统计力学8_清华大学物理系
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如： 系统能量 E = ∑ aiε i
εi
单粒子i能级
27
i
a i 处第i能级的粒子数
近独立粒子系统
三种平衡态分布
Bose − Einstein 量子 Fermi − Dirac
经典： Boltzmann
本章中心
28
单粒子状态的量子描述
§4.3单粒子状态的量子描述
r ψ ( x, t)
其中x的变化范围为 0 ≤ x < ∞, 试求x的平均值、绝对涨落和相对涨落。
10
统计法大意
(7) 二项分布 PN (n) =
例：无规行走 N! p n q N −n n !( N − n)!
（醉汉行走） 每步长l
忽前忽后（一维）
求：N步之后，离出发点距离为x的几率
11
统计法大意
解： 设N 步中， N1步向前， N2步向后 x = ( N1 − N 2 ) l 距离为x的几率＝ N1步向前， N2步向后的几率 无规行走＝步与步间没有关联 向前一步的几率: p 向后一步的几率: q＝1－p
ρ ( x, y ) = ρ ( x ) ρ ( y )
ρ ( x) dx = dx ∫ ρ ( x, y )dy
统计独立
5
统计法大意
例：一对骰子
(1,1) (2,1) 所有可能的结果： (3,1) (4,1) 36种可能 (5,1) (6,1) 多变量几率
p (2,3) =
6
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
1 36
1号骰子出现2，2号骰子出现3的几率
1 6
n2 =1
∑ p(1, n2 ) =
1号骰子出现1的几率
条件几率 P(n |3) P(1| 3) = 1/ 6
6
统计法大意
和为x的几率：
7
统计法大意
补充题:
已知几率分布：
p ( x, y ) dxdy ∝ xydxdy ,
其中x和y的变化范围为 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, a）试将几率分布函数归一化 b）求y为任意值，而x在x到x+dx的几率.
0.2 0.175 0.15 gaussian approximation
probability
0.125 0.1 0.075 0.05 0.025 10 20 n 30 40 50
a=Np
19
统计法大意
例： Gaussian积分
P( X ) = 1 2π a
∞ −∞
P(x)
2
e
− x2 / 2 a2
13
统计法大意
0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 10 20 30 40 50
N! PN (n) = p n q N −n n !( N − n)!
14
统计法大意
(8) 泊松分布
N >> 1, p<<1 时，二项分布
泊松分布
n N! N n N −n PN (n) = p q ≈ p n q N −n n !( N − n)! n!
（2）互斥事件几率的加法定理
PA+ B N A + NB = lim = PA + PB N →∞ N
归一化: 离散事件:
0 ≤ Pj ≤ 1,
∑P =1
j j=1
n
有重叠
连续事件: P ( x) ≥ 0
range
∫
P( x ) dx = 1
互斥，无重叠
3
统计法大意
（3）独立事件几率的乘法定理
PA⋅ B
求积分
2 ∞ −∞
I = ∫ dxe
∞
2
− ax 2
?
e
−ax2 − ay2
-a
a
x
I = ∫ dx ∫ dye − ax e− ay
−∞
2
用极坐标（r, θ）!
2 2π ∞ − ar 2
∫
∞
−∞
dx ∫ dy →∫ dθ ∫ rdr
−∞ 0 0
− ar 2
∞
2π
∞
ax 2 + ay 2 = ar 2
问题：N个原子n处半部 N-n处下半部的几率？ 空间分布？ 忽略重力 上下几率相等 1/2
22
统计法大意
•所有N个原子处上半部的几率
设想N-1处上半部，最后一个原子处在什么地方?
∴
( 12)
N
or 1
N
2
多小？ 6×1023
N ～Avagadro 常数 2
1023
多大 ?
210 = 1024 ≅103
ψ 定态： r r ( x , t ) = ψ ( x ) e x p ( i ε t / h ),
r r ˆ Hψ (x)=εψ (x) 定态薛定格方程
（1926年）
"I don't like it, and I'm sorry I ever had anything to do with it.” - Erwin Schrodinger
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
p ( n1 , n2 )
二项分布的极值点
17
统计法大意
在极值点展开：
1 d2 2 ln pN ( n) = ln pN (n ) + ln p ( n ) ( n n ) − N 2 dn 2 n=n
− 1 Npq
p N ( n) =
1 2πσ
2
e
−
( n − n )2 2σ 2
σ 2 = Npq
高斯分布
18
统计法大意
12
N1 + N 2 = N
独立事件几率 的乘法定理
统计法大意
N1步向前， N2步向后的一种给定走法的几率 p N1 q N2 独立事件几率 的乘法定理
N! 给定N1， N2后，可以有 不同的走法 N1 ! N 2 !
