得，()()0,1,1,1,0,1AB AC ==-，进而得到AB AC ⋅与AB AC ⋅，再由cos AB AC AB AC AB AC⋅⋅=⋅，可得结论.详解：()()()2,5,1,2,4,2,1,4,1A B C ---，()()0,1,1,1,1,0AB AC ∴==-， ()0111101AB AC ∴⋅=⨯-+⨯+⨯=，并且2,2AB AC ==，1cos 22AB AC AB AC AB AC⋅∴⋅===⋅，AB ∴与AC 的夹角为60，故选B.点睛：本题主要考查空间向量夹角余弦公式，属于中档题.解决此类问题的关键是熟练掌握由空间点的坐标写出向量的坐标与向量求模.7．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ． 【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．8．已知412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为5，则0⎰＝（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B 【解析】 【分析】通过展开式中3x 项的系数为5列方程，解方程求得a 的值.利用几何法求得定积分的值. 【详解】()4121x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭展开式中3x 项为()()()243234412x C x x aC x x ⋅-+-+- 即()3134a x -，条件知1345a -=，则2a =；于是=被积函数y =图像，0,2x x x ==轴，围成的图形是以()20，为圆心，以2为半径的圆的14，利用定积分的几何意义可得20124ππ=⨯⨯=，选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查几何法计算定积分，属于中档题.9．若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形【答案】C 【解析】试题分析：因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为()0,0AB AD AC DB AC -⋅=∴⋅=,所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形.考点：向量在证明菱形当中的应用.点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.10．已知函数，满足且，，则当时，有（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 设，求出直线AB 的方程，根据的开口方向可得到与直线AB 的大小关系，从而得到答案. 【详解】 设，则直线AB 的方程为，即A,B 为直线与的图像的两个交点，由于图像开口向上，所以当时，，即，故选A.【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的关系，求出AB 直线是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力及计算能力，难度中等.11．关于函数sin 2sin 2y x x =+，下列说法正确的是( ) A ．是周期函数，周期为π B ．关于直线4πx =-对称 C ．在[,0]4π-上是单调递减的D ．在7[,]36ππ-3【答案】C 【解析】分析：利用正弦函数的图象与性质，逐一判定，即可得到答案． 详解：令()sin 2sin 2y f x x x ==+，对于A 中，因为函数sin 2y x =不是周期函数，所以函数sin 2sin 2y x x =+不是周期函数，所以是错误的；对于B 中，因为3442πππ-+=，所以点(,0)4π-与点3(,0)4π关于直线4x π=对称， 又3()112,()11044f f ππ-=+==-+=，所以3()()44f f ππ-≠， 所以sin 2sin 2y x x =+的图象不关于4x π=对称，所以是错误的；对于C 中，当[,0]4x π∈-时，sin 2sin 2sin 2sin 22sin 2y x x x x x =+=--=-，当[,0]4x π∈-时，函数()2sin 2f x x =-为单调递减函数，所以是正确的；对于D 中，7[,]36x ππ∈-时，()11234f π-=+=>，所以是错误的， 综上可知，正确的为选项C ，故选C ．点睛：本题主要考查了正弦函数的对称性、周期性、单调性及其函数的最值问题，其中熟记正弦函数的图象与性质，合理运算是解答此类问题的关键，着重考查了综合分析与应用能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题． 12．函数在区间上的最大值为（ ）. A ．17 B ．12C ．32D ．24【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，求出函数的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数的最大值。
2019-2020学年辽宁省大连市数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析
2019-2020学年辽宁省大连市数学高二(下)期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得 “吸烟与患肺癌有关”的结论,并且有99%以上的把握认为这个结论是成立 的,则下列说法中正确的是.A ．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B ．1个人吸烟,那么这人有99%的概率患有肺癌C ．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D ．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有2．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（ ） A ．250个B ．249个C ．48个D ．24个3．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA ．3144AB AC -u u uv u u u vB ．1344AB AC -u u uv u u u vC ．3144+AB AC u u uv u u u vD ．1344+AB AC u u uv u u u v4．设双曲线C ：2221(0)3y x a a-=>的一个顶点坐标为（2，0），则双曲线C 的方程是（ ） A ．221163y x -= B ．221123y x -= C ．22183y x -=D ．22143x y -= 5．若d r =（4，2，3）是直线l 的方向向量，n r=（-1，3，0）是平面α的法向量，则直线l 与平面α的位置关系是 A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．相交但不垂直6．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B C D7．已知函数()32f x x ax bx c =+++，那么下列结论中错误的是（ ） A ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减 B ．函数()y f x =的图像可以是中心对称图形 C ．0x R ∃∈，使()00f x =D ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=8．已知函数()(]()ln ,0,11,1,x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()2f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．ln21-9．若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()f x f x '>成立，则（ ） A ．3(5)5(3)f ln f ln > B ．3(5)5(3)f ln f ln = C ．3(5)5(3)f ln f ln <D ．3(5)f ln 与5(3)f ln 的大小不确定10．若关于x 的不等式2ln 0ax x x --≥恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(1,)+∞ B ．[)1,+∞C ．(,)e +∞D ．[),e +∞11．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则12233201920192019201920192019...C x C x C x C x++++=（ ） A ．i B ．i - C ．1i -+D ．1i --12．已知，，则有( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若对甲、乙、丙3组不同的数据作线性相关性检验，得到这3组数据的线性相关系数依次为0.83,0.72，-0.90，则线性相关程度最强的一组是_______.（填甲、乙、丙中的一个）14．正方体1111A B C D ABCD -3P 是正方体表面上任意一点，集合{|2}P PA Ω=≤，满足Ω的点P 在正方体表面覆盖的面积为_________；15．曲线()ln f x x x =在x e =（其中e 为自然对数的底数）处的切线方程为______． 16．对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数21()4f x x a x=++，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值范围是 ____________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设不等式()()0x y x y +-<表示的平面区别为D ．