高中数学必修四正弦函数与余弦函数的性质学案
正弦函数余弦函数的性质教学设计
正弦函数余弦函数的性质教学设计教学设计题目：正弦函数和余弦函数的性质一、教学目标：1.理解正弦函数和余弦函数的定义和图像特点；2.掌握正弦函数和余弦函数的周期、振幅、相位等性质；3.能够利用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。
二、教学内容：1.正弦函数和余弦函数的定义和图像特点；2.正弦函数和余弦函数的周期、振幅、相位等性质；3.正弦函数和余弦函数在实际问题中的应用。
三、教学流程：【导入】（5分钟）1.利用实物或幻灯片展示一个周期性的物体（如钟摆、运动员腕表）；2.引导学生思考：你能观察出这个物体有哪些规律性的变化吗？3.引导学生回忆中学过的函数，提到是否有一些函数能够描述这种规律性的变化？【探究】（20分钟）1.引导学生尝试利用直尺、铅笔在纸上标出正弦函数和余弦函数的图像；2.让学生观察图像，找出正弦曲线和余弦曲线的相似之处和不同之处；3.分组讨论并总结正弦函数和余弦函数的定义和图像特点。
【归纳】（15分钟）1.教师引导学生对上述内容进行归纳总结，将正弦函数和余弦函数的定义和图像特点整理成导学笔记；2.教师对学生的总结进行点评，给予肯定和指导。
【深化】（15分钟）1.教师拿出钟表，让学生观察时针的运动；2.引导学生思考：时针的运动是否具有周期性？有什么规律性的变化？是否可以用函数来描述？3.通过时针的运动，引入正弦函数和余弦函数的周期概念。
【拓展】（20分钟）1.教师引导学生观察不同振幅、不同相位的正弦函数和余弦函数的图像；2.教师解释振幅和相位的概念，并给出具体的定义；3.引导学生思考振幅和相位对函数图像的影响。
【展示】（15分钟）1.教师运用课件或黑板展示正弦函数和余弦函数的定义和图像特点，以及周期、振幅、相位等性质；2.教师通过示例演示如何求解正弦函数和余弦函数的周期、振幅、相位等具体数值。
【练习】（30分钟）1.学生进行练习题的训练，巩固对于正弦函数和余弦函数性质的掌握；2.教师巡视指导，及时给予反馈和纠正。
高中数学必修四(人教新A版)教案12正弦、余弦函数的性质
a)奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。
例如：
f(- )= ,f( )= ,即f(- )=f( )；……
由于cos(－x)=cosx∴f(-x)=f(x).
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。
难点
正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
一、复习引入：
研究函数就是要讨论函数的一些性质，正弦、余弦函数最基本的性质。请同学们回想一下，一般来说我们都是从哪些方面来研究的（定义域、值域、奇偶性、单调性、最值）上节课我们研究了定义域、值域，这节课我们继续研究它的其他性质。
学生活动
y=cosx的对称轴为x= k∈Z
（1）写出函数 的对称轴；
（2） 的一条对称轴是（C）
(A) x轴，(B) y轴，(C)直线 ，(D)直线
4.例题讲解
例1(课本例3)
例2(课本39页例4)
例3(课本例5)
学生独立完成
教
学
小
结
正、余弦函数的奇、偶性和单调性
课后
反思
3
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
3.有关对称轴
高中数学必修四教案-1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(14)-人教A版
正弦函数、余弦函数的图象和性质【教学目标】1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3．掌握正弦函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的周期及求法。
【教学重点】正、余弦函数的性质【教学难点】正、余弦函数性质的理解与应用【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入：1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线。
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0) (2π，1) (π，0) (23π，-1) (2π，0) 余弦函数y=cosx x ∈[0，2π]的五个点关键是(0，1) (2π，0) (π，-1) (23π，0) (2π，1)3．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y ＝sinx ，x ∈R y ＝cosx ，x ∈R4．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］。
其中正弦函数y=sinx ，x ∈R（1）当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1。
（2）当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1。
而余弦函数y ＝cosx ，x ∈R（1）当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1。
（2）当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1。
5．周期性一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1．周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M ， 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2．“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)≠f (x0)）3．T 往往是多值的（如y=sinx 2π，4π，…，-2π，-4π，…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。
人教版高中数学必修四《正弦函数余弦函数的性质》教学设计
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质2 教学设计一、教学目标知识目标：观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题。
能力目标：培养分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；增强自主探究的能力。
情感目标：学生亲身经历数学的研究过程，感受数学的魅力，享受成功的喜悦。