（互斥事件） 用加法定理 N1步向前， N2步向后的几率 N! p N1 q N 2 N1 ! N 2 ! 二项分布
求解薛定格方程
r ψ n ( x, t )
εn
奥地利物理学家薛定格 （Schrodinger 1887-1961）
n
波函数 能量本征值 量子数 统计力学用
29
∞ 0
I = ∫ dθ ∫ dr ⋅ re = 2π ∫ drre 0 0
= π ∫ due − au
0
∞
π = a
20Baidu Nhomakorabea
π ∴I = a
既
∫
∞
−∞
dxe
− ax 2
=
π a
统计法大意
验证：
∫
∞ −∞
P ( x ) = 1, P(x)=
1 2π a 2
e
− x2 / 2 a2
21
统计法大意
讨论：盒中的原子、分布 ?
2
1023
= (2 )
10 1022
= (10 )
3 1022
= 103×10
22
22 3 × 10 个0 不可想象的大！ 1后
23
统计法大意
•设想原子随机运动，等多长时间，能有原子跑到一边？ 最快速度光速
3 ×108 m s
近似： 原子到另一边一次的时间： 3 ×10−8 s 1年≅ 3 × 107 s
% 处有极大 二项分布在某一大 n
求极大：
dpN ( n) =0 dn
d ln pN (n) =0 dn
Johann Carl Friedrich Gauss 30 April 1777 － 23 Feb 1855
16
统计法大意
代入二项分布：
ln pN (n) = ln N !− ln n !− ln( N − n)!+ n ln p + ( N − n) ln q
1 ×10−8 1 3 = 3 ×107 9 ×1015
3×1022
1
~ 10−16 年（到另一边一次的时间）
22
合理的可能等待时间 10
/1016年 = 103×10
−16
年 ~ 103×10 年
22
太阳系的寿命～109年，我们延长太阳系的寿命至1011年
10
3×1022
/10 /10
16
11
= 10
当 n >> 1 时：
d ln n ! ln( n + 1)!− ln n ! (n + 1)! ≈ = ln = ln( n + 1) ≈ ln n dn 1 n!
d ln pN ( n) = − ln n + ln( N − n) + ln p − ln q = 0 dn
% = Np = n n
N A N A⋅B N A⋅B lim = ⋅ = lim N →∞ N N →∞ N NA
= PA ⋅ PB
（4）条件概率
p( x1 | x2 ) : x2已知,出现x1的几率。
4
统计法大意
(5)多个随机变量的联合概率分布
ρ ( x, y ) ≥ 0,
∫ ∫ ρ ( x, y )dxdy = 1
ln q N −n = ( N − n) ln(1 − p ) ≈ − Np
q
N −n
≈e
−Np
=e
−n
PN
n) ( ( n) =
n
n!
e− n
泊松分布
Siméon Denis Poisson 15 1840 21 June 1781 - 25 April
统计法大意
(8) 高斯分布
N >> 1,
且p,q相差不大时，二项分布 高斯分布
近独立粒子系统： 粒子间作用能<<单个粒子能量 （无作用，则无法平衡） （平均意义下）
26
近独立粒子系统
“粒子”？
①分子 原子 核 … 电子
未被激发的自由度（冻结的自由度）不用考虑， 因为对宏观量无贡献，通常，至原子层次即可。 ②准粒子: 虚拟的，物理模型，如声子，旋子等
独立 ——单粒子态有明确含义
统 计 力 学
倪 军 清华大学物理系
统计法大意
3．概率基础知识
（1）几率概念 随机事件： 可能发生，也可能不发生 N次随机事件（硬币，骰子） A事件发生次数=NA A事件发生几率
NA PA = lim N →∞ N
考虑一个连续的实验 x和x+dx之间的值出现的几率 P ( x )dx
2
统计法大意
3×1022 − 27 3×1022
太阳系寿命时间 与单位无关， 无穷大！
24
~ 10
几乎完全看不到，可以认为是一个定律
统计法大意
•回到问题：
n 处上半部，N-n处下半部的几率为 N! 1 n !( N − n)! 2 N
可能的分配数 总可能数 N-n n
25
近独立粒子系统
§4.2 近独立粒子系统
8
统计法大意
（6）统计平均值和涨落
xN ∑ x = lim N
i N →∞ i
=
∑xp
i i
i
x = ∫ xp ( x)dx
•绝对涨落
∆x ≡
(x − x)
2
= x2 −(x)
2
•相对涨落
δ x ≡ ∆x / x
9
统计法大意
补充题:
已知几率分布：
p ( x) dxdy = a exp( − ax ) dx,
εi
单粒子i能级
27
i
a i 处第i能级的粒子数
近独立粒子系统
三种平衡态分布
Bose − Einstein 量子 Fermi − Dirac
经典： Boltzmann
本章中心
28
单粒子状态的量子描述
§4.3单粒子状态的量子描述
r ψ ( x, t)
其中x的变化范围为 0 ≤ x < ∞, 试求x的平均值、绝对涨落和相对涨落。
10
统计法大意
(7) 二项分布 PN (n) =
例：无规行走 N! p n q N −n n !( N − n)!
