概率论与数理统计经管类公式

概率论与数理统计(经管类)公式————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称 表达式交换律A B B A +=+ BA AB =结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()(分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+德摩根律B A B A =+ B A AB +=2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+条件概率公式 )()()(A P AB P A B P =乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P =全概率公式∑==ni iiA B P A P B P 1)()()(贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞==1)()()()()(i ijj j j A B P A P A B P A P B A P伯努利概型公式 n k p p C k P k n kk n n ,1,0,)1()(=-=-两件事件相互独立相应公式 )()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ；1)()(=+A B P A B P二、随机变量及其分布1、分布函数性质)()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤<2、离散型随机变量分布名称 分布律0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k二项分布),(p n Bn k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-泊松分布)(λP ,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ几何分布)(p G,2,1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k超几何分布),,(n M N H ),min(,,1,,)(M n l l k C C C k X P nNk n MN k M +===--3、连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(指数分布)(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ 正态分布),(2σμN+∞<<∞-=--x ex f x 222)(21)(σμσπ ⎰∞---=xt t ex F d21)(222)(σμσπ标准正态分布)1,0(N +∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ⎰∞---=xt t ex F d21)(222)(σμσπ三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布∑∑======⋅jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(∑∑======⋅iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、离散型二维随机变量条件分布2,1,)(),()(=========⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j i2,1,)(),()(=========⋅j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()( 边缘密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(5、二维随机变量的条件分布+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov 6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY ==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质(1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y Cov Y X Cov =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++ 8、常见数学分布的期望和方差分布 数学期望方差0-1分布),1(p B p)1(p p - 二行分布),(p n B np)1(p np -泊松分布)(λP λλ几何分布)(p G p1 21p p -超几何分布),,(n M N H N M n1)1(---N mN N M N M n均匀分布),(b a U 2ba +12)(2a b - 正态分布),(2σμN μ2σ指数分布)(λEλ121λ五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<-2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，∑∑==−→−ni iDni i X E nX n11)(11(1)若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有：⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dtex p np np P )(21})1({lim 22πη(3)近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b X a P nk knk k -Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==六、数理统计1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量(1)样本平均值：∑==ni i X nX 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计量。

),min(21)1(n X X X X =为最小次序统计量；),max(21)(n n X X X X =为最大次序统计量。

3、三大抽样分布(1)2χ分布：设随机变量n X X X 21,相互独立，且都服从标准正态分布)1,0(N ，则随机变量222212nX X X ++=χ所服从的分布称为自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ 性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则)(~2n m Y X ++χ (2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则随机变量：nY X T =所服从的分布称为自由度的n 的t 分布，记为)(~n t T 性质：①)2(,2)]([,0)]([>-==n n nn t D n t E ②222)(21)1,0()(lim σμπ--∞→==x n e N n t(3)F 分布：设随机变量)(~),(~2212n V n U χχ，且U 与V 独立，则随机变量2121),(n V n U n n F =所服从的分布称为自由度),(21n n 的F 分布，记为),(~21n n F F 性质：设),(~n m F X ，则),(~1m n F X七、参数估计1、参数估计(1) 定义：用),,(21n X X X ∧θ估计总体参数θ，称),,(21n X X X ∧θ为θ的估计量，相应的),,(21n X X X ∧θ为总体θ的估计值。