第三章导数练习题及答案：导数的概念[1]
导数概念及练习题
2. 求双曲线
y 1在点 x
1 2
,
2
处的切线的斜率，并写出曲
线在该点处的切线方程和法线方程。
解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为
k1
y
x1 2
1 x2
x1 4 2
所以，所求切线方程为 y 2 4(x 1) 即 4x y 4 0 2
所求法线的斜率为
k2
1 k1
1 4
所求法线方程为 y 2 1 (x 1) 即 2x 8y 15 0 42
思考题解答
由导数的定义知， f ( x0 )是一个具体的 数值， f ( x)是由于 f ( x) 在某区间I 上每一 点都可导而定义在I 上的一个新函数，即 x I ，有唯一值 f ( x) 与之对应，所以两
者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两
者的联系是：在某点x0 处的导数 f ( x0 )即是导 函数 f ( x)在x0 处的函数值．
此时对x D,有唯一的f (x)与之对应,从而形成了函数关系,
称此函数为f (x)在D上的导函数,简称为导数,记作
f (x), y, df (x) , dy
dx
dx
根据导数定义有
f (x) lim f (x x) f (x) lim f (x h) f (x)
x0
x
h0
h
f (x0 ) f (x) xx0
f (x0 ) x0
0
当x x0时,有f (x) f (x0 ) 0,即f (x) f (x0 )
当x x0时,有f (x) f (x0 ) 0,即f (x) f (x0 )
导数的概念练习题
1. 已知
f
(x)
sin
导数定义练习题
导数定义练习题首先，让我们回顾一下导数的定义。
在微积分中，导数表示函数在某一点处的变化率。
给定函数 f(x)，它在 x 点处的导数可以通过以下定义来计算：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h 是无限趋近于0的增量。
本文将通过一些练习题来帮助我们更好地理解和应用导数的定义。
1. 求函数 f(x) = 2x^2 在 x = 1 处的导数。
解答：根据导数的定义，我们可以得到：f'(1) = lim(h→0) [f(1+h) - f(1)] / h代入函数 f(x) = 2x^2：f'(1) = lim(h→0) [2(1+h)^2 - 2(1)^2] / h= lim(h→0) [2(1+2h+h^2) - 2] / h= lim(h→0) [2+4h+2h^2-2] / h= lim(h→0) [4h+2h^2] / h= lim(h→0) 4 + 2h= 4所以，函数 f(x) = 2x^2 在 x = 1 处的导数为 4。
2. 求函数 g(x) = sin(x) 在x = π/4 处的导数。
解答：根据导数的定义，我们有：g'(π/4) = lim(h→0) [g(π/4+h) - g(π/4)] / h代入函数 g(x) = sin(x)：g'(π/4) = lim(h→0) [sin(π/4+h) - sin(π/4)] / h我们可以利用三角函数的和差公式以及极限的性质来简化计算。
根据三角函数的和差公式，我们有：sin(π/4+h) = sin(π/4)cos(h) + cos(π/4)sin(h)代入该公式，我们可以得到：g'(π/4) = lim(h→0) [(sin(π/4)cos(h) + cos(π/4)sin(h)) - sin(π/4)] / h化简上式，我们得到：g'(π/4) = lim(h→0) [sin(π/4)cos(h)/h + cos(π/4)sin(h)/h - sin(π/4)/h]根据极限的性质，我们知道lim(h→0) sin(h)/h = 1。
第三章 导数与微分 习题及答案
第三章 导数与微分同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。
2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。
3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。
4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。
5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。
6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。
7、已知x x y ln =，则)10(y = 。
8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。
9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。
10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。
11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。
二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （ ）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （ ）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）A 、不连续B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（ ） Ａ、在0=x 处极限不存在 Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在 Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（ ） Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对 ７、已知)(x f e y =，则y ''＝（ ）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。
高中数学选修1-1(人教B版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习题及答案
三、知识讲解
1.利用导数研究函数的单调性 描述： 一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间 (a, b) 内，如果 f ′ (x) > 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递增；如果 f ′ (x) < 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递减． 注：在 (a, b) 内可导的函数 f (x) 在 (a, b) 上递增（或递减）的充要条件是 f ′ (x) ⩾ 0 （或 f ′ (x) ⩽ 0 ），x ∈ (a, b) 恒成立，且 f ′ (x) 在 (a, b) 的任意子区间内都不恒等于 0 ． 例题： 求下列函数的单调区间： （1）f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x + 5 ；（2）f (x) = x 函数的极值定义 已知函数 y = f (x) ，设 x 0 是定义域 (a, b) 内任一点，如果对 x0 附近的所有点 x，都有 f (x) < f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值，记作
y 极大 = f (x0 ).
