2020年河南省焦作市高考数学一模试卷(理科)
②f（x）的一个周期为 8；
③f（x）图象的一个对称中心为（3，0）；
④f（x）图象的一条对称轴为 x=2019．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10. 将函数
图象上所有的点按照向量
平移得到函数
g（x）的图象，若 f（ ）=g（ ），则|a|的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 如图所示，直线 l 与双曲线 E：
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18. 某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子 的利润为 40 元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损 20 元．该包子店记录了 60 天包子的日需求量 n（单位：笼，n∈N），整理得到如图所示的条形图，以这 60 天各需求量的频率代替相应的概率． （Ⅰ）设 X 为一天的包子需求量，求 X 的数学期望． （Ⅱ）若该包子店想保证 80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包 子？ （Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做 18 笼包子，设 Y 为当天的利润（单位： 元），求 Y 的分布列和数学期望．
，不妨取
，
，
由（Ⅰ）可知 A（-2，0），从而直线 AP 的方程为
．
联立方程组
消去 y 得
．
设 B（xB，yB），因为点 B 异于点 A，由根与系数的关系得
，
所以
，
．
所以
，
．
因为 BQ⊥AP，所以
，
解得 p=2．
21. 解：（Ⅰ）f'（x）=a（2xlnx+x）=ax（2lnx+1）．
令 f'（x）=0，则
19. 如图，已知四棱锥 S-ABCD，平面 SAD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是菱形，SA=SD． （Ⅰ）若∠BAD=120°，证明：SC⊥BC； （Ⅱ）若 3BD=6AC=8SA，求平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的余弦值．
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20. 设椭圆 C：
的左顶点为 A，右焦点为 F，已知
9. 解：由 f（x+1）是偶函数，得 f（1-x）=f（1+x），即 x=1 是 f（x）的对称轴，
D.
8. 某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为 1，K 是线段 DI 上的点， 则在原三棱柱中，AK+CK 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
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9. 已知函数 f（x）的定义域为 R，且 f（x+1）是偶函数，f（x-1）是奇函数，则下列
说法正确的个数为（ ）
①f（7）=0；
图①， 然后再把空间最短距离问题转化为 平面两点间的距离最短问题，如图 ②所示． 因为 AJ=8，CJ=3，所以
，即 AK+CK
的最小值为 ．
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故选：B． 作出图形，将问题转化为平面两点间的距离最短问题，进而得解． 本题考查空间图形和平面图形的转化与计算，考查运算求解能力及空间想象能力．
，
，
所以 Y 的分布列为
， ．
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Y
600
660
720
P
所以 Y 的数学期望为
．
19. 解：（Ⅰ）证明：取 AD 的中点 H，连接
CH，SH， ∵SA=SD，∴SH⊥AD． ∵四边形 ABCD 是菱形，且∠BAD=120°， ∴AC=CD，∴CH⊥AD． ∵SH∩CH=H，∴AD⊥平面 SCH， 又 SC⊂平面 SCH，∴AD⊥SC． 又在菱形 ABCD 中，BC∥AD， ∴SC⊥BC； （Ⅱ）设 AC 与 BD 交于点 O，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz，
2. 解：复数 z 满足
，则 z= =
=i-1．
故选：C． 利用复数的运算法则即可得出． 本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3. 解：由题意得，体重=BMI×身高 2，因为此人属于超标，所以 BMI∈[24，29.9]，
所以此学生的体重范围为[24×1.52，29.9×1.52]=[54，67.275]， 故选：C． 根据体重=BMI×身高 2，即可计算出结果． 本题考查了简单的合情推理，是基础题．
2020 年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 M={x|0≤x≤4}，N={x|y=3-x，y∈M}，则 M∩N=（
A. [0，3]
B. [0，4]
C. [-1，4]
）
D. [-1，3]
2. 设复数 z 满足
，则 z=（ ）
上，g'（x）＞0，在 上单调递增，在
上，g'（x）＜0， 上单调递减．
=
．
，因为 a
存在 a∈（0，+∞），使得
成立，则
．
令
，
，
∴在（0，1）上，h'（x）＜0，在（1，+∞）上，h'（x）＞0， ∴h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴
．
∴b 的取值范围为
．
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，
当 a＞0 时，在
上，f'（x）＜0，在
上，f'（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
当 a＜0 时，在
上，f'（x）＞0，在
上，f'（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（Ⅱ）由
，得
，即
．
设
＞0，则在 ∴g（x）在
∴
，则 g（x）≤0 恒成立，即 g（x）max≤0.
于 n 的不等式 Sn＜klog2an+2 的解集中有 6 个正整数，则实数 k 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）
17. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
．
（Ⅰ）证明：△ABC 是等腰三角形；
（Ⅱ）若 a：b：c=1：x：y，且△ABC 的面积为 ，求 y 的值．
7. 解：
=
，
∵O 是△ABC 的重心，
∴
，
∴
∴λ=1． 故选：C．
根据
， 可得出
，而根据 O 为△ABC 的重心
即可得出
，从而得出
，这样即可求出 λ 的值．
本题考查了向量减法、数乘的几何意义，向量的数乘运算，三角形重心的性质，平面向 量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
8. 解：将展开图折成立体图形，如
．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）抛物线 y2=2px（p＞0）与直线 x=2 交于 P，Q 两点，直线 AP 与椭圆 C 交于 点 B（异于点 A），若直线 BQ 与 AP 垂直，求 p 的值．
21. 已知函数 f（x）=ax2lnx（a≠0）． （Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性；
（Ⅱ）若存在 a∈（0，+∞），对任意的 x∈（0，+∞），不等式 立，求实数 b 的取值范围．
此时点 P 的坐标为
．
23. 证明：（Ⅰ）∵
，
同理
，
，
∴
．
（Ⅱ）∵（a+b）2=a2+2ab+b2≥4ab，∴
．
同理
，
．
∴
=
=
．
【解析】
1. 解：依题意得 0≤3-x≤4，解得-1≤x≤3，
即 N={x|-1≤x≤3}， 所以 M∩N={x|0≤x≤3}． 故选：A． 分别求出集合 M，N，由此能求出 M∩N． 本题考查集合的表示以及集合运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．
（Ⅱ）
．
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2020 年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）
答案和解析
【答案】
1. A
2. C
3. C
4. D
5. A
6. D
7. C
8. B
9. C
10. C 11. B 12. B
13. 60
14. y=2x+2
15. 1 或
16.
