2020年东城高三一模数学试题及答案(2020.05)
2020年北京东城区高三一模数学试卷
2020年北京东城区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合，集合，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数 （其中是虚数单位），则（ ）．A. B. C. D.3.抛物线的准线与轴的交点的坐标为（ ）．A. B. C. D.4.设函数，则（ ）．A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数5.已知曲线的方程为，则“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.一排个座位坐了个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）．A.B.C.D.7.已知圆与直线及的相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）．A.B.C.D.8.已知正项等比数列中，，与的等差中项为，则（ ）．A.B.C.D.9.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ）．A.天B.天C.天D.天10.某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是，，，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设向量，不平行，向量与平行，则实数 .12.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则 ．13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ．正主视图侧左视图俯视图14.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的个点，则该抛物线的标准方程可以是 ．15.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（）、图（）中的实线分别为调整后与的函数图象．给出下列四种说法：①图（）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是 ．（填写所有正确说法的编号）三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.如图，在中，，分别为，的中点，为的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．（1）（2）求证：．求直线和平面所成角的正弦值．17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角，，的对边分别为，，， ，，，求的面积．（1）（2）（3）18.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（天）的快递件数记录结果中随机抽取天的数据，制表如下：甲公司某员工乙公司某员工每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件元；乙公司规定每天件以内（含件）的部分每件元，超出件的部分每件元．根据表中数据写出甲公司员工在这天投递的快递件数的平均数和众数．为了解乙公司员工的每天所得劳务费的情况，从这天中随机抽取天，他所得的劳务费记为（单位：元），求的分布列和数学期望．根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．（1）（2）（3）19.已知函数．若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；求的单调区间；设函数，求证：当时，在上存在极小值．【答案】解析:∵，，∴．故选项正确．解析:∵，∴．故选．解析:抛物线的准线方程为：，与轴的交点的坐标为，故选B．解析:（1）（2）20.已知椭圆的右焦点为．求点的坐标和椭圆的离心率；直线过点，且与椭圆交于，两点，如果点关于轴的对称点为，判断直线是否经过轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．（1）（2）（3）21.各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：①；②；③是的因数（）．当时，写出数列的前五项．若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值．求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数．C1.A2.B3.A4.∵，则，∴，当且仅当即时等号成立，∴．故选．解析:要使曲线为焦点在轴上的椭圆，则，∴，即且，∴“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件．故选：．解析:根据题意，分步进行：①将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有种排法，个三口之家共有种排法；②将个整体元素进行排列，共有种排法；由分步乘法计数原理可得，不同的坐法种数为．故选．解析:因为与即平行，且与的距离为，所以圆的半径．B 5.C 6.A 7.又因为圆心在直线上，且与，均垂直，所以由，解得交点坐标为，联立，解得交点坐标为，所以圆心坐标为的做点，所以圆方程为．故选．解析:设正项等比数列的公比为，由可得：，∵，∴，又与的等差中项为，∴，，，，∵，∴．∴．综上所述，答案选择．解析:荷叶覆盖水面面积与生长时间的函数关系式为．当时，长满水面，所以生长天时，布满水面一半．故选．解析:设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为，，，D 8.C 9.C 10.集合，，中元素个数分别为，，，则，，，，因为，且，，，所以，即．故选．11.解析:∵向量，不平行，向量与平行，∴，∴，解得实数．故答案为：．12.解析:根据题意，角的终边按逆时针旋转后经过点，则，，即①，②，联立①②，解得．（1）解析:由主视图可知，四棱锥的高为，底面是长为，宽为的长方形．故四棱锥的体积为．故答案为：．解析:①若抛物线方程为，则，四个点，，，，故抛物线过和抛物线方程为．②若抛物线方程为，则，∵，，，，∴抛物线过和抛物线方程为．综上所述，抛物线方程为或．解析:∵观影人数时，∴时，为成本，即，∴②中减低成本（表现为利润亏损减少），③中成本不变，∴②③正确．解析:∵，，分别为，的中点，∴，∵是的中点，∴，∴，13.或14.②③15.（1）证明见解析（2）16.（2）又∵平面平面，平面平面，∴平面，∴．设为的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，∴，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，∴，∴，故直线和平面所成角的正弦值是．解析:若选①．∴．又在中，∴，而，．∴，．见解析，面积为17.．而，．∴．若选②．∴．又．∴．又．∴．∴，．而．∴．若选③．∴，．又．∴．而，．∴，．，（1）（2）（3）而．∴．面积为．解析:甲公司员工在这天投递快件数的平均数为：，由表可知，众数为．设为乙公司每天投递件数，所得劳务费记为，则当时，元，当时，，∴的可能取值为，，，，，，，，，，∴的分布列为：元．由上表数据，甲公司每位员工在该月所得劳务费为元，（1）平均数：，众数：．（2）．（3）甲：元，乙：元．18.甲甲（1）（2）（3）乙公司每位员工在该月所得劳务费为元．解析:由得．由已知曲线存在斜率为的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数的取值范围由，，可得当时，，所以函数的增区间为；当时，若，，若，，所以此时函数的增区间为，减区间为．由及题设得，由可得，由(Ⅱ)可知函数在上递增，所以，取，显然，，所以存在满足，即存在满足，所以在区间上的情况如下：极小所以当时，在上存在极小值．（1）（2）当时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为，减区间为．（3）证明见解析．19.（1）（2）（1）（2）解析:因为椭圆所以焦点，离心率直线过点，所以，所以．由，得（依题意）．设 ，，则，．因为点关于轴的对称点为，则．所以，直线的方程可以设为，令，．所以直线过轴上定点．解析:，，，，．因为，所以，，又数列的前项互不相等，①当时，若，则，且对，都为整数，所以；若，则，且对，都为整数，所以；②当时，（1）焦点，离心率（2）定点坐标20.（1），，，，．（2）的值为，，．（3）证明见解析．21.（3）若，则，且对，都为整数，所以，不符合题意；若，则，且对，都为整数，所以；综上，的值为，，．对于，令，则．又对每一个，都为正整数，所以，其中“”至多出现个．故存在正整数，当时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及均为整数，所以，故常数．从而常数．故存在正整数，使得时，为常数．。
2024届北京东城区高三一模数学试题及答案
2024北京东城高三一模数 学2024.4本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）如图所示，U 是全集，A B ，是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（A ）A B（B ）AB（C ）UA B （）（D ）UA B （）（2）已知,a b ∈R ，0ab ≠，且a b <，则（A ）11a b > （B ）2ab b < （C ） 33a b < （D ）lg lg a b<（3）已知双曲线221x my −=的离心率为2，则m =（A ）3（B ）13（C ）3− （D ）13−（4）设函数()11ln f x x =+，有（A ）()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （B ）()12f x f x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（C ）()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （D ）()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（5）已知函数()sin cos f x t x x ωω=+(0,0)t ω>>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（A ）关于直线π4x =−对称（B ）关于点π(,0)4−对称 （C ）关于直线π8x =对称（D ）关于点π(,0)8对称（6）已知443243210()a x a x a x a x x m a ++++=+，若0234181a a a a a ++++=，则m 的取值可以为 （A ）2（B ）1（C ）1−（D ）2−（7）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法. 某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高20cm . 首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：π 3.14≈）（A ）38.0m （B ）34.1m（C ）38.1m （D ）32.2m （8）设等差数列{}n a 的公差为d ，则“10a d <<”是“{}na n 为递增数列”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是BD 的中点，O 为ABD ∆的中心. 现将ABD ∆沿BD 翻折为1A BD ∆，记1A BD ∆的中心为1O ，如图2. 设直线1CO 与平面BCD 的夹角为θ，则sin θ的最大值为图1图2（A ）13（B ）12（C （D （10）已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a −=∈−R ，下列说法正确的是（A ）若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在()a +∞，上单调递增 （B ）对于任意实数a ，若()a g x 在()a +∞，上单调递增，则()f x 在R 上单调递增 （C ）对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得1()f x M <，则存在实数20M >，使得2()ag x M <（D ）若函数()a g x 满足：当()x a ∈+∞，时，()0a g x ≥，当()x a ∈−∞，时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市东城区2020届高三高考第一次模拟(4月份)数学试题 Word版含解析