二、教材分析本节课是《数学必修4》的第一章三角函数的内容，是学习了正弦函数、余弦函数的图像和周期性之后，进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。
该内容共两课时，这里讲的是第二课时。
正弦、余弦函数的图像和性质是三角函数里的重点内容,也是高考热点考察的内容之一。
通过本节课的学习，不仅可以培养学生的观察能力，分析问题、解决问题的能力，而且渗透了数形结合、类比、分类讨论等重要的数学思想方法，为以后、为高考的学习打下基础。
三、教学重难点教学重点： 正弦函数、余弦函数的单调性、最值。
教学难点: 确定函数的单调区间，应该对单调性的应用进行多层次练习，在练习中掌握正弦、余弦函数的性质及应用。
四、教学过程 复习引入： （1）单调性：正弦曲线下面是正弦函数sin ()y x x R =∈图像的一部分：-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = sin x ()sin ()y x x R =∈在)](22,22[Z k k k ∈++-ππππ上单调增，函数值从-1增加到1，在)](223,22[Z k k k ∈++ππππ上单调减，函数值从1减小到-1. 余弦曲线 cos ()y x x R =∈cos ()y x x R =∈在)](2,2[Z k k k ∈+-πππ上单调增，函数值从-1增加到1，在)](2,2[Z k k k ∈+πππ上单调减，函数值从1减小到-1.（2）最值：正弦函数R x x y ∈=,sin ①当且仅当Z k k x ∈+=,22ππ时,取得最大值1②当且仅当Z k k x ∈+-=,22ππ时,取得最小值1-余弦函数R x x y ∈=,cos①当且仅当Z k k x ∈=,2π时,取得最大值1 ②当且仅当Z k k x ∈+=,2ππ时,取得最小值1- 应用一： 正、余弦函数的最值问题例1.以下函数有最大、最小值吗？如果有，求出最大值、最小值，并写出取最大、最小值时的自变量 x 的集合.练习1.求函数y=-3sin2x 的最大最小值，并写出取最大最小值时自变量x 的集合 解：令2t x =，函数sin y t =max 3(1)3y =-⨯-=.4x k ππ=-+Rx x y ∈-=,sin 3)2(Rx x y ∈+=,1cos )1(此时 得：因此 此时x 的取值集合是同理此时x 的取值集合是 方法总结：对形如类型的函数求最值时，主要是利用三角函数的图象求解，在解题时注意函数的定义域。
高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)导学案
高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）导学案1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）【学习目标】1.理解周期函数、周期和最小正周期的定义；2.掌握三角函数的奇偶性和对称性问题.预习课本P34---36页的内容，完成下列问题【新知自学】知识回顾：1、函数的性质包括：定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、等等2、正弦函数的定义：余弦函数的定义：新知梳理：1.周期函数定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个___________，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：____________，那么函数f(x)就叫做_________，非零常数T叫做这个函数的_______.讨论展示：①对于函数，，有，能否说是它的周期？②若函数的周期为，则（其中也是的周期吗？为什么？③最小正周期：在周期函数所有的周期中，如果存在一个______________，这个_____________就叫做这个周期函数的最小正周期；并不是所有的周期函数都有最小正周期。
④正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx都是周期函数（）是他们周期，是最小正周期。
2．奇偶性：①函数奇偶性的概念：②由知，正弦函数y=sinx是奇函数；由知，余弦函数y=cosx是偶函数；3．对称性:由正弦函数的奇偶性知道，正弦函数y=sinx的图像关于________成中心对称图形，除此之外，y=sinx的图像关于每一个点_______________都成中心对称；关于每一条直线_____________成轴对称；由余弦函数的奇偶性知道，余弦函数y=cosx的图像关于________成中心对称图形，除此之外，y=cosx的图像关于每一个点_______________都成中心对称；关于每一条直线_____________成轴对称；对点练习：1.下列函数为奇函数的是（）A.y=x2B.y=sinxC.y=cosxD.y=|sinx|2.函数的周期是_______________.3.函数的定义域：4.指出下列函数的周期(1)；【合作探究】典例精析：例1.写出下列函数的周期:(1)变式练习1：设是R上的奇函数，且，当时，，=变式练习2：定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，当时，，=；例2.下列直线中，是函数的对称轴的是()(A)(B)(C)(D)变式练习3：函数的图象的一条对称轴方程是（）A．B.C.D.规律总结：结论：如果函数对于，那么函数的周期T=2k；如果函数对于，那么函数的对称轴是例3.已知函数的定义域是，求的定义域【课堂小结】【当堂达标】1.函数y=sin(x+3π2)的图象是（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x=-32π对称2.函数的最小正周期为.3.判断函数的奇偶性：（1）f(x)=3sin2x;(2)f(x)=sin().4.求函数的定义域【课时作业】1．下列函数中，周期为的是（）A．B．C．D．2．下列函数中是奇函数的是（）A.y=-|sinx|B.y=sin(-|x|)C.y=sin|x|D.y=xsin|x|3．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）A.关于点对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于直线对称函数4．函数的定义域是______．5．的最小正周期为，则＝______．6．函数的定义域是__________．7．给出下列命题：①存在实数x，使sinxcosx＝1；②存在实数x，使sinx＋cosx＝3；③是偶函数；④()是y＝tanx的对称中心其中正确的是______．【延伸探究】1、函数的最小正周期为()(C)(D)2、已知函数的最小正周期满足，求正整数的值。
高中数学《正弦函数、余弦函数的性质(二)》导学案
∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.