17. 解：（Ⅰ）由正弦定理及
，得
，即 cosA=cosB．
因为 A，B∈（0，π），所以 A=B， 所以△ABC 是等腰三角形． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 a=b，所以 x=1．
因为
，
所以
．
又 C∈（0，π），所以
．
若
，则
，即
，解得
；
若
，则
，即
，解得
．
所以
或
．
18. 解：（Ⅰ）由题意得，X 的数学期望为
．
（Ⅱ）因为
，
所以包子店每天至少要做 19 笼包子． （Ⅲ）当 n=16 时，Y=16×40-2×20=600； 当 n=17 时，Y=17×40-20=660； 当 n≥18 时，Y=18×40=720． 所以 Y 的可能取值为 600，660，720，
22. 解：（Ⅰ）直线 l 普通方
程为
．
在曲线 C 的参数方程为
（s 为参数），整理得 y2=12s2=4x，
所以曲线 C 的普通方程为 y2=4x．
（Ⅱ）设点
．
点 P 到直线 l 的距离
．
当 s=1 时，
，所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为 ．
14. 曲线 y=ex（x2+2）在点（0，2）处的切线方程为______． 15. 已知圆 C：（x-a）2+（y-2）2=4，直线 l：x+ay-1=0 与圆 C 交于 A，B 两点，且△ABC
2020年河南高三一模数学试卷(理科)
2020年河南高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.下列命题中正确的是（ ）．A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则3.设方程的根为，表示不超过的最大整数，则（ ）．A.B.C.D.4.在中，已知，，，则等于（ ）．A.或B.C.D.5.下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”．②若是真命题，则可能是真命题．③“且”是“”的充要条件．④当时，幂函数在区间上单调递减．其中正确的是（ ）．A.①④B.②③C.①③D.②④6.已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）．A.B.C.D.7.的展开式中的系数为（ ）．A.B.C.D.8.直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.9.某校有人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分分，统计结果显示数学成绩优秀（高于分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在分到分之间的人数约为（ ）．A.B.C.D.10.已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：与椭圆相交于、两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为（ ）．A.B.C.D.11.若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（ ）．A.B.C.D.12.已知关于的方程恰有四个不同的实数根，则当函数时，实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若平面向量、满足，平行于轴，，则 ．14.实数，满足约束条件：，则的取值范围为 ．15.半径为的球面上有，，，四点，且，，两两垂直，则，与面积之和的最大值为 ·16.如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.数列中，，当时，其前项和满足．求的表达式．设，求数列的前项和．（1）（2）18.在如图所示的三棱柱中，平面，，，的中点为，若线段上存在一点使得平面．求的长．求二面角的大小．19.部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟）．将统计数据按，，，，分组，制成频率分布直方图：（1）（2）频率组距乘车等待时间甲站（分钟）频率组距乘车等待时间乙站（分钟）假设乘客乘车等待时间相互独立．在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取人，记为；从乙站的乘客中随机抽取人，记为．用频率估计概率，求“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率．从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取人，表示乘车等待时间小于分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．（1）（2）20.已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为．求椭圆的标准方程．设为直线上任意一点，过的直线交椭圆于点，，且，求的最小值．（1）（2）21.已知函数，．若存在极小值，求实数的取值范围．设是的极小值点，且，证明：．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求的普通方程和的直角坐标方程．已知直线的极坐标方程为，是与的交点，是与的交点，且，均异于原点，，求的值．【答案】解析:，；∴；∴．故选：．解析:构造函数，由于函数与在定义域上都是单调递增函数，故在定义域上单调递增，由，．则函数的零点在之间，故，．解析:由正弦定理知，，∵，∴或又∵，∴，（1）（2）23.已知函数．当，求不等式 的解集．设对恒成立，求的取值范围．C1.或C2.B3.C4.∴∴故选．解析:①命题“，”的否定是“，”．满足命题的否定形式，正确．②若是真命题，是真命题，则是假命题．所以②不正确．③“且”可得“”成立，“”得不到“且”所以③不正确．④当时，幂函数在区间上单调递减，正确，反例：，可知：时，函数是增函数，在上单调递减，所以④正确．故选．解析:正项等比数列的前项和为，，，∴，解得，，∴．故选：．解析:∵，二项展开式的通项为，二项展开式的通项为，令，得，A 5.B 6.C 7.所以，展开式中的系数为．故选：．解析:如图所示，直线过点，圆的圆心坐标，，直线与曲线有且只有个公共点，设为，，则，，直线与曲线相切时，或（舍去），直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是．故选．解析:∵，∴，∴，∴此次数学考试成绩在分到分之间的人数约为．故选．解析:C 8.C 9.C 10.设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：，，∴，解得，∵点到直线的距离不小于，∴，解得，又，∴，∴，∴离心率，故选．解析:函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，与在区间上单调递减，在上单调递增，所以：这两个函数在区间单调递减，故：即所求的最大值．故选．解析:B 11.B 12.函数，由得，得或，此时为增函数，由得，得，此时为减函数，即当时，函数取得极小值，极小值为，当时，函数取得极大值，极大值为当，，且，作出函数的图象如图：设，则当 时方程有个根，当时，方程有个根，当或时，方程有个根，则方程等价为，若恰有四个不同的实数根，等价为有两个不同的根，当，方程不成立，即，其中或设，则满足，得，即，即，即实数的取值范围是．故选：．解析:方法一：由题设得或，则或．故填或方法二：设，则由及得．又由平行于轴，得，于是，解得：或，从而得，或．方法三：设，那么，由或．解析:作出不等式组表示的平面区域如下图：xyO 其中，因为表示与点连线斜率，由图可得：当点在点处时，它与点连线斜率最小为，所以的取值范围为．故答案为：．解析:或13.14.15.如图所示，将四面体置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为，不妨设，﹐，则有：，即.记,从而有，即，从而.当且仅当，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为.16.解析:连结、，可得是边长为的等边三角形，∴，可得直线的斜率，直线的斜率，因此直线的方程为，直线的方程为，设，联解、的方程可得．（1）（2）∵圆与直线相切于点，∴，可得，直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆，消去，得，解之得或．直线交椭圆于与点，∴设，可得．由此可得．故答案为：．解析:由和得，即，由题意知，上式两边同除以得．是首项为，公差为的等差数列，．．适合，．．．解析:（1）．（2）．17.（1）．（2）．18.（1）（2）由题意知，，两两垂直．以点为原点，，，分别为轴，轴，轴建立建立空间直角坐标系．设，则，，，，，，设，由题意，，，所以，故，设面的法向量为，则，，所以，取，由面，则得，，所以．由（）得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，，则，取，，，（1）（2）则．故二面角所成角的大小为．解析:设表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”，表示事件“乘客，乘车等待时间都小于分钟”，由题意知，乘客乘车等待时间小于分钟的频率为：，故的估计值为，乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，故的估计值为，又，故事件的概率为．由可知，乙站乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，所以乙站乘客乘车等待时间小于分钟的概率为，显然，的可能取值为，，，且，所以；；；；故随机变量的分布列为：，（1）．（2）的分布列为：．19.（1）（2）．解析:，而，又，得，，故椭圆的标准方程为．由（）知，∵，故，设，∴，直线的斜率为，当时，直线的方程为，也符合方程，当时，直线的斜率为，直线的方程为，设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去，得，，，，，（1）．（2）．20.（1）（2），当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为．解析:，令，则，所以在上是增函数，又因为当时，，当时，，所以，当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点，当时，的值域为，必存在使，所以当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以存在极小值点，综上可知实数的取值范围是．由（）知，即，所以，，由，得，令，显然在区间上单调递减，又，所以由，得，令，，当时，，函数单调递增；（1）．（2）证明见解析．21.（1）（2）（1）当时，，函数单调递减；所以，当时，函数取最小值，所以，即，即，所以，，所以，即．解析:对于，所以的直角坐标方程为．由，得，又，，所以的直角坐标方程为．由知曲线的普通方程为，所以其极坐标方程为．设点，的极坐标分别为，，则，，所以，所以，即，解得，又，所以．解析:当时，，即，当时，原不等式化为，得，即；当时，原不等式化为，得，即；当时，原不等式化为，得，即．综上，原不等式的解集为．（1），．（2）．22.（1）．（2）．23.（2）因为，所以可化为，所以，即对恒成立，则，所以的取值范围是．。
2020年河南省六市高三数学第一次联考(理科)试题【含答案】
2a
理科数学答案 第 3 页 （共 6 页）
（2）方法一：由（1）知，
x1,
x2
是方程
x 1 ex
2a
的两根，
∴ 1
x1
0
x2
，则
x1
x2
0
x2
x1
0
因为
h(x)
在（0，
）单减，
h( x2
)
h(
x1
), 又h( x2
23. 解：(1)当 a 1时，
2x 1, x 1 f (x) 3,1 x 2
2x 1, x 2
…………………………2 分
当 x 1时，由 f (x) 7 得 2x 1 7 ，解得 x 3 ；
当 1 x 2 时， f (x) 7 无解；
当 x 2 时，由 f (x) 7 得 2x 1 7 ，解得 x 4 ，
1)
即 t ln t t 1 (ln t t 1) 0恒成立 ................................8 分
令 g(t) t ln t t 1 (ln t t 1)
理科数学答案 第 4 页 （共 6 页）
g ' (t)
ln t
1 t t
, g '' (t)
1 t t2
t t2
.............................9 分
当 1 时， g '' (t) 0 ， g ' (t) 单减，故 g ' (t) g ' (1) 0