2020年高考数学（4月份）第一次模拟试卷一、选择题（共10小题）.1.已知集合(){}10A x x x =+≤，集合{}11B x x =-<<，则=A B U （ ） A. {}-11x x ≤≤ B. {}-10x x <≤ C. {}-11x x ≤< D. {}01x x <<【答案】C 【解析】 【分析】解集合{}10A x x =-≤≤，即可求A B ⋃．【详解】解一元二次不等(1)0x x +≤，可得{}10A x x =-≤≤，则=A B ⋃ {}-11x x ≤<，故选C ．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及集合的并集运算，属基础题． 2.已知复数12-=iz i（其中i 是虚数单位），则z =（ ）A.2C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】利用复数模长的性质即可求解.【详解】Q 复数22111122222i i i i z i i i --+====---，z ∴==， 故选：A .【点睛】本题考查求复数的模，涉及到复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.3.抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A. 1(0,)2- B. (0,1)- C. (0,2)- D. (0,4)-【答案】B 【解析】试题分析：准线方程为：，与y 轴的交点为(0,1)-，故选B.考点：抛物线的性质. 4.设函数()()120f x x x x=+-<，则()f x （ ） A. 有最大值 B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数【答案】A 【解析】 【分析】根据0x <即可根据基本不等式得出12x x-+≥-，从而可得出()4f x ≤-，并且1x =-时取等号，从而得出()f x 有最大值，由对勾函数的图象知()f x 在(,0)-∞没有单调性，从而得出正确的选项.【详解】0x <Q ，()()112224f x x x x x ⎡⎤∴=+=--+-≤--=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即1x =-时取等号，()f x ∴有最大值，又由对勾函数的图象可知()f x 在(),0-∞上不具单调性. 故选：A.【点睛】本题考查对勾型函数的性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.5.已知曲线C 的方程为221x y a b-=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】若0a b >>，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立， 若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则满足0a b >->， 即0a >，0b <，满足a b >，即必要性成立，即“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到椭圆的方程，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.6.一排6个座位坐了2个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） A. 12 B. 36 C. 72 D. 720【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，用捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数乘法原理计算可得答案.【详解】根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有333336A A =种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有222A =种情况，则有36272⨯=种不同的坐法. 故选：C.【点睛】本题考查排列的简单应用，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题. 7.已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为（ ） A. ()()22112x y -+-= B. ()()22112x y -++= C. ()()22114x y ++-= D. ()()22114x y +++=【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心在直线y x =上，设出圆心坐标为(),a a ，利用圆C 与直线y x =-及40x y +-=都相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程.【详解】圆心在y x =上，设圆心为(),a a ，Q 圆C 与直线y x =-及40x y +-=都相切，∴圆心到两直线y x =-及40x y +-=的距离相等，1a =⇒=，∴圆心坐标为()1,1，R == 圆C 的标准方程为()()22112x y -+-=. 故选：A.【点睛】本题考查求圆的方程，涉及到点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.8.已知正项等比数列{}n a 中，51927a a a =，6a 与7a 的等差中项为9，则10a =（ ） A. 729 B. 332 C. 181 D. 96【答案】D 【解析】 【分析】正项等比数列{}n a 的公比设为q ，0q >，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q ，再由等比数列的通项公式计算可得所求值. 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由51927a a a =，可得3527a =，即53a =，即413a q =，①6a 与7a 的等差中项为9，可得6718a a +=，即561118a q a q +=，②由①②可得260q q +-=，解得2q =或3q =-（舍），则510533296a a q ==⨯=.故选：D.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等差中项的概念，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.9.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ） A. 10天 B. 15天 C. 19天 D. 2天【答案】C 【解析】 【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x 的范围，列出方程求解即可. 【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为a ，则x 天后荷叶覆盖水面的面积()2xy a x *=⋅∈N ，根据题意，令()20222xa a ⋅=⋅，解得19x =，故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，考查学生建模能力、数学运算能力，是一道容易题. 10.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】将原问题转化为Venn 的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩， 即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当b =c =e ＝0时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题共5题，每题5分，共25分.11.设向量a r ，b r 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，所以2a b k a b λ+=+r r r r （），则{12,k k λ==，所以12λ=． 考点：向量共线．12.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转6π后经过点(-，则sin α=______________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得α的值，可得sin α的值. 【详解】Q 角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合， 将角α的终边按逆时针方向旋转6π后经过点(-，tan 6πα⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭22,63k k Z ππαπ+=+∈，所以2,2k k Z παπ=+∈，sin sin(2)12k παπ=+=. 故答案为：1.【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值的问题，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.13.某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．【答案】43【解析】 【分析】先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果. 【详解】由三视图知该几何体如图，V ＝12123⨯⨯⨯＝43故答案为43【点睛】本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题.14.若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】28x y =或2y x = 【解析】 【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可. 【详解】设抛物线的标准方程为：2x my =，不难验证()12,4,22⎛⎫⎪⎝⎭，适合，故28x y =； 设抛物线的标准方程为：2n y x =，不难验证()()1,14,2，适合，故2y x =； 故答案为：28x y =或2y x =【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题. 15.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ,观影人数记为x ,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本; ②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本; ③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变; ④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据图象可知盈利额y 与观影人数x 成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)图象进行分析即可得出答案.【详解】解:由图象(1)可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y kx b =+,0,0k b ><,即k 为票价,当0k =时,y b =,则b -为固定成本, 由图象(2)知,直线向上平移,k 不变,即票价不变, b 变大,则b -变小,成本减小.故①错误,②正确;由图象(3)知,直线与y 轴的交点不变,直线斜率变大,k 变大,即提高票价, b 不变,则b -不变,成本不变.故③正确,④错误; 故答案为:②③【点睛】本题考查一次函数图象的变化,以及k 和b 对一次函数图象的影响,是基础题.三、解答题16.如图1，在ABC V 中， D ， E 分别为AB ， AC 的中点，O 为DE 的中点，25AB AC ==，4BC =.将ABC V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2.（1）求证：1AO BD ⊥； （2）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）223.【解析】 【分析】（1）由题意可得1AO DE ⊥，又平面1A DE ⊥平面BCED ，且平面1A DE I 平面BCED DE =，1AO ⊂平面1A DE ，所以1A O ⊥平面BCED ，可证1AO BD ⊥； （2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，求平面1A BD 的法向量，用向量的方法求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值.【详解】（1）连接1A O .图1中，AB AC =Q ，D ， E 分别为AB ， AC 的中点，AD AE ∴=，即11A D A E =，又O 为DE 的中点，1AO DE ∴⊥. 