三、课堂练习
1．y＝2sin(3x＋ )的值域是()
A．[－2,2]B．[0,2]C．[－2,0]D．[－1,1]
解析因为sin(3x＋ )∈[－1,1]，所以y∈[－2,2]．答案A
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
五、作业布置
课后作业：各班结合自己情况布置
六、教学反思
3．函数f(x)＝ cos(2x－ )的单减区间是________．
解析令2kπ≤2x－ ≤π＋2kπ，k∈Z，得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，
即f(x)的单减区间是[ ＋kπ， ＋kπ](k∈Z)．
答案[ ＋kπ， ＋kπ](k∈Z)
4．函数y＝cos(x＋ )，x∈[0， ]的值域是________．
即 ＋kπ≤x≤π＋kπ，(k∈Z)，
故y＝cos 2x的单增区间是[ ＋kπ，π＋kπ](k∈Z)，则当k＝0时为[ ，π]，故选D．答案D
(2)求函数y＝1＋sin ，x∈[－4π，4π]的单调减区间．
解y＝1＋sin ＝－sin ＋1．
由2kπ－ ≤ x－ ≤2kπ＋ (k∈Z)．
解得4kπ－ ≤x≤4kπ＋ π(k∈Z)．又∵x∈[－4π，4π]，
∴cos π<cos ，即cos <cos ．
【训练2】比较下列各组数的大小：
(1)sin 与sin ；(2)cos 870°与sin 980°．
解(1)siy＝sinx在 上是增函数，
人教a版必修4学案：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)(含答案)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)自主学习知识梳理自主探究正弦曲线与余弦曲线都既是轴对称图形又是中心对称图形，那么：(1)正弦函数y ＝sin x 的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．对点讲练知识点一 求正、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间．回顾归纳 求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．变式训练1 求函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 2的单调增区间．知识点二 比较三角函数值的大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin 196°与cos 156°；(2)sin 1，sin 2，sin 3.回顾归纳 用正弦函数和余弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．变式训练2 比较下列各组数的大小．(1)cos 870°，cos 890°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6，sin 49π3.知识点三 正、余弦函数的最值问题例3 已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．回顾归纳 此类问题应特别注意正、余弦函数值域的有界性，即当x ∈R 时，－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，另外还应注意定义域对值域的影响．变式训练3 若函数y ＝a －b cos x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a cosbx 的最值和最小正周期．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法(1)将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．(2)将sin x 或cos x 用所求变量y 来表示，如sin x ＝f (y )，再由|sin x |≤1，构建关于y 的不等式|f (y )|≤1，从而求得y 的取值范围.课时作业一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 (x ∈k )在( ) A ．[0，π]上是增函数 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 C ．[0，π]上是减函数 D.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 3．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3有( ) A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为－12C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－14．函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称，则φ的一个取值是( ) A.π2 B ．－π4C ．π B ．2π 5．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54二、填空题6．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是________________． 7．函数y ＝log 12(1＋λcos x )的最小值是－2，则λ的值是________．8．函数y ＝－cos 2x ＋cos x (x ∈R )的值域是________．三、解答题9．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos 2x )．10．求下列函数的值域．(1)y ＝1－2cos 2x ＋2sin x ； (2)y ＝2－sin x2＋sin x.1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案(1)x ＝k π＋π2(k ∈Z ) (k π，0) (k ∈Z )(2)x ＝k π (k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0 (k ∈Z ) 对点讲练例1 解 由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，则欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π (k ∈Z )，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π (k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π (k ∈Z )． 变式训练1 解 y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4.由2k π－π≤x 2－π4≤2k π，k ∈Z ，解得2k π－3π4≤x 2≤2k π＋π4，k ∈Z .即4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z ，∴函数的单调增区间是⎣⎡⎤4k π－3π2，4k π＋π2 (k ∈Z )． 例2 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°.