故 g(t)在(0,1)上为增函数 ， g(t) g(1) 0 ........................10 分
2019-2020学年河南省焦作市高三(上)第一次模拟数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年河南省焦作市高三（上）第一次模拟数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|7−2x<5}，B={x|3x−x2≥0}，则A∪B=()A. [0,3]B. (1,3]C. [0,+∞)D. (1,+∞)2.已知i是虚数单位，复数z=2i1−i，在复平面内其共轭复数z对应的点的坐标为()A. (1,1)B. (−1,1)C. (−1,−1)D. (1,−1)3.函数y=sinxcosx的最小正周期是()A. π2B. π C. 3π2D. 2π4.已知不重合的平面α、β和不重合的直线a、b，下列说法正确的是()A. 若a//α，b//β，则a//bB. 若a⊂α，b⊂β，且a//b，则α//βC. 若a⊥α，b⊥β，且a//b，则α//βD. 若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b5.函数在区间上是增函数，则a的取值范围是()A. B. (−4,4] C. D. (−4,2]6.已知命题p：sinx+4sinx≥4，命题q：“a=−1”是“直线x−y+5=0与直线(a−1)x+(a+3)y−2=0平行”的充要条件，则下列命题正确的是()A. p∧qB. p∨(￢q)C. (￢p)∧qD. (￢p)∧(￢q)7.f(x)=|x|cosxe x+e−x的部分图象大致为()A. B.C. D.8.若函数f(x)=ax−3在R上单调递增，则a的取值范围为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. [1,+∞)D.(−∞,1]9.由偶数组成的数阵如图：则第21行第4列的数为()A. 594B. 546C. 592D. 64410. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知bc cosC +ba cosA =1，则cos B 的最小值为( )A. √33B. 13C. √22D. 1211. 已知三棱锥A −BCD 四个顶点都在半径为3的球面上，且BC 过球心，当三棱锥A −BCD 的体积最大时，则三棱锥A −BCD 的表面积为( )A. 18+6√3B. 18+8√3C. 18+9√3D. 18+10√312. 函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则a 的取值范围为( )A. (2,+∞)B. (−∞,−2]⋃[2,+∞)C. (−2,2)D. (−∞,−2)⋃(2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，AB =3，AC =5，若O 为△ABC 的外心，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 14. 若函数f(x)是R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +x +a ，则f(−2)=____． 15. 正实数x,y 满足2x +y −3=0，则4y−x+6xy的最小值为_________．16. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，对n ∈N ∗都有S n =1−a n ，若b n =log 2a n ，则1b1b 2+1b2b 3+⋯+1b n b n+1=___________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 在等差数列{a n }中，a 2=4，a 4+a 7=15．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =2a n −2+n ，求数列{b n }的前10项和．18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2+c 2−a 2bc=2sinB−sinAsinC．(1)求角C 的值；(2)若a +b =4，当边c 取最小值时，求△ABC 的面积．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且BD平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，BC=PC，DB=2√2，(1)证明PA//平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求四棱锥P−ABCD的体积．kx2．20.已知函数f(x)=ln(1+x)−x+12(1)当k=2时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处切线方程；(2)求f(x)的单调区间．21.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=π4，cos∠C=35．(Ⅰ)求sin∠ADB的值；(Ⅱ)若BD=2DC=5，求△ABD的面积．22.已知函数f(x)=lnx+ax2(a∈R)．(1)若y=f(x)在x=2处的切线与x轴平行，求f(x)的极值；(2)若函数g(x)=f(x)−x−1在(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A={x|x>1}，B={x|0≤x≤3}；∴A∪B={x|x≥0}=[0,+∞)．故选：C．可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及并集的运算，一元二次不等式的解法．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数的运算，考查共轭复数及复数的几何意义，属于基础题．化简可得z=−1+i，得到共轭复数z−=−1−i，即可得到答案．【解答】解：z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，则z−=−1−i，所以z−在复平面内对应的点为(−1,−1)．故选C．3.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数的周期性，由二倍角公式化简已知函数解析式，由周期公式可得答案．【解答】解：y=sinxcosx=12sin2x，故最小正周期T=2π2=π．故选B．4.答案：C解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力是中档题．在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面平行的性质定理得α//β；在D中，a与b相交、平行或异面．【解答】解：在A中，若a//α，b//β，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a⊂α，b⊂β，且a//b，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α，b⊥β，且a//b，则由面面平行的判定定理得α//β，故C正确；在D中，若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：C．5.答案：B解析：【分析】本题考查复合函数的单调性的判断，二次函数的单调性及对数函数的性质，属于中档题．根据复合函数的单调性“同增异减”，转化为g(x)=x2−ax+3a在也是增函数且恒大于0，列出不等式求解即可．【解答】解：函数在上是增函数，即g(x)=x2−ax+3a在也是增函数且均大于0，即g(2)>0且a2≤2，即{22−2a+3a>0a2≤2,解得−4<a≤4，则a的取值范围是(−4,4]．故选B．6.答案：C解析：解：命题p：sinx+4sinx≥4，sinx<0时是假命题．命题q：直线x−y+5=0与直线(a−1)x+(a+3)y−2=0平行⇔a−11=a+3−1，解得a=−1．∴“a=−1”是“直线x−y+5=0与直线(a−1)x+(a+3)y−2=0平行”的充要条件，则下列命题正确的是(￢p)∧q．故选：C．命题p：sinx<0时是假命题．命题q：直线x−y+5=0与直线(a−1)x+(a+3)y−2=0平行⇔a−1 1=a+3−1，解得a，即可判断出真假．本题考查了三角函数的单调性、直线平行的充要条件、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数图象的判断和识别，结合函数奇偶性和特殊值的符号是否一致是解决本题的关键．先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可．【解答】解：f(−x)=|−x|cos(−x)e−x+e x =|x|cosxe x+e−x=f(x)，定义域为R，则f(x)是偶函数，排除C，f(π)=|π|cosπeπ+e−π=−πeπ+e−π<0，排除B，D．故选A．8.答案：B解析：【分析】本题考查函数的单调性，考查推理能力，属于基础题．利用一次函数的性质即可求解．【解答】解：因为f(x)=ax−3在R上递增，所以a>0，故选B．9.答案：A解析：本题考查了观察能力及归纳推理，属中档题．先观察再进行归纳推理得：第一列的数设为数列{a n}，则有a1=2，a n−a n−1=2n，解得a n=n2+n，即第21行的第一个数为212+21=462，由图可知，则第21行第4列的数为462+42+44+46=594，得解．【解答】解：由图可知，第一列的数设为数列{a n}，则有a1=2，a n−a n−1=2n，解得a n=n2+n，即第21行的第一个数为212+21=462，由图可知，第21行第4列的数为462+42+44+46=594，故选：A．10.答案：D解析：解：∵bc cosC+bacosA=1，∴由余弦定理可得：bc ⋅a2+b2−c22ab+ba⋅b2+c2−a22bc=1，整理可得：b2=ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =a2+c2−ac2ac≥2ac−ac2ac=12，当且仅当a=c时等号成立，即cos B的最小值为12．故选：D．由余弦定理化简已知等式可得b2=ac，利用余弦定理，基本不等式可求cos B的最小值．本题主要考查了余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.答案：C解析：【分析】本题考查几何体的外接球，几何体的体积与几何体的位置关系的判断，表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．判断几何体的体积最大时的位置，然后求解三棱锥的表面积．【解答】解：因为三棱锥A−BCD四个顶点都在半径为3的球面上，且BC过球心，所以BC是球的直径，D在以球心为直径的大圆面上，当三角形DBC是等腰直角三角形时，底面积最大，当A与球心的连线与BCD平面垂直时，三棱锥A−BCD的高最大，则此时几何体的体积最大，此时OA为该三棱锥的高；此时OA =OB =OD =OC =3，AB =AD =AC =3√2，BD =DC =3√2， 则三棱锥的表面积为：2×12×6×3+2×√34×(3√2)2=18+9√3．故选：C ．12.答案：D解析： 【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系．若二次函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则△>0，解得答案． 【解答】解：若二次函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则方程x 2+ax +1=0有两个不同的根， 则△=a 2−4>0，解得：a >2或a <−2． 故选D ．13.答案：8解析：解：过O 作OS ⊥AB ，OT ⊥AC 垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AS ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AT ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−3×32+5×52=8 故答案为：8作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义，以及三角形的外心，属于基础题．14.答案：−5解析： 【分析】本题考查了奇函数的性质及已知函数解析式求值问题，属于基础题.解题时利用奇函数的性质求出a ，再求出f(−2)即可．