又平面1A DE ⊥平面BCED ，且平面1A DE I 平面BCED DE =，1AO ⊂平面1A DE ， 1A O ∴⊥平面BCED ，又BD ⊂平面BCED ， 1A O BD ∴⊥.（2）取BC 中点G ，连接OG ，则OG DE ⊥.由（1）可知1A O ⊥平面BCED ，OG ⊂平面BCED 11,AO DE AO OG ∴⊥⊥. 以O 为原点，分别以1,,OG OE OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示25AB AC ==Q 4BC =，()22115,2,1,512A D DE OD AO ∴==∴=∴=-=.()()()()10,0,2,2,2,0,2,2,0,0,1,0A B C D ∴--，()()()11112,2,2,0,1,2,2,2,2A B A D AC AC ∴=--=--=-=u u u r u u u u r u u u r u u u r ，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r，则11·0·0n A B n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，即222020x y z y z --=⎧⎨--=⎩，令1z =，则2,1y x =-=-，()1,2,1n n ∴=--=r r ，. 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111sin cos ,3AC n AC n AC n θ=〈〉===u u u r r u u u r r g u u u r r 所以直线1A C 和平面1A BD所成角的正弦值为3. 【点睛】本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.17.在①222b a c =+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ______________,3A π=,b =求ABC ∆的面积.【答案】答案不唯一,具体见解析 【解析】 【分析】（1）选①222b a c =+,先用余弦定理求出角B ,根据三角形内角和为π可算出角C ,再由正弦定理求出a 边,最后用三角形的面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求面积即可. （2）选②,先用正弦定理的推论将cos sin a B b A =边化角,整理得角B ,根据三角形内角和为π可算出角C ,再由正弦定理求出a 边,最后用三角形的面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求面积即可.【详解】解：（1）若选择①222b a c +=+,由余弦定理222cos 2a c b B ac +-===, 因为(0,)B π∈,所以4B π=;由正弦定理sin sin a b A B=,得sin sin sin 2b Aa Bπ===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以113sin 2244ABC S ab C ∆+===. （2）若选择②cos sin a B b A =, 则sin cos sin sin A B B A =, 因为sin 0A ≠,所以sin cos B B =, 因为(0,)B π∈,所以4B π=;由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin sin 2b Aa Bπ===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以562 sin sin sin sin cos cos sin12464646 Cπππππππ+⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以116233sin3222ABCS ab C∆++==⨯⨯⨯=.（3）若选择③sin cos2B B+=,则2sin24Bπ⎛⎫+=⎪⎝⎭,所以sin14Bπ⎛⎫+=⎪⎝⎭,因为(0,)Bπ∈,所以5,444Bπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以42Bππ+=,所以4Bπ=;由正弦定理sin sina bA B=,得2sinsin33sin2b AaBπ⋅===,因为3Aπ=,4Bπ=,所以53412Cππππ=--=,所以562 sin sin sin sin cos cos sin124646464Cπππππππ+⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以116233sin3222ABCS ab C∆++==⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查用正弦、余弦定理解三角形,熟记公式是解题的关键.18.为了解甲、乙两个快递公司工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（1）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数； （2）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【答案】（1）平均数为36，众数为33；（2）详见解析；（3）甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元. 【解析】 【分析】（1）直接利用茎叶图中数据求甲公司员工A 投递快递件数的平均数和众数.（2）由题意能求出X 的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望.（3）利用（2）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 【详解】（1）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为：()1323333383536393341403610x =+++++++++=， 众数为33.（2）设a 为乙公司员工B 投递件数，则 当34a =时，136X =元，当35a >时，()354357X a =⨯+-⨯元，∴X 的可能取值为136，147，154，189，203，()113610P X ==，()314710P X ==， ()215410P X ==，()318910P X ==，()120310P X ==，X 的分布列为：()132311655136147154189203165.5101010101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元）. （3）根据图中数据，由（2）可估算：甲公司被抽取员工该月收入36 4.5304860=⨯⨯=元， 乙公司被抽取员工该月收入165.5304965=⨯=元.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，涉及到茎叶图、平均数等知识，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 19.已知函数()ln 1af x x x=--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围； （2）求()f x 的单调区间； （3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值. 【答案】(1) (),0-∞.(2)答案见解析；(3)证明见解析 【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为20x x a ++=存在大于0的实数根，根据2y x x a =++在0x >时递增，求出a 的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可； （3）求出函数()g x ，根据()0af e e=->，得到存在0(1,)x e ∈，满足00()g x '=，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可. 试题解析： （1）由()ln 1af x x x=--得()221'(0)a x a f x x x x x +=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增，所以实数a 的取值范围(),0-∞. （2）由()2',0,x af x x a R x+=>∈可得 当0a ≥时， ()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+； 当0a <时，若(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，若()0,x a ∈-， ()'0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.（3）由()ln x ag x x+=及题设得()()()()22ln 1'ln ln ax f x x g x x x --==， 由10a -<<可得01a <-<，由（2）可知函数()f x 在(),a -+∞上递增， 所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，()ln 10a af e e e e=--=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间（1，+∞）上的情况如下：x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞()'g x － 0 +()g x ↘ 极小 ↗所以当-1<a<0时，g （x ）在（1，+∞）上存在极小值.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.20.已知椭圆22:36C x y +=的右焦点为F . （1）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为'P ，判断直线'P Q 是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.【答案】（1）焦点()2,0F，离心率e （2）是过x 轴上的定点；定点()3,0 【解析】 【分析】（1）由椭圆的标准方程即可得出；（2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，可得():2l y k x =-，代入椭圆的标准方程可得：()222231121260kx k x k +-+-=.（依题意>0∆）.设()11,P x y ，()22,Q x y ，可得根与系数的关系，点P 关于x 轴的对称点为'P ，则()'11,P x y -.可得直线'P Q 的方程可以为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x yx x y y y y -+=+=++，把根与系数的关系代入化简即可得出.【详解】（1）Q 椭圆22:162x yC +=，2224c a b ∴=-=，解得2c =，∴焦点()2,0F，离心率e .（2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，2m k ∴=-，():2l y k x ∴=-.由()22362x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，得()222231121260k x k x k +-+-=.（依题意>0∆）. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则21221231k x x k +=+，212212631k x x k -⋅=+. Q 点P 关于x 轴的对称点为'P ，则()'11,P x y -.∴直线'P Q 的方程可以设为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x yx x y y y y -+=+=++()()()211212224kx x kx x k x x -+-=+-()()121212224x x x x x x -+=+-22222212612223131312431k k k k k k -⨯-⨯++==⎛⎫- ⎪+⎝⎭. ∴直线'P Q 过x 轴上定点()3,0.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的离心率、椭圆中的定点问题，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 21.各项均为非负整数的数列{}n a 同时满足下列条件：①1a m = ()m ∈*N ；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++L 的因数（1n ≥）．