初等数学研究学年论文

浅谈因式分解的解题方法和技巧

刘

永

青

系别：数学系

专业：数学与应用数学

班级：1501班

学号：***********

摘 要 因式分解在初中数学中占据着重要的地位，它是我们解决一元二次方程和高次方程必不可少的方法，对于分式的运算也影响甚大。本文主要是讲述因式分解的解题方法和技巧。通过由浅入深，循循渐进地介绍提公因式法、分组分解法、十字相乘法等解题方法。理论结合例题，使这些方法更加易于理解。

关键词 多项式；因式分解；例题；方法

1 引言

众所周知，因式分解是中学数学里最重要的恒等变形之一。在初等数学中，因式分解被广泛应用。它是我们在解题中不可缺少的有力工具。然而，在因式分解的学习过程中有太多的坎坷。这是由因式分解方法灵活、技巧性强的特点所决定的。这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，对于以后学习的其他代数内容（如：分式）也是不可缺少的前提条件。这些方法和技巧对提高解题技能和思维能力，都有着十分独特的作用。那么在因式分解的常规解题中有哪些方法和技巧呢？我们又该侧重于哪些解题方法？在什么情况下应该用什么方法？现在，就请和我一起在本文中寻找这些问题的答案吧。

2 因式分解的概念、解题方法和技巧

首先我们要了解什么叫因式分解。教材中是这样定义的：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

2.1 提公因式法

如果多项式各项都有公因式，那么我们可以把每项的公共部分提取出来。这种把公因式提出来再进行因式分解的方法就是提公因式法。注意提取之后的式子若能分解要继续分解，直到不能再继续分解。现在通过一个例子来看看这种简单的方法是怎样使用的。

例1.分解因式：321688x x x +-

分析：一眼看过去很显然这个多项式每项都有8x ，这就是我们讲的多项式中的公因式。先将其从每一项拿出来，会发现剩下的221x x +-仍然可以分解，那么就要将221x x +-继续分解。

28(21)8(1)(21)

x x x x x x =+-=+-解：原式 小结：当你发现一个多项式的每一项都有公因式，这时就可以考虑提公因式法。注意分解一定要彻底。

提供因式法在因式分解中是最基本的方法，是要掌握的基础解法之一。提公因式后的多项式又怎么分解呢？这就需要我们后面的方法了。例如下面介绍的公式法。

2.2 公式法

那么什么情况下用公式法呢？如果多项式满足特殊公式的结构特征，就可以套用公式来进行解题。所以对于一些常用公式我们要做到胸有成足，这样才能在

解题时从容不迫。除了教材上一些基本的公式之外，教材以外的一些公式在解题中有些时候也可以起到事半功倍的作用。现在将这些公式归纳如下：

22()()a b a b a b -=+-

2222()a ab b a b ±+=±

3322()()a b a b a ab b +=+-+

3322()()a b a b a ab b -=-++

33223()33a b a ab a b b +=+++

2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++

3332223()()a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++---

121()()n n n n n a b a b a a b b ---+=+--⋅⋅⋅+（n 为奇数）

说明：由因式定理，即对一元多项式()f x ，若()0f b =，则一定含有一次因式x b -。可判断当n 是偶数时，当a b =，a b =-时，均有0n n a b -=。所以n n a b -中一定含有a b +和a b -因式[1]。

公式法怎样使用？现在来看以下例题。

例2.分解因式：2216x y -

分析：显然可以将其用完全平方差公式进行分解，但是需要注意16要看作4 的平方。

22

=(4)(4)(4)

x y x y x y -=+-解：原式 例3. 分解因式2214294

x x y +-- 分析：本题我们可以使用公式法。观察就能发现这里可以用完全平方公式，后再使用我们熟悉的完全平方差公式。 221=42)94

x x y -+-解：原式（ 221(2)(3)2

x y =-- 11(23)(23)22

x y x y =-+-- 11(416)(416)22

x y x y =-+⋅-- 1(416)(416)4

x y x y =-+-- 小结：对于满足特殊公式的结构特征的多项式，我们提倡用公式法来因式分解。那么就需要我们有很强的观察力，有时候还需要我们无中生有，通过添项减项的方法来使多项式具有某些特殊公式的结构特征。这种方法在之后会介绍。

2.3 分组分解法

当多项式的项数太多的时候 ，首先可以对其进行分组，达到因式分解的目的。有可能要综合其他方法，分组的方法也不一定就是唯一的。通过下面的一些例题来看看分组分解法如何在解题中应用。

例4.分解因式：15129631x x x x x +++++

思考：观察发现，第一项和第二项相差3x ，第三项和第四项也相差3x ，第四项和第五项亦是如此。那么我们就可以两项一组，用分组分解法来因式分解。

1512963123633626363632=()()(1)

(1)(1)(1)

[(1)](1)(1)(1)(1)(1)

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++++=+++++=+-+=+++-+-+解：原式

例5.分解因式：435159m m m ++-

思考：先根据系数特征进行分组，然后用完全平方差公式分解因式。

4322222(9)515(3)(3)5(3)(3)(53)

m m m

m m m m m m m =-++=+-++=++-解：原式

小结：当多项式的项数太多时，可以对其进行分组，达到因式分解的目的。有可能要综合其他方法，分组的方法也不一定就是唯一的。通过仔细观察就可帮助我们合理地分组，这样对解题来说也能少走弯路。

2.4 十字相乘法

对于那些形如2ax bx c ++的二次三项式，可以考虑用十字相乘法。对于二次项系数为一的二次三项式也可使用。即2()()()x b c x bc x b x c +++=++也可使用十字相乘法进行因式分解。下面来看一些例题。

例6.因式分解：（1）26x x --（2）2675x x --

思考：考虑使用十字相乘法。

（1） x 2 （2） 2x 1

x -3 3x -5

(2)(3)2(21)(35)

x x x x =+-=+-解：（1）原式（）原式 小结：对于那些形如2ax bx c ++的二次多项式，十字相乘法是我们的不二选择。此法简便易懂，在一些稍显复杂的二次三项式分解中有着惊人的效果。对于形如42ax bx c ++的多项式，我们也可以使用十字相乘法来进行解题[2]。十字相乘法在因式分解中是一种很重要的方法，需要好好掌握才对。

2.5 双十字相乘法

在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如224434103x xy y x y ---+-，也是可以运用十字相乘法分解因式，其具体的步骤为：

（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次多项式，得到一个十字相乘图。

（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二 个十字中交叉之积的和等于原式中含y 的一次项，同时还必须与第一个字中的左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x 的一次项[3]。

来看下面的例题，看看双十字相乘法是怎样在解题中运用的。

例7.因式分解（1） 224434103x xy y x y ---+-

(2) 2231092x xy y x y --++-

(3) 22ab b a b ++--

(4) 22267372x xy y xz yz z ---+-