图乘法公式推导注意点两个弯矩图中
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p99-图乘法的公式和适用条件.
(2) 在M和 M 两个弯矩图中至少由一个是直线图形。
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法
设杆件的M图与 M 图已知（如图），且EI为常数，其中ab段的 M 图为 直线图形。 取 M 图的延长线与x轴交点O为 坐标原点。则
M y xtanα ，dA= M dx，
利用位移计算公式有
b
a
b M Mdx MMds a EI EI
1 b xtanαdA a EI b 1 tanα xdA a EI
(a)
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法 式中，a xdA 称为M图的面积对y轴 的静矩，它等于M图的面积乘以其 形心C的坐标xC，即
b
MMdx 1 Σ A yC Δ Σa EI EI
b
用图乘法计算位移时，需要确定弯矩图的图形面积及其形心位置。 下图给出几种简单图形的面积和形心位置，以备查用。
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法
简单图形的面积和形心位置
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法
b a
b
a
xdA AxC
代入式(a)，得
MMdx 1 A xC tanα EI EI
(b)
又因为yC=xCtan ，则有
b
a
MMdx 1 A yC EI EI
(c)
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法
式中，yC为M图的形心C下相应的 M 图中的竖标。 式(c)表明，积分式之值等于M图的面积A乘以其形心所对应的M图(直 线图形)中的竖标yC ，再除以杆的弯曲刚度EI。当A与yC在杆的同一侧时， 两者乘积取正号，反之取负号。这就是图乘法。 对于多根杆件组成的结构，只要将每段杆图乘的结果相加，即
结构力学(第三章)-图乘法
( M x tan ) 1 x tan M P dx EI tan
xM P dx
图乘法求位移公式为:
图乘法的 适用条件是 什么?
EI tan 1 xc yc EI EI
ip
yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
MP
A
M 1 B 1
B
c
y c
ql 2 / 2
ql 2 / 8
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。 q ql 2 / 8 ql 2 / 2
MP
A
l/2 C
1
q q
l/2
B
l/2
Mi
c
y c
C ql / 2 ql 2 / 8
ql 2 / 8 ql 2 / 4 ql 2 / 8
ql / 2
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 图乘法是Vereshagin于 M M P ds (对于等 截面杆) EI 1925年提出的，他当时 1 为莫斯科铁路运输学院 MM P dx (对于直杆) EI 的学生。
1 1
B
Mi
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
关于图乘法的一种特殊情况
关于图乘法的一种特殊情况作者：赵盛琳来源：《科学大众·教师版》2019年第12期摘要：本文讨论了用图乘法计算结构位移的一种特殊情况，有一个弯矩图是反对称，另一个弯矩图是线性图线的时候，计算中容易出现的错误，从公式推导指出正确的处理方法。
关键词：图乘法; 形心坐标; 计算公式中图分类号：？U442; ; ; ; ; ;文献标识码：A; ; ; ;文章编号：1006-3315（2019）12-141-001在材料力学或者结构力学一般用能量法来计算结构位移，使用比较多的是单位载荷法，在满足一些特殊条件下（轴线为直线，等截面梁或者刚架而且抗弯刚度为常量，两个弯矩图中至少有一个为线性函数），计算莫尔积分可以用图乘法，在大部分有图乘法介绍的教材里，图乘法公式的推导所用的示意图都是所考虑的区间里有一个弯矩图是全部在轴线一侧的一条曲线，另一个弯矩图是线性图线，推导过程中用到了平面图形的形心坐标计算公式，而且计算结果有正负号的问题，两个弯矩图在轴线同侧的时候，结果取正值，两个弯矩图在轴线异侧的时候，结果取负值。
因此图乘法给人的感觉就是计算中弯矩图面积是带正负号的。
然而在遇到以下情况的时候很容易犯错。
有的时候我们会遇到有一个弯矩图在考虑的区间内是反对称的，而另一个弯矩图是线性图线，教材里没有硬性规定弯矩图必须在轴线同侧才能用图乘法，只要满足使用图乘法的三个条件（轴线为直线，等截面梁或者刚架而且抗弯刚度为常量，M（x）及[M]（x）中至少有一个为关于x的线性函数），就算M（x）有正有负（即弯矩图分布在轴线两侧），图乘法的公式依然能用。
图乘法计算积分的公式[l]M（x）[M]（x）dx=[ω][M]c，其中[ω]代表M（x）图的面积，[Mc]是[M]（x）图中与M（x）图的形心对应的纵坐标。
当M（x）图反对称，则其图形的形心显然在轴线中点处，但弯矩图面积[ω]因为考虑反对称图形的正负号，加起来为零，所以不管[M]c是多少，最后结果就是零，但这显然是错误的。
结构力学-图乘法
1
NP
N
1
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第23页
DP
M M P ds EI
F N FNP l EA