（1）当5m =时，写出数列{}n a 的前五项；（2）若数列{}n a 的前三项互不相等，且3n ≥时，n a 为常数，求m 的值； （3）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数． 【答案】（1）5，1，0，2，2. （2）m 的值为2,3,4.（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得125,1,a a =≤ 而2是12a a +的因数，所以21a = ，依次求出后三项，（2）由前三项互不相等，可分类讨论：2323232301021012a a a a a a a a ========，；，；，；，；这四种情况即可，（3）令12n n S a a a =+++L ，则n S n 为正整数，易得n Sn为单调递减数列（可相等），当首项确定时，当n M >时，必有11n n S S n n +=+成立.而当11n n S S n n +=+成立时，可得1212n n n S S S n n n ++====++L 常数.【详解】解：（1）5，1，0，2，2.（2）因为01n a n ≤≤-，所以2301,02a a ≤≤≤≤，又数列{}n a 的前3项互不相等， 当20a =时，若31a =，则3451a a a ====L ， 且对3n ≥，()0221m n m nn++--=+都为整数，所以2m =； 若32a =，则3452a a a ====L ， 且对3n ≥，()02242m n m nn++--=+都为整数，所以4m =； 当21a =时，若30a =，则3450a a a ====L ，且对3n ≥，()1021m n m nn++⋅-+=都为整数，所以1m =-，不符合题意；若32a =，则3452a a a ====L ， 且对3n ≥，()12232m n m nn++--=+都为整数，所以3m =； 综上，m 的值为2,3,4. （3）对于1n ≥，令12n n S a a a =+++L ，则11111n n n n n nS S S a S n S n n n n n+++++<=≤=++. 又对每一个n ，n S n都为正整数，所以11n S n ++ 1...1n S Sm n ≤≤≤=，其中“<”至多出现1m -个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有11n nS S n n+=+成立. 当11n n S S n n +=+时，则()111n n n n n nn S S a S S S n n+++=-=-=.从而()2122121112222n n n n n n n n n a n a S a a S a aa n n n n ++++++++++++-===+++++. 由题设知211122n n a a n n n ++-+≤<++，又22n S n ++及1n a +均为整数，所以22n S n +=+ 1n a += 11n n S S n n +=+，故1212n n n S S Sn n n ++====++L 常数. 从而()111n nn n n nn S S a S S Snn+++=-=-==常数. 故存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数.。
北京市东城区2020届高三数学一模试卷文含解析
北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）若集合2{3}A x x x =∈<R ，{12}B x x =-<<，则AB =（A ）{10}x x -<< （B ）{13}x x -<< （C ）{02}x x << （D ）{03}x x << 【知识点】集合的运算 【试题解析】因为，所以，故答案为：B 【答案】B（2）已知直线310ax y +-=与直线3+2=0x y -互相垂直，则a = （A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）3 【知识点】两条直线的位置关系 【试题解析】因为直线与直线互相垂直，所以，故答案为：C 【答案】C（3）已知4log 6a =，4log 0.2b =，2log 3c =，则三个数的大小关系是（A ）c a b >> （B ）a c b >> （C ）a b c >> （D ）b c a >> 【知识点】对数与对数函数 【试题解析】因为 所以，故答案为：A 【答案】A（4）若,x y 满足0230230x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，，，则2u x y =+的最大值为（A ）3 （B ）52 （C ）2（D ）32【知识点】线性规划【试题解析】因为可行域如图，在AC 上任何一点取得最大值3．故答案为：A 【答案】A（5）已知数列{}n a 的前n 项和1159131721(1)(43)n n S n -=-+-+-++--，则11S =（A ）21-（B ）19-（C ）19（D ）21【知识点】数列的求和 【试题解析】因为故答案为：D 【答案】D（6）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a b =”是“A b B a cos cos =”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为所以，是充分必要条件 故答案为：C 【答案】C （7）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,,a b i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为（A ）0,3 （B ）0,4 （C ）2,3 （D ）2,4 【知识点】算法和程序框图 【试题解析】因为输出。
北京市东城区2020学年度高三数学综合练习(一)
北京市东城区2020学年度综合练习（一）高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1、 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若将复数i i +2表示为(,a bi a b +∈R ，i 是虚数单位)的形式,则ab的值为 ( ) A ．-2 B ．21- C ．2 D ．212.命题甲“sin sin αβ>”,命题乙“αβ>”,那么甲是乙成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.设B A ,为x 轴上两点,点P 的横坐标为2,且PB PA =,若直线PA 的方程为01=+-y x ,则直线PB 的方程为 ( )A.072=-+y xB.012=--y xC.042=+-y xD.05=-+y x 4.若非零向量a,b 满足=a +b b ,则下列不等关系一定成立的是 ( ) A .22>+a a b B .22<+a a bC .22>+b a bD .22<+b a b5.已知函数bx x x f +=2)(的图像在点))1(,1(f A 处的切线与直线320x y -+=平行,数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2009S 的值为( )A ．20082007 B ．20092008 C ．20102009 D ．201120106.数列{}n a 共有6项,其中三项是1,两项为2,一项是3,则满足上述条件的数列共有( )A ．24个B ．60个C ．72个D ．120个7.已知命题:“y y x ,⊥若∥z ,则z x ⊥”成立,那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形不能( ) A.都是直线 B.都是平面 C.y x ,是直线,z 是平面 D.z x ,是平面,y 是直线8.函数)(x f y =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图),则不等式x x f x f 2)()(+-<的解集为( )A.⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<<<-122022x x x 或 B. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≤-122221x x x 或 C. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-<≤-220221x x x 或 D. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-02222x x x 且北京市东城区2020学年度综合练习（一）高三数学（理科） 第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
北京市东城区2020届高三数学一模考试试题(解析版)
2020年高考数学一模试卷一、选择题1.已知集合，，那么 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合A，再利用交集的定义求解.【详解】∵ ，，∴ .故选：D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.函数的定义域为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据得到，再解不等式即可.【详解】函数，令，得，解得，所以的定义域为 .故选：B【点睛】本题主要考查函数的定义域，属于简单题.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法得出，进而可求得实数的值.【详解】，，因此， .故选：A.【点睛】本题考查利用复数相等求参数，考查复数除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.4.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出双曲线中斜率为正数的渐近线方程，根据该直线与直线平行可求得的值.【详解】双曲线的一条渐近线与直线平行，可得 .故选：D.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线与直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.5.如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三视图作出几何体的直观图，然后利用锥体的体积公式可求得该几何体的体积.【详解】由三视图知，几何体是一个三棱锥，根据三棱锥的三视图的数据，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是，，，因此，三棱锥的体积是 .故选：A.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键就是结合三视图还原几何体，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.6.已知，那么在下列不等式中，不成立的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】，则，，又、，， .可得：ABC成立，D不成立.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.7.在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出运动分钟时动点转动的角，再利用诱导公式可求得结果.【详解】每分钟转动一周，则运动到分钟时，转过的角为 .设点的初始位置的坐标为，则，，运动到3分钟时动点所处位置的坐标是 .由诱导公式可得，，所以，点的坐标为 .故选：C.【点睛】本题考查点的坐标的求解，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8.已知三角形，那么“ ”是“三角形为锐角三角形”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】在不等式两边平方并化简得，判断出角的属性，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】三角形中，“ ” ，可得为锐角，此时三角形不一定为锐角三角形.三角形为锐角三角形为锐角.三角形，那么“ ”是“三角形为锐角三角形”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要而不充分条件的判断，同时也考查了平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.9.设O为坐标原点，点，动点在抛物线上，且位于第一象限，是线段的中点，则直线的斜率的范围为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设点，可得出线段的中点的坐标，利用基本不等式可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】设，，所以的中点，所以，因为，所以，所以，故选：C.