【解答】解：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=20+0+a=0，即a=−1，所以f(−2)=−f(2)=−(22+2−1)=−5．故答案为−5．15.答案：9解析：【分析】本题考查基本不等式，属于中档题．正实数x，y满足2x+y−3=0，可得4y−x+6xy =3(1y+2x)，利用“1”的用法即可得解．【解答】解：∵正实数x，y满足2x+y−3=0，∴4x+2y=6，则4y−x+6xy=4y−x+4x+2yxy=3(1y+2x)=(2x+y)(1y+2x)=5+2xy+2yx≥5+2√2xy·2yx=9，当且仅当x=y=1时取等号．∴4y−x+6xy的最小值为9．故答案为9．16.答案：nn+1解析：【分析】本题考查了数列推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对n∈N∗都有S n=1−a n，n=1时，a1=1−a1，解得a1.n≥2时，a n=S n−S n−1.利用等比数列的通项公式可得a n .b n =log 2a n =−n.可得1b n b n+1=1n−1n+1．【解答】解：对n ∈N ∗都有S n =1−a n ，n =1时，a 1=1−a 1，解得a 1=12． n ≥2时，a n =S n −S n−1=1−a n −(1−a n−1)，化为：a n =12a n−1． ∴数列{a n }是等比数列，公比为12，首项为12． a n =(12)n ．∴b n =log 2a n =−n ． ∴1b n b n+1=1−n(−n−1)=1n −1n+1．则1b1b 2+1b 2b 3+⋯+1b n b n+1=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1．故答案为nn+1．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2=4，a 4+a 7=15，得a 1+d =4，(a 1+3d)+(a 1+6d)=15， 解得a 1=3，d =1，所以a n =a 1+(n −1)d =3+n −1=n +2； (2)由(1)可得b n =2a n −2+n =2n +n ， 所以b 1+b 2+b 3+⋯+b 10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+⋯+(210+10) =(2+22+23+⋯+210)+(1+2+3+⋯+10) =2×(1−210)1−2+(1+10)×102 =(211−2)+55 =211+53=2101．解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，以及运算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程即可得到所求；(2)求得b n =2a n −2=2n +n ，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．18.答案：解：(1)由条件和正弦定理可得b 2+c 2−a 2bc=2b−a c，即b 2+c 2−a 2b =2b −a ，整理得b 2+a 2−c 2=ab 从而由余弦定理得cosC =b 2+a 2−c 22ab=ab2ab =12．又∵C是三角形的内角，∴C=π3．(2)由余弦定理得c2=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=16−3ab，∵4=a+b≥2√ab，∴√ab≤2，ab≤4，则−ab≥−4，即c2=16−3ab≥16−12=4，当且仅当a=b=2时等号成立．∴c的最小值为2，故S△ABC=12absinC=12×4×√32=√3．解析：(1)由余弦定理和正弦定理进行化简即可(2)结合余弦定理以及基本不等式求出c的最小值，结合三角形的面积公式进行计算即可．本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理和余弦定理进行转化是解决本题的关键．19.答案：(Ⅰ)证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又E为PC的中点，从而EH//PA，因为HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA//平面BDE；(Ⅱ)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC，由(Ⅰ)知BD⊥AC，PD∩BD=D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，从而AC⊥平面PBD：(Ⅲ)解：在△BCD中，DC=1，DB=2√2，∠BDC=45°得BC2=12+(2√2)2−2×1×2√2cos45°=5，∴BC=√5．在Rt△PDC中，PC=BC=√5，DC=1，从而PD=2，则S ABCD=2S△BCD，故四棱锥P−ABCD的体积V P−ABCD=13S ABCD×PD=43．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力．(Ⅰ)设AC∩BD=H，连接EH，说明H为AC的中点，证明EH//PA，利用直线与平面平行的判定定理证明PA//平面BDE；(Ⅱ)通过直线与平面垂直证明PD⊥AC，然后证明AC⊥平面PBD：(Ⅲ)求出S ABCD，然后求四棱锥P−ABCD的体积．20.答案：解：(1)k=2时，f(x)=ln(1+x)−x+x2，f′(x)=11+x−1+2x，由于f(1)=ln2，f′(1)=32，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−ln2=32(x−1)，即3x−2y+2ln2−3=0；(2)f′(x)=x(kx+k−1)1+x，x∈(−1,+∞)，当k<0时，由f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0，x2=1−kk∈(−∞,−1)舍去；因此，在区间(−1,0)上，f′(x)>0，在区间(0,+∞)上，f′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当k=0时，f′(x)=−x1+x，因此在区间(−1,0)上，f′(x)>0；在区间(0,+∞)上，f′(x)<0；所以f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当0<k<1时，f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0，x2=1−kk>0；因此，在区间(−1,0)和(1−kk ,+∞)上，f′(x)>0；在区间(0,1−kk)上，f′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(−1,0)和(1−kk ,+∞)，单调递减区间为(0,1−kk)；当k=1时，f′(x)=x21+x，f(x)的递增区间为(−1,+∞)；当k>1时，由f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0，x2=1−kk∈(−1,0)；因此，在区间(−1,1−kk )和(0,+∞)上，f′(x)>0，在区间(1−kk,0)上，f′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(−1,1−kk )和(0,+∞)，单调递减区间为(1−kk,0)；综上所述，当k<0时，f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当k=0时，f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当0<k<1时，f(x)的单调递增区间为(−1,0)和(1−kk ,+∞)，单调递减区间为(0,1−kk)；当k=1时，f(x)的递增区间为(−1,+∞)；当k>1时，f(x)的单调递增区间为(−1,1−kk )和(0,+∞)，单调递减区间为(1−kk,0)．解析：本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力和分类讨论思想，属于较难题．(1)求导数，确定切线的斜率，可得曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求导，分类讨论，利用导数的正负，可得f(x)的单调区间．21.答案：解：(I)在△ABC 中，∵cosC =35，∴sinC =45．∴sin∠ADC =sin(C +∠CAD)=sinCcos∠CAD +cosCsin∠CAD =45×√22+35×√22=7√210． ∵∠ADB +∠ADC =π， ∴sin∠ADB =sin∠ADC =7√210． (II)在△ACD 中，由正弦定理得CDsin∠CAD =ADsinC ， ∴52√22=AD45，解得AD =2√2．∴S △ABD =12AD ⋅BD ⋅sin∠ADB =12×5×2√2×7√210=7．解析：(I)求出sin C ，则sin∠ADB =sin∠ADC =sin(C +∠CAD)；(II)在△ACD 中使用正弦定理计算AD ，代入三角形的面积公式S △ABD =12AD ⋅BD ⋅sin∠ADB 即可． 本题考查了两角和的正弦公式，正弦定理，三角形的面积计算，属于中档题．22.答案：解：，∴f′(x)=1x +2ax(x >0)，由条件可得f′(2)=12+4a =0，解得a =−18，，f′(x)=1x −14x =−(x−2)(x+2)4x(x >0)，令f′(x)=0可得x =2或x =−2(舍去)，当0<x <2时，f′(x)>0；当x >2时，f′(x)<0， 即f(x)在(0,2)上单调递增，在上单调递减，故f(x)有极大值，无极小值；(2)由题意知，则g′(x)=1x+2ax −1=2ax 2−x+1x(x >0)，设ℎ(x)=2ax 2−x +1， ①当a =0时，g′(x)=−x−1x，当0<x <1时，g′(x)>0，当x >1时，g′(x)<0， 即g(x)在(0,1)上单调递增，在上单调递减，不满足条件；②当a <0时，ℎ(x)=2ax 2−x +1是开口向下的抛物线， 方程2ax 2−x +1=0有两个实根，设较大实根为x 0． 当x >x 0时，有ℎ(x)<0，即g′(x)<0， ∴g(x)在上单调递减，故不符合条件；③当a >0时，由g′(x)⩾0可得ℎ(x)=2ax 2−x +1在上恒成立，故只需或，即{1⩾0 14a⩽01−8a>0 a>0，或{1−8a⩽0a>0，解得a⩾18．综上可知，实数a的取值范围是．解析：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值、单调性，注意分类讨论思想的应用．(1)对函数f(x)求导，依条件得a=−18，再根据单调性分析即可得出f(x)有极大值，无极小值；(2)对函数g(x)求导，再对a的取值分类讨论，进行分析即可．。
2020届河南省焦作市高三第一次模拟数学(理)试题(解析版)
又在菱形 中， ，
∴ .
（2）设 与 交于点 ，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
不妨设 ，
则 ， .
， .
由（1）知 ，
∵平面 平面 ，
∴ 平面 .
则 ， ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ，
∵ ，∴ ，
取 ，得 .
设平面 的法向量为 ，
∵ ，∴ ，
取 ，得 .
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，选B.
3．人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI＝体重÷身高 （体重单位为 ，身高单位为 ）.其判定标准如下表：
BMI
18.5以下
18.5～23.9
24～29.9
30以上
等级
偏瘦
正常
超标
重度超标
某小学生的身高为 ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是( )
9．已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 是奇函数，则下列说法正确的个数为( )
① ；② 的一个周期为8；③ 图象的一个对称中心为 ；④ 图象的一条对称轴为 .
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】根据 是偶函数， 是奇函数，则可得函数周期，根据函数的周期性，即可对每个选项进行逐一分析，从而求得结果.
【答案】
【解析】根据等比数列基本量的计算，求得 和 ，结合函数 ， 的图像，夹逼出不等式，解不等式即可.
【详解】
由题意可知 且 ，
解得 ，所以 ， .
由 ，得 .