区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ．过点()22,0F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（1）求曲线C 的方程；（1）若l 垂直于x 轴，Q 为曲线C 上一点，求QA QB ⋅u u u v u u u v的取值范围； （3）若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132a =，2(1)1n n S n a =++（2n ≥）． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21(1)n nb a =+（*n N ∈），数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3350nT <（*n ∈N ）． 19．（6分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）记的最小值为，若正实数，，满足，求证：.20．（6分）甲、乙两班进行“一带一路”知识竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求2ξ=的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.21．（6分）设命题P ：对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，命题:q 存在[1,1]x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立.（1）若P 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.22．（8分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 12345违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数少与月份x 之间的回归直线方程yb ˆˆˆx a =+； （2）预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下2×2列联表：不礼让斑马线礼让斑马线合计驾龄不超过1年22 8 30 驾龄1年以上8 12 20 合计30 20 50 能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？参考公式：()()()n ni i i ii1i1n n222i ii1i1x y nxy?x x y ybx nx?x xˆ====---==--∑∑∑∑，ˆa y bxˆ=-.()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++（其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．D【解析】独立性检验是判断两个分类变量是否有关；吸烟与患肺癌是两个分类变量，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有以上的把握认为这个结论是成立的．指的是得出“吸烟与患肺癌有关”这个结论正确的概率超过99％，即作出“吸烟与患肺癌有关”这个结论犯错的概率不超过1％；不能作为判断吸烟人群中有多少人患肺癌，以及1个人吸烟，这个人患有肺癌的概率的依据．故选D 2．C【解析】先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其它三个数位上课从剩余的4个数任选4个全排，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类计数原理可得满足题设条件的四位数共有3344243248A A+=⨯⨯⨯=个，应选答案C。
大连市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
大连市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．定义在(1,)+∞ 上的函数f x （）满足下列两个条件：（1）对任意的(1,)x ∈+∞ 恒有22f x f x =（）（） 成立；（2）当(1,2]x ∈ 时，2f x x =-（） ；记函数()()(1)g x f x k x =-- ，若函数()g x 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[1,2) B ．[1,2]C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f （x ）＝﹣x+2b ，x ∈（b ，2b]，又因为f （x ）＝k （x ﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可 【详解】因为对任意的x ∈（1，+∞）恒有f （2x ）＝2f （x ）成立， 且当x ∈（1，2]时，f （x ）＝2﹣x ；f （x ）＝2（22x-）=4﹣x ，x ∈（2，4]， f （x ）＝4（24x-）=8﹣x ，x ∈（4，8]，…所以f （x ）＝﹣x+2b ，x ∈（b ，2b]．（b 取1，2，4…）由题意得f （x ）＝k （x ﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示只需过（1，0）的直线与线段AB 相交即可（可以与B 点重合但不能与A 点重合）k PA 2021-==-2，k PB 404413-==-， 所以可得k 的范围为423k ≤＜ 故选：C ．【点睛】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．2．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（ ） A ．43πB ．πC ．23πD ．2π【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】 如下图所示，易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN⊥AC，BN⊥AC．所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO⊥DN 交DN 于点O ，可得BO⊥平面ACD ． 因为在△BDN 中，3BN DN ==，所以，BD 1＝BN 1+DN 1﹣1BN•DN•cos∠BND 1332343=+-⨯⨯=， 则BD ＝1．故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的14，又正四面体的高为棱长的63，故662R =⨯=． 因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244()3R πππ=⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．3．一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有 A ．6种 B ．12种 C ．36种 D ．72种【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论,利用捆绑法、插空法,即可得出结论. 【详解】把空着的2个相邻的停车位看成一个整体，即2辆不同的车可以停进4个停车场，由题意,若2辆不同的车相邻,则有22224A A =种方法若2辆不同的车不相邻,则利用插空法,2个相邻的停车位空着,利用捆绑法, 所以有()2222228A A A +=种方法，不同的停车方法共有：种，综上,共有12种方法， 所以B 选项是正确的.本题考查排列、组合的综合应用,注意空位是相同的,是关键.4．已知函数πsin 4f x ax =+（）（），若02f '（A ．2a =-B ．0a =C ．1a =D ．2a =【答案】D 【解析】分析：求出函数πsin 4f x ax =+（）（）的导数，由02f '（可求得a . 详解：函数πsin 4f x ax =+（）（）的导数πcos 4f x a ax +'=（）（），由02f '（可得πcos 0, 2.4a a a =⨯+∴=（）选D.点睛：本题考查函数的导函数的概念及应用，属基础题. 5．在()()6511x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（） A ．-10 B ．5 C ．10 D ．-5【答案】A 【解析】 【分析】根据()()65511(1)()x x x x ---=--，把5(1)x -按二项式定理展开，可得含3x 的项的系数，得到答案．【详解】由题意，在()()65511(1)()x x x x ---=--的展开中3x 为2235()10xC x x --=-，所以含3x 的项的系数10-， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．m N ∈且1m >，3m 可进行如下“分解”：333235,37911,413151719,=+=++=+++L 若3m 的“分解”中有一个数是2019，则m =（ ） A ．44 B ．45C ．46D ．47【答案】B 【解析】 【分析】探寻规律，利用等差数列求和进行判断 【详解】由题意得底数是2的数分裂成2个奇数，底数是3的数分裂成3个奇数，底数是4的数分裂成4个奇数，则底数是m 数分裂成m 个奇数，则共有()()212342m m m +-++++=L 个奇数，2019是从3开始的第1009个奇数，()()4424419892Q+-=，()()45245110342+-=∴第1009个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即45m =，故选B 【点睛】本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。