【点睛】本题考查直线斜率取值范围的计算，涉及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.10.假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以表示，被捕食者的数量以表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是（）A. 若在、时刻满足：，则B. 如果数量是先上升后下降的，那么的数量一定也是先上升后下降C. 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D. 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【答案】C【解析】【分析】根据图形可判断A选项的正误；根据曲线上半段中和的变化趋势可判断B选项的正误；根据捕食者和被捕食者的最值情况可判断C选项的正误；取，可判断D选项的正误.【详解】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到是先上升后下降，而是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，，，此时二者总和，由图象可知存在点，，，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选：C.【点睛】本题考查函数图象的性质，考查数据分析能力，比较抽象，属于中等题.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量，，，若与共线，则实数 ______.【答案】【解析】【分析】求出向量的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于的等式，进而可求得的值. 【详解】向量，，，，与共线，，解得实数 .故答案为： .点睛】本题考查利用向量共线求参数，考查计算能力，属于基础题.12.在的展开式中，常数项为_____．（用数字作答）【答案】60【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用x项的指数为0，即可求出常数项.【详解】在的展开式中,通项公式为：所以展开式的常数项为：故答案为：60【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.13.圆心在轴上，且与直线和都相切的圆的方程为______.【答案】【解析】【分析】设所求圆的方程为，根据圆与直线、都相切可求得、的值，由此可得出所求圆的方程.【详解】设所求圆的方程为，因为圆与直线和都相切，则，解得，，所以圆的方程为 .故答案为： .【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线与圆相切的处理，考查计算能力，属于中等题.14. 是等边三角形，点D在边的延长线上，且，，则 ______； ______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由可得，在中利用余弦定理可求得的长，在中，利用正弦定理可求得的值.【详解】如图所示，等边中，，所以 .又，所以，即，解得，所以；由，即，解得 .故答案为：； .点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 15.设函数给出下列四个结论：①对，，使得无解；②对，，使得有两解；③当时，，使得有解；④当时，，使得有三解.其中，所有正确结论的序号是______. 【答案】③④【解析】分析】取，由一次函数的单调性和基本不等式，可得函数的值域，可判断①的正误；取，判断函数的单调性，即可判断②；考虑时，求得函数的值域，即可判断③；当时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及函数的图象，即可判断④.综合可得出结论.【详解】对于①，可取，则，当时，；当时，，当且仅当时，取得等号，故时，的值域为R，，都有解，故①错误；对于②可取时，，可得在上单调递增，对，至多一解，故②错误；对于③，当时，时，单调递减，可得；又时，，即有 .可得，则的值域为，，都有解，故③正确；对于④，当时，时，递增，可得；当时，，当且仅当时，取得等号，由图象可得，当时，有三解，故④正确.故答案为：③④.【点睛】本题考查分段函数的应用，主要考查方程根的个数问题，注意运用反例法判断命题不正确，考查推理能力，属于中等题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥中，面，底面为平行四边形，，， .（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .【解析】【分析】（Ⅰ）根据四边形是平行四边形得出，再利用线面平行的判定定理可证得平面；（Ⅱ）过作平行于的直线，以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】（Ⅰ）证明：底面为平行四边形，，平面，平面，平面；（Ⅱ）解：过作平行于的直线，，，又面，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 .则、、，，，设平面的一个法向量为，由，取，得 .取平面的一个法向量，则 .由图可知，二面角为钝角，二面角的余弦值为 .【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.17.已知函数，且满足_______.（Ⅰ）求函数的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数的取值范围.从① 的最大值为，② 的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，③ 的图象过点 .这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.【答案】满足①或②或③；（Ⅰ），最小正周期为；（Ⅱ）；【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，根据①或②或③中的条件求得，可得出，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（Ⅱ）令，得，解得，，可得出方程在区间上的实数根，进而可得出实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）函数，若满足① 的最大值为1，则，解得，所以，则函数的最小正周期为；（Ⅱ）令，得，解得，，即，；若关于的方程在区间上有两个不同解，则或；所以实数m的取值范围是 .若满足②，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，且的最小正周期为，所以，解得；以下解法均相同.若满足③，的图象过点，则，解得；以下解法均相同.【点睛】本题考查利用正弦型函数的基本性质求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数方程的根的个数求参数，考查计算能力，属于中等题.18.中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.如图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“ ”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）分布列见解析，1；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.【解析】【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．【详解】（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为所以X的期望为；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.【点睛】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题.19.已知椭圆E：（），它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为，，若四边形为正方形，且面积为2.（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线，，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形是菱形，求出该菱形周长的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可；（Ⅱ）设的方程为，的方程为，联立直线与椭圆方程并消元得韦达定理的结论，根据弦长公式可求得，，由四边形为菱形可得，可得，再根据基本不等式即可求出最值．【详解】解：（Ⅰ）∵四边形为正方形，且面积为2，∴ ，解得，∴椭圆的标准方程；（Ⅱ）设的方程为，，，设的方程为，，，联立可得，由可得，化简可得，①，，，同理可得，∵四边形为菱形，∴ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，关于原点对称，又椭圆关于原点对称，∴ 关于原点对称，也关于原点对称，∴ 且，∴ ，，∵四边形为菱形，可得，即，即，即，可得，化简可得，∴菱形的周长为，当且仅当，即时等号成立，此时，满足①，∴菱形的周长的最大值为．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查椭圆的几何性质，考查一元二次方程根与系数的应用，考查基本不等式的应用，考查转化与划归思想，考查计算能力，属于难题．20.已知函数（）.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若，求在区间上的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】【分析】由题意得；（Ⅰ）当时，求得，，根据点斜式方程即可求出切线方程；（Ⅱ）由题意得两个不等的正根，令，则，由此可得函数的单调性，由此可求出答案；（Ⅲ）由题意可得，由二阶导的取值符号可得到的单调性，得到，由此可求出函数在上单调递减，从而求出最值．【详解】解：∵ ，∴ ；（Ⅰ）当时，，，∴曲线在点处的切线方程为，即；（Ⅱ）∵若有两个极值点，∴ 有两个不等的正根，即两个不等的正根，令，，，令，当时，此时单调递增，；当时，此时单调递减，∴函数在处取得极大值，也是最大值，因为两个不等的正根，∴ ，得，∴实数a的取值范围是；（Ⅲ）∵ ，∴ ，，∵ ，，令，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，故，∴ 在上单调递减，故在上的最小值为．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题．21.数列：，，，…，，…，对于给定的（，），记满足不等式：（，）的构成的集合为．（Ⅰ）若数列，写出集合；（Ⅱ）如果（，）均为相同的单元素集合，求证：数列，，…，，…为等差数列；（Ⅲ）如果（，）为单元素集合，那么数列，，…，，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）是等差数列，证明见解析．【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得，，分和两类讨论解出不等式，再根据的定义即可求出；（Ⅱ）由题意，若中均只有同一个元素，不妨设为，当时，由题意可得，当时，有，则成立，从而得出证明；（Ⅲ）不妨设，，，，由题意可得，，则，则；设，则，则，首先证时的情况，不妨设，由，为单元素集，则；再证，由和的定义可证，则，则存在正整数使得，而，得出矛盾，从而，同理可证，由此可得结论．【详解】（Ⅰ）解：由题意得，为满足不等式的构成的集合，∵数列，∴ ，即，当时，上式可化为，当时，上式可化，得，∴ ；（Ⅱ）证：对于数列：，，，…，，…，若中均只有同一个元素，不妨设为，下面证明数列为等差数列，当时，有，①当时，有，②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴ 成立，∴数列，，…，，…为等差数列；（Ⅲ）解：对于数列：，，…，，…，不妨设，，，，由，知，由，知：，即，∴ ，∴ ；设，则，这说明，则，∵对于数列，中均只有一个元素，首先证时的情况，不妨设，∵ ，又为单元素集，∴ ，再证，证明如下：由的定义可知：，，∴ ，由的定义可知，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，则存在正整数，使得，③∵ ，∴ ，这与③矛盾，∴ ，同理可证，即，∴数列，，…，，…还是等差数列．【点睛】本题主要考查数列的新定义问题，考查定义法证明等差数列，考查计算能力与推理能力，考查分类讨论思想，考查转化与化归思想，属于难题．。
北京市东城区2020届高考数学一模试卷 (含答案解析)