结合函数 ， 的图像如下图所示：
若原不等式的解集中有6个正整数，
则 ，
解得 ，
河南省焦作市第六中学2020年高三数学理联考试题含解析
河南省焦作市第六中学2020年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合A={x|（x﹣3）（x﹣1）＞0}，B={x|y=lg（2x﹣3）}，则A∩B=（）A．B．（3，+∞）C．D．（，3）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|（x﹣3）（x﹣1）＞0}={x|x＜1或x＞3}，B={x|y=lg（2x﹣3）}={x|x＞}，∴A∩B={x|x＞3}=（3，+∞）．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2. 已知函数，实常数使得对任意的实数恒成立，则的值为( )A．-1009 B．0 C.1009 D．2018参考答案：B由题意pf（x）+qf（x+r）=2018对任意的实数x∈R恒成立,与x无关，令p=q，r=π．代入可得：pf（x）+qf（x+π）=2018．p（3sinx+4cosx+1）+q（﹣3sinx﹣4cosx+1）=2018．p+q=2018．即p=q=1009，则pcosr+q=1009cosπ+q=0，故答案为：B3. 已知双曲线c：=1（a＞b＞0），以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N（异于原点O），若|MN|=2a，则双曲线C的离心率是( ) A．B．C．2 D．参考答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：连接NF，设MN交x轴于点B，根据双曲线渐近线方程结合图形的对称性，求出N（，），再由|NF|=c在Rt△BNF中利用勾股定理建立关于a、b、c的关系式，化简整理可得c=2a，由此即可得到该双曲线的离心率．解答：解：连接NF，设MN交x轴于点B∵⊙F中，M、N关于OF对称，∴∠NBF=90°且|BN|=|MN|==，设N（m，），可得=，得m=Rt△BNF中，|BF|=c﹣m=∴由|BF|2+|BN|2=|NF|2，得（）2+（）2=c2化简整理，得b=c，可得a=，故双曲线C的离心率e==2故选：C点评：本题给出以双曲线右焦点F为圆心的圆过坐标原点，在已知圆F被两条渐近线截得弦长的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．4. （5分）定义：|=a1a4﹣a2a3，若函数f（x）=，将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A． B．π C． D．π参考答案：B【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．三角函数的图像与性质．【分析】：由题意可得解析式f（x）=2sin（x﹣），平移后所得到的图象解析式可求得y=2sin（x+m﹣），由m﹣=kπ+，k∈Z，即可求m的最小值．解：由题意可得：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象解析式为：y=2sin（x+m﹣），由于所得到的图象关于y轴对称，则有：m﹣=kπ+，k∈Z，故解得：m（m＞0）的最小值是．故选：B．【点评】：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．5. 已知全集U=R,且A=｛x︱︱x－1︱>2｝,B=｛x︱x－6x+8<0｝，则(C A)∩B=（）A.[－1,4]B. (2,3)C.D.(－1,4)参考答案：C略6. 已知函数在区间[ ,]上恒有＞0，则实数的取值范围是A. （, ）B.( ,1) C．(0, ) D．( ,1)参考答案：D7. 复数，则(A) (B) (C) (D)参考答案：D略8. 一椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P是椭圆上一点，线段PF1与y轴的交点M是该线段的中点，若|PF2|=|MF2|，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定PF2⊥F1F2，∠P=60°，可得|PF1|=，|PF2|=，利用椭圆的定义，可得2a=2c，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意，PF2⊥F1F2，∵线段PF1与y轴的交点M是该线段的中点，|PF2|=|MF2|，∴∠P=60°，∴|PF1|=，|PF2|=，∴2a=2c，∴e==．故选：D．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查椭圆定义的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9. 已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（）A．B．C．D．参考答案：B略10. 如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知圆C过点，且圆心在x轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线l平行的直线方程为________.参考答案：x-y+3=012. 圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是 _参考答案：13. 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(0)=参考答案：14. 已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是 .参考答案：15. 已知是函数的两个零点，，则的取值范围是.参考答案：【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9解析：令f（x）=0，则，作出和在R上的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且，x1＜1，x2＞1，故有＞x2，即x1x2＜1．又f（）＜0，f（1）＞0，∴＜x1＜1，∴x1x2＞．故答案为：（，1）．【思路点拨】作出和在R上的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且，再结合零点存在定理，可得结论．16. 若复数为虚数单位），则．参考答案：17. 已知函数和，若存在实数a使得，则实数b的取值范围为__________．参考答案：[－1,5]当时,;当时,,若存在使,则,即,解得,故填.点睛：本题考查学生的是函数的应用问题,属于中档题目.首先求出分段函数的值域,一段根据对数函数的单调性,另外一段利用对勾函数的性质以及基本不等式和反比例的值域求得,根据题意,即方程有解问题,从而限制的范围,解出不等式即可.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年河南省焦作市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2|B．•=2 C．﹣与垂直 D．∥4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．88．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． +C．D．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6C．4+D．611．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B．C．D．112．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|=．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10（Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．2020年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（2x+1）（x﹣3）＞0，解得：x＜﹣或x＞3，即B={x|x＜﹣或x＞3}，∵A={x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}，故选：D．2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，可得z==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1），在复平面内z的共轭复数对应的点（1，1）．故选：A．3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2|B．•=2 C．﹣与垂直 D．∥【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，对选项中的命题进行分析判断即可．【解答】解：∵向量=（2，0），=（1，1），∴||=2，||===2，||=||，A正确；•=2×1+0×1=2，B正确；（﹣）•=（1，﹣1）•（1，1）=1×1﹣1×1=0，∴（﹣）⊥，C正确；2×1﹣0×1≠0，∴∥不成立，D错误．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣1，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣1﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣1﹣4﹣9，i=4；∴S0﹣1﹣4﹣9=﹣4，解得S0=10故选：D．5．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故选B．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：∵|x|≥0，∴若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，∴0＜a＜1，当x＞0时，数y=log a|x|=log a x，为减函数，当x＜0时，数y=log a|x|=log a（﹣x），为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故选D．8．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【分析】由题意知函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值，从而可得（•+ a）2=3+a2，从而解出f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），从而确定单调增区间．【解答】解：∵函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=，∴函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值；∴（•+a）2=3+a2，解得，a=1；故f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），故2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，故2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故选：C．9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． +C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，=1+3（k﹣1）=3k﹣2，a2k=2+3（k﹣1）=3k﹣1．且a2k﹣1则当n为偶数时，设2k=n，数列{a n}的前n项和S n=+=3k2=．故选：C．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6C．4+D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，∴几何体底面弧长为=．圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中，AB=AB′=2，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，AC=AD=4，．∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=．∴∠BAB′=120°．∴BB′==6．故选D．11．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B．C．D．1【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，利用转化思想方法求得OQ=a，又OQ=2b，得a=2b，进一步得到a，e与b的关系，然后利用基本不等式求得的最小值．【解答】解：如图，由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，延长F2Q交F1P延长线于M，得PM=PF2，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PM=MF1=2a，连接OQ，知OQ是三角形F1F2M的中位线，∴OQ=a，又OQ=2b，∴a=2b，则a2=4b2=4（a2﹣c2），即c2=a2，∴===2b+≥2=．当且仅当2b=，即b=时，有最小值为．故选：C．12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．【考点】数列与函数的综合．【分析】根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=f （x），从而f（x+2n）=f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在[2n﹣2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n}的前n项和为S n．【解答】解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），∴f（x+2）=f（x），∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f（x+4）=f（x），…f（x+2n）=f（x）设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n∴a n=22﹣n∴{a n}表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n}的前n项和为S n==故选B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|=2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d，再由弦长公式可得弦长．【解答】解：圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d==1，半径r=2，故|AB|=2=2，故答案为：2．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为1．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2y﹣3，化为直线方程的斜截式，利用线性规划知识求出t的范围，取绝对值得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=x+2y﹣3，则，由图可知，当直线过O时，直线在y轴上的截距最小，t有最小值为﹣3；直线过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最大值为﹣1．∴z=|x+2y﹣3|的最小值为1．故答案为：1．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为5．【考点】类比推理．【分析】f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，∴f（x）=+的最小值为=5．