并把 x 0 称为函数 f (x) 的一个极大值点． 如果在 x 0 附近都有 f (x) > f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值，记作
1 3 x − x2 + 2x + 1 ． 3 解：（1）函数的定义域为 R．
（3）f (x) =
f ′ (x) = 3x2 − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1),
令 f ′ (x) > 0 ，解得
x < −1或x > 3,
令 f ′ (x) < 0 ，解得
−1 < x < 3.
高中数学-3.1导数的概念
斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k切线
tan
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f (x0)
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一
种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限, 则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点 处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.
x
x
y lim 1;
x0 x
y
1 1
x0 .
x0
4.导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ( x0 ).
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
s OA1 OA0 s(t0 t) s(t0 )
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
__
v
s(t0
t)
s(t0 )
s
(t0 t) t0 t
平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要 精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻 运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
5.例题选讲
例1:判断下列各命题的真假: (1)已知函数y=f(x)的图象上的点列P1,P2,P3,…Pn…, 当n 时, Pn P0, 则过P0与Pn两点的直线的 斜率就是函数在点P0处的导数. 答:由函数在点P0处的导数的几何意义知:函数在点 P0处的导数是过P0点曲线(即函数y=f(x)的图象) 的切线的斜率,而不是割线P0Pn的斜率,故它是一 个假命题. (2)若物体的运动规律是S=f(t),则物体在时刻t0的瞬 时速度V等于 f (t ) |tt0 . 答:由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真 命题. (3)若函数y=f(x)的定义域为A,则对任一 x0 A,只要 函数在x0处连续,则 f ( x0 )就必存在.
导数练习题(含答案)
导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题:1 已知32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于A193B ﻩ103C163ﻩ D133２ 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A ﻩ3ﻩﻩ ﻩB -3ﻩC ﻩ5 ﻩＤ －53 函数2y x a a =+2（）(x-)的导数为 A ﻩ222()x a -ﻩﻩ ﻩＢ 223()x a +ﻩﻩﻩC ﻩ223()x a -D 222()x a +4 曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A ﻩ19ﻩﻩ Ｂ29ﻩ C 13 ﻩ Ｄ 23５ 已知二次函数2y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数ｘ,有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 A ﻩ３ﻩ ﻩB52ﻩﻩﻩC ﻩ2 ﻩﻩＤ 326 已知函数()f x 在1x =处的导数为３,则()f x 的解析式可能为 Ａﻩ2()(1)3(1)f x x x =-+-ﻩ Ｂ()2(1)f x x =- ﻩﻩC2()2(1)f x x =-ﻩD ()1f x x =-７ 下列求导数运算正确的是 A211()1x x x '+=+ ﻩ ﻩﻩ B ﻩ21(log )ln 2x x '=ﻩﻩ C ﻩ3(3)3log x xe '=⋅ﻩD 2(cos )2sin x x x x '=-8 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A ﻩ6πB 34π ﻩC ﻩ4π ﻩﻩD 3π9 曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 Ａﻩ34y x =-ﻩB32y x =-+ﻩﻩＣ 43y x =-+ ﻩD 45y x =-10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k,若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为11 一质点的运动方程为253s t =-,则在一段时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为 A ﻩ36t ∆+ﻩ B ﻩ36t -∆+ﻩC36t ∆- ﻩﻩD 36t -∆-１２ 曲线()ln(21)f x x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是Aﻩ BﻩCﻩＤ 01３ 过曲线32y x x =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-，则切点0P 的坐标为 Ａ (0,1)(1,0)-或ﻩ Ｂ (1,4)(1,0)--或 ﻩC(1,4)(0,2)---或D (2,8)(1,0)或１4 点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是 Ａ[0,]2πﻩﻩ Ｂ 3[0,)[,)24πππ ﻩﻩC ﻩ3[,)4ππ D 3(,]24ππ二、填空题1５ 设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等实根，且()22f x x '=+,则()y f x =的表达式是_＿____________1６ 函数2sin x y x=的导数为___＿_＿＿______＿___＿_____＿＿_____＿＿_17 已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+,则(1)(1)f f '+=＿______＿＿18 已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则ｋ的最大值为___＿＿_＿___＿___________＿____ 三、解答题19 求下列函数的导数(１)1sin 1cos x y x -=+(２) y= (3）y = （4) tan y x x =⋅ 20 已知曲线21:C y x =与22:(2)C y x =--，直线l 与12,C C 都相切，求直线l 的方程２１ 设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=（１）求()f x 的解析式(2）证明:曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。