北京市东城区2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={1,2，3，4，5}，B ={x|x ≤3}，则A ∩B =( )A. {3}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2，3} 2. 已知函数f(x)的定义域为(−1,0)，则函数f(2x +1)的定义域为( )A. (−1,1)B. (−1,−12)C. (−1,0)D. (12,1)3. 已知a+i i=b +2i(a,b ∈R)，其中为虚数单位，则a −b =( )A. −3B. −2C. −1D. 14. 设直线y =2x −4与双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的一条渐近线平行，则C 的离心率为( )A. √3B. √5C. 3D. 55. 三棱锥的直观图与主视图、左视图如图所示，若PB =2√2，则此三棱锥的体积等于( )A. 4√33B. 2√3C. 2√33D. √1536. 已知a >b ，则下列不等式中不成立的个数是( )①a 2>b 2，②1a <1b ，③1a−b >1a ．A. 0B. 1C. 2D. 37. 在直角坐标系中，一动点从点A(1,0)出发，沿单位圆圆周按逆时针方向运动23π弧长，到达点B ，则点B 的坐标为( )A. (−12,√32) B. (−√32,−12) C. (−12,−√32) D. (−√32,12) 8. 设a ⃗ ，b ⃗ 是两个非零向量，则使a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |成立的一个必要非充分条件是( )A. a ⃗ =b ⃗B. a ⃗ ⊥b ⃗C. a ⃗ =λb ⃗ (λ>0)D. a ⃗ //b ⃗9. 已知点P 是抛物线x 2=4y 上一点，点F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，点Q 为直线l ：2y +3=0上的一个动点．若|PF|=2，则|OQ|+|PQ|的最小值为( )A. 2√5B. 3+√412C. 5D. 3√210. 空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI ，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是( )A. 该地区在该月2日空气质量最好B. 该地区在该月24日空气质量最差C. 该地区从该月7日到12日AQI 持续增大D. 该地区的空气质量指数AQI 与这段日期成负相关二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 已知向量a ⃗ =(−3,4)，b ⃗ =(m,2)若向量2a ⃗ −3b ⃗ 与b ⃗ 共线，则实数m =________．12. 若(x 2−1√x 3)a 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是______． 13. 圆心为(1,0)，且与直线y =x +1相切的圆的方程是______．14. 如图，在△ABC 中，已知点D 在边BC 上，AD ⊥AC ，sin∠BAC =2√23，AB =3√2，AD =3，那么BD 的长为____.15. 已知函数f(x)=(1+sinx)(3+sinx)2+sinx，g(x)=ax +1(a >0)，对任意的x 2∈[−1,1]，总存在x 1∈[π,3π2]，使f(x 1)=g(x2)，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 如图，在四棱锥S −ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E 是线段SD 上一点．(1)若E是SD的中点，求证：SB//平面ACE；(2)若SA=AB=AD=2，SC=2√2，且DE=23DS，求二面角S−AC−E的余弦值．17.已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a的最大值为1．(1)求实数a的值；(2)若将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．18.改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值(单位：亿元)，折线图为体育产业年增长率(%)．(Ⅰ)从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上的概率；(Ⅱ)从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；(Ⅲ)由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？(结论不要求证明)19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，四边形A1B1A2B2的周长为4√5，面积为4．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过B1的两条相互垂直的直线l1，l2分别交椭圆C于另外两点M，N，若直线MN的斜率的取值范围为，求直线B1M的斜率的取值范围．20.已知函数f(x)=xlnx(1)求函数在点(e,f(e))处的切线方程；(2)设实数a>1，求函数在[a,2a]上的最小值；2e21.已知函数f(x)=3x，数列{x n}的通项由x n=f(x n−1)(n≥2,n∈N+)确定．x+3}是等差数列；(Ⅰ)求证：{1x n(Ⅱ)当x1=1时，求x100．2-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵A ={1,2，3，4，5}，B ={x|x ≤3}； ∴A ∩B ={1,2，3}． 故选：D ．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：由已知得−1<2x +1<0，解得−1<x <−12，所以函数f(2x +1)的定义域为(−1,−12)．3.答案：A解析：解：由a+i i=b +2i ，得a +i =−2+bi ，∴a =−2，b =1， 则a −b =−3． 故选：A ． 由a+i i=b +2i ，得a +i =−2+bi ，再由复数相等的条件列式求得a ，b 的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．4.答案：B解析：解：直线y =2x −4与双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的一条渐近线平行，可得一条渐近线的斜率为2，设b >0， 即y =bx 的斜率为2，即有b =2， 又a =1，可得c =√1+4=√5， e =c a=√5，故选：B ．由两直线平行的条件：斜率相等，可得一条渐近线的斜率为2，设b >0，即有b =2，求得c ，再由离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．5.答案：C解析：解：由题意可知，三棱锥的侧面PAC⊥底面ABC，PC⊥底面ABC，ABC是等腰三角形，高为BD=√3，AC=2AD= 2，PB=2√2，则PC=√PB2−BD2−DC2=2，则此三棱锥的体积：13×12×2×√3×2=2√33．故选：C．利用已知条件判断直观图的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查几何体的三视图求解面积与体积，考查空间想象能力以及计算能力．6.答案：D解析：本题主要考查不等式与不等关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．当a=1，b=−2时，经检验，这三个命题都不正确，由此得出结论．解：当a=1，b=−2时，显然①a2>b2不成立，②1a <1b不成立，③1a−b>1a不成立，故选D．7.答案：A解析：本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要注意单位圆的性质的合理运用．作出单位圆，过B作BM⊥x轴，交x轴于点M，结合单位圆能求出B点坐标．解：如图，作出单位圆，由题意，∠AOB=2π3，OB=1，过B作BM⊥x轴，交x轴于点M，则∠MOB=π3，∴|OM|=12OB=12，MB=√1−(12)2=√32，∴B(−12,√32).故选：A．8.答案：D解析：本题考查向量的数量积以及充要条件的判定，属于基础题．利用向量的数量积求出两个向量的夹角即可推出结果．解：∵a⃗，b⃗ 是两个非零向量，a⃗·b⃗ =|a⃗||b⃗ |，∴a⃗·b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >=|a⃗||b⃗ |，∴cos<a⃗,b⃗ >=1，∴a⃗,b⃗ 同向共线，∵a⃗,b⃗ 同向共线⇒a⃗//b⃗ ，而a⃗//b⃗ 不能推出a⃗,b⃗ 同向共线，故a⃗，b⃗ 是两个非零向量，则使a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |成立的一个必要非充分条件是a⃗//b⃗ ．故选：D．9.答案：A解析：本题考查抛物线的性质，考查推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．求出对称点坐标，再利用三点共线求最值．解：设P(x0,y0)，由PF=2=y0+1，得y0=1，代入x2=4y，解得x02=4，不妨设x0=2，即P(2,1)．。
2020年北京市东城区高考数学一模试卷 (解析版)
2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2} 2．函数f(x)=√x−2x2+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．已知21+ai=1−i(a∈R)，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣24．若双曲线C：x2−y2b2=1(b＞0)的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．√2C．√3D．25．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．126．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．x+1x＜−2C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞07．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12，√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．(√32，12)B．(−12，√32)C．(−√32，12)D．(−√32，−12)8．已知三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．(0，√22)C．(0，√22]D．[√22，+∞) 10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a→=（m，1），b→=（1，﹣2），c→=（2，3），若a→−b→与c→共线，则实数m ＝．12．在（x+2x）6的展开式中常数项为．（用数字作答）13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD=2√7，则CD＝，sin∠ABD＝．15．设函数f(x)={a(x+1)，x＜0，2x−a+2a−x，x≥0．给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．17．已知函数f(x)=asin(2x−π6)−2cos2(x+π6)(a＞0)，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点(π6，0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．函数f(x)=√x−2x2+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．解：函数f(x)=√x−2x2+1，令x−2x2+1≥0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3．已知21+ai=1−i(a∈R)，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．解：∵21+ai=1−i，∴2＝（1+ai ）（1﹣i ）＝1+a +（a ﹣1）i ，∴{1+a =2a −1=0，即a ＝1． 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题． 4．若双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x +1平行，则b 的值为（ ） A ．1 B ．√2 C ．√3 D ．2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．解：双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0)的一条渐近线y ＝bx 与直线y ＝2x +1平行，可得b ＝2．