（醉汉行走） 每步长l
忽前忽后（一维）
求：N步之后，离出发点距离为x的几率
11
统计法大意
解： 设N 步中， N1步向前， N2步向后 x = ( N1 − N 2 ) l 距离为x的几率＝ N1步向前， N2步向后的几率 无规行走＝步与步间没有关联 向前一步的几率: p 向后一步的几率: q＝1－p
ρ ( x, y ) = ρ ( x ) ρ ( y )
ρ ( x) dx = dx ∫ ρ ( x, y )dy
统计独立
5
统计法大意
例：一对骰子
(1,1) (2,1) 所有可能的结果： (3,1) (4,1) 36种可能 (5,1) (6,1) 多变量几率
p (2,3) =
6
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
1 36
1号骰子出现2，2号骰子出现3的几率
1 6
n2 =1
∑ p(1, n2 ) =
1号骰子出现1的几率
条件几率 P(n |3) P(1| 3) = 1/ 6
6
统计法大意
和为x的几率：
7
统计法大意
补充题:
已知几率分布：
p ( x, y ) dxdy ∝ xydxdy ,
其中x和y的变化范围为 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, a）试将几率分布函数归一化 b）求y为任意值，而x在x到x+dx的几率.
0.2 0.175 0.15 gaussian approximation
probability
0.125 0.1 0.075 0.05 0.025 10 20 n 30 40 50
a=Np
19
统计法大意
例： Gaussian积分
P( X ) = 1 2π a
∞ −∞
P(x)
2
e
− x2 / 2 a2
13
统计法大意
0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 10 20 30 40 50
N! PN (n) = p n q N −n n !( N − n)!
14
统计法大意
(8) 泊松分布
N >> 1, p<<1 时，二项分布
泊松分布
n N! N n N −n PN (n) = p q ≈ p n q N −n n !( N − n)! n!
（2）互斥事件几率的加法定理
PA+ B N A + NB = lim = PA + PB N →∞ N
归一化: 离散事件:
0 ≤ Pj ≤ 1,
∑P =1
j j=1
n
有重叠
连续事件: P ( x) ≥ 0
range
∫
P( x ) dx = 1
互斥，无重叠
3
统计法大意
（3）独立事件几率的乘法定理
PA⋅ B
求积分
2 ∞ −∞
I = ∫ dxe
∞
2
− ax 2
?
e
−ax2 − ay2
-a
a
x
I = ∫ dx ∫ dye − ax e− ay
−∞
2
用极坐标（r, θ）!
2 2π ∞ − ar 2
∫
∞
−∞
dx ∫ dy →∫ dθ ∫ rdr
−∞ 0 0
− ar 2
∞
2π
∞
ax 2 + ay 2 = ar 2
问题：N个原子n处半部 N-n处下半部的几率？ 空间分布？ 忽略重力 上下几率相等 1/2
22
统计法大意
•所有N个原子处上半部的几率
设想N-1处上半部，最后一个原子处在什么地方?
∴
( 12)
N
or 1
N
2
多小？ 6×1023
N ～Avagadro 常数 2
1023
多大 ?
210 = 1024 ≅103
ψ 定态： r r ( x , t ) = ψ ( x ) e x p ( i ε t / h ),
r r ˆ Hψ (x)=εψ (x) 定态薛定格方程
（1926年）
"I don't like it, and I'm sorry I ever had anything to do with it.” - Erwin Schrodinger
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
p ( n1 , n2 )
二项分布的极值点
17
统计法大意
在极值点展开：
1 d2 2 ln pN ( n) = ln pN (n ) + ln p ( n ) ( n n ) − N 2 dn 2 n=n
− 1 Npq
p N ( n) =
1 2πσ
2
e
−
( n − n )2 2σ 2
σ 2 = Npq
高斯分布
18
统计法大意
12
N1 + N 2 = N
独立事件几率 的乘法定理
统计法大意
N1步向前， N2步向后的一种给定走法的几率 p N1 q N2 独立事件几率 的乘法定理
N! 给定N1， N2后，可以有 不同的走法 N1 ! N 2 !