1 1 4 1 2 2 ( 2 2 8 ) 3 ( 2 2 2 ) 3 ( 3 2 0 . 5 ) 1 EI 4 1 2 2 1 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 4 2 ) 1 2 EI 2 3 2 3 3 1 1 EA
Δ Cy
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第17页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
72
2 16 8 4 2 16 8
20
4
MP图
y5 y 4 y 3
y1 y2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第18页
Cy
yc
EI
[( 4 20 )( 4 ) ( 4 4 )( 4 )] EI 2 3 3 2
B
xd
A
xc
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第4页
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形 心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 y c ，再除以EI。 这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。
NP
N
1
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第23页
DP
M M P ds EI
F N FNP l EA
1 1 4 1 2 2 ( 2 2 8 ) 3 ( 2 2 2 ) 3 ( 3 2 0 . 5 ) 1 EI 4 1 2 2 1 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 4 2 ) 1 2 EI 2 3 2 3 3 1 1 EA
Δ Cy
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第17页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
72
2 16 8 4 2 16 8
20
4
MP图
y5 y 4 y 3
y1 y2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第18页
Cy
yc
EI
[( 4 20 )( 4 ) ( 4 4 )( 4 )] EI 2 3 3 2
B
xd
A
xc
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第4页
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形 心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 y c ，再除以EI。 这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。
结构位移和刚度—图乘法(建筑力学)
向相同，即铅直向下。
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)， 则要 将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直 线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作 用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)， 则要 将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直 线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作 用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2
图乘法
2、求ΔCV ① MP图如图(b)所示。 ② 单位弯矩图M如图(d)所示。 ③ 计算A、yC。 2×l/2=ql3/24 A=2/3×1/8ql yC=5/8×l/4=5l/32 ④ 计算ΔCV ΔCV=2(1/EI*A*yC)= 5ql4/384EI (↓)
【课后作业】习题8-6（用图乘法）
【预习】：静定结构的位计算习题课
三、几个规则图形的面积和形心位置
顶点：指曲线上切线平行于底边的点 标准抛物线：指顶点在中点或端点的抛物线
四、图乘法技巧
1、图形分解图乘 当图形的面积和形心不 便确定时，可以将其分 解成几个简单的图形， 分别与另一图形相应的 纵坐标相乘。
（1）梯-梯同侧组合（三角形为特殊情况）
（2）、梯-梯同侧组合：
剪力与轴力项能用图乘法？
3、图乘法求位移的一般表达式
注意：
y [1]. c
应取自直线图中。 [2].若 A 与 yc 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值（不是MP与M 图位于杆件同侧或异侧）。 [3]. 如图形较复杂，可分解为几个简 单图形。
二、图乘法步骤 (1) 画出结构在实际荷载作用下的弯 矩图（荷载弯矩图）MP； (2) 根据所求位移选定相应的虚拟力 状态，画出单位弯矩图M(注：M图不标 单位）； (3) 分段计算一个弯矩图形的面积A 及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖 标yC； (4) 将A、yC代入图乘法公式计算所 求位移。