从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.(2)∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即sin 3<sin 1<sin 2.变式训练2 解 (1)cos 870°＝cos(2×360°＋150°)＝cos 150°， cos 890°＝cos(2×360°＋170°)＝cos 170°， ∵余弦函数y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>cos 890°.(2)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin 49π3＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－37π6<sin 49π3. 例3 解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 变式训练3 解 ∵y ＝a －b cos x (b >0)，∴y max ＝a ＋b ＝32，y min ＝a －b ＝－12.由⎩⎨⎧a ＋b ＝32a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1.∴y ＝－4a cos bx ＝－2cos x ， ∴y max ＝2，y min ＝－2，T ＝2π. 课时作业 1．C 2.A3．D [∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤5π6.∴当x ＋π3＝－π6，即x ＝－π2时，f (x )有最小值－1.当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值2.]4．A [若y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称．则φ＝k π＋π2，∴当k ＝0时，φ＝π2.]5．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54 ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y 取最小值－54，当sin x ＝1时，y 取最大值1.] 6.⎣⎡⎦⎤π2，π 7．±3解析 由题意，1＋λcos x 的最大值为4， 当λ>0时，1＋λ＝4，λ＝3； 当λ<0时，1－λ＝4，λ＝－3. ∴λ＝±3.8.⎣⎡⎦⎤－2，14 解析 y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋14 ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，y max ＝14.当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－2，14. 9．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)由题意得cos 2x >0且cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 10．解 (1)y ＝1－2cos 2x ＋2sin x ＝2sin 2x ＋2sin x －1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－32 当sin x ＝－12时，y min ＝－32；当sin x ＝1时，y max ＝3.∴函数y ＝1－2cos 2x ＋2sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)方法一 y ＝4－(2＋sin x )2＋sin x ＝42＋sin x－1∵－1≤sin x ≤1，∴1≤2＋sin x ≤3， ∴13≤12＋sin x ≤1，∴43≤42＋sin x ≤4， ∴13≤42＋sin x －1≤3，即13≤y ≤3.∴函数y ＝2－sin x 2＋sin x的值域为⎣⎡⎦⎤13，3. 方法二 由y ＝2－sin x 2＋sin x ，解得sin x ＝2－2yy ＋1，由|sin x |≤1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2y y ＋1≤1，∴(2－2y )2≤(y ＋1)2， 整理得3y 2－10y ＋3≤0，解得13≤y ≤3.∴函数y ＝2－sin x 2＋sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤13，3.。
必修四第一章《正弦函数余弦函数的性质》教学设计(王卫)
§1.4.2正弦函数余弦函数的性质评1节.二、教学目标及解析目标：1、通过图象理解正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值和对称性，体会数形结合方法；2、会求简单正弦函数、余弦函数的周期、单调区间、最值等。
解析：1、目标1在于让学生体会到数形结合、归纳的数学思想，能独立归纳出的正弦函数、余弦函数的性质。
2、目标2在于让学生学会运用性质对简单正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值等的求解。
三、问题诊断分析本节课的教学中，学生可能出现如下几个问题：①函数周期性的定义是什么？②如何求出正弦函数、余弦函数的周期？③不理解正弦函数、余弦函数的单调区间？不能正确写出正弦函数、余弦函数的单调区间？学生出现这几个问题的原因是不理解正弦函数、余弦函数的本质，对函数的周期性、单调性理解不透彻。
学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。
解决这些问题的关键是结合图像变化趋势加以理解；结合定义，通过例题加以模仿。
在此过程中，需要学生感受归纳的数学思想，找出函数之间的共同点和规律，通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。
四、教学条件支持本节课的教学中需要用到几何画板和智能黑板，因为使用几何画板有利于展示函数的图像，能够给学生直观的认识。
五、教学过程1、自学问题1：周期函数的概念是什么？问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？问题3：正、余弦函数的最值与对称性分别是什么？2、互学导学问题1：周期函数的概念是什么？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，培养学生的归纳能力。
师生活动：学生思考并回答，教师指导。
小问题1：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？答：描点法（几何法、五点法），图象变换法。
并要求学生回忆哪五个关键点。