故答案为：5．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是6π．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】审题后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．【解答】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SD•BDcos∠SDB=3+1﹣2×=2，满足SB2=SD2﹣BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c ﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得：cosA．（II）f（x）=sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，可得＜B+＜，即可得出．【解答】解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）f（x）==sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，∴＜B+＜，∴∈，∴f（B）的取值范围是．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10（Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由统计数据能作出频率分布直方图，利用频率分布直方图能估算这100学生的数学平均成绩．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由统计数据作出频率分布直方图如下：∴估算这100学生的数学平均成绩：=10（85×0.002+95×0.008+105×0.03+115×0.03125×0.02+135×0.01）=113.8．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，∴ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2PEξ==．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据四点F、B、C、E共面，以及三角形相似建立方程关系进行求解；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵AF∥DE，AB∥CD，AF∩AB=A，DE∩DC=D，∴平面ABF∥平面DCE，∵平面ADEF⊥平面ABCD，∴FB∥CE，∴△ABF～△DCE，∵AB=a，∴ED=a，CD=2a，AF=，由相似比得，即，得x=4（Ⅱ）连接BD，设AB=1，则AB=AD=1，CD=2，可得BD=，取CD的中点M，则MD 与AB平行且相等，则△BMD为等腰直角三角形，则BC=BD=，∵BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．∵平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，BC⊥DE，又∵ED∩BD=D，∴BC⊥平面BDE．又∵BC⊂平面BCE，∴平面BDE⊥平面BEC．（III）建立空间坐标系如图：设AB=1，∵x=2，∴CD=2，则F（1，0，1），B（1，1，0），E（0，0，1），C（0，2，0），=（1，0，0），=（1，1，﹣1），=（0，2，﹣1），设平面EF的一个法向量为=（x，y，z），则由得，则取=（0，1，1），设平面EBC的法向量为=（x，y，z），则，得，令y=1，则z=2，x=1，即=（1，1，2），则cos＜，＞===，则＜，＞=30°，∵二面角F﹣EB﹣C是钝二面角，∴二面角F﹣EB﹣C的大小为150°．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）利用垂径定理和勾股定理列方程解出p即可得出抛物线方程；（II）联立方程组，由根与系数的关系得出A，B纵坐标的关系，假设存在符合条件的P点，则k PA+k PB=0，代入斜率公式化简即可求出x0，y0．【解答】解：（I）设抛物线的准线方程为x=﹣．圆O的半径r=2，由垂径定理得=4，解得p=2．∴抛物线方程为y2=4x．（II）联立方程组得y2+4y﹣4m=0，∴△=16+16m＞0，解得m＞﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4m．若抛物线上存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称，则k PA+k PB=0，∴+=+==0，∴y0=﹣=2，x0==1．∴存在点P（1，2），只要m＞﹣1，直线PA，PB关于直线x=1对称．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（Ⅱ）求导，根据中点坐标公式得到=﹣（x1+x2）+a+，①，分别把两个零点x1，x2，代入到F（x）中，转化，分离参数得到a﹣（x1+x2）=，再代入得到= [ln+]，换元，构造函数得到h（t）=lnt+，根据导数求出h（t）的最大值，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x+a﹣=，令f′（x）＞0，得x＞，f′（x）＜0，得0＜x＜，∴函数f（x）在（，+∞）为增函数，在（0，）为减函数，（Ⅱ）由已知g（x）=f（x）+2lnx，∴F（x）=3g（x）﹣2xg′（x）=﹣x2+ax+3lnx﹣2，∴F′（x）=﹣2x+a+，即：=﹣（x1+x2）+a+，①∵函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，∴﹣x12+ax1+3lnx1﹣2=0，②﹣x22+ax2+3lnx2﹣2=0，③②﹣③得﹣（x12﹣x22）+a（x1﹣x2）+3（lnx1﹣lnx2）=0可得（x1﹣x2）[a﹣（x1+x2）]+3ln=0，∴a﹣（x1+x2）=，代入①得：=+= [ln+]= [ln+]，令=t，则0＜t＜1，∴h（t）=lnt+，∴h′（t）=+=﹣=≥0∴h（t）在（0，1）上为增函数，∴h（t）＜h（1）=0，∵x1＜x2，∴＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知中DE2=EF•EC，我们易证明，△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，结合相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=12，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DE2=EF•EC，∴=，又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及相交弦定理得：PE•EF=AE•ED=12，又BE•EC=AE•ED=12，∴EC=4，EF==，PE=，PB=，PC=PB+BE+EC=，由切割线定理得PA2=PB•PC=×=，所以PA=为所求…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【考点】一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．2020年8月1日。
2020年河南省焦作市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年河南省焦作市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．（0，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，1）2．i是虚数单位，复数的虚部是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i3．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）4．在递增的等差数列{a n}中，a1+a5=1，a2a4=﹣12，则公差d为（）A．B．﹣C．或﹣D．7或﹣75．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|y≥1}，则函数y=log a|x|的图象大致是（）A．B．C．D．6．关于统计数据的分析，有以下几个结论：①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；②绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；③一组数据的方差一定是正数；④如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在（50，60）的汽车大约是60辆．则这4种说法中错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得的图象与函数y=2x的图象关于y轴对称，则f（x）=（）A．y=2x﹣1B．y=C．y=D．y=2x+19．函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，则函数在区间（1，+∞）上一定（）A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数10．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C． D．11．已知F1，F2分别是椭圆（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的一点，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0．则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣3π，3π]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．8二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于．14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值为．15．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=．16．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球与该棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，ccosB﹣（2a﹣b）cosC=0 （Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设函数f（x）=，当f（B）=时，若a=，求b的值．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD中AD边上的高．（Ⅰ）证明：EF⊥平面PAB；（Ⅱ）若PH=3，AD=，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．19．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．2020年河南省焦作市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．（0，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，1）【考点】交集及其运算．【分析】由题意求出集合B，然后直接求出交集即可．【解答】解：集合A={x|x≤1}，B={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|x≤1}∩{x|0＜x＜2}=（0，1]，故选C．2．i是虚数单位，复数的虚部是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】把分子分母同乘分母的共轭复数1﹣i，化简后虚部可求．【解答】解：．所以复数z的虚部是﹣1．故选B．3．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故答案为：A．4．在递增的等差数列{a n}中，a1+a5=1，a2a4=﹣12，则公差d为（）A．B．﹣C．或﹣D．7或﹣7【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意列关于首项和公差的方程组，求解方程组得答案．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，且a1+a5=1，a2a4=﹣12，∴，即，解得：，或d=．∵数列为递增数列，∴d=．故选：A．5．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|y≥1}，则函数y=log a|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据指数的图象和性质，可得a＞1，进而结合对数图象和性质及函数图象的对折变换法则可得答案．【解答】解：若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y=log a|x|的图象大致是：故选：B．6．关于统计数据的分析，有以下几个结论：①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；②绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；③一组数据的方差一定是正数；④如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在（50，60）的汽车大约是60辆．则这4种说法中错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图的特征，结合方差的意义，对题目中的命题进行分析，判断命题是否正确即可．【解答】解：对于①，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变，命题正确，因为方差反映一组数据的波动大小，整体变化不改变波动大小；对于②，绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距，命题错误，频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率；对于③，一组数据的方差一定是正数，命题错误，根据方差的计算公式s2=[++…+]得出方差是非负数；对于④，根据分布直方图得，时速在（50，60）的汽车大约是200×0.03×10=60（辆）所以，命题正确；综上，错误的命题是②③，共2个．故选：B．7．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2y﹣3，由线性规划知识求得t的范围，则z=|x+2y ﹣3|的最小值可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=x+2y﹣3，化为，由图可知，当直线过点O时，t有最小值为﹣3，过点A（0，1）时，t有最大值为﹣1．∴z=|x+2y﹣3|的最小值为1．故选：A．8．函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得的图象与函数y=2x的图象关于y轴对称，则f（x）=（）A．y=2x﹣1B．y=C．y=D．y=2x+1【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据函数图象的平移变换法则和对称变换法则，结合平移后的函数解析式，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得的图象与函数y=2x的图象关于y轴对称，∴函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得是y=的图象，∴函数f（x）的解析式为：y=，故选：B．9．