解：1、求φA ① 实际荷载作用 下的弯矩图MP如图(b) 所示。 ② 在A端加单位力 偶m=1，其单位弯矩图M 如图(c)所示。
③ MP图面积及其形心 对应M图竖标分别为：
A=2/3*l*1/8*ql2=ql3/12 yC=1/2 ④ 计算φA φA=1/EI*A*yC =1/EI*ql3/12*1/2=ql3/24 EI
图乘法
移； （2）当EI分段为常数；或单位弯矩图、荷载弯矩
图均为非直线。
此时的处理方法：应分段图乘再叠加。
二．图形分解和图乘的分段叠加
10
在实际计算中，当弯矩图的形心位置或面积不便于确定
时，常将该图形分解为几个易于确定形心位置和面积的部分， 并将它们分别与另一图形相乘，然后再将所得结果相加。下面 分几种情况讨论。
yD
x xD
∫C M M Pds
D EI
EI=常数 直杆 ds=dx
D 1
∫ =
1 EI
C D
M M Pdx
tanα=常数
∫ ∫ =
tanα EI
D C
xM Pdx
=
tanα EI
C D
xdω
dω = M Pdx
为
MP
图中有阴影线的微面积；=
tanα EI
ω⋅
xD
xdω 为微面积对 D点的面积矩。
C
=
23Ph2 72 EI
3h/4
Mk
2/3
例 求铰C左、右两侧截面相对转角33
EI = 常数
q
C a
a
a
qa 2 qa2
34
11 2
qa2 /8
2
1
qa 2
M P 图 （kN·m）
2 M 图 (m)
ΔφC
=
1 EI
[2 3
⋅a⋅
qa 2 8
×
1 2
+ 2 ⋅ a ⋅ qa2 × ( 1 +1) 3 82
−A3ql 3 4
(
2 3
2l
+
1 3
l)
l
− −
图均为非直线。
此时的处理方法：应分段图乘再叠加。
二．图形分解和图乘的分段叠加
10
在实际计算中，当弯矩图的形心位置或面积不便于确定
时，常将该图形分解为几个易于确定形心位置和面积的部分， 并将它们分别与另一图形相乘，然后再将所得结果相加。下面 分几种情况讨论。
yD
x xD
∫C M M Pds
D EI
EI=常数 直杆 ds=dx
D 1
∫ =
1 EI
C D
M M Pdx
tanα=常数
∫ ∫ =
tanα EI
D C
xM Pdx
=
tanα EI
C D
xdω
dω = M Pdx
为
MP
图中有阴影线的微面积；=
tanα EI
ω⋅
xD
xdω 为微面积对 D点的面积矩。
C
=
23Ph2 72 EI
3h/4
Mk
2/3
例 求铰C左、右两侧截面相对转角33
EI = 常数
q
C a
a
a
qa 2 qa2
34
11 2
qa2 /8
2
1
qa 2
M P 图 （kN·m）
2 M 图 (m)
ΔφC
=
1 EI
[2 3
⋅a⋅
qa 2 8
×
1 2
+ 2 ⋅ a ⋅ qa2 × ( 1 +1) 3 82
−A3ql 3 4
(
2 3
2l
+
1 3
l)
l
− −
结构力学图乘法
FN FPb M FQ 状态II FPa
M ds ds EI FN ds ds EA
ds 0
kFQ GA
ds
令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：
0 ds FN ds W12 FP M ds FQ FQ kFQ FN FN M M ds ds ds EI GA EA
yc
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h AP 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理
互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的 是小变形，且杆件材料服从虎克定律。
一、 功的互等定理
功的互等本质上是虚功互等。
下图给出状态I和状态II。
FP1 2 FP
FPa
FPb
A
1 2 a b
a
b
B
A
1 2 B a 1 b 2
所以
即
F F
P P
11 FP 2 FP 2 FPa a FPb b
在任一线性变形体系中，第一状态的外力 在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状 态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。
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D
MA
j
T 1 PΔ 2
T
1 2
M Aj
P
D
B
C DCV
DC DCHC'
D'
B'
1
A
T 2 P ΔC V
17/72
5-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功
广义力：凡是做功的力统称为广义力 广义位移：与广义力相对应的位移统称为广义位移 广义力(集中力) 广义位移(线位移) 广义力(集中力偶) 广义位移(角位移) 广义力(一对大小相等方向相反的共线力) 广义位移(相对线位移) 广义力(一对大小相等方向相反的共线力偶) 广义位移(相对角位移)
柔度 (影响)系数d：施加单位力时所产生的结构位移 位移D：作用力为一般值时所产生的结构位移 D Ki 第一个下标K—— 位移所在的地点和方向 D Ki 第二个下标 i —— 产生位移的原因
有 D Ki = d Ki ·Pi
B
11/72
5-1 概述
四、线性变形体系的假设及其特性 2．线弹性体系的两个主要特性：
大型结构进行吊装时，需要合理设置起吊点，使安装部位产生的位 移小而且较为均匀，便于安装就位。
9/72
