中考正方形新题赏析

中考正方形新题赏析

正方形是一种特殊的平行四边形，更是一种特殊的矩形和特殊的菱形.所以处理开放型问题相对而言是比较复杂的，而近年来中考又不断加大有关正方形问题的创新力度，所以求解时一定要充分运用所学知识，抓住有关正方形问题的本质特征.为了方便同学们学习，现以中考试题为例说明如下：

一、正方形的面积问题

例1（临安市）如图1，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）

A.2

B.4

C.8

D.10

分析要求图中阴影部分的面积，由于由剪到拼可知阴影部分的面积应是原正方形面积的四分之一，于是即求.

解根据题意“小别墅”的图中阴影部分的面积应等于正方形面积的四分之一，而正方形的面积是16，所以阴影部分的面积应等于4.故应选B.

说明本题的图形在操作过程中，虽然形状发生了改变，但是图形的面积却没有变化，抓住这一点问题就可以简洁求解.

图2

二、直角三角形拼正方形问题

例2（烟台市）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图2所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a3＋b4的值为（）

A.35

B.43

C.89

D.97

分析要求a3＋b4的值，由已知条件，利用勾股定理，结合方程的知识可以分别求出a、b.

解因为直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，所以大正方形的边长由勾股定理，得c2＝a2+b2，小正方形的边长是a－b，

又因为大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，即c 2＝a 2+b 2＝13，(a －b )2＝1， 所以ab ＝6，消去b ，得a 4－13a 2＝－36，配方，得(a 2－132)2＝254

. 即a ＝3或2，所以b ＝2或3，又较长直角边为a ，较短直角边为b ，

所以a ＝3， b ＝2，所以a 3＋b 4＝43.故应选B .

说明 求解时一定要理解并图的意义，从中找出已知量与未知量之间的关系.

三、用正方形与矩形拼正方形问题

例3（烟台市）如图3，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的矩形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张.用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为＿＿＿.

分析 16张卡片，拼成一个正方形，而边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的矩形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，由此可知正方形的每边上应有4张，而且这个正方形的边长应为a +3b .

解 因为边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的矩形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，而用这16张卡片拼成一个正方形，所以正方形的每边上应有4张，而且这个正方形的边长应为a +3b .但拼得的正方形的形式是不一样的，如图4就是其中的一种.

说明 这是一道结论开放型问题，只要符合题意且结论正确的都可以.

四、正方形的操作问题

例4（旅顺口区）如图5，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是如图6所示的（ ）

D C B A 图6

图5 图3 a 图4 b a b

分析 要想知道展开后得到的图案是什么，可以依据题意，结合正方形的图形特征，发挥想象即可求解.

解 因为将正方形沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，就是说这个正方形上共有6个小圆，其中分成3组关于正方形的对角线即折痕对称，且1对圆在两个直角的顶点上，2对圆位于对角线即折痕的两侧.故应选C .

说明 这种图形的操作问题的求解一定要在灵活运用基础知识的同时，充分发挥想象，并能大胆地归纳与推断.

五、利用正方形探索规律问题

例5（江西省）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成如图7一列图案：

（1）第4个图案中有白色纸片＿＿＿张；

（2）第n 个图案中有白色纸片＿＿＿张.

分析 要解答这两个问题，只要能求出第n 个图案中有白色纸片的张数即可，由于第1个图案中有白色纸片1张，第2个图案中有白色纸片7张，第3个图案中有白色纸片10张，…，由此可以得到第n 个图案中有白色纸片3n + 1张，从而求解.

解 因为第1个图案中有白色纸片1张，第2个图案中有白色纸片7张，第3个图案中有白色纸片10张，…，所以可以得到第n 个图案中有白色纸片3n +1张.于是（1）当n ＝4时，3n +1＝13；（2）3n + 1.

说明 这种利用几何图形探索规律型问题是近年各地中考的热点，同学们在求解时一定要通过认真的观察、归纳、猜想、验证，才能正确地获解.

第3个

第2个第1个图7