小问题2：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？答：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性等小问题3：正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.小问题4：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理论依据是什么？sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈小问题5：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx 称为周期函数，2k π为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？由inx k x s 2sin =+π）（知: 知:最小正周期是π2.小问题8：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？由x k x cos )2cos(=+π知: 正、余弦函数是周期函数，2k π（k ∈Z, k ≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x ∈R ; (2)y=sin2x,x ∈R ;(3)y=2sin(2x -6π),x ∈R .(1) 因为3cos(x+2π)=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx ≠3cosx,所以π不是周期.(2) 教师引导学生观察2x,可把2x 看成一个新的变量u,那么cosu 的最小正周期是2π,就是说,当u 增加到u+2π时,函数cosu 的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x 增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.(3)因为2sin ［21(x+4π)-6π］=2sin ［(2x -6π)+2π］=2sin(2x -6π).所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π; (2)周期为π; (3)周期为4π.变式1、P36练习第2题.小问题9：周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，培养学生的归纳能力。
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1.4正弦函数与余弦函数的图像与性质
知识概括
归纳性质完成下表：
函数 x y sin =
x y cos =
图像
定义域 值域 奇偶性 周期性
单调性
在区间 上单调增；在区间 上单调减。
在区间 上单调增；在区
间
上单调减。
最值
当=x 时，有最大值
1max =y ；当=x 时，有最
小值1min -=y 。
当=x 时，有最大值
1max =y ；当=x 时，有最小值
1min -=y 。
对称性
对称轴： 对称中心：
对称轴： 对称轴：
课前检测
1.函数)6
sin()(π
+=x x f 的一个减区间是（ ）
A.]2,2[π
π-
B.]0,[π-
C. ]32,32[ππ- C.]3
2,2[π
π 2.比较大小：)18
sin(π
-
)10
sin(π
-
； 3cos 2cos
3.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少。
（1）R x x y ∈=sin 2 (2) R x x
y ∈-=3
cos
2
4.判断下列函数奇偶性
（1）x x f cos 1)(-= （2）x x x f sin )(-=
例题解析
例1.求下列函数的最大值及取得最大值时x 的集合 (1)3cos x y = (2)x y 2sin 2-= (3) ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=6sin 3πx y
变式1 ：(1) 若⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=34,0sin 3πx x y 呢？ (2) 若[]ππ2,0)
6sin(3∈+=x x y 呢？
例2. 判断下列函数的奇偶性：
(1)x x x f cos |sin |)(⋅=： ；(2)x x x f cos )(+=： .
例3.（1）求)3
2cos(π
+
=x y 的单调增区间； （2）求)3
2sin(π
+
-=x y 的单调增区间。
课堂练习
1.函数x 2sin 2y =
的奇偶性为 （ ）
A. 奇函数
B. 偶函数 C ．既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 2.在],[ππ-上是增函数，又是奇函数的是 （ ） A.2sin
x y = B.x y 21cos = C.4
sin x
y -= D.x y 2sin = 3.函数]2
,0[),6cos(π
π
∈+
=x x y 的值域是 （ ）
A.]21,23[-
B.]23,21[-
C.]1,23[
D.]1,2
1
[
课后作业
1.在△ABC ，则△ABC 必是 （ ） A.等边三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
2.已知角α终边上一点)5,4(-P ，则)
2
sin(-4sin )sin(2cos απ
απαπαπ+--⎪⎭⎫
⎝⎛+）（的值为 （ ）
A.45-
B. 4
5
C. 41415
D.41414-
3．将函数sin y x =的图象向左平移
2
π
个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A.()y f x =是奇函数 B.()y f x =的周期是π C.()3y f x =的图像关于直线2
x π
=
对称 D.()y f x = 的图像关于02π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，对称 4.下列函数中，周期为π且在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡2,4ππ上为减函数的是 （ ）
A.)2
2sin(π
+=x y B. )2
sin(π
+
=x y C. )2
2cos(π
+
=x y D. )2
cos(π
+
=x y
5.函数y = sin(2x+
25π
)的图象的一条对称轴方程是 （ ） A ．x = －2π B ．x =－4π C ．x = 8π D ．x =45π
6.函数x x y sin cos 2
-=的值域是 （ ）
A.[]1,1-
B.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡45,1
C.[]2,0
D.⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-45,1
7.函数sin 22y x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，x R ∈是 （ ） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为
2π
的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2
π
的偶函数
8.已知函数x y cos 1-=，则其单调增区间是 ；单调减区间是 。
9．设函数())3
2sin(3π
+=x x f ，给出四个命题：①它的周期是π；②它的图象关于直线12
π
=
x 成轴对称；
③它的图象关于点⎪⎭⎫
⎝⎛0,12π成中心对称；④它在区间⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-12,125ππ上是增函数．其中正确命题的序号是 10.求下列函数的值域： （1）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+
=2,0),6cos(ππ
x x y ； （2）5cos 4cos 2+-=x x y。