函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，则函数在区间（1，+∞）上一定（）A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数【考点】二次函数的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】先由二次函数的性质可得a＜1，则=，分两种情况考虑：若a≤0，a＞0分别考虑函数g（x）在（1，+∞）上单调性【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，∴对称轴x=a＜1∵=若a≤0，则g（x）=x+﹣2a在（0，+∞），（﹣∞，0）上单调递增若1＞a＞0，g（x）=x+﹣2a在（，+∞）上单调递增，则在（1，+∞）单调递增综上可得g（x）=x+﹣2a在（1，+∞）上单调递增故选D10．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．11．已知F1，F2分别是椭圆（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的一点，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】不妨设|PF2|＞|PF1|，|PF1|，2a﹣|PF1|，2c成等差数列，从而得到|PF1|=，|PF2|=，由∠F1PF2=90°，得到|PF1|•|PF2|==2b2，由此能求出椭圆的离心率．【解答】解：∵F1，F2分别是椭圆（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的一点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，∴不妨设|PF2|＞|PF1|，|PF1|，2a﹣|PF1|，2c成等差数列，∴2（2a﹣|PF1|）=|PF1|+2c，∴|PF1|=，|PF2|=2a﹣=，∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，又|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=4a2，∴|PF1|•|PF2|==2b2，整理，得5a2﹣7c2﹣2ac=0，∴7e2+2e﹣5=0，解得e=或e=﹣1（舍）．∴椭圆的离心率是．故选：D．12．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0．则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣3π，3π]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．8【考点】导数的运算；函数奇偶性的性质．【分析】由题意x∈（0，π）当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，以为分界点进行讨论，确定函数的单调性，利用函数的图形，画出草图进行求解，即可得到结论【解答】解：∵当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，f（x）为偶函数，∴当x∈[﹣3π，3π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，∴x∈[0，]时，f（x）为单调减函数；x∈[，π]时，f（x）为单调增函数，∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）草图象如下，由图知y=f（x）﹣sinx在[﹣3π，3π]上的零点个数为6个，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于4．【考点】正弦定理．【分析】由B与C的度数求出A的度数，确定出sinA与sinB的值，再由a的值，利用正弦定理即可求出b的值．【解答】解：∵a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，∴由正弦定理，得：b===4．故答案为：414．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值为2．【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序图的运行过程，找出输出S值的周期，即可得出输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；开始S=2，i=1；第一次循环S=﹣3，i=2；第二次循环S=﹣，i=3；第三次循环S=，i=4；第四次循环S=2，i=5；第五次循环a=﹣3，i=6；…∴a的取值周期为4，且跳出循环的i值为2020=504×4+1，第2020次循环S=，i=2020；第2020次循环S=2，i=2020；∴输出的S=2．故答案为：2．15．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）．【考点】数列的求和．【分析】通过递推公式及前两项的值可知数列{a n}中奇数项构成以1为首项、3为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项、3为公比的等比数列，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：∵a1=1，a2=2，=3，∴数列{a n}中奇数项构成以1为首项、3为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项、3为公比的等比数列，∴数列{a2n+a2n}构成以3为首项、3为公比的等比数列，﹣1又∵n为偶数，∴S n==（﹣1），故答案为：（﹣1）．16．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球与该棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】求出球的半径，然后求解棱柱的底面边长与高，即可求解侧面积．【解答】解：球的体积为：，可得=，r=1，棱柱的高为：2，底面正三角形的内切圆的半径为：1，底面边长为：2=2，一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球与该棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是：6×2=12．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，ccosB﹣（2a﹣b）cosC=0 （Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设函数f（x）=，当f（B）=时，若a=，求b 的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知式子和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosC=，进而可得C=；（Ⅱ）化简可得f（x）=sin（x+）+，结合B的范围可得B=，再由正弦定理可得b==，代值计算可得．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中ccosB﹣（2a﹣b）cosC=0，∴ccosB﹣2acosC+bcosC=0，由正弦定理可得sinCcosB﹣2sinAcosC+sinBcosC=0，∴2sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，约掉sinA可得cosC=，∴角C=；（Ⅱ）化简可得f（x）==sinx+cosx+=sin（x+）+，∴f（B）=sin（B+）+=，∴sin（B+）=1，结合B的范围可得B=，由正弦定理可得b====218．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD中AD边上的高．（Ⅰ）证明：EF⊥平面PAB；（Ⅱ）若PH=3，AD=，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）取PA中点G，连结DG，FG．则FG DF，故四边形EFDG是平行四边形，于是DG∥EF，将问题转化为证明DG⊥平面PAB即可；（II）由AB⊥平面PAB得AB⊥AD，AB⊥PH，故而PH⊥平面ABCD，AD⊥CD，于是E 到底面ABCD的距离为，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】证明：（I）取PA中点G，连结DG，FG．∵E，G是PB，PA的中点，∴FG，又∵DF，∴FG DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴DG∥EF．∵AB⊥平面PAD，DG⊂平面PAD，∴AB⊥DG，∵AD=PD，G是PA的中点，∴DG⊥PA，又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴DG⊥平面PAB，∵DG∥EF，∴EF⊥平面PAB．解：（II）∵AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PH，AB⊥AD，又AB∥CD，PH⊥AD，∴PH⊥平面ABCD，S△BCF==．∵E是PB的中点，∴E到平面ABCD的距离h==．∴V E=S△BCF•h==．﹣BFC19．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】（1）根据频数=频率×样本容量，频率=对应矩形面积，构造关于n的方程，解方程可得该组织的人数；（2）先计算出第3，4，5组中每组的人数，进而根据比例，可得到应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者；（3）选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）由题意：第2组的人数：35=5×0.07•n，得到：n=100，故该组织有100人．…（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．∵第3，4，5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：．∴应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．…（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1B2，第5组的1名志愿者为C1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种．其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种，则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为．…20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由离心率为，得a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），由此利用已知条件能求出直线FM的斜率．（Ⅱ）椭圆方程为，直线FM的方程为y=（x+c），联立，消去y，得3x2+2cx﹣5c2=0，由此利用弦长公式能求出椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）由离心率为，得，又由a2=b2+c2，得a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），由已知有（）2+（）2=（）2，解得k=．∴直线FM的斜率为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为，直线FM的方程为y=（x+c），两个方程联立，消去y，得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，），由|FM|==，解得c=1，∴椭圆的方程为．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…综上，a≥e﹣1…请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知中DE2=EF•EC，我们易证明，△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，结合相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=12，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DE2=EF•EC，∴=，又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及相交弦定理得：PE•EF=AE•ED=12，又BE•EC=AE•ED=12，∴EC=4，EF==，PE=，PB=，PC=PB+BE+EC=，由切割线定理得PA2=PB•PC=×=，所以PA=为所求…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【考点】一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．2020年7月22日第21页（共21页）。
2020年河南省焦作市武德镇中学高三数学理联考试题含解析
2020年河南省焦作市武德镇中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格低于均衡价格时，供求量大于供应量，价格会上升为；当产品价格高于均衡价格时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格．能正确表示上述供求关系的图形是（）．A．B．C．D．参考答案：D当低于时，需求大于供应量，排除，，且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除，选择．2. 如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若PA=AB=2，AC=BC,则二面角P-AC-B大小的正切值是（）A. B. C. D.参考答案：B作AC的中点D，连接OD，PD，如图所示：根据已知可得，，所以，因为D是AC的中点，所以，所以即为二面角的平面角，因为PA=AB=2，所以AC=BC=，所以OD=，在中，，所以在中，.3. 等差数列前n项和为，已知，则A．125 B．85 C．45 D．35参考答案：【知识点】等差数列前n项和 D2C解析：根据等差数列前n项和的性质可得，所以，可得根据合比定理可得：，所以，故选择C.【思路点拨】根据等差数列前n项和的性质可得，可得根据合比定理可得：，即可求得.4. 设集合，则下列关系中正确是（）A．A=B B． C．D．参考答案：D略5. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列正确的是( )A．若∥∥，则∥ B．若，则∥C．若∥∥，则∥ D．若，则∥参考答案：D略6. 展开式中不含项的系数的和为（）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2参考答案：B7. 已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则等于（）A． B． C．2 D．参考答案：D8. 设全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤﹣1或x≥3}B．{x|x＜1或x≥3}C．{x|x≤1}D．{x|x≤﹣1}参考答案：D【考点】图表达集合的关系及运算．【分析】由阴影部分表示的集合为?U（A∪B），然后根据集合的运算即可．【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为?U（A∪B），由x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，即A=（﹣1，3），∵B={x|x≥1}，∴A∪B=（﹣1，+∞），则?U（A∪B）=（﹣∞，﹣1]，故选D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．9. 函数的定义域为，．满足，且在区间上单调递增，若满足，则实数的取值范围是（）A．[1,] B．(0，] C．[﹚∪(] D．参考答案：D略10. 已知函数f(x)＝，则f(f())＝()A．4 B．C．－4 D．－参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （x2﹣）9的二项展开式中，含x3项的系数是．参考答案：﹣126【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中含x3项的系数．【解答】解：（x2﹣）9的二项展开式中，通项公式为T r+1=?（﹣1）r?x18﹣3r，令18﹣3r=3，求得r=5，故展开式中含x3项的系数为﹣=﹣126．故答案为：﹣126．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用展开式的通项公式求二项式系数，是基础题．12. 已知点P的坐标（x，y）满足，过点P的直线与圆相交于A、B两点，则弦AB长的最小值为。