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可． 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D 1﹣BCD ，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC ＝4，BC ＝3，DD 1＝2∴三棱锥的体积是13×12×4×3×2＝4故选：A ．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．x+1x＜−2C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x+1x＜−2，又∵sin x，cos x∈[﹣1，1]，∴sin x﹣x＞0，cos x+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12，√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．(√32，12)B．(−12，√32)C．(−√32，12)D．(−√32，−12)【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为312×2π=π2；点M的初始位置坐标为(12，√32)，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′（−√32，12）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8．已知三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”⇒AB→•AC→＞0，可得A为锐角．进而判断出结论．解：三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”⇒AB→•AC→＞0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．(0，√22)C．(0，√22]D．[√22，+∞)【分析】设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．解：设P（y22，y），y＞0，所以PA的中点M（y2+24，y2），所以k OM=y2y2+24=2y2+y2=2y+2y，因为y+2y≥2√2，所以0＜1y+2y≤22=√24，所以k OM∈（0，√22]，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y（t）是先上升后下降，而x（t）是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端，x （t ）∈（25，30），y （t ）∈（0，50）， 此时二者总和x （t ）+y （t ）∈（25，80），由图象可知存在点x （t ）＝10，y （t ）＝100， x （t ）+y （t ）＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时， 被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误， 故选：C ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a →=（m ，1），b →=（1，﹣2），c →=（2，3），若a →−b →与c →共线，则实数m＝ 3 ．【分析】先求出a →−b →=（m ﹣1，3），再由a →−b →与c →共线，列方程能求出实数m ．解：∵向量a →=（m ，1），b →=（1，﹣2），c →=（2，3），∴a →−b →=（m ﹣1，3）， ∵a →−b →与c →共线，∴m−12=33，解得实数m ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．在（x +2x）6的展开式中常数项为 160 ．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．解：在(x +2x)6的展开式中的通项公式为 T r +1=C 6r •2r •x 6﹣2r ，令6﹣2r ＝0，求得r ＝3， 可得常数项为C 63•23＝160，故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为（x﹣1）2+y2=12．【分析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，利用圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，即可得出结论．解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，因为圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，则√1+1=√1+1=r，解得a＝1，r=√22，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2=12．故答案为：（x﹣1）2+y2=12．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD=2√7，则CD＝2，sin∠ABD＝√2114．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值．解：如图所示，等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD；又BD=2√7，所以BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，即(2√7)2=（2CD）2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°，解得CD＝2，所以AD＝6；由ADsin∠ABD =BDsin∠A，即6sin∠ABD =2√7sin60°，解得sin∠ABD=3√2114．故答案为：2，3√21 14．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 15．设函数f(x)={a(x +1)，x ＜0，2x−a +2a−x ，x ≥0．给出下列四个结论：①对∀a ＞0，∃t ∈R ，使得f （x ）＝t 无解； ②对∀t ＞0，∃a ∈R ，使得f （x ）＝t 有两解； ③当a ＜0时，∀t ＞0，使得f （x ）＝t 有解； ④当a ＞2时，∃t ∈R ，使得f （x ）＝t 有三解． 其中，所有正确结论的序号是 ③④ ．【分析】可取a ＝3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f （x ）的值域，即可判断①；取a ＝0，判断f （x ）的单调性，即可判断②；考虑a ＜0时，求得f （x ）的值域，即可判断③；当a ＞2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f （x ）的图象，即可判断④．解：对于①，可取a ＝3，则f （x ）={3(x +1)，x ＜02x−3+23−x，x ≥0，当x ＜0时，f （x ）＝3（x +1）∈（﹣∞，3）；当x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣3+23﹣x ≥2√2x−3⋅23−x =2，当且仅当x ＝3时，取得等号， 故a ＝3时，f （x ）的值域为R ，∀t ∈R ，f （x ）＝t 都有解，故①错误； 对于②可取a ＝0时，f （x ）={0，x ＜02x +2−x ，x ≥0，可得f （x ）在R 上单调递增，对∀t ＞0，f （x ）＝t 至多一解，故②错误；对于③，当a ＜0时，x ＜0时，f （x ）＝a （x +1）递减，可得f （x ）＞a ；又x ≥0时，x ﹣a ＞0，即有2x ﹣a ＞1，可得2x ﹣a +2a ﹣x ＞2，则f （x ）的值域为（a ，+∞）， ∀t ＞0，f （x ）＝t 都有解，故③正确；对于④，当a ＞2时，x ＜0时，f （x ）＝a （x +1）递增，可得f （x ）＜a ；当x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣a +2a ﹣x ≥2，当且仅当x ＝a 时，取得等号，由图象可得，当2＜t＜3时，f（x）＝t有三解，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC；（Ⅱ）过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz．分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D 作平行于AC 的直线Dx ， ∵AB ⊥AC ，∴Dx ⊥DC ，又PD ⊥面ABCD ，∴以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz ． 则C （0，1，0），P （0，0，1），B （1，2，0）， CB →=（1，1，0），CP →=（0，﹣1，1）， 设平面PCB 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅CB →=x +y =0n →⋅CP →=−y +z =0，取y ＝1，得n →=(−1，1，1)； 取平面PCD 的一个法向量m →=(1，0，0)． 则cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=3×1=−√33． 由图可知，二面角D ﹣PC ﹣B 为钝角，∴二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值为−√33．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．已知函数f(x)=asin(2x −π6)−2cos 2(x +π6)(a ＞0)，且满足_______． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围． 从①f （x ）的最大值为1，②f （x ）的图象与直线y ＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f （x ）的图象过点(π6，0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答． 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f （x ），若满足①，利用最大值求出a 的值，写出f （x ）的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令f （x ）＝1求得方程的解，根据方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m 的取值范围．若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a 的值，以下解法均相同． 若满足③，利用f （x ）的图象过点(π6，0)，代入求出a 的值，以下解法均相同． 解：（Ⅰ）函数f （x ）＝a sin （2x −π6）﹣2cos 2（x +π6） ＝a sin （2x −π6）﹣cos （2x +π3）﹣1 ＝a sin （2x −π6）﹣sin （﹣2x +π6）﹣1 ＝（a +1）sin （2x −π6）﹣1，若满足①f （x ）的最大值为1，则a +1＝2，解得a ＝1， 所以f （x ）＝2sin （2x −π6）﹣1； f （x ）的最小正周期为T =2π2=π； （Ⅱ）令f （x ）＝1，得sin （2x −π6）＝1， 解得2x −π6=π2+2k π，k ∈Z ； 即x =π3+k π，k ∈Z ；若关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，则x =π3或4π3；所以实数m 的取值范围是[4π3，7π3）．若满足②f （x ）的图象与直线y ＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π， 且f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，所以﹣（a +1）﹣1＝﹣3，解得a ＝1； 以下解法均相同．若满足③f （x ）的图象过点(π6，0)， 则f （π6）＝（a +1）sin π6−1＝0，解得a ＝1；以下解法均相同．