（互斥事件） 用加法定理 N1步向前， N2步向后的几率 N! p N1 q N 2 N1 ! N 2 ! 二项分布
求解薛定格方程
r ψ n ( x, t )
εn
奥地利物理学家薛定格 （Schrodinger 1887-1961）
n
波函数 能量本征值 量子数 统计力学用
29
∞ 0
I = ∫ dθ ∫ dr ⋅ re = 2π ∫ drre 0 0
= π ∫ due − au
0
∞
π = a
20Baidu Nhomakorabea
π ∴I = a
既
∫
∞
−∞
dxe
− ax 2
=
π a
统计法大意
验证：
∫
∞ −∞
P ( x ) = 1, P(x)=
1 2π a 2
e
− x2 / 2 a2
21
统计法大意
讨论：盒中的原子、分布 ?
2
1023
= (2 )
10 1022
= (10 )
3 1022
= 103×10
22
22 3 × 10 个0 不可想象的大！ 1后
23
统计法大意
•设想原子随机运动，等多长时间，能有原子跑到一边？ 最快速度光速
3 ×108 m s
近似： 原子到另一边一次的时间： 3 ×10−8 s 1年≅ 3 × 107 s
% 处有极大 二项分布在某一大 n
求极大：
dpN ( n) =0 dn
d ln pN (n) =0 dn
Johann Carl Friedrich Gauss 30 April 1777 － 23 Feb 1855
16
统计法大意
代入二项分布：
ln pN (n) = ln N !− ln n !− ln( N − n)!+ n ln p + ( N − n) ln q
1 ×10−8 1 3 = 3 ×107 9 ×1015
3×1022
1
~ 10−16 年（到另一边一次的时间）
22
合理的可能等待时间 10
/1016年 = 103×10
−16
年 ~ 103×10 年
22
太阳系的寿命～109年，我们延长太阳系的寿命至1011年
10
3×1022
/10 /10
16
11
= 10
当 n >> 1 时：
d ln n ! ln( n + 1)!− ln n ! (n + 1)! ≈ = ln = ln( n + 1) ≈ ln n dn 1 n!
d ln pN ( n) = − ln n + ln( N − n) + ln p − ln q = 0 dn
% = Np = n n
N A N A⋅B N A⋅B lim = ⋅ = lim N →∞ N N →∞ N NA
= PA ⋅ PB
（4）条件概率
p( x1 | x2 ) : x2已知,出现x1的几率。
4
统计法大意
(5)多个随机变量的联合概率分布
ρ ( x, y ) ≥ 0,
∫ ∫ ρ ( x, y )dxdy = 1
ln q N −n = ( N − n) ln(1 − p ) ≈ − Np
q
N −n
≈e
−Np
=e
−n
PN
n) ( ( n) =
n
n!
e− n
泊松分布
Siméon Denis Poisson 15 1840 21 June 1781 - 25 April
统计法大意
(8) 高斯分布
N >> 1,
且p,q相差不大时，二项分布 高斯分布
近独立粒子系统： 粒子间作用能<<单个粒子能量 （无作用，则无法平衡） （平均意义下）
26
近独立粒子系统
“粒子”？
①分子 原子 核 … 电子
未被激发的自由度（冻结的自由度）不用考虑， 因为对宏观量无贡献，通常，至原子层次即可。 ②准粒子: 虚拟的，物理模型，如声子，旋子等
独立 ——单粒子态有明确含义
统 计 力 学
倪 军 清华大学物理系
统计法大意
3．概率基础知识
（1）几率概念 随机事件： 可能发生，也可能不发生 N次随机事件（硬币，骰子） A事件发生次数=NA A事件发生几率
NA PA = lim N →∞ N
考虑一个连续的实验 x和x+dx之间的值出现的几率 P ( x )dx
2
统计法大意
3×1022 − 27 3×1022
太阳系寿命时间 与单位无关， 无穷大！
24
~ 10
几乎完全看不到，可以认为是一个定律
统计法大意
•回到问题：
n 处上半部，N-n处下半部的几率为 N! 1 n !( N − n)! 2 N
可能的分配数 总可能数 N-n n
25
近独立粒子系统
§4.2 近独立粒子系统
8
统计法大意
（6）统计平均值和涨落
xN ∑ x = lim N
i N →∞ i
=
∑xp
i i
i
x = ∫ xp ( x)dx
•绝对涨落
∆x ≡
(x − x)
2
= x2 −(x)
2
•相对涨落
δ x ≡ ∆x / x
9
统计法大意
补充题:
已知几率分布：
p ( x) dxdy = a exp( − ax ) dx,