高二数学导数练习题及答案
高二数学导数练习题及答案导数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
为了帮助高二学生巩固导数的知识和提高解题能力，本文为大家准备了一些高二数学导数练习题及答案。
希望通过这些练习题的训练，同学们能够更好地理解导数的概念和运用。
练习题一：1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在点 x = 2 处的导数。
2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x，求函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数。
3. 求函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数。
答案一：1. 函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数为：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数为：f'(x) = 2x + 3。
3. 函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数为：f'(-1) = 0。
练习题二：1. 求函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点及极值。
2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x+ 2 的拐点。
3. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点。
答案二：1. 函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点为 x = 1/2，极值为 f(1/2) = 47/16。
2. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 的拐点为 x = 2。
3. 函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点为 x = 1。
练习题三：1. 求函数 f(x) = e^x 的导数。
2. 已知函数 f(x) = ln(x)，求函数 f(x) = ln(x) 的导函数。
导数概念练习题
导数概念练习题导数是微积分的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。
导数的概念在许多学科中都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
下面是一些导数概念的练习题，帮助大家更好地理解这个概念。
已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f'(x)。
已知函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = log(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = e^x，求f'(x)。
已知函数f(x) = x^n，求f'(x)。
已知函数f(x) = x/ln(x)，求f'(x)。
解：f'(x) = (ln(x)-1)/(ln(x))^2已知函数f(x) = arctan(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = e^(arctan(x))，求f'(x)。
解：f'(x) = e^(arctan(x))*(1/(1+x^2))已知函数f(x) = sin(e^x)，求f'(x)。
解：f'(x) = cos(e^x)*e^x已知函数f(x) = x^sin(x)，求f'(x)。
解：f'(x) = sin(x)x^(sin(x)-1)(cos(x)-1)以上练习题可以帮助大家理解导数的概念，并掌握一些常见的导数计算方法。
导数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点处的变化率。
求导数是数学分析中的一个基本技能，也是解决许多实际问题中必不可少的工具。
下面是一些求导数的练习题，供大家参考。
(1)θ=sinx,y=cosx。
(x)=3xx=0为函数的极值点。
随着素质教育的不断推进，高中数学课程中引入了越来越多的抽象概念，其中导数概念便是之一。
导数概念作为微积分的核心概念之一，对于高中生而言，是一个极具挑战性的知识点。
因此，本文旨在探讨高中学生对导数概念的理解情况，为教师提供有益的教学参考，从而提高学生对导数概念的理解和掌握程度。
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导数定义的利用
1
A . 2k
B . k c . — k D .以上都不是 2
分析：本题考查的是对导数定义的理解，根据导数定义直接求解即可
解：由于|im 怏2 X^X (Xo)
X A X
lim f (X o 2 ：x) - f (X o ) 2
二 lim 2 • J o 2
=2 lim 丄^° - x) - f (X o )乜，应选
A
.X 「o -
求曲线方程的斜率和方程
1 5
例 已知曲线y =x 上一点A(2, — )，用斜率定义求: x 2
(1) 点A 的切线的斜率
(2) 点A 处的切线方程
解: (1) ：y = f (2 . ：x) - f (2) -
2(2 ：x)
(2)切线方程为
即 3x -4y 4=0
说明：上述求导方法也是用定义求运动物体 S = S(t)在时刻t o 处的瞬时速度的步骤.
判断分段函数的在段点处的导数
f (X o • ：X )- f (X o )
L X
f(X o 2 ：x) - f(X o )等于( L X
分析: 求曲线在A 处的斜率k A ，即求lim Q
f(2 ：x)- f(2) A x
例
1 2
2(X 2+1)(X M1)
例 已知函数f(x)=<2 ，判断f (x)在X=1处是否可导?
1 2(^1)(^>1)
分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导.
1
_ 2
f (x)在X = 1处不可导.