5-1 概述 四、线性变形体系的假设及其特性
1．线性变形体系（线性弹性体系/线弹性体系）：
满足两个基本假设的体系 （1）材料是完全弹性的，服从虎克定律
——结构在荷载作用下，最大应力不超过材料的弹性比例极限 （2）结构的变形 (位移) 是微小的，因此不影响荷载的作用(材料力学小 变形假设)
DCH C C' P1
DDH
D'
D
P3
ΔCD ΔCH ΔCH
P2
jAB jA jB
A
jA
jB
B
jAB
绝对位移 相对位移：两点或两截面相互之间位置的改变量
5/72
5-1 概述 二、使结构产生位移的因素 1.荷载
结构在荷载作用下产生内力 材料发生应变结构产生位移
2.温度变化
材料的热胀冷缩 结构产生位移
（2）计算结构的变形（位移）可应用叠加原理 叠加原理：由若干因素共同作用时所产生的效果（内力、变形等），等 于其每个因素单独作用时所产生的效果的总和。
F1 F2
Fi
A EI
K
DK l
Fn B
D K d K1P1 d K 2 P2
d Ki Pi d Kn Pn
n
d Ki Pi
结构的位移可分为 1．线位移：结构上各点产生的位置移动 2．角位移：杆件横截面所产生的位置转动
变形体： 在外界因素影响下产生变形（弹性变形和非弹性变形）的
物体统称为变形体
3/72
5-1 概述 一、结构位移的种类
M
F
A
C
B
C'
q
q
D
B
DCVCDCHCD' C
D'
B'
jC
A
4/72
5-1 概述
一、结构位移的种类
3.支座位移
基础发生沉降 结构支座移动、转动 结构产生位移
4.其他因素
结构构件的尺寸制作误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等
6/72
5-1 概述
三、计算结构位移的目的 1.验算结构的刚度
结构要满足强度、刚度、稳定性要求。 结构的刚度：以其变形或位移来量度
（在验算结构刚度时，需计算结构位移）。 闸门：沿水流方向位移超过允许限度时，将使闸门的启闭受到阻碍，同 时影响止水效果。 结构设计规范中具体规定
O
l
引起振动，这样的家在过程，称为静
D
力加载，相应的荷载为静力荷载
14/72
5-2 线性变形体系的功能原理
F
一、外力实功
单位荷载对应的变形: d 外力做功增量
dF
F=1
P
图示蓝色部分的面积 F
d
当荷载到达最后数值: P
P Δ Pd
D
加载过程中荷载的值: F
F l F d
l
O
l
dl
l
dT F F dF dl
i 1
12/72
5-2 线性变形体系的功能原理
13/72
5-2 线性变形体系的功能原理
线性变形体系的功能原理是结构力学的重要理论基础,本节包括外力实功、 实变形能、附加功或虚功的互等定理以及虚功原理等。
一、外力实功
线弹性体系的静力加载过程
F
荷载: 0 P
变形: 0 D
P
两者同步
加载过程中，加载速度缓慢，不至于
D
2
Fdl dF dl Fdl
2
l F d dl d dF
T
dT
P
Fdl 0 F ddF
1 P2d
2
1 PΔ 2
T 1 PΔ 2
15/72
5-2 线性变形体系的功能原理
F
一、外力实功
T 1 PΔ 图示黄色三角形的面积
dF
P
2
F
线弹性体系线性在静力荷载作用下，外力所做
2.计算超静定结构
计算超静定结构：静力平衡条件、变形协调条件（结构的位移）
本章内容处于静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承上启下 的作用。
7/72
5-1 概述 三、计算结构位移的目的 3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据
(a)大跨度建筑中，结构变形→产生明显的下垂现象 不但影响美观，而且容易引起人们的不安全感。
(b)建筑起拱 (起拱)：把结构做成具有一定上弯度的初始弯曲形式， 用以抵消由挠度产生的下垂现象。(需要计算结构位移)
8/72
5-1 概述 三、计算结构位移的目的 3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据
大型桥梁施工进行悬臂拼装时，结构自重、施工机械等临时荷载的 作用，悬臂部分将产生挠度，需计算结构位移，便于拼装时使构件准确 就位；
(不改变荷载作用点的位置和方向) ——应用静力平衡条件建立方程时，可以不计结构变形(位移)的影响， 而采用原始的几何尺寸。
10/72
5-1 概述
四、线性变形体系的假设及其特性
2．线弹性体系的两个主要特性：
(1) 结构的变形 (位移)与其作用力成正比
Fi=1
Fi
A EI
Ki l
的实功等于外力的最后数值与其相应位移乘积 O
l
dl
l
的一半。
D
注意点：
(1)外力实功中，位移是由做功的力本身引起的，且外力是变化的 (由零开始逐渐增加到其最后数值)。
(2)计算外力实功时，力与位移必须相对应。
16/72
5-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功
计算外力实功时，力与位移必须相对应
P
本章主要内容：
1 概述； 2 线性变形体系的功能原理; 3 结构位移计算的一般理论; 4 结构位移计算（荷载作用）的单位荷载法; 5 图乘法； 6 温度变化引起的结构位移 7 由于支座位移引起的结构位移计算。 课后作业
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5-1 概述
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5-1 概述 一、结构位移的种类
结构在荷载和温度变化等外界因素的影响下将会发生变形， 因而结构上各点或截面的位置可能发生改变——即产生位移。