【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为350=0.06；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，P （X ＝0）=C 20C 42=16， P （X ＝1）=C 21C 21C 42=23， P （X ＝2）=C 22C 42=16， 所以X 的分布列为 X1 2 P162316所以X 的期望为E （X ）＝0×16+1×23+2×16=1； （Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，它的上，下顶点分别为A ，B ，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形AF 1BF 2为正方形，且面积为2． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l 1，l 2，它们与椭圆E 分别交于点C ，D ，M ，N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得b ＝c ，bc ＝2，求得b ，再由a ，b ，c 的关系可得a ，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设l 1的方程为y ＝kx +m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），设l 2的方程为y ＝kx +m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD |，|MN |，运用菱形和椭圆的对称性可得l 1，l 2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m 12﹣2k 2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l ，运用基本不等式，计算可得所求最大值． 解：（Ⅰ）因为四边形AF 1BF 2为正方形，且面积为2， 所以b ＝c ，且12•2c •2b ＝2，解得b ＝c ＝1，a 2＝2，所以椭圆的标准方程：x 22+y 2＝1；（Ⅱ）设l 1的方程为y ＝kx +m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 设l 2的方程为y ＝kx +m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）， 联立{y =kx +m 1x 2+2y 2=2可得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2＝0， 由△＞0可得16k 2m 12﹣4（1+2k 2）（2m 12﹣2）＞0，化简可得2k 2+1﹣m 12＞0，① x 1+x 2=−4km 11+2k2，x 1x 2=2m 12−21+2k2，|CD |=√1+k 2•|x 1﹣x 2|=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•√(−4km 11+2k2)2−4⋅2m 12−21+2k2=√1+k 2•2√2⋅√1+2k 2−m 121+2k2，同理可得|MN |=√1+k 2•2√2⋅√1+2k 2−m 221+2k，因为四边形CDMN 为菱形，所以|CD |＝|MN |，所以m 12＝m 22，又因为m 1≠m 2，所以m 1＝﹣m 2，所以l 1，l 2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C ，M 关于原点对称，D ，N 也关于原点对称，所以{x 3=−x 1y 3=−y 1且{x 4=−x 2y 4=−y 2，MC →=（2x 1，2y 1），ND →=（2x 2，2y 2），因为四边形CDMN 为菱形，可得MC →•ND →=0， 即x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 1x 2+（kx 1+m 1）（kx 2+m 1）＝0，即（1+k 2）x 1x 2+km 1（x 1+x 2）+m 12＝0， 可得（1+k 2）•2m 12−21+2k 2+km 1•=−4km 11+2k2+m 12＝0，化简可得3m 12﹣2k 2﹣2＝0， 设菱形CDMN 的周长为l ， 则l＝4|CD |=8√2√1+2k 2⋅√2k 2+1−m 121+2k 2=8⋅√33√2+2k 2⋅√1+4k 21+2k2≤8√33•12(2+2k 2+1+4k 2)1+2k =4√3，当且仅当2+2k 2＝1+4k 2，即k 2=12时等号成立，此时m 12＝1，满足①， 所以菱形CDMN 的周长的最大值为4√3．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（Ⅱ）先把f（x）有两个极值点转化为方程2a=1+lnxx有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；（Ⅲ）先利用导函数的符号判断f（x）在区间（0，2a]上的单调性，进而解决其最小值．解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x；（Ⅱ）∵若f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax＝0有两个不等的正根，即2a=1+lnxx两个不等的正根．令g（x）=1+lnxx，x＞0，g′（x）=−lnxx2，令g′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；且g（1）＝1，故0＜2a＜1，解得：a∈（0，12）．（Ⅲ）∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax，f″（x）=1x−2a，∵a＞1，x∈（0，2a]，令f″（x）＝0⇒x=12a，当x∈（0，12a）时，f″（x）＞0，此时f′（x）单调递增；当x∈（12a，+∞）时，f″（x）＜0，此时f′（x）单调递减，故f′（x）max＝f′（12a）＝﹣ln（2a）＜0，∴f（x）在（0，2a]上单调递减，故f（x）在（0，2a]上的最小值为f（2a）＝2a[ln（2a）﹣2a2]．【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【分析】（Ⅰ）推导出n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，由此能求出T（2）为[3，5]．（Ⅱ）T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a．当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），由此能证明数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j ﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），从而a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，1＜i＜j，则t i≤t j，推导出t2＝t3＝t4＝t5＝…，由此能证明数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．解：（Ⅰ）由于A：x n=n2，T（2）为满足不等式x n−x t≥t∗（n﹣t）（∀n∈N+）的t*构成的集合，∴n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，∴5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，∴T（2）为[3，5]．（Ⅱ）证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），①当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1﹣x t＝a（∀t＞1）成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，这说明1＜i＜j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T（t）（∀t∈N+，t＞1）中均只有一个元素，首先考察t＝2时的情况，不妨设x2＞x1，∵x2﹣x1≤t2，又T（2）为单元素集，∴x2﹣x1＝t2，再证t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3﹣x2，t3≥x3−x1 2，∴t3=max{x3−x2，x3−x12}，由t2的定义可知x3﹣x2≥t2＝x2﹣x1，∴t3≥x3﹣x2≥x3−x2+x2−x12=x3−x12，∴x3﹣x2＝t3，∵t3＞t2，∴t3＝x3﹣x2＞t2，则存在正整数m（m≥4），使得（m﹣2）t2＝x m﹣x2，③∵x2﹣x1＝t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2=∑m i=3(x i−x i−1)≥∑m i=3t i−1＞（m﹣2）t2，这与③矛盾，∴t3＝t2，同理可证t2＝t3＝t4＝t5＝…，∴数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。
2020年北京东城高三一模数学试卷及答案
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………………………………14 分
(17)（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）因为 f (x) asin(2x π) cos2(x π) 1
6
6
asin(2x π) cos(2x π) 1
6
3
asin(2x π) cos[(2x π) + π] 1
6
62
(a 1)sin(2x π) 1 6
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2020年5月东城一模数学
北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（一）数 学本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1) 已知集合{}1>0A x x =-，{}1012B =-，，，，那么A B =I(A){}10-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}2(2)函数()f x (A) -(,]12 (B) [,)2+∞(C) -(,)[,)11+-∞∞U (D) -(,)[,)12+-∞∞U(3) 已知21i ()1ia +a =-∈R ，则a =(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-(4) 若双曲线222:1(0)-=>y C x b b的一条渐近线与直线21=+y x 平行，则b 的值为(A) 1(B)(C) (D) 2(5) 如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视 图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为正（主）侧（左）俯视(A)4 (B)6(C)8 (D)12(6) 已知1x <-，那么在下列不等式中，不．成立的是 (A) 210x -> (B) 12x x+<- (C) sin 0x x -> (D) cos 0x x +>(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周. 若点M 的初始位置坐标为(,122，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是(A))12 (B) (-12(C) ()12(D) ()-12(8) 已知三角形ABC ，那么“+AB AC AB AC uu u r uuu r uu u r uuu r>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的(A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(9) 设O 为坐标原点，点(,)10A ，动点P 在抛物线y x =22上，且位于第一象限，M 是线段PA 的中点，则直线OM 的斜率的范围为(A) (0]，1 (B) 2(0， (C) 2(0， (D)2[)+∞(10) 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者. 现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型. 假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是：(A) 若在12t t ，时刻满足：12()=()y t y t ，则12()=()x t x t ；(B) 如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降； (C) 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值；(D) 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。