2022年河南省焦作市高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若，则( )A. B. C. D.3. 已知命题p：，，q：，，则下列命题是真命题的是( )A. B. C. D.4. 下列函数中，最小正周期为的是( )A. B. C. D.5. 设函数的零点为，则( )A. B. C. D.6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为( )A. B. C. 3 D.7. 已知函数是奇函数，则使得的x的取值范围是( )A. B.C. D.8. 某学校计划从包含甲、乙、丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲、乙、丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有( )A. 21种B. 231种C. 238种D. 252种9. 花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．如图所示是一个花窗图案，大圆为两个等腰直角三角形的外接圆，阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆．若在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为( )A. B. C. D.10. 已知函数的一个极值点为1，则的最大值为( )A. B. C. D.11. 如图，在正四面体ABCD中，E是棱AC的中点，F在棱BD上，且，则异面直线EF与AB所成的角的余弦值为( )A.B.C.D.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上一点，且的内心为，若的面积为4b，则( )A. B. C. D.13. 已知向量，，若，则______.14. 写出一个离心率与双曲线的离心率互为倒数的椭圆的标准方程__________.15. 计算：______.16. 已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且是底边长为，面积为的等腰三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______.17. 某科技公司有甲、乙、丙三个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为，，现安排甲组和乙组研发新产品A，丙组研发新产品B，设每个小组研发成功与否相互独立，且当甲组和乙组至少有一组研发成功时，新产品A就研发成功．求新产品A，B均研发成功的概率；若新产品A研发成功，预计该公司可获利润180万元，否则利润为0万元；若新产品B 研发成功，预计该公司可获利润120万元，否则利润为0万元．求该公司研发A，B两种新产品可获总利润单位：万元的分布列和数学期望．18. 已知数列是递增的等比数列，且求数列的通项公式；求数列的前n项和19. 如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，底面ABCD，，，平行四边形ABCD的面积为，设E是侧棱PC上一动点．求证：；记，若直线PC与平面ABE所成的角为，求的值．20. 已知抛物线：的焦点F与双曲线的一个焦点重合．求抛物线的方程；过点F作斜率不为0的直线l交抛物线于A，C两点，过A，C作l的垂线分别与y轴交于B，D，求四边形ABCD面积的最小值．21. 已知函数，，其中讨论函数的单调性；若，证明：当时，22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是为参数以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆O的极坐标方程为求直线l的普通方程和圆O的直角坐标方程；当时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．23. 设函数当时，解不等式；若关于x的不等式无解，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为，，则故选：解不等式先求出集合A，B，然后结合集合的交集运算即可求解．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：，，故选：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由，得，故命题p：，是假命题，则是真命题，由，得，故命题q：，是真命题，则是真命题，故选：根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：A项，，故A不符合；B项，，故B不符合；C项，，故C不符合；D项，，故D符合．故选：根据正弦型、余弦型、正切函数的周期公式求解即可．本题考查三角函数的周期，考查学生的运算能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：因为，且在R上连续，又因为与在R上均为增函数，所以在R上为增函数，又因为，，，所以的零点在区间内，故选：根据零点存在定理判断即可．本题考查了函数的零点，理解零点存在定理是关键，属于易做题．6.【答案】A【解析】解：因为，，，由正弦定理得，，所以，故的面积故选：由已知结合正弦定理可求b，然后结合三角形面积公式可求．本题主要考查了正弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：因为函数是奇函数，所以，即，解得，所以，因为，所以，即，可化为，等价于解得故选：由，可得，再结合对数函数的单调性，可将问题转化为解不等式，解之即可．本题考查函数的奇偶性，对数函数的单调性，分式不等式的解法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：10人中选5人有种选法，其中甲，乙，丙三位老师均不选的选法有种，故甲、乙、丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有种．故选：先求出任选5人的选法再减去甲，乙，丙三人都不被选中的选法，即可求解．本题主要考查组合数的求解，掌握间接法是解本题的关键，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：设大圆的半径为R，则等腰直角三角形的边长分别为2R，，，设等腰直角三角形的内切圆的半径为r，则，解得，则阴影部分的面积为，大圆的面积为，则该点取自阴影部分的概率为，故选：设大圆的半径为R，等腰直角三角形的内切圆的半径为r，进而得出等腰直角三角形的边长，利用三角形面积公式列出方程，解出的值，根据圆的面积公式求出阴影部分和大圆的面积，结合几何概型的概率公式计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据内切圆的性质求出内切圆的半径和面积是解决本题的关键，是中档题．10.【答案】D【解析】解：由，则，由题意可知，，即，，，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值，故选：根据导数与函数极值的关系，即可求得，即可求得的最大值．本题考查导数的应用，导数与函数极值的关系，基本不等式的应用及成立条件，考查转化思想，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：设，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，设，的夹角为，则，则异面直线EF与AB所成的角的余弦值为，故选：先建系，再标坐标，然后由向量夹角公式求解即可．本题考查了利用空间向量解决异面直线所成角，重点考查了运算能力，属基础题．12.【答案】B【解析】解：由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径．又点M在椭圆C上，由椭圆的定义，得，即又，所以，因为，所以，即，所以，解得或舍去，所以故选：根据椭圆的定义，三角形的面积可求出椭圆的离心率，所求即为离心率的倒数可得解．本题考查椭圆的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：向量，，，，则，故答案为：由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得x的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14.【答案】答案不唯一【解析】【分析】本题主要考查椭圆方程的求解，双曲线的离心率，属于基础题．求出双曲线的离心率，进而求出椭圆的离心率，写出符合要求的椭圆方程．【解答】解：双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，所以椭圆的标准方程可以为故答案为：答案不唯一15.【答案】【解析】解：故答案为：直接利用三角函数的关系式的变换和和角公式的运用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，和角公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：三棱锥可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，如图，设，，长方体交于一个顶点的三条棱长为a，b，c，则，解得由题得，，，解之得，，所以该三棱锥的外接球的半径为，所以该三棱锥的外接球的表面积为故答案为：把三棱锥放入一个长方体中，转化为求长方体外接球的半径即可得解．本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．17.【答案】解：设新产品研发成功为事件M，新产品B研发成功为事件N，则，，故设该公司研发A，B两种新产品可获总利润为随机变量X，则X所有可能取值为0，120，180，300，，，，，故X的分布列为：X 0 120 180 300P故【解析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，即可求解．设该公司研发A，B两种新产品可获总利润为随机变量X，则X所有可能取值为0，120，180，300，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．18.【答案】解：由于数列是递增的等比数列，所以；由于且，故，解得；得数列的公比，所以，所以，整理得；由得：；设，①，，②，①-②得：，整理得，所以【解析】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和公式，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，分组法的求和，属于中档题．直接利用单调递增数列的性质建立方程组，进一步求出数列的通项公式；利用分组法和乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．19.【答案】解：证明：平行四边形ABCD的面积为，，，所以，解得，在中，由，，，得，，，，又，平面PAC，又平面PAC，；以A为坐标原点，以AB，AC，AP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，设，由，得，，，，，即点，，，，设平面ABE的一个法向量为，则，令，则，，直线PC与平面ABE所成的角为，，，化简得，解得或，当或，直线PC与平面ABE所成的角为【解析】证明，再由线面垂直得出可得平面PAC，即可得证；建立空间直角坐标系，利用向量法计算求解．本题考查线线垂直的证明，以及线面角的问题，属中档题．20.【答案】解：由要可得双曲线的上焦点为，，，抛物线的方程为；设过点F作斜率不为0的直线l的方程为，由对称性不妨设，设，，由，可得，，，，过A与直线l垂直的直线方程为，令，得，过C与直线l垂直的直线方程为，令，得，，，令，则，当时，，当时，，当时，，故四边形ABCD面积的最小值为【解析】由已知可得，可求抛物线的方程；设过点F作斜率不为0的直线l的方程为，由对称性不妨设，，，联立方程可得，，可得，令，求最小值即可．本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，四边形的面积问题，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：由题可知，令，得，令，得或，故函数在和上单调递增，在上单调递减；证明：由得，令，将看作关于m的二次函数，其图象的对称轴为，令，可得，易知函数在上单调递增，又，，故存在对，满足当时，，所以，此时，此时需证，.，设，则显然当时，，从而单调递增，又，所以当时，；当时，，故当时，，所以，此时，此时需证，，令，则，则当时，；当时，，所以综合，原命题得证．【解析】求出函数导数，解不等式求单调区间；原不等式转化为，令，看作关于m的二次函数，利用二次函数的最值及利用导数求相关最值即可得证．本题考查了利用导数证明不等式，首先要对所证不等式进行适当转化，转化后构造恰当的函数，利用导数求函数的单调性、极值、最值是此类问题的常规操作，注意在研究上述单调性及最值过程中经常需要继续构造函数，能力要求较高，属于难题．22.【答案】解：直线l的参数方程是为参数，转换为普通方程为；圆O的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为，整理得；由于直线与圆相交，故，由于，故圆为个圆，解得：；转换为极坐标为【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用方程组的解法的应用求出交点的坐标，并转换为极坐标．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，方程组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：，当时，，解得，此时；当时，，解得，此时；当时，，解得，此时所以的解集为；即为，关于x的不等式无解等价为恒成立，由，当时，取得等号，所以，即m的取值范围是【解析】由零点分区间法和一次不等式的解法，可得所求解集；由绝对值不等式的性质和不等式无解的条件，可得所求取值范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，以及不等式无解的条件，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。
3.河南省六市2020届高三第一次模拟考试理数试题含答案
注意事项： 1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试用时 120 分钟． 2．答题前，考生务必用 0.5 毫来黑色签字笔将自已的姓名、准考证号、考试科目填写在规 定的位置上． 3．第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状
像心形而得名。在极坐标系 Ox 中，方程ρ=a（1-sinθ（a>0）表
示的曲线 C1 就是一条心形线，如图，以极轴 Ox 所在的直线为 x
轴，极点 O 为坐标原点的直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C2 的参
x
1
3t
数方程为 y
3 t （t 为参数）． 3
（2）点 E 在边 AB 上，若 CE 是∠BCA 的角平分线， 求△BCE 的面积.
18．（本小题满分 12 分）
在四棱椎 P ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，PA=5， PB 43 ，AB=6，PO⊥AD，O，
E 分别为 AD，AB 中点，∠BAD=60° （1）求证：AC⊥PE； （2）求平面 POE 与平面 PBD 所成锐二面角的余弦值.
在 ∆ADB 和 ∆ADC 中由余弦定理，得
AD2 + BD2 − AB2 + AD2 + DC 2 − AC 2 = 0 ，...........................3 分