说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即lim f (x 。
x) - f (X 0
)，当> 0 ；
u 0 x
包括 x > 0 ； - x > 0 一，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、 右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.
利用导数定义的求解
例 设函数f(x)在点X 0处可导，试求下列各极限的值.
1. lim 心0一小心)；
1
A . - 1
B .— 2
C . - 1 D.-
2
分析：在导数的定义中，增量 的形式是多种多样的，但不论 X 选择哪种形式，：
y 也必须选择相对应的形式•利用函数 f (x)在点x 0处可导的条件，可以将已给定的极限式班 等变形转化为导数定义的结构形式.：x
2. 3. f(X 。
若 f (X 。
) h)-f(x°-h)
2h
=2，则 lim fX —kLMxo)等于()
t 2k 解: 二
1
解法二（导函数的函数值法） L y =、x =x -、x ,
解：1 .原式=■im.o f(x -(x );)f(x o ) f (X Q h ) - f (X o ) f (X Q ) - f (X o -h) 2h
1 lim f(X o 也-心。
)Iim fx-m-fg
2 h Q h he -h A =2 f (X Q ) f (X Q ) L f (X Q ). 1
2 = -1.故选 A . 2 说明：概念是分析解决问题的重要依据， 只有熟练掌握概念的本质属性， 把握其内涵与
外延，才能灵活地应用概念进行解题， 不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，
盲 目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因.
解决这类问题的关键就是等价变形， 使问题转
化. 利用定义求导数
例1 .求函数y =*x 在x =1处的导数;
2.求函数y = x 2 • ax • b （a 、b 为常数）的导数.
分析：根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法,
处的导数有两种方法，应用导数定义法和导函数的函数值法.
解：1 .解法一（导数定义法）：厶y = 1 ■厶x -1 ,
绢 、一1「- X ~1 _ 1
、1 =x 1
.. 1 _1 .片 _1
叭.、1 * 1 2 y "2
.f (X o X )- f (X Q ) r X
—f (X 。
) 2•原式=I h m Q 3.
f (x 0) =1』m
f 〔X Q (-k)L f (X Q ) =2 (含匚 X - - k ), f(X 。
-k) -f (X Q )
2k
1”(心-倔)
2k )0 -k
1 -1 厂(X
Q ) 确定函数y= f （x ）在x=x 0
X
=lim
1 - - 八。
x ：x . x
2 一 x
2 2
2. . ：y 二[（x . ：x ） a （x L X ） b] -（X ax b ）
2 2
=2x . x （. ：x ） a • ：x = （2x a ） ：x （. ：x ） 严"；（f …
啊― 二 lim （2x a ：x ） = 2x a, y = 2x a.
说明：求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为 已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键，因此必须深刻理解导数的概念.
证明函数的在一点处连续
例 证明：若函数f （x ）在点X 。
处可导，则函数f （x ）在点X 。
处连续.
分析：从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明 续，必须证明lim f （x ）=f （x 。
）.由于函数f （x ）在点x o 处可导，因此，根据函数在点X o 处 X —^。
可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式（变为导数定义形式） 的转化.
解：证法一：设 X = X 。
* L X ，则当 X —； X 。
时， X —； 0，
lim f （x ） = lim f （x 。
：x ）
x 旳
二 lim f （x 。
、x ） - f （X o ） f （x 。
）】
x =x 。
忸f （x 。
丁讪八⑷
f （X 。
+ 也X ）— f （X o ） A 丄厂一、
7m 。
X —啊 x 叽f （X 。
） 二 f （X 。
）。
f （X 。
）= f （X o ）. L X L X X L X X f （X o ）在点X 。
处连
•••函数f(X)在点x0处连续.
证法二：•••函数f (x)在点x0处可导，
二在点X0处有
lim [ f (x) - f (x0)] = ljm°. y
=lim - L X = lim - lim t x
X「o ；x X r0Cx J0
=f (x0) 0 = 0
• lim f(x) = f (x0). •函数f (x)在点x0处连续.
X %
说明：对于同一个问题，可以从不同角度去表述，关键是要透过现象看清问题的本质，
正确运用转化思想来解决问题. 函数f (X)在点x0处连续，有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在=连续=有极限.反之则不一定成立.证题过程中不能合理实现转化, 而直接理解为lim f(x0•厶x)是